Viena iš svarbių ekonominių problemų – nustatyti optimalią senų mašinų, aipcraTOB ir mašinų keitimo naujomis strategiją. Įrangos senėjimas – tai jos fizinis ir moralinis nusidėvėjimas, dėl kurio didėja remonto ir priežiūros kaštai, didėja gamybos sąnaudos gamybai ir mažėja.

našumas ir skystoji vertė. Ateina laikas, kai parduoti seną įrangą ir pakeisti ją nauja yra pelningiau nei eksploatuoti su didelėmis sąnaudomis; Be to, jį galima pakeisti nauja to paties tipo įranga arba nauja, pažangesne. Optimali įrangos keitimo strategija yra jos nustatymas optimalus laikas. Optimalumo kriterijumi šiuo atveju gali būti pelnas eksploatuojant įrangą, kurį reikėtų optimizuoti, arba bendros eksploatacijos sąnaudos per nagrinėjamą laikotarpį, kurias reikėtų minimalizuoti.

Įveskime tokį užrašą:

r(t)- metinės senosios įrangos priežiūros išlaidos t atsigulti;

g(t)- amžiaus įrangos likutinė vertė t atsigulti;

R 0 - įrangos pirkimo kaina.

Apsvarstykite laikotarpį N metų, per kuriuos būtina nustatyti optimalų įrangos keitimo ciklą.

Pažymėkime L*(/) optimalias išlaidas, gautas iš

įrangos amžius t metų už likusius N metų įrangos naudojimo ciklas, atsižvelgiant į optimalią strategiją.

Įrangos amžius matuojamas proceso eigos kryptimi. Taigi / = 0 atitinka naujos įrangos naudojimo atvejį. Kiekviename /V etapo proceso etape turi būti priimtas sprendimas išlaikyti, pakeisti ar remontuoti įrangą. Pasirinkta parinktis turėtų užtikrinti, kad visos eksploatacinės išlaidos nagrinėjamu laikotarpiu būtų sumažintos iki minimumo.

Daroma prielaida, kad pereinama nuo darbo su amžiaus įranga t Pasiruošimas dirbti su nauja įranga vyksta akimirksniu, tai yra, senos įrangos pakeitimas ir perėjimas prie darbo su nauja įranga telpa į vieną laikotarpį.

4.2 pavyzdys

Įranga naudojama penkerius metus, po to parduodama. Kiekvienų metų pradžioje galite nuspręsti, ar techniką pasiliksite, ar pakeisite nauja. Naujos įrangos kaina P 0= 4000 rub. Po to t eksploatacijos metai (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (skystoji vertė). Priežiūros išlaidos per metus priklauso nuo įrangos amžiaus t ir yra lygūs r(t) = 600(/ + 1).

Nustatykite optimalią įrangos eksploatavimo strategiją, kad bendros išlaidos, atsižvelgiant į pradinį pirkimą ir galutinį pardavimą, būtų minimalios.

Sprendimas. Valdymo padalijimo į žingsnius metodas yra natūralus, tačiau bėgant metams, n= 5. Būsenos parametras – mašinos amžius lu= t,,v 0 = 0 - automobilis yra naujas pirmųjų eksploatavimo metų pradžioje. Kiekvieno žingsnio valdymas priklauso nuo dviejų kintamųjų Jeigu Ir Jeigu.

Būsenos lygtys priklauso nuo valdymo:

A žingsnio efektyvumo rodiklis:

(at Jeigu išlaidos tik mašinos eksploatavimo amžiaus t, adresu Jeigu mašina parduodama (-4000 2~"), perkama nauja (4000) ir eksploatuojama pirmus metus (600), visos išlaidos yra (-4000 2" + 4000 + 600)).

Tegul l' (?) yra sąlyginės optimalios mašinos eksploatavimo išlaidos, pradedant nuo A žingsnio iki pabaigos, su sąlyga, kad iki A žingsnio pradžios mašina yra sena. Parašykime Velmano lygtis funkcijoms A(r), maksimizavimo uždavinį pakeisdami minimizavimo uždaviniu:

Vertė 4000 2 0+11 - automobilio amžiaus kaina t metų (pagal sąlygas automobilis parduodamas po penkerių metų eksploatacijos):

Iš funkcijų А* (/) apibrėžimo išplaukia, kad A min = А*(0).

Pateikiame geometrinį šios problemos sprendimą. Nubraižykime žingsnio numerį x ašyje į, o išilgai ordinatės – mašinos amžius /. Taškas (Kam - 1, /) lėktuve atitinka A pradžią - - mašinos eksploatavimo metai, amžius / metai. Judėjimas diagramoje, priklausomai nuo priimto valdiklio / o-tas žingsnis parodyta pav. 4.3.

