Pamoka Nr. 32 Data ____________

Algebra

Klasė: 9 "B"

Tema: „Skaičių seka ir jos nustatymo būdai“.

Pamokos tikslas: Mokiniai turėtų žinoti, kas yra skaičių seka; skaitinės sekos nustatymo metodai; mokėti atskirti skirtingus skaičių sekų nurodymo būdus.

Didaktinė medžiaga: dalomoji medžiaga, patvirtinamieji užrašai.

Techninės mokymo priemonės: pristatymas tema „Skaičių sekos“.

Pamokos eiga.

1. Organizacinis momentas.

2. Pamokos tikslų nustatymas.

Šiandien klasėje jūs, vaikinai, išmoksite:

    Kas yra seka?

    Kokių tipų sekos yra?

    Kaip nurodoma skaičių seka?

    Išmokite rašyti seką naudodami formulę ir daugybę jos elementų.

    Išmokite rasti sekos narius.

3.Dirbti su tiriama medžiaga.

3.1. Parengiamasis etapas.

Vaikinai, išbandykime jūsų loginius sugebėjimus. Pavardinu keletą žodžių, o jūs turite tęsti:

– Pirmadienį, antradienį,…

– sausis, vasaris, kovas...;

– Glebova L, Ganovichev E, Dryakhlov V, Ibraeva G,…..(klasių sąrašas);

–10,11,12,…99;

Iš vaikų atsakymų daroma išvada, kad aukščiau pateiktos užduotys yra sekos, tai yra kažkokia sutvarkyta skaičių ar sąvokų serija, kai kiekvienas skaičius ar sąvoka yra griežtai savo vietoje, o jei nariai bus sukeisti, seka bus sulaužytas (antradienis, ketvirtadienis, pirmadienis yra tiesiog savaitės dienų sąrašas). Taigi, pamokos tema yra skaičių seka.

3.1. Naujos medžiagos paaiškinimas. (Demonstracinė medžiaga)

Analizuodami mokinių atsakymus, pateikite skaičių sekos apibrėžimą ir parodykite būdus, kaip priskirti skaičių sekas.

(Darbas su vadovėliu p. 66 – 67)

1 apibrėžimas. Funkcija y = f(x), xN vadinama natūralaus argumento arba skaitinės sekos funkcija ir žymima: y = f(n) arba y 1, y 2, y 3, ..., y n, .. arba (y n).

Šiuo atveju nepriklausomas kintamasis yra natūralusis skaičius.

Dažniausiai sekas žymėsime taip: ( A n), (b n), (Su n) ir kt.

2 apibrėžimas. Sekos nariai.

Elementai, sudarantys seką, vadinami sekos nariais.

Naujos sąvokos: ankstesnis ir paskesnis sekos narys,

A 1 …A p. (1-as ir n-tas sekos terminai)

Skaičių sekos nustatymo metodai.

    Analitinis metodas.

Bet kuris n-asis sekos elementas gali būti nustatytas naudojant formulę (demonstracinė medžiaga).

Tyrinėkite pavyzdžius

1 pavyzdys. Lyginių skaičių seka: y = 2n.

2 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių kvadrato seka: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, ... .

3 pavyzdys. Stacionari seka: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Ypatingas atvejis: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

4 pavyzdys. Seka y = 2 n ;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ... .

    Verbalinis metodas.

Sekos nurodymo taisyklės aprašomos žodžiais, nenurodant formulių arba kai tarp sekos elementų nėra šablono.

1 pavyzdys: Apytikslis skaičiusπ.

2 pavyzdys. Pirminių skaičių seka: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

3 pavyzdys. Skaičių seka, dalijama iš 5.

2 pavyzdys. Savavališkas skaičių rinkinys: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

3 pavyzdys. Lyginių skaičių 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... seka.

    Pasikartojantis metodas.

