Pateikiamas atvirkštinių trigonometrinių funkcijų formulių išvedimo metodas. Gaunamos neigiamų argumentų ir išraiškų formulės, susijusios su arcsinusu, arkosinusu, arktangentu ir arkotangentu. Nurodytas arcsinų, arkosinų, arktangentų ir arkotangentų sumos formulių išvedimo metodas.
Pagrindinės formulės
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų formulių išvedimas yra paprastas, tačiau reikia kontroliuoti tiesioginių funkcijų argumentų reikšmes. Taip yra dėl to, kad trigonometrinės funkcijos yra periodinės, todėl jų atvirkštinės funkcijos yra daugiareikšmės. Jei nenurodyta kitaip, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos reiškia jų pagrindines reikšmes. Norint nustatyti pagrindinę reikšmę, trigonometrinės funkcijos apibrėžimo sritis susiaurina iki intervalo, per kurį ji yra monotoniška ir ištisinė. Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų formulių išvedimas grindžiamas trigonometrinių funkcijų formulėmis ir atvirkštinių funkcijų savybėmis. Atvirkštinių funkcijų savybes galima suskirstyti į dvi grupes.
Pirmoji grupė apima formules, kurios galioja visoje atvirkštinių funkcijų apibrėžimo srityje:
sin(arcinas x) = x
cos(arccos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞
)
ctg(arcctg x) = x (-∞ < x < +∞
)
Antroji grupė apima formules, kurios galioja tik atvirkštinių funkcijų reikšmių rinkiniui.
arcsin(sin x) = x adresu
arccos(cos x) = x adresu
arctan(tg x) = x adresu
arcctg(ctg x) = x adresu
Jei kintamasis x nepatenka į aukščiau nurodytą intervalą, jį reikia sumažinti iki jo naudojant trigonometrinių funkcijų formules (toliau n yra sveikas skaičius):
sin x = sin(- x-π);
sin x = sin(π-x);
sin x = sin(x+2 πn);
cos x = cos(-x);
cos x = cos(2 π-x);
cos x = cos(x+2 πn);
įdegis x = tan(x+πn);
vaikiška lovelė x = vaikiška lovelė(x+πn)
Pavyzdžiui, jei žinoma, kad
arcsin(sin x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .
Nesunku patikrinti, ar kai π - x patenka į norimą intervalą. Norėdami tai padaryti, padauginkite iš -1: ir pridėkite π: arba Viskas teisinga.
Atvirkštinės neigiamo argumento funkcijos
Taikydami aukščiau pateiktas trigonometrinių funkcijų formules ir savybes, gauname neigiamo argumento atvirkštinių funkcijų formules.
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Padauginus iš -1, turime: arba
Sinuso argumentas patenka į leistiną arcsinuso diapazono diapazoną. Todėl formulė yra teisinga.
Tas pats ir kitoms funkcijoms.
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arckos x
arctan(- x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctan x
arcctg(- x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x
Arkosino išreiškimas per arkosinusą, o arctangentas – arkotangentu
Išreikškime arcsinusą arkosino terminu.
Formulė galioja, kai Šios nelygybės tenkinamos, nes
Norėdami tai patikrinti, padauginkite nelygybes iš -1: ir pridėkite π/2: arba Viskas teisinga.
Panašiai arctangentą išreiškiame per arkotangentą.
Arkosino išreiškimas per arctangentą, arkosinusą per arctangentą ir atvirkščiai
Mes elgiamės panašiai.
Sumos ir skirtumo formulės
Panašiu būdu gauname arcsinų sumos formulę.
Nustatykime formulės pritaikymo ribas. Kad nesusidurtume su sudėtingomis išraiškomis, pateikiame tokį žymėjimą: X = arcsin x, Y = arcsin y.
