1. Per tašką A(3 pav.) galima nubrėžti tik vieną statmeną tiesę ABį tiesią liniją CD; likusios linijos, einančios per tašką A ir kirtimas CD, yra vadinami pasvirusios tiesios linijos (3 pav., tiesus AE Ir AF).
2. Iš taško A galite nuleisti statmeną iki tiesios linijos CD; statmenas ilgis (segmento ilgis AB) paimtas iš taško A tiesiogiai CD, yra trumpiausias atstumas nuo Aį CD(3 pav.).
3. Keli statmenai, nubrėžti per tiesės taškus į tiesę, niekada nesikerta vienas su kitu (4 pav.).
Savybės: plokštumoje yra viena funkcija – 4 stačiai kampai (90).
Trimatėje erdvėje: 2 linijos yra statmenos, jei jos atitinka. lygiagrečios 2 tiesioms linijoms, esančioms toje pačioje plokštumoje ir statmenoms viena kitai.
Dažniausiai kalbama apie tiesės ir plokštumos statmenumo ženklus...
Plokštumų statmenumas
| Apibrėžimas: vadinamos dvi susikertančios plokštumos statmenai, jei trečioji plokštuma, statmena šių plokštumų susikirtimo linijai, kerta jas išilgai statmenų tiesių. |  |
| 5 teorema Jei plokštuma eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai šios plokštumos yra statmenos. Įrodymas. | |
 |
|
| 5 teorema PLOKŠTUMŲ STAMETUMO ŽENKLAS. Jei plokštuma eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai šios plokštumos yra statmenos. |  |
| Įrodymas: Tegul b plokštuma, b jai statmena tiesė, plokštuma, einanti per tiesę b, o c tiesė, išilgai kurios plokštumos ir susikerta. Įrodykime, kad plokštumos ir yra statmenos. Plokštumoje per tiesės b susikirtimo su plokštuma tašką nubrėžkite tiesę a, statmeną tiesei c. Per tieses a ir b nubrėžkime plokštumą. Jis yra statmenas tiesei c, nes tiesės a ir b yra statmenos, tada plokštumos yra statmenos. Teorema įrodyta. |
Tiesės ir plokštumos statmena
 |
|
| Apibrėžimas Vadinama tiesė, kertanti plokštumą statmenaiši plokštuma, jei ji statmena kiekvienai tiesei, kuri yra šioje plokštumoje ir eina per susikirtimo tašką. Taip pat žiūrėkite pagalbos užduotį Nr. 1. |  |
| 1 teorema TIESĖS IR PLOKŠTUMA STAPETUMO ŽENKLAS. Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem šios plokštumos tiesėms, einančioms per šios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tai ji yra statmena plokštumai. Įrodymas. |  |
| 2 teorema 1. STATYMO TIESIO IR PLOKŠTUMO NUOSAVYBĖ. Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai. Įrodymas. | |
| 3 teorema 2. STATYMO TIESIO IR PLOKŠTUMO NUOSAVYBĖ. Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios. Įrodymas. |
1. Lygiagrečios tiesės erdvėje
Dvi tiesės erdvėje vadinamos lygiagrečios, jei jos yra toje pačioje plokštumoje ir nesikerta.
Tiesių a ir b lygiagretumas žymimas taip: a∥b arba b∥a.
1 teorema. Per dvi lygiagrečias tieses galima nubrėžti plokštumą ir tik vieną.
2 teorema. Per bet kurį erdvės tašką, esantį už duotosios tiesės, galima nubrėžti tiesę, lygiagrečią duotai tiesei, ir tik vieną.
3 teorema. Jei viena iš dviejų lygiagrečių tiesių kerta duotąją plokštumą, tai kita tiesė taip pat kerta šią plokštumą.
4 teorema. Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai tiesei, yra lygiagrečios.
3.2 teorema.
Dvi tiesės, lygiagrečios trečiajai, yra lygiagrečios.