Ryžiai. 4.3

Mašinos veikimo pradžios būsena atitinka tašką,v‘(0, 0), pabaigą – taškus.5(5,/). Bet kokia trajektorija, perkelianti tašką DA-1, /) iš taško 5, susideda iš segmentų - žingsnių, atitinkančių veikimo metus. Būtina pasirinkti tokią trajektoriją, kuriai esant mašinos eksploatavimo išlaidos bus minimalios.

Virš kiekvienos atkarpos, jungiančios taškus (A’ - 1, /) ir (A, / + 1), parašyti atitinkami valdikliai Jeigu kainuoja (600(/ + 1)), o virš atkarpos, jungiančios taškus (Kam- 1, /) ir ( Į, /), - išlaidos, atitinkančios valdymą Jeigu(4600 - 4000 2 "). Tokiu būdu dedami visi segmentai, jungiantys taškus 1rafix, atitinkantys perėjimus iš bet kurios būsenos ld_| į būseną s k(žr. 4.3 pav.).

Toliau pažymėtoje fafoje atliekamas sąlyginis optimizavimas. Valstijose (5, /) automobilis parduotas, sąlyginės optimalios pajamos iš pardavimo yra 4000 2~‘, bet kadangi tikslo funkcija yra susijusi su išlaidomis, pajamų reikšmė su minuso ženklu dedama į taškų apskritimus (5, /). Tada vėlesniuose etapuose iš dviejų galimų perėjimų parenkamos minimalios sąnaudos, parašytos apskritimu tam tikrame taške, o atitinkami valdikliai šiame žingsnyje pažymimi taškine rodykle. Šiuo atveju kiekviename žingsnyje Wellmano lygtys išsprendžiamos srautiniu būdu (4.4 pav.).

Atlikę sąlyginį optimizavimą, taške (0, 0) gauname minimalias mašinos eksploatavimo išlaidas maždaug penkeriems metams su vėlesniu pardavimu: A min = 11 900 Toliau sukonstruojama optimali trajektorija, judant iš taško Taigi (0, 0) išilgai punktyrinių rodyklių į.?. Gauname taškų rinkinį: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), kuris atitinka optimalų kontroliuoti U"(u c , U‘, U U c , U c). Optimalus režimas

trečiųjų metų pradžioje mašina turi būti pakeista nauja.

Taigi, pažymėtas grafikas (tinklas) leidžia aiškiai interpretuoti projektavimo schemą ir išspręsti problemą naudojant metodą dinaminis programavimas.

Dinaminio programavimo modeliai ir skaičiavimo procedūros yra labai lanksčios jų įtraukimo požiūriu įvairios modifikacijos užduotis. Pavyzdžiui, galima apsvarstyti panašią problemą didelis skaičius valdymo parinktys, „remontas“, „ kapitalinė renovacija“ ir kt. Į visus šiuos veiksnius galima atsižvelgti taikant dinaminio programavimo skaičiavimo schemą.

optimali dinaminio programavimo strategija

IN bendras vaizdas Problema keliama taip: nustatyti optimalią įrangos naudojimo strategiją per laikotarpį, trunkantį m metų, ir pelnas kas I metus, i= naudojant t metų senumo įrangą, turėtų būti maksimalus.

Žinomi: r(t) - pajamos iš per metus pagamintos produkcijos pardavimo t metų senumo įrangai, l(t) - metinės sąnaudos priklausomai nuo įrangos amžiaus t, c(t) - t senumo įrangos likutinė vertė. metų, P - kaina nauja įranga. Įrangos amžius reiškia įrangos eksploatavimo laikotarpį po paskutinio pakeitimo, išreikštą metais.

Norint sukurti matematinį modelį, toliau suformuluoti veiksmai atliekami nuosekliai.

1. Žingsnių skaičiaus nustatymas. Žingsnių skaičius yra lygus metų, per kuriuos įranga yra naudojama, skaičiui.

2. Sistemos būsenų nustatymas. Sistemos būklė apibūdinama įrangos amžiumi t; t=.

3. Valdymo elementų apibrėžimas. I-ojo žingsnio pradžioje i= galima pasirinkti vieną iš dviejų valdiklių: pakeisti arba nepakeisti įrangą. Kiekviena valdymo parinktis priskiriama numeriui

uс - jei įranga nepakeičiama;

uз – jei įranga pakeičiama.

4. Išmokėjimo funkcijos nustatymas įjungtas i-tas žingsnis. Išmokėjimo funkcija įjungta i-ajame žingsnyje yra pelnas iš įrangos naudojimo iki i-tųjų veiklos metų pabaigos, t=, i=.

u1= uс - jei įranga nepakeičiama i-tųjų metų pradžioje;

u2= uз – jei įranga pakeičiama.

Taigi, jei įranga neparduota, tai pelnas iš jos naudojimo yra skirtumas tarp gamybos savikainos ir eksploatacijos kaštų. Keičiant įrangą pelnas yra skirtumas tarp įrangos likutinės vertės ir naujos įrangos savikainos, prie kurios pridedamas skirtumas tarp gamybos savikainos ir naujos įrangos, kurios amžius i pradžioje - žingsnis yra 0 metų.