Pasikartojantis metodas susideda iš taisyklės, leidžiančios apskaičiuoti n-ąjį sekos narį, jei nurodyti keli pirmieji jos nariai (bent vienas pirmasis narys), ir formulės, leidžiančios apskaičiuoti kitą jos narį naudojant ankstesnius narius, nurodymas. Terminas pasikartojantis kilęs iš lotyniško žodžio pasikartojantis , o tai reiškia sugrįžti . Skaičiuodami sekos sąlygas pagal šią taisyklę, atrodo, kad visą laiką grįžtame atgal, skaičiuodami kitą terminą pagal ankstesnįjį. Šio metodo ypatumas yra tas, kad norėdami nustatyti, pavyzdžiui, 100-ąjį sekos narį, pirmiausia turite nustatyti visus ankstesnius 99 narius.

Pavyzdys 1 . a 1 =a, a n+1 =a n +0,7. Tegul a 1 =5, tada seka atrodys taip: 5; 5,7; 6,4; 7.1; 7,8; 8,5; ...

2 pavyzdys. b 1 = b, b n +1 = ½ b n. Tegu b 1 =23, tada seka atrodys taip: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ...

3 pavyzdys. Fibonačio seka. Ši seka lengvai nurodoma rekursyviai: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, jei n = 3, 4, 5, 6, ... . Tai atrodys taip:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (nŠios sekos asis narys yra lygus dviejų ankstesnių terminų sumai)

Sunku analitiškai apibrėžti Fibonačio seką, bet tai įmanoma. Formulė, pagal kurią nustatomas bet kuris šios sekos elementas, atrodo taip:

Papildoma informacija:

Italų pirklys Leonardo iš Pizos (1180-1240), geriau žinomas Fibonacci slapyvardžiu, buvo reikšmingas viduramžių matematikas. Naudodamas šią seką, Fibonacci nustatė skaičių φ (fi); φ = 1,618033989.

    Grafinis metodas

Sekos nariai gali būti pavaizduoti taškais koordinačių plokštumoje. Norėdami tai padaryti, skaičius brėžiamas išilgai horizontalios ašies, o atitinkamo sekos nario reikšmė – išilgai vertikalios ašies.

Norėdami konsoliduoti priskyrimo metodus, pateikite keletą sekų, kurios nurodomos žodžiu, analitiškai arba pakartotinai, pavyzdžius.

Skaičių sekų rūšys

(Sekų tipai praktikuojami naudojant toliau išvardytas sekas).

Darbas su vadovėliu 69-70 p

1) Didėjantis – jei kiekvienas terminas mažesnis už kitą, t.y. a n a n +1.

2) Mažėjantis – jei kiekvienas terminas didesnis už kitą, t.y. a n a n +1 .

3) Begalinis.

4) Galutinis.

5) Kintamasis ženklas.

6) Pastovus (stacionarus).

Didėjanti arba mažėjanti seka vadinama monotoniška.

    3; 6; 9; 12; 15; 18;…

  1. –1; 2; –3; 4; –5; …

    1, 4, 9, 16 ,…

    –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

    3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Darbas su vadovėliu: darykime žodžiu Nr 150, 159 p. 71, 72

3.2. Naujos medžiagos konsolidavimas. Problemų sprendimas.

Žinioms įtvirtinti pavyzdžiai parenkami priklausomai nuo mokinių pasirengimo lygio.

1 pavyzdys. Sukurkite galimą n-ojo sekos elemento formulę (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Sprendimas.

a) Tai nelyginių skaičių seka. Analitiškai šią seką galima pateikti pagal formulę y = 2n+1.

b) Tai skaitinė seka, kurioje sekantis elementas didesnis už ankstesnįjį 4. Analitiškai šią seką galima pateikti pagal formulę y = 4n.

2 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius dešimt kartotinės sekos elementų: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, jei n = 3, 4, 5, 6, ....

Sprendimas.

Kiekvienas paskesnis šios sekos elementas yra lygus dviejų ankstesnių elementų sumai.

