Hiperbolė yra taškų lokusas plokštumoje, atstumų nuo kiekvieno iš jų iki dviejų nurodytų taškų F_1 ir F_2 skirtumo modulis yra pastovi vertė (2a), mažesnė už atstumą (2c) tarp šių taškų (1 pav. 3.40, a). Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia židinio hiperbolės savybė.
Hiperbolės židinio savybė
Taškai F_1 ir F_2 vadinami hiperbolės židiniais, atstumas tarp jų 2c=F_1F_2 yra židinio nuotolis, atkarpos F_1F_2 vidurys O yra hiperbolės centras, skaičius 2a – tikrosios ašies ilgis. hiperbolė (atitinkamai a yra tikroji hiperbolės pusašis). Atkarpos F_1M ir F_2M, jungiančios savavališką hiperbolės tašką M su jo židiniais, vadinami taško M židinio spinduliais. Atkarpa, jungianti du hiperbolės taškus, vadinama hiperbolės styga.
Santykis e=\frac(c)(a) , kur c=\sqrt(a^2+b^2) , vadinamas hiperbolės ekscentriškumas. Iš apibrėžimo (2a<2c) следует, что e>1 .
Geometrinis hiperbolės apibrėžimas, išreiškiantis jo židinio savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – kanoninės hiperbolės lygties nurodytai linijai:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1.
Išties, įveskime stačiakampę koordinačių sistemą (3.40 pav., b). Hiperbolės centrą O laikome koordinačių sistemos pradžia; Tiesią, einanti per židinį (židinio ašį), laikysime abscisių ašimi (teigiama kryptis joje yra nuo taško F_1 iki taško F_2); Paimkime tiesę, statmeną abscisių ašiai ir einanti per hiperbolės centrą kaip ordinačių ašį (kryptis ordinačių ašyje parenkama taip, kad stačiakampė koordinačių sistema Oxy būtų teisinga).
Sukurkime hiperbolės lygtį naudodami geometrinę apibrėžimą, išreiškiančią židinio savybę. Pasirinktoje koordinačių sistemoje nustatome židinių koordinates F_1(-c,0) ir F_2(c,0) . Savavališkam taškui M(x,y), priklausančiam hiperbolei, turime:
\left||\overrightarrow(F_1M)|-|\overrightarrow(F_2M)|\right|=2a.
Užrašę šią lygtį koordinačių forma, gauname:
\sqrt((x+c)^2+y^2)-\sqrt((x-c)^2+y^2)=\pm2a.
Atlikdami transformacijas, panašias į tas, kurios naudojamos išvedant elipsės lygtį (t. y. atsikratydami neracionalumo), gauname kanoninę hiperbolės lygtį:
\frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1\,
kur b=\sqrt(c^2-a^2) , t.y. pasirinkta koordinačių sistema yra kanoninė.
Atliekant samprotavimus atvirkštine tvarka, galima parodyti, kad visi taškai, kurių koordinatės tenkina (3.50) lygtį, ir tik jie priklauso taškų lokusui, vadinamam hiperbole. Taigi analitinis hiperbolės apibrėžimas yra lygiavertis jos geometriniam apibrėžimui.
Hiperbolės direktorinė savybė
Hiperbolės kryptys yra dvi tiesės, einančios lygiagrečiai kanoninės koordinačių sistemos ordinačių ašiai tuo pačiu atstumu a^2\!\!\not(\phantom(|))\,c nuo jo (3.41 pav., a). Kai a=0, kai hiperbolė išsigimsta į susikertančių tiesių porą, kryptys sutampa.
Hiperbolė, kurios ekscentriškumas e=1, gali būti apibrėžta kaip taškų vieta plokštumoje, kurių kiekvieno atstumo iki duoto taško F (fokusas) ir atstumo iki nurodytos tiesės d (kryptis), kuri nepraeina. per tam tikrą tašką yra pastovus ir lygus ekscentriškumui e ( direktorinė hiperbolės savybė). Čia F ir d yra vienas iš hiperbolės židinių ir viena iš jos krypčių, esančių vienoje kanoninės koordinačių sistemos ordinačių ašies pusėje.
Tiesą sakant, pavyzdžiui, židinio F_2 ir krypties d_2 (3.41 pav., a) sąlyga \frac(r_2)(\rho_2)=e galima parašyti koordinačių forma:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\left(x-\frac(a^2)(c)\right)
Atsikratyti iracionalumo ir pakeisti e=\frac(c)(a),~c^2-a^2=b^2, gauname kanoninę hiperbolės lygtį (3.50). Panašūs samprotavimai gali būti atliekami su židiniu F_1 ir krypčiai d_1:
\frac(r_1)(\rho_1)=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt((x+c)^2+y^2)= e\left(x+\frac(a^2)(c) \right ).
Hiperbolės lygtis polinėje koordinačių sistemoje
Hiperbolės dešinės šakos lygtis polinėje koordinačių sistemoje F_2r\varphi (3.41 pav.,b) turi formą
R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), kur p=\frac(p^2)(a) - židinio hiperbolės parametras.
