Matematikoje šaknys gali būti kvadratinės, kubinės arba turėti bet kokį kitą rodiklį (galią), kuris rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Išraiška po šaknies ženklu vadinama radikalia išraiška. Šaknų pridėjimas yra panašus į algebrinės išraiškos terminų pridėjimą, tai yra, reikia nustatyti panašias šaknis.

Žingsniai

1 dalis iš 2: šaknų nustatymas

Šaknų žymėjimas. Posakis po šaknies ženklu () reiškia, kad iš šios išraiškos reikia išskirti tam tikro laipsnio šaknį.

• Šaknis nurodomas ženklu.
• Šaknies rodiklis (laipsnis) rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Pavyzdžiui, 27 kubo šaknis parašyta taip: (27)
• Jei šaknies laipsnio (laipsnio) nėra, tada rodiklis laikomas lygiu 2, tai yra, tai yra kvadratinė šaknis (arba antrojo laipsnio šaknis).
• Skaičius, parašytas prieš šaknies ženklą, vadinamas daugikliu (ty šis skaičius padauginamas iš šaknies), pavyzdžiui, 5 (2)
• Jei prieš šaknį nėra koeficiento, tada jis yra lygus 1 (prisiminkime, kad bet koks skaičius, padaugintas iš 1, yra lygus sau pačiam).
• Jei pirmą kartą dirbate su šaknimis, pasižymėkite daugiklį ir šaknies eksponentą, kad išvengtumėte painiavos ir geriau suprastumėte jų paskirtį.

Prisiminkite, kurios šaknys gali būti sulankstytos, o kurios ne. Kaip negalite pridėti skirtingų išraiškos terminų, pavyzdžiui, 2a + 2b 4ab, taip pat negalite pridėti skirtingų šaknų.

Negalite pridėti šaknų su skirtingomis radikalinėmis išraiškomis, pavyzdžiui, (2) + (3) (5). Bet jūs galite pridėti skaičius po ta pačia šaknimi, pavyzdžiui, (2 + 3) = (5) (2 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,414, 3 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,732, o 5 kvadratinė šaknis yra maždaug 2,236 ).

Negalite pridėti šaknų su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis, bet skirtingais eksponentais, pavyzdžiui, (64) + (64) (ši suma nėra lygi (64), nes 64 kvadratinė šaknis yra 8, o 64 kubinė šaknis yra 4, 8 + 4 = 12, kuris yra daug didesnis nei penktoji 64 šaknis, kuri yra maždaug 2,297).

2 dalis iš 2: Supaprastinimas ir šaknų pridėjimas

Nustatykite ir sugrupuokite panašias šaknis. Panašios šaknys yra šaknys, turinčios tuos pačius rodiklius ir tas pačias radikalias išraiškas. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Pirmiausia perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu indeksu būtų išdėstytos nuosekliai.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Tada perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu eksponentu ir ta pačia radikaline išraiška būtų išdėstytos nuosekliai.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Supaprastinkite šaknis. Norėdami tai padaryti, išskaidykite (kur įmanoma) radikaliąsias išraiškas į du veiksnius, iš kurių vienas išimamas iš po šaknies. Tokiu atveju pašalintas skaičius ir šaknies koeficientas padauginami.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje skaičių 50 padidinkite į 2*25, o skaičių 32 – į 2*16. Iš 25 ir 16 galite paimti kvadratines šaknis (atitinkamai 5 ir 4) ir iš po šaknies pašalinti 5 ir 4, padauginus juos atitinkamai iš koeficientų 2 ir 1. Taigi, gausite supaprastintą išraišką: 10 (2). + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaičius 81 gali būti paskaičiuotas 3*27, o iš skaičiaus 27 galima paimti kubo šaknį iš 3. Šį skaičių 3 galima ištraukti iš po šaknies. Taigi, jūs gaunate dar labiau supaprastintą išraišką: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pridėkite panašių šaknų veiksnius. Mūsų pavyzdyje yra panašios kvadratinės šaknys iš 2 (jas galima pridėti) ir panašios kvadratinės šaknys iš 3 (taip pat galima pridėti). 3 kubo šaknis tokių šaknų neturi.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galutinė supaprastinta išraiška: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nėra visuotinai priimtų šaknų rašymo reiškinyje taisyklių. Todėl šaknis galite rašyti jų rodiklių didėjimo tvarka ir radikalių išraiškų didėjimo tvarka.

Dėmesio, tik ŠIANDIEN!

Viskas įdomu

Skaičius, esantis po šaknies ženklu, dažnai trukdo spręsti lygtį ir yra nepatogu dirbti. Net jei jis pakeltas iki laipsnio, trupmenos arba negali būti pavaizduotas kaip sveikas skaičius iki tam tikros laipsnio, galite pabandyti jį išvesti iš...

Skaičiaus x šaknis yra skaičius, kuris, padidintas iki šaknies laipsnio, yra lygus x. Daugiklis yra dauginamas skaičius. Tai reiškia, kad x*ª-&radic-y formos išraiškoje po šaknimi reikia įvesti x. Nurodymai 1 Nustatykite laipsnį...

Jei radikalioje išraiškoje yra matematinių operacijų su kintamaisiais rinkinys, tai kartais dėl jos supaprastinimo galima gauti gana paprastą reikšmę, kurios dalį galima išimti iš po šaknies. Šis supaprastinimas gali būti naudingas...

Aritmetiniai veiksmai su įvairaus laipsnio šaknimis gali žymiai supaprastinti fizikos ir technologijų skaičiavimus bei padaryti juos tikslesnius. Dauginant ir dalinant patogiau ne ištraukti kiekvieno koeficiento šaknį arba dividendą ir daliklį, o pirmiausia...

Skaičiaus x kvadratinė šaknis yra skaičius a, kurį padauginus iš savęs gaunamas skaičius x: a * a = a^2 = x, x = a. Kaip ir su bet kuriais skaičiais, su kvadratinėmis šaknimis galite atlikti sudėjimo ir atimties aritmetines operacijas. Instrukcijos...

Matematikos šaknis gali turėti dvi reikšmes: tai aritmetinis veiksmas ir kiekvienas lygties sprendinys, algebrinis, parametrinis, diferencialinis ar bet koks kitas. Instrukcijos 1N-oji a šaknis yra toks skaičius, kad...