Ši savybė vadinama tranzityvumas tiesių lygiagretumas.
Įrodymas
Lygiagrečių tiesių savybė pateikiama pagal šią teoremą: atvirkščiai prie 3.1 teoremos.
3.4 teorema.
Jei dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė, tada susikertantys vidiniai kampai yra lygūs.
Įrodymas
Remiantis šia teorema, nesunkiai pagrįstos šios savybės.
- Jei dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė, tada atitinkami kampai yra lygūs.
- Jei dvi lygiagrečias tieses kerta trečioji tiesė, tai vidinių vienpusių kampų suma yra 180°.
Išvada 3.2.
Jei tiesė yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.
Lygiagretumo sąvoka leidžia mums pristatyti šią naują koncepciją, kurios prireiks vėliau 11 skyriuje.
Du spinduliai vadinami vienodai nukreiptas , jei yra tokia linija, kuri, pirma, yra statmena šiai tiesei, ir, antra, spinduliai yra toje pačioje plokštumoje šios linijos atžvilgiu.
Du spinduliai vadinami nukreipta priešingai , jei kiekvienas iš jų yra identiškai nukreiptas su kitą papildančiu spinduliu.
Identiškai nukreipti spinduliai AB Ir CD pažymėsime: a priešingai nukreiptus spindulius AB Ir CD –
Plokštumų lygiagretumas
©2015-2019 svetainė
Visos teisės priklauso jų autoriams. Ši svetainė nepretenduoja į autorystę, tačiau suteikia galimybę nemokamai naudotis.
Puslapio sukūrimo data: 2017-08-26
Pasvirusių linijų, kylančių iš vieno taško, savybės. 1. Statmenas visada yra trumpesnis už pasvirąjį, jei jis brėžiamas iš to paties taško. 2. Jei pasvirusios lygios, tai jų projekcijos lygios, ir atvirkščiai. 3. Didesnė įstriža atitinka didesnę projekciją ir atvirkščiai.
10 skaidrė iš pristatymo "Statmenys ir pasvirę plokštumai".Archyvo su pristatymu dydis 327 KB.
Geometrija 10 klasėkitų pristatymų santrauka
„Paralelogramos problemos“ – geometrija. Taškai. Lygiagretainio aukštis. Kvadratas. Įrodymas. Apskritimo liestinė. Lygiagretainio ženklai. Lygiagretainio perimetras. Apskritimas. dalis. Vidurinė linija. Apskritimų centrai. Kampai. Lygiagretainis. Raskite lygiagretainio plotą. Du apskritimai. Lygiagretainio savybės. Aštrus kampas. Lygiagretainio plotas. Lygiagretainio įstrižainės. Įstrižainė. Keturkampis. Trikampiai.
„Skyrių konstravimo metodai“ - Atkarpų konstravimo įgūdžių formavimas. Panagrinėkime keturis gretasienio atkarpų konstravimo atvejus. Sukurkite tetraedro dalis. Vidaus projektavimo metodas. Darbas su diskais. Lygiagretainis turi šešis veidus. Pjovimo plokštuma. Daugiakampių pjūvių statyba. Pėdsakas yra pjūvio plokštumos ir bet kurio daugiakampio paviršiaus plokštumos susikirtimo tiesi linija. Atsekimo metodas. Atmintinė.
„Įprastas daugiakampis“ 10 klasė“ - Numatytas rezultatas. Tetraedras, aprašytas netoli Marso orbitinės sferos. Centras O, ašis a ir plokštuma. Daugiakampio veidai. Radioliarija. Turinys. Įprastas daugiakampis. Taisyklinga daugiakampė Platono filosofiniame pasaulio paveiksle. Feodara. Gyvojoje gamtoje randami reguliarūs daugiakampiai. Pamokos eiga. Taškas (tiesė, plokštuma) vadinamas centru (ašiu, plokštuma). Kuris iš šių geometrinių kūnų nėra taisyklingas daugiakampis?
