Sveiki, mieli draugai! Mes ir toliau svarstome užduotis, susijusias su funkcijų tyrimu. Rekomenduoju, kuris reikalingas sprendžiant didžiausios (minimalios) funkcijos reikšmės ir maksimalių (minimalių) funkcijos taškų radimo uždavinius.
Uždaviniai su logaritmais ieškant didžiausios (mažiausios) funkcijos reikšmės. Šiame straipsnyje mes nagrinėsime tris problemas, kuriose kyla klausimas, kaip rasti maksimalius (minimalius) funkcijų taškus, o duotoje funkcijoje yra natūralusis logaritmas.
Teorinis punktas:
Pagal logaritmo apibrėžimą, išraiška po logaritmo ženklu turi būti didesnė už nulį. *Į tai reikia atsižvelgti ne tik sprendžiant šias problemas, bet ir sprendžiant lygtis bei nelygybes, turinčias logaritmą.
Funkcijos didžiausių (minimalių) taškų radimo algoritmas:
1. Apskaičiuokite funkcijos išvestinę.
2. Prilyginame jį nuliui ir išsprendžiame lygtį.
3. Skaičių eilutėje pažymime gautas šaknis.*Taip pat pažymime taškus, kuriuose išvestinė neegzistuoja. Gaukime intervalus, per kuriuos funkcija didėja arba mažėja.
4. Nustatykite šių intervalų išvestinės ženklus (savavališkas reikšmes iš jų pakeisdami išvestine).
5. Padarome išvadą.
Raskite funkcijos y = ln (x–11)–5x+2 maksimalų tašką
Iš karto užrašykime, kad x–11>0 (pagal logaritmo apibrėžimą), tai yra, x > 11.
Apsvarstysime funkciją intervale (11;∞).
Raskime išvestinės nulius:
Taškas x = 11 neįtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį, o išvestinė jame neegzistuoja. Skaičių ašyje pažymime du taškus 11 ir 11,2. Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas reikšmes iš intervalų (11;11,2) ir (11,2;+∞) į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgesį paveiksle. :
Taigi taške x = 11,2 funkcijos išvestinė keičia ženklą iš teigiamo į neigiamą, o tai reiškia, kad tai yra norimas maksimalus taškas.
Atsakymas: 11.2
Spręskite patys:
Raskite funkcijos y=ln (x+5)–2x+9 maksimalų tašką.
Raskite funkcijos y=4x– ln (x+5)+8 minimalųjį tašką
Iš karto užrašykime, kad x+5>0 (logaritmo savybe), tai yra x>–5.
Apsvarstysime funkciją intervale (– 5;+∞).
Raskime duotosios funkcijos išvestinę:
Raskime išvestinės nulius:
Taškas x = –5 nėra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį ir išvestinė joje neegzistuoja. Pažymėkite du taškus skaičių ašyje–5 ir –4,75. Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas reikšmes iš intervalų (–5;–4,75) ir (–4,75;+∞) į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgseną paveiksle:
Taigi taške x = –4,75 funkcijos išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą, o tai reiškia, kad tai yra norimas minimumas.
Atsakymas: – 4,75
Spręskite patys:
Raskite funkcijos y=2x–ln (x+3)+7 mažiausią tašką.
Raskite funkcijos y = x 2 –34x+140lnx–10 maksimalų tašką
Pagal logaritmo savybę išraiška po jo ženklu yra didesnė už nulį, tai yra, x > 0.
Apsvarstysime funkciją intervale (0; +∞).
Raskime duotosios funkcijos išvestinę:
Raskime išvestinės nulius:
Išspręsdami kvadratinę lygtį, gauname: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.
Taškas x = 0 nėra įtrauktas į funkcijos apibrėžimo sritį ir išvestinė joje neegzistuoja. Skaičių ašyje 0, 7 pažymime tris taškus ir 10.
Jaučio ašis skirstoma į intervalus: (0;7), (7;10), (10; +∞).
Nustatykime funkcijos išvestinės požymius, pakeisdami savavališkas vertes iš gautų intervalų į rastą išvestinę, ir pavaizduokime funkcijos elgesį paveiksle:
Tai viskas. Sėkmės tau!
Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?
Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.
Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai išvestinė šiame taške yra arba nulis, arba begalinė, arba ne egzistuoja.
Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali eiti į nulį, begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.
Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba mažiausia)?
Pirmoji sąlyga:
Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus
Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama kairėje nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tai taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.
Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:
Tegul taške x = a pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(a) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai turi minimumą.
Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?
Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręskite lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas. Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.
Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.
Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2
Išspręskite lygtį: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Funkcija turi šią argumento reikšmę ekstremumas. Jam rasti, pakeiskite rastą skaičių funkcijos išraiškoje vietoj „x“:
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?
Jei išvestinės ženklas einant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.
Nagrinėjamu pavyzdžiu:
Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1
Esant x = -1, išvestinės vertė bus y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. ženklas yra „minusas“).
Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1
Esant x = 1, išvestinės reikšmė bus y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. ženklas yra "pliusas").
Kaip matote, išvestinė ženklą iš minuso į pliusą, eidama per kritinį tašką, pakeitė. Tai reiškia, kad esant kritinei vertei x0 turime mažiausią tašką.
Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami naudojant tą pačią procedūrą, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.
Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes
y(x) = 3sin(x) – 0,5x
intervalais:
Taigi, funkcijos išvestinė yra
y?(x) = 3cos(x) – 0,5
Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x = ±arkos(0,16667) + 2πk.
Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:
x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (neįtraukta į intervalą)
x = -arccos(0,16667) – 2π*1 = -7,687
x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88
x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403
x = Arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403
x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88
x = arckos(0,16667) + 2π*1 = 7,687
x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (neįtraukta į intervalą)
Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
o mažiausias – esant x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra lygi y = 5,398.