Formulė taikoma, kai . Taip pat pažymime, kad nuo arcsin (- x) = - arcsin x,
arcsin(- y) = - arcsin y, > 0
tada jei x ir y turi skirtingus ženklus, X ir Y taip pat turi skirtingus ženklus ir todėl nelygybės tenkinamos. Skirtingų x ir y ženklų sąlygą galima užrašyti kaip vieną nelygybę: . > 0
Tai yra, kai formulė galioja. > 0
Dabar apsvarstykite atvejį x > 0
ir y 0
arba X
;
;
;
.
ir Y
;
.
. Tada formulės pritaikymo sąlyga yra tenkinti nelygybę: .:
;
;
;
.
Kadangi kosinusas mažėja monotoniškai argumento reikšmėms diapazone nuo
, į π, tada paimkite šios nelygybės kairės ir dešinės pusių kosinusą ir transformuokite išraišką: 1 Nuo ir ;
tada čia įtraukti kosinusai nėra neigiami. Abi nelygybės pusės yra teigiamos. Mes juos kvadratu ir transformuojame kosinusus sinusais:
Pakeiskime
sin X = sin arcsin x = x
Taigi gauta formulė galioja arba .
Dabar apsvarstykite atvejį x > 0, y > 0 ir x 2 + y 2 >
Pakeiskime
.
Pakeiskime
Čia sinuso argumentas įgyja šias reikšmes: .
Jis turi būti nukreiptas į arcsininės reikšmės srities intervalą:
Taigi,
ties i.
Pakeitę x ir y į - x ir - y, turime
ties i.
Jei apskaičiuosime lankus OA, arcos OC, arctg DE ir arcctg MK, tai jie visi bus lygūs kampo α reikšmei. Žemiau pateiktos formulės atspindi ryšį tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų ir jas atitinkančių lankų.
Norint geriau suprasti arcsino savybes, būtina atsižvelgti į jo funkciją. Tvarkaraštis turi asimetrinės kreivės, einančios per koordinačių centrą, formą.
Arcino savybės:
Jei palygintume grafikus nuodėmė Ir arcsin, dvi trigonometrinės funkcijos gali turėti bendrus modelius.
lanko kosinusas
Skaičiaus lankas yra kampo α, kurio kosinusas lygus a, reikšmė.
Kreivė y = arcos x atspindi arcsin x grafiką, vienintelis skirtumas yra tas, kad jis eina per tašką π/2 OY ašyje.
Pažvelkime į lanko kosinuso funkciją išsamiau:
- Funkcija apibrėžiama intervale [-1; 1].
- ODZ skirtas arccos - .
- Visas grafikas yra pirmame ir antrame ketvirčiuose, o pati funkcija nėra nei lyginė, nei nelyginė.
- Y = 0, kai x = 1.
- Kreivė mažėja per visą ilgį. Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.
Kai kurios lankinio kosinuso savybės sutampa su kosinuso funkcija.
Galbūt moksleiviams toks „išsamus“ „arkų“ tyrimas bus nereikalingas. Tačiau priešingu atveju kai kurios pradinės standartinės egzamino užduotys gali nuvesti mokinius į aklavietę.
1 užduotis. Nurodykite paveikslėlyje parodytas funkcijas.
Atsakymas: ryžių. 1 – 4, 2 – 1 pav.
Šiame pavyzdyje akcentuojamos smulkmenos. Paprastai studentai yra labai nedėmesingi grafikų konstravimui ir funkcijų išvaizdai. Iš tiesų, kam prisiminti kreivės tipą, jei ją visada galima nubraižyti naudojant apskaičiuotus taškus. Nepamirškite, kad bandymo sąlygomis laiko, praleisto piešiant paprastą užduotį, reikės sudėtingesnėms užduotims išspręsti.
Arktangentas
Arctg skaičiai a yra kampo α reikšmė, kad jo liestinė būtų lygi a.
Jei atsižvelgsime į arctangentinį grafiką, galime pabrėžti šias savybes:
- Grafas yra begalinis ir apibrėžtas intervale (- ∞; + ∞).
- Arktangentas yra nelyginė funkcija, todėl arctan (- x) = - arctan x.
- Y = 0, kai x = 0.