5. Būsenos keitimo funkcijos apibrėžimas

u1 uс – jei Xi=0

u2= uз – jei Xi=1

6. Funkcinės lygties i=m sudarymas.

7. Pagrindinės funkcinės lygties sudarymas

Čia Wi(t) yra pelnas iš t metų senumo įrangos naudojimo nuo i-ojo etapo (nuo i-tųjų metų pabaigos) iki eksploatavimo laikotarpio pabaigos.

Wi+1(t+1) - pelnas iš t+1 metų amžiaus įrangos naudojimo nuo (i+1) pakopos iki eksploatacijos laikotarpio pabaigos;

Taigi buvo sukurtas matematinis problemos modelis.

Problemos sprendimo algoritmas

Įveskime tokį užrašą:

t yra įrangos amžius.

L(t) - gaminių gamyba ant įrangos, kurios amžius yra t metų.

R(t) – įrangos priežiūros išlaidos.

P(t) – įrangos likutinė vertė.

P - naujos įrangos kaina

Fn(t) – pelnas iš senos įrangos, kurios amžius yra t metų.

n-pernai.

ant senos įrangos (1)

Tai yra funkcinė lygtis

Įvesti dokumento formą

Duomenys gali būti įvesti naudojant lentelę:

Lentelė Nr.1. Duomenų įvedimo informacija.

Pagal formulę

Programinės ir techninės įrangos aprašymas

Programa buvo sukurta Borland programavimo kalba

Delphi 7.0 naudojant operacinę sistemą Microsoft Windows XP Professional

Kuriant programą buvo naudojami Delphi komponentai:

String Grid – katalogams užpildyti ir rezultatams rodyti

Redaguoti – įvesti reikšmes

Mygtukas – mygtukui sukurti

Etiketė – etikečių kūrimas, kad būtų patogu naudoti

Vaizdas – vaizdai

Pagrindinis meniu – programos meniu

OpenDialog – atidarykite dialogą

Vystymosi metu programinė įranga Taip pat buvo naudojamos šios sistemos priemonės:

Antivirusinė programa (Dr.Web 4.44)

Archyvavimo programos (WinRar v3.45).

Microsoft Office paslaugų programos ( Microsoft Word, Excel).

grafiniai redaktoriai (PhotoShop v CS3)

Kuriant programinę įrangą buvo naudojamas kompiuteris, turintis šias charakteristikas:

Procesorius: Intel Pentium(R) 3.00 GHz

RAM: 1 Gb DDR2 PC 533

Vaizdo plokštė: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Kietasis diskas: 200 Gb

Monitorius: 17 colių 1280x1025@75Hz

Derinimo pavyzdys

Raskime maksimalų pelną keisdami įrangą po 2 metų:

Pagal formulę

Išvada: Maksimalų pelną gausime 215 vnt., jei techniką pakeisime po 2 metų į trečius.

Programos aprašymas

Programa „Įrangos keitimo problemų sprendimas“ skirta įmonėms, kurios verčiasi bet kokia veikla, kuriai reikalinga tam tikra įranga. Dėl daugelio priežasčių įranga susidėvi fiziškai, t.y. sugenda ir negali būti taisoma arba atsiranda tokie gedimai, kuriuose lengviau nusipirkti naują techniką nei remontuoti seną, arba ji susidėvi morališkai, t.y. augimo tempas ekonominė plėtraŠios įrangos gamybos pramonės šakos yra labai didelės. Taigi, kad „produkto gamyba“ tokia įranga pasiektų maksimalus efektas, jis turi būti periodiškai keičiamas. Ši programa apskaičiuoja metų skaičių, po kurio reikia pakeisti įrangą, kad gautumėte maksimalų pelną.

Kuriant programą „Įrangos keitimo problemų sprendimas“, buvo naudojama Delphi 6 programavimo kalba. Šiuo metu ši objektinė programavimo aplinka yra labai populiari. Tai leidžia kurti įvairaus sudėtingumo programas – nuo ​​paprastų programų iki profesionalių, skirtų darbui su duomenų bazėmis. Be to, programos pagalba pateikiama HTML puslapiuose naudojant Arachnophilia programą.

Visas darbas su programa grindžiamas darbu su meniu, jo aprašymą rasite meniu punkte Pagalba/Turinys/Darbas su meniu.

Ši programa sukurta vykdant kursinį dalyką „Matematiniai metodai“ šia tema.

Dinaminis programavimas. Įrangos keitimo problema

Raskite optimalų įrangos keitimo laiką. Pradinė įrangos kaina q 0 =6000 įprastinių. vnt., likvidacinė vertė L(t)=q 0 2 -i, i metų senumo įrangos išlaikymo kaštai 1 metus S(t)=0,1q 0 (t+1), įrangos tarnavimo laikas 5 metai. Pasibaigus eksploatavimo laikui, įranga parduodama. Išspręskite problemą grafiškai.