Tiesą sakant, poliarinės koordinačių sistemos ašigalį parinkkime tinkamą hiperbolės židinį F_2, o spindulį su pradžia taške F_2, kuris priklauso tiesei F_1F_2, bet kuriame nėra taško F_1 (3.41 pav.). ,b), kaip polinė ašis. Tada savavališkam taškui M(r,\varphi), priklausančiam dešiniajai hiperbolės šakai, pagal geometrinį hiperbolės apibrėžimą (židinio savybę) turime F_1M-r=2a. Išreiškiame atstumą tarp taškų M(r,\varphi) ir F_1(2c,\pi) (žr. 2.8 pastabų 2 pastraipą):
F_1M=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi))=\sqrt(r^2+4\cdot c \cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).
Todėl koordinačių formoje hiperbolės lygtis turi formą
\sqrt(r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)-r=2a.
Išskiriame radikalą, kvadratą iš abiejų lygties pusių, padaliname iš 4 ir pateikiame panašius terminus:
R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac(c)(a)\cos\varphi\ dešinėje)r=c^2-a^2.
Išreikškite poliarinį spindulį r ir pakeiskite e=\frac(c)(a),~b^2=c^2-a^2,~p=\frac(b^2)(a):
R=\frac(c^2-a^2)(a(1-e\cos\varphi)) \quad \Leftright arrow \quad r=\frac(b^2)(a(1-e\cos\varphi) ) )) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cos\varphi),
Q.E.D. Atkreipkite dėmesį, kad poliarinėse koordinatėse hiperbolės ir elipsės lygtys sutampa, tačiau apibūdinkite skirtingas tieses, nes jos skiriasi ekscentriškumu ( e>1 hiperbolei, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Hiperbolės lygties koeficientų geometrinė reikšmė
Raskime hiperbolės (3.42 pav.,a) susikirtimo taškus su abscisių ašimi (hiperbolės viršūnėmis). Lygtyje pakeitę y=0, randame susikirtimo taškų abscises: x=\pm a. Todėl viršūnės turi koordinates (-a,0),\,(a,0) . Atkarpos, jungiančios viršūnes, ilgis yra 2a. Šis segmentas vadinamas tikrąja hiperbolės ašimi, o skaičius a yra tikroji hiperbolės pusašis. Pakeitę x=0, gauname y=\pm ib. Taškus (0,-b),\,(0,b) jungiančios y ašies atkarpos ilgis lygus 2b. Šis segmentas vadinamas įsivaizduojama hiperbolės ašimi, o skaičius b yra įsivaizduojama hiperbolės pusašis. Hiperbolė kerta tiesę, kurioje yra tikroji ašis, bet nekerta tiesės, kurioje yra įsivaizduojama ašis.
Pastabos 3.10.
1. Tiesės x=\pm a,~y=\pm b riboja pagrindinį stačiakampį koordinačių plokštumoje, už kurios yra hiperbolė (3.42 pav., a).
2. Tiesės, kuriose yra pagrindinio stačiakampio įstrižainės, vadinamos hiperbolės asimptotėmis (3.42 pav., a).
Už lygiakraštė hiperbolė aprašyta lygtimi (t. y. a=b atveju), pagrindinis stačiakampis yra kvadratas, kurio įstrižainės yra statmenos. Todėl lygiakraštės hiperbolės asimptotės taip pat yra statmenos, ir jas galima paimti kaip stačiakampės koordinačių sistemos Ox"y" koordinačių ašis (3.42 pav., b). Šioje koordinačių sistemoje hiperbolės lygtis turi formą y"=\frac(a^2)(2x")(hiperbolė sutampa su elementariosios funkcijos grafiku, išreiškiančiu atvirkščiai proporcingą ryšį).
Iš tiesų, pasukime kanoninę koordinačių sistemą kampu \varphi=-\frac(\pi)(4)(3.42 pav., b). Šiuo atveju taško koordinatės senoje ir naujoje koordinačių sistemose yra susietos lygybėmis
\left\(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y",\\ y& =-\frac(\sqrt(2))(2)\cdot x"+\frac(\sqrt(2))(2)\cdot y"\end(sulygintas)\right \quad \Leftright arrow \quad \ left \(\!\begin(aligned)x&=\frac(\sqrt(2))(2)\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac(\sqrt(2))(2) \ cdot(y"-x")\end(lygiuotas)\dešinėn.
Pakeitus šias išraiškas į Eq. \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(a^2)=1 lygiakraštę hiperbolę ir atvesdami panašius terminus, gauname
\frac(\frac(1)(2)(x"+y")^2)(a^2)-\frac(\frac(1)(2)(y"-x")^2)(a ^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftright arrow \quad y"=\frac(a^2)(2\cdot x").