- Kreivė didėja visame apibrėžimo diapazone.
Pateikiame trumpą lyginamąją tg x ir arctg x analizę lentelės pavidalu.
Arkotangentas
Skaičiaus Arcctg – paima reikšmę α iš intervalo (0; π), kad jo kotangentas būtų lygus a.
Lanko kotangento funkcijos savybės:
- Funkcijos apibrėžimo intervalas yra begalybė.
- Priimtinų verčių diapazonas yra intervalas (0; π).
- F(x) nėra nei lyginis, nei nelyginis.
- Per visą jos ilgį funkcijos grafikas mažėja.
Palyginti ctg x ir arctg x labai paprasta, tereikia padaryti du brėžinius ir apibūdinti kreivių elgseną.
2 užduotis. Suderinkite grafiką ir funkcijos žymėjimo formą.
Jei mąstome logiškai, iš grafikų matyti, kad abi funkcijos didėja. Todėl abi figūros rodo tam tikrą arctano funkciją. Iš arctangento savybių žinoma, kad y=0, kai x = 0,
Atsakymas: ryžių. 1 – 1, pav. 2-4.
Trigonometrinės tapatybės arcsin, arcos, arctg ir arcctg
Anksčiau mes jau nustatėme ryšį tarp arkų ir pagrindinių trigonometrijos funkcijų. Šią priklausomybę galima išreikšti daugybe formulių, kurios leidžia išreikšti, pavyzdžiui, argumento sinusą per jo arcsinusą, arkosinusą arba atvirkščiai. Tokios tapatybės žinios gali būti naudingos sprendžiant konkrečius pavyzdžius.
Taip pat yra arctg ir arcctg ryšių:
Kita naudinga formulių pora nustato arcsin ir arcos, taip pat to paties kampo arcctg ir arcctg sumos reikšmę.
Problemų sprendimo pavyzdžiai
Trigonometrijos užduotis galima suskirstyti į keturias grupes: apskaičiuokite konkrečios išraiškos skaitinę reikšmę, sukonstruokite tam tikros funkcijos grafiką, suraskite jos apibrėžimo sritį arba ODZ ir atlikite analitines transformacijas pavyzdžiui išspręsti.
Spręsdami pirmojo tipo problemą, turite laikytis šio veiksmų plano:
Dirbant su funkcijų grafikais, svarbiausia žinoti jų savybes ir kreivės išvaizdą. Norint išspręsti trigonometrines lygtis ir nelygybes, reikalingos tapatybės lentelės. Kuo daugiau formulių mokinys įsimena, tuo lengviau rasti atsakymą į užduotį.
Tarkime, vieningo valstybinio egzamino metu turite rasti atsakymą į tokią lygtį:
Jei teisingai transformuosite išraišką ir perkelsite ją į norimą formą, tada ją išspręsti bus labai paprasta ir greita. Pirmiausia perkelkime arcsin x į dešinę lygybės pusę.
Jei prisimenate formulę arcsin (sin α) = α, tada atsakymų paiešką galime sumažinti iki dviejų lygčių sistemos sprendimo:
Modelio x apribojimas atsirado vėlgi dėl arcsin savybių: ODZ x [-1; 1]. Kai a ≠0, sistemos dalis yra kvadratinė lygtis, kurios šaknys x1 = 1 ir x2 = - 1/a. Kai a = 0, x bus lygus 1.
Kas yra arcsinusas, arkosinas? Kas yra arctangentas, arkotangentas?
Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)
Į sąvokas arcsinusas, arkosinas, arktangentas, arkotangentas Studentų populiacija yra atsargi. Jis nesupranta šių terminų ir todėl nepasitiki šia gražia šeima.) Bet veltui. Tai labai paprastos sąvokos. Kurie, beje, labai palengvina gyvenimą išmanančiam žmogui sprendžiant trigonometrines lygtis!
Abejojate dėl paprastumo? Veltui.) Čia ir dabar pamatysite tai.