Raskite funkcijos reikšmę intervalo galuose:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę
y = 5,398, kai x = -4,88
mažiausia vertė -
y = 1,077, kai x = -3
Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubtą ir įgaubtą puses?
Norėdami rasti visus tiesės y = f(x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui, begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei jis nesikeičia, tada nėra lenkimo.
Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, funkcijos apibrėžimo sritį padalija į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai linija y = f(x) yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tada žemyn.
Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumą?
Norint rasti funkcijos f(x,y), diferencijuojamos jos specifikacijos srityje, kraštutinumą, reikia:
1) suraskite kritinius taškus ir tam - išspręskite lygčių sistemą
fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0
2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs
visuose taškuose (x;y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlieka teigiamas, tai taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tai maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške P0 nėra ekstremumo.
Funkcijos ekstremumai nustatomi panašiai didesniam argumentų skaičiui.
Kokia yra oficiali grupės „Banderos“ svetainė
Rusakalbių hiphopo atlikėjų svetainės: mad-a.ru - oficiali repo atlikėjo MAD-A svetainė (nuotraukos, muzika, biografija); st1m.ru - oficiali repo atlikėjo St1m svetainė (muzika, vaizdo įrašai, nuotraukos, informacija apie koncertus, naujienos, forumas); all1.ru - oficiali Creative united svetainė
Kokiais atvejais kelių policijos inspektorius turi teisę stabdyti transporto priemonę?
Kelių policijos inspektorius, vadovaudamasis Policijos įstatymo 13 straipsnio 20 dalies nuostatomis, turi teisę sustabdyti transporto priemonę (toliau – transporto priemonė), jeigu tai būtina jam pavestoms pareigoms atlikti. policijos, kad užtikrintų saugumą kelyje ir kitais atvejais (visą sąrašą žr. žemiau). Jei inspektorius vizualiai
Kaip apsaugoti savo darbo įrašą nuo tyčinio darbdavio praradimo
Siekiant apsaugoti darbo stažą nuo darbdavio tyčinio praradimo (sugadinimo), įmonės darbuotojui rekomenduojama bet kokiomis teisėtomis priemonėmis gauti darbo stažo kopiją, pavyzdžiui, pretekstu kreiptis dėl paskolos, ir saugoti tai saugioje vietoje. Jeigu nesąžiningas darbdavys tyčia naikina darbuotojo darbo savo įmonėje faktus (siekdamas išvengti darbo teisės pažeidimų nustatymo
Kur rasti pagalbos informacijos apie visus telefonus internete?
„Geltonųjų puslapių“ svetainės internete: yellow-pages.ru - internetinis informacinis žurnalas „Geltonieji puslapiai“; ypag.ru - geltonieji NVS puslapiai; yellowpages.rin.ru – geltoni puslapiai
Kiek laipsnių yra radiane?
1 lanko minutė (1′) = 60 lanko sekundžių (60″) 1 kampinis laipsnis (1°) = 60 lanko minučių (60′) = 3600 lanko sekundžių (3600″) 1 radianas ≈ 57,295779513° ≈ 57°17 ir 57°1
Muzika yra meno forma. Specialiai organizuoti garsai yra priemonė perteikti nuotaiką ir jausmus muzikoje. Pagrindiniai muzikos elementai ir išraiškos priemonės yra: melodija, ritmas, metras, tempas, dinamika, tembras, harmonija, instrumentacija ir kt. Muzika yra labai gera priemonė ugdyti vaiko meninį skonį. Muzika gali paveikti jūsų nuotaiką
Kurios šalys surengė Formulės 1 Grand Prix 2005 m.?
2005 m. pasaulio čempionatą sudarė 19 Grand Prix, kurie vyko šiose šalyse: Australijoje, Malaizijoje, Bahreine, San Marine, Ispanijoje, Monake, Kanadoje, JAV, Prancūzijoje, Didžiojoje Britanijoje, Vokietijoje, Vengrijoje, Turkijoje, Italijoje, Belgija, Brazilija, Japonija, Kinija. Europos Grand Prix vyko Vokietijoje (Niurburge) Plačiau skaitykite svetainėje http:/.
Kas yra alokazija
Alocasia (Alocasia) Araceae šeima. Tėvynė Pietų Amerika. Retas augalas, mėgstantis šiltnamio sąlygas (drėgmę ir šilumą), todėl nėra plačiai naudojamas tarp sodininkų. Alokazija yra gražus kambarinis augalas su dideliais strėlės formos ovaliais (arba širdies formos) lapais, kurių yra ne daugiau kaip 6-7. Labiausiai paplitęs in
Ką reiškia posakis „Mes jau užuodėme šią gėlę“?
Frazė „Jau užuodėme šią gėlę“ vartojama ta pačia reikšme, kaip ir gerai žinomas frazeologinis vienetas „Užlipk ant to paties grėblio du kartus“, t.y. susidurti su jau pažįstama nemalonia situacija. Šis posakis randamas Iljos Ilfo feljetone „Jaunosios ponios“ (1929)
Kur rasti panna cotta receptą
Panna cotta – subtilus, gundantis desertas iš grietinėlės ir želatinos, gaminamas Italijoje, Emilijos-Romanijos regione. Deserto pavadinimas pažodžiui verčiamas kaip „virta grietinėlė“ arba „virta grietinėlė“, tačiau iš esmės tai yra grietinėlės pudingas be įvairių priedų arba su jais.
Kas yra 90 laipsnių kosinusas?
Kosinusas yra viena iš trigonometrinių funkcijų, žymima cos. Stačiakampiame trikampyje smailaus kampo kosinusas yra lygus iš šio kampo išeinančios kojos (gretimos kojos) santykiui su dažnai pasitaikančių kampų kosinusų reikšmėmis (π - pi, √ - kvadratinė šaknis).