3. Koordinačių ašys (kanoninės koordinačių sistemos) yra hiperbolės simetrijos ašys (vadinamos pagrindinėmis hiperbolės ašimis), o jos centras yra simetrijos centras.
Iš tiesų, jei taškas M(x,y) priklauso hiperbolei . tada taškai M"(x,y) ir M""(-x,y), simetriški taškui M koordinačių ašių atžvilgiu, taip pat priklauso tai pačiai hiperbolei.
Simetrijos ašis, kurioje yra hiperbolės židiniai, yra židinio ašis.
4. Iš hiperbolės lygties polinėmis koordinatėmis r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(žr. 3.41 pav., b) išsiaiškinta geometrinė židinio parametro reikšmė – tai pusė hiperbolės stygos, einančios per jos židinį statmenai židinio ašiai, ilgio ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).
5. Ekscentriškumas e apibūdina hiperbolės formą. Kuo e didesnis, tuo hiperbolės šakos platesnės ir kuo e arčiau vienos, tuo hiperbolės šakos siauresnės (3.43 pav., a).
Iš tiesų, kampo tarp hiperbolės, kurioje yra jos šaka, asimptočių reikšmė \gama nustatoma pagal pagrindinio stačiakampio kraštinių santykį: \operatoriaus vardas(tg)\frac(\gamma)(2)=\frac(b)(2). Atsižvelgiant į tai, kad e=\frac(c)(a) ir c^2=a^2+b^2 , gauname
E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2+b^2)(a^2)=1+(\left(\frac(b)(a)\right )\^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}. !}
Kuo didesnis e, tuo didesnis kampas \gama. Lygiakraščiai hiperbolei (a=b) turime e=\sqrt(2) ir \gamma=\frac(\pi)(2). e>\sqrt(2) kampas \gamma yra bukas, o 1 6. Dvi hiperbolės, apibrėžtos toje pačioje koordinačių sistemoje lygtimis \frac(x^2)(a^2)-\frac(y^2)(b^2)=1 ir yra vadinami susieti vienas su kitu. Konjuguotos hiperbolės turi tuos pačius asimptotus (3.43b pav.). Konjuguotos hiperbolės lygtis -\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 pervardijant koordinačių ašis (3.38) redukuojama į kanoninę. 7. Lygtis \frac((x-x_0)^2)(a^2)-\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 apibrėžia hiperbolę, kurios centras yra taške O"(x_0,y_0), kurios ašys lygiagrečios koordinačių ašims (3.43 pav., c). Ši lygtis, naudojant lygiagretųjį vertimą, redukuojama į kanoninę (3.36). Lygtis -\frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1 apibrėžia konjuguotą hiperbolę, kurios centras yra taške O"(x_0,y_0) . Hiperbolės parametrinė lygtis kanoninėje koordinačių sistemoje turi formą \begin(cases)x=a\cdot\operatoriausvardas(ch)t,\\y=b\cdot\operatoriaus vardas(sh)t,\end(cases)t\in\mathbb(R), Kur \operatoriaus vardas(ch)t=\frac(e^t+e^(-t))(2)- hiperbolinis kosinusas, a \operatoriaus vardas(sh)t=\frac(e^t-e^(-t))(2) hiperbolinis sinusas. Iš tiesų, pakeitę koordinačių išraiškas į lygtį (3.50), gauname pagrindinę hiperbolinę tapatybę \operatoriaus vardas(ch)^2t-\operatoriaus vardas(sh)^2t=1. 3.21 pavyzdys. Nubrėžkite hiperbolę \frac(x^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 kanoninėje koordinačių sistemoje Oxy. Raskite pusiau ašis, židinio nuotolį, ekscentriškumą, židinio parametrą, asimptotų ir krypčių lygtis. Sprendimas. Palyginę pateiktą lygtį su kanonine, nustatome pusašius: a=2 - tikroji pusašis, b=3 - įsivaizduojama hiperbolės pusašis. Statome pagrindinį stačiakampį, kurio kraštinės yra 2a=4,~2b=6, kurio centras yra ištakoje (3.44 pav.). Asimptotes braižome išplėsdami pagrindinio stačiakampio įstrižaines. Sukonstruojame hiperbolę, atsižvelgdami į jos simetriją koordinačių ašių atžvilgiu. Jei reikia, nustatykite kai kurių hiperbolės taškų koordinates. Pavyzdžiui, pakeitę x=4 į hiperbolės lygtį, gauname \frac(4^2)(2^2)-\frac(y^2)(3^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt (3). Todėl taškai su koordinatėmis (4;3\sqrt(3)) ir (4;-3\sqrt(3)) priklauso hiperbolei. Židinio nuotolio apskaičiavimas 2\cdot c=2\cdot\sqrt(a^2+b^2)=2\cdot\sqrt(2^2+3^2)=2\sqrt(13) ekscentriškumas e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(13))(2); židinio parametras p=\frac(b^2)(a)=\frac(3^2)(2)=4,\!5. Sudarome asimptočių lygtis y=\pm\frac(b)(a)\,x, tai yra y=\pm\frac(3)(2)\,x, ir krypties lygtis: x=\pm\frac(a^2)(c)=\frac(4)(\sqrt(13)). Matematikoje dažnai tenka kurti įvairius grafikus. Tačiau tai nėra lengva kiekvienam studentui. Bet ką mes galime pasakyti apie moksleivius, jei ne kiekvienas suaugęs supranta, kaip tai padaryti? Nors atrodo, kad tai yra matematikos pagrindai, o kuriant grafiką nėra nieko sudėtingo, svarbiausia yra tiesiog suprasti algoritmą. Šiame straipsnyje sužinosite, kaip sukurti hiperbolę. Norint sukurti bet kurį grafą, pirmiausia reikia sukurti stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą. Ko tam reikia: Abscisės ir ordinatės susikirtimo taškas yra koordinačių pradžia, tai yra skaičius 0. Iš čia pavaizduosime visas X ir Y reikšmes. Žemiau esančiame paveikslėlyje aiškiai matote gautą koordinačių sistemą. Taip pat matome, kad stačiakampė koordinačių sistema padalija plokštumą į 4 dalis. Jie vadinami ketvirčiais ir numeruojami prieš laikrodžio rodyklę, kaip parodyta paveikslėlyje: Norėdami sukurti bet kokį grafiką, jums reikia taškų. Kiekvienas koordinačių plokštumos taškas yra apibrėžtas skaičių pora (x;y). Šie skaičiai vadinami taško koordinatėmis, kur: Dabar, kai žinome, kaip sudaryti koordinačių sistemą, galime pereiti tiesiai prie grafiko sudarymo. Hiperbolė yra funkcijos grafikas, pateiktas formule y=k/x, kur Hiperbolė susideda iš 2 dalių, kurios yra simetriškai skirtinguose ketvirčiuose. Jie vadinami hiperbolės šakomis. Jei k>0, tai atšakas statome 1 ir 3 ketvirčiuose, bet jei k<0, тогда – во 2 и 4. Norėdami sukurti hiperbolę, kaip pavyzdį paimkime funkciją, pateiktą formule y=3/x. Apibrėžimas
. Hiperbolė yra taškų lokusas, kurio skirtumas nuo kiekvieno iš dviejų nurodytų taškų, vadinamų židiniais, yra pastovi reikšmė Paimkime koordinačių sistemą, kad židiniai būtų ant abscisių ašies, o koordinačių pradžia padalintų atkarpą F 1 F 2 per pusę (30 pav.). Pažymėkime F 1 F 2 = 2c. Tada F1 (c; 0); F 2 (-c; 0) MF 2 = r 2, MF 1 = r 1 – hiperbolės židinio spinduliai. Pagal hiperbolės apibrėžimą r 1 – r 2 = konst. Pažymėkime 2a Tada r 2 - r 1 = ±2a, taigi: Kadangi hiperbolės x ir y lygtis yra lyginių laipsnių, tai jei taškas M 0 (x 0; y 0) yra ant hiperbolės, tada taškai M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x) 0) taip pat guli ant jo -y 0) M 3 (-x 0; -y 0). Todėl hiperbolė yra simetriška abiem koordinačių ašims. Kai y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Hiperbolės viršūnės bus taškai A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0). 1) kada 2) jei x = a; y = 0 A 1 (a; 0) priklauso hiperbolei 3) jei x > a; y > 0. Be to, neribotai padidėjus x, hiperbolės šaka eina į begalybę. Iš to išplaukia, kad hiperbolė yra kreivė, susidedanti iš dviejų begalinių šakų. Panagrinėkime kartu su lygtimi KAM Mes rasime Taigi, jei taškas M, judantis išilgai hiperbolės pirmajame ketvirtyje, tolsta iki begalybės, tada jo atstumas nuo tiesės Dėl simetrijos tiesi linija turi tą pačią savybę Apibrėžimas. Tiesiai į kurį at
IR Hiperbolės asimptotės yra išilgai stačiakampio, kurio viena kraštinė lygiagreti x ašiai ir lygi 2a, o kita lygiagreti oy ašiai ir lygi 2b, o centras yra lygiagrečiai x ašiai. koordinačių pradžia (32 pav.). r 2 – r 1 = ± 2a + ženklas reiškia dešinę hiperbolės šaką ženklas – nurodo kairiąją hiperbolės šaką Apibrėžimas.
