Įranga:

• kompiuteris,
• multimedijos projektorius,
• ekranas,
• 1 priedas(„PowerPoint“ skaidrių pristatymas) „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“
• 2 priedas(Spręskite lygtį, pvz., „Trys skirtingos galių bazės“ programoje „Word“)
• 3 priedas(dalomoji medžiaga Word programoje praktiniam darbui).
• 4 priedas(namų darbams skirta dalomoji medžiaga Word programoje).

Pamokos eiga

1. Organizacinis etapas

• pamokos temos žinutė (užrašyta lentoje),
• bendros pamokos poreikis 10-11 klasėms:

Mokinių rengimo aktyviam mokymuisi etapas

Kartojimas

Apibrėžimas.

Eksponentinė lygtis yra lygtis, turinti kintamąjį su eksponentu (studentas atsako).

Mokytojo pastaba. Eksponentinės lygtys priklauso transcendentinių lygčių klasei. Šis neištariamas pavadinimas rodo, kad tokių lygčių, paprastai tariant, negalima išspręsti formulių pavidalu.

Jas galima išspręsti tik apytiksliai skaitiniais metodais kompiuteriuose. Bet kaip su egzamino užduotimis? Apgaulė ta, kad egzaminuotojas suformuluoja problemą taip, kad būtų galima analitinį sprendimą. Kitaip tariant, galite (ir turėtumėte!) atlikti identiškas transformacijas, kurios sumažina šią eksponentinę lygtį iki paprasčiausios eksponentinės lygties. Ši paprasčiausia lygtis vadinama: paprasčiausia eksponentinė lygtis. Tai sprendžiama pagal logaritmą.

Situacija sprendžiant eksponentinę lygtį primena kelionę labirintu, kurį specialiai sugalvojo problemos autorius. Iš šių labai bendrų argumentų seka labai konkrečios rekomendacijos.

Norėdami sėkmingai išspręsti eksponentines lygtis, turite:

1. Ne tik aktyviai žinokite visas eksponentines tapatybes, bet ir suraskite kintamųjų reikšmių rinkinius, ant kurių apibrėžiamos šios tapatybės, kad naudodami šias tapatybes neįgytumėte nereikalingų šaknų, o tuo labiau neprarastumėte sprendimų prie lygties.

2. Aktyviai žinoti visas eksponentines tapatybes.

3. Aiškiai, detaliai ir be klaidų atlikti matematines lygčių transformacijas (perkelti terminus iš vienos lygties dalies į kitą, nepamirštant pakeisti ženklo, suvesti trupmenas į bendrą vardiklį ir pan.). Tai vadinama matematine kultūra. Tuo pačiu metu patys skaičiavimai turėtų būti atliekami automatiškai rankomis, o galva turėtų galvoti apie bendrą sprendimo kreipiamąją giją. Transformacijos turi būti atliekamos kuo kruopščiau ir detaliau. Tik tai garantuos teisingą, be klaidų sprendimą. Ir atminkite: maža aritmetinė klaida gali tiesiog sukurti transcendentinę lygtį, kurios iš principo analitiškai išspręsti neįmanoma. Pasirodo, pasiklydote ir atsitrenkėte į labirinto sieną.

4. Žinoti problemų sprendimo būdus (tai yra žinoti visus sprendimo labirinto kelius). Norėdami teisingai naršyti kiekviename etape, turėsite (sąmoningai arba intuityviai!):

• apibrėžti lygties tipas;
• prisiminti atitinkamą tipą sprendimo metodas užduotis.

Studijuojamos medžiagos apibendrinimo ir sisteminimo etapas.

Mokytojas kartu su mokiniais kompiuteriu apžvelgia visų tipų eksponenlines lygtis ir jų sprendimo būdus bei sudaro bendrą schemą. (Naudojama L.Ya. Borevskio mokomoji kompiuterinė programa „Matematikos kursas – 2000“, PowerPoint pristatymo autorė T.N. Kupcova.)

Ryžiai. 1. Paveiksle parodyta bendra visų tipų eksponentinių lygčių diagrama.

Kaip matyti iš šios diagramos, eksponentinių lygčių sprendimo strategija yra redukuoti duotą eksponentinę lygtį į lygtį, pirmiausia, su tais pačiais laipsnių pagrindais , o tada – ir su tais pačiais laipsnio rodikliais.

Gavę lygtį su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, jūs pakeisite šį rodiklį nauju kintamuoju ir gausite paprastą algebrinę lygtį (dažniausiai trupmeninę-racionalinę arba kvadratinę) šio naujo kintamojo atžvilgiu.

Išsprendę šią lygtį ir atlikę atvirkštinį pakeitimą, gausite paprastų eksponentinių lygčių rinkinį, kurį galima išspręsti bendra forma naudojant logaritmus.

Išsiskiria lygtys, kuriose randami tik (dalinių) laipsnių sandaugai. Naudojant eksponentinę tapatybę, šias lygtis galima iš karto sumažinti iki vieno pagrindo, ypač iki paprasčiausios eksponentinės lygties.

Pažiūrėkime, kaip išspręsti eksponentinę lygtį su trimis skirtingais pagrindais.

(Jei mokytojas turi L.Ya. Borevsky mokymo kompiuterinę programą „Matematikos kursas - 2000“, tada natūraliai dirbame su disku, jei ne, galite iš jo atspausdinti tokio tipo lygtį kiekvienam stalui, pateikta žemiau.)

Ryžiai. 2. Lygties sprendimo planas.

Ryžiai. 3. Pradėkite spręsti lygtį

Ryžiai. 4. Baigti spręsti lygtį.

Dirba praktinius darbus

Nustatykite lygties tipą ir išspręskite.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Apibendrinant pamoką

Įvertinimas pamokai.

Pamokos pabaiga

Dėl mokytojo

Praktikuokite atsakymų schemą.

Pratimas: iš lygčių sąrašo pasirinkite nurodyto tipo lygtis (įveskite atsakymo numerį lentelėje):

1. Trys skirtingos laipsnių bazės
2. Dvi skirtingos bazės – skirtingi eksponentai
3. Galių bazės – vieno skaičiaus laipsniai
4. Tos pačios bazės – skirtingi eksponentai
5. Tie patys laipsnių pagrindai – tie patys laipsnių rodikliai
6. Galių produktas
7. Dvi skirtingos laipsnių bazės – tie patys rodikliai
8. Paprasčiausios eksponentinės lygtys

1. (jėgų sandauga)

2. (tos pačios bazės – skirtingi eksponentai)

Pradinis lygis

Eksponentinės lygtys. „The Ultimate Guide“ (2019 m.)

Sveiki! Šiandien su jumis aptarsime, kaip išspręsti lygtis, kurios gali būti tiek elementarios (ir tikiuosi, kad perskaičius šį straipsnį beveik visos tokios bus jums), ir tas, kurios paprastai pateikiamos „užpildymui“. Matyt, kad pagaliau užmigtų. Bet aš pasistengsiu padaryti viską, kas įmanoma, kad dabar jūs nepatektumėte į bėdą susidūrę su tokio tipo lygtimis. Nebeplaksiu, bet iš karto išduosiu mažą paslaptį: šiandien mes mokysimės eksponentinės lygtys.