Funkcijos padidėjimas, sumažėjimas ir ekstremumai
Funkcijos didėjimo, mažėjimo ir ekstremalių intervalų nustatymas yra ir savarankiška užduotis, ir esminė kitų užduočių dalis, ypač pilnas funkcijų tyrimas. Pateikiama pradinė informacija apie funkcijos padidėjimą, sumažėjimą ir kraštutinumus teorinis skyrius apie išvestinę, kurį labai rekomenduoju išankstiniam tyrimui (arba kartojimas)– taip pat dėl to, kad ši medžiaga yra pagrįsta pačia iš esmės išvestinė, yra harmoningas šio straipsnio tęsinys. Nors, jei laiko trūksta, galima ir grynai formaliai praktikuoti pavyzdžius iš šios dienos pamokos.
Ir šiandien ore tvyro reto vieningumo dvasia, ir aš tiesiogiai jaučiu, kad visi esantys dega noru išmokti tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę. Todėl jūsų monitoriaus ekranuose iš karto atsiranda protinga, gera, amžina terminija.
Už ką? Viena iš priežasčių yra pati praktiškiausia: kad būtų aišku, ko iš jūsų paprastai reikalaujama atliekant tam tikrą užduotį!
Funkcijos monotoniškumas. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai
Panagrinėkime kai kurias funkcijas. Paprasčiau tariant, manome, kad ji tęstinis visoje skaičių eilutėje:
Tik tuo atveju iš karto atsikratykime galimų iliuzijų, ypač tiems skaitytojams, kurie neseniai susipažino funkcijos pastovaus ženklo intervalai. Dabar mes NEĮdomu, kaip funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu (viršuje, apačioje, kur ašis susikerta). Kad įtikintumėte, mintyse ištrinkite ašis ir palikite vieną grafiką. Nes čia ir slypi susidomėjimas.
Funkcija didėja intervale, jei bet kuriuose dviejuose šio intervalo taškuose, sujungtuose santykiu , nelygybė yra teisinga. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš apačios į viršų“. Per tą laiką demonstravimo funkcija auga.
Taip pat ir funkcija mažėja apie intervalą, jei bet kurių dviejų taškų tam tikro intervalo toks, kad , Nelygybė yra tiesa. Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę, o jos grafikas eina „iš viršaus į apačią“. Mūsų funkcija mažėja intervalais 
.
Jei funkcija didėja arba mažėja per intervalą, ji vadinama griežtai monotoniškasšiuo intervalu. Kas yra monotonija? Supraskite tai pažodžiui – monotonija.
Taip pat galite apibrėžti nemažėjantis funkcija (atsipalaidavusi būsena pirmajame apibrėžime) ir nedidėjantis funkcija (suminkštinta sąlyga 2-oje apibrėžime). Nemažėjanti arba nedidėjanti intervalo funkcija vadinama monotonine tam tikro intervalo funkcija (griežtas monotoniškumas yra ypatingas „paprasčiausio“ monotoniškumo atvejis).
Teorija svarsto ir kitus funkcijos padidėjimo/sumažėjimo nustatymo būdus, įskaitant pusintervalus, segmentus, bet kad nepiltume ant galvos aliejus-alyva-alyva, sutiksime operuoti atvirais intervalais su kategoriškais apibrėžimais. - tai yra aiškiau ir gana daug praktinių problemų išspręsti.
Taigi, mano straipsniuose formuluotė „funkcijos monotoniškumas“ beveik visada bus paslėpta intervalais griežta monotonija(griežtai didėjanti arba griežtai mažėjanti funkcija).
Taško kaimynystė. Žodžiai, po kurių mokiniai bėga kur tik gali ir iš siaubo slepiasi kampuose. ...Nors po įrašo Cauchy ribos Tikriausiai jie jau nebeslepia, o tik šiek tiek dreba =) Nesijaudink, dabar nebus matematinės analizės teoremų įrodymų – man reikėjo aplinkos griežčiau suformuluoti apibrėžimus ekstremalūs taškai. Prisiminkime:
Taško kaimynystė vadinamas intervalas, kuriame yra duotas taškas, o patogumo dėlei intervalas dažnai laikomas simetrišku. Pavyzdžiui, taškas ir jo standartinė kaimynystė:
Tiesą sakant, apibrėžimai:
Taškas vadinamas griežtas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Mūsų konkrečiame pavyzdyje tai yra taškas.
Taškas vadinamas griežtas minimalus taškas, Jei egzistuoja jos kaimynystėje, visiems kurių vertės, išskyrus patį tašką, nelygybė . Brėžinyje yra taškas „a“.
Pastaba : kaimynystės simetrijos reikalavimas visai nebūtinas. Be to, svarbu pats egzistavimo faktas kaimynystė (maža ar mikroskopinė), kuri atitinka nurodytas sąlygas
Taškai vadinami griežtai ekstremalūs taškai arba tiesiog ekstremalūs taškai funkcijas. Tai yra apibendrintas maksimalaus ir minimalaus balo terminas.
Kaip suprantame žodį „ekstremalus“? Taip, taip pat tiesiogiai kaip monotonija. Ekstremalūs kalnelių taškai.
Kaip ir monotoniškumo atveju, laisvi postulatai egzistuoja ir teoriškai yra dar labiau paplitę (kurios, žinoma, patenka į griežtus atvejus!):
Taškas vadinamas maksimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiems
Taškas vadinamas minimalus taškas, Jei egzistuoja jo aplinka yra tokia visiemsšios kaimynystės vertybes, nelygybė galioja.
Atkreipkite dėmesį, kad pagal paskutinius du apibrėžimus bet kuris pastovios funkcijos taškas (arba funkcijos „plokščia atkarpa“) laikomas ir maksimaliu, ir mažiausiu tašku! Funkcija, beje, yra ir nedidinanti, ir nemažinanti, tai yra monotoniška. Tačiau šiuos svarstymus paliksime teoretikams, nes praktiškai beveik visada kontempliuojame tradicines „kalvas“ ir „daubas“ (žr. brėžinį) su unikaliu „kalno karaliumi“ arba „pelkės princese“. Kaip įvairovė atsiranda patarimas, nukreiptas aukštyn arba žemyn, pavyzdžiui, funkcijos minimumas taške.