Atliekant įvairias aritmetines operacijas su šaknimis, dažnai būtina turėti galimybę transformuoti radikaliąsias išraiškas. Norint supaprastinti skaičiavimus, gali tekti perkelti daugiklį už radikalo ženklo ribų arba pridėti jį po juo. Šis veiksmas gali...

Šaknis yra piktograma, nurodanti matematinę skaičiaus radimo operaciją, kurią padidinus iki galios, nurodytos prieš šaknies ženklą, turėtų būti gautas skaičius, nurodytas po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, susijusias su...

Matematikos moksluose šaknies ženklas yra šaknų simbolis. Skaičius po šaknies ženklu vadinamas radikalia išraiška. Jei laipsnio nėra, šaknis yra kvadratinė šaknis, kitu atveju skaitmuo rodo...

Realiojo skaičiaus a n-osios laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius x, kurio n-asis laipsnis yra lygus skaičiui a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Yra įvairių būdų pridėti aritmetinę šaknį ir racionalųjį skaičių...

Realiojo skaičiaus a n-oji šaknis yra skaičius b, kuriam galioja lygybė b^n = a. Nelyginės šaknys egzistuoja neigiamiems ir teigiamiems skaičiams, bet lyginės šaknys egzistuoja tik teigiamiems skaičiams.

Šaknų sudėjimas ir atėmimas- vienas iš labiausiai paplitusių „klupimo akmenų“ besimokantiems matematikos (algebros) kursus vidurinėje mokykloje. Tačiau išmokti juos teisingai sudėti ir atimti yra labai svarbu, nes pavyzdžiai apie šaknų sumą ar skirtumą yra įtraukti į bazinio vieningo valstybinio egzamino disciplinoje „matematika“ programą.

Norint išmokti spręsti tokius pavyzdžius, reikia dviejų dalykų – suprasti taisykles ir įgyti praktikos. Išsprendęs vieną ar dvi dešimtis tipiškų pavyzdžių, studentas šį įgūdį perkels į automatizavimą ir tada jam nebereikės ko bijoti laikydamas vieningo valstybinio egzamino. Aritmetines operacijas rekomenduojama pradėti įsisavinti sudėjus, nes sudėti jas yra kiek lengviau nei atimti.

Kas yra šaknis

Lengviausias būdas tai paaiškinti kaip pavyzdį naudojant kvadratinę šaknį. Matematikoje yra nusistovėjęs terminas „kvadratavimas“. „Kvadratavimas“ reiškia konkretaus skaičiaus padauginimą iš savęs vieną kartą.. Pavyzdžiui, jei į kvadratą 2, gausite 4. Jei kvadratą 7, gausite 49. Kvadratas iš 9 yra 81. Taigi kvadratinė šaknis iš 4 yra 2, iš 49 yra 7, o iš 81 yra 9.

Paprastai šios temos mokymas matematikoje prasideda kvadratinėmis šaknimis. Kad iš karto ją nustatytų, gimnazistas turi mintinai žinoti daugybos lentelę. Tie, kurie tvirtai nepažįsta šios lentelės, turi naudotis užuominomis. Paprastai skaičiaus šaknies kvadrato ištraukimo procesas pateikiamas lentelės pavidalu ant daugelio mokyklinių matematikos sąsiuvinių viršelių.

Šaknys yra šių tipų:

• kvadratas;
• kubinis (arba vadinamasis trečiasis laipsnis);
• ketvirtasis laipsnis;
• penktas laipsnis.

Papildymo taisyklės

Norint sėkmingai išspręsti tipinį pavyzdį, reikia turėti omenyje, kad ne visi šakniniai skaičiai gali būti sukrauti vienas su kitu. Kad jie būtų sujungti, jie turi būti sujungti į vieną modelį. Jei tai neįmanoma, problema neturi sprendimo. Tokios problemos dažnai aptinkamos ir matematikos vadovėliuose kaip savotiški spąstai mokiniams.

Papildymas neleidžiamas užduotyse, kai radikalios išraiškos skiriasi viena nuo kitos. Tai galima iliustruoti aiškiu pavyzdžiu:

• Mokinys susiduria su užduotimi: pridėti kvadratinę šaknį iš 4 ir 9;
• nepatyręs studentas, kuris nežino taisyklės, paprastai rašo: „4 šaknis + 9 šaknis = 13 šaknis“.
• Labai lengva įrodyti, kad šis sprendimas yra neteisingas. Norėdami tai padaryti, turite rasti kvadratinę šaknį iš 13 ir patikrinti, ar pavyzdys išspręstas teisingai;
• naudodami mikroskaičiuotuvą galite nustatyti, kad jis yra maždaug 3,6. Dabar belieka tik patikrinti sprendimą;
• šaknis iš 4=2 ir šaknis iš 9=3;
• Skaičių „du“ ir „trys“ suma lygi penkiems. Taigi šis sprendimo algoritmas gali būti laikomas neteisingu.

Jei šaknys turi tą patį laipsnį, bet skirtingas skaitines išraiškas, ji išimama iš skliaustų ir dedama į skliaustus dviejų radikalių išraiškų suma. Taigi jis jau išgaunamas iš šios sumos.

Sudėjimo algoritmas

Norėdami teisingai išspręsti paprasčiausią problemą, turite:

1. Nustatykite, ką tiksliai reikia papildyti.
2. Sužinokite, ar galima pridėti vienas kito vertes, vadovaujantis esamomis matematikos taisyklėmis.
3. Jei jie nėra sulankstomi, turite juos pakeisti taip, kad juos būtų galima sulankstyti.
4. Atlikę visas reikalingas transformacijas, turite atlikti papildymą ir užrašyti gatavą atsakymą. Priklausomai nuo pavyzdžio sudėtingumo, galite atlikti sudėjimą savo galvoje arba naudodami mikroskaičiuotuvą.

Kas yra panašios šaknys

Norėdami teisingai išspręsti papildymo pavyzdį, pirmiausia turite pagalvoti, kaip jį supaprastinti. Norėdami tai padaryti, turite turėti pagrindinių žinių, kas yra panašumas.