„Daugiakampių pjūvių konstravimo metodai“ - bet kokia plokštuma. Menininkai. Geometrijos dėsniai. Blitz apklausa. Plokštumos ir daugiakampio santykinė padėtis. Sukurkite daugiakampio atkarpą. Daugiakampiai. Aksiominis metodas. Užduotys. Laivas. Užduotis. Aksiomos. Daugiakampių pjūvių statyba. Atkarpos skirtingomis plokštumomis. Senovės kinų patarlė. Savarankiškas darbas. Įstrižainės pjūviai. Įgytų žinių įtvirtinimas. Pjovimo plokštuma.
„Lygiakraščiai daugiakampiai“ – šešiakampis (kubas) Kubas sudarytas iš šešių kvadratų. Aštuonkampis Aštuonkampis sudarytas iš aštuonių lygiakraščių trikampių. Tetraedras turi 4 paviršius, 4 viršūnes ir 6 briaunas. Yra 5 įprastinių daugiakampių tipai. Įprasti daugiakampiai. Dodekaedras turi 12 paviršių, 20 viršūnių ir 30 briaunų. Ikozaedras turi 20 veidų, 12 viršūnių ir 30 briaunų. Taigi, kubas turi 6 paviršius, 8 viršūnes ir 12 briaunų. Tetraedras Tetraedras sudarytas iš keturių lygiakraščių trikampių.
Apibrėžimas.1. Lygiagretus tiesioginis
Apibrėžimas.2. Statmenos linijos
Teorema.1. I lygiagrečių tiesių savybė
Teorema.2. II lygiagrečių tiesių savybė
Teorema.3. III lygiagrečių tiesių savybė
Teorema.4. IV lygiagrečių tiesių savybė
Teorema.5. Lygiagrečių tiesių V savybė
Teorema.6. Pasirašau lygiagrečių linijų
Teorema.7. II lygiagrečių tiesių ženklas
Teorema.8. III lygiagrečių tiesių ženklas
Teorema.9. IV lygiagrečių tiesių ženklas
10 teorema. V testas lygiagrečioms tiesėms
11 teorema. Dvi tiesės lygiagrečios trečdaliams
11.1 teorema Išvada
12 teorema. Tiesė, kertanti vieną iš lygiagrečių tiesių
13 teorema. Lygiagrečių tiesių atkarpos
14 teorema. Talio teorema
14.1 teorema. Lygiagrečios tiesės, kertančios kampo kraštines
15 teorema. Tiesė yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių
16 teorema. Dvi (ar daugiau) tiesių, statmenų trečiajai tiesei
1 apibrėžimas.
Lygiagrečios linijos yra tiesės, kurios nesikerta, nesvarbu, kiek ilgai jas tęsiame.
Nuotraukoje a Ir b.
2 apibrėžimas.
Tiesės, kurios susikerta stačiu kampu, vadinamos statmenomis.
Nuotraukoje c Ir d.
Kai tiesių pora (šiuo atveju lygiagrečios) kerta tam tikrą tiesę (tokia tiesė vadinama sekantas tiesi linija) sudaromi šie kampai (be gretimų ir vertikalių kampų, kuriuos aptarėme temoje):
Vidiniai skersiniai kampai - 2 ir 8; 3 ir 5
Išoriniai skersiniai kampai - 1 ir 7; 4 ir 6
Vidiniai vienpusiai kampai - 2 ir 5; 3 ir 8
Išoriniai vienpusiai kampai - 1 ir 6; 4 ir 7
Atitinkami kampai yra 1 ir 5; 2 ir 6; 3 ir 7; 4 ir 8
Tarp šių kampų galima nubrėžti raštus. Lygiagrečių linijų savybės:
1 teorema.