Prieš pradėdamas analizuoti jų sprendimo būdus, iš karto pateiksiu jums keletą klausimų (gana nedidelių), kuriuos turėtumėte pakartoti prieš imdami pulti šią temą. Taigi, norėdami geriausių rezultatų, prašau kartoti:

1. Savybės ir
2. Sprendimas ir lygtys

Pasikartojo? Nuostabu! Tada jums nebus sunku pastebėti, kad lygties šaknis yra skaičius. Ar tu tiksliai supranti, kaip aš tai padariau? Ar tai tiesa? Tada tęskime. Dabar atsakykite į mano klausimą, kas yra lygus trečiajai galiai? Tu visiškai teisus: . Kokia dviejų galia yra aštuoni? Teisingai – trečias! Nes. Na, o dabar pabandykime išspręsti šią problemą: Leiskite man vieną kartą padauginti skaičių iš savęs ir gauti rezultatą. Kyla klausimas, kiek kartų aš padauginau iš savęs? Žinoma, galite tai patikrinti tiesiogiai:

\begin(lygiuoti) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( lygiuoti)

Tada galite daryti išvadą, kad aš padauginau iš savęs kartų. Kaip dar galite tai patikrinti? Štai kaip: tiesiogiai pagal laipsnio apibrėžimą: . Bet, pripažink, jei paklausčiau, kiek kartų reikia du padauginti iš savęs, kad gautum, tarkime, atsakytum: aš savęs neapgausiu ir dauginsiu iš savęs, kol nepamėlsiu. Ir jis būtų visiškai teisus. Nes kaip tu gali trumpai surašykite visus veiksmus(o trumpumas yra talento sesuo)

kur – tai tie patys "laikai", kai dauginate iš savęs.

Manau, kad žinote (o jei nežinote, skubiai, labai skubiai pakartokite laipsnius!), kad tada mano problema bus parašyta tokia forma:

Kaip galite pagrįstai daryti išvadą, kad:

Taigi, nepastebėta, užsirašiau paprasčiausią eksponentinė lygtis:

Ir net radau jį šaknis. Ar nemanote, kad viskas yra visiškai nereikšminga? Manau lygiai taip pat. Štai jums dar vienas pavyzdys:

Bet ką daryti? Juk jo negalima parašyti kaip (protingo) skaičiaus laipsnio. Nenusiminkime ir pastebėkime, kad abu šie skaičiai puikiai išreiškiami to paties skaičiaus galia. Kurią? Teisingai:. Tada pradinė lygtis transformuojama į formą:

Kur, kaip jau supratote,. Daugiau nedelskime ir užsirašykime apibrėžimas:

Mūsų atveju:.

Šios lygtys išsprendžiamos redukuojant jas į formą:

po to sprendžiama lygtis

Tiesą sakant, ankstesniame pavyzdyje mes tai padarėme: gavome taip: Ir mes išsprendėme paprasčiausią lygtį.

Atrodo, nieko sudėtingo, tiesa? Pirmiausia pasitreniruokime su paprasčiausiais pavyzdžiai:

Dar kartą matome, kad dešinę ir kairę lygties puses reikia pavaizduoti kaip vieno skaičiaus laipsnius. Tiesa, kairėje tai jau padaryta, bet dešinėje yra skaičius. Bet tai gerai, nes mano lygtis stebuklingai pavirs tokia:

Ką aš čia turėjau panaudoti? Kokia taisykle? Taisyklė "laipsniai laipsniais" kuriame rašoma:

Ką daryti, jei:

Prieš atsakydami į šį klausimą, užpildykime šią lentelę:

Mums nesunku pastebėti, kad kuo mažesnė, tuo mažesnė reikšmė, tačiau nepaisant to, visos šios reikšmės yra didesnės už nulį. IR TAIP VISADA BUS!!! Ta pati savybė galioja VISIEMS PAGRINDAI SU JOKIU RODIKLIU!! (bet kuriai ir). Tada ką galime padaryti apie lygtį? Štai kas tai yra: tai neturi šaknų! Kaip ir bet kuri lygtis neturi šaknų. Dabar pasitreniruokime ir Išspręskime paprastus pavyzdžius:

Patikrinkime:

1. Čia nieko iš jūsų nereikės, išskyrus laipsnių savybių išmanymą (ką, beje, paprašiau pakartoti!) Paprastai viskas veda į mažiausią bazę: , . Tada pradinė lygtis bus lygiavertė tokiai: Viskas, ko man reikia, yra naudoti galių savybes: Dauginant skaičius su tais pačiais pagrindais, laipsniai pridedami, o dalinant – atimami. Tada gausiu: Na, dabar ramia sąžine pereisiu nuo eksponentinės lygties prie tiesinės: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(lygiuoti)

2. Antrame pavyzdyje turime būti atsargesni: bėda ta, kad kairėje pusėje mes niekaip negalime pavaizduoti to paties skaičiaus kaip laipsnio. Šiuo atveju kartais tai naudinga vaizduoja skaičius kaip laipsnių sandaugą su skirtingais pagrindais, bet tais pačiais eksponentais:

Kairioji lygties pusė atrodys taip: ką tai mums davė? Štai kas: Skaičius su skirtingais pagrindais, bet tuos pačius rodiklius galima padauginti.Šiuo atveju bazės padauginamos, tačiau indikatorius nesikeičia:

Mano situacijoje tai duos:

\begin (lygiuoti)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(lygiuoti)

Neblogai, tiesa?

3. Man nepatinka, kai be reikalo vienoje lygties pusėje turiu du terminus, o kitoje – nė vieno (kartais, žinoma, tai pateisinama, bet dabar ne toks atvejis). Perkelsiu minuso terminą į dešinę:

Dabar, kaip ir anksčiau, viską parašysiu trijų galių atžvilgiu:

Pridedu laipsnius kairėje ir gaunu lygiavertę lygtį

Galite lengvai rasti jo šaknį:

4. Kaip ir trečiame pavyzdyje, minuso terminas yra dešinėje pusėje!

Mano kairėje beveik viskas gerai, išskyrus ką? Taip, „neteisingas laipsnis“ mane trikdo. Bet aš galiu lengvai tai išspręsti parašydamas: . Eureka - kairėje visos bazės skirtingos, bet visi laipsniai vienodi! Tuoj padauginkime!

Čia vėl viskas aišku: (jei nesuprantate, kaip stebuklingai gavau paskutinę lygybę, padarykite minutės pertraukėlę, atsikvėpkite ir dar kartą labai atidžiai perskaitykite laipsnio savybes. Kas sakė, kad galite praleisti a. laipsnis su neigiamu laipsniu? Na, čia aš apie tą patį, kaip niekas). Dabar gausiu:

\begin (lygiuoti)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9) = -1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(lygiuoti)

Čia yra keletas problemų, kurias galite praktikuoti, į kurias pateiksiu tik atsakymus (bet „mišria“ forma). Išspręskite juos, patikrinkite, o jūs ir aš tęsime savo tyrimus!

Pasiruošę? Atsakymai kaip tai:

1. bet koks skaičius

Gerai, gerai, aš juokavau! Štai keletas sprendimų eskizų (kai kurie labai trumpi!)

Ar nemanote, kad neatsitiktinai viena trupmena kairėje yra kita „apversta“? Būtų nuodėmė nepasinaudoti tuo:

Ši taisyklė labai dažnai naudojama sprendžiant eksponentines lygtis, gerai atsiminkite!

Tada pradinė lygtis taps tokia:

Išspręsdami šią kvadratinę lygtį, gausite šias šaknis:

2. Kitas sprendimas: padalyti abi lygties puses kairėje (arba dešinėje) esančia išraiška. Padalinkite iš to, kas yra dešinėje, tada gaunu:

Kur (kodėl?!)

3. Net nenoriu kartotis, viskas jau tiek daug "sukramtyta".

4. ekvivalentas kvadratinei lygčiai, šaknys

5. Turite naudoti formulę, pateiktą pirmoje užduotyje, tada gausite:

Lygtis virto trivialia tapatybe, kuri tinka bet kuriam. Tada atsakymas yra bet koks tikrasis skaičius.

Na, dabar jūs išmokote spręsti paprastos eksponentinės lygtys. Dabar noriu pateikti keletą gyvenimiškų pavyzdžių, kurie padės suprasti, kam jie iš principo reikalingi. Pateiksiu du pavyzdžius. Vienas iš jų yra gana kasdienis, tačiau kitas greičiausiai bus mokslinis, o ne praktinis.

