Trupmeninė racionali funkcija
Formulė y = k/x, grafikas yra hiperbolė. GIA 1 dalyje ši funkcija siūloma be poslinkių išilgai ašių. Todėl jis turi tik vieną parametrą k. Didžiausias grafiko išvaizdos skirtumas priklauso nuo ženklo k.
Sunkiau pastebėti skirtumus diagramose, jei k vienas simbolis:
Kaip matome, tuo daugiau k, tuo didesnė hiperbolė.
Paveikslėlyje parodytos funkcijos, kurių parametras k labai skiriasi. Jei skirtumas nėra toks didelis, tai gana sunku jį nustatyti akimis.
Šiuo atžvilgiu toliau pateikta užduotis, kurią radau apskritai gerame pasirengimo valstybiniam egzaminui vadove, yra tiesiog „šedevras“:
Negana to, gana mažame paveikslėlyje glaudžiai išdėstyti grafikai tiesiog susilieja. Be to, hiperbolės su teigiamu ir neigiamu k vaizduojamos toje pačioje koordinačių plokštumoje. Tai visiškai dezorientuos visus, kurie žiūrės į šį piešinį. „Šiena maža žvaigždė“ tiesiog patraukia jūsų dėmesį.
Ačiū Dievui, tai tik treniruotės. Realiuose variantuose buvo pasiūlyta teisingesnė formuluotė ir akivaizdūs brėžiniai.
Išsiaiškinkime, kaip nustatyti koeficientą k pagal funkcijos grafiką.
Iš formulės: y = k/x iš to išplaukia k = y x. Tai yra, galime paimti bet kurį sveikąjį tašką su patogiomis koordinatėmis ir jas padauginti – gauname k.
k= 1 · (- 3) = - 3.
Todėl šios funkcijos formulė yra tokia: y = – 3/x.
Įdomu panagrinėti situaciją su trupmeniniu k. Šiuo atveju formulę galima parašyti keliais būdais. Tai neturėtų būti klaidinanti.
Pavyzdžiui,
Šiame grafike neįmanoma rasti vieno sveikojo skaičiaus taško. Todėl vertė k galima nustatyti labai apytiksliai.
k= 1·0,7≈0,7. Tačiau galima suprasti, kad 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.
Taigi, apibendrinkime.
k> 0 hiperbolė yra 1 ir 3 koordinačių kampuose (kvadrantuose),
k < 0 - во 2-м и 4-ом.
Jeigu k modulis didesnis nei 1 ( k= 2 arba k= - 2), tada grafikas yra virš 1 (žemiau - 1) išilgai y ašies ir atrodo platesnis.
Jeigu k modulis mažesnis nei 1 ( k= 1/2 arba k= - 1/2), tada grafikas yra žemiau 1 (virš - 1) išilgai y ašies ir atrodo siauresnis, „paspaustas“ link nulio:
Funkcija y = ir jos grafikas.
TIKSLAI:
1) pateikite funkcijos y = apibrėžimą;
2) išmokyti sukurti funkcijos y = grafiką naudojant Agrapher programą;
3) ugdyti gebėjimą konstruoti funkcijos y = grafikų eskizus, naudojant funkcijų grafikų transformavimo savybes;
I. Nauja medžiaga – išplėstinis pokalbis.
U: Panagrinėkime funkcijas, apibrėžtas formulėmis y = ; y = ; y = .
Kokie posakiai parašyti dešinėje šių formulių pusėje?
D: Dešiniosios šių formulių pusės turi racionaliosios trupmenos formą, kurioje skaitiklis yra pirmojo laipsnio dvinaris arba skaičius, kuris nėra nulis, o vardiklis yra pirmojo laipsnio dvinaris.
U: Tokios funkcijos paprastai nurodomos formos formule
Apsvarstykite atvejus, kai a) c = 0 arba c) = .
(Jei antruoju atveju mokiniai patiria sunkumų, tuomet turite paprašyti jų išreikšti Su iš nurodytos proporcijos ir gautą išraišką pakeiskite formule (1)).
D1: Jei c = 0, tai y = x + b yra tiesinė funkcija.