Galimybė identifikuoti panašius padeda greitai išspręsti panašius papildymo pavyzdžius, juos supaprastinant. Norėdami supaprastinti tipinį papildymo pavyzdį, turite:

1. Suraskite panašius ir suskirstykite juos į vieną grupę (arba kelias grupes).
2. Perrašykite esamą pavyzdį taip, kad šaknys, turinčios tą patį rodiklį, aiškiai sektų viena kitą (tai vadinama „grupavimu“).
3. Tada dar kartą turėtumėte parašyti posakį, šį kartą taip, kad panašūs (turintys tą patį rodiklį ir tą pačią radikaliąją figūrą) taip pat sektų vienas kitą.

Po to supaprastintą pavyzdį paprastai nesunku išspręsti.

Norėdami teisingai išspręsti bet kurį papildymo pavyzdį, turite aiškiai suprasti pagrindines pridėjimo taisykles, taip pat žinoti, kas yra šaknis ir kas ji gali būti.

Kartais tokios problemos iš pirmo žvilgsnio atrodo labai sunkios, tačiau dažniausiai jos lengvai išsprendžiamos sugrupuojant panašias. Svarbiausia yra praktika, o tada mokinys pradės „krapštyti problemas kaip riešutai“. Šaknų pridėjimas yra viena iš svarbiausių matematikos dalių, todėl mokytojai turėtų skirti pakankamai laiko jai mokytis.

Dabar mokyklos programoje vyksta kažkas, kas nėra iki galo aišku. Vienas geras dalykas yra tai, kad matematikoje viskas lieka nepakitusi. Darbas su šaknimis, būtent sudėjimas ir atėmimas, nėra labai sudėtinga operacija. Tačiau kai kurie mokiniai patiria tam tikrų sunkumų.

Ir šiame straipsnyje mes apžvelgsime taisykles, kaip pridėti ir atimti kvadratines šaknis.

Galite atimti ir pridėti kvadratines šaknis, jei įvykdoma sąlyga, kad šios šaknys turi tokias pačias radikaliąsias išraiškas. Kitaip tariant, veiksmus galime atlikti su 2√3 ir 4√3, bet ne su 2√3 ir 2√7. Bet jūs galite atlikti veiksmus, kad supaprastintumėte radikalią išraišką, kad vėliau juos nukreiptumėte į šaknis, kurios turės tokias pačias radikalias išraiškas. Ir tik po to pradėkite pridėti arba atimti.

Kvadratinių šaknų pridėjimo ir atėmimo teorija

Pats principas labai paprastas. Ir jį sudarys trys veiksmai. Turime supaprastinti radikalią išraišką. Raskite gautas identiškas radikalias išraiškas ir pridėkite arba atimkite šaknis.

Kaip supaprastinti radikalią išraišką

Norėdami tai padaryti, turite išplėsti radikalų skaičių, kad jį sudarytų du veiksniai. Pagrindinė sąlyga. Vienas iš šių skaičių turi būti kvadratinis skaičius (pavyzdžiui, 25 arba 9). Atlikę šį veiksmą, ištraukiame šio kvadratinio skaičiaus šaknį. Ir šį skaičių užrašome priešais savo šaknį, o po šaknimi lieka antrasis veiksnys.

Pavyzdžiui, 6√50 – 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Čia 50 išskaidome į du koeficientus 25 ir 2. Tada paimame kvadratinę šaknį iš 25 (gauname skaičių 5) ir išimame iš po šaknies. Toliau 5 padauginame iš 6 ir gauname 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Šiame pavyzdyje 8 išskaidome į du skaičius 4 ir 2. Iš 4 paimame šaknį, gautą skaičių paimame kaip šaknį ir padauginame iš skaičiaus, kuris jau buvo už šaknies.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Čia, kaip ir anksčiau, išskaidome po šaknimi esantį skaičių į du skaičius 4 ir 3. Šaknį išimame iš 4. Gautą skaičių imame kaip šaknį ir padauginame iš skaičiaus, kuris buvo už šaknies.

Dėl to lygtį 6√50 - 2√8 + 5√12 transformavome į šią formą 30√2 - 4√2 + 10√3

Mes pabrėžiame šaknis, turinčias tokias pačias radikalias išraiškas

Mūsų pavyzdyje 30√2 – 4√2 + 10√3 paryškiname 30√2 ir 4√2, nes šie skaičiai turi tą patį radikalųjį skaičių 2.
Jei jūsų pavyzdyje yra kelios identiškos radikalios išraiškos. Pabraukite tuos pačius skirtingomis linijomis.

Pridėkite arba atimkite mūsų šaknis

Dabar pridedame arba atimame skaičius, turinčius tas pačias radikaliąsias išraiškas. Ir tai, ką paliekame šaknyje, lieka nepakitusi. Esmė yra parodyti, kiek šaknų su tam tikromis radikaliomis išraiškomis yra duotoje lygtyje.

Mūsų pavyzdyje 30√2 - 4√2 + 10√3 iš 30 atimame 4 ir gauname 26√2

Mūsų pavyzdyje atsakymas bus toks. 26√2 + 10√3

Sabibonas – įdomiausi dalykai internete

Kas yra matematinė šaknis?

Šis veiksmas kilo prieštaraujant eksponencijai. Matematika siūlo dvi priešingas operacijas. Sudėti yra atimtis. Daugyba prieštarauja dalybai. Atvirkštinis laipsnio veiksmas yra atitinkamos šaknies ištraukimas.

Jei laipsnis yra du, tada šaknis bus kvadratas. Tai labiausiai paplitusi mokyklinėje matematikoje. Jame net nėra nuorodos, kad jis yra kvadratas, tai yra, šalia jo nepriskirtas skaičius 2. Paveiksle pateiktas šio operatoriaus (radikalo) matematinis žymėjimas.

Jo apibrėžimas sklandžiai išplaukia iš aprašyto veiksmo. Norėdami išgauti skaičiaus kvadratinę šaknį, turite išsiaiškinti, ką radikali išraiška duos padauginus iš savęs. Šis skaičius bus kvadratinė šaknis. Jei tai užrašysime matematiškai, gautume štai ką: x*x=x 2 =y, o tai reiškia √y=x.

Kokius veiksmus galite atlikti su jais?

Iš esmės šaknis yra trupmeninė galia, kurios skaitiklyje yra vienas. O vardiklis gali būti bet koks. Pavyzdžiui, kvadratinė šaknis turi du. Todėl visi veiksmai, kuriuos galima atlikti turint galių, galios ir šaknims.

