Rutulys ir rutulys visų pirma yra geometrinės figūros, o jei rutulys yra geometrinis kūnas, tai rutulys yra rutulio paviršius. Šie skaičiai domino prieš daugelį tūkstančių metų prieš mūsų erą.
Vėliau, kai buvo atrasta, kad Žemė yra rutulys, o dangus yra dangaus sfera, buvo sukurta nauja žavi geometrijos kryptis - geometrija ant sferos arba sferinė geometrija. Norėdami kalbėti apie kamuoliuko dydį ir tūrį, pirmiausia turite jį apibrėžti.
Kamuolys
R spindulio rutulys, kurio centras yra taške O geometrijoje, yra kūnas, kurį sukuria visi erdvės taškai, turintys bendrą savybę. Šie taškai yra atstumu, neviršijančiu rutulio spindulio, tai yra, jie užpildo visą erdvę mažiau nei rutulio spindulys visomis kryptimis nuo jo centro. Jei atsižvelgsime tik į tuos taškus, kurie yra vienodu atstumu nuo rutulio centro, mes atsižvelgsime į jo paviršių arba rutulio apvalkalą.
Kaip aš galiu gauti kamuolį? Mes galime iškirpti apskritimą iš popieriaus ir pradėti jį sukti aplink savo skersmenį. Tai yra, apskritimo skersmuo bus sukimosi ašis. Suformuota figūra bus rutulys. Todėl kamuolys dar vadinamas revoliucijos kūnu. Nes jį galima suformuoti sukant plokščią figūrą – apskritimą.
Paimkime plokštumą ir supjaustykime ja savo rutulį. Lygiai taip pat, kaip peiliu pjaustome apelsiną. Gabalas, kurį nupjauname nuo rutulio, vadinamas sferiniu segmentu.
Senovės Graikijoje jie mokėjo ne tik dirbti su rutuliu ir rutuliu kaip geometrines figūras, pavyzdžiui, naudoti jas statyboje, bet ir mokėjo apskaičiuoti rutulio paviršiaus plotą bei rutulio tūrį.
Sfera yra kitas rutulio paviršiaus pavadinimas. Sfera nėra kūnas – tai revoliucijos kūno paviršius. Tačiau kadangi ir Žemė, ir daugelis kūnų turi sferinę formą, pavyzdžiui, vandens lašą, geometrinių santykių sferos viduje tyrimas tapo plačiai paplitęs.
Pavyzdžiui, jei du rutulio taškus sujungsime vienas su kitu tiesia linija, tada ši tiesi linija bus vadinama styga, o jei ši styga eina per rutulio centrą, kuris sutampa su rutulio centru, tada styga bus vadinama sferos skersmeniu.
Jei nubrėžsime tiesią liniją, kuri liečia sferą tik viename taške, tada ši linija bus vadinama liestine. Be to, ši rutulio liestinė šiame taške bus statmena rutulio, nubrėžto iki sąlyčio taško, spinduliui.
Jei stygą pratęsime iki tiesės viena ar kita kryptimi nuo sferos, tai ši styga bus vadinama sekantu. Arba galime sakyti kitaip – sekantas į sferą turi savo akordą.
Kamuolio tūris
Rutulio tūrio apskaičiavimo formulė yra tokia:
kur R yra rutulio spindulys.
Jei reikia rasti sferinio segmento tūrį, naudokite formulę:
V seg =πh 2 (R-h/3), h – sferinės atkarpos aukštis.
Rutulio ar rutulio paviršiaus plotas
Norėdami apskaičiuoti rutulio plotą arba rutulio paviršiaus plotą (jie yra tas pats):
kur R yra sferos spindulys.
Archimedas labai mėgo rutulį ir sferą, net prašė ant savo kapo palikti piešinį, kuriame cilindre buvo įrašytas rutulys. Archimedas manė, kad rutulio tūris ir jo paviršius yra lygūs dviem trečdaliams cilindro, kuriame yra rutulys, tūrio ir paviršiaus.