D2: Jei = , tai c = . Vertės pakeitimas Su formulėje (1) gauname:
Tai yra, y = yra tiesinė funkcija.
Y: Funkcija, kurią galima nurodyti y = formos formule, kur raidė x žymi nepriklausomą
Šis kintamasis ir raidės a, b, c ir d yra savavališki skaičiai, o c0 ir ad yra visi 0, vadinamas tiesine trupmenine funkcija.
Parodykime, kad tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.
1 pavyzdys. Sukurkime funkcijos y = grafiką. Atskirkime visą dalį nuo trupmenos.
Turime: = = = 1 + .
Funkcijos y = +1 grafiką galima gauti iš funkcijos y = grafiko, naudojant du lygiagrečius vertimus: 2 vienetų poslinkį į dešinę išilgai X ašies ir 1 vieneto poslinkį aukštyn Y kryptimi. Su šiais poslinkiais hiperbolės y = asimptotės pasislinks: tiesė x = 0 (t. y. Y ašis) yra 2 vienetai į dešinę, o tiesė y = 0 (t. y. X ašis) yra vienas vienetas. aukštyn. Prieš sudarydami grafiką, koordinačių plokštumoje punktyrine linija nubrėžkime asimptotes: tiesės x = 2 ir y = 1 (1a pav.). Atsižvelgiant į tai, kad hiperbolė susideda iš dviejų šakų, kiekvienai iš jų sudaryti, naudodamiesi Agrapher programa sukursime dvi lenteles: vieną x>2, o kitą x.<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| adresu | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| adresu | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Koordinačių plokštumoje pažymėkime (naudojant Agrapher programą) taškus, kurių koordinatės įrašytos pirmoje lentelėje, ir sujungsime juos lygia ištisine linija. Gauname vieną hiperbolės šaką. Panašiai, naudodamiesi antrąja lentele, gauname antrąją hiperbolės šaką (1b pav.).
Pavyzdys 2. Sukurkime funkcijos y = - grafiką. Išskirkime visą dalį nuo trupmenos, dvinarį 2x + 10 padalydami iš dvejetainio x + 3. Gauname = 2 + . Todėl y = -2.
Funkcijos y = --2 grafiką galima gauti iš funkcijos y = - grafiko, naudojant du lygiagrečius vertimus: 3 vienetų poslinkį į kairę ir 2 vienetus žemyn. Hiperbolės asimptotės yra tiesės x = -3 ir y = -2. Sukurkime (naudodami Agrapher programą) lenteles x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| adresu | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| adresu | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Sukonstruodami (naudojant Agrapher programą) koordinačių plokštumos taškus ir per juos nubrėžę hiperbolės šakas, gauname funkcijos y = - grafiką (2 pav.).
U: Kas yra tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas?
D: bet kurios tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.
T: Kaip pavaizduoti tiesinę trupmeninę funkciją?
D: Trupmeninės tiesinės funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = grafiko, naudojant lygiagrečius vertimus išilgai koordinačių ašių, trupmeninės tiesinės funkcijos hiperbolės šakos yra simetriškos taško atžvilgiu (-. Tiesė x = vadinama vertikaliąja hiperbolės asimptote Tiesi linija y = vadinama horizontalia asimptote.
T: Kokia yra tiesinės trupmeninės funkcijos apibrėžimo sritis?
T: Koks yra tiesinės trupmeninės funkcijos verčių diapazonas?
D: E(y) = .
T: Ar funkcija turi nulius?
D: Jei x = 0, tai f(0) = , d. Tai reiškia, kad funkcija turi nulius - tašką A.
T: Ar tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas turi susikirtimo taškus su X ašimi?
D: Jei y = 0, tai x = -. Tai reiškia, kad jei a, tai susikirtimo taškas su X ašimi turi koordinates. Jei a = 0, b, tai tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas neturi susikirtimo su abscisių ašimi taškų.
U: funkcija mažėja per viso apibrėžimo srities intervalus, jei bc-ad > 0, ir didėja per viso apibrėžimo srities intervalus, jei bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
K: Ar galima nurodyti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes?
D: funkcija neturi didžiausių ir mažiausių reikšmių.