Hiperbolės ekscentriškumas yra atstumo tarp šios hiperbolės židinių ir atstumo tarp jos viršūnių santykis. Hiperbolės židinio spindulius išreikškime ekscentriškumu: Apibrėžimas
. Pavadinkime tiesias linijas
T APIE Norėdami sudaryti parabolės lygtį, kaip x ašį laikome tiesią liniją, einančią per židinį F 1, statmeną krypčiai, ir darome prielaidą, kad x ašis nukreipta iš krypties į židinį. Koordinačių pradžiai imame atkarpos vidurį O nuo taško F iki šios tiesės, kurios ilgį žymime p (34 pav.). Reikšmę p vadinsime parabolės parametru. Fokusavimo koordinačių taškas Tegul M (x, y) yra savavališkas parabolės taškas. Pagal apibrėžimą adresu 2
= 2рх – kanoninė parabolės lygtis Norėdami nustatyti parabolės tipą, transformuojame jos lygtį U X Parabolė turi vieną simetrijos ašį. Jei x yra pirmajam laipsniui, o y yra antrajam, tada simetrijos ašis yra x. Jei x yra antras laipsnis, o y yra pirmasis laipsnis, tada simetrijos ašis yra y ašis. 1 pastaba.
Parabolės krypties lygtis turi formą
2 pastaba.
Kadangi už parabolę
Klasė 10
.
Antros eilės kreivės. 10.1. Elipsė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, grafikas. 10.2. Hiperbolė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, asimptotės, grafikas. 10.3. Parabolė. Kanoninė lygtis. Parabolės parametras, grafikas. Antrosios eilės kreivės plokštumoje yra linijos, kurių numanomas apibrėžimas turi tokią formą: Kur 10.1. Elipsė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, grafikas. Elipsės apibrėžimas.Elipsė yra plokštumos kreivė, kurios atstumų suma nuo dviejų fiksuotų taškų Kanoninė elipsės lygtis: Jei elipsė pateikiama pagal (2) lygtį, tai elipsės židiniai randami taip. 1) Pirmiausia nustatome, kur yra židiniai: židiniai yra koordinačių ašyje, kurioje yra pagrindinės pusašys. 2) Tada apskaičiuojamas židinio nuotolis At At Ekscentriškumas elipsė vadinama kiekiu: Visada elipsė Ekscentriškumas yra elipsės suspaudimo charakteristika. , tada gautos elipsės lygtis turi formą 10.2. Hiperbolė. Kanoninė lygtis. Pusašys, ekscentriškumas, asimptotės, grafikas.Hiperbolės apibrėžimas. vadinami hiperbolės židiniais.: arba hiperbolės pusiau ašys Hiperbolės židiniai randami taip. Hiperbolės židiniai randami taip. (2.b pav.) Ekscentriškumas- židinio nuotolis (atstumas nuo židinio iki pradžios). Jis apskaičiuojamas pagal formulę: (Dėl Hiperbolė visada turi Hiperbolių asimptotės . Abi hiperbolės šakos didėja be apribojimų artėja prie asimptotų į asimptotus (2 pav.). , tada gautų hiperbolių lygtis bus parašyta forma 10.3. Parabolė. Kanoninė lygtis. Parabolės parametras, grafikas.Parabolės apibrėžimas. (vadinamas parabolės krypčiais): Kur parabolės. Ir , kurios ašys, palyginti su parabole (4), , o simetrijos ašis išliks lygiagreti ašiai , tada gautos parabolės lygtis turi formą Pereikime prie pavyzdžių. . Antrosios eilės kreivė pateikiama lygtimi Raskime gudrybių. židiniai turi koordinates. 2 pavyzdys . Nurodykite antros eilės kreivės pavadinimą ir pateikite jos grafiką. Sprendimas. Pasirinkime tobulus kvadratus pagal terminus, kuriuose yra kintamųjų Dabar kreivės lygtį galima perrašyti taip: . Gauta informacija leidžia nubraižyti jos grafiką. 3 pavyzdys . Nurodykite linijos pavadinimą ir grafiką Sprendimas. . , darome išvadą: duotoji lygtis nustato plokštumoje apatinė elipsės pusė (5 pav.). . Raskite jo židinius, ekscentriškumą. Pateikite šios kreivės grafiką. - kanoninė hiperbolės su pusiau ašimis lygtis :. Hiperbolės šakos yra aukščiau ir žemiau ašies - hiperbolės ekscentriškumas. Hiperbolės asimptotės:. ir suplanuoti. Hiperbolę geriau braižyti pagalbinėje koordinačių sistemoje, gautas iš koordinačių sistemos pamaina , tada paryškinta linija paryškinkite norimą hiperbolės dalį 6 pavyzdys , iš kurio aišku, kad tai yra parabolės parametras. Fokusas. parabolės sistemoje , ir sistemoje 3. Nubraižykite paraboles, pateiktas lygtimis: 4. Lygtis Apibrėžimas. Hiperbolė yra taškų lokusas plokštumoje, kiekvieno iš jų atstumų nuo dviejų nurodytų šios plokštumos taškų, vadinamų y židiniais, skirtumo absoliuti reikšmė yra pastovi, jei ši reikšmė nėra; nulis ir yra mažesnis už atstumą tarp židinių. Atstumą tarp židinių pažymėkime pastovia reikšme, lygia atstumų nuo kiekvieno hiperbolės taško iki židinio skirtumo moduliui (pagal sąlygą ). Kaip ir elipsės atveju, per židinius nubrėžiame abscisių