1 pavyzdys (prekybos) Tegul turi rublius, bet nori juos paversti rubliais. Bankas siūlo jums paimti šiuos pinigus iš jūsų metine norma su mėnesinių palūkanų kapitalizavimu (mėnesio kaupimas). Kyla klausimas, kiek mėnesių reikia atidaryti indėlį, kad pasiektumėte reikiamą galutinę sumą? Gana kasdieniška užduotis, ar ne? Nepaisant to, jo sprendimas yra susijęs su atitinkamos eksponentinės lygties sudarymu: Tegul - pradinė suma, - galutinė suma, - laikotarpio palūkanų norma, - laikotarpių skaičius. Tada:

Mūsų atveju (jei norma metinė, tai skaičiuojama mėnesiui). Kodėl jis padalintas į? Jei nežinote atsakymo į šį klausimą, prisiminkite temą ""! Tada gauname šią lygtį:

Šią eksponentinę lygtį jau galima išspręsti tik skaičiuotuvo pagalba (jos išvaizda tai sufleruoja, o tam reikia logaritmų išmanymo, su kuriais susipažinsime kiek vėliau), ką aš ir padarysiu: ... Taigi , norint gauti milijoną, reikės įnešti įnašą mėnesį (nelabai greitai, tiesa?).

2 pavyzdys (gana mokslinis). Nepaisant jo tam tikros „izoliacijos“, rekomenduoju atkreipti į jį dėmesį: jis reguliariai „paslysta į vieningą valstybinį egzaminą!! (problema paimta iš „tikrosios“ versijos) Radioaktyvaus izotopo skilimo metu jo masė mažėja pagal dėsnį, kur (mg) – pradinė izotopo masė, (min.) – laikas, praėjęs nuo pradinis momentas (min.) yra pusinės eliminacijos laikas. Pradiniu laiko momentu izotopo masė yra mg. Jo pusinės eliminacijos laikas yra min. Po kiek minučių izotopo masė bus lygi mg? Viskas gerai: mes tiesiog paimame ir pakeičiame visus duomenis į mums pasiūlytą formulę:

Padalinkime abi dalis „tikėdamiesi“, kad kairėje gausime ką nors virškinamo:

Na, mums labai pasisekė! Jis yra kairėje, tada pereikime prie lygiavertės lygties:

Kur yra min.

Kaip matote, eksponentinės lygtys praktiškai pritaikomos. Dabar noriu parodyti kitą (paprastą) būdą, kaip išspręsti eksponenlines lygtis, pagrįstą bendro koeficiento išėmimu iš skliaustų ir terminų grupavimu. Neišsigąskite mano žodžių, jūs jau susidūrėte su šiuo metodu 7 klasėje, kai studijavote daugianarius. Pavyzdžiui, jei reikėjo atsižvelgti į išraišką:

Sugrupuokime: pirmą ir trečią terminus, taip pat antrą ir ketvirtą. Akivaizdu, kad pirmasis ir trečiasis yra kvadratų skirtumas:

o antrasis ir ketvirtasis turi bendrą koeficientą iš trijų:

Tada pradinė išraiška yra lygiavertė šiai:

Iš kur gauti bendrą veiksnį nebėra sunku:

Vadinasi,

Apytiksliai taip darysime spręsdami eksponentines lygtis: ieškokite terminų „bendrumo“ ir išimkite jį iš skliaustų, o tada - kad ir kaip būtų, tikiu, kad mums pasiseks =)) Pavyzdžiui:

Dešinėje toli gražu nėra septynių laipsnis (patikrinau!) O kairėje - šiek tiek geriau, jūs, žinoma, galite „nupjauti“ koeficientą a nuo antrojo pirmojo termino, o tada spręsti. su tuo, ką turite, bet būkime apdairesni su jumis. Nenoriu susidurti su trupmenomis, kurios neišvengiamai susidaro „renkantis“, todėl ar neturėčiau jos išimti? Tada aš neturėsiu jokių frakcijų: kaip sakoma, vilkai pamaitinti, o avys saugios:

Apskaičiuokite išraišką skliausteliuose. Stebuklingai, stebuklingai taip išeina (keista, nors ko dar turėtume tikėtis?).

Tada šiuo koeficientu sumažiname abi lygties puses. Mes gauname: , iš.

Štai sudėtingesnis pavyzdys (tikrai gana):

Kokia problema! Mes čia neturime vieno bendro pagrindo! Nelabai aišku, ką dabar daryti. Padarykime tai, ką galime: pirma, perkelkime „keturiukus“ į vieną pusę, o „penketukus“ – į kitą:

Dabar išimkime „bendrą“ kairėje ir dešinėje:

Tai kas dabar? Kokia nauda iš tokios kvailos grupės? Iš pirmo žvilgsnio visiškai nesimato, bet pažiūrėkime giliau:

Na, o dabar įsitikinsime, kad kairėje turime tik išraišką c, o dešinėje - visa kita. Kaip tai darome? Štai kaip: pirmiausia padalykite abi lygties puses iš (taip atsikratytume eksponento dešinėje), o tada padalykite abi puses iš (taip atsikratytume skaitinio koeficiento kairėje). Galiausiai gauname:

Neįtikėtina! Kairėje pusėje turime išraišką, o dešinėje – paprastą išraišką. Tada iš karto darome tokią išvadą

Štai dar vienas pavyzdys, kurį galite sustiprinti:

Pateiksiu trumpą jo sprendimą (nevargindamas savęs paaiškinimais), pabandysiu pats suprasti visas sprendimo „subtilybes“.

Dabar apie galutinį aptrauktos medžiagos konsolidavimą. Pabandykite patys išspręsti šias problemas. Pateiksiu tik trumpas rekomendacijas ir patarimus, kaip jas išspręsti:

1. Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų: Kur:
2. Pateikime pirmąją išraišką forma: , padalinkite abi puses iš ir gaukite
3. , tada pradinė lygtis transformuojama į formą: Na, o dabar užuomina – paieškok, kur tu ir aš jau išsprendėme šią lygtį!
4. Įsivaizduokite, kaip, kaip, ah, gerai, tada padalinkite abi puses iš, kad gautumėte paprasčiausią eksponentinę lygtį.
5. Ištraukite jį iš skliaustų.
6. Ištraukite jį iš skliaustų.

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. VIDURIO LYGIS

Manau, kad perskaičius pirmąjį straipsnį, kuriame buvo kalbama apie kas yra eksponentinės lygtys ir kaip jas išspręsti, esate įvaldę būtinų minimalių žinių, reikalingų paprasčiausiems pavyzdžiams išspręsti.

Dabar pažvelgsiu į kitą eksponentinių lygčių sprendimo būdą, tai yra

„naujo kintamojo įvedimo metodas“ (arba pakeitimas). Jis sprendžia daugumą „sudėtingų“ uždavinių eksponentinių lygčių (ir ne tik lygčių) tema. Šis metodas yra vienas iš dažniausiai naudojamų praktikoje. Pirmiausia rekomenduoju susipažinti su tema.

