Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijami be liekanos didžiausias bendras daliklis (GCD)šiuos skaičius.
Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai yra skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 yra skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami abipusiai pirminis.
Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami abipusiai pirminis, jei jų didžiausias bendras daliklis (GCD) yra 1.
Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.
Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du du).
Likę veiksniai yra 2 * 2 * 3. Jų sandauga yra 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias bendras trijų ar daugiau skaičių daliklis.
Norėdami rasti didžiausias bendras daliklis
2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.
Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras skaičių 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra skaičius 15, nes visi kiti skaičiai dalijasi iš jo: 45, 75 ir 180.
Mažiausias kartotinis (LCM)
Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra a ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neužrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, padauginkime 75 ir 60 į pirminius koeficientus: 75 = 3 * 5 * 5 ir 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašykime veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridėkime prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (t. y. veiksnius sujungiame).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.
Jie taip pat randa mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.
Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) sudėti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.
Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras skaičių 12, 15, 20 ir 60 kartotinis yra 60, nes jis dalijasi iš visų tų skaičių.
Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Jie pavadino skaičių, lygų visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), tobulu skaičiumi. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobulus skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau mokslininkai vis dar nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulas skaičius.
Senovės matematikai susidomėjo pirminiais skaičiais dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, t.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai yra mažiau paplitę. Kyla klausimas: ar yra paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Elementai“, kuri buvo pagrindinis matematikos vadovėlis du tūkstančius metų, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, t. y. už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi dar didesnis pirminis skaičius. numerį.
Norėdamas rasti pirminius skaičius, šį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vieną, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius, einančius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, t. y. 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų visi skaičiai, esantys po 3 (skaičiai, kurie buvo 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir t. t.), buvo perbraukti. pabaigoje liko nesukirsti tik pirminiai skaičiai.
Internetinė skaičiuoklė leidžia greitai rasti dviejų ar bet kurio kito skaičių didžiausią bendrą daliklį ir mažiausią bendrą kartotinį.
Skaičiuoklė GCD ir LCM paieškai
Raskite GCD ir LOC
Rasta GCD ir LOC: 5806
Kaip naudotis skaičiuokle
- Įvesties lauke įveskite skaičius
- Jei įvesite neteisingus simbolius, įvesties laukas bus paryškintas raudonai
- spustelėkite mygtuką „Rasti GCD ir LCM“.
Kaip įvesti skaičius
- Skaičiai įvedami atskirti tarpu, tašku arba kableliu
- Įvestų skaičių ilgis neribojamas, todėl nėra sunku rasti ilgų skaičių GCD ir LCM
Kas yra GCD ir NOC?
Didžiausias bendras daliklis keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio visi pradiniai skaičiai dalijasi be liekanos. Didžiausias bendras daliklis yra sutrumpintas kaip GCD.
Mažiausias bendras kartotinis keli skaičiai yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pradinio skaičiaus be liekanos. Mažiausias bendras kartotinis sutrumpintas kaip NOC.
Kaip patikrinti, ar skaičius dalijasi iš kito skaičiaus be liekanos?
Norėdami sužinoti, ar vienas skaičius dalijasi iš kito be liekanos, galite naudoti kai kurias skaičių dalijimosi savybes. Tada juos sujungę galite patikrinti kai kurių iš jų ir jų derinių dalijamumą.
Kai kurie skaičių dalijimosi ženklai
1. Skaičiaus dalijimosi iš 2 testas
Norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš dviejų (ar jis lyginis), pakanka pažvelgti į paskutinį šio skaičiaus skaitmenį: jei jis lygus 0, 2, 4, 6 arba 8, tada skaičius yra lyginis, tai reiškia, kad jis dalijasi iš 2.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 2.
Sprendimas: Mes žiūrime į paskutinį skaitmenį: 8 - tai reiškia, kad skaičius dalijasi iš dviejų.