Žinoma, norint suprasti, būtų malonu žinoti, kas yra sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas. Taip, jų lentelės reikšmės kai kuriems kampams... Bent jau bendrais bruožais. Tada ir čia problemų nebus.
Taigi, esame nustebę, bet atminkite: arcsinusas, arkosinisusas, arctangentas ir arkotangentas yra tik keli kampai. Nei daugiau, nei mažiau. Yra kampas, tarkim 30°. Ir yra kampelis arcsin0.4. Arba arctg(-1.3). Kampų yra visokių.) Kampus galite tiesiog užrašyti įvairiais būdais. Kampą galite parašyti laipsniais arba radianais. Arba galite – per jo sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą...
Ką reiškia posakis
arcsin 0,4?
Tai kampas, kurio sinusas yra 0,4! taip, taip. Tai yra arcsinuso reikšmė. Aš konkrečiai pakartosiu: arcsin 0,4 yra kampas, kurio sinusas yra lygus 0,4.
Tai viskas.
Kad ši paprasta mintis ilgai išliktų jūsų galvoje, net pateiksiu šio baisaus termino – arcsine – suskirstymą:
lankas nuodėmė 0,4
kampelis, kurio sinusas lygus 0,4
Kaip parašyta, taip ir girdima.) Beveik. Priešdėlis lankas reiškia lankas(žodis arka ar žinai?), nes senovės žmonės vietoj kampų naudojo lankus, bet tai nekeičia reikalo esmės. Prisiminkite šį elementarų matematinio termino dekodavimą! Be to, arkosino, arctangento ir arkotangento dekodavimas skiriasi tik funkcijos pavadinimu.
Kas yra Arccos 0.8?
Tai kampas, kurio kosinusas yra 0,8.
Kas yra arctg(-1,3)?
Tai kampas, kurio liestinė yra -1,3.
Kas yra arcctg 12?
Tai kampas, kurio kotangentas yra 12.
Toks elementarus dekodavimas leidžia, beje, išvengti epinių klaidų.) Pavyzdžiui, išraiška arccos1,8 atrodo gana solidžiai. Pradėkime dekoduoti: arccos1,8 yra kampas, kurio kosinusas lygus 1,8... Peršokti-šuolis!? 1.8!? Kosinusas negali būti didesnis už vieną!!!
Teisingai. Išraiška arccos1,8 neturi prasmės. Ir tokios išraiškos rašymas kokiame nors atsakyme labai pralinksmins inspektorių.)
Elementarus, kaip matote.) Kiekvienas kampas turi savo asmeninį sinusą ir kosinusą. Ir beveik kiekvienas turi savo tangentą ir kotangentą. Todėl, žinodami trigonometrinę funkciją, galime užrašyti patį kampą. Tam ir yra skirti arcsinai, arkosinai, arktangentai ir arkotangentai. Nuo šiol visą šią šeimą vadinsiu mažybiniu vardu - arkos. Norėdami rašyti mažiau.)
Dėmesio! Elementarus žodinis ir sąmoningas arkų iššifravimas leidžia ramiai ir užtikrintai spręsti įvairias užduotis. Ir viduje neįprastas Tik ji išsaugo užduotis.
Ar galima nuo lankų pereiti prie įprastų laipsnių ar radianų?- Išgirstu atsargų klausimą.)
Kodėl gi ne!? Lengvai. Galite eiti ten ir atgal. Be to, kartais tai reikia padaryti. Arkos yra paprastas dalykas, bet be jų kažkaip ramiau, tiesa?)
Pavyzdžiui: kas yra arcsin 0,5?
Prisiminkime dekodavimą: arcsin 0,5 yra kampas, kurio sinusas yra 0,5. Dabar pasukite galvą (arba „Google“)) ir prisiminkite, kurio kampo sinusas yra 0,5? Sinusas yra 0,5 m 30 laipsnių kampu. Štai ir viskas: arcsin 0,5 yra 30° kampas. Galite drąsiai rašyti:
arcsin 0,5 = 30°
Arba, formaliau, radianais:
Tai viskas, galite pamiršti arcsinusą ir toliau dirbti su įprastais laipsniais arba radianais.