Vidiniai įstrižainės kampai yra lygūs
Įrodymas: Tegul a ir b yra dvi lygiagrečios tiesės, c a sekantas, A ir B – sekanto susikirtimo su šiomis tiesėmis taškai. Tegu teoremos teiginys yra klaidingas. Tada nubrėžkime tiesę d per tašką A taip, kad tiesių b ir d bei skersinės c vidiniai kampai būtų lygūs. Tada pagal pirmąjį tiesių lygiagretumo požymį tiesės b ir d yra lygiagrečios. Bet tiesės b ir a yra lygiagrečios. Tai reiškia, kad per taškus A - a ir d eina dvi tiesės, lygiagrečios tiesei b. Tai prieštarauja IX aksiomai. Tai reiškia, kad teorema yra teisinga. Teorema įrodyta.
2 teorema.
Išoriniai skersiniai kampai yra lygūs
Įrodymas:
3 teorema.
Vidinių vienpusių kampų suma yra 180 laipsnių
Įrodymas: Akivaizdu iš pirmos lygiagrečių tiesių savybės.
4 teorema.
Išorinių vienpusių kampų suma yra 180 laipsnių
Įrodymas: Akivaizdu iš pirmos lygiagrečių tiesių savybės.
5 teorema.
Atitinkami kampai yra lygūs
Įrodymas: Akivaizdu iš pirmos lygiagrečių tiesių savybės.
Įrodymas: Tegul tieses a ir b taškuose A ir B kerta skersinė, o tiesės a ir b susikerta taške C (15 pav.). Sekantas c padalija plokštumą į dvi pusplokštumas. Viename iš jų yra taškas C. Sukonstruokime trikampį ABD, lygų trikampiui ABC, kurio viršūnė D yra kitoje plokštumos pusėje. Kampas DAB yra lygus kampui ABC, o tai reiškia, kad taškas D yra tiesėje a pagal sąlygą. Panašiai taškas D yra tiesėje b. Todėl taškas D priklauso tiesėms a ir b. Tai reiškia, kad tiesės a ir b susikerta dviejuose taškuose – C ir D. A prieštara. Tai reiškia, kad pradinė prielaida yra neteisinga. Teorema įrodyta.
7 teorema. Jei dviejų linijų sankirtoje A Ir b trečia iš eilės Su išoriniai skersiniai kampai lygūs (viena pora), tada tokios tiesės A Ir b yra lygiagrečios
Įrodymas:
8 teorema.
Jei dviejų linijų sankirtoje A Ir b trečia iš eilės Su vidinių vienpusių kampų suma lygi 180 laipsnių (viena pora), tada tokios tiesės A Ir b yra lygiagrečios
Įrodymas: Akivaizdu, kad nuo pirmojo linijų lygiagretumo ženklo.
9 teorema.
Jei dviejų linijų sankirtoje A Ir b trečia iš eilės Su išorinių vienpusių kampų suma lygi 180 laipsnių (viena pora), tada tokios tiesės A Ir b yra lygiagrečios
Įrodymas: Akivaizdu, kad nuo pirmojo linijų lygiagretumo ženklo.
10 teorema.
Jei dviejų linijų sankirtoje A Ir b trečia iš eilės Su atitinkami kampai yra lygūs (viena pora), tada tokie statūs kampai A Ir b yra lygiagrečios
Įrodymas: Akivaizdu, kad nuo pirmojo linijų lygiagretumo ženklo. 
11 teorema
. Dvi tiesės, lygiagrečios trečdaliams, yra lygiagrečios.
Įrodymas: Tegul tiesės a ir b yra lygiagrečios tiesei c. Tarkime, kad tiesės a ir b nėra lygiagrečios. Tada arba tiesės a ir b sutampa, o tai prieštarauja sąlygai, arba susikerta tam tikrame taške S. Tada per tašką S eina dvi tiesės - a ir b, lygiagrečios tiesei c, kuri prieštarauja IX aksiomai. Tai reiškia, kad pradinė prielaida yra neteisinga. Teorema įrodyta.