2. Skaičiaus dalijimosi iš 3 testas
Skaičius dalijasi iš 3, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš trijų. Taigi, norint nustatyti, ar skaičius dalijasi iš 3, reikia apskaičiuoti skaitmenų sumą ir patikrinti, ar ji dalijasi iš 3. Net jei skaitmenų suma yra labai didelė, tą patį procesą galima pakartoti dar kartą.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 3.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 3, vadinasi, skaičius dalijasi iš trijų.
3. Skaičiaus dalijimosi iš 5 testas
Skaičius dalijasi iš 5, kai paskutinis jo skaitmuo yra nulis arba penki.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 5.
Sprendimas: pažiūrėkite į paskutinį skaitmenį: 8 reiškia, kad skaičius NĖRA dalijamas iš penkių.
4. Skaičiaus dalijimosi iš 9 testas
Šis ženklas labai panašus į dalijimosi iš trijų ženklą: skaičius dalijasi iš 9, kai jo skaitmenų suma dalijasi iš 9.
Pavyzdys: nustatyti, ar skaičius 34938 dalijasi iš 9.
Sprendimas: Skaičiuojame skaičių sumą: 3+4+9+3+8 = 27. 27 dalijasi iš 9, vadinasi, skaičius dalijasi iš devynių.
Kaip rasti dviejų skaičių GCD ir LCM
Kaip rasti dviejų skaičių gcd
Paprasčiausias būdas apskaičiuoti didžiausią bendrąjį dviejų skaičių daliklį – surasti visus galimus tų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią.
Panagrinėkime šį metodą naudodami GCD(28, 36) radimo pavyzdį:
- Suskaičiuojame abu skaičius: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
- Randame bendrus veiksnius, tai yra tuos, kuriuos turi abu skaičiai: 1, 2 ir 2.
- Apskaičiuojame šių veiksnių sandaugą: 1 2 2 = 4 - tai didžiausias bendras skaičių 28 ir 36 daliklis.
Kaip rasti dviejų skaičių LCM
Yra du dažniausiai pasitaikantys būdai, kaip rasti mažiausią dviejų skaičių kartotinį. Pirmasis būdas yra tas, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada pasirinkti iš jų skaičių, kuris bus bendras abiem skaičiams ir tuo pačiu mažiausias. Antrasis – rasti šių skaičių gcd. Apsvarstykime tik tai.
Norėdami apskaičiuoti LCM, turite apskaičiuoti pradinių skaičių sandaugą ir padalyti jį iš anksčiau rasto GCD. Raskime tų pačių skaičių 28 ir 36 LCM:
- Raskite skaičių 28 ir 36 sandaugą: 28·36 = 1008
- GCD(28, 36), kaip jau žinoma, yra lygus 4
- LCM(28; 36) = 1008 / 4 = 252 .
Kelių skaičių GCD ir LCM radimas
Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Norėdami tai padaryti, didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga. Norėdami rasti kelių skaičių gcd, taip pat galite naudoti šį ryšį: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).
Panašus ryšys taikomas mažiausiam bendram kartotiniui: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Pavyzdys: suraskite GCD ir LCM numeriams 12, 32 ir 36.
- Pirma, suskaidykime skaičius: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
- Raskime bendruosius veiksnius: 1, 2 ir 2.
- Jų sandauga duos GCD: 1·2·2 = 4
- Dabar suraskime LCM: norėdami tai padaryti, pirmiausia suraskime LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Norėdami rasti visų trijų skaičių LCM, turite rasti GCD(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , GCD = 1 · 2 · 2 3 = 12.
- LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.
Antras numeris: b=
Tūkstantis separatorius Be tarpo skyriklio "'
Rezultatas:
Didžiausias bendras daliklis gcd( a,b)=6
Mažiausias LCM( a,b)=468
Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, kurį be liekanos galima padalyti iš skaičių a ir b didžiausias bendras daliklis(GCD) iš šių skaičių. Žymima gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) arba hcf(a,b).
Mažiausias bendras kartotinis Dviejų sveikųjų skaičių a ir b LCM yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš a ir b be liekanos. Žymima LCM(a,b) arba lcm(a,b).
Vadinami sveikieji skaičiai a ir b abipusiai pirminis, jei jie neturi bendrų daliklių, išskyrus +1 ir –1.