O, o kalbant apie honorarą:
– vadinasi prasmė maksimalus funkcijos;
– vadinasi prasmė minimumas funkcijas.
Bendras pavadinimas - kraštutinumai funkcijas.
Būkite atsargūs su savo žodžiais!
Ekstremalūs taškai– tai yra „X“ reikšmės.
Kraštutinumai– „žaidimo“ reikšmės.
! Pastaba : kartais išvardyti terminai nurodo „X-Y“ taškus, kurie yra tiesiogiai PATSIOS funkcijos GRAFĖJE.
Kiek ekstremalių gali turėti funkcija?
Nėra, 1, 2, 3, ... ir tt ad begalybės. Pavyzdžiui, sinusas turi be galo daug minimumų ir maksimumų.
SVARBU! Terminas „maksimali funkcija“ nėra tapatus terminas „didžiausia funkcijos reikšmė“. Nesunku pastebėti, kad vertė yra maksimali tik vietiniame rajone, o viršuje kairėje yra „šaltesni bendražygiai“. Taip pat „funkcijos minimumas“ nėra tas pats, kas „minimali funkcijos reikšmė“, o brėžinyje matome, kad reikšmė yra minimali tik tam tikroje srityje. Šiuo atžvilgiu taip pat vadinami ekstremumo taškai vietiniai ekstremumo taškai o ekstremumai – vietiniai kraštutinumai. Jie vaikšto ir klaidžioja netoliese ir globalus broliai. Taigi, bet kuri parabolė turi savo viršūnę pasaulinis minimumas arba pasaulinis maksimumas. Be to, aš neskirsiu kraštutinumų tipų, o paaiškinimas išsakomas labiau bendrais ugdymo tikslais - papildomi būdvardžiai „vietinis“ / „pasaulinis“ neturėtų jus nustebinti.
Apibendrinkime trumpą teorijos apžvalgą bandomuoju šūviu: ką reiškia užduotis „rasti funkcijos monotoniškumo intervalus ir ekstremalumo taškus“?
Formuluotė skatina jus rasti:
– didėjančios/mažėjančios funkcijos intervalai (nemažėjanti, nedidėjanti atsiranda daug rečiau);
– maksimalus ir (arba) minimalus balas (jei yra). Na, o kad nepasisektų, geriau susirasti minimumus/maksimumus patiems ;-)
Kaip visa tai nustatyti? Naudojant išvestinę funkciją!
Kaip rasti didėjimo, mažėjimo intervalus,
funkcijos ekstremumai ir ekstremumai?
Iš tikrųjų daugelis taisyklių jau žinomos ir suprantamos pamoka apie vedinio reikšmę.
Tangentinė išvestinė 
atneša linksmų naujienų, kad funkcija vis didėja apibrėžimo sritis.
Su kotangentu ir jo išvestine 
situacija yra visiškai priešinga.
Arsinusas didėja per intervalą - išvestinė čia yra teigiama: 
.
Kai funkcija apibrėžta, bet nediferencijuojama. Tačiau kritiniame taške yra dešinioji išvestinė ir dešinioji liestinė, o kitame krašte yra jų kairiarankiai atitikmenys.
Manau, jums nebus per sunku atlikti panašius argumentus dėl lanko kosinuso ir jo išvestinės.
Visi pirmiau minėti atvejai, kurių daugelis yra lentelės vediniai, primenu, sekite tiesiai iš išvestiniai apibrėžimai.
Kodėl tyrinėti funkciją naudojant jos išvestinę?
Norėdami geriau suprasti, kaip atrodo šios funkcijos grafikas: kur eina „iš apačios į viršų“, kur „iš viršaus žemyn“, kur pasiekia minimumus ir maksimumus (jei išvis pasiekia). Ne visos funkcijos yra tokios paprastos – daugeliu atvejų mes visai neįsivaizduojame apie konkrečios funkcijos grafiką.
Atėjo laikas pereiti prie prasmingesnių pavyzdžių ir apsvarstyti funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalų paieškos algoritmas:
1 pavyzdys
Raskite funkcijos padidėjimo/sumažėjimo intervalus ir kraštutinumus
Sprendimas:
1) Pirmas žingsnis yra rasti funkcijos sritis, taip pat atkreipkite dėmesį į lūžio taškus (jei jie yra). Šiuo atveju funkcija yra ištisinė visoje skaičių eilutėje ir šis veiksmas tam tikru mastu yra formalus. Tačiau daugeliu atvejų čia įsiplieskia rimtos aistros, todėl vertinkime pastraipą be panieka.
2) Antrasis algoritmo taškas yra dėl
būtina ekstremumo sąlyga:
Jei taške yra ekstremumas, tada reikšmė neegzistuoja.
Supainioti dėl pabaigos? „X modulio“ funkcijos ekstremumas .
Sąlyga būtina, bet neužtenka, ir atvirkščiai ne visada tiesa. Taigi iš lygybės dar neišplaukia, kad funkcija taške pasiekia maksimumą ar minimumą. Klasikinis pavyzdys jau buvo pabrėžtas aukščiau - tai kubinė parabolė ir jos kritinis taškas.