11.1 teorema
. Jei trečioji linija brėžiama lygiagrečiai vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, antroji iš šių linijų yra lygiagreti trečiajai arba su ja sutampa.
Įrodymas: Iš 11 teoremos matyti, kad tiesės yra lygiagrečios.
12 teorema
. Jei tiesė kerta vieną iš lygiagrečių tiesių, ji kerta ir antrąją.
13 teorema
. Lygiagrečių tiesių atkarpos, uždarytos tarp tam tikros (kitos) lygiagrečių tiesių poros, yra lygios.
14 teorema
. (Thaleso teorema) Jei lygiagrečios tiesės, kertančios kampo kraštines, vienoje pusėje nupjauna lygias atkarpas, tai iš kitos pusės jos nupjauna lygias atkarpas. 
Įrodymas: Tegul A 1, A 2, A 3 yra lygiagrečių tiesių susikirtimo taškai su viena iš kampo kraštinių, o taškas A 2 yra tarp taškų A 1 ir A 3. Tegul B 1, B 2, B 3 yra atitinkami šių tiesių susikirtimo taškai su kita kampo puse. Įrodykime, kad jei A 1 A 2 = A 2 A 3, tai B 1 B 2 = B 2 B 3. Nubrėžkime tiesę EF per tašką B 2, lygiagrečią tiesei A 1 A 3 . Trikampiai EB 2 B 1 ir FB 2 B 3 yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės kriterijų. Jų kraštinės EB 2 ir FA 2 yra lygios pagal sąlygą, kampai B 1 B 2 E ir B 3 B 2 F lygūs kaip vertikalūs, o kampai B 1 EB 2 ir B 2 FB 3 lygūs kaip vidinis skersinis gulėjimas sekantoje EF. Tai reiškia, kad B 1 B 2 = B 2 B 3. Q.E.D.
14.1 teorema.
. Lygiagrečios linijos, kertančios kampo kraštines, nupjauna proporcingus segmentus.
15 teorema
. Dvi (ar daugiau) tiesių, statmenų trečiajai tiesei, yra lygiagrečios.
Įrodymas: Iš tiesų, vidiniai skersiniai kampai yra lygūs 90°. Todėl pagal pirmąjį lygiagrečių tiesių ženklą šios tiesės yra lygiagrečios.
16 teorema
. Jei tiesė yra statmena vienai iš lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena antrajai.
Įrodymas: Aišku iš 15 teoremos.
Straipsnyje aptariamas statmenų tiesių plokštumoje ir trimatėje erdvėje klausimas. Išsamiai išanalizuosime statmenų linijų apibrėžimą ir jų žymėjimą pateiktais pavyzdžiais. Apsvarstykime sąlygas taikyti būtiną ir pakankamą dviejų tiesių statmenumo sąlygą ir išsamiai apsvarstykite pavyzdį.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kampas tarp susikertančių linijų erdvėje gali būti teisingas. Tada jie sako, kad pateiktos linijos yra statmenos. Kai kampas tarp susikertančių tiesių yra tiesus, tai ir tiesės yra statmenos. Iš to išplaukia, kad statmenos linijos plokštumoje susikerta, o statmenos linijos erdvėje gali būti susikertančios ir susikertančios.
Tai yra, sąvokos „tiesės a ir b yra statmenos“ ir „tiesės b ir a yra statmenos“ laikomos lygiomis. Iš čia kyla viena kitai statmenų linijų samprata. Apibendrinę tai, kas išdėstyta pirmiau, pažvelkime į apibrėžimą.
1 apibrėžimas
Dvi tiesės vadinamos statmenomis, jei jų susikirtimo kampas yra 90 laipsnių.
Statmenumas žymimas „⊥“, o žymėjimas yra a ⊥ b, o tai reiškia, kad linija a yra statmena tiesei b.
Pavyzdžiui, kvadrato, turinčio bendrą viršūnę, kraštinės gali būti statmenos plokštumos linijos. Trimatėje erdvėje tiesės O x , O z , O y yra statmenos poromis: O x ir O z , O x ir O y , O y ir O z .