3 pavyzdys. Seka (y n) pateikiama pakartotinai: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2. Analitiškai apibrėžkite šią seką.

Sprendimas.

Raskime keletą pirmųjų sekos elementų.

y 3 = 5y 2 -6y 1 = 10-6 = 4;

y 4 = 5y 3 -6y 2 = 20-12 = 8;

y 5 = 5y 4 -6y 3 = 40-24 = 16;

y 6 = 5y 5 -6y 4 = 80-48 = 32;

y 7 = 5y 6 -6y 5 = 160-96 = 64.

Gauname seką: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; ..., kuris gali būti pavaizduotas kaip

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizuodami seką, gauname tokį modelį: y = 2 n -1 .

4 pavyzdys. Duota seka y n =24n+36-5n 2 .

a) Kiek teigiamų narių ji turi?

b) Raskite didžiausią sekos elementą.

c) Ar šioje sekoje yra mažiausias elementas?

Ši skaičių seka yra formos y = -5x 2 +24x+36 funkcija, kur x

a) Raskite funkcijos, kuriai esant -5x 2 +24x+360, reikšmes. Išspręskime lygtį -5x 2 +24x+36=0.

D = b 2 -4ac = 1296, X 1 = 6, X 2 = -1,2.

Parabolės y = -5x 2 +24x+36 simetrijos ašies lygtį galima rasti naudojant formulę x=, gauname: x=2,4.

Nelygybė -5x 2 +24x+360 galioja -1.2 Šiame intervale yra penki natūralieji skaičiai (1, 2, 3, 4, 5). Tai reiškia, kad tam tikroje sekoje yra penki teigiami sekos elementai.

b) Atrankos metodu nustatomas didžiausias sekos elementas ir jis lygus y 2 =64.

c) Nėra mažiausio elemento.

3.4. Savarankiško darbo užduotys






2. Nustatykite aritmetinį veiksmą, kuriuo vidurkis gaunamas iš dviejų kraštutinių skaičių, ir vietoj * ženklo įrašykite trūkstamą skaičių: ,3104.62.51043.60.94 1.7*4.43.1*37.2*0, 8


3. Mokiniai sprendė užduotį, kurioje reikėjo rasti trūkstamus skaičius. Jie gavo skirtingus atsakymus. Raskite taisykles, pagal kurias vaikinai užpildė langelius. Užduoties atsakymas 1 atsakymas




Skaičių sekos apibrėžimas Sakoma, kad skaitinė seka duota, jeigu pagal kokį nors dėsnį kiekvienas natūralusis skaičius (vietos numeris) yra vienareikšmiškai susietas su tam tikru skaičiumi (sekos nariu). Apskritai šią atitiktį galima pavaizduoti taip: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, ..., y n, ... ... n ... Skaičius n yra n-asis seka. Visa seka paprastai žymima (y n).








Analitinis skaitinių sekų patikslinimo būdas Seka nurodoma analitiškai, jei nurodyta n-ojo nario formulė. Pavyzdžiui, 1) y n= n 2 – sekos 1, 4, 9, 16, … analitinė užduotis 2) y n= С – pastovi (stacionari) seka 2) y n= 2 n – sekos 2, 4 analitinė užduotis , 8, 16, ... Išspręskite 585


Pasikartojantis skaitinių sekų nustatymo metodas Pasikartojantis sekos nurodymo metodas yra nurodyti taisyklę, leidžiančią apskaičiuoti n-ąjį narį, jei žinomi ankstesni jo nariai 1) aritmetinė progresija pateikiama pasikartojančiais ryšiais a 1 =a, a n +1 =a n + d 2 ) geometrinė progresija – b 1 =b, b n+1 =b n * q


Tvirtinimas 591, 592 (a, b) 594, – 614 (a)




Apribota iš viršaus Sakoma, kad seka (y n) yra ribojama iš viršaus, jei visi jos nariai nėra didesni už tam tikrą skaičių. Kitaip tariant, seka (y n) yra viršutinė riba, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriai n galioja nelygybė y n M yra viršutinė sekos riba. Pavyzdžiui, -1, -4, -9, -. 16, ..., -n 2, ...