T: Kokios tiesės yra tiesinės trupmeninės funkcijos grafiko asimptotės?
D: vertikali asimptotė yra tiesė x = -; o horizontalioji asimptotė yra tiesė y = .
(Mokiniai surašo visas apibendrinančias išvadas, tiesinės trupmeninės funkcijos apibrėžimus ir savybes į sąsiuvinį)
II. Konsolidavimas.
Konstruojant ir „skaitant“ tiesinių trupmeninių funkcijų grafikus, naudojamos Agrapher programos savybės
III. Mokomasis savarankiškas darbas.
- Raskite hiperbolės centrą, asimptotes ir nubraižykite funkciją:
a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; e) y = ;
g) y = h) y = -
Kiekvienas mokinys dirba savo tempu. Esant poreikiui, mokytojas padeda užduodamas klausimus, kurių atsakymai padės mokiniui teisingai atlikti užduotį.
Laboratorinis ir praktinis darbas tiriant funkcijų y = ir y = savybes ir šių funkcijų grafikų ypatybes.
TIKSLAI: 1) toliau ugdyti įgūdžius kurti funkcijų y = ir y = grafikus naudojant Agrapher programą;
2) įtvirtinti funkcijų „skaitymo grafikus“ ir gebėjimą „numatyti“ grafikų pokyčius atliekant įvairias trupmeninių tiesinių funkcijų transformacijas.
I. Diferencijuotas trupmeninės tiesinės funkcijos savybių kartojimas.
Kiekvienam mokiniui įteikiama kortelė – spaudinys su užduotimis. Visos statybos atliekamos naudojant Agrapher programą. Kiekvienos užduoties rezultatai aptariami iš karto.
Kiekvienas mokinys, naudodamas savikontrolę, atlikdamas užduotį gali pakoreguoti gautus rezultatus ir prašyti dėstytojo ar mokinių konsultanto pagalbos.
Raskite argumento X reikšmę, kurioje f(x) =6; f(x) =-2,5.
3. Sukurkite funkcijos y = grafiką. Nustatykite, ar taškas priklauso šios funkcijos grafikui: a) A(20;0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?
4. Sukurkite funkcijos y = grafiką. Raskite intervalus, kuriuose y>0 ir kuriuose y<0.
5. Nubraižykite funkcijos y = grafiką. Raskite funkcijos domeną ir diapazoną.
6. Nurodykite hiperbolės asimptotes – funkcijos y = - grafiką. Sukurkite grafiką.
7. Nubraižykite funkcijos y = grafiką. Raskite funkcijos nulius.
II. Laboratoriniai ir praktiniai darbai.
Kiekvienam mokiniui išduodamos 2 kortelės: kortelė Nr.1 "Instrukcijos" su planu, pagal kurį darbas atliekamas, o tekstas su užduotimi ir kortele Nr. 2 “ Funkcinių studijų rezultatai ”.
- Nubraižykite nurodytos funkcijos grafiką.
- Raskite funkcijos domeną.
- Raskite funkcijos diapazoną.
- Nurodykite hiperbolės asimptotus.
- Raskite funkcijos (f(x) = 0) nulius.
- Raskite hiperbolės susikirtimo tašką su X ašimi (y = 0).
7. Raskite intervalus, kuriuose: a) y<0; б) y>0.
8. Nurodykite funkcijos didėjimo (sumažėjimo) intervalus.
I variantas.
Naudodami Agrapher programą sukurkite funkcijos grafiką ir ištirkite jos savybes:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-
Čia koeficientai už X o laisvieji skaitiklio ir vardiklio nariai pateikiami tikrieji skaičiai. Tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas bendruoju atveju yra hiperbolė.
Paprasčiausia trupmeninė tiesinė funkcija y = - tu-
streikuoja atvirkštinis proporcingas ryšys; ją vaizduojanti hiperbolė gerai žinoma iš aukštųjų mokyklų kursų (5.5 pav.).
Ryžiai. 5.5
Pavyzdys. 5.3
Nubraižykite tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką:
- 1. Kadangi ši trupmena neturi prasmės kada x = 3, Tai funkcijos X sritis susideda iš dviejų begalinių intervalų:
- 3) ir (3; +°°).