Bet kaip ten bebūtų, būtina ekstremumo sąlyga diktuoja poreikį rasti įtartinus taškus. Norėdami tai padaryti, raskite išvestinę ir išspręskite lygtį:
Pirmojo straipsnio pradžioje apie funkcijų grafikus Aš jums pasakiau, kaip greitai sukurti parabolę naudojant pavyzdį 
: „...paimame pirmąją išvestinę ir prilyginame ją nuliui: ...Taigi, mūsų lygties sprendimas: - būtent šioje vietoje yra parabolės viršūnė...“. Dabar, manau, visi supranta, kodėl parabolės viršūnė yra būtent šiame taške =) Apskritai čia reikėtų pradėti nuo panašaus pavyzdžio, bet jis per paprastas (net manekenams). Be to, pačioje pamokos pabaigoje yra analogas apie funkcijos išvestinė. Todėl padidinkime laipsnį:
2 pavyzdys
Raskite funkcijos monotoniškumo ir ekstremalumo intervalus
Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir apytikslis galutinis problemos pavyzdys pamokos pabaigoje.
Atėjo ilgai lauktas susitikimo su trupmeninėmis-racionaliosiomis funkcijomis momentas:
3 pavyzdys
Išnagrinėkite funkciją naudodami pirmąją išvestinę
Atkreipkite dėmesį į tai, kaip skirtingai galima performuluoti vieną ir tą pačią užduotį.
Sprendimas:
1) Funkcija taškuose patiria begalinius netolygumus.
2) Mes nustatome kritinius taškus. Raskime pirmąją išvestinę ir prilyginkime ją nuliui: 
Išspręskime lygtį. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis yra nulis:
Taigi gauname tris svarbius taškus: 
3) Nubraižome VISUS aptiktus taškus skaičių tiesėje ir intervalo metodas mes apibrėžiame IŠVEDINĖS požymius:
Primenu, kad reikia paimti tam tikrą intervalo tašką ir jame apskaičiuoti išvestinės vertę 
ir nustatyti jo ženklą. Pelningiau net neskaičiuoti, o „įvertinti“ žodžiu. Paimkime, pavyzdžiui, tašką, priklausantį intervalui, ir atliksime keitimą: 
. 
Du „pliusai“ ir vienas „minusas“ suteikia „minusą“, vadinasi, išvestinė yra neigiama per visą intervalą.
Veiksmas, kaip suprantate, turi būti atliktas kiekvienam iš šešių intervalų. Beje, atkreipkite dėmesį, kad skaitiklio koeficientas ir vardiklis yra griežtai teigiami bet kuriame bet kurio intervalo taške, o tai labai supaprastina užduotį.
Taigi, išvestinė mums pasakė, kad PATI FUNKCIJA padidėja 
ir sumažėja . To paties tipo intervalus patogu sujungti su prisijungimo piktograma.
Kai funkcija pasiekia maksimumą:
Tuo metu funkcija pasiekia minimumą: 
Pagalvokite, kodėl jums nereikia perskaičiuoti antrosios vertės ;-)
Einant per tašką, išvestinė ženklo nekeičia, todėl funkcija ten NE EKSTREMUMO - ir sumažėjo, ir liko mažėjanti.
! Pakartokime svarbų dalyką: taškai nelaikomi kritiniais – juose yra funkcija neapibrėžtas. Atitinkamai, čia Iš principo negali būti kraštutinumų(net jei išvestinė keičia ženklą).
Atsakymas: funkcija padidėja 
ir mažėja Kai pasiekiamas funkcijos maksimumas: 
, o taške – minimumas: .
Žinios apie monotoniškumo intervalus ir ekstremumus, kartu su nustatytais asimptotų jau suteikia labai gerą supratimą apie funkcijų grafiko išvaizdą. Vidutinio pasirengimo žmogus gali žodžiu nustatyti, kad funkcijos grafikas turi du vertikalius asimptotus ir įstrižą asimptotą. Štai mūsų herojus: 
Pabandykite dar kartą susieti tyrimo rezultatus su šios funkcijos grafiku.
Kritiniame taške ekstremumo nėra, bet yra vingio taškas(kas, kaip taisyklė, nutinka panašiais atvejais).
4 pavyzdys
Raskite funkcijos kraštutinumą
5 pavyzdys
Raskite funkcijos monotoniškumo intervalus, maksimumus ir minimumus
...tai beveik kaip kokia „X kube“ šventė šiandien...
Soooo, kas galerijoje už tai pasiūlė išgerti? =)
Kiekviena užduotis turi savo esminius niuansus ir technines subtilybes, kurios pakomentuojamos pamokos pabaigoje.
Sveiki! Išlaikykime artėjantį Vieningą valstybinį egzaminą kokybišku sistemingu pasiruošimu ir užsispyrimu šlifuodami mokslo granitą!!! INĮrašo pabaigoje yra konkurso užduotis, būk pirmas! Viename iš šios skilties straipsnių tu ir aš, kuriame buvo pateiktas funkcijos grafikas ir iškelti įvairūs klausimai dėl ekstremalių, padidėjimo (sumažėjimo) intervalų ir kt.
Šiame straipsnyje apžvelgsime problemas, įtrauktas į Vieningą valstybinį matematikos egzaminą, kuriame pateikiamas funkcijos išvestinės grafikas ir pateikiami šie klausimai:
1. Kuriame duotosios atkarpos taške funkcija įgyja didžiausią (arba mažiausią) reikšmę.
2. Raskite didžiausių (arba mažiausių) funkcijos taškų, priklausančių duotam atkarpai, skaičių.
3. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo taškų skaičių.
4. Raskite funkcijos, priklausančios duotam atkarpai, ekstremumo tašką.
5. Raskite didėjančios (arba mažėjančios) funkcijos intervalus ir atsakyme nurodykite į šiuos intervalus įtrauktų sveikųjų skaičių sumą.
6. Raskite funkcijos didėjimo (arba mažėjimo) intervalus. Savo atsakyme nurodykite didžiausio iš šių intervalų ilgį.
7. Raskite taškų, kuriuose funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti arba sutampa su y = kx + b formos tiese, skaičių.