Apribota iš apačios Seka (y n) vadinama apribota iš apačios, jei visi jos nariai yra ne mažesni už tam tikrą skaičių. Kitaip tariant, seka (y n) yra apribota iš viršaus, jei yra toks skaičius m, kad bet kuriai n galioja nelygybė y n m. m – apatinė sekos riba Pavyzdžiui, 1, 4, 9, 16, …, n 2, …


Sekos ribojimas Seka (y n) vadinama ribota, jei galima nurodyti du skaičius A ir B, tarp kurių yra visi sekos nariai. Nelygybė Ay n B A yra apatinė riba, B yra viršutinė riba. Pavyzdžiui, 1 yra viršutinė riba, 0 yra apatinė riba



Mažėjanti seka Seka vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys yra mažesnis nei ankstesnis: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Pavyzdžiui, y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Pavyzdžiui,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > ... Pavyzdžiui,"> y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Pavyzdžiui," title="Mažėjanti seka Seka vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys yra mažesnis už ankstesnį: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n >...Pavyzdžiui,"> title="Mažėjanti seka Seka vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys yra mažesnis nei ankstesnis: y 1 > y 2 > y 3 > y 4 > y 5 > … > y n > … Pavyzdžiui,"> !} 23


Bandomasis darbas 1 variantas 2 variantas 1. Skaičių seka pateikiama formule a) Apskaičiuokite pirmuosius keturis šios sekos narius b) Ar skaičius yra sekos narys? b) Ar skaičius 12,25 yra sekos narys? 2. Sukurkite formulę sekos 2, 5, 10, 17, 26,…1, 2, 4, 8, 16,…

Algebra. 9 klasė
32 pamoka
Data:_____________
Mokytojas: Gorbenko Alena Sergeevna
Tema: Skaičių seka, jos nurodymo būdai ir savybės
Pamokos tipas: kombinuotas
Pamokos tikslas: pateikti skaičių sekos sampratą ir apibrėžimą, apsvarstyti būdus
skaičių sekos priskyrimai
Užduotys:
Edukacinis: supažindinkite mokinius su skaičių sekos samprata ir terminu
skaičių seka; susipažinti su analitiniais, žodiniais, pasikartojančiais ir
grafiniai skaitinės sekos nurodymo metodai; apsvarstykite skaičių tipus
sekos; pasiruošimas EAUD;
Ugdomasis: matematinio raštingumo, mąstymo, skaičiavimo technikos, įgūdžių ugdymas
palyginimai renkantis formulę; domėtis matematika;
Ugdomasis: ugdo savarankiškos veiklos įgūdžius; aiškumas ir
darbo organizavimas; leisti kiekvienam mokiniui pasiekti sėkmės;
Įranga: mokyklinės prekės, lenta, kreida, vadovėlis, dalomoji medžiaga.
Pamokos eiga
I. Organizacinis momentas
 Abipusis pasisveikinimas;
 Pravaikštų fiksavimas;
 Pamokos temos paskelbimas;
 Mokinių tikslų ir uždavinių nustatymas pamokai.
Seka yra viena iš pagrindinių matematikos sąvokų. Seka gali
sudaryti iš skaičių, taškų, funkcijų, vektorių ir kt.
Šiandien pamokoje susipažinsime su „skaičių sekos“ sąvoka, išsiaiškinsime ką
gali būti sekų, susipažinkime su garsiosiomis sekomis.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas.
Ar žinote funkcijas, apibrėžtas visoje skaičių eilutėje arba jos ištisinėse eilutėse?
III.
intervalai:
tiesinė funkcija y = kx+b,
kvadratinė funkcija y = ax2+inx+c,