Tiesių statmenumas – statmenumo sąlygos
Būtina žinoti statmenumo ypatybes, nes dauguma problemų kyla tik patikrinus jį, kad būtų galima vėliau išspręsti. Pasitaiko atvejų, kai užduoties sąlygose aptariamas statmenumas arba kai reikia naudoti įrodymą. Norint įrodyti statmenumą, pakanka, kad kampas tarp linijų būtų teisingas.
Norint nustatyti jų statmenumą su žinomomis stačiakampės koordinačių sistemos lygtimis, reikia taikyti reikiamą ir pakankamą tiesių statmenumo sąlygą. Pažiūrėkime į formuluotę.
1 teorema
Kad tiesės a ir b būtų statmenos, būtina ir pakanka, kad tiesės krypties vektorius būtų statmenas duotosios tiesės b krypties vektoriui.
Pats įrodymas pagrįstas tiesės krypties vektoriaus ir tiesių statmenumo nustatymu.
1 įrodymas
Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą O x y su nurodytomis plokštumos tiesės lygtimis, kurios apibrėžia tieses a ir b. Tiesių a ir b krypties vektorius žymime a → ir b → . Iš tiesių a ir b lygties būtina ir pakankama sąlyga yra vektorių a → ir b → statmena. Tai įmanoma tik tada, kai vektorių a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, o įrašas yra a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0. Gauname, kad būtina ir pakankama sąlyga tiesių a ir b, esančių stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y plokštumoje, statmenumui yra a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, kur a → = (a x, a y) ir b → = b x, b y yra tiesių a ir b krypties vektoriai.
Sąlyga taikytina, kai reikia rasti krypties vektorių koordinates arba esant kanoninėms ar parametrinėms tiesių lygtims duotųjų tiesių a ir b plokštumoje.
1 pavyzdys
Stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y pateikti trys taškai A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10). Nustatykite, ar tiesės A B ir A C yra statmenos, ar ne.
Sprendimas
Tiesioginės linijos A B ir A C turi atitinkamai krypties vektorius A B → ir A C →. Pirmiausia apskaičiuokime A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Gauname, kad vektoriai A B → ir A C → yra statmeni iš vektorių skaliarinės sandaugos, lygios nuliui.
A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0
Akivaizdu, kad būtina ir pakankama sąlyga yra įvykdyta, vadinasi, A B ir A C yra statmenos.
Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.
2 pavyzdys
Nustatykite, ar duotosios tiesės x - 1 2 = y - 7 3 ir x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ yra statmenos, ar ne.
Sprendimas
a → = (2, 3) yra nurodytos tiesės krypties vektorius x - 1 2 = y - 7 3,
b → = (1, - 2) yra tiesės x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ krypties vektorius.
Pereikime prie vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos skaičiavimo. Išraiška bus parašyta:
a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0
Produkto rezultatas nėra lygus nuliui, galime daryti išvadą, kad vektoriai nėra statmeni, o tai reiškia, kad linijos taip pat nėra statmenos.
Atsakymas: linijos nėra statmenos.
Reikalinga ir pakankama tiesių a ir b statmenumo sąlyga taikoma trimatei erdvei, parašyta forma a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , kur a → = ( a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) yra tiesių a ir b krypties vektoriai.
3 pavyzdys
Patikrinkite tiesių statmenumą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, pateiktą lygtimis x 2 = y - 1 = z + 1 0 ir x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ
Sprendimas
Vardikliai iš kanoninių tiesių lygčių laikomi tiesės krypties vektoriaus koordinatėmis. Krypties vektoriaus koordinatės iš parametrinės lygties yra koeficientai. Iš to seka, kad a → = (2, - 1, 0) ir b → = (1, 2, 4) yra nurodytų tiesių krypties vektoriai. Norėdami nustatyti jų statmenumą, suraskime vektorių skaliarinę sandaugą.