ašį, o atkarpos vidurį laikome koordinačių pradžia (žr. 44 pav.). Tokios sistemos židiniai turės koordinates. Išvedame hiperbolės lygtį pasirinktoje koordinačių sistemoje. Pagal hiperbolės apibrėžimą, bet kuriame jos taške turime arba Bet . Todėl gauname Atlikę supaprastinimus, panašius į tuos, kurie buvo atlikti išvedant elipsės lygtį, gauname tokią lygtį: kuri yra (33) lygties pasekmė. Nesunku pastebėti, kad ši lygtis sutampa su (27) lygtimi, gauta elipsei. Tačiau (34) lygtyje skirtumas yra , nes hiperbolei . Todėl įdedame Tada (34) lygtis redukuojama į tokią formą: Ši lygtis vadinama kanonine hiperbolės lygtimi. Lygtį (36), kaip (33) lygties pasekmę, tenkina bet kurio hiperbolės taško koordinatės. Galima parodyti, kad taškų, kurie nėra ant hiperbolės, koordinatės netenkina (36) lygties. Nustatykime hiperbolės formą naudodami kanoninę lygtį. Šioje lygtyje yra tik lygiosios dabartinių koordinačių laipsniai. Vadinasi, hiperbolė turi dvi simetrijos ašis, kurios šiuo atveju sutampa su koordinačių ašimis. Toliau hiperbolės simetrijos ašis vadinsime hiperbolės ašimis, o jų susikirtimo tašką – hiperbolės centru. Hiperbolės, kurioje yra židiniai, ašis vadinama židinio ašimi. Panagrinėkime pirmojo ketvirčio hiperbolės formą, kur Čia, nes kitu atveju y imtų įsivaizduojamas vertybes. Kai x didėja nuo a iki, jis didėja nuo 0 iki hiperbolės, esančios pirmajame ketvirtyje, lankas, parodytas Fig. 47. Kadangi hiperbolė yra simetriškai koordinačių ašių atžvilgiu, ši kreivė turi tokią formą, kaip parodyta Fig. 47. Hiperbolės susikirtimo taškai su židinio ašimi vadinami jos viršūnėmis. Darant prielaidą, kad lygtyje yra hiperbolių, randame jos viršūnių abscises: . Taigi hiperbolė turi dvi viršūnes: . Hiperbolė nesikerta su ordinačių ašimi. Tiesą sakant, į lygtį įtraukę hiperboles, gauname įsivaizduojamas y vertes: . Todėl hiperbolės židinio ašis vadinama tikrąja ašimi, o simetrijos ašis, statmena židinio ašiai, – įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Tikroji ašis dar vadinama atkarpa, jungiančia hiperbolės viršūnes, o jos ilgis lygus 2a. Taškus jungianti atkarpa (žr. 47 pav.), taip pat jos ilgis vadinama įsivaizduojama hiperbolės ašimi. Skaičiai a ir b atitinkamai vadinami tikrosiomis ir įsivaizduojamomis hiperbolės pusašimis. Dabar panagrinėkime hiperbolę, esančią pirmajame ketvirtyje ir kuri yra funkcijos grafikas Parodykime, kad šio grafiko taškai, esantys pakankamai dideliu atstumu nuo koordinačių pradžios, yra savavališkai arti tiesės einančios per pradžią ir turinčios kampinį koeficientą Šiuo tikslu apsvarstykite du taškus, turinčius tą pačią abscisę ir atitinkamai gulinčius ant kreivės (37) ir tiesės (38) (48 pav.), ir apskaičiuokite skirtumą tarp šių taškų ordinačių. Šios trupmenos skaitiklis yra pastovi reikšmė, o vardiklis neribotai didėja neribotai. Todėl skirtumas linkęs į nulį, ty taškai M ir N suartėja neribotą laiką, nes abscisė neribotai didėja. Iš hiperbolės simetrijos koordinačių ašių atžvilgiu išplaukia, kad yra dar viena tiesė, prie kurios hiperbolės taškai yra savavališkai arti neribotu atstumu nuo pradžios. Tiesioginis vadinami hiperbolės asimptotais. Fig. 49 parodyta santykinė hiperbolės ir jos asimptotų padėtis. Šiame paveikslėlyje taip pat parodyta, kaip sudaryti hiperbolės asimptotes. Norėdami tai padaryti, sukonstruokite stačiakampį, kurio centras yra pradžioje, o kraštinės lygiagrečios ašims ir atitinkamai lygios . Šis stačiakampis vadinamas pagrindiniu stačiakampiu. Kiekviena jos įstrižainė, neribotai pratęsta į abi puses, yra hiperbolės asimptotas. Prieš konstruojant hiperbolę, rekomenduojama sukonstruoti jos asimptotes. Pusės atstumo tarp židinių ir tikrosios hiperbolės pusašies santykis vadinamas hiperbolės ekscentriškumu ir paprastai žymimas raide: Kadangi hiperbolei hiperbolės ekscentriškumas yra didesnis už vieną: Ekscentriškumas apibūdina hiperbolės formą Iš tikrųjų iš (35) formulės išplaukia, kad . Iš to aišku, kad kuo mažesnis hiperbolės ekscentriškumas, tuo mažesnis jo pusašių santykis. Tačiau santykis lemia pagrindinio hiperbolės stačiakampio formą, taigi ir pačios hiperbolės formą. Kuo mažesnis hiperbolės ekscentriškumas, tuo pailgesnis jos pagrindinis stačiakampis (židinio ašies kryptimi).Parametrinės hiperbolės lygtis
Norėdami atlikti skaičiavimus, turite įjungti ActiveX valdiklius!