 funkcija y =



 funkcija y =|x|.
Pasiruošimas įsisavinti naujas žinias
tiesioginis proporcingumas y = kx,
atvirkštinis proporcingumas y = k/x,
kubinė funkcija y = x3,
,
Tačiau yra funkcijų, apibrėžtų kituose rinkiniuose.
Pavyzdys. Daugelis šeimų turi paprotį, savotišką ritualą: per vaiko gimtadienį
tėvai veda jį prie durų staktos ir ant jos iškilmingai pažymi gimtadienio berniuko ūgį.
Vaikas auga, o bėgant metams ant staktos atsiranda ištisos kopėčios ženklų. Trys, penki, du: štai ir viskas
didėjimo seka kasmet. Tačiau yra ir kita seka, ir tai yra
jos nariai dailiai užrašyti prie serifų. Tai aukščio verčių seka.
Abi sekos yra susijusios viena su kita.
Antrasis gaunamas iš pirmojo pridedant.
Augimas yra padidėjimo per visus ankstesnius metus suma.
Apsvarstykite dar keletą problemų.
1 uždavinys. Sandėlyje yra 500 tonų anglies, kasdien pristatoma 30 tonų Kiek bus anglies
sandėlyje per 1 dieną? 2 diena? 3 diena? 4 diena? 5 diena?
(Mokinių atsakymai rašomi lentoje: 500, 530, 560, 590, 620).
Užduotis 2. Intensyvaus augimo laikotarpiu žmogus vidutiniškai paauga 5 cm per metus. Dabar augimas
studentas S. yra 180 cm ūgio, koks jis bus 2026 m. (2m 30 cm). Bet tai neįvyks
Galbūt. Kodėl?
3 problema. Kiekvieną dieną kiekvienas gripu sergantis žmogus gali užkrėsti 4 aplinkinius žmones.
Po kiek dienų susirgs visi mūsų mokyklos mokiniai (300 žmonių)? (po 4 dienų).
Tai funkcijų, apibrėžtų natūraliųjų skaičių aibėje – skaitiniai, pavyzdžiai
sekos.
Pamokos tikslas: rasti būdų, kaip rasti bet kurį sekos narį.
Pamokos tikslai: sužinokite, kas yra skaičių seka ir kaip ją nustatyti
sekos.
IV. Naujos medžiagos mokymasis
Apibrėžimas: skaičių seka yra aibėje apibrėžta funkcija
natūralūs skaičiai (sekos susideda iš tokių gamtos elementų, kurie
gali būti sunumeruoti).
Skaičių sekos samprata atsirado ir vystėsi gerokai prieš sukuriant doktriną
funkcijas. Čia yra begalinių skaičių sekų, žinomų anksčiau, pavyzdžiai
antikvariniai daiktai:
1, 2, 3, 4, 5, : natūraliųjų skaičių seka;
2, 4, 6, 8, 10, : lyginių skaičių seka;
1, 3, 5, 7, 9, : nelyginių skaičių seka;
1, 4, 9, 16, 25, : natūraliųjų skaičių kvadratų seka;
2, 3, 5, 7, 11, : pirminių skaičių seka;
,
1,
Kiekvienos iš šių serijų narių skaičius yra begalinis; pirmos penkios sekos
, : skaičių seka, kuri yra atvirkštinė natūraliųjų skaičių.
,
monotoniškai didėja, pastaroji monotoniškai mažėja.