Kaip jau supratote iš pavadinimo, šio metodo esmė yra įvesti tokį kintamojo pasikeitimą, kad jūsų eksponentinė lygtis stebuklingai virstų tokia, kurią galėsite lengvai išspręsti. Išsprendus šią labai „supaprastintą lygtį“, jums belieka atlikti „atvirkštinį pakeitimą“: tai yra, grįžti iš pakeisto į pakeistą. Iliustruojame tai, ką ką tik pasakėme, labai paprastu pavyzdžiu:

1 pavyzdys:

Ši lygtis išspręsta naudojant „paprastą pakaitalą“, kaip matematikai ją niekinamai vadina. Tiesą sakant, pakeitimas čia yra akivaizdžiausias. Reikia tik tai pamatyti

Tada pradinė lygtis pavirs tokia:

Jei papildomai įsivaizduosime, kaip, tada visiškai aišku, ką reikia pakeisti: žinoma, . Kas tada tampa pradine lygtimi? Štai kas:

Jo šaknis galite lengvai rasti patys: . Ką dabar turėtume daryti? Atėjo laikas grįžti prie pradinio kintamojo. Ką pamiršau paminėti? Būtent: pakeičiant tam tikrą laipsnį nauju kintamuoju (ty pakeičiant tipą), man bus įdomu tik teigiamos šaknys! Jūs pats galite nesunkiai atsakyti kodėl. Taigi jūs ir aš nesame suinteresuoti, bet antroji šaknis mums tinka:

Tada iš kur.

Atsakymas:

Kaip matote, ankstesniame pavyzdyje pakaitalas tiesiog prašė mūsų rankų. Deja, taip būna ne visada. Tačiau nepereikime tiesiai prie liūdnų dalykų, bet pasipraktikuokime su dar vienu pavyzdžiu su gana paprastu pakeitimu

2 pavyzdys.

Aišku, kad greičiausiai turėsime atlikti pakeitimą (tai yra mažiausia iš galių, įtrauktų į mūsų lygtį), tačiau prieš įvedant pakeitimą, mūsų lygtis turi būti tam „paruošta“, būtent: , . Tada galite pakeisti, todėl gaunu tokią išraišką:

O, siaubas: kubinė lygtis su absoliučiai baisiomis jos sprendimo formulėmis (na, kalbant bendrais bruožais). Tačiau nenusiminkim iš karto, o pagalvokime, ką turėtume daryti. Siūlysiu sukčiauti: žinome, kad norėdami gauti „gražų“ atsakymą, turime jį gauti kaip trijų galių (kodėl taip, ane?). Pabandykime atspėti bent vieną mūsų lygties šaknį (pradėsiu spėlioti laipsniais iš trijų).

Pirmas spėjimas. Ne šaknis. Deja ir ak...

.
Kairė pusė lygi.
Dešinė pusė:!
Valgyk! Atspėjo pirmą šaknį. Dabar viskas bus lengviau!

Ar žinote apie "kampo" padalijimo schemą? Žinoma, jūs naudojate jį, kai dalijate vieną skaičių iš kito. Tačiau mažai žmonių žino, kad tą patį galima padaryti ir su daugianariais. Yra viena nuostabi teorema:

Taikant mano situaciją, tai man sako, kad ji be likučio dalijasi iš. Kaip vykdomas padalijimas? Štai kaip:

Žiūriu, iš kurio monomio turėčiau padauginti, kad gaučiau Clearly, tada:

Gautą išraišką atėmiau iš, gaunu:

Iš ko man reikia padauginti, kad gaučiau? Aišku, tada gausiu:

ir vėl atimkite gautą išraišką iš likusios:

Na, paskutinis žingsnis yra padauginti iš likusios išraiškos ir atimti iš jos:

Hurray, dalyba baigėsi! Ką sukaupėme privačiai? Žinoma:.

Tada gavome tokį pradinio daugianario išplėtimą:

Išspręskime antrąją lygtį:

Jis turi šaknis:

Tada pradinė lygtis:

turi tris šaknis:

Žinoma, paskutinę šaknį atmesime, nes ji mažesnė už nulį. Pirmieji du po atvirkštinio pakeitimo suteiks mums dvi šaknis:

Atsakymas: ..

Šiuo pavyzdžiu visai nenorėjau jūsų gąsdinti, o mano tikslas buvo parodyti, kad nors turėjome gana paprastą pakeitimą, vis dėlto tai lėmė gana sudėtingą lygtį, kurios sprendimas iš mūsų pareikalavo tam tikrų įgūdžių. Na, niekas nuo to neapsaugotas. Tačiau pakeitimas šiuo atveju buvo gana akivaizdus.

Štai pavyzdys su šiek tiek mažiau akivaizdžiu pakeitimu:

Visiškai neaišku, ką turėtume daryti: problema ta, kad mūsų lygtyje yra dvi skirtingos bazės ir vienos bazės negalima gauti iš kitos, pakeliant ją į kokią nors (protingą, natūralią) galią. Vis dėlto, ką mes matome? Abi bazės skiriasi tik ženklu, o jų sandauga yra kvadratų skirtumas, lygus vienetui:

Apibrėžimas:

Taigi, mūsų pavyzdyje esantys skaičiai yra konjuguoti.

Šiuo atveju protingas žingsnis būtų padauginkite abi lygties puses iš konjuguoto skaičiaus.

Pavyzdžiui, įjungta, tada kairioji lygties pusė taps lygi, o dešinė. Jei pakeisime, mūsų pradinė lygtis taps tokia:

tada jos šaknys, ir tai atsimindami mes tai suprantame.

Atsakymas: ,.

Paprastai pakeitimo metodo pakanka daugeliui „mokyklinių“ eksponentinių lygčių išspręsti. Šios užduotys paimtos iš vieningo valstybinio egzamino C1 (padidintas sudėtingumo lygis). Jūs jau esate pakankamai raštingas, kad galėtumėte savarankiškai išspręsti šiuos pavyzdžius. Duosiu tik reikiamą pakaitalą.

1. Išspręskite lygtį:
2. Raskite lygties šaknis:
3. Išspręskite lygtį: . Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui:

O dabar keletas trumpų paaiškinimų ir atsakymų:

1. Čia mums užtenka pastebėti, kad... Tada pradinė lygtis bus lygiavertė šiai: Šią lygtį galima išspręsti pakeičiant Atlikite tolesnius skaičiavimus patys. Galų gale jūsų užduotis bus sumažinta iki paprastų trigonometrinių problemų sprendimo (priklausomai nuo sinuso ar kosinuso). Panašių pavyzdžių sprendimus apžvelgsime kituose skyriuose.
2. Čia netgi galite apsieiti be pakeitimų: tiesiog perkelkite poskyrį į dešinę ir pavaizduokite abi bazes per dviejų laipsnius: , tada eikite tiesiai į kvadratinę lygtį.
3. Trečioji lygtis taip pat išspręsta gana standartiškai: įsivaizduokime, kaip. Tada, pakeisdami, gauname kvadratinę lygtį: tada,

   Jūs jau žinote, kas yra logaritmas, tiesa? Ne? Tada skubiai perskaitykite temą!

   Pirmoji šaknis akivaizdžiai nepriklauso segmentui, bet antroji neaiški! Bet mes sužinosime labai greitai! Nuo tada (tai yra logaritmo savybė!) Palyginkime:

   Atimkite iš abiejų pusių, tada gausime:

   Kairė pusė gali būti pavaizduota taip:

   padauginkite abi puses iš:

   tada galima padauginti iš

   Tada palyginkite:

   nuo tada:

   Tada antra šaknis priklauso reikiamam intervalui

   Atsakymas:

Kaip matote, parenkant eksponentinių lygčių šaknis, reikia gana giliai išmanyti logaritmų savybes, todėl patariu būti kiek įmanoma atsargesniems sprendžiant eksponentines lygtis. Kaip suprantate, matematikoje viskas yra tarpusavyje susiję! Kaip sakė mano matematikos mokytojas: „matematika, kaip ir istorija, negali būti perskaityta per vieną naktį“.