Kamuolys Tai geometrinis kūnas, susidaręs sukantis puslankiui jo skersmens ašyje.
Apskaičiuokite rutulio tūrį
Kamuolio tūris galima apskaičiuoti pagal formulę:
R – rutulio spindulys
V – rutulio tūris
Raskite centimetrų spindulio rutulio tūrį.
Norint apskaičiuoti rutulio tūrį, naudojama ši formulė:
kur reikalingas rutulio tūris, – , spindulys.
Taigi, centimetrų spinduliu rutulio tūris yra lygus:
| V | 3,14 × 103 | = 4186,7 |
kubinių centimetrų. |
Geometrijoje kamuolys apibrėžiamas kaip tam tikras kūnas, kuris yra visų erdvės taškų, esančių nuo centro atstumu, ne didesniu nei nurodyta, rinkinys, vadinamas rutulio spinduliu.
Rutulio paviršius vadinamas sfera, o pats rutulys susidaro sukant puslankiu aplink savo skersmenį, lieka nejudantis.
Su šiuo geometriniu kūnu labai dažnai susiduria projektavimo inžinieriai ir architektai, kuriems dažnai tenka apskaičiuokite rutulio tūrį. Pavyzdžiui, daugumos šiuolaikinių automobilių priekinės pakabos konstrukcijoje naudojami vadinamieji rutuliniai šarnyrai, kuriuose, kaip nesunkiai galima atspėti iš paties pavadinimo, rutuliai yra vienas pagrindinių elementų.
Jų pagalba sujungiamos valdomų ratų ir svirčių stebulės. Kiek tai bus teisinga apskaičiuotas jų tūris labai priklauso ne tik nuo šių agregatų ilgaamžiškumo bei jų veikimo teisingumo, bet ir nuo eismo saugumo.
Technologijoje plačiai naudojamos tokios detalės kaip rutuliniai guoliai, kurių pagalba įvairių komponentų ir mazgų stacionariose dalyse tvirtinamos ašys ir užtikrinamas jų sukimasis.
Reikėtų pažymėti, kad skaičiuodami juos dizaineriai turi labai tiksliai rasti rutulio (tiksliau, į narvą įdėto kamuoliuko) tūrį. Kalbant apie metalinių guolių rutulių gamybą, jie gaminami iš metalinės vielos naudojant sudėtingą procesą, apimantį formavimo, grūdinimo, grubaus šlifavimo, apdailos ir valymo etapus.
Beje, tie rutuliai, kurie yra įtraukti į visų tušinukų dizainą, yra pagaminti naudojant lygiai tą pačią technologiją.
Gana dažnai rutuliai naudojami ir architektūroje, kur dažniausiai tai yra pastatų ir kitų konstrukcijų dekoratyviniai elementai.
Dažniausiai jie gaminami iš granito, o tai dažnai reikalauja daug rankų darbo. Žinoma, gaminant šiuos kamuoliukus nereikia išlaikyti tokio didelio tikslumo, kaip naudojami įvairiuose mazguose ir mechanizmuose.
Toks įdomus ir populiarus žaidimas kaip biliardas neįsivaizduojamas be kamuolių. Jų gamybai naudojamos įvairios medžiagos (kaulas, akmuo, metalas, plastikai), naudojami įvairūs technologiniai procesai.
Vienas iš pagrindinių reikalavimų biliardo kamuoliukams yra didelis jų stiprumas ir gebėjimas atlaikyti dideles mechanines apkrovas (pirmiausia smūgius). Be to, jų paviršius turi būti tikslus rutulys, kad būtų užtikrintas sklandus ir tolygus riedėjimas ant biliardo stalų paviršiaus.
Pagaliau nei viena Naujųjų metų ar Kalėdų eglutė neapsieina be tokių geometrinių kūnų kaip kamuoliukai. Šios dekoracijos dažniausiai gaminamos iš stiklo pūtimo būdu, o jų gamyboje didžiausias dėmesys skiriamas ne matmenų tikslumui, o gaminių estetikai.