Pavadinimas: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :n,: sekos nario eilės numeris.
(aukštyn) seka, aukščiausias sekos narys.
(an) seka, antrasis sekos narys.
1 ankstesnis sekos narys,
+1 paskesnis sekos narys.
Sekos gali būti baigtinės ir begalinės, didėjančios ir mažėjančios.
Mokinio užduotys: Užrašykite pirmuosius 5 sekos terminus:
Nuo pirmojo natūraliojo skaičiaus padidinkite 3.
Nuo 10 padidėja 2 kartus, o sumažėja 1.
Nuo 6 skaičiaus pakaitomis didinkite 2 ir didinkite 2 kartus.
Šios skaičių eilutės taip pat vadinamos skaičių sekomis.
Sekų nustatymo metodai:
Verbalinis metodas.
Sekos nurodymo taisyklės aprašomos žodžiais, nenurodant formulių arba
kai tarp sekos elementų nėra rašto.
1 pavyzdys. Pirminių skaičių seka: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2 pavyzdys. Savavališka skaičių aibė: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
3 pavyzdys. Lyginių skaičių 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Analitinis metodas.
Bet kuris n-asis sekos elementas gali būti nustatytas naudojant formulę.
1 pavyzdys. Lyginių skaičių seka: y = 2n.
2 pavyzdys. Natūraliųjų skaičių kvadrato seka: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
3 pavyzdys. Stacionari seka: y = C; C, C, C, ..., C, ...
Ypatingas atvejis: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4 pavyzdys. Seka y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
Pasikartojantis metodas.
Nurodykite taisyklę, leidžiančią apskaičiuoti n-ąjį sekos elementą if
žinomi ankstesni jo elementai.
1 pavyzdys. Aritmetinė progresija: a1=a, an+1=an+d, kur a ir d yra pateikti skaičiai, d
aritmetinės progresijos skirtumas. Tegu a1=5, d=0,7, tada aritmetinė progresija
atrodys taip: 5; 5,7; 6,4; 7.1; 7,8; 8,5; ...
2 pavyzdys. Geometrinė progresija: b1= b, bn+1= bnq, kur b ir q yra pateikti skaičiai, b
0,
0; q yra geometrinės progresijos vardiklis. Tegu b1=23, q=½, tada geometrinis
q
progresija atrodys taip: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ...
4) Grafinis metodas. Skaičių seka
pateikiamas grafiku, vaizduojančiu
izoliuoti taškai. Šių taškų abscisės yra natūralios
skaičiai: n=1; 2; 3; 4; ... Ordinatės – narių vertybės
sekos: a1; a2; a3; a4;…
Pavyzdys: Užrašykite visus penkis skaičių sekos terminus,
nurodyta grafiškai.
Sprendimas.
Kiekvienas šios koordinačių plokštumos taškas turi
koordinates (n; an). Užsirašykime pažymėtų taškų koordinates
kylanti abscisė n.
Gauname: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Todėl a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5 =7.

Atsakymas: 3; 1; 4; 6; 7.
V. Pirminis tiriamos medžiagos konsolidavimas
1 pavyzdys. Sukurkite galimą n-ojo sekos elemento formulę (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Sprendimas.
a) Tai nelyginių skaičių seka. Analitiškai ši seka gali būti
nustatyta formule y = 2n+1.
b) Tai yra skaičių seka, kurios sekantis elementas yra didesnis nei ankstesnis
4. Analitiškai ši seka gali būti pateikta formule y = 4n.
2 pavyzdys. Užrašykite pirmuosius dešimt rekursyviai pateiktos sekos elementų: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, jei n = 3, 4, 5, 6, ... .
Sprendimas.
Kiekvienas paskesnis šios sekos elementas yra lygus ankstesnių dviejų sumai
elementai.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Apibendrinant pamoką. Atspindys
1. Kas tau sekėsi atlikti užduotį?
2. Ar darbas buvo koordinuotas?
3. Kas, jūsų nuomone, nepasisekė?

Skaitinė seka yra ypatingas skaitinės funkcijos atvejis, todėl sekoms taip pat atsižvelgiama į daugybę funkcijų savybių.

1. Apibrėžimas . Pasekmė ( y n} vadinamas didėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis už ankstesnį:

y 1 < y 2 < y 3 < … < y n < y n+1 < ….

2. Apibrėžimas. Seka ( y n} vadinamas mažėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis už ankstesnį:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n+1 > … .

3. Didėjančias ir mažėjančias sekas vienija bendras terminas – monotoninės sekos.

Pavyzdžiui: y 1 = 1; y n= n 2… yra didėjanti seka. y 1 = 1; – mažėjimo seka. y 1 = 1; – ši seka nei nedidėjanti, nei mažėjanti.