Didžiausias bendras daliklis
Tegu pateikiami du teigiami skaičiai a 1 ir a 2 1). Reikia rasti bendrą šių skaičių daliklį, t.y. rasti tokį skaičių λ , kuris dalija skaičius a 1 ir a 2 tuo pačiu metu. Apibūdinkime algoritmą.
1) Šiame straipsnyje žodis skaičius bus suprantamas kaip sveikas skaičius.
Leiskite a 1 ≥ a 2 ir leiskite
Kur m 1 , a 3 yra keli sveikieji skaičiai, a 3 <a 2 (likęs skyrius a 1 proc a 2 turėtų būti mažiau a 2).
Tarkime, kad λ dalijasi a 1 ir a 2 tada λ dalijasi m 1 a 2 ir λ dalijasi a 1 −m 1 a 2 =a 3 (straipsnio „Skaičių dalijamumas. Dalyvavimo testas“ 2 teiginys). Iš to išplaukia, kad kiekvienas bendras daliklis a 1 ir a 2 yra bendras daliklis a 2 ir a 3. Ir atvirkščiai, jei λ bendras daliklis a 2 ir a 3 tada m 1 a 2 ir a 1 =m 1 a 2 +a 3 taip pat dalijasi iš λ . Todėl bendras daliklis a 2 ir a 3 taip pat yra bendras daliklis a 1 ir a 2. Nes a 3 <a 2 ≤a 1, tada galime pasakyti, kad bendro skaičių daliklio radimo problemos sprendimas a 1 ir a 2 redukuota iki paprastesnės problemos, kaip rasti bendrą skaičių daliklį a 2 ir a 3 .
Jeigu a 3 ≠0, tada galime padalinti a 2 ant a 3. Tada
,
Kur m 1 ir a 4 yra keli sveikieji skaičiai, ( a 4 likutis nuo padalijimo a 2 ant a 3 (a 4 <a 3)). Panašiai samprotaudami prieiname prie išvados, kad bendri skaičių dalikliai a 3 ir a 4 sutampa su bendrais skaičių dalikliais a 2 ir a 3, taip pat su bendrais dalikliais a 1 ir a 2. Nes a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... yra skaičiai, kurie nuolat mažėja ir kadangi yra baigtinis sveikųjų skaičių skaičius tarp a 2 ir 0, tada tam tikru žingsniu n, skyriaus likutis a n įjungta a n+1 bus lygus nuliui ( a n+2 =0).
.
Kiekvienas bendras daliklis λ numeriai a 1 ir a 2 taip pat yra skaičių daliklis a 2 ir a 3 , a 3 ir a 4 , .... a n ir a n+1 . Ir atvirkščiai, bendrieji skaičių dalikliai a n ir a n+1 taip pat yra skaičių dalikliai a n−1 ir a n , .... , a 2 ir a 3 , a 1 ir a 2. Tačiau bendras skaičių daliklis a n ir a n+1 yra skaičius a n+1 , nes a n ir a n+1 dalijasi iš a n+1 (atminkite tai a n+2 =0). Vadinasi a n+1 taip pat yra skaičių daliklis a 1 ir a 2 .
Atkreipkite dėmesį, kad skaičius a n+1 yra didžiausias skaičių daliklis a n ir a n+1 , nes didžiausias daliklis a n+1 yra pats savaime a n+1 . Jeigu a n+1 galima pavaizduoti kaip sveikųjų skaičių sandaugą, tada šie skaičiai taip pat yra bendrieji skaičių dalikliai a 1 ir a 2. Skaičius a n+1 vadinamas didžiausias bendras daliklis numeriai a 1 ir a 2 .
Skaičiai a 1 ir a 2 gali būti teigiami arba neigiami skaičiai. Jei vienas iš skaičių lygus nuliui, tai didžiausias bendras šių skaičių daliklis bus lygus kito skaičiaus absoliučiajai reikšmei. Didžiausias bendras nulinių skaičių daliklis yra neapibrėžtas.
Aukščiau pateiktas algoritmas vadinamas Euklido algoritmas rasti didžiausią bendrą dviejų sveikųjų skaičių daliklį.