Ir reikalavimai šiems veiksmams yra vienodi. Jei daugybos, dalybos ir eksponentų kėlimas nesukelia sunkumų mokiniams, tada šaknų pridėjimas, kaip ir atėmimas, kartais sukelia painiavą. Ir viskas todėl, kad noriu atlikti šias operacijas neatsižvelgdamas į šaknies ženklą. Ir čia prasideda klaidos.

Kokios yra pridėjimo ir atėmimo taisyklės?

Pirmiausia turite atsiminti du kategoriškus „nereikia“:

• neįmanoma atlikti šaknų sudėjimo ir atimties, kaip su pirminiais skaičiais, tai yra, neįmanoma parašyti radikalių sumos išraiškų po vienu ženklu ir atlikti su jomis matematines operacijas;
• Negalite pridėti ir atimti šaknų su skirtingais rodikliais, pavyzdžiui, kvadratu ir kubiniu.

Aiškus pirmojo draudimo pavyzdys: √6 + √10 ≠ √16, bet √(6 + 10) = √16.

Antruoju atveju geriau apsiriboti pačių šaknų supaprastinimu. Ir palikite jų sumą atsakyme.

Dabar prie taisyklių

1. Raskite ir sugrupuokite panašias šaknis. Tai yra, tie, kurie ne tik turi tuos pačius skaičius po radikalu, bet ir patys turi tą patį rodiklį.
2. Pirmuoju veiksmu atlikite šaknų, sujungtų į vieną grupę, pridėjimą. Tai lengva įgyvendinti, nes tereikia pridėti vertes, kurios atsiranda prieš radikalus.
3. Ištraukite šaknis tų terminų, kuriuose radikali išraiška sudaro visą kvadratą. Kitaip tariant, nieko nepalikite po radikalo ženklu.
4. Supaprastinkite radikalias išraiškas. Norėdami tai padaryti, turite juos įtraukti į pirminius veiksnius ir pamatyti, ar jie suteikia bet kurio skaičiaus kvadratą. Akivaizdu, kad tai tiesa, kai kalbame apie kvadratinę šaknį. Kai rodiklis yra trys arba keturi, pirminiai veiksniai turi duoti skaičiaus kubą arba ketvirtąją laipsnį.
5. Pašalinkite iš po radikalo ženklo veiksnį, kuris suteikia visą galią.
6. Pažiūrėkite, ar panašūs terminai vėl nepasirodo. Jei taip, antrą veiksmą atlikite dar kartą.

Esant tokiai situacijai, kai užduotis nereikalauja tikslios šaknies reikšmės, ją galima apskaičiuoti naudojant skaičiuotuvą. Suapvalinkite begalinę dešimtainę trupmeną, kuri pasirodo jo lange. Dažniausiai tai daroma iki šimtųjų dalių. Tada atlikite visas operacijas su dešimtainėmis trupmenomis.

Tai visa informacija apie tai, kaip pridėti šaknis. Toliau pateikti pavyzdžiai iliustruoja tai, kas išdėstyta pirmiau.

Pirma užduotis

Apskaičiuokite išraiškų vertę:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18;

b) √75 – √147 + √48 – 1/5 √300;

c) √275 – 10√11 + 2√99 + √396.

a) Jei laikysitės aukščiau pateikto algoritmo, pamatysite, kad šiame pavyzdyje pirmiems dviem veiksmams nieko nėra. Bet jūs galite supaprastinti kai kurias radikalias išraiškas.

Pavyzdžiui, išskaidykite 32 į du faktorius 2 ir 16; 18 bus lygus 9 ir 2 sandaugai; 128 yra 2 prieš 64. Atsižvelgiant į tai, išraiška bus parašyta taip:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Dabar reikia pašalinti iš po radikalaus ženklo tuos veiksnius, kurie suteikia skaičiaus kvadratą. Tai yra 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Išraiška bus tokia:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 – 6 * 3√2.

Turime šiek tiek supaprastinti įrašymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite koeficientus prieš šaknies ženklus:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

Šioje išraiškoje visi terminai pasirodė panašūs. Todėl tereikia juos sulankstyti. Atsakymas bus toks: 5√2.

b) Panašiai kaip ir ankstesniame pavyzdyje, šaknų pridėjimas prasideda nuo jų supaprastinimo. Radikalios išraiškos 75, 147, 48 ir 300 bus pavaizduotos šiose porose: 5 ir 25, 3 ir 49, 3 ir 16, 3 ir 100. Kiekvienoje iš jų yra skaičius, kurį galima ištraukti iš po šaknies ženklo :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Supaprastinus, atsakymas yra: 5√5 - 5√3. Jį galima palikti šioje formoje, tačiau geriau iš skliaustų paimti bendrą koeficientą 5: 5 (√5 - √3).

c) Ir vėl faktorizacija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Išėmę veiksnius iš po šaknies ženklo gauname:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Atvedę panašius terminus gauname rezultatą: 7√11.

Pavyzdys su trupmeninėmis išraiškomis

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Turėsite apskaičiuoti šiuos skaičius: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Panašiai kaip jau aptarti, reikia pašalinti veiksnius iš po šaknies ženklo ir supaprastinkite posakį:

3/2 √5 – 2√5 – 5/ 3 √(½) – 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 – 2 – 7/6) √5 – (5/3 – 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Ši išraiška reikalauja atsikratyti neracionalumo vardiklyje. Norėdami tai padaryti, turite padauginti antrąjį terminą iš √2/√2:

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Norėdami užbaigti veiksmus, turite pasirinkti visą veiksnių dalį priešais šaknis. Pirmajam jis yra 1, antrajam - 2.

Šaknų sudėjimas ir atėmimas- vienas iš labiausiai paplitusių „klupimo akmenų“ besimokantiems matematikos (algebros) kursus vidurinėje mokykloje. Tačiau išmokti juos teisingai sudėti ir atimti yra labai svarbu, nes pavyzdžiai apie šaknų sumą ar skirtumą yra įtraukti į bazinio vieningo valstybinio egzamino disciplinoje „matematika“ programą.