8. Raskite taško, kuriame funkcijos grafiko liestinė yra lygiagreti abscisių ašiai arba sutampa su ja, abscisę.
Gali kilti ir kitų klausimų, bet jie nesukels jums sunkumų, jei suprasite ir (pateikiamos nuorodos į straipsnius, kuriuose pateikiama sprendimui reikalinga informacija, rekomenduoju pakartoti).
Pagrindinė informacija (trumpai):
1. Išvestinė didėjančiais intervalais turi teigiamą ženklą.
Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi teigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale didėja.
2. Mažėjančiais intervalais išvestinė turi neigiamą ženklą.
Jei išvestinė tam tikrame taške iš tam tikro intervalo turi neigiamą reikšmę, tai funkcijos grafikas šiame intervale mažėja.
3. Išvestinė taške x lygi tame pačiame taške nubrėžtos funkcijos grafiko liestinės nuolydžiui.
4. Funkcijos ekstremumo (maksimalaus-minimalumo) taškuose išvestinė lygi nuliui. Funkcijos grafiko liestinė šiame taške yra lygiagreti x ašiai.
Tai reikia aiškiai suprasti ir atsiminti!!!
Išvestinis grafikas „supainioja“ daugybę žmonių. Kai kurie žmonės netyčia jį supainioja su pačios funkcijos grafiku. Todėl tokiuose pastatuose, kur matote, kad pateiktas grafikas, iš karto sutelkite dėmesį į tai, kas duota: funkcijos grafiką ar funkcijos išvestinės grafiką?
Jei tai funkcijos išvestinės grafikas, traktuokite jį kaip pačios funkcijos „atspindį“, kuris tiesiog suteikia informacijos apie tą funkciją.
Apsvarstykite užduotį:
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–2;21).
Atsakysime į šiuos klausimus:
1. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X) užima didžiausią vertę.
Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra neigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale mažėja (ji mažėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, ty 7 taške.
Atsakymas: 7
2. Kuriame atkarpos taške yra funkcija f(X)
Iš šio išvestinio grafiko galime pasakyti taip. Tam tikrame intervale funkcijos išvestinė yra teigiama, o tai reiškia, kad funkcija šiame intervale didėja (ji didėja nuo kairiosios intervalo ribos į dešinę). Taigi mažiausia funkcijos reikšmė pasiekiama kairiojoje atkarpos kraštinėje, tai yra taške x = 3.
Atsakymas: 3
3. Raskite funkcijos didžiausių taškų skaičių f(X)
Didžiausi taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą. Pasvarstykime, kur taip pasikeičia ženklas.
Segmente (3;6) išvestinė yra teigiama, segmente (6;16) – neigiama.
Segmente (16;18) išvestinė yra teigiama, segmente (18;20) – neigiama.
Taigi tam tikroje atkarpoje funkcija turi du didžiausius taškus x = 6 ir x = 18.
Atsakymas: 2
4. Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.
Minimalūs taškai atitinka taškus, kuriuose išvestinis ženklas pasikeičia iš neigiamo į teigiamą. Mūsų išvestinė yra neigiama intervale (0;3), o teigiama intervale (3;4).
Taigi atkarpoje funkcija turi tik vieną minimalų tašką x = 3.
*Būkite atsargūs rašydami atsakymą – įrašomas taškų skaičius, o ne x reikšmė tokia klaida gali būti padaryta dėl neatidumo;
Atsakymas: 1
5. Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui.
Atkreipkite dėmesį, ką reikia rasti kiekis ekstremalūs taškai (tai yra ir didžiausi, ir mažiausi taškai).
Ekstremalūs taškai atitinka taškus, kuriuose keičiasi išvestinės vertės ženklas (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Sąlygoje pateiktoje diagramoje tai yra funkcijos nuliai. Išvestinė dingsta 3, 6, 16, 18 taškuose.
Taigi funkcija atkarpoje turi 4 kraštutinius taškus.
Atsakymas: 4
6. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)
Šios funkcijos didinimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose jo išvestinė yra teigiama, tai yra intervalus (3;6) ir (16;18). Atkreipkite dėmesį, kad intervalo ribos į jį neįtrauktos (apvalūs skliaustai - ribos neįtraukiamos į intervalą, laužtiniai skliaustai - įtraukiami). Šiuose intervaluose yra sveikųjų skaičių taškai 4, 5, 17. Jų suma yra: 4 + 5 + 17 = 26
Atsakymas: 26
7. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X) tam tikru intervalu. Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.
Funkcijų mažėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Šioje užduotyje tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18:21).
Šiuos intervalus sudaro šie sveikieji taškai: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Jų suma yra tokia:
(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +
11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140
Atsakymas: 140
*Atkreipkite dėmesį į sąlygą: ar ribos įtraukiamos į intervalą, ar ne. Jei ribos įtraukiamos, tai intervaluose, kurie atsižvelgiama į sprendimo procesą, taip pat reikia atsižvelgti į šias ribas.
8. Raskite didėjimo funkcijos intervalus f(X)
Funkcijos didėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra teigiama. Juos jau nurodėme: (3;6) ir (16:18). Didžiausias iš jų – intervalas (3;6), jo ilgis – 3.
Atsakymas: 3
9. Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.
Funkcijų mažėjimo intervalai f(X) atitinka intervalus, kuriuose funkcijos išvestinė yra neigiama. Mes juos jau nurodėme, tai yra intervalai (–2;3), (6;16), (18;21), jų ilgiai yra atitinkamai 5, 10, 3.
Didžiausio ilgis 10.
Atsakymas: 10
10. Raskite taškų, kuriuose yra funkcijos grafiko liestinė, skaičių f(X) lygiagreti arba sutampa su tiese y = 2x + 3.
Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė lygiagreti tiesei y = 2x + 3 arba su ja sutampa, jų kampiniai koeficientai lygūs 2. Tai reiškia, kad reikia rasti taškų, kuriuose y′(x 0) = 2, skaičių. Geometriškai tai atitinka išvestinės grafiko susikirtimo taškų skaičių su tiese y = 2. Šiame intervale yra 4 tokie taškai.
Atsakymas: 4
11. Raskite funkcijos ekstremumo tašką f(X), priklausantis segmentui.
Funkcijos ekstremumo taškas yra taškas, kuriame jos išvestinė yra lygi nuliui, o šalia šio taško išvestinė keičia ženklą (iš teigiamo į neigiamą arba atvirkščiai). Atkarpoje išvestinis grafikas kerta x ašį, išvestinė keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą. Todėl taškas x = 3 yra ekstremumo taškas.
Atsakymas: 3
12. Raskite taškų, kuriuose grafiko y = f (x) liestinės yra lygiagrečios abscisių ašiai arba su ja sutampa, abscises. Atsakyme nurodykite didžiausią iš jų.
Grafo liestinė y = f (x) gali būti lygiagreti abscisių ašiai arba sutapti su ja tik taškuose, kur išvestinė lygi nuliui (tai gali būti ekstremalieji taškai arba stacionarūs taškai, šalia kurių išvestinė yra nekeisti savo ženklo). Šis grafikas rodo, kad taškuose 3, 6, 16, 18 išvestinė yra lygi nuliui. Didžiausias yra 18.
Savo samprotavimus galite struktūrizuoti taip:
Išvestinės reikšmė liestinės taške yra lygi liestinės nuolydžiui. Kadangi liestinė yra lygiagreti arba sutampa su x ašimi, jos nuolydis yra 0 (iš tikrųjų nulinio laipsnių kampo liestinė yra nulis). Todėl ieškome taško, kuriame nuolydis lygus nuliui, todėl išvestinė lygi nuliui. Taške, kuriame jos grafikas kerta x ašį, išvestinė lygi nuliui, o tai yra taškai 3, 6, 16, 18.
Atsakymas: 18
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–8;4). Kuriame atkarpos [–7;–3] taške yra funkcija f(X) užima mažiausią vertę.
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;14). Raskite maksimalų funkcijos taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–6;9].
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–18;6). Raskite funkcijos minimalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–13;1].
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11; –11). Raskite funkcijos ekstremalių taškų skaičių f(X), priklausantis segmentui [–10; –10].
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–7;4). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–5;7). Raskite mažėjimo funkcijos intervalus f(X). Savo atsakyme nurodykite sveikųjų skaičių, įtrauktų į šiuos intervalus, sumą.
Paveikslėlyje parodytas grafikas y =f„(X)- funkcijos išvestinė f(X), apibrėžtas intervale (–11;3). Raskite didėjančios funkcijos intervalus f(X). Atsakyme nurodykite didžiausio iš jų ilgį.
F Paveikslėlyje parodytas grafikas
Problemos sąlygos yra tos pačios (ką mes svarstėme). Raskite trijų skaičių sumą:
1. Funkcijos f (x) ekstremalių kvadratų suma.
2. Funkcijos f (x) didžiausių taškų sumos ir mažiausių taškų sumos kvadratų skirtumas.
3. F (x) lygiagrečių tiesei y = –3x + 5 liestinių skaičius.
Pirmasis teisingai atsakęs gaus 150 rublių skatinamąjį prizą. Savo atsakymus rašykite komentaruose. Jei tai pirmas jūsų komentaras tinklaraštyje, jis pasirodys ne iš karto, o šiek tiek vėliau (nesijaudinkite, komentaro parašymo laikas įrašomas).
Sėkmės tau!
Pagarbiai, Aleksandras Krutitsikas.
P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.
Funkcija ir jos ypatybių tyrimas yra vienas iš pagrindinių šiuolaikinės matematikos skyrių. Pagrindinis bet kurios funkcijos komponentas yra grafikai, vaizduojantys ne tik jos savybes, bet ir šios funkcijos išvestinės parametrus. Supraskime šią sudėtingą temą. Taigi koks yra geriausias būdas rasti didžiausius ir mažiausius funkcijos taškus?
Funkcija: apibrėžimas
Bet koks kintamasis, kuris tam tikru būdu priklauso nuo kito dydžio verčių, gali būti vadinamas funkcija. Pavyzdžiui, funkcija f(x 2) yra kvadratinė ir nustato visos aibės x reikšmes. Tarkime, kad x = 9, tada mūsų funkcijos reikšmė bus lygi 9 2 = 81.
Funkcijos būna įvairių tipų: loginės, vektorinės, logaritminės, trigonometrinės, skaitinės ir kt. Juos tyrinėjo tokie išskirtiniai protai kaip Lacroix, Lagrange, Leibniz ir Bernoulli. Jų darbai yra šiuolaikinių funkcijų tyrimo būdų pagrindas. Prieš ieškant minimalių taškų, labai svarbu suprasti pačią funkcijos ir jos išvestinės prasmę.
Darinys ir jos vaidmuo
Visos funkcijos priklauso nuo jų kintamųjų, o tai reiškia, kad jos gali bet kada pakeisti savo reikšmę. Diagramoje tai bus pavaizduota kaip kreivė, kuri krenta arba kyla išilgai ordinačių ašies (tai yra visas „y“ skaičių rinkinys vertikalioje diagramoje). Taigi funkcijos maksimalaus ir mažiausio taškų nustatymas yra tiksliai susijęs su šiais „svyravimais“. Paaiškinkime, kas yra šis ryšys.