Jei supratote kas yra arcsinusas, arkosinusas... kas yra arktangentas, arkotangentas... Galite lengvai susidoroti, pavyzdžiui, su tokiu monstru.)
Neišmanantis žmogus iš siaubo atsitrauks, taip...) Bet informuotas žmogus prisimink dekodavimą: arcsinusas yra kampas, kurio sinusas... Ir taip toliau. Jei išmanantis žmogus žino ir sinusų lentelę... Kosinusų lentelę. Tangentų ir kotangentų lentelė, tada jokių problemų nėra!
Pakanka suvokti, kad:
Iššifruosiu, t.y. Leiskite man išversti formulę žodžiais: kampas, kurio liestinė yra 1 (arctg1)- tai 45° kampas. Arba, kas yra tas pats, Pi/4. Taip pat:
ir tiek... Visas arkas pakeičiame reikšmėmis radianais, viskas sumažinama, belieka suskaičiuoti kiek yra 1+1. Tai bus 2.) Kuris yra teisingas atsakymas.
Taip galite (ir turėtumėte) pereiti nuo arcsinusų, arckosinų, arktangentų ir arkotangentų prie įprastų laipsnių ir radianų. Tai labai supaprastina baisius pavyzdžius!
Dažnai tokiuose pavyzdžiuose yra arkų viduje neigiamas reikšmės. Kaip, arctg(-1.3), arba, pavyzdžiui, arccos(-0.8)... Tai nėra problema. Štai paprastos formulės, kaip pereiti nuo neigiamų prie teigiamų verčių:
Tarkime, jums reikia nustatyti išraiškos reikšmę:
Tai galima išspręsti naudojant trigonometrinį apskritimą, bet jūs nenorite jo piešti. O gerai. Mes judame iš neigiamas reikšmės k lankinio kosinuso viduje teigiamas pagal antrą formulę:
Dešinėje esančio lanko kosinuso viduje jau yra teigiamas prasmė. Ką
tu tiesiog privalai žinoti. Belieka vietoj lanko kosinuso pakeisti radianais ir apskaičiuoti atsakymą:
Tai viskas.
Apribojimai dėl arkosino, arkosino, arktangento, arkotangento.
Ar yra problemų dėl 7–9 pavyzdžių? Na, taip, ten yra kažkoks triukas.)
Visi šie pavyzdžiai nuo 1 iki 9 yra kruopščiai išanalizuoti 555 skyriuje. Kas, kaip ir kodėl. Su visais slaptais spąstais ir gudrybėmis. Be to, yra būdų, kaip labai supaprastinti sprendimą. Beje, šiame skyriuje yra daug naudingos informacijos ir praktinių patarimų apie trigonometriją apskritai. Ir ne tik trigonometrijoje. Tai labai padeda.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)
Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Pamoka ir pristatymas tema: "Arksinas. Arkosinių lentelė. Formulė y=arcsin(x)"
Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.
Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Ką mes studijuosime:
1. Kas yra arcsinusas?
2. Arkosine žymėjimas.
3. Šiek tiek istorijos.
4. Apibrėžimas.
6. Pavyzdžiai.
Kas yra arcsinas?
Vaikinai, mes jau išmokome išspręsti kosinuso lygtis, o dabar išmokime išspręsti panašias sinuso lygtis. Apsvarstykite sin(x)= √3/2. Norėdami išspręsti šią lygtį, turite nubrėžti tiesę y= √3/2 ir pamatyti, kuriuose taškuose ji kerta skaičių apskritimą. Matyti, kad tiesė kerta apskritimą dviejuose taškuose F ir G. Šie taškai bus mūsų lygties sprendimas. Perskirkime F kaip x1, o G kaip x2. Mes jau radome šios lygties sprendimą ir gavome: x1= π/3 + 2πk,
ir x2 = 2π/3 + 2πk.