Norėdami sukurti grafiką Wolfram Mathematica 6.0 programinėje įrangoje, įveskite

g = diagrama [(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Dėl to gauname grafiką:

Iš grafiko matome, kad optimalus įrangos keitimo laikotarpis yra antrieji jos veikimo metai.

Dinaminis programavimas. Optimalus lėšų paskirstymas tarp įmonių

Raskite optimalų lėšų paskirstymą 9 įprastinių vienetų sumai. vienetų tarp keturių įmonių. Kiekvienos įmonės pelnas priklauso nuo į ją investuotų lėšų ir pateikiamas lentelėje:

Investicijos
Aš įmonė
II įmonė
III įmonė
IV įmonė

Investicijos į kiekvieną įmonę yra 1 įprastinio vieneto kartotiniai. vienetų

Lėšų skyrimo įmonėms procesą suskirstykime į 4 etapus: pirmajame etape y 1 lėšos skiriamos įmonei P 1, antrame - y 2 lėšos įmonei P 2, trečiame - y 3 lėšos įmonei P. 3, ketvirtame trečdalyje - y 4 lėšos įmonei P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1, 2, 3, 4.

Atkreipkite dėmesį, kad ketvirtame lėšų paskirstymo etape visas likutis x 3 investuojamas į įmonę P 4, todėl y 3 = x 4.

Naudokime Belmano lygtis N = 4.

Dėl to gauname šias lenteles:

1 lentelė

2 lentelė

3 lentelė

4 lentelė

Iš 4 lentelės matyti, kad optimalus valdymas bus y 1 * = 3, o optimalus pelnas yra 42. Toliau gauname

x 1 =x 0 -y 1 * = 9-3 = 6, 2 (x 1) = 2 (6) = 30, y 2 * = 1

x 2 = x 1 -y 2 * = 6-1 = 5, 3 (x 2) = 3 (5) = 23, y 3 * = 1

x 3 = x 2 -y 3 * = 5-1 = 4, 4 (x 3) = 4 (4) = 15, y 3 * = 4

Taigi optimaliausia investicija į įmones P1, P2, P3 ir P4 grynųjų pinigų atitinkamai 4, 1,1 ir 3 sutartinių vienetų. Tokiu atveju pelnas bus maksimalus ir sieks 42 įprastinius vienetus. vienetų

Įrangos keitimo užduotis – nustatyti optimalų senos įrangos (mašinų, gamybinių pastatų ir kt.) keitimo laiką jos eksploatacijos metu. Laikui bėgant didėja einamojo ir kapitalinio remonto bei priežiūros gamybos sąnaudos, mažėja darbo našumas ir likvidžioji vertė.

Todėl tam tikru momentu atsiranda poreikis (ekonominis pagrįstumas) seną įrangą pakeisti nauja. Optimalumo kriterijus, kaip taisyklė, yra arba pelnas iš įrangos eksploatavimo (maksimizavimo problema), arba bendrosios eksploatacijos išlaidos per planuojamą laikotarpį (minimizacijos problema).

Taigi užduotis yra rasti senos įrangos keitimo nauja grafiką per planuojamą eksploatacijos laikotarpį.

Pagrindinė įrangos charakteristika yra būklės parametras – jos amžius.

Sudarant dinaminį pakeitimo modelį, pakeitimo procesas laikomas – laipsniškai, visą veikimo laikotarpį padalinant į n žingsnių. Galimas valdymas kiekviename žingsnyje pasižymi kokybinėmis savybėmis, pavyzdžiui,
(taupyti įrangą),
(pakeiskite įrangą).

Sprendžiant įrangos keitimo problemą, naudojami šie pradiniai duomenys:

– planavimo laikotarpis;

- skysta įrangos kaina (
);

– įrangos priežiūros išlaidos (
);

– pradinė įrangos kaina ().

Sistemos būsenos lygtys priklauso nuo valdiklio:

Tiesą sakant, jei reikia -tas žingsnis
, tada prižiūrėdami įrangą
per metus įrangos amžius padidės 1. Jeigu įranga bus pakeista nauja
, tada tai reiškia, kad iš pradžių - jos amžiaus pakopa =0, o po eksploatacijos metų =1, t.y.
.

Veikimo rodiklis žingsnis:

.

Leiskite
– sąlyginės optimalios įrangos eksploatavimo išlaidos, pradedant nuo žingsnis iki pabaigos, su sąlyga, kad iki pradžios -pakopinė įranga sena metų.

Tada Bellmano lygtys atrodys taip:

Geometrinis įrangos keitimo problemos sprendimas. Įrangos keitimo problemos sprendimo skaičiavimo schema gali būti pateikta dviejų koordinačių diagramos (grafiko) pavidalu. Ant abscisių ašies pavaizduosime žingsnio numerį , ordinatėje – įrangos amžius . Taškas
plokštumoje atitinka pradžią įrangos eksploatavimo metų amžiaus metų. Judėjimas diagramoje, atsižvelgiant į priimtą valdiklį -tas žingsnis parodytas paveikslėlyje.