4. Apibrėžimas. Seka vadinama periodine, jei yra natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.

5. Toliau seka vadinama apribota, jei visi jos nariai yra bent tam tikras skaičius.

6. Sakoma, kad seka yra aukščiau apribota, jei visi jos nariai nėra didesni už tam tikrą skaičių.

7. Seka vadinama apribota, jeigu ji apribota ir aukščiau, ir apačioje, t.y. yra teigiamas skaičius, kad visi tam tikros sekos nariai neviršija šio skaičiaus absoliučia verte. (Tačiau jo apribojimas iš dviejų pusių nebūtinai reiškia, kad jis yra baigtinis).

8. Seka gali turėti tik vieną ribą.

9. Bet kuri nemažėjanti ir viršutinė riba turi ribą (lim).

10. Bet kuri nedidėjanti seka, apribota iš apačios, turi ribą.

Sekos riba yra taškas (skaičius), šalia kurio yra dauguma sekos narių, jie arti prie šios ribos, bet jos nepasiekia.

Geometrinė ir aritmetinė progresija yra ypatingi sekos atvejai.

Sekos nustatymo metodai:

Sekas galima nurodyti įvairiais būdais, iš kurių trys yra ypač svarbūs: analitinė, aprašomoji ir pasikartojanti.

1. Seka pateikiama analitiškai, jei pateikiama jos n-ojo nario formulė:

Pavyzdys. yn = 2n – 1 – nelyginių skaičių seka: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Aprašomasis skaitinės sekos nurodymo būdas yra paaiškinimas, iš kokių elementų seka sudaryta.

1 pavyzdys. „Visi sekos nariai yra lygūs 1“. Tai reiškia, kad mes kalbame apie stacionarią seką 1, 1, 1, …, 1, ….

2 pavyzdys: „Seką sudaro visi pirminiai skaičiai didėjančia tvarka“. Taigi, pateikta seka yra 2, 3, 5, 7, 11, .... Šiame pavyzdyje naudojant tokį sekos nurodymo metodą, sunku atsakyti, kam lygus, tarkime, 1000-asis sekos elementas.

3. Pasikartojantis sekos nurodymo metodas yra nurodyti taisyklę, leidžiančią apskaičiuoti n-ąjį sekos narį, jei žinomi ankstesni jos nariai. Pasikartojančio metodo pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio recurrere – sugrįžti. Dažniausiai tokiais atvejais nurodoma formulė, leidžianti n-tą sekos narį išreikšti ankstesniaisiais, ir nurodomi 1–2 pradiniai sekos nariai.

1 pavyzdys. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, jei n = 2, 3, 4,….

Čia y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Matote, kad šiame pavyzdyje gautą seką galima nurodyti ir analitiškai: yn = 4n – 1.

2 pavyzdys. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n–2 + y n– 1 jei n = 3, 4,….

Čia: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šiame pavyzdyje pateikta seka ypač tiriama matematikoje, nes ji turi daug įdomių savybių ir pritaikymų. Ji vadinama Fibonačio seka, pavadinta XIII amžiaus italų matematiko vardu. Labai lengva nustatyti Fibonačio seką pakartotinai, bet labai sunku analitiškai. n Fibonačio skaičius išreiškiamas jo serijos numeriu pagal šią formulę.

Iš pirmo žvilgsnio formulė n Fibonačio skaičius atrodo neįtikėtinas, nes formulėje, nurodančioje natūraliųjų skaičių seką, yra tik kvadratinės šaknys, tačiau pirmąsias kelias formules galite patikrinti „rankiniu būdu“ n.