Išspręsti šią lygtį yra gana paprasta, bet kaip išspręsti, pavyzdžiui, lygtį
sin(x)= 5/6. Akivaizdu, kad ši lygtis taip pat turės dvi šaknis, bet kokios reikšmės atitiks skaičių apskritimo sprendimą? Pažvelkime į mūsų lygtį sin(x)= 5/6.
Mūsų lygties sprendimas bus du taškai: F = x1 + 2πk ir G = x2 + 2πk,
čia x1 – lanko AF ilgis, x2 – lanko AG ilgis.
Pastaba: x2= π - x1, nes AF= AC – FC, bet FC= AG, AF= AC – AG= π – x1.
Bet kas yra šie punktai?
Susidūrę su panašia situacija, matematikai sugalvojo naują simbolį – arcsin(x). Skaityti kaip arcsine.
Tada mūsų lygties sprendimas bus parašytas taip: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).
Ir sprendimas bendra forma: x= arcsin(5/6) + 2πk ir x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Arcinusas yra kampo (lanko ilgio AF, AG) sinusas, lygus 5/6.
Šiek tiek arcsine istorijos
_3.jpg)
Mūsų simbolio atsiradimo istorija lygiai tokia pati kaip arccos. Simbolis arcsin pirmą kartą pasirodo matematiko Scherfer ir garsaus prancūzų mokslininko J.L. Lagranžas. Kiek anksčiau arcsino sąvoką svarstė D. Bernouli, nors rašė skirtingais simboliais.
Šie simboliai tapo visuotinai priimtini tik XVIII amžiaus pabaigoje. Priešdėlis „arkas“ kilęs iš lotyniško „arcus“ (lankas, lankas). Tai visiškai atitinka sąvokos reikšmę: arcsin x yra kampas (arba galima sakyti, lankas), kurio sinusas lygus x.
Arsinuso apibrėžimas
Jei |a|≤ 1, tai arcsin(a) yra skaičius iš atkarpos [- π/2; π/2], kurio sinusas lygus a.
_2.jpg)
Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x)= a turi sprendimą: x= arcsin(a) + 2πk ir
x= π - arcsin(a) + 2πk
_3.jpg)
Perrašykime:
x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcin(a) + π(1 + 2k).
Vaikinai, atidžiai pažiūrėkite į du mūsų sprendimus. Ką manote: ar galima juos užrašyti naudojant bendrą formulę? Atkreipkite dėmesį, kad jei prieš arcsinusą yra pliuso ženklas, tai π dauginamas iš lyginio skaičiaus 2πk, o jei yra minuso ženklas, tai daugiklis yra nelyginis 2k+1.
Atsižvelgdami į tai, užrašome bendrąją formulę, kaip išspręsti lygtį sin(x)=a: _4.jpg)
Yra trys atvejai, kai patartina sprendimus užrašyti paprasčiau:
sin(x)=0, tada x= πk,
sin(x)=1, tada x= π/2 + 2πk,
sin(x)=-1, tada x= -π/2 + 2πk.
Bet kuriam -1 ≤ a ≤ 1 galioja lygybė: arcsin(-a)=-arcsin(a).
_5.jpg)
Parašykime kosinuso reikšmių lentelę atvirkščiai ir gaukime arcsinuso lentelę.
Pavyzdžiai
1. Apskaičiuokite: arcsin(√3/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(√3/2)= x, tada sin(x)= √3/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= π/3, nes sin(π/3)= √3/2 ir –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(√3/2)= π/3.
2. Apskaičiuokite: arcsin(-1/2).
Sprendimas: Tegul arcsin(-1/2)= x, tada sin(x)= -1/2. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinusines reikšmes lentelėje: x= -π/6, nes sin(-π/6)= -1/2 ir -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Atsakymas: arcsin(-1/2)=-π/6.