Virš kiekvieno segmento, jungiančio taškus
Ir
, įrašomi atitinkami valdikliai
įrangos priežiūros išlaidos, o virš segmento, jungiančio taškus
Ir
, surašome išlaidas, atitinkančias įrangos keitimą – valdymą
. Taigi visi atkarpos, jungiančios taškus grafike, atitinkančios perėjimus iš bet kurios būsenos, bus pažymėti
valstybėje .

Tipiško pavyzdžio sprendimas

4 užduotis

TITAN gamykloje įranga buvo eksploatuojama
metų, po to parduodamas (manoma, kad po metų įranga dėl pasenimo nepajėgi užtikrinti konkurencingos produkcijos gamybos). Kiekvienų metų pradžioje įmonės vadovybė nusprendžia įrangą pasilikti arba pakeisti nauja, panašia įranga (šiuo atveju sena įranga parduodama, o gautos lėšos panaudojamos daliai naujos gamybos sąnaudų padengti). įranga). Pradinė naujos įrangos kaina yra
tūkstančių rublių, įrangos priežiūros išlaidos –
tūkstančių rublių, o įrangos likvidumo vertė –
tūkstančių rublių pateikiami lentelėje. 11.

11 lentelė

Pradiniai įrangos keitimo užduoties duomenys

Būtina:

1. Nustatyti minimalias bendras TITAN gamybos įmonės išlaidas įrangos eksploatavimui per nagrinėjamą laikotarpį. .

2. Nustatyti optimalią įrangos eksploatavimo strategiją (grafiką), užtikrinant minimalias bendrąsias TITAN gamybos įmonės veiklos sąnaudas per nagrinėjamą laikotarpį. dabartinėmis kainomis.

3. Pateikite gauto sprendimo ekonominę interpretaciją.

1. Nustatykime minimalias bendrąsias TITAN gamybos įmonės išlaidas įrangai eksploatuoti 5 metus. Atlikime sąlyginį optimizavimą pažymėtame grafike (28 pav.).

5 veiksmas Valstijose (5, ) įranga parduodama, sąlyginės optimalios pardavimo pajamos yra lygios likvidžiajai vertei
, bet kadangi tikslo funkcija yra susijusi su išlaidomis, tai taškų apskritimuose (5, ) pažymėkite pajamų sumą „–“ ženklu.

Būsena (4,1).

Taigi, jei sistema paskutinis žingsnis buvo taške (4,1), tuomet turėtumėte eiti į tašką (5,2) (šią kryptį nurodome punktyrine linija).

Būsena (4,2).

Optimali įrangos keitimo strategija

Viena iš svarbių ekonominių problemų yra optimalios strategijos senų mašinų, agregatų ir mašinų pakeitimui naujomis nustatymas.

Įrangos senėjimas apima jos fizinį ir moralinį nusidėvėjimą, dėl kurio didėja gamybos sąnaudos gaminant produkciją senais įrenginiais, didėja išlaidos jos remontui ir priežiūrai, mažėja našumas ir skystoji vertė.

Ateina laikas, kai seną techniką parduoti ir pakeisti nauja yra pelningiau nei eksploatuoti su didelėmis išlaidomis; Be to, jį galima pakeisti nauja to paties tipo įranga arba nauja, pažangesne.

Optimali įrangos keitimo strategija yra nustatyti optimalų pakeitimo laiką. Optimalumo kriterijumi šiuo atveju gali būti pelnas eksploatuojant įrangą, kurį reikėtų optimizuoti, arba bendros eksploatacijos sąnaudos per nagrinėjamą laikotarpį, kurias reikėtų minimalizuoti.

Įveskime tokį žymėjimą: r(t) – per vienerius metus pagamintų produktų savikaina t metų senumo įrangos vienetui;

u(t) – t metų amžiaus įrangos metinės priežiūros išlaidos;

s(t) - t metų senumo įrangos likutinė vertė;

P yra įrangos pirkimo kaina.

Apsvarstykite N metų laikotarpį, per kurį būtina nustatyti optimalų įrangos keitimo ciklą.

Pažymėkime fN(t) maksimalias pajamas, gautas iš t metų senumo įrangos už likusius N įrangos naudojimo ciklo metus, atsižvelgiant į optimalią strategiją.

Įrangos amžius matuojamas proceso eigos kryptimi. Taigi t = 0 atitinka naujos įrangos naudojimo atvejį. Proceso laiko etapai sunumeruoti priešinga kryptimi, atsižvelgiant į proceso eigą. Taigi N = 1 reiškia vieną laiko etapą, likusį iki proceso pabaigos, o N = N – iki proceso pradžios.

Kiekviename N etapo proceso etape turi būti priimtas sprendimas palikti arba pakeisti įrangą. Pasirinktas variantas turėtų užtikrinti maksimalų pelną.