Norint išmokti spręsti tokius pavyzdžius, reikia dviejų dalykų – suprasti taisykles ir įgyti praktikos. Išsprendęs vieną ar dvi dešimtis tipiškų pavyzdžių, studentas šį įgūdį perkels į automatizavimą ir tada jam nebereikės ko bijoti laikydamas vieningo valstybinio egzamino. Aritmetines operacijas rekomenduojama pradėti įsisavinti sudėjus, nes sudėti jas yra kiek lengviau nei atimti.

Lengviausias būdas tai paaiškinti kaip pavyzdį naudojant kvadratinę šaknį. Matematikoje yra nusistovėjęs terminas „kvadratavimas“. „Kvadratavimas“ reiškia konkretaus skaičiaus padauginimą iš savęs vieną kartą.. Pavyzdžiui, jei į kvadratą 2, gausite 4. Jei kvadratą 7, gausite 49. Kvadratas iš 9 yra 81. Taigi kvadratinė šaknis iš 4 yra 2, iš 49 yra 7, o iš 81 yra 9.

Paprastai šios temos mokymas matematikoje prasideda kvadratinėmis šaknimis. Kad iš karto ją nustatytų, gimnazistas turi mintinai žinoti daugybos lentelę. Tie, kurie tvirtai nepažįsta šios lentelės, turi naudotis užuominomis. Paprastai skaičiaus šaknies kvadrato ištraukimo procesas pateikiamas lentelės pavidalu ant daugelio mokyklinių matematikos sąsiuvinių viršelių.

Šaknys yra šių tipų:

• kvadratas;
• kubinis (arba vadinamasis trečiasis laipsnis);
• ketvirtasis laipsnis;
• penktas laipsnis.

Papildymo taisyklės

Norint sėkmingai išspręsti tipinį pavyzdį, reikia turėti omenyje, kad ne visi šakniniai skaičiai gali būti sukrauti vienas su kitu. Kad jie būtų sujungti, jie turi būti sujungti į vieną modelį. Jei tai neįmanoma, problema neturi sprendimo. Tokios problemos dažnai aptinkamos ir matematikos vadovėliuose kaip savotiški spąstai mokiniams.

Papildymas neleidžiamas užduotyse, kai radikalios išraiškos skiriasi viena nuo kitos. Tai galima iliustruoti aiškiu pavyzdžiu:

• Mokinys susiduria su užduotimi: pridėti kvadratinę šaknį iš 4 ir 9;
• nepatyręs studentas, kuris nežino taisyklės, paprastai rašo: „4 šaknis + 9 šaknis = 13 šaknis“.
• Labai lengva įrodyti, kad šis sprendimas yra neteisingas. Norėdami tai padaryti, turite rasti kvadratinę šaknį iš 13 ir patikrinti, ar pavyzdys išspręstas teisingai;
• naudodami mikroskaičiuotuvą galite nustatyti, kad jis yra maždaug 3,6. Dabar belieka tik patikrinti sprendimą;
• šaknis iš 4=2 ir šaknis iš 9=3;
• Skaičių „du“ ir „trys“ suma lygi penkiems. Taigi šis sprendimo algoritmas gali būti laikomas neteisingu.

Jei šaknys turi tą patį laipsnį, bet skirtingas skaitines išraiškas, ji išimama iš skliaustų ir dedama į skliaustus dviejų radikalių išraiškų suma. Taigi jis jau išgaunamas iš šios sumos.

Sudėjimo algoritmas

Norėdami teisingai išspręsti paprasčiausią problemą, turite:

1. Nustatykite, ką tiksliai reikia papildyti.
2. Sužinokite, ar galima pridėti vienas kito vertes, vadovaujantis esamomis matematikos taisyklėmis.
3. Jei jie nėra sulankstomi, turite juos pakeisti taip, kad juos būtų galima sulankstyti.
4. Atlikę visas reikalingas transformacijas, turite atlikti papildymą ir užrašyti gatavą atsakymą. Priklausomai nuo pavyzdžio sudėtingumo, galite atlikti sudėjimą savo galvoje arba naudodami mikroskaičiuotuvą.

Kas yra panašios šaknys

Norėdami teisingai išspręsti papildymo pavyzdį, pirmiausia turite pagalvoti, kaip jį supaprastinti. Norėdami tai padaryti, turite turėti pagrindinių žinių, kas yra panašumas.

Galimybė identifikuoti panašius padeda greitai išspręsti panašius papildymo pavyzdžius, juos supaprastinant. Norėdami supaprastinti tipinį papildymo pavyzdį, turite:

1. Suraskite panašius ir suskirstykite juos į vieną grupę (arba kelias grupes).
2. Perrašykite esamą pavyzdį taip, kad šaknys, turinčios tą patį rodiklį, aiškiai sektų viena kitą (tai vadinama „grupavimu“).
3. Tada dar kartą turėtumėte parašyti posakį, šį kartą taip, kad panašūs (turintys tą patį rodiklį ir tą pačią radikaliąją figūrą) taip pat sektų vienas kitą.

Po to supaprastintą pavyzdį paprastai nesunku išspręsti.

Norėdami teisingai išspręsti bet kurį papildymo pavyzdį, turite aiškiai suprasti pagrindines pridėjimo taisykles, taip pat žinoti, kas yra šaknis ir kas ji gali būti.

Kartais tokios problemos iš pirmo žvilgsnio atrodo labai sunkios, tačiau dažniausiai jos lengvai išsprendžiamos sugrupuojant panašias. Svarbiausia yra praktika, o tada mokinys pradės „krapštyti problemas kaip riešutai“. Šaknų pridėjimas yra viena iš svarbiausių matematikos dalių, todėl mokytojai turėtų skirti pakankamai laiko jai mokytis.

Vaizdo įrašas

Šis vaizdo įrašas padės suprasti lygtis su kvadratinėmis šaknimis.

Turinys:

Kvadratines šaknis galite pridėti ir atimti tik tuo atveju, jei jų radikalioji išraiška yra tokia pati, tai yra, galite pridėti arba atimti 2√3 ir 4√3, bet ne 2√3 ir 2√5. Galite supaprastinti radikaliąsias išraiškas, kad sumažintumėte jas iki šaknų su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis (o tada jas pridėti arba atimti).