Pavyzdys, kaip rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį
Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių 630 ir 434 daliklį.
- 1 veiksmas. Padalinkite skaičių 630 iš 434. Likutis yra 196.
- 2 veiksmas. Padalinkite skaičių 434 iš 196. Likutis yra 42.
- 3 veiksmas. Padalinkite skaičių 196 iš 42. Likutis yra 28.
- 4 veiksmas. Padalinkite skaičių 42 iš 28. Likutis yra 14.
- 5 veiksmas. Padalinkite skaičių 28 iš 14. Likutis yra 0.
5 veiksme dalybos likutis yra 0. Todėl didžiausias bendras skaičių 630 ir 434 daliklis yra 14. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 2 ir 7 taip pat yra skaičių 630 ir 434 dalikliai.
Kopirminiai skaičiai
Apibrėžimas 1. Tegul didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2 yra lygus vienam. Tada šie numeriai vadinami pirminiai skaičiai, neturintis bendro daliklio.
Teorema 1. Jeigu a 1 ir a 2 pirminiai skaičiai ir λ tam tikrą skaičių, tada bet kurį bendrą skaičių daliklį λa 1 ir a 2 taip pat yra bendras skaičių daliklis λ Ir a 2 .
Įrodymas. Apsvarstykite Euklido algoritmą, kad surastumėte didžiausią bendrąjį skaičių daliklį a 1 ir a 2 (žr. aukščiau).
.
Iš teoremos sąlygų išplaukia, kad didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2 ir todėl a n ir a n+1 yra 1. Tai yra a n+1 =1.
Padauginkime visas šias lygybes iš λ , Tada
.
Tegul bendras daliklis a 1 λ Ir a 2 taip δ . Tada δ yra įtrauktas kaip daugiklis a 1 λ , m 1 a 2 λ ir viduje a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (žr. „Skaičių dalijamumas“, 2 teiginys). Kitas δ yra įtrauktas kaip daugiklis a 2 λ Ir m 2 a 3 λ , todėl yra įtrauktas kaip veiksnys a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .
Taip samprotaudami esame tuo įsitikinę δ yra įtrauktas kaip daugiklis a n−1 λ Ir m n−1 a n λ , taigi ir į a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Nes a n+1 =1, tada δ yra įtrauktas kaip daugiklis λ . Todėl skaičius δ yra bendras skaičių daliklis λ Ir a 2 .
Panagrinėkime specialius 1 teoremos atvejus.
Pasekmė 1. Leiskite a Ir c Pirminiai skaičiai yra santykinai b. Tada jų produktas ac atžvilgiu yra pirminis skaičius b.
Tikrai. Iš 1 teoremos ac Ir b turi tuos pačius bendrus daliklius kaip c Ir b. Bet skaičiai c Ir b palyginti paprastas, t.y. turi vieną bendrą daliklį 1. Tada ac Ir b taip pat turi vieną bendrą daliklį 1. Todėl ac Ir b abipusiai paprastas.
Pasekmė 2. Leiskite a Ir b kopirminiai skaičiai ir tegul b dalijasi ak. Tada b dalijasi ir k.
Tikrai. Iš patvirtinimo sąlygos ak Ir b turi bendrą daliklį b. Pagal 1 teoremą, b turi būti bendras daliklis b Ir k. Vadinasi b dalijasi k.
1 išvadą galima apibendrinti.
Pasekmė 3. 1. Tegul skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m yra pirminiai skaičiaus atžvilgiu b. Tada a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, šių skaičių sandauga yra pirminė skaičiaus atžvilgiu b.
2. Turėkime dvi skaičių eilutes
taip, kad kiekvienas skaičius pirmoje eilutėje būtų pirminis kiekvieno antrosios serijos skaičiaus santykiu. Tada produktas
Turite rasti skaičius, kurie dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.