Sukurti koordinačių sistemą
Hiperbolės kūrimas
Kaip jau matėte, sukurti hiperbolę nėra taip sunku. Jums tereikia suprasti principą ir laikytis veiksmų sekos. Vadovaudamiesi mūsų patarimais ir rekomendacijomis nesunkiai sukursite ne tik hiperbolę, bet ir daugybę kitų grafikų. Išbandykite, praktikuokite ir jums tikrai pavyks!
=>
kanoninė hiperbolės lygtis
. Dėl simetrijos tyrimus atliekame pirmąjį ketvirtį 
y turi įsivaizduojamą reikšmę, todėl hiperbolės taškai su abscisėmis 
neegzistuojaP 6. Hiperbolės asimptotės
tiesės lygtis 
kreivė bus žemiau tiesės (31 pav.). Apsvarstykite taškus N (x, Y) ir M (x, y), kurių abscisės yra vienodos, o Y - y = MN. Apsvarstykite atkarpos MN ilgį
mažėja ir linksta į nulį.
.
Kreivė artėja neribotą laiką ir vadinama asimptotais.
taigi, hiperbolės asimptotų lygtis 
.P 7. Hiperbolės ekscentriškumas ir kryptys
. Kadangi c > a, ε > 1
, statmena hiperbolės židinio ašiai ir esanti per atstumąnuo jo centro dešinįjį ir kairįjį židinius atitinkančių hiperbolių krypčių.
kaip dėl hiperbolės 
todėl hiperbolės kryptys yra tarp jos viršūnių (33 pav.). Parodykime, kad bet kurio hiperbolės taško atstumų santykis su židiniu ir atitinkama kryptis yra pastovi reikšmė ir lygi ε.
P. 8 Parabolė ir jos lygtis
apibrėžimas.
Parabolė yra taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo tam tikro taško, vadinamo židiniu, ir nuo nurodytos linijos, vadinamos krypties tašku.
.
iš čia išplaukia. Todėl parabolės viršūnė yra pradžioje, o parabolės simetrijos ašis yra oh. Lygtis y 2 = -2px su teigiamu p redukuojama į lygtį y 2 = 2px, pakeitus x į –x ir jos grafikas atrodo taip (35 pav.).
Lygtis x2 = 2py yra lygtis parabolės, kurios viršūnė yra taške O (0; 0), kurios šakos nukreiptos į viršų.
2 = -2ру – y ašiai simetriškos parabolės, kurios centras yra pradžioje, lygtis, kurios šakos nukreiptos žemyn (36 pav.).
.
, Taiε
parabolė lygi 1.ε
= 1
.
- pateikti tikrieji skaičiai, 
- kreivės taškų koordinates. Svarbiausios antros eilės kreivių linijos yra elipsė, hiperbolė ir parabolė.
lėktuvu į bet kurį tašką 
(tie.). Taškai 
vadinami elipsės židiniais.
.
(2)
(arba ašis 
) eina per gudrybes 
, o esmė yra kilmė 
- yra segmento centre 
(1 pav.). Elipsė (2) yra simetriška koordinačių ašių ir pradžios (elipsės centro) atžvilgiu. Nuolatinis 
,
yra vadinami elipsės pusiau ašys.
(atstumas nuo židinio iki kilmės).
židiniai guli ant ašies 
;
;
.
židiniai guli ant ašies 
;
;
.
(at 
);
(at 
).
.
,
Jei elipsė (2) perkeliama taip, kad elipsės centras patektų į tašką
.
lėktuvu į bet kurį tašką 
Hiperbolė yra plokštumos kreivė, kurioje atstumų nuo dviejų fiksuotų taškų skirtumo absoliuti vertė yra 
(tie.). ši kreivė turi pastovią vertę, nepriklausomą nuo taško 
Taškai
Kanoninė hiperbolės lygtis 
.
(3)
(arba ašis 
) eina per gudrybes 
, o esmė yra kilmė 
- yra segmento centre 
. 
,
yra vadinami Hiperbolės (3) yra simetriškos koordinačių ašims ir pradžiai. Nuolatinis.
židiniai guli ant ašies 
:
Prie hiperbolės
židiniai guli ant ašies 
:
(2.a pav.).
Čia 
.
hiperbolė yra kiekis: 
);
hiperbolė yra kiekis: 
).
.
(3) yra dvi tiesios linijos: 
.
Hiperbolinės grafikos konstravimas turėtų būti atliekamas taip: pirmiausia išilgai pusiau ašių 
statome pagalbinį stačiakampį, kurio kraštinės lygiagrečios koordinačių ašims; tada per priešingas šio stačiakampio viršūnes nubrėžkite tiesias linijas, tai yra hiperbolės asimptotės; galiausiai pavaizduojame hiperbolės šakas, kurios liečia atitinkamų pagalbinio stačiakampio kraštinių vidurio taškus ir augant artėja
Jei hiperbolės (3) perkeliamos taip, kad jų centras patektų į tašką 
,
, o pusiau ašys liks lygiagrečios ašims
,
.
Parabolė yra plokštumos kreivė, kurios bet kuriame taške 
ši kreivė yra atstumas nuo 
iki fiksuoto taško 
plokštuma (vadinama parabolės židiniu) yra lygi atstumui nuo iki fiksuotos tiesios linijos plokštumoje .
,
(4)
Kanoninė parabolės lygtis - vadinama konstanta parametras
Taškas 
parabolė (4) vadinama parabolės viršūne. Ašis 
yra simetrijos ašis. Parabolės (4) židinys yra taške 
, krypties lygtis 
. 
Paraboliniai grafikai (4) su reikšmėmis
yra parodytos fig. 3.a ir 3.b atitinkamai. 
Lygtis 
,
taip pat apibrėžia parabolę plokštumoje
apsikeitė vietomis. 
Jei parabolė (4) perkeliama taip, kad jos viršūnė patektų į tašką
.
1 pavyzdys 
.
. Suteikite šiai kreivei pavadinimą. Raskite jo židinius ir ekscentriškumą. Nubrėžkite kreivę ir jos židinius plokštumoje 
Sprendimas. Ši kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške 
ir ašių velenus 
. Tai galima lengvai patikrinti pakeitus 
. Ši transformacija reiškia perėjimą nuo nurodytos Dekarto koordinačių sistemos 
į naują Dekarto koordinačių sistemą 
,
, kurio ašis 
lygiagrečiai ašims 
. 
kreivės lygtis paverčiama kanonine elipsės lygtimi 
, jo grafikas parodytas fig. 4.
, taigi gudrybės 
elipsė, esanti ašyje 
.. Koordinačių sistemoje 
:
. 
Nes 
, senojoje koordinačių sistemoje
. 
.
. Suteikite šiai kreivei pavadinimą. Raskite jo židinius ir ekscentriškumą. Nubrėžkite kreivę ir jos židinius plokštumoje 
Todėl kreivė yra elipsė, kurios centras yra taške
.
. Suteikite šiai kreivei pavadinimą. Raskite jo židinius ir ekscentriškumą. Nubrėžkite kreivę ir jos židinius plokštumoje 
.
Tai yra kanoninė elipsės, kurios centras yra taške, lygtis 
Nuo
4 pavyzdys
. Nurodykite antrosios eilės kreivės pavadinimą 
.
, taigi gudrybės 
Židinio nuotolis. 
Minuso ženklas yra prieš terminą su 
.
ant ašies guli hiperbolės
Šios hiperbolės grafiko konstravimas atliekamas aukščiau aprašyta tvarka: statome pagalbinį stačiakampį, nubrėžiame hiperbolės asimptotes, nubraižome hiperbolės šakas (žr. 2.b pav.).
5 pavyzdys 
. Išsiaiškinkite lygties pateiktos kreivės tipą
- hiperbolė su centru taške 
ir ašių velenus. 
Nes , darome išvadą: pateikta lygtis nustato tą hiperbolės dalį, kuri yra į dešinę nuo tiesės 
.
:
. Išsiaiškinkite kreivės tipą ir nubrėžkite jos grafiką. 
Sprendimas. Pasirinkime visą kvadratą pagal terminus su kintamuoju 
Perrašykime kreivės lygtį. 
Tai parabolės, kurios viršūnė yra taške, lygtis 
. 
Naudojant poslinkio transformaciją, parabolės lygtis perkeliama į kanoninę formą
turi koordinates
Raskite jų pusiau ašis, židinio nuotolį, ekscentriškumą ir hiperbolinėse diagramose nurodykite jų židinių vietas. Parašykite pateiktų hiperbolių asimptočių lygtis.
. Raskite jų parametrą, židinio nuotolį ir parabolinėse diagramose nurodykite židinio vietą.
apibrėžia 2 eilės kreivės dalį. Raskite šios kreivės kanoninę lygtį, užrašykite jos pavadinimą, nubraižykite jos grafiką ir pažymėkite joje tą kreivės dalį, kuri atitinka pradinę lygtį.