Žingsniai

1 dalis Pagrindai

1. 1 (išraiška po šaknies ženklu). Norėdami tai padaryti, padalykite radikalųjį skaičių į du veiksnius, iš kurių vienas yra kvadratinis skaičius (skaičius, iš kurio galite paimti visą šaknį, pavyzdžiui, 25 arba 9). Po to ištraukite kvadratinio skaičiaus šaknį ir rastą reikšmę parašykite prieš šaknies ženklą (antrasis veiksnys liks po šaknies ženklu). Pavyzdžiui, 6√50 – 2√8 + 5√12. Skaičiai prieš šaknies ženklą yra atitinkamų šaknų faktoriai, o po šaknies ženklu esantys skaičiai yra radikalieji skaičiai (išraiškos). Štai kaip išspręsti šią problemą:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Čia jūs koeficientą 50 į koeficientus 25 ir 2; tada iš 25 ištraukite šaknį, lygią 5, ir ištraukite 5 iš po šaknies. Tada padauginkite 5 iš 6 (daugiklis šaknyje) ir gaukite 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Čia koeficientas 8 į koeficientus 4 ir 2; tada iš 4 paimkite šaknį, lygią 2, ir išimkite 2 iš po šaknies. Tada padauginkite 2 iš 2 (daugiklis šaknyje) ir gaukite 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Čia koeficientas 12 yra 4 ir 3; tada iš 4 paimkite šaknį, lygią 2, ir išimkite 2 iš po šaknies. Tada padauginkite 2 iš 5 (daugiklis šaknyje) ir gausite 10√3.
2. 2 Pabraukite šaknis, kurių radikalios išraiškos yra vienodos. Mūsų pavyzdyje supaprastinta išraiška atrodo taip: 30√2 - 4√2 + 10√3. Jame turite pabraukti pirmą ir antrą terminus ( 30√2 Ir 4√2 ), nes jie turi tą patį radikalinį skaičių 2. Tik tokias šaknis galite sudėti ir atimti.
3. 3 Jei jums pateikiama išraiška su daugybe terminų, iš kurių daugelis turi tokias pačias radikaliąsias išraiškas, naudokite vieną, dvigubą arba trigubą pabraukimą, kad žymėtumėte tokius terminus, kad būtų lengviau išspręsti išraišką.
4. 4 Šaknims, kurių radikalinės išraiškos yra vienodos, sudėkite arba atimkite veiksnius prieš šaknies ženklą, o radikaliąją išraišką palikite tokią pat (radikalių skaičių nepridėkite ir neatimkite!). Idėja yra parodyti, kiek šaknų su tam tikra radikalia išraiška yra duotoje išraiškoje.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2 dalis Praktikuokime su pavyzdžiais

1. 1 1 pavyzdys: √(45) + 4√5.
   • Supaprastinkite √(45). 45 koeficientas: √(45) = √(9 x 5).
   • Iš po šaknies išimkite 3 (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Dabar pridėkite veiksnius prie šaknų: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 2 pavyzdys: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Supaprastinkite 6√(40). 40 koeficientas: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Išimkite 2 iš po šaknies (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Padauginkite veiksnius prieš šaknį ir gaukite 12√10.
   • Dabar išraišką galima parašyti kaip 12√10 - 3√(10) + √5. Kadangi pirmieji du terminai turi tuos pačius radikalus, galite atimti antrąjį terminą iš pirmojo ir palikti pirmąjį nepakeistą.
   • Gausite: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 3 pavyzdys. 9√5 -2√3 - 4√5. Čia nė viena iš radikalių išraiškų negali būti suskirstyta į faktorius, todėl šios išraiškos negalima supaprastinti. Galite atimti trečiąjį terminą iš pirmojo (nes jie turi tuos pačius radikalus) ir palikti antrąjį nepakeistą. Gausite: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 4 pavyzdys. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Dabar galite tiesiog pridėti 3 + 2, kad gautumėte 5.
   • Galutinis atsakymas: 5 - 3√2.
5. 5 5 pavyzdys. Išspręskite išraišką, kurią sudaro šaknys ir trupmenos. Galite pridėti ir apskaičiuoti tik tas trupmenas, kurios turi bendrą (tą patį) vardiklį. Išraiška pateikta (√2)/4 + (√2)/2.
   • Raskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklį. Tai skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Mūsų pavyzdyje skaičius 4 dalijasi iš 4 ir 2.
   • Dabar antrąją trupmeną padauginkite iš 2/2 (kad gautumėte bendrą vardiklį; pirmoji trupmena jau sumažinta): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Sudėkite trupmenų skaitiklius ir palikite vardiklį tą patį: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Prieš sudėdami arba atimdami šaknis, būtinai supaprastinkite (jei įmanoma) radikaliąsias išraiškas.

Įspėjimai

• Niekada nepridėkite ir neatimkite šaknų su skirtingomis radikaliomis išraiškomis.
• Niekada nepridėkite ir neatimkite sveikojo skaičiaus ir šaknies, pvz. 3 + (2x) 1/2 .
  • Pastaba: „x“ iki antrosios laipsnio ir „x“ kvadratinė šaknis yra tas pats (ty x 1/2 = √x).

Sveikinimai, katės! Praėjusį kartą išsamiai aptarėme, kas yra šaknys (jei neprisimenate, rekomenduoju paskaityti). Pagrindinis tos pamokos ištrauka: yra tik vienas universalus šaknų apibrėžimas, kurį reikia žinoti. Visa kita yra nesąmonė ir laiko švaistymas.

Šiandien einame toliau. Mokysimės dauginti šaknis, išnagrinėsime kai kurias su daugyba susijusias problemas (neišsprendus šios problemos gali tapti lemtingos egzamine) ir tinkamai pasipraktikuosime. Taigi apsirūpinkite spragėsiais, įsitaisykite patogiai ir pradėkime :)

Jūs taip pat dar nerūkėte, ar ne?

Pamoka pasirodė gana ilga, todėl ją padalinau į dvi dalis:

1. Pirmiausia pažvelgsime į daugybos taisykles. Atrodo, kad dangtelis užsimena: tai yra tada, kai yra dvi šaknys, tarp jų yra ženklas „dauginti“ - ir mes norime su juo ką nors padaryti.
2. Tada pažiūrėkime į priešingą situaciją: yra viena didelė šaknis, bet mes labai norėjome ją pavaizduoti kaip dviejų paprastesnių šaknų produktą. Kodėl to reikia, yra atskiras klausimas. Mes tik analizuosime algoritmą.