Išraiška bus tokia: a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .
Vektoriai yra statmeni, nes sandauga lygi nuliui. Būtina ir pakankama sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad linijos taip pat yra statmenos.
Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.
Statmenumo patikrinimas gali būti atliekamas remiantis kitomis būtinomis ir pakankamomis statmenumo sąlygomis.
2 teorema
Tiesės a ir b plokštumoje laikomos statmenomis, kai tiesės a normalusis vektorius yra statmenas vektoriui b, tai būtina ir pakankama sąlyga.
2 įrodymas
Ši sąlyga taikoma, kai tiesių lygtys leidžia greitai rasti nurodytų linijų normaliųjų vektorių koordinates. Tai yra, jei yra bendroji A x + B y + C = 0 formos tiesės lygtis, tiesės lygtis x a + y b = 1 formos atkarpose, tiesės su kampo koeficientu lygtis. y = k x + b formos, galima rasti vektorių koordinates.
4 pavyzdys
Išsiaiškinkite, ar tiesės 3 x - y + 2 = 0 ir x 3 2 + y 1 2 = 1 yra statmenos.
Sprendimas
Remiantis jų lygtimis, reikia rasti tiesių normaliųjų vektorių koordinates. Gauname, kad n α → = (3, - 1) yra normalusis vektorius tiesei 3 x - y + 2 = 0.
Supaprastinkime lygtį x 3 2 + y 1 2 = 1 iki formos 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Dabar aiškiai matomos normaliojo vektoriaus koordinatės, kurias užrašome tokia forma n b → = 2 3 , 2 .
Vektoriai n a → = (3, - 1) ir n b → = 2 3, 2 bus statmeni, nes jų skaliarinė sandauga galiausiai duos reikšmę, lygią 0. Gauname n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .
Būtinoji ir pakankama sąlyga įvykdyta.
Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.
Kai tiesė a plokštumoje apibrėžiama naudojant lygtį, kurios nuolydis y = k 1 x + b 1, o tiesė b - y = k 2 x + b 2, tai reiškia, kad normalieji vektoriai turės koordinates (k 1 , - 1) ir (k 2 , - 1) . Pati statmenumo sąlyga sumažėja iki k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.
5 pavyzdys
Išsiaiškinkite, ar tiesės y = - 3 7 x ir y = 7 3 x - 1 2 yra statmenos.
Sprendimas
Tiesės y = - 3 7 x nuolydis yra lygus - 3 7, o tiesės y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.
Kampinių koeficientų sandauga suteikia reikšmę - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, tai yra, tiesės yra statmenos.
Atsakymas: pateiktos tiesės yra statmenos.
Yra dar viena sąlyga, naudojama tiesių statmenumui plokštumoje nustatyti.
3 teorema
Kad tiesės a ir b būtų statmenos plokštumai, būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad vienos iš tiesių krypties vektorius yra kolinerinis su antrosios tiesės normaliuoju vektoriumi.
3 įrodymas
Sąlyga taikytina, kai galima rasti vienos tiesės krypties vektorių, o kitos – normalaus vektoriaus koordinates. Kitaip tariant, vieną tiesę pateikia kanoninė arba parametrinė lygtis, o kitą – bendroji tiesės lygtis, lygtis atkarpomis arba tiesės lygtis su kampiniu koeficientu.
6 pavyzdys
Nustatykite, ar duotosios tiesės x - y - 1 = 0 ir x 0 = y - 4 2 yra statmenos.
Sprendimas
Nustatome, kad tiesės x - y - 1 = 0 normalusis vektorius turi koordinates n a → = (1, - 1) , o b → = (0, 2) yra tiesės x 0 = y - 4 krypties vektorius. 2.
Tai rodo, kad vektoriai n a → = (1, - 1) ir b → = (0, 2) nėra kolineariniai, nes netenkinama kolineariškumo sąlyga. Nėra tokio skaičiaus t, kad galiotų lygybė n a → = t · b →. Taigi išvada, kad linijos nėra statmenos.