2. Norint ištirti funkcijos elgesį ties apibrėžimo srities riba (t.y. kai X-»3 ir val X-> ±°°), naudinga šią išraišką paversti dviejų terminų suma taip:
Kadangi pirmasis narys yra pastovus, funkcijos elgesį ant ribos iš tikrųjų lemia antrasis kintamasis narys. Ištyręs jo kitimo procesą, kada X-> 3 ir X->±°°, dėl pateiktos funkcijos darome tokias išvadas:
- a) jei x->3 teisingai(t. y. *>3) funkcijos reikšmė didėja neribotai: adresu-> +°°: ties x->3 paliko(t. y. ties x y – taigi norima hiperbolė artėja prie tiesės be apribojimų su lygtimi x = 3 (apačioje kairėje Ir viršuje dešinėje) taigi ši tiesi linija yra vertikali asimptota hiperbolė;
- b) prie x ->±°° antrasis narys mažėja be ribos, todėl funkcijos reikšmė artėja prie pirmojo, pastovaus nario be ribos, t.y. vertinti y = 2. Šiuo atveju funkcijos grafikas artėja be apribojimų (apačioje kairėje ir viršuje dešinėje) prie lygties pateiktos tiesės y = 2; taigi ši linija yra horizontalioji asimptote hiperbolė.
komentuoti.Šiame skyriuje gauta informacija yra svarbiausia apibūdinti funkcijos grafiko elgseną nutolusioje plokštumos dalyje (vaizdžiai tariant, begalybėje).
- 3. Darydami prielaidą, kad l = 0, randame y = ~. Todėl norima hi-
perbolė kerta ašį Oi taške M x = (0;-^).
- 4. Nulinė funkcija ( adresu= 0) bus X= -2; todėl ši hiperbolė kerta ašį Oi taške M 2 (-2; 0).
- 5. Trupmena yra teigiama, jei skaitiklis ir vardiklis turi tą patį ženklą, ir neigiamas, jei skiriasi. Išspręsdami atitinkamas nelygybių sistemas, nustatome, kad funkcija turi du teigiamus intervalus: (-°°; -2) ir (3; +°°) ir vieną neigiamą intervalą: (-2; 3).
- 6. Pateikus funkciją kaip dviejų dėmenų sumą (žr. 2 punktą), gana lengva aptikti du mažėjimo intervalus: (-°°; 3) ir (3; +°°).
- 7. Akivaizdu, kad ši funkcija neturi kraštutinumų.
- 8. Nustatykite Y šios funkcijos reikšmes: (-°°; 2) ir (2; +°°).
- 9. Taip pat nėra lyginių, nelyginių ar periodiškumo. Surinktos informacijos pakanka schematiškai
vaizduoti hiperbolę grafiškai atspindinčios šios funkcijos savybes (5.6 pav.).
Ryžiai. 5.6
Iki šiol aptartos funkcijos vadinamos algebrinė. Dabar pereikime prie svarstymo transcendentinis funkcijas.
Šioje pamokoje apžvelgsime trupmeninę tiesinę funkciją, spręsime uždavinius naudodami trupmeninę tiesinę funkciją, modulį, parametrą.
Tema: kartojimas
Pamoka: Trupmeninė tiesinė funkcija
1. Tiesinės trupmeninės funkcijos samprata ir grafikas
Apibrėžimas:
Formos funkcija:
Pavyzdžiui:
Įrodykime, kad šios tiesinės trupmeninės funkcijos grafikas yra hiperbolė.
Išimkime du iš skaitiklio skliaustų ir gaukime:
Mes turime x ir skaitiklyje, ir vardiklyje. Dabar transformuojame taip, kad išraiška atsirastų skaitiklyje:
Dabar sumažinkime trupmenos terminą po termino:
Akivaizdu, kad šios funkcijos grafikas yra hiperbolė.
Galime pasiūlyti antrąjį įrodinėjimo būdą, būtent stulpelyje padalyti skaitiklį iš vardiklio:
Gauta:
2. Tiesinės trupmeninės funkcijos grafiko nubrėžimas
Svarbu, kad būtų galima lengvai sudaryti tiesinės trupmeninės funkcijos grafiką, ypač norint rasti hiperbolės simetrijos centrą. Išspręskime problemą.