Kaip taisyklė, visi Sunkumas sprendžiant uždavinius C1 yra būtent lygties šaknų pasirinkimas. Praktikuokime su dar vienu pavyzdžiu:

Akivaizdu, kad pati lygtis išspręsta gana paprastai. Atlikdami pakeitimą, mes sumažiname savo pradinę lygtį iki šios:

Pirmiausia pažvelkime į pirmąją šaknį. Palyginkime ir: nuo tada. (logaritminės funkcijos savybė, at). Tada aišku, kad pirmoji šaknis nepriklauso mūsų intervalui. Dabar antroji šaknis: . Tai aišku (kadangi funkcija at didėja). Belieka palyginti ir...

nuo tada, tuo pačiu metu. Tokiu būdu galiu „įvaryti kaištį“ tarp ir. Šis kaištis yra skaičius. Pirmoji išraiška mažesnė, o antroji didesnė. Tada antroji išraiška yra didesnė už pirmąją, o šaknis priklauso intervalui.

Atsakymas:.

Galiausiai pažvelkime į kitą lygties pavyzdį, kai pakeitimas yra gana nestandartinis:

Iš karto pradėkime nuo to, ką galima padaryti, o ką – iš principo galima, bet geriau to nedaryti. Viską galite įsivaizduoti per trijų, dviejų ir šešių galias. Prie ko tai prives? Tai nieko neprives: laipsnių kratinys, iš kurio kai kurių bus gana sunku atsikratyti. Ko tada reikia? Atkreipkime dėmesį, kad a Ir ką tai mums duos? Ir tai, kad šio pavyzdžio sprendimą galime redukuoti iki gana paprastos eksponentinės lygties! Pirma, perrašykime savo lygtį taip:

Dabar padalinkime abi gautos lygties puses iš:

Eureka! Dabar galime pakeisti, gauname:

Na, o dabar jūsų eilė spręsti demonstracines problemas, o aš jas pateiksiu tik trumpus komentarus, kad nenuklystumėte! Sėkmės!

1. Sunkiausia! Taip sunku čia pamatyti pakaitalą! Tačiau nepaisant to, šis pavyzdys gali būti visiškai išspręstas naudojant išryškinant ištisą aikštę. Norėdami tai išspręsti, pakanka pažymėti, kad:

Tada čia yra jūsų pakaitalas:

(Atkreipkite dėmesį, kad pakeitimo metu negalime išmesti neigiamos šaknies!!! Kodėl manote?)

Dabar, norėdami išspręsti pavyzdį, turite išspręsti tik dvi lygtis:

Abu juos galima išspręsti „standartiniu pakeitimu“ (bet antrasis viename pavyzdyje!)

2. Pastebėkite tai ir pakeiskite.

3. Išskaidykite skaičių į kopirminius veiksnius ir supaprastinkite gautą išraišką.

4. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (arba, jei norite) ir pakeiskite arba.

5. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir yra konjuguoti.

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Be to, pažiūrėkime kitu būdu - sprendžiant eksponentines lygtis logaritmo metodu. Negaliu sakyti, kad eksponentinių lygčių sprendimas šiuo metodu yra labai populiarus, tačiau kai kuriais atvejais tik tai gali padėti mums rasti teisingą mūsų lygties sprendimą. Jis ypač dažnai naudojamas sprendžiant vadinamąsias „ mišrios lygtys": tai yra tie, kuriuose atliekamos skirtingų tipų funkcijos.

Pavyzdžiui, formos lygtis:

bendruoju atveju tai galima išspręsti tik imant abiejų pusių logaritmus (pavyzdžiui, iki pagrindo), kuriuose pradinė lygtis pavirs į tokia:

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

Aišku, kad pagal logaritminės funkcijos ODZ mus tik domina. Tačiau tai išplaukia ne tik iš logaritmo ODZ, bet ir dėl dar vienos priežasties. Manau, jums nebus sunku atspėti, kuris iš jų.

Paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į bazę:

Kaip matote, mūsų pradinės lygties logaritmas greitai atvedė mus prie teisingo (ir gražaus!) atsakymo. Praktikuokime su dar vienu pavyzdžiu:

Čia taip pat nėra nieko blogo: paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į pagrindą, tada gausime:

Pakeiskime:

Tačiau mes kažko praleidome! Ar pastebėjote, kur aš padariau klaidą? Juk tada:

kuris neatitinka reikalavimo (pagalvokite, iš kur jis atsirado!)

Atsakymas:

Pabandykite užrašyti toliau pateiktų eksponentinių lygčių sprendimą:

Dabar palyginkite savo sprendimą su šiuo:

1. Suveskime abiejų pusių logaritmą į pagrindą, atsižvelgdami į tai:

(antra šaknis mums netinka dėl pakeitimo)

2. Logaritmas iki pagrindo:

Pakeiskime gautą išraišką į tokią formą:

EKSPONENTINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAS APRAŠYMAS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Eksponentinė lygtis

Formos lygtis:

paskambino paprasčiausia eksponentinė lygtis.

Laipsnių savybės

Požiūriai į sprendimą

• Sumažinti iki to paties pagrindo
• Sumažinimas iki to paties laipsnio
• Kintamasis pakeitimas
• Supaprastinkite išraišką ir pritaikykite vieną iš aukščiau pateiktų dalykų.

Eikite į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad gautumėte naujausią informaciją apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines galių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a savaime atsiranda n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Galios arba eksponentinės lygtys– tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje, o kintamasis x laipsnis arba rodiklis.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Šis pavyzdys gali būti išspręstas net jūsų galvoje. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip įforminti šį sprendimą:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti tokią lygtį, pašalinome identiškais pagrindais(tai yra dviese) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Eksponentinės lygties sprendimo algoritmas:
1. Reikia patikrinti identiškas ar lygtis turi pagrindus dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nevienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai bazės tampa vienodos, prilyginti laipsnių ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar pažvelkime į keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo kažko paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų galias.

x+2=4 Gaunama paprasčiausia lygtis.
x = 4 – 2
x=2
Atsakymas: x=2

Šiame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi: 3 ir 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

Pirma, perkelkite devynis į dešinę pusę, gausime:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Mes žinome, kad 9 = 3 2. Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm.

3 3x = (3 2) x+8

Gauname 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16

3 3x = 3 2x+16 Dabar aišku, kad kairėje ir dešinėje bazės yra vienodos ir lygios trims, tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gauname paprasčiausią lygtį
3x - 2x = 16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į bazes, antrą ir ketvirtą. Ir mums reikia, kad jie būtų vienodi. Keturis transformuojame naudodami formulę (a n) m = a nm.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Tačiau mus vargina kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus matosi, kad kairėje pusėje pakartojame 2 2x, štai atsakymas – galime dėti 2 2x iš skliaustų:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokime 4 = 2 2:

2 2x = 2 2 bazės yra vienodos, jas atmetame ir laipsnius sulyginame.
2x = 2 yra paprasčiausia lygtis. Padalinkite iš 2 ir gausime
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x – 12*3 x +27= 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje matote, kad pirmieji trys laipsnis yra du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite išspręsti pakeitimo metodas. Pakeičiame skaičių mažiausiu laipsniu:

Tada 3 2x = (3 x) 2 = t 2

Visas x laipsnius lygtyje pakeičiame t:

t 2 – 12t+27 = 0
Gauname kvadratinę lygtį. Išspręsdami per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

Grįžtant prie kintamojo x.

Paimkite t 1:
t 1 = 9 = 3 x

Todėl

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo iš t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 = 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite užduoti visus jums rūpimus klausimus skiltyje PAGALBA SPRUSTI, mes jums tikrai atsakysime.

Prisijunk prie grupės

Kas yra eksponentinė lygtis? Pavyzdžiai.

Taigi, eksponentinė lygtis... Naujas unikalus eksponatas mūsų bendroje įvairiausių lygčių parodoje!) Kaip ir beveik visada, bet kurio naujo matematinio termino raktinis žodis yra atitinkamas jį apibūdinantis būdvardis. Taip yra čia. Pagrindinis termino „eksponentinė lygtis“ žodis yra žodis "orientacinis". Ką tai reiškia? Šis žodis reiškia, kad yra nežinomasis (x). bet kokių laipsnių atžvilgiu. Ir tik ten! Tai nepaprastai svarbu.

Pavyzdžiui, šios paprastos lygtys:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ar net šie monstrai:

2 sin x = 0,5

Nedelsdami atkreipkite dėmesį į vieną svarbų dalyką: priežasčių laipsniai (apačioje) – tik skaičiai. Bet į rodikliai laipsniai (aukščiau) - daugybė išraiškų su X. Visiškai bet kokia.) Viskas priklauso nuo konkrečios lygties. Jei staiga, be rodiklio (tarkim, 3 x = 18 + x 2), kažkur kitur lygtyje atsiras x, tai tokia lygtis jau bus lygtis mišrus tipas. Tokios lygtys neturi aiškių jų sprendimo taisyklių. Todėl šioje pamokoje jų nenagrinėsime. Mokinių džiaugsmui.) Čia nagrinėsime tik eksponentines lygtis jų „gryna“ forma.

Paprastai tariant, ne visas ir ne visada net grynas eksponenlines lygtis galima išspręsti aiškiai. Tačiau tarp daugybės eksponentinių lygčių yra tam tikrų tipų, kuriuos galima ir reikia išspręsti. Būtent šių tipų lygtis mes apsvarstysime. Ir mes tikrai išspręsime pavyzdžius.) Taigi įsitaisykime patogiai ir pirmyn! Kaip ir kompiuterių „šaudyklėse“, mūsų kelionė vyks per lygius.) Nuo elementaraus iki paprasto, nuo paprasto iki vidutinio ir nuo vidutinio iki sudėtingo. Pakeliui jūsų taip pat lauks slaptas lygis - nestandartinių pavyzdžių sprendimo būdai ir metodai. Tokių, apie kuriuos neskaitysi daugumoje mokyklinių vadovėlių... Na, o pabaigoje, žinoma, jūsų laukia paskutinis viršininkas namų darbų forma.)

0 lygis. Kokia yra paprasčiausia eksponentinė lygtis? Paprastų eksponentinių lygčių sprendimas.

Pirmiausia pažvelkime į keletą atvirų elementarių dalykų. Jūs turite kažkur pradėti, tiesa? Pavyzdžiui, ši lygtis:

2 x = 2 2

Net ir be jokių teorijų, remiantis paprasta logika ir sveiku protu, aišku, kad x = 2. Nėra kito kelio, tiesa? Jokia kita X reikšmė netinka... O dabar atkreipkime dėmesį sprendimo įrašasši nuostabi eksponentinė lygtis:

2 x = 2 2

X = 2

Kas mums atsitiko? Ir atsitiko taip. Iš tikrųjų paėmėme ir... tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (du)! Visiškai išmestas. Ir gera žinia ta, kad pataikėme į jaučio akį!

Taip, iš tikrųjų, jei eksponentinėje lygtyje yra kairė ir dešinė identiškas skaičiai bet kokiais laipsniais, tada šiuos skaičius galima atmesti ir tiesiog sulyginti eksponentus. Matematika leidžia.) Ir tada galite atskirai dirbti su rodikliais ir išspręsti daug paprastesnę lygtį. Puiku, tiesa?

Štai pagrindinė idėja, kaip išspręsti bet kurią (taip, tiksliai bet kurią!) eksponentinę lygtį: naudojant identiškas transformacijas, būtina užtikrinti, kad kairėje ir dešinėje lygties pusės būtų identiškas baziniai skaičiai įvairiais laipsniais. Ir tada jūs galite saugiai pašalinti tuos pačius pagrindus ir sulyginti eksponentus. Ir dirbkite su paprastesne lygtimi.

Dabar prisiminkime geležinę taisyklę: galima pašalinti identiškus pagrindus tada ir tik tada, kai lygties kairėje ir dešinėje esantys skaičiai turi bazinius skaičius nuostabioje izoliacijoje.

Ką tai reiškia nuostabioje izoliacijoje? Tai reiškia be jokių kaimynų ir koeficientų. Leisk man paaiškinti.

Pavyzdžiui, lygtyje.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Trijų negalima pašalinti! Kodėl? Nes kairėje turime ne tik vienišus tris, bet dirbti 3·3 x-5 . Papildomi trys trukdo: koeficientas, jūs suprantate.)

Tą patį galima pasakyti ir apie lygtį

5 3 x = 5 2 x +5 x

Čia irgi visos bazės vienodos – penkios. Bet dešinėje mes neturime nė vienos galios iš penkių: yra galių suma!

Trumpai tariant, mes turime teisę pašalinti identiškas bazes tik tada, kai mūsų eksponentinė lygtis atrodo taip ir tik taip:

af (x) = a g (x)

Tokio tipo eksponentinė lygtis vadinama paprasčiausias. Arba moksliškai kanoninis . Ir nesvarbu, kokią vingiuotą lygtį turime prieš save, mes vienaip ar kitaip ją sumažinsime iki šios paprasčiausios (kanoninės) formos. Arba, kai kuriais atvejais, į visuma tokio pobūdžio lygtis. Tada mūsų paprasčiausią lygtį galima perrašyti bendra forma taip:

F(x) = g(x)

Tai viskas. Tai būtų lygiavertė konversija. Šiuo atveju f(x) ir g(x) gali būti absoliučiai bet kokios išraiškos su x. Kad ir kaip būtų.

Galbūt ypač smalsus studentas susimąstys: kodėl mes taip lengvai ir paprastai atmetame tuos pačius pagrindus kairėje ir dešinėje ir sulyginame eksponentus? Intuicija yra intuicija, bet kas, jei dėl kokios nors lygties ir dėl kokių nors priežasčių toks požiūris pasirodys neteisingas? Ar visada teisėta išmesti tą patį pagrindą? Deja, norint gauti griežtą matematinį atsakymą į šį įdomų klausimą, reikia gana giliai ir rimtai pasinerti į bendrą funkcijų struktūros ir elgesio teoriją. Ir kiek konkrečiau – reiškinyje griežta monotonija. Visų pirma, griežta monotonija eksponentinė funkcijay= a x. Kadangi būtent eksponentinė funkcija ir jos savybės yra pagrindas sprendžiant eksponenlines lygtis, taip.) Išsamus atsakymas į šį klausimą bus pateiktas atskiroje specialioje pamokoje, skirtoje sudėtingų nestandartinių lygčių sprendimui naudojant skirtingų funkcijų monotoniškumą.)

Išsamus šio klausimo paaiškinimas dabar tik išjudintų vidutinį moksleivį ir anksti išgąsdintų jį sausa ir sunkia teorija. Aš to nedarysiu.) Kadangi šiuo metu mūsų pagrindinė užduotis yra Išmokite spręsti eksponentines lygtis! Patys paprasčiausi! Todėl dar nesijaudinkime ir drąsiai išmeskime tas pačias priežastis. Tai Gali, mano žodis!) Ir tada išsprendžiame ekvivalentinę lygtį f(x) = g(x). Paprastai paprastesnis nei pradinis eksponentinis.

Žinoma, daroma prielaida, kad žmonės jau žino, kaip išspręsti bent , ir lygtis, be x rodiklių.) Tie, kurie vis dar nežino kaip, drąsiai uždarykite šį puslapį, sekite atitinkamas nuorodas ir užpildykite senos spragos. Kitaip tau bus sunku, taip...

Jau nekalbu apie neracionalias, trigonometrines ir kitokias žiaurias lygtis, kurios taip pat gali atsirasti naikinant pamatus. Tačiau neišsigąskite, kol kas tiesioginio žiaurumo laipsniais nesvarstysime: dar per anksti. Mes mokysime tik paprasčiausias lygtis.)

Dabar pažvelkime į lygtis, kurioms reikia papildomų pastangų, kad jas sumažintume iki paprasčiausių. Skirtumo dėlei pavadinkime juos paprastos eksponentinės lygtys. Taigi, pereikime į kitą lygį!

1 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkime laipsnius! Natūralūs rodikliai.

Pagrindinės taisyklės sprendžiant bet kokias eksponentines lygtis yra laipsnio tvarkymo taisyklės. Be šių žinių ir įgūdžių niekas neveiks. Deja. Taigi, jei kyla problemų dėl laipsnių, pirmiausia esate laukiami. Be to, mums taip pat reikės. Šios transformacijos (dvi iš jų!) yra pagrindas sprendžiant visas matematines lygtis apskritai. Ir ne tik parodomosios. Taigi, kas pamiršo, taip pat pažiūrėkite į nuorodą: aš ne tik juos dedu.

Tačiau vien operacijų su galiomis ir tapatybės transformacijomis neužtenka. Taip pat reikalingas asmeninis stebėjimas ir išradingumas. Mums reikia tų pačių priežasčių, ar ne? Taigi mes išnagrinėjame pavyzdį ir ieškome jų aiškia ar užmaskuota forma!

Pavyzdžiui, ši lygtis:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Pirmas žvilgsnis pagrindu. Jie... skirtingi! Treji ir dvidešimt septyni. Tačiau panikuoti ir nusiminti dar anksti. Laikas tai prisiminti

27 = 3 3

Skaičiai 3 ir 27 yra giminės pagal laipsnį! Ir artimieji.) Todėl mes turime visas teises rašyti:

27 x +2 = (3 3) x+2

Dabar sujungkime savo žinias apie veiksmai su laipsniais(ir aš jus perspėjau!). Yra labai naudinga formulė:

(a m) n = a mn

Jei dabar tai padarysite, tai puikiai pasiteisins:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pradinis pavyzdys dabar atrodo taip:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Puiku, laipsnių pagrindai išsilygino. To mes ir norėjome. Pusė mūšio baigta.) Dabar pradedame pagrindinę tapatybės transformaciją – perkelkite 3 3 (x +2) į dešinę. Taip, niekas neatšaukė elementarių matematikos operacijų.) Gauname:

3 2 x = 3 3 (x + 2)

Ką mums suteikia tokio tipo lygtis? Ir tai, kad dabar mūsų lygtis yra sumažinta į kanoninę formą: kairėje ir dešinėje yra tie patys skaičiai (trys) laipsniais. Be to, abu trys yra nuostabiai izoliuoti. Nedvejodami pašalinkite trigubus ir gaukite:

2x = 3 (x+2)

Mes išsprendžiame tai ir gauname:

X = -6

Tai viskas. Tai yra teisingas atsakymas.)

Dabar pagalvokime apie sprendimą. Kas mus išgelbėjo šiame pavyzdyje? Žinios apie trijų galias mus išgelbėjo. Kaip tiksliai? Mes nustatyta skaičiuje 27 yra užšifruoti trys! Šis triukas (tos pačios bazės užkodavimas skirtingais skaičiais) yra vienas populiariausių eksponentinėse lygtyse! Nebent pats populiariausias. Taip, ir tuo pačiu būdu, beje. Štai kodėl stebėjimas ir gebėjimas atpažinti kitų skaičių galias skaičiais yra tokie svarbūs eksponentinėse lygtyse!

Praktinis patarimas:

Turite žinoti populiarių skaičių galias. Į veidą!

Žinoma, kiekvienas gali pakelti du į septintą laipsnį arba tris į penktą. Ne mano galvoje, bet bent jau juodraštyje. Tačiau eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti iki laipsnio, o, priešingai, išsiaiškinti, koks skaičius ir į kokią laipsnį slypi už skaičiaus, tarkime, 128 ar 243. O tai yra sudėtingiau. nei paprastas pakėlimas, sutiksite. Pajuskite skirtumą, kaip sakoma!

Kadangi gebėjimas atpažinti laipsnius asmeniškai pravers ne tik šiame, bet ir kituose lygiuose, štai jums nedidelė užduotis:

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Atsakymai (žinoma, atsitiktinai):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Taip, taip! Nenustebkite, kad atsakymų yra daugiau nei užduočių. Pavyzdžiui, 2 8, 4 4 ir 16 2 yra 256.

2 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkime laipsnius! Neigiami ir trupmeniniai rodikliai.

Šiame lygyje mes jau iki galo panaudojame savo žinias apie laipsnius. Būtent į šį žavų procesą įtraukiame neigiamus ir trupmeninius rodiklius! Taip, taip! Turime padidinti savo galią, tiesa?

Pavyzdžiui, ši baisi lygtis:

Vėlgi, pirmas žvilgsnis yra į pamatus. Priežastys yra skirtingos! Ir šį kartą jie nė iš tolo nepanašūs vienas į kitą! 5 ir 0,04... O bazėms panaikinti reikia tų pačių... Ką daryti?

Viskas gerai! Tiesą sakant, viskas yra taip pat, tik ryšys tarp penkių ir 0,04 vizualiai prastai matomas. Kaip mes galime išeiti? Pereikime prie skaičiaus 0,04 kaip paprastos trupmenos! Ir tada, matai, viskas susitvarkys.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Oho! Pasirodo, 0,04 yra 1/25! Na, kas galėjo pagalvoti!)

Taigi kaip? Ar dabar lengviau matyti ryšį tarp skaičių 5 ir 1/25? tai tiek...

O dabar pagal veiksmų taisykles su laipsniais su neigiamas rodiklis Galite rašyti tvirta ranka:

Tai puiku. Taigi patekome į tą pačią bazę – penkias. Dabar nepatogų skaičių 0,04 lygtyje pakeičiame 5 -2 ir gauname:

Vėlgi, pagal operacijų su laipsniais taisykles dabar galime rašyti:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Tik tuo atveju primenu (jei kas nežino), kad pagrindinės taisyklės, kaip elgtis su laipsniais galioja bet koks rodikliai! Įskaitant ir neigiamus.) Taigi drąsiai imkite ir padauginkite rodiklius (-2) ir (x-1) pagal atitinkamą taisyklę. Mūsų lygtis vis gerėja:

Viskas! Be vienišų penketukų, kairėje ir dešinėje esančiose galiose nėra nieko kito. Lygtis sumažinama iki kanoninės formos. Ir tada - palei raižytą takelį. Išimame penketukus ir sulyginame rodiklius:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Pavyzdys beveik išspręstas. Liko tik pradinės vidurinės mokyklos matematika – atidarykite (teisingai!) skliaustus ir surinkite viską, kas yra kairėje:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Mes išsprendžiame tai ir gauname dvi šaknis:

x 1 = 1; x 2 = 3

Tai viskas.)

Dabar pagalvokime dar kartą. Šiame pavyzdyje vėl turėjome atpažinti tą patį skaičių skirtingais laipsniais! Būtent, pamatyti užšifruotą penketuką skaičiuje 0,04. Ir šį kartą – į neigiamas laipsnis! Kaip mes tai padarėme? Iš karto – jokiu būdu. Tačiau perėjus nuo dešimtainės trupmenos 0,04 prie bendrosios trupmenos 1/25, viskas tapo aišku! Ir tada visas sprendimas buvo kaip laikrodis.)

Todėl dar vienas žalias praktinis patarimas.

Jei eksponentinę lygtį sudaro dešimtainės trupmenos, tada nuo dešimtainių trupmenų pereiname prie paprastųjų trupmenų. Daug lengviau atpažinti daugelio populiarių skaičių galias trupmenomis! Po atpažinimo pereiname nuo trupmenų prie laipsnių su neigiamais eksponentais.

Atminkite, kad šis triukas labai, labai dažnai pasitaiko eksponentinėse lygtyse! Bet žmogus nėra temoje. Jis žiūri, pavyzdžiui, į skaičius 32 ir 0,125 ir susinervina. Jam nežinant, tai yra vienas ir tas pats du, tik skirtingais laipsniais... Bet tu jau žinai!)

Išspręskite lygtį:

Į! Atrodo, tylus siaubas... Tačiau išvaizda apgauna. Tai pati paprasčiausia eksponentinė lygtis, nepaisant jos bauginančios išvaizdos. Ir dabar aš jums tai parodysiu.)

Pirma, pažvelkime į visus skaičius bazėse ir koeficientuose. Jie, žinoma, yra skirtingi, taip. Bet vis tiek rizikuosime ir stengsimės juos padaryti identiškas! Pabandykime prieiti tas pats skaičius skirtingomis galiomis. Be to, pageidautina, kad skaičiai būtų kuo mažesni. Taigi, pradėkime dekoduoti!

Na, su keturiais viskas iš karto aišku - tai 2 2. Taigi, tai jau kažkas.)

Su trupmena 0,25 - vis dar neaišku. Reikia patikrinti. Pasinaudokime praktiniais patarimais – pereikite nuo dešimtainės trupmenos prie paprastosios trupmenos:

0,25 = 25/100 = 1/4

Jau daug geriau. Nes dabar aiškiai matosi, kad 1/4 yra 2 -2. Puiku, o skaičius 0,25 taip pat panašus į du.)

Kol kas viskas gerai. Tačiau lieka pats blogiausias skaičius - kvadratinė šaknis iš dviejų! Ką daryti su šiuo pipiru? Ar tai taip pat gali būti pavaizduota kaip dviejų galia? Ir kas žino...

Na, dar kartą pasinerkime į savo žinių apie laipsnius lobyną! Šį kartą papildomai susiejame savo žinias apie šaknis. Iš 9 klasės kurso jūs ir aš turėjome išmokti, kad bet kurią šaknį, jei norite, visada galima paversti laipsniu su trupmeniniu rodikliu.

kaip tai:

Mūsų atveju:

Oho! Pasirodo, dviejų kvadratinė šaknis yra 2 1/2. tai viskas!

Tai puiku! Visi mūsų nepatogūs skaičiai iš tikrųjų pasirodė kaip užšifruoti du.) Nesiginčiju, kažkur labai įmantriai užšifruoti. Bet mes taip pat tobuliname savo profesionalumą spręsdami tokius šifrus! Ir tada jau viskas aišku. Savo lygtyje skaičius 4, 0,25 ir dviejų šaknį pakeičiame dviejų laipsniais:

Viskas! Visų laipsnių bazės pavyzdyje tapo vienodos – dvi. Ir dabar naudojami standartiniai veiksmai su laipsniais:

a ma n = a m + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Kairėje pusėje gausite:

2 -2 · (2 ​​2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Dešinėje pusėje tai bus:

O dabar mūsų blogio lygtis atrodo taip:

Tiems, kurie tiksliai nesuprato, kaip atsirado ši lygtis, klausimas čia ne apie eksponenlines lygtis. Klausimas apie veiksmus su laipsniais. Aš paprašiau jūsų skubiai pakartoti tai tiems, kurie turi problemų!

Čia yra finišo linija! Gauta kanoninė eksponentinės lygties forma! Taigi kaip? Ar aš jus įtikinau, kad viskas nėra taip baisu? ;) Išimame du ir sulyginame rodiklius:

Belieka išspręsti šią tiesinę lygtį. Kaip? Žinoma, identiškų transformacijų pagalba.) Nuspręskite, kas vyksta! Abi puses padauginkite iš dviejų (kad pašalintumėte trupmeną 3/2), perkelkite terminus su X į kairę, be X į dešinę, atveskite panašius, suskaičiuokite – ir būsite laimingi!

Viskas turėtų pasirodyti gražiai:

X=4

Dabar dar kartą pagalvokime apie sprendimą. Šiame pavyzdyje mums padėjo perėjimas iš kvadratinė šaknisĮ laipsnis su rodikliu 1/2. Be to, tik tokia gudri transformacija padėjo mums visur pasiekti tą pačią bazę (du), kas išgelbėjo situaciją! Ir jei ne tai, mes turėtume visas galimybes sustingti amžinai ir niekada nesusitvarkyti su šiuo pavyzdžiu, taip...

Todėl nepamirštame ir kitų praktinių patarimų:

Jei eksponentinė lygtis turi šaknis, tada nuo šaknų pereiname prie laipsnių su trupmeniniais rodikliais. Labai dažnai tik tokia transformacija paaiškina tolesnę situaciją.

Žinoma, neigiamos ir trupmeninės galios jau yra daug sudėtingesnės nei prigimtinės galios. Bent jau vizualinio suvokimo ir ypač atpažinimo iš dešinės į kairę požiūriu!

Akivaizdu, kad tiesiogiai pakelti, pavyzdžiui, du iki -3 ar keturių iki -3/2, nėra tokia didelė problema. Tiems, kurie žino.)

Bet eik, pavyzdžiui, iškart supranti tai

0,125 = 2 -3

Arba

Čia galioja tik praktika ir turtinga patirtis, taip. Ir, žinoma, aiški idėja, Kas yra neigiamas ir trupmeninis laipsnis? Ir taip pat praktinių patarimų! Taip, taip, tie patys žalias.) Tikiuosi, kad jie vis tiek padės jums geriau orientuotis įvairioje laipsnių įvairovėje ir žymiai padidins jūsų sėkmės tikimybę! Taigi neapleiskime jų. Ne veltui kartais rašau žaliai.)

Bet jei pažinsite vienas kitą net ir turėdami tokias egzotiškas galias kaip neigiamos ir trupmeninės, jūsų galimybės sprendžiant eksponenlines lygtis labai išsiplės ir galėsite susidoroti su beveik bet kokio tipo eksponeninėmis lygtimis. Na, jei ne bet kokia, tai 80 procentų visų eksponentinių lygčių – tikrai! Taip, taip, aš nejuokauju!

Taigi, pirmoji mūsų įvado į eksponenlines lygtis dalis priėjo prie logiškos išvados. Ir kaip tarpinę treniruotę tradiciškai siūlau atlikti nedidelę savirefleksiją.)

1 užduotis.

Kad mano žodžiai apie neigiamų ir trupmeninių galių iššifravimą nenueitų veltui, siūlau pažaisti nedidelį žaidimą!

Išreikškite skaičius kaip dviejų laipsnius:

Atsakymai (netvarkingai):

Ar pavyko? Puiku! Tada atliekame kovinę misiją – sprendžiame pačias paprasčiausias ir paprasčiausias eksponentines lygtis!

2 užduotis.

Išspręskite lygtis (visi atsakymai yra netvarka!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Atsakymai:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Ar pavyko? Tiesa, tai daug paprasčiau!

Tada išsprendžiame kitą žaidimą:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Atsakymai:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

O šių pavyzdžių liko vienas? Puiku! Jūs augate! Tada čia yra dar keli pavyzdžiai, kuriais galite užkąsti:

Atsakymai:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ir ar taip nuspręsta? Na, pagarba! Nuimu kepurę.) Tai reiškia, kad pamoka nenuėjo veltui, o pradinis eksponentinių lygčių sprendimo lygis gali būti laikomas sėkmingai įsisavintu. Laukia kiti lygiai ir sudėtingesnės lygtys! Ir naujos technikos bei požiūriai. Ir nestandartinių pavyzdžių. Ir naujų staigmenų.) Visa tai – kitoje pamokoje!

Ar kažkas nutiko? Tai reiškia, kad greičiausiai problemos yra . Arba į . Arba abu iš karto. Aš čia bejėgis. Dar kartą galiu pasiūlyti tik vieną dalyką - nepatingėkite ir sekite nuorodas.)

Tęsinys.)