Jei skaičius dalijasi iš a 1, tada jis turi formą sa 1 kur s kažkoks skaičius. Jeigu q yra didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, tada
Kur s 1 yra tam tikras sveikasis skaičius. Tada
yra mažiausi bendrieji skaičių kartotiniai a 1 ir a 2 .
a 1 ir a 2 yra santykinai pirminiai, tada mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 ir a 2:
Turime rasti mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Iš to, kas išdėstyta aukščiau, išplaukia, kad bet kuris skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 turi būti skaičių kartotinis ε Ir a 3 ir atgal. Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε Ir a 3 taip ε 1. Toliau skaičių kartotiniai a 1 , a 2 , a 3 , a 4 turi būti skaičių kartotinis ε 1 ir a 4. Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε 1 ir a 4 taip ε 2. Taigi mes išsiaiškinome, kad visi skaičių kartotiniai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sutampa su tam tikro skaičiaus kartotiniais ε n, kuris vadinamas mažiausiu bendruoju duotųjų skaičių kartotiniu.
Ypatingu atveju, kai skaičiai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m yra santykinai pirminiai, tada mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 , a 2, kaip parodyta aukščiau, turi formą (3). Kitas, nuo a 3 pirminis skaičius skaičių atžvilgiu a 1 , a 2 tada a 3 pirminis skaičius a 1 · a 2 (1 išvada). Reiškia mažiausią bendrąjį skaičių kartotinį a 1 ,a 2 ,a 3 yra skaičius a 1 · a 2 · a 3. Panašiai samprotaudami gauname šiuos teiginius.
pareiškimas 1. Mažiausias bendras kopirminių skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m yra lygus jų sandaugai a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
pareiškimas 2. Bet koks skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pirminio skaičiaus a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m taip pat dalijasi iš jų sandaugos a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.
Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio pavadinimu LCM – mažiausias bendras kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, ryšys tarp LCM ir GCD. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), o ypač daug dėmesio skirsime pavyzdžių sprendimui. Pirmiausia parodysime, kaip dviejų skaičių LCM apskaičiuojamas naudojant šių skaičių GCD. Toliau panagrinėsime, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.
Puslapio naršymas.
Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD
Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė yra LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Pažvelkime į LCM suradimo pagal pateiktą formulę pavyzdžius.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime ryšį tarp LCM ir GCD, išreikštą formule LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio galime apskaičiuoti šių skaičių LCM naudodami rašytinę formulę.
Raskime GCD(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, todėl GCD(126, 70)=14.
Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Atsakymas:
LCM(126, 70)=630 .
Pavyzdys.
Kam lygus LCM(68, 34)?
Sprendimas.
Nes 68 dalijasi iš 34, tada GCD(68, 34)=34. Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrąjį kartotinį: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Atsakymas:
LCM(68, 34) = 68 .
Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b, tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a.
LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei sudarysite sandaugą iš visų nurodytų skaičių pirminių koeficientų, o tada iš šio sandaugos išskirsite visus bendruosius pirminius veiksnius, esančius duotųjų skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam duotųjų skaičių kartotiniui. .
Nurodyta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu GCD(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių, vienu metu esančių skaičių a ir b plėtiniuose, sandaugai (kaip aprašyta skyriuje GCD radimas naudojant skaičių išplėtimą į pirminius veiksnius).
Pateikime pavyzdį. Žinok, kad 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Sudarykime sandaugą iš visų šių plėtimų faktorių: 2·3·3·5·5·5·7 . Dabar iš šio produkto neįtraukiame visų faktorių, esančių tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie faktoriai yra 3 ir 5), tada sandauga bus 2·3·5·5·7. . Šio produkto vertė yra lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty NOC(75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1 050.
Pavyzdys.
Padalinkite skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus ir raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.
Sprendimas.
Sudėkime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:
Gauname 441=3·3·7·7 ir 700=2·2·5·5·7.
Dabar sukurkime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (yra tik vienas toks veiksnys – tai skaičius 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Taigi, LCM(441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.
Atsakymas:
NOC(441; 700) = 44 100 .
Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių faktorius į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus skaičiaus b išplėtimo koeficientus pridėsime prie koeficientų iš skaičiaus a išplėtimo, tada gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui..