Bet kurios funkcijos išvestinė vaizduojama grafiškai, siekiant ištirti pagrindines jos charakteristikas ir apskaičiuoti, kaip greitai funkcija keičiasi (t. y. keičia savo reikšmę priklausomai nuo kintamojo "x"). Tuo momentu, kai funkcija padidės, jos išvestinės grafikas taip pat padidės, tačiau bet kurią sekundę funkcija gali pradėti mažėti, o tada išvestinės grafikas mažės. Tie taškai, kuriuose išvestinė pasikeičia iš minuso ženklo į pliuso ženklą, vadinami minimaliais taškais. Norėdami sužinoti, kaip rasti minimalius taškus, turėtumėte geriau suprasti
Kaip apskaičiuoti išvestinę priemonę?
Apibrėžimas ir funkcijos reiškia keletą sąvokų iš Apskritai patį išvestinės apibrėžimą galima išreikšti taip: tai yra dydis, rodantis funkcijos kitimo greitį.
Matematinis jo nustatymo būdas daugeliui studentų atrodo sudėtingas, tačiau iš tikrųjų viskas yra daug paprasčiau. Jums tereikia vadovautis standartiniu bet kurios funkcijos išvestinės paieškos planu. Žemiau aprašome, kaip galima rasti minimalų funkcijos tašką netaikant diferenciacijos taisyklių ir neįsimenant išvestinių lentelės.
- Funkcijos išvestinę galite apskaičiuoti naudodami grafiką. Norėdami tai padaryti, turite pavaizduoti pačią funkciją, tada paimkite vieną tašką (paveikslėlyje A taškas) nubrėžkite liniją vertikaliai žemyn iki abscisių ašies (taškas x 0), o taške A nubrėžkite liestinę. funkcijos grafikas. X ašis ir liestinė sudaro tam tikrą kampą a. Norėdami apskaičiuoti, kaip greitai funkcija didėja, turite apskaičiuoti šio kampo liestinę a.
- Pasirodo, kad kampo tarp liestinės ir x ašies krypties liestinė yra funkcijos išvestinė mažame plote su tašku A. Šis metodas laikomas geometriniu išvestinės nustatymo metodu.
Funkcijų tyrimo metodai
Mokyklinėje matematikos programoje funkcijos minimalų tašką galima rasti dviem būdais. Pirmąjį metodą, naudojant grafiką, jau aptarėme, bet kaip galime nustatyti išvestinės skaitinę reikšmę? Norėdami tai padaryti, turėsite išmokti keletą formulių, kurios apibūdina išvestinės ypatybes ir padeda konvertuoti tokius kintamuosius kaip „x“ į skaičius. Šis metodas yra universalus, todėl jį galima pritaikyti beveik visų tipų funkcijoms (tiek geometrinėms, tiek logaritminėms).
- Būtina prilyginti funkciją išvestinei funkcijai, o tada supaprastinti išraišką naudojant diferenciacijos taisykles.
- Kai kuriais atvejais, kai suteikiama funkcija, kurios kintamasis "x" yra daliklyje, reikia nustatyti priimtinų reikšmių diapazoną, išskiriant iš jo tašką "0" (dėl paprastos priežasties, kad matematikoje niekada neturėtų būti padalinti iš nulio).
- Po to turėtumėte paversti pradinę funkcijos formą į paprastą lygtį, prilyginant visą išraišką nuliui. Pavyzdžiui, jei funkcija atrodė taip: f(x) = 2x 3 +38x, tai pagal diferenciacijos taisykles jos išvestinė yra lygi f"(x) = 3x 2 +1. Tada šią išraišką transformuojame į tokios formos lygtis: 3x 2 +1 = 0 .
- Išsprendę lygtį ir radę „x“ taškus, turėtumėte juos nubraižyti x ašyje ir nustatyti, ar išvestinė šiose atkarpose tarp pažymėtų taškų yra teigiama, ar neigiama. Po žymėjimo paaiškės, nuo kurio momento funkcija pradeda mažėti, tai yra, keičia ženklą iš minuso į priešingą. Būtent tokiu būdu galite rasti ir minimalų, ir maksimalų balą.
Diferencijavimo taisyklės
Svarbiausias komponentas tiriant funkciją ir jos išvestinę yra diferenciacijos taisyklių žinojimas. Tik su jų pagalba galite pakeisti sudėtingas išraiškas ir dideles sudėtingas funkcijas. Susipažinkime su jais, jų yra gana daug, bet jie visi labai paprasti dėl natūralių tiek galios, tiek logaritminių funkcijų savybių.
- Bet kurios konstantos išvestinė lygi nuliui (f(x) = 0). Tai yra, išvestinė f(x) = x 5 + x - 160 bus tokia: f" (x) = 5x 4 +1.
- Dviejų terminų sumos išvestinė: (f+w)" = f"w + fw".
- Logaritminės funkcijos išvestinė: (log a d)" = d/ln a*d. Ši formulė taikoma visų tipų logaritmams.
- Laipsnio išvestinė: (x n)"= n*x n-1. Pavyzdžiui, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
- Sinusinės funkcijos išvestinė: (sin a)" = cos a. Jei kampo a sin yra 0,5, tai jos išvestinė yra √3/2.
Ekstremalūs taškai
Jau aptarėme, kaip rasti minimalius balus, bet yra koncepcija ir funkcijos. Jeigu minimumas žymi tuos taškus, kuriuose funkcija keičiasi iš minuso ženklo į pliusą, tai maksimaliais taškais laikomi tie x ašies taškai, kuriuose funkcijos išvestinė keičiasi iš pliuso į priešingą – minusą.
Galite rasti maksimalius taškus naudodami aukščiau aprašytą metodą, tačiau turėtumėte atsižvelgti į tai, kad jie nurodo tas sritis, kuriose funkcija pradeda mažėti, tai yra, išvestinė bus mažesnė už nulį.
Matematikoje įprasta abi sąvokas apibendrinti, pakeičiant jas fraze „kraštutiniai taškai“. Kai užduotyje prašoma identifikuoti šiuos taškus, tai reiškia, kad reikia apskaičiuoti tam tikros funkcijos išvestinę ir rasti minimalų bei maksimalų taškų skaičių.