Fibonačio istorija:

Fibonacci (Leonardas iš Pizos), apytiksliai. 1175–1250

italų matematikas. Gimęs Pizoje, jis vėlyvaisiais viduramžiais tapo pirmuoju didžiuoju Europos matematiku. Į matematiką jį patraukė praktinis poreikis užmegzti dalykinius ryšius. Išleido savo knygas apie aritmetiką, algebrą ir kitas matematines disciplinas. Iš musulmonų matematikų jis sužinojo apie Indijoje išrastą ir arabų pasaulyje jau priimtą skaičių sistemą ir įsitikino jos pranašumu (šie skaitmenys buvo šiuolaikinių arabiškų skaitmenų pirmtakai).

Leonardo iš Pizos, žinomas kaip Fibonacci, buvo pirmasis iš didžiųjų Europos matematikų vėlyvaisiais viduramžiais. Gimęs Pizoje, turtingoje pirklio šeimoje, į matematiką jis atėjo iš grynai praktinio poreikio užmegzti verslo ryšius. Jaunystėje Leonardo daug keliavo, lydėdamas tėvą į verslo keliones. Pavyzdžiui, žinome apie jo ilgą viešnagę Bizantijoje ir Sicilijoje. Tokių kelionių metu jis daug bendraudavo su vietos mokslininkais.

Skaičių serija, kuri šiandien vadinama jo vardu, išaugo iš triušio problemos, kurią Fibonacci išdėstė savo knygoje Liber abacci, parašytoje 1202 m.:

Vyras įdėjo porą triušių į aptvarą, iš visų pusių apsuptą siena. Kiek porų triušių ši pora gali užauginti per metus, jei žinoma, kad kiekvieną mėnesį, pradedant nuo antrojo, kiekviena triušių pora užaugina po vieną porą?

Galite būti tikri, kad porų skaičius per kiekvieną iš dvylikos mėnesių bus 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Kitaip tariant, triušių porų skaičius sukuria seriją, kurios kiekvienas terminas yra ankstesnių dviejų suma. Jis žinomas kaip Fibonačio serija, o patys skaičiai yra žinomi kaip Fibonačio skaičiai. Pasirodo, ši seka turi daug įdomių savybių matematiniu požiūriu. Štai pavyzdys: galite padalyti liniją į du segmentus, kad santykis tarp didesnio ir mažesnio segmento būtų proporcingas visos linijos ir didesnio segmento santykiui. Šis proporcingumo koeficientas, maždaug 1,618, yra žinomas kaip auksinis pjūvis. Renesanso laikais buvo manoma, kad būtent ši proporcija, stebima architektūrinėse struktūrose, labiausiai džiugina akį. Jei paimsite nuoseklias poras iš Fibonacci serijos ir padalysite didesnį skaičių iš kiekvienos poros iš mažesnio skaičiaus, jūsų rezultatas palaipsniui priartės prie aukso pjūvio.

Nuo tada, kai Fibonacci atrado savo seką, buvo rasta net gamtos reiškinių, kuriuose ši seka, atrodo, vaidina svarbų vaidmenį. Vienas iš jų yra filotaksis (lapų išdėstymas) – taisyklė, pagal kurią, pavyzdžiui, saulėgrąžų žiedyne išdėliojamos sėklos. Saulėgrąžų sėklos yra išdėstytos dviem spiralėmis. Skaičiai, nurodantys sėklų skaičių kiekvienoje spiralėje, yra nuostabios matematinės sekos nariai. Sėklos išdėstytos dviem spiralių eilėmis, iš kurių viena eina pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš laikrodžio rodyklę. O koks sėklų skaičius kiekvienu atveju? 34 ir 55.

1 užduotis:

Parašykite pirmuosius penkis sekos narius.

1. a n =2 n +1/2 n

ir n =2 n +1/2 n

Užduotis Nr. 2:

Parašykite natūraliųjų skaičių sekos, kuri yra 3 kartotiniai, bendrojo nario formulę.

Atsakymas: 0,3,6,9,12,15,.... 3n ir n =3n

Užduotis Nr. 3:

Parašykite natūraliųjų skaičių sekos bendrojo termino formulę, kurią padalijus iš 4 liekana 