1 pavyzdys – nubraižykite funkcijos grafiką:
Mes jau konvertavome šią funkciją ir gavome:
Norėdami sudaryti šį grafiką, neperkelsime ašių ar pačios hiperbolės. Funkcijų grafikų sudarymui naudojame standartinį metodą, naudojant pastovaus ženklo intervalų buvimą.
Mes veikiame pagal algoritmą. Pirmiausia panagrinėkime pateiktą funkciją.
Taigi, turime tris pastovaus ženklo intervalus: dešinėje () funkcija turi pliuso ženklą, tada ženklai pakaitomis, nes visos šaknys turi pirmąjį laipsnį. Taigi, intervale funkcija yra neigiama, intervale funkcija yra teigiama.
Sukuriame grafiko eskizą šalia ODZ šaknų ir lūžio taškų. Turime: kadangi taške funkcijos ženklas pasikeičia iš pliuso į minusą, kreivė pirmiausia yra virš ašies, tada eina per nulį ir tada yra po x ašimi. Kai trupmenos vardiklis praktiškai lygus nuliui, tai reiškia, kad kai argumento reikšmė linkusi į tris, trupmenos reikšmė linkusi į begalybę. Šiuo atveju, kai argumentas artėja prie trigubo kairėje, funkcija yra neigiama ir linkusi į minus begalybę, dešinėje funkcija yra teigiama ir palieka plius begalybę.
Dabar sudarome funkcijos grafiko eskizą, esantį šalia taškų begalybėje, tai yra, kai argumentas linkęs į pliusą arba minus begalybę. Šiuo atveju pastovių terminų galima nepaisyti. Turime:
Taigi turime horizontalią asimptotę ir vertikalią, hiperbolės centras yra taškas (3;2). Iliustruojame:
Ryžiai. 1. Hiperbolės grafikas, pavyzdžiui, 1
3. Trupmeninė tiesinė funkcija su moduliu, jos grafikas
Dalinės tiesinės funkcijos problemas gali apsunkinti modulio ar parametro buvimas. Norėdami sukurti, pavyzdžiui, funkcijos grafiką, turite vadovautis šiuo algoritmu:
Ryžiai. 2. Algoritmo iliustracija
Gautoje diagramoje yra šakų, esančių virš x ašies ir žemiau x ašies.
1. Taikykite nurodytą modulį. Šiuo atveju grafiko dalys, esančios virš x ašies, lieka nepakitusios, o esančios žemiau ašies, atspindinčios x ašį. Mes gauname:
Ryžiai. 3. Algoritmo iliustracija
2 pavyzdys – nubraižykite funkciją:
Ryžiai. 4. Funkcijų grafikas, pavyzdžiui, 2
4. Tiesinės trupmeninės lygties su parametru sprendimas
Apsvarstykite šią užduotį – sukurkite funkcijos grafiką. Norėdami tai padaryti, turite laikytis šio algoritmo:
1. Nubraižykite submodulinę funkciją
Tarkime, kad gauname tokį grafiką:
Ryžiai. 5. Algoritmo iliustracija
1. Taikykite nurodytą modulį. Norėdami suprasti, kaip tai padaryti, išplėskime modulį.
Taigi funkcijų reikšmėms su neneigiamomis argumentų reikšmėmis pakeitimų nebus. Kalbant apie antrąją lygtį, mes žinome, kad ji gaunama simetriškai y ašies atžvilgiu. turime funkcijos grafiką:
Ryžiai. 6. Algoritmo iliustracija
3 pavyzdys – nubraižykite funkciją:
Pagal algoritmą pirmiausia reikia sudaryti submodulinės funkcijos grafiką, mes jį jau sukūrėme (žr. 1 pav.)
Ryžiai. 7. Funkcijos grafikas pvz 3
4 pavyzdys – raskite lygties šaknų skaičių su parametru:
Prisiminkite, kad lygties su parametru sprendimas reiškia pereiti visas parametro reikšmes ir nurodyti kiekvienos iš jų atsakymą. Veikiame pagal metodiką. Pirmiausia sukuriame funkcijos grafiką, tai jau padarėme ankstesniame pavyzdyje (žr. 7 pav.). Toliau reikia išardyti grafiką su skirtingų a linijų šeima, rasti susikirtimo taškus ir užrašyti atsakymą.
Žvelgdami į grafiką išrašome atsakymą: kada ir lygtis turi du sprendinius; kai lygtis turi vieną sprendinį; kai lygtis neturi sprendinių.
1. Trupmeninė tiesinė funkcija ir jos grafikas
Funkcija, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, vadinama trupmenine racionalia funkcija.
Tikriausiai jau esate susipažinę su racionaliųjų skaičių sąvoka. Taip pat racionalios funkcijos yra funkcijos, kurios gali būti pavaizduotos kaip dviejų daugianario koeficientas.
Jeigu trupmeninė racionalioji funkcija yra dviejų tiesinių funkcijų – pirmojo laipsnio daugianario – koeficientas, t.y. formos funkcija
y = (ax + b) / (cx + d), tada jis vadinamas trupmeniniu tiesiniu.
Atkreipkite dėmesį, kad funkcijoje y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (kitaip funkcija tampa tiesinė y = ax/d + b/d) ir kad a/c ≠ b/d (kitaip funkcija yra pastovi). Tiesinė trupmeninė funkcija yra apibrėžta visiems realiesiems skaičiams, išskyrus x = -d/c. Trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai savo forma nesiskiria nuo jums žinomo grafiko y = 1/x. Iškviečiama kreivė, kuri yra funkcijos y = 1/x grafikas hiperbolė. Neribotai padidėjus x absoliučiai reikšmei, funkcija y = 1/x absoliučia reikšme mažėja neribotai ir abi grafiko atšakos artėja prie abscisės: dešinė artėja iš viršaus, o kairioji – iš apačios. Tiesės, prie kurių hiperbolės artėjimo šakos vadinamos jo asimptotų.
1 pavyzdys.
y = (2x + 1) / (x – 3).
Sprendimas.
Pasirinkime visą dalį: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko atlikus tokias transformacijas: paslinkti 3 vienetais į dešinę, ištempiant išilgai Oy ašies 7 kartus ir paslinkus 2 vieneto segmentais aukštyn.
Bet kurią trupmeną y = (ax + b) / (cx + d) galima parašyti panašiai, išryškinant „visą dalį“. Vadinasi, visų trupmeninių tiesinių funkcijų grafikai yra hiperbolės, įvairiais būdais perkeltos išilgai koordinačių ašių ir ištemptos išilgai Oy ašies.
Norint sudaryti bet kurios savavališkos trupmeninės-tiesinės funkcijos grafiką, visai nebūtina transformuoti šią funkciją apibrėžiančios trupmenos. Kadangi žinome, kad grafikas yra hiperbolė, pakaks rasti tieses, prie kurių artėja jo šakos – hiperbolės x = -d/c ir y = a/c asimptotes.
2 pavyzdys.
Raskite funkcijos y = (3x + 5)/(2x + 2) grafiko asimptotes.
Sprendimas.
Funkcija neapibrėžta, kai x = -1. Tai reiškia, kad tiesi linija x = -1 yra vertikali asimptotė. Norėdami rasti horizontaliąją asimptotę, išsiaiškinkime, kokios funkcijos y(x) reikšmės artėja, kai argumento x absoliuti reikšme padidėja.
Norėdami tai padaryti, padalykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Kaip x → ∞ trupmena bus linkusi į 3/2. Tai reiškia, kad horizontalioji asimptotė yra tiesė y = 3/2.
3 pavyzdys.
Nubraižykite funkciją y = (2x + 1)/(x + 1).
Sprendimas.
Pažymime „visą trupmenos dalį“:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Dabar nesunku pastebėti, kad šios funkcijos grafikas gaunamas iš funkcijos y = 1/x grafiko tokiomis transformacijomis: poslinkis 1 vienetu į kairę, simetriškas rodymas Ox atžvilgiu ir poslinkis 2 vienetų segmentai aukštyn išilgai Oy ašies.