Funkcinės lygtys, pagrįstos optimalumo principu, turi tokią formą:

Pirmoji lygtis apibūdina N etapų procesą, o antroji – vienos pakopos procesą. Abi lygtys turi dvi dalis: viršutinė eilutė nustato pajamas, gaunamas išlaikant įrangą; mažesnės - pajamos, gautos keičiant įrangą ir tęsiant darbo procesą prie naujos įrangos.

Pirmoje lygtyje funkcija r(t) - u(t) yra skirtumas tarp pagamintos produkcijos savikainos ir veiklos sąnaudų N-oje proceso stadijoje.

Funkcija fN–1 (t + 1) apibūdina bendrą pelną iš (N - 1) likusių etapų įrangai, kurios amžius šių etapų pradžioje yra (t + 1) metai.

Pirmosios lygties esmė apibūdinama taip: funkcija s(t) - P reiškia grynąsias t metų senumo įrangos pakeitimo išlaidas.

Funkcija r(0) išreiškia pajamas, gautas iš naujos 0 metų senumo įrangos. Daroma prielaida, kad perėjimas nuo darbo prie t metų amžiaus įrenginių prie darbo su nauja įranga įvyksta akimirksniu, t.y. į tą patį etapą patenka senos įrangos keitimo ir perėjimo prie darbo prie naujos įrangos laikotarpis.

Paskutinė funkcija fN–1 reiškia pajamas iš likusių N - 1 etapų, iki kurių pradžios įranga yra vienerių metų senumo.

Panašiai galima interpretuoti ir vieno etapo proceso lygtį. F0(t + 1) formos termino nėra, nes N įgauna reikšmę 1, 2,..., N. Lygybė f0(t) = 0 išplaukia iš funkcijos fN(t) apibrėžimo.

Lygtys yra pasikartojantys ryšiai, leidžiantys nustatyti fN(t) reikšmę priklausomai nuo fN–1(t + 1). Šių lygčių struktūra rodo, kad pereinant iš vieno proceso etapo į kitą, įrangos amžius padidėja nuo t iki (t + 1) metų, o likusių etapų skaičius sumažėja nuo N iki (N - 1) .

Skaičiavimas pradedamas naudojant pirmąją lygtį. Lygtys leidžia įvertinti įrangos keitimo ir priežiūros galimybes, kad galėtumėte priimti tą, kuri siūlo daugiausia pajamų. Šie koeficientai leidžia ne tik pasirinkti veiksmų kryptį sprendžiant, ar reikia prižiūrėti ar pakeisti įrangą, bet ir nustatyti pelną, gautą priimant kiekvieną iš šių sprendimų.

Pavyzdys. Nustatykite optimalų įrangos keitimo ciklą naudodami šiuos pradinius duomenis: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), pateiktus lentelėje.

Sprendimas. Rašome lygtis tokia forma:

Tęsiame skaičiavimus, kol tenkinama sąlyga f1(1) > f2(2), t.y. V šiuo metuįrangą reikia pakeisti, nes pakeitus įrangą gaunamas pelnas yra didesnis nei naudojant seną. Skaičiavimo rezultatus dedame į lentelę, pakeitimo momentą pažymime žvaigždute, po kurio sustabdome tolesnius skaičiavimus išilgai linijos.

Nereikia kiekvieną kartą spręsti lygties, o atlikti skaičiavimus lentelėje. Pavyzdžiui, apskaičiuokime f4(t):

Sustabdome tolesnius f4(t) skaičiavimus, nes f4(4) = 23 Remdamiesi skaičiavimo rezultatais ir išilgai linijos, ribojančios įrangos priežiūros ir keitimo sprendimų sritis, randame optimalų įrangos keitimo ciklą. Šiai užduočiai atlikti 4 metai.

Atsakymas. Norint gauti maksimalų pelną naudojant įrangą dvylikos pakopų procese, optimalus ciklas yra įrangos keitimas kas 4 metus.

Optimalus išteklių paskirstymas

Tegul yra tam tikras x išteklių kiekis, kurį reikia paskirstyti tarp n įvairios įmonės, daiktai, darbai ir kt. kad iš pasirinkto paskirstymo metodo būtų gautas maksimalus bendras efektyvumas.

Įveskime tokį žymėjimą: xi - i-tai įmonei skiriamų išteklių kiekis (i = );

gi(xi) yra naudingumo funkcija, šiuo atveju tai i-tosios įmonės gautų pajamų iš xi išteklių naudojimo suma;

fk(x) yra didžiausios pajamos, kurias galima gauti naudojant x išteklius iš pirmųjų k skirtingų įmonių.

Suformuluotą problemą galima parašyti matematine forma:

su apribojimais:

Norint išspręsti problemą, reikia gauti pasikartojimo ryšį, jungiantį fk(x) ir fk–1(x).

Pažymėkime xk k-tu metodu naudojamų išteklių kiekį (0 ≤ xk ≤ x), tada (k - 1) metodams likusių išteklių kiekis yra lygus (x - xk). Didžiausios pajamos, kurios gaunamos naudojant išteklius (x - xk) iš pirmųjų (k - 1) metodų, bus fk–1(x - xk).

Norint maksimaliai padidinti bendras pajamas iš k-ojo ir pirmojo (k - 1) metodų, reikia pasirinkti xk taip, kad būtų tenkinami šie santykiai:

Pasvarstykime konkreti užduotis dėl kapitalo investicijų paskirstymo tarp įmonių.

Investicijų paskirstymas už efektyvus naudojimasįmonės potencialą

Bendrovės valdyba svarsto siūlymus padidinti gamybos pajėgumus, siekiant padidinti vienarūšės produkcijos gamybą keturiose įmonei priklausančiose įmonėse.

Norėdami išplėsti gamybą, direktorių valdyba skiria 120 milijonų rublių lėšų. su 20 milijonų rublių diskretiškumu. Gamybos padidėjimas įmonėse priklauso nuo paskirstytos sumos, kurią pateikia įmonės ir yra pateiktos lentelėje.

Raskite tokį lėšų paskirstymą tarp įmonių, kad būtų užtikrintas maksimalus produkcijos padidėjimas, o vienai įmonei galima investuoti ne daugiau kaip vieną.

Sprendimas. Suskirstykime problemos sprendimą į keturis etapus pagal įmonių, į kurias numatoma investuoti, skaičių.

Pasikartojimo santykiai atrodys taip:

įmonei Nr.1

visoms kitoms įmonėms

Sprendimą atliksime pagal pasikartojimo ryšius keturiais etapais.

1 etapas. Investuojame tik pirmajai įmonei. Tada

2 etapas. Investicijas skiriame pirmai ir antrai įmonėms. 2 etapo pasikartojimo ryšys turi formą

kai x = 20 f2(20) = maks. (8 + 0,0 + 10) = maks. (8, 10) = 10,

esant x = 40 f2(40) = maks. (16,8 + 10,20) = maks. (16, 18, 20) = 20,

esant x = 60 f2(60) = maks. (25,16 + 10, 8 + 20,28) = maks. (25,26, 28,28) = 28,

kai x = 80 f2(80) = maks. (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = maks. (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

kai x = 100 f2(100) = maks. (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = maks. (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

esant x = 120 f2(120) = maks. (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) ​​= maks. (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3 etapas. Finansuojame 2-ą ir trečią įmonę. Skaičiavimus atliekame pagal formulę

kai x = 20 f3(20) = maks.(10, 12) = 12,

esant x = 40 f3(40) = maks. (20.10 + 12.21) = maks. (20, 22, 21) = 22,

esant x = 60 f3(60) = maks. (28,20 + 12,10 + 21,27) = maks. (28, 32, 31, 27) = 32,

esant x = 80 f3(80) = maks. (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = maks. (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

kai x = 100 f3(100) = maks. (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = maks. (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

esant x = 120 f3(120) = maks. (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = maks. (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4-as etapas. Investicijos siekia 120 milijonų rublių. paskirstytas tarp 3 etapo ir ketvirtos įmonės.

Esant x = 120 f4(120) = maks. (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = maks. (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Gaunamos kontrolės sąlygos nuo 1 iki 4 etapo. Grįžkime iš 4 į 1 etapą. Didžiausias produkto gamybos padidėjimas yra 64 milijonai rublių. 4 etape gautas kaip 41 + 23, t.y. 23 milijonai rublių. atitinka 40 milijonų rublių paskirstymą. ketvirtoji įmonė (žr. 29.3 lentelę). Pagal 3 etapą 41 mln. gautas kaip 20 + 21, t.y. 21 milijonas rublių. atitinka tam skirtą 40 milijonų rublių asignavimą. į trečią įmonę. Pagal 2 etapą 20 milijonų rublių. gavo 40 milijonų rublių. į antrąją įmonę.

Taigi, investicijos siekia 120 milijonų rublių. Antrai, trečiai ir ketvirtai įmonėms patartina skirti po 40 milijonų rublių. kiekvienas, o gamybos padidėjimas bus maksimalus ir sudarys 64 milijonus rublių.

Įmonių statybos ir veiklos sąnaudų mažinimas

Užduotis įjungta optimali vieta gamybos įmonės gali būti redukuojama į išteklių paskirstymo problemą pagal minimizavimo kriterijų, atsižvelgiant į kintamiesiems keliamas sveikojo skaičiaus sąlygas.

Tegul egzistuoja tam tikroje teritorijoje paklausios prekės poreikis. Yra žinomi taškai, kur galima kurti įmones gaminančias šis produktas. Paskaičiuotos tokių įmonių statybos ir veiklos sąnaudos.

Būtina įmones išdėstyti taip, kad jų statybos ir eksploatavimo kaštai būtų minimalūs.

Įveskime tokį užrašą:

x yra paskirstytų išteklių kiekis, kuris gali būti naudojamas n skirtingais būdais,

xi - pagal i metodą panaudoto resurso kiekis (i = );

gi(xi) yra sąnaudų funkcija, lygi, pavyzdžiui, gamybos kaštų vertei, kai naudojamas išteklius xi naudojant i metodą;

φk(x) – mažiausia kaina, kuriuos reikia sukurti naudojant x išteklių pirmaisiais k būdais.

Būtina visais būdais sumažinti bendras x išteklių kūrimo išlaidas:

pagal apribojimus

Ekonominė kintamųjų xi reikšmė – rasti i-ajame taške rekomenduojamų statyti įmonių skaičių. Skaičiavimų patogumui darysime prielaidą, kad planuojama statyti tokio pat pajėgumo įmones.

Panagrinėkime konkrečią įmonių vietos nustatymo problemą.

Pavyzdys. Trijuose miesto rajonuose verslininkas planuoja statyti penkias vienodo pajėgumo įmones, kurios gamins paklausius kepinius.

Įmones būtina išdėstyti taip, kad būtų užtikrintos minimalios bendros jų statybos ir eksploatavimo išlaidos. Kainų funkcijos gi(x) reikšmės pateiktos lentelėje.

IN šiame pavyzdyje gi(x) yra išlaidų milijonais rublių funkcija, apibūdinanti statybos ir eksploatavimo išlaidų sumą, priklausomai nuo įmonių, esančių i-tame regione, skaičiaus;

φk(x) yra mažiausia išlaidų suma milijonais rublių, kurią reikia patirti statant ir eksploatuojant įmones pirmuosiuose k regionuose.

Sprendimas. Problemą išsprendžiame naudodami pasikartojimo ryšius: pirmajam regionui

kitoms sritims

Problemą išspręsime trimis etapais.

1 etapas. Jeigu visos įmonės statomos tik pirmame rajone, tai

minimalios galimos išlaidos, kai x = 5, yra 76 milijonai rublių.

2 etapas. Optimalią įmonių išdėstymo strategiją nustatykime tik pirmuosiuose dviejuose regionuose naudodami formulę

Raskime φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l) = 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Apskaičiuokime φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

Raskime φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

Apibrėžkime φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Apskaičiuokime φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

3 etapas. Pagal formulę nustatykime optimalią penkių įmonių trijuose rajonuose išdėstymo strategiją

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Raskime φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3 (1) + φ2 (4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Mažiausios galimos išlaidos, kai x = 5, yra 46 milijonai rublių.

Nustatytos I-III etapų įmonių statybos sąnaudos. Grįžkime į 1 etapą 3 dieną. Minimalios išlaidos 46 milijonai rublių. 3 etape gaunami kaip 9 + 37, t.y. 9 milijonai rublių. atitinka vienos įmonės statybą trečiajame regione (žr. 29.4 lentelę). Pagal 2 etapą 37 milijonai rublių. gautas kaip 19 + 18, t.y. 19 milijonų rublių. atitinka dviejų įmonių statybą antrajame regione. Pagal 1 etapą 18 milijonų rublių. atitinka dviejų įmonių statybą pirmame regione.

Atsakymas. Optimali strategija yra statyti po vieną įmonę trečiajame rajone, po dvi įmones antrajame ir pirmame rajonuose, o tuo tarpu minimalios išlaidos statyba ir eksploatacija truks 46 dienas. vienetų

Racionalių kaštų radimas tiesiant vamzdynus ir transporto arterijas

Tarp dviejų taškų A ir B reikia nutiesti taką (vamzdyną, greitkelį) taip, kad bendros jo tiesimo išlaidos būtų minimalios.

Sprendimas. Atstumą tarp taškų A ir B padalinkime į žingsnius (segmentus). Kiekviename žingsnyje galime judėti tiesiai į rytus (išilgai X ašies) arba tiesiai į šiaurę (išilgai Y ašies). Tada kelias nuo A iki B reiškia pakopą nutrūkusi linija, kurios atkarpos lygiagrečios vienai iš koordinačių ašių. Kiekvienos sekcijos statybos išlaidos žinomos (29.2 pav.) milijonais rublių.

Atstumą nuo A iki B rytų kryptimi padalinkime į 4 dalis, šiaurėje – į 3 dalis. Kelias gali būti laikomas valdoma sistema, judančia valdymo įtaka iš pradinės būsenos A į galutinę būseną B. Šios sistemos būsena prieš kiekvieno žingsnio pradžią bus apibūdinama dviem sveikosiomis koordinatėmis x ir y. Kiekvienai sistemos būsenai (mazgo taškui) randame sąlyginį optimalų valdymą. Jis parenkamas taip, kad visų likusių žingsnių kaina iki proceso pabaigos būtų minimali. Sąlyginio optimizavimo procedūrą atliekame priešinga kryptimi, t.y. iš taško B į tašką A.

Raskime paskutinio žingsnio sąlyginį optimizavimą.