Atsakymas: linijos nėra statmenos.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
a) Per tašką A Galite nubrėžti tik vieną statmeną liniją AHį tiesią liniją BT; likusios linijos, einančios per tašką A ir kirtimas BT, yra vadinami linkęs(tiesiai AB,A.C. Ir AT).
b) statmenas ilgis ( segmento ilgis A H ) paimtas iš taško A tiesiogiai BT, yra trumpiausias atstumas nuo Aį BT.
Atstumas nuo taško iki linijos paskambino statmeno ilgio nubrėžtas nuo šio taško iki tiesios linijos.
c) Keli statmenys, nubrėžti per skirtingus taškus į vieną tiesę, niekada nesikerta vienas su kitu.
15. Trikampis yra geometrinė figūra, kurią sudaro trys taškai, kurie nėra toje pačioje tiesėje, ir trys atkarpos, jungiančios šiuos taškus. Taškai vadinami viršūnės, o segmentai yra trikampio kraštinės.
Smailės: A, B, C
Šonai: AC, AB, BC arba atitinkamai b, c, a.
Perimetras Trikampis, kaip ir bet kuri kita figūra, vadinamas visų kraštinių ilgių suma. Perimetras- Graikiškas žodis peri – „aplink“, „apie“ ir metreo – „matuoti“.
16. Jeigu du trikampiai yra lygūs, tada vieno trikampio elementai (t. y. trys kraštinės ir trys kampai) yra atitinkamai lygūs kito trikampio elementams.
Sutampančių trikampių visi atitinkami elementai yra vienodi (kraštinės, kampai, aukščiai, medianos, pusiausvyros, vidurio linijos ir kt.)
Lygiuose trikampiuose lygūs kampai yra priešais lygias kraštines, o lygios kraštinės yra priešais lygius kampus.
17. Teorema- teiginys, kurio pagrįstumas nustatomas motyvuojant. Pats samprotavimas vadinamas teoremos įrodymas. Teoremą sudaro du teiginiai: sąlyginis teiginys ir išvadinis teiginys. Teoremą visada galima parašyti taip:
Jei „teiginys-sąlyga“, tai „teiginys-išvada“.
Ženklas yra savybė, pagal kurią objektas yra žinomas arba atpažįstamas, objekto savybė, lemianti jo skirtumą ar bendrumą su kitais objektais.
Ženklas matematikoje yra teorema, kuriame teigiama, kad tam tikros sąlygos užtikrina, kad figūra (-os) priklauso konkrečiai aibei, kuri buvo apibrėžta anksčiau (pavyzdžiui, trikampių aibė).
18. Teorema. Pirmasis trikampių lygybės ženklas. Jei vieno trikampio dvi kraštinės ir kampas tarp jų yra atitinkamai lygūs kito trikampio dviem kraštinėms ir kampas tarp jų, tai tokie trikampiai yra kongruentiški.
Jeigu
Tai 
19. Trikampio aukštis vadinamas statmenu, nubrėžtu iš trikampio viršūnės į tiesę, kurioje yra priešinga kraštinė.
Trikampio aukščiai susikerta viename taške, kuris vadinamas ortocentras trikampis.
h a – aukštis, nubrėžtas iš viršūnės A į kraštą a,
h b – aukštis nubrėžtas nuo viršūnės B į kraštą b,
h c - aukštis nubrėžtas nuo viršūnės C į kraštą c.
20. Mediana(lot. mediana- vidutinis) trikampis vadinama atkarpa, jungiančia trikampio viršūnę su priešingos kraštinės viduriu. Trys trikampio medianos susikerta viename taške.
21. Trikampio bisektorius paskambino trikampio kampo bisektoriaus atkarpa, jungiantis trikampio viršūnę su tašku priešingoje pusėje.
l a – kampo A pusiausvyra, l b – kampo B pusė,