Domenas D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Reikšmių diapazonasE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Sankirtos taškai su ašimis: c Oy: (0; 1); c Jautis: (-1/2; 0). Funkcija didėja kiekviename apibrėžimo srities intervale.
Atsakymas: 1 pav.
2. Trupmeninė racionali funkcija
Apsvarstykite trupmeninę racionaliąją funkciją, kurios formos y = P(x) / Q(x), kur P(x) ir Q(x) yra daugianariai, didesni už pirmąjį.
Tokių racionalių funkcijų pavyzdžiai:
y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) arba y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Jei funkcija y = P(x) / Q(x) reiškia dviejų aukštesnių už pirmąjį daugianario laipsnį, tada jos grafikas, kaip taisyklė, bus sudėtingesnis ir kartais gali būti sunku jį tiksliai sudaryti. , su visomis smulkmenomis. Tačiau dažnai pakanka naudoti metodus, panašius į tuos, kuriuos jau pristatėme aukščiau.
Tegul trupmena yra tinkama trupmena (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).
Akivaizdu, kad trupmeninės racionalios funkcijos grafiką galima gauti kaip elementariųjų trupmenų grafikų sumą.
Trupmeninių racionaliųjų funkcijų grafikų braižymas
Panagrinėkime keletą būdų, kaip sudaryti trupmeninės racionalios funkcijos grafikus.
4 pavyzdys.
Nubraižykite funkciją y = 1/x 2 .
Sprendimas.
Naudojame funkcijos y = x 2 grafiką, kad sukurtume y = 1/x 2 grafiką ir naudojame grafikų „padalijimo“ techniką.
Domenas D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Vertybių diapazonas E(y) = (0; +∞).
Susikirtimo su ašimis taškų nėra. Funkcija lygi. Visiems x didėja nuo intervalo (-∞; 0), x mažėja nuo 0 iki +∞.
Atsakymas: 2 pav.
5 pavyzdys.
Nubraižykite funkciją y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
Sprendimas.
Domenas D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.
Čia mes panaudojome faktorizavimo, mažinimo ir redukavimo iki tiesinės funkcijos metodą.
Atsakymas: 3 pav.
6 pavyzdys.
Nubraižykite funkcijos y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafiką.
Sprendimas.
Apibrėžimo sritis yra D(y) = R. Kadangi funkcija yra lyginė, grafikas yra simetriškas ordinatės atžvilgiu. Prieš kurdami grafiką, dar kartą paverskime išraišką, paryškindami visą dalį:
y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).
Atkreipkite dėmesį, kad sveikosios dalies išskyrimas trupmeninės racionalios funkcijos formulėje yra vienas pagrindinių konstruojant grafikus.
Jei x → ±∞, tai y → 1, t.y. tiesė y = 1 yra horizontali asimptotė.
Atsakymas: 4 pav.
7 pavyzdys.
Panagrinėkime funkciją y = x/(x 2 + 1) ir pabandykime tiksliai rasti jos didžiausią reikšmę, t.y. aukščiausias taškas dešinėje grafiko pusėje. Norint tiksliai sudaryti šį grafiką, šiandienos žinių neužtenka. Akivaizdu, kad mūsų kreivė negali „pakilti“ labai aukštai, nes vardiklis greitai pradeda „aplenkti“ skaitiklį. Pažiūrėkime, ar funkcijos reikšmė gali būti lygi 1. Norėdami tai padaryti, turime išspręsti lygtį x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ši lygtis neturi realių šaknų. Tai reiškia, kad mūsų prielaida yra neteisinga. Norint rasti didžiausią funkcijos reikšmę, reikia išsiaiškinti, prie kokio didžiausio A lygtis A = x/(x 2 + 1) turės sprendinį. Pradinę lygtį pakeiskime kvadratine: Ax 2 – x + A = 0. Ši lygtis turi sprendinį, kai 1 – 4A 2 ≥ 0. Iš čia randame didžiausią reikšmę A = 1/2. 
Atsakymas: 5 pav., maks. y(x) = ½.
Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip sudaryti funkcijų grafiką?
Norėdami gauti pagalbą iš dėstytojo -.
Pirma pamoka nemokama!
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.