Technologinis procesas beveik visiškai automatizuotas, o kalėdiniai rutuliai pakuojami tik rankiniu būdu.
Rutulys yra vienas iš paprasčiausių geometrinių kūnų, kuriame visi jo paviršiaus taškai yra vienodu atstumu nuo vaizdo centro. Atstumas nuo rutulio centro iki bet kurio jo paviršiaus taško vadinamas spinduliu.
Kamuolio tūris
Rutulio skersmuo vadinamas dvigubu spinduliu.
Kaip rasti rutulio tūrį aplink jos spindulį
Jei žinome sferos spindulį, galime nesunkiai apskaičiuoti jo dydį. Norėdami tai padaryti, padauginkite kubą iš spindulio ir keturių skaičių Pi, po kurio rezultatas bus padalintas iš trijų. Rutulio tūrio nustatymo pagal spindulį formulė yra tokia: 
.
Tiems, kurie pamiršo, prisimename, kad Pi yra fiksuota reikšmė ir lygi 3,14.
Kaip rasti rutulio tūrį pagal skersmenį
Jei rutulio skersmuo yra žinomas iš problemos sąlygų, jo tūris apskaičiuojamas pagal šią formulę: 
, tai yra.
skaičių Pi reikia padauginti iš skersmens skersmens, tada rezultatas padalytas iš 6.
Kaip nustatyti rutulio masę
Kūno masė yra fizikinis dydis, rodantis jo inercijos laipsnį. Fizinio kūno masė priklauso nuo užimamos erdvės tūrio ir medžiagos, iš kurios jis surinktas, tankio. Taisyklingos formos kūno tūris (tarkim, mušti) nesunku apskaičiuoti ir jei taip pat žinoma medžiaga, iš kurios jis pagamintas, urmu leidžiama būti labai primityvu.
nurodymus
pirmaĮveskite sumą mušti .
Kaip apskaičiuoti rutulio tūrį
Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti vieną iš savo parametrų - spindulį, skersmenį, paviršių ir tt Pasakykite man, jei žinote skersmenį mušti(d), jo tūrį (V) leidžiama nustatyti kaip vieną šeštadalį gaminio, kurio skersmuo kyla kube su skaičiumi Pi: V = π * d? / 6. Per spindulį mušti(r) tūris išreiškiamas vienu trečdaliu Pi sandaugos, kuri keturgubėja su spinduliu, esančiu kube: V = 4 * π * r? / 3.
antra skaičiuoti urmumušti(m), padauginkite jo tūrį iš nuostabaus medžiagos tankio (p): m = p * V.
Jei tai medžiaga mušti nėra vienalytis, tada turime paimti vidutinį tankį. Šioje formulėje pakeičiame tūrį mušti pagal žinomus parametrus leidžiama paimti žinomą skersmenį mušti formulė m = p * π * d? / 6 ir pagrindiniam spinduliui m = p * 4 * π * r? / 3.
trečia Skaičiavimams naudokite, pavyzdžiui, įprastą programinės įrangos skaičiuotuvą, kuris pateikiamas su pagrindine Windows operacine sistema, bet kuri šiandien naudojama stipri versija.
Paprasčiausias būdas pradėti yra paspausti win + r, kad atidarytumėte tipinį dialogo langą, kad paleistumėte programą, tada įveskite komandą calc ir spustelėkite Gerai.
Meniu „Skaičiuoklė“ išplėskite skyrių „Rodinys“ ir pasirinkite eilutę „Inžinierius“ arba „Mokslininkas“ (priklausomai nuo naudojamos OS versijos) - šio režimo sąsajoje yra mygtukas Pi skaičiui įvesti su vienu spustelėkite. Daugybos ir dalybos operacijos šioje skaičiuoklėje neturi kelti klausimų, bet nustatomos skaičiuojant masę mušti bus keli mygtukai su simboliais x^2 ir x^3.