Pavyzdžiui, paimkime tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų skaidymai į pirminius veiksnius yra tokie: 75=3·5·5 ir 210=2·3·5·7. Prie koeficientų 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2·3·5·5·7, kurios reikšmė yra lygus LCM(75, 210).
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 skaidymus į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2·2·3·7 ir 648=2·2·2·3·3·3·3. Prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 iš skaičiaus 84 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2, 3, 3 ir 3 iš skaičiaus 648 išplėtimo, gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7, kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis yra 4 536.
Atsakymas:
LCM(84,648)=4536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti nuosekliai surandant dviejų skaičių LCM. Prisiminkime atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.
Teorema.
Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliai apskaičiuojant m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Panagrinėkime šios teoremos taikymą, naudodami pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.
Pavyzdys.
Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.
Sprendimas.
Šiame pavyzdyje a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Pirmiausia randame m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome GCD(140, 9), turime 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, todėl GCD(140, 9)=1 , iš kur GCD(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260. Tai yra, m 2 = 1 260.
Dabar randame m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per GCD(1 260, 54), kurį taip pat nustatome naudodami Euklido algoritmą: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Tada gcd(1,260,54)=18, iš kurio gcd(1260,54)=1260·54:gcd(1260,54)=1260·54:18=3780. Tai yra, m 3 = 3 780.
Belieka tik surasti m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Tam naudojant Euklido algoritmą randame GCD(3,780, 250): 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Todėl GCM(3,780,250)=10, iš kur GCM(3,780,250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Tai yra, m 4 = 94 500.
Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.
Atsakymas:
LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.
Daugeliu atvejų patogu rasti mažiausią bendrąjį trijų ar daugiau skaičių kartotinį, naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju turėtumėte laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.
Pažvelkime į mažiausio bendro kartotinio radimo pavyzdį naudojant pirminį faktorių.
Pavyzdys.
Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.
Sprendimas.
Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11·13.
Norėdami rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 koeficientų (jie yra 2, 2, 3 ir 7), turite pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 išplėtimo. Skaičiaus 6 skaidyme nėra trūkstamų faktorių, nes ir 2, ir 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 skaidyme. Toliau prie faktorių 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus faktorius 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo, gauname faktorių 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 aibę. Kitame veiksme prie šio rinkinio daugiklių pridėti nereikės, nes jame jau yra 7. Galiausiai prie koeficientų 2, 2, 2, 2, 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2·2·2·2·3·7·11·13, kuri yra lygi 48 048.
Tęskime pokalbį apie mažiausią bendrąjį kartotinį, kurį pradėjome skyriuje „LCM – mažiausias bendras kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai“. Šioje temoje apžvelgsime būdus, kaip rasti trijų ar daugiau skaičių LCM, ir pažvelgsime į klausimą, kaip rasti neigiamo skaičiaus LCM.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mažiausių bendrųjų kelių (LCM) apskaičiavimas per GCD
Mes jau nustatėme ryšį tarp mažiausio bendro kartotinio ir didžiausio bendro daliklio. Dabar sužinokime, kaip nustatyti LCM naudojant GCD. Pirmiausia išsiaiškinkime, kaip tai padaryti teigiamiems skaičiams.
1 apibrėžimas
Mažiausią bendrąjį kartotinį galite rasti per didžiausią bendrąjį daliklį naudodami formulę LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).
1 pavyzdys
Turite rasti skaičių 126 ir 70 LCM.
Sprendimas
Paimkime a = 126, b = 70. Pakeiskime reikšmes į formulę, skirtą mažiausiam bendrajam kartotiniui apskaičiuoti per didžiausią bendrą daliklį LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .
Suranda skaičių 70 ir 126 gcd. Tam mums reikia euklido algoritmo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, todėl GCD (126 , 70) = 14 .
Apskaičiuokime LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.
Atsakymas: LCM(126; 70) = 630.
2 pavyzdys
Raskite skaičius 68 ir 34.
Sprendimas
GCD šiuo atveju nėra sunku rasti, nes 68 dalijasi iš 34. Apskaičiuokime mažiausią bendrąjį kartotinį naudodami formulę: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.