Tiems, kurie nekantrauja iškart pereiti prie antrosios dalies, esate laukiami. Pradėkime nuo likusių eilės tvarka.

Pagrindinė daugybos taisyklė

Pradėkime nuo paprasčiausio dalyko – klasikinių kvadratinių šaknų. Tie patys, kurie žymimi $\sqrt(a)$ ir $\sqrt(b)$. Jiems viskas aišku:

Daugybos taisyklė. Norėdami padauginti vieną kvadratinę šaknį iš kitos, tiesiog padauginkite jų radikaliąsias išraiškas ir parašykite rezultatą po bendruoju radikalu:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Dešinėje ar kairėje esantiems skaičiams netaikomi jokie papildomi apribojimai: jei yra pagrindiniai veiksniai, tada egzistuoja ir produktas.

Pavyzdžiai. Iš karto pažvelkime į keturis pavyzdžius su skaičiais:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, pagrindinė šios taisyklės prasmė yra supaprastinti neracionalius posakius. Ir jei pirmajame pavyzdyje mes patys būtume ištraukę 25 ir 4 šaknis be jokių naujų taisyklių, tada viskas pasidaro sudėtinga: $\sqrt(32)$ ir $\sqrt(2)$ neatsižvelgiama į save, bet jų sandauga pasirodo esanti tobulas kvadratas, todėl jo šaknis lygi racionaliajam skaičiui.

Ypač norėčiau pabrėžti paskutinę eilutę. Ten abi radikalios išraiškos yra trupmenos. Produkto dėka daugelis veiksnių atšaukiami, o visa išraiška virsta tinkamu skaičiumi.

Žinoma, viskas ne visada bus taip gražu. Kartais po šaknimis bus visiška netvarka – neaišku ką su juo daryti ir kaip padauginus transformuoti. Šiek tiek vėliau, kai pradėsite studijuoti neracionalias lygtis ir nelygybes, atsiras visokių kintamųjų ir funkcijų. Ir labai dažnai problemų rašytojai tikisi tuo, kad atrasite kai kuriuos atšaukiančius terminus ar veiksnius, po kurių problema bus daug kartų supaprastinta.

Be to, visai nebūtina padauginti tiksliai dviejų šaknų. Galite padauginti tris, keturis ar net dešimt iš karto! Tai taisyklės nepakeis. Pažiūrėkite:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl nedidelė pastaba dėl antrojo pavyzdžio. Kaip matote, trečiajame faktoriuje po šaknimi yra dešimtainė trupmena - skaičiavimo metu ją pakeičiame įprasta, po kurios viskas lengvai sumažinama. Taigi: labai rekomenduoju atsisakyti dešimtainių trupmenų visose neracionaliose išraiškose (t. y. turinčiose bent vieną radikalų simbolį). Taip ateityje sutaupysite daug laiko ir nervų.

Bet tai buvo lyrinis nukrypimas. Dabar panagrinėkime bendresnį atvejį – kai šakniniame eksponente yra savavališkas skaičius $n$, o ne tik „klasikiniai“ du.

Savavališko rodiklio atvejis

Taigi, mes sutvarkėme kvadratines šaknis. Ką daryti su kubiniais? Ar net su savavališko laipsnio $n$ šaknimis? Taip, viskas tas pats. Taisyklė išlieka ta pati:

Norint padauginti dvi $n$ laipsnio šaknis, pakanka padauginti jų radikaliąsias išraiškas, o rezultatą parašyti po vienu radikalu.

Apskritai, nieko sudėtingo. Išskyrus tai, kad skaičiavimų suma gali būti didesnė. Pažvelkime į porą pavyzdžių:

Pavyzdžiai. Apskaičiuokite produktus:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(lygiuoti)\]

Ir vėl atkreipkite dėmesį į antrąją išraišką. Padauginame kubo šaknis, atsisakome dešimtainės trupmenos ir gauname vardiklį skaičių 625 ir 25 sandauga. Tai gana didelis skaičius – asmeniškai aš negaliu suprasti, kam jis lygus iš karto. šikšnosparnis.

Taigi mes tiesiog išskyrėme tikslų kubą skaitiklyje ir vardiklyje, o tada panaudojome vieną iš pagrindinių $n$-osios šaknies savybių (arba, jei norite, apibrėžimo):

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\dešinė|. \\ \end(lygiuoti)\]

Tokios „machinacijos“ gali sutaupyti daug laiko per egzaminą ar testą, todėl atminkite:

Neskubėkite dauginti skaičių naudodami radikalias išraiškas. Pirmiausia patikrinkite: ką daryti, jei tikslus bet kurios išraiškos laipsnis yra „užšifruotas“?

Nepaisant šios pastabos akivaizdumo, turiu pripažinti, kad dauguma nepasiruošusių studentų nemato tikslių laipsnių tuščiame diapazone. Vietoj to, jie daugina viską, o tada stebisi: kodėl jie gavo tokius žiaurius skaičius :)

Tačiau visa tai yra kūdikių kalbėjimas, palyginti su tuo, ką mokysimės dabar.

Šaknų dauginimas su skirtingais rodikliais

Gerai, dabar galime padauginti šaknis su tais pačiais rodikliais. Ką daryti, jei rodikliai skiriasi? Tarkime, kaip padauginti įprastą $\sqrt(2)$ iš kažkokio šūdo, pvz., $\sqrt(23)$? Ar net įmanoma tai padaryti?

Taip, žinoma, galite. Viskas daroma pagal šią formulę:

Šaknų dauginimo taisyklė. Norint padauginti $\sqrt[n](a)$ iš $\sqrt[p](b)$, pakanka atlikti šią transformaciją:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau ši formulė veikia tik tuo atveju, jei radikalios išraiškos yra neneigiamos. Tai labai svarbi pastaba, prie kurios grįšime šiek tiek vėliau.

Kol kas pažvelkime į keletą pavyzdžių:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(lygiuoti)\]

Kaip matote, nieko sudėtingo. Dabar išsiaiškinkime, iš kur atsirado neneigiamumo reikalavimas ir kas bus, jei jį pažeisime :)

Padauginti šaknis lengva

Kodėl radikalios išraiškos turi būti neneigiamos?

Žinoma, galite būti kaip mokyklos mokytojai ir protingai cituoti vadovėlį:

Neneigiamumo reikalavimas siejamas su skirtingais lyginio ir nelyginio laipsnių šaknų apibrėžimais (atitinkamai skiriasi ir jų apibrėžimo sritys).

Na, ar tapo aiškiau? Asmeniškai, kai skaičiau šią nesąmonę 8 klasėje, supratau maždaug taip: „Neneigiamumo reikalavimas siejamas su *#&^@(*#@^#)~%“ – trumpai tariant, aš tuo metu nieko nesuprantu :)

Taigi dabar viską paaiškinsiu įprastai.

Pirmiausia išsiaiškinkime, iš kur kilusi aukščiau pateikta daugybos formulė. Norėdami tai padaryti, leiskite man priminti vieną svarbią šaknies savybę:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Kitaip tariant, radikaliąją išraišką galime nesunkiai pakelti iki bet kokios natūralios galios $k$ – tokiu atveju šaknies eksponentą teks padauginti iš tos pačios galios. Todėl galime nesunkiai sumažinti bet kokias šaknis iki bendro laipsnio ir tada jas padauginti. Iš čia kilusi daugybos formulė:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tačiau yra viena problema, kuri smarkiai riboja visų šių formulių naudojimą. Apsvarstykite šį skaičių:

Pagal ką tik pateiktą formulę galime pridėti bet kokį laipsnį. Pabandykime pridėti $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Minusą pašalinome būtent todėl, kad kvadratas degina minusą (kaip ir bet kuris kitas lyginis laipsnis). Dabar atlikime atvirkštinę transformaciją: „sumažinkime“ du rodiklius ir galią. Juk bet kokią lygybę galima skaityti ir iš kairės į dešinę, ir iš dešinės į kairę:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rodyklė dešinėn \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(lygiuoti)\]

Bet tada paaiškėja, kad tai kažkoks šūdas:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tai negali atsitikti, nes $\sqrt(-5) \lt 0$ ir $\sqrt(5) \gt 0$. Tai reiškia, kad lyginiams laipsniams ir neigiamiems skaičiams mūsų formulė nebeveikia. Po to turime dvi galimybes:

1. Atsitrenkti į sieną ir teigti, kad matematika yra kvailas mokslas, kur „yra taisyklės, bet jos netikslios“;
2. Įveskite papildomus apribojimus, pagal kuriuos formulė veiks 100 proc.

Pirmuoju variantu turėsime nuolat gaudyti „neveikiančius“ atvejus - tai sudėtinga, atima daug laiko ir paprastai yra baisu. Todėl matematikai pirmenybę teikė antram variantui :)

Bet nesijaudink! Praktiškai šis apribojimas neturi jokios įtakos skaičiavimams, nes visos aprašytos problemos yra susijusios tik su nelyginio laipsnio šaknimis ir iš jų galima paimti minusus.

Todėl suformuluokime dar vieną taisyklę, kuri paprastai taikoma visiems veiksmams su šaknimis:

Prieš daugindami šaknis, įsitikinkite, kad radikalios išraiškos nėra neigiamos.

Pavyzdys. Skaičiuje $\sqrt(-5)$ galite pašalinti minusą iš po šaknies ženklo - tada viskas bus normalu:

\[\begin(lygiuoti) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rodyklė dešinėn \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(lygiuoti)\]

Ar jaučiate skirtumą? Jei paliksite minusą po šaknimi, tada, kai radikali išraiška bus kvadratuota, ji išnyks ir prasidės šūdas. Ir jei pirmiausia išimsite minusą, tada galėsite kvadratuoti / nuimti iki mėlynos spalvos - skaičius liks neigiamas :)

Taigi teisingiausias ir patikimiausias būdas padauginti šaknis yra toks:

1. Pašalinkite visus negatyvus nuo radikalų. Minusai egzistuoja tik nelyginio daugumo šaknyse – juos galima dėti priešais šaknį ir, jei reikia, sumažinti (pavyzdžiui, jei yra du iš šių minusų).
2. Atlikite dauginimą pagal aukščiau aptartas taisykles šios dienos pamokoje. Jei šaknų rodikliai yra vienodi, radikaliąsias išraiškas tiesiog padauginame. Ir jei jie skiriasi, naudojame blogio formulę \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Mėgaukitės rezultatu ir gerais pažymiais. :)

Na? Praktikuosime?

1 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \end(lygiuoti)\]

Tai paprasčiausias variantas: šaknys vienodos ir nelyginės, tik bėda ta, kad antrasis veiksnys neigiamas. Šį minusą išimame iš paveikslėlio, po kurio viskas nesunkiai apskaičiuojama.

2 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( lygiuoti)\]

Čia daugelį suklaidintų tai, kad išvestis pasirodė esąs neracionalus skaičius. Taip, atsitinka: mes negalėjome visiškai atsikratyti šaknies, bet bent jau žymiai supaprastinome išraišką.

3 pavyzdys: Supaprastinkite išraišką:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \dešinė))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(lygiuoti)\]

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į šią užduotį. Čia yra du punktai:

1. Šaknis yra ne konkretus skaičius ar laipsnis, o kintamasis $a$. Iš pirmo žvilgsnio tai šiek tiek neįprasta, tačiau iš tikrųjų sprendžiant matematinius uždavinius dažniausiai tenka susidurti su kintamaisiais.
2. Galų gale mums pavyko „sumažinti“ radikalumo rodiklį ir radikalios išraiškos laipsnį. Taip nutinka gana dažnai. Ir tai reiškia, kad buvo galima žymiai supaprastinti skaičiavimus, jei nenaudojote pagrindinės formulės.

Pavyzdžiui, galite tai padaryti:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\pabaiga (lygiuoti)\]

Tiesą sakant, visos transformacijos buvo atliekamos tik su antruoju radikalu. Ir jei išsamiai neaprašysite visų tarpinių žingsnių, galiausiai skaičiavimų suma bus žymiai sumažinta.

Tiesą sakant, mes jau susidūrėme su panašia užduotimi aukščiau, kai išsprendėme $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ pavyzdį. Dabar tai galima parašyti daug paprasčiau:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(lygiuoti)\]

Na, mes sutvarkėme šaknų dauginimą. Dabar apsvarstykime atvirkštinį veiksmą: ką daryti, kai po šaknimi yra produktas?