VANDENS IR SANITARIJOS PROJEKTAVIMAS
El. paštas: [apsaugotas el. paštas]
Darbo laikas: I-P nuo 9-00 iki 18-00 (be pietų)
Rutulio tūrio apskaičiavimas naudojant spindulį arba skersmenį
Sfera yra geometrinis kūnas, susidedantis iš visų erdvės taškų, esančių tam tikru atstumu nuo centro.
Kaip apskaičiuoti rutulio tūrį
Pagrindinė matematinė rutulio charakteristika yra jo spindulys.
Rutulio skaičius yra kiekybinė šio skaičiaus charakteristika Visatoje.
Rutulio tūrio apskaičiavimo formulė:
V = 4/3 * π * r 3
V = 1/6 * π * d 3
r yra sferos spindulys;
d yra rutulio skersmuo.
Taip pat žiūrėkite straipsnį apie visas geometrines figūras (linijinės 1D, plokščios 2D ir 3D 3D).
Šis puslapis yra paprasčiausias žiniatinklio skaičiuotuvas, skirtas apskaičiuoti rutulio tūrį pagal spindulį arba skersmenį.
Daugelis kūnų, kuriuos sutinkame gyvenime arba apie kuriuos esame girdėję, yra rutulio formos, pavyzdžiui, futbolo kamuolys, lietaus metu krintantis vandens lašas ar mūsų planeta. Šiuo atžvilgiu svarbu apsvarstyti klausimą, kaip rasti sferos tūrį.
Rutulio figūra geometrijoje
Prieš atsakydami į klausimą apie kamuolį, atidžiau pažvelkime į šį kūną. Kai kurie žmonės tai painioja su sfera. Išoriškai jie tikrai panašūs, tačiau rutulys yra viduje užpildytas objektas, o sfera yra tik išorinis be galo mažo storio rutulio apvalkalas.
Geometrijos požiūriu rutulys gali būti pavaizduotas taškų rinkiniu, o tie iš jų, kurie yra ant jo paviršiaus (sudaro sferą), yra vienodu atstumu nuo figūros centro. Šis atstumas vadinamas spinduliu. Tiesą sakant, spindulys yra vienintelis parametras, kuriuo galima apibūdinti bet kokias rutulio savybes, tokias kaip jo paviršiaus plotas ar tūris.
Žemiau esančioje nuotraukoje parodytas rutulio pavyzdys.
Jei atidžiai pažvelgsite į šį tobulą apvalų objektą, galite atspėti, kaip jį gauti iš įprasto apskritimo. Norėdami tai padaryti, pakanka pasukti šią plokščią figūrą aplink ašį, kuri sutampa su jos skersmeniu.
Vienas iš žinomų senovės literatūros šaltinių, kuriame pakankamai išsamiai aptariamos šios trimatės figūros savybės, yra graikų filosofo Euklido veikalas „Elementai“.
Paviršiaus plotas ir tūris
Svarstant klausimą, kaip rasti rutulio tūrį, be šios vertės, reikia pateikti jo ploto formulę, nes abi išraiškos gali būti susijusios viena su kita, kaip bus parodyta toliau.
Taigi, norėdami apskaičiuoti rutulio tūrį, turėtumėte taikyti vieną iš šių dviejų formulių:
- V = 4/3 *pi * R3;
- V = 67/16 * R3.
Čia R yra figūros spindulys. Pirmoji pateikta formulė yra tiksli, tačiau norėdami pasinaudoti ja, turite naudoti atitinkamą skaičių po kablelio pi. Antroji išraiška duoda gana gerą rezultatą, nuo pirmosios skiriasi tik 0,03%. Daugeliui praktinių užduočių šio tikslumo pakanka.
Lygi šiai sferos vertei, ty išreiškiama formule S = 4 * pi * R2. Jei išreiškiame spindulį nuo čia, o tada pakeisime jį pirmąja tūrio formule, gausime: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi)).
Taigi mes išnagrinėjome klausimus, kaip rasti rutulio tūrį per spindulį ir per jo paviršiaus plotą. Šios išraiškos gali būti sėkmingai taikomos praktikoje. Vėliau straipsnyje pateiksime jų naudojimo pavyzdį.