Atsakymas: LCM(68, 34) = 68.
Šiame pavyzdyje naudojome taisyklę, leidžiančią rasti mažiausią bendrą teigiamų sveikųjų skaičių a ir b kartotinį: jei pirmasis skaičius dalijasi iš antrojo, tų skaičių LCM bus lygus pirmajam skaičiui.
LCM nustatymas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius
Dabar pažiūrėkime į LCM radimo metodą, kuris pagrįstas skaičiais paverčiant pirminius veiksnius.
2 apibrėžimas
Norėdami rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, turime atlikti kelis paprastus veiksmus:
- sudarome skaičių, kuriems reikia rasti LCM, visų pirminių veiksnių sandaugą;
- iš jų gaunamų produktų neįtraukiame visų pagrindinių veiksnių;
- sandauga, gauta pašalinus bendruosius pirminius veiksnius, bus lygi duotųjų skaičių LCM.
Šis mažiausiojo bendro kartotinio radimo metodas pagrįstas lygybe LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Jei pažvelgsite į formulę, paaiškės: skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių šių dviejų skaičių skaidyme, sandaugai. Šiuo atveju dviejų skaičių gcd yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra duotųjų dviejų skaičių faktoriuose.
3 pavyzdys
Turime du skaičius 75 ir 210. Galime juos suskirstyti taip: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Jei sudarysite visų dviejų pradinių skaičių koeficientų sandaugą, gausite: 2 3 3 5 5 5 7.
Jei neįtrauksime faktorių, bendrų skaičiams 3 ir 5, gausime tokios formos sandaugą: 2 3 5 5 7 = 1050. Šis produktas bus mūsų LCM numeriams 75 ir 210.
4 pavyzdys
Raskite skaičių LCM 441 Ir 700 , įtraukiant abu skaičius į pirminius veiksnius.
Sprendimas
Raskime visus pirminius skaičių, pateiktų sąlygoje, veiksnius:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Gauname dvi skaičių grandines: 441 = 3 3 7 7 ir 700 = 2 2 5 5 7.
Visų veiksnių, dalyvavusių skaidant šiuos skaičius, sandauga bus tokia: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Raskime bendrus veiksnius. Tai yra skaičius 7. Išskirkime jį iš viso produkto: 2 2 3 3 5 5 7 7. Pasirodo, NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.
Atsakymas: LOC(441; 700) = 44 100.
Pateiksime kitą metodo formuluotę, kaip rasti LCM, išskaidant skaičius į pirminius veiksnius.
3 apibrėžimas
Anksčiau iš bendro veiksnių, bendrų abiem skaičiams, skaičiaus neįtraukėme. Dabar darysime kitaip:
- Suskirstykime abu skaičius į pirminius veiksnius:
- prie pirmojo skaičiaus pirminių koeficientų sandaugos pridėkite trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus;
- gauname sandaugą, kuri bus norimas dviejų skaičių LCM.
5 pavyzdys
Grįžkime prie skaičių 75 ir 210, kurių LCM jau ieškojome viename iš ankstesnių pavyzdžių. Suskirstykime juos į paprastus veiksnius: 75 = 3 5 5 Ir 210 = 2 3 5 7. Į koeficientų sandaugą 3, 5 ir 5 skaičiai 75 prideda trūkstamus veiksnius 2 Ir 7 skaičiai 210. Mes gauname: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Tai yra skaičių 75 ir 210 LCM.
6 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti skaičių 84 ir 648 LCM.
Sprendimas
Skaičius iš sąlygos išskaidykime į paprastus veiksnius: 84 = 2 2 3 7 Ir 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Prie sandaugos pridėkime koeficientus 2, 2, 3 ir 7
skaičiai 84 trūksta koeficientų 2, 3, 3 ir
3
Skaičiai 648. Gauname prekę 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Tai mažiausias bendras 84 ir 648 kartotinis.
Atsakymas: LCM(84, 648) = 4 536.
Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM
Nepriklausomai nuo to, su kiek skaičių turime reikalų, mūsų veiksmų algoritmas visada bus toks pat: paeiliui rasime dviejų skaičių LCM. Šiuo atveju yra teorema.