3. Apskaičiuokite: arcsin(0).
Sprendimas: Tegul arcsin(0)= x, tada sin(x)= 0. Pagal apibrėžimą: - π/2 ≤x≤ π/2. Pažvelkime į sinuso reikšmes lentelėje: tai reiškia x= 0, nes sin(0)= 0 ir - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Atsakymas: arcsin(0)=0.
4. Išspręskite lygtį: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk ir x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Atsakymas: x= -π/4 + 2πk ir x= 5π/4 + 2πk.
5. Išspręskite lygtį: sin(x) = 0.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(0) + 2πk ir x= π - arcsin(0) + 2πk. Pažiūrėkime į reikšmę lentelėje: arcsin(0)= 0.
Atsakymas: x= 2πk ir x= π + 2πk
6. Išspręskite lygtį: sin(x) = 3/5.
Sprendimas: Naudokime apibrėžimą, tada sprendimas bus parašytas tokia forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk ir x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Atsakymas: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.
7. Išspręskite nelygybę sin(x) Sprendimas: Sinusas yra skaičių apskritimo taško ordinatė. Tai reiškia: turime rasti taškus, kurių ordinatė yra mažesnė nei 0,7. Nubrėžkime tiesę y=0,7. Jis kerta skaičių apskritimą dviejuose taškuose. Nelygybė y Tada nelygybės sprendimas bus toks: -π – arcsin(0.7) + 2πk _7.jpg)
Arkinės problemos savarankiškam sprendimui
1) Apskaičiuokite: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).2) Išspręskite lygtį: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Išspręskite nelygybę: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x)≤ 1/2.
Pateikti atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai ir jų grafikai. Taip pat formulės, jungiančios atvirkštines trigonometrines funkcijas, sumų ir skirtumų formulės.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimas
Kadangi trigonometrinės funkcijos yra periodinės, jų atvirkštinės funkcijos nėra unikalios. Taigi, lygtis y = nuodėmė x, atsižvelgiant į , turi be galo daug šaknų. Iš tiesų, dėl sinuso periodiškumo, jei x yra tokia šaknis, tada taip yra x + 2πn(kur n yra sveikas skaičius) taip pat bus lygties šaknis. Taigi, atvirkštinės trigonometrinės funkcijos yra daugiareikšmės. Kad su jais būtų lengviau dirbti, pristatoma pagrindinių jų reikšmių samprata. Apsvarstykite, pavyzdžiui, sinusą: y = nuodėmė x. nuodėmė x Jei argumentą x apribosime intervalu , tai jame funkcija y = arcsin y.
didėja monotoniškai. Todėl ji turi unikalią atvirkštinę funkciją, kuri vadinama arcsinusu: x =
Jei nenurodyta kitaip, atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis suprantame pagrindines jų reikšmes, kurios nustatomos pagal šiuos apibrėžimus. Arcsine ( arcsin x) y= yra atvirkštinė sinuso funkcija ( x =
nuodėmingas Arcsine ( Lanko kosinusas () arccos x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė kosinuso funkcija ( cos y
), turintis apibrėžimo sritį ir reikšmių rinkinį. Arcsine ( Arktangentas () arctan x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė tangento funkcija ( cos y
tg y Arcsine ( Arkotangentas () arcctg x yra atvirkštinė sinuso funkcija ( yra atvirkštinė kotangento funkcija ( cos y
ctg y
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai
Arcsine ( arcsin x
Arcsine ( Lanko kosinusas (
Arcsine ( Arktangentas (
Arcsine ( Arkotangentas (
Pagrindinės formulės
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų grafikai gaunami iš trigonometrinių funkcijų grafikų veidrodiniu atspindžiu tiesės y = x atžvilgiu.
arcsin(sin x) = x adresu
sin(arcinas x) = x
arccos(cos x) = x adresu
cos(arccos x) = x
arctan(tg x) = x adresu
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x adresu
ctg(arcctg x) = x
Formulės, susijusios su atvirkštinėmis trigonometrinėmis funkcijomis
Sumos ir skirtumo formulės
arba
ir
ir
arba
ir
ir
adresu
adresu
adresu
adresu