Lietaus lašų problema
Vanduo, būdamas nesvarumo būsenoje, įgauna sferinio lašo formą. Taip yra dėl paviršiaus įtempimo jėgų, kurios sumažina paviršiaus plotą. Rutulys, savo ruožtu, turi mažiausią vertę tarp visų geometrinių figūrų, turinčių tą pačią masę.
Lietaus metu krintantis vandens lašas yra nesvarumo būsenoje, todėl jo forma yra rutulys (čia nepaisome oro pasipriešinimo jėgos). Būtina nustatyti šio lašo tūrį, paviršiaus plotą ir spindulį, jei žinoma, kad jo masė yra 0,05 gramo.
Tūrį lengva nustatyti, kad tai padarytumėte, žinomą masę padalinkite iš H 2 O tankio (ρ = 1 g/cm 3). Tada V = 0,05 / 1 = 0,05 cm3.
Žinodami, kaip rasti rutulio tūrį, turėtume išreikšti spindulį iš formulės ir pakeisti gautą reikšmę, turime: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0,05 / (4) * 3,1416)) = 0,2285 cm.
Dabar pakeičiame spindulio vertę į figūros paviršiaus ploto išraišką, gauname: S = 4 * 3,1416 * 0,22852 = 0,6561 cm 2.
Taigi, žinodami, kaip rasti rutulio tūrį, gavome atsakymus į visus uždavinio klausimus: R = 2,285 mm, S = 0,6561 cm 2 ir V = 0,05 cm 3.
Prieš pradėdami studijuoti rutulio sąvoką, koks yra rutulio tūris ir apsvarstydami jo parametrų apskaičiavimo formules, turite atsiminti apskritimo sąvoką, anksčiau išnagrinėtą geometrijos kurse. Juk dauguma veiksmų trimatėje erdvėje yra panašūs arba išplaukia iš dvimatės geometrijos, pritaikytos trečiosios koordinatės ir trečiojo laipsnio išvaizdai.
Kas yra ratas?
Apskritimas yra figūra Dekarto plokštumoje (parodyta 1 paveiksle); dažniausiai apibrėžimas skamba kaip „geometrinė visų taškų vieta plokštumoje, atstumas nuo kurio iki tam tikro taško (centro) neviršija tam tikro neneigiamo skaičiaus, vadinamo spinduliu“.
Kaip matome iš paveikslo, taškas O yra figūros centras, o absoliučiai visų taškų, kurie užpildo apskritimą, rinkinys, pavyzdžiui, A, B, C, K, E, yra ne toliau nei nurodytas spindulys. (nepereikite už apskritimo, parodyto .2 pav.).
Jei spindulys lygus nuliui, tada apskritimas virsta tašku.
Problemos su supratimu
Studentai dažnai painioja šias sąvokas. Tai lengva prisiminti pagal analogiją. Lankas, kurį vaikai suka kūno kultūros pamokose, yra ratas. Suprasdami tai arba prisimindami, kad pirmosios abiejų žodžių raidės yra „O“, vaikai mnemoniškai supras skirtumą.
„rutulio“ sąvokos įvedimas
Rutulys – kūnas (3 pav.), apribotas tam tikro sferinio paviršiaus. Kas yra „sferinis paviršius“, paaiškės iš jo apibrėžimo: tai yra geometrinis visų paviršiaus taškų lokusas, atstumas nuo kurio iki tam tikro taško (centro) neviršija tam tikro neneigiamo skaičiaus, vadinamo spinduliu. Kaip matote, apskritimo ir sferinio paviršiaus sąvokos yra panašios, skiriasi tik erdvės, kuriose jie yra. Jei pavaizduotume rutulį dvimatėje erdvėje, gausime apskritimą, kurio riba yra apskritimas (rutulio riba yra sferinis paviršius). Paveiksle matome sferinį paviršių, kurio spindulys OA = OB.
Kamuolys uždarytas ir atidarytas
Vektorinėse ir metrinėse erdvėse taip pat nagrinėjamos dvi sąvokos, susijusios su sferiniu paviršiumi. Jei rutulys turi šią sferą, tada jis vadinamas uždaru, bet jei ne, tada rutulys yra atviras. Tai yra labiau „pažangios“ sąvokos, kurios yra tiriamos institutuose kaip analizės įvado dalis. Paprastam, net kasdieniniam naudojimui pakaks formulių, kurios mokomasi stereometrijos kurse 10-11 klasėms. Būtent šios sąvokos, prieinamos beveik kiekvienam vidutiniam išsilavinusiam žmogui, bus aptartos toliau.
Sąvokos, kurias reikia žinoti atliekant šiuos skaičiavimus
Spindulys ir skersmuo.
Rutulio spindulys ir jo skersmuo nustatomi taip pat, kaip ir apskritimo.
Spindulys yra atkarpa, jungianti bet kurį rutulio ribos tašką ir tašką, kuris yra rutulio centras.
Skersmuo yra atkarpa, jungianti du rutulio ribos taškus ir einanti per jo centrą. 5a paveiksle aiškiai parodyta, kurie segmentai yra rutulio spinduliai, o 5b paveiksle parodyti rutulio skersmenys (segmentai, einantys per tašką O).
Sferos rutulyje (rutulyje)
Bet kuri sferos atkarpa yra apskritimas. Jei jis eina per rutulio centrą, jis vadinamas dideliu apskritimu (apskritimas, kurio skersmuo AB), o likusios atkarpos vadinamos mažais apskritimais (apskritimas, kurio skersmuo yra DC).
Šių apskritimų plotas apskaičiuojamas pagal šias formules:
Čia S yra srities žymėjimas, R yra spindulys, D yra skersmuo. Taip pat yra konstanta, lygi 3,14. Tačiau nesupainiokite, kad norint apskaičiuoti didelio apskritimo plotą, naudojamas paties rutulio (rutulio) spindulys arba skersmuo, o norint nustatyti plotą, reikia mažo apskritimo spindulio matmenų.
Tokių atkarpų, kurios eina per du vienodo skersmens taškus, esančius ant rutulio ribos, galima nubrėžti be galo daug. Pavyzdžiui, mūsų planeta: du taškai Šiaurės ir Pietų ašigalyje, kurie yra žemės ašies galai, o geometrine prasme – skersmens galai ir dienovidiniai, einantys per šiuos du taškus (7 pav.). . Tai yra, didelių apskritimų skaičius sferoje siekia begalybę.
Rutulinės dalys
Jei naudodamiesi tam tikra plokštuma nupjausite „gabalą“ nuo sferos (8 pav.), tada jis bus vadinamas sferiniu arba sferiniu segmentu. Jis turės aukštį – statmeną nuo pjovimo plokštumos centro iki sferinio paviršiaus O 1 K. Sferinio paviršiaus taškas K, į kurį patenka aukštis, vadinamas rutulio atkarpos viršūne. Ir mažas apskritimas, kurio spindulys yra O 1 T (šiuo atveju pagal paveikslą plokštuma nepraėjo per sferos centrą, bet jei pjūvis eina per centrą, tada skerspjūvio apskritimas bus didelis), suformuotas nupjovus sferinį segmentą, bus vadinamas mūsų gabalo rutulio pagrindu - sferiniu segmentu.
Jei kiekvieną sferinės atkarpos bazinį tašką sujungsime su sferos centru, gausime figūrą, vadinamą „sferiniu sektoriumi“.
Jei dvi plokštumos eina per sferą ir yra lygiagrečios viena kitai, tai ta rutulio dalis, kuri yra tarp jų, vadinama sferiniu sluoksniu (9 pav., kuriame pavaizduota sfera su dviem plokštumomis ir atskiru sferiniu sluoksniu).
Šios sferos dalies paviršius (paryškinta dalis 9 paveiksle dešinėje) vadinamas juosta (vėlgi, kad būtų geriau suprasti, galima nubrėžti analogiją su Žemės rutuliu, būtent su jo klimato zonomis – arktine, atogrąžų, vidutinio klimato ir tt), o sekcijų apskritimai bus sferinio pagrindo sluoksnis. Sluoksnio aukštis yra skersmens dalis, nubrėžta statmenai pjovimo plokštumoms nuo pagrindų centrų. Taip pat yra sferinės sferos sąvoka. Jis susidaro, kai viena kitai lygiagrečios plokštumos nekerta rutulio, o liečiasi viename taške.
Rutulio tūrio ir jo paviršiaus ploto apskaičiavimo formulės
Rutulys formuojamas sukantis aplink fiksuotą puslankio arba apskritimo skersmenį. Norint apskaičiuoti įvairius tam tikro objekto parametrus, nereikia daug duomenų.
Rutulio tūris, apskaičiavimo formulė, pateikta aukščiau, gaunama integruojant. Išsiaiškinkime tai taškas po taško.
Apskritimą laikome dvimatėje plokštumoje, nes, kaip minėta aukščiau, būtent apskritimas yra rutulio konstrukcijos pagrindas. Mes naudojame tik ketvirtąją jos dalį (10 pav.).
Paimame apskritimą, kurio spindulys yra vienetas, o centras ištakoje. Tokio apskritimo lygtis yra tokia: X 2 + Y 2 = R 2. Išreiškiame Y iš čia: Y 2 = R 2 - X 2.
Būtinai atkreipkite dėmesį, kad gauta funkcija yra neneigiama, tolydi ir mažėjanti atkarpoje X (0; R), nes X reikšmė tuo atveju, kai svarstome apskritimo ketvirtadalį, yra nuo nulio iki atkarpos reikšmės. spinduliu, tai yra iki vieno.
Kitas dalykas, kurį darome, yra pasukti ketvirčio apskritimą aplink x ašį. Dėl to mes gauname puslankį. Norėdami nustatyti jo apimtį, pasinaudosime integravimo metodais.
Kadangi tai yra tik pusrutulio tūris, padvigubiname rezultatą, iš kurio gauname, kad rutulio tūris yra lygus:
Maži niuansai
Jei reikia apskaičiuoti rutulio tūrį per jo skersmenį, atminkite, kad spindulys yra pusė skersmens, ir pakeiskite šią vertę į aukščiau pateiktą formulę.
Taip pat rutulio tūrio formulę galite pasiekti per jo besiribojantį paviršių - sferą. Prisiminkime, kad sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę S = 4πr 2, kurią integruodami taip pat gauname aukščiau pateiktą rutulio tūrio formulę. Iš tų pačių formulių galite išreikšti spindulį, jei problemos teiginyje yra tūrio reikšmė.
Rutulys yra geometrinis apsisukimo kūnas, suformuotas sukant apskritimą arba puslankį aplink savo skersmenį. Be to, rutulys yra erdvė, kurią riboja sferinis paviršius. Yra daug realių sferinių objektų ir susijusių problemų, dėl kurių reikia nustatyti sferos tūrį.
Rutulys ir rutulys
Apskritimas yra seniausia geometrinė figūra, o senovės mokslininkai jam suteikė sakralinę reikšmę. Apskritimas yra nesibaigiančio laiko ir erdvės simbolis, Visatos ir egzistencijos simbolis. Pasak Pitagoro, apskritimas yra pati gražiausia figūra. Trimatėje erdvėje apskritimas virsta sfera, idealia, kosmine ir gražia kaip apskritimas.
Sfera senovės graikų kalboje reiškia „rutulys“. Rutulys yra paviršius, sudarytas iš begalinio skaičiaus taškų, nutolusių vienodu atstumu nuo figūros centro. Erdvė, kurią riboja rutulys, yra rutulys. Rutulys yra ideali geometrinė figūra, kurios formą įgauna daugelis realių objektų. Pavyzdžiui, realiame gyvenime patrankų sviediniai, guoliai ar rutuliai turi rutulio formą, gamtoje – vandens lašus, medžių lajas ar uogas, erdvėje – žvaigždes, meteorus ar planetas.
Kamuolio tūris
Nustatyti sferinės figūros tūrį – nelengva užduotis, nes tokio geometrinio kūno negalima skaidyti į kubus ar trikampes prizmes, kurių tūrio formulės jau žinomos. Šiuolaikinis mokslas leidžia apskaičiuoti rutulio tūrį naudojant apibrėžtąjį integralą, tačiau kaip tūrio formulė buvo išvesta Senovės Graikijoje, kai niekas niekada negirdėjo apie integralus? Archimedas apskaičiavo rutulio tūrį naudodamas kūgį ir cilindrą, nes šių figūrų tūrio formules jau buvo nustatęs senovės graikų filosofas ir matematikas Demokritas.
Archimedas pavaizdavo pusę rutulio, naudodamas identiškus kūgius ir cilindrus, kurių kiekvienos figūros spindulys buvo lygus jos aukščiui R = h. Senovės mokslininkas įsivaizdavo kūgį ir cilindrą, padalintą į begalinį skaičių mažų cilindrų. Archimedas suprato, kad jei jis atima kūgio tūrį Vk iš cilindro tūrio Vc, jis gauna vieno pusrutulio tūrį Vsh:
0,5 Vsh = Vc − Vk
Kūgio tūris apskaičiuojamas naudojant paprastą formulę:
Vk = 1/3 × Taigi × h,
bet žinant, kad Taigi šiuo atveju yra apskritimo plotas, o h = R, tada formulė paverčiama į:
Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3
Cilindro tūris apskaičiuojamas pagal formulę:
Vc = pi × R 2 × h,
bet darant prielaidą, kad cilindro aukštis lygus jo spinduliui, gauname:
Vc = pi × R 3 .
Naudodamas šias formules, Archimedas gavo:
0,5 Vsh = pi × R 3 – 1/3 pi × R 3 arba Vsh = 4/3 pi × R 3
Šiuolaikinis rutulio tūrio formulės apibrėžimas yra gautas iš sferinio paviršiaus ploto integralo, tačiau rezultatas išlieka tas pats
Vsh = 4/3 pi × R 3
Apskaičiuoti kamuoliuko tūrį gali prireikti tiek realiame gyvenime, tiek sprendžiant abstrakčias problemas. Norėdami apskaičiuoti rutulio tūrį naudodami internetinį skaičiuotuvą, turėsite žinoti tik vieną parametrą, kurį galite pasirinkti: sferos skersmenį arba spindulį. Pažvelkime į porą pavyzdžių.
Pavyzdžiai iš gyvenimo
Patrankų sviediniai
Tarkime, kad norite sužinoti, kiek ketaus reikia šešių pėdų kalibro patrankos sviediniui nulieti. Jūs žinote, kad tokios šerdies skersmuo yra 9,6 centimetro. Įveskite šį skaičių į skaičiuoklės langelį „Skersmuo“ ir gausite atsakymą kaip
Taigi, norint išlydyti tam tikro kalibro patrankos sviedinį, jums reikės 463 kubinių centimetrų arba 0,463 litro ketaus.
Balionai
Norite sužinoti, kiek oro reikia norint pripūsti balioną į tobulą sferinę formą. Jūs žinote, kad pasirinkto rutulio spindulys yra 10 cm Įveskite šią reikšmę į skaičiuoklės langelį „Spindulys“ ir gausite rezultatą
Tai reiškia, kad vienam tokiam balionui pripūsti prireiks 4188 kubinių centimetrų arba 4,18 litro oro.
Išvada
Poreikis nustatyti kamuoliuko tūrį gali iškilti įvairiose situacijose: nuo abstrakčių mokyklos problemų iki mokslinių tyrimų ir gamybos klausimų. Norėdami išspręsti bet kokio sudėtingumo klausimus, naudokite mūsų internetinį skaičiuotuvą, kuris iš karto pateiks tikslų rezultatą ir reikalingus matematinius skaičiavimus.