1 teorema
Tarkime, kad turime sveikuosius skaičius a 1 , a 2 , … , a k. NOC m kšie skaičiai randami nuosekliai skaičiuojant m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).
Dabar pažiūrėkime, kaip teorema gali būti pritaikyta konkrečioms problemoms spręsti.
7 pavyzdys
Turite apskaičiuoti mažiausią bendrą keturių skaičių 140, 9, 54 ir kartotinį 250 .
Sprendimas
Įveskime žymėjimą: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.
Pradėkime nuo apskaičiavimo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Apskaičiuojant skaičių 140 ir 9 GCD, taikykime Euklido algoritmą: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Gauname: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260. Todėl m 2 = 1 260.
Dabar apskaičiuokime naudodami tą patį algoritmą m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Skaičiuodami gauname m 3 = 3 780.
Viskas, ką turime padaryti, tai apskaičiuoti m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Mes laikomės to paties algoritmo. Gauname m 4 = 94 500.
Keturių skaičių LCM iš pavyzdinės sąlygos yra 94500.
Atsakymas: NOC (140, 9, 54, 250) = 94 500.
Kaip matote, skaičiavimai yra paprasti, tačiau gana daug darbo reikalaujantys. Norėdami sutaupyti laiko, galite pasirinkti kitą kelią.
4 apibrėžimas
Siūlome tokį veiksmų algoritmą:
- visus skaičius išskaidome į pirminius veiksnius;
- prie pirmojo skaičiaus veiksnių sandaugos pridedame trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus sandaugos;
- prie ankstesniame etape gauto sandaugos pridedame trūkstamus trečiojo skaičiaus koeficientus ir pan.;
- gauta sandauga bus mažiausias bendrasis visų skaičių iš sąlygos kartotinis.
8 pavyzdys
Turite rasti penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 LCM.
Sprendimas
Padėkime visus penkis skaičius į pirminius koeficientus: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Pirminiai skaičiai, kurie yra skaičius 7, negali būti įtraukti į pirminius veiksnius. Tokie skaičiai sutampa su jų išskaidymu į pirminius veiksnius.
Dabar paimkime skaičiaus 84 pirminių koeficientų 2, 2, 3 ir 7 sandaugą ir pridėkime prie jų trūkstamus antrojo skaičiaus koeficientus. Skaičius 6 išskaidėme į 2 ir 3. Šie veiksniai jau yra pirmojo skaičiaus sandaugoje. Todėl mes juos praleidžiame.
Toliau pridedame trūkstamus daugiklius. Pereikime prie skaičiaus 48, iš kurio pirminių koeficientų sandaugos paimame 2 ir 2. Tada pridedame pirminį koeficientą 7 iš ketvirto skaičiaus ir 11 ir 13 penktojo skaičiaus koeficientus. Gauname: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. Tai mažiausias bendras pirminių penkių skaičių kartotinis.
Atsakymas: LCM(84; 6; 48; 7; 143) = 48 048.
Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį
Norint rasti mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį, šie skaičiai pirmiausia turi būti pakeisti skaičiais su priešingu ženklu, o tada atlikti skaičiavimus naudojant aukščiau nurodytus algoritmus.
9 pavyzdys
LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ir LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).
Tokie veiksmai yra leistini dėl to, kad jei su tuo sutiksime a Ir − a- priešingi skaičiai,
tada skaičiaus kartotinių aibė a atitinka skaičiaus kartotinių aibę − a.
10 pavyzdys
Būtina apskaičiuoti neigiamų skaičių LCM − 145 Ir − 45 .
Sprendimas
Pakeiskime skaičius − 145 Ir − 45 į priešingus jų skaičius 145 Ir 45 . Dabar, naudodami algoritmą, apskaičiuojame LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, prieš tai nustatę GCD naudodami Euklido algoritmą.
Gauname, kad skaičių LCM yra − 145 ir − 45 lygus 1 305 .
Atsakymas: LCM (− 145, − 45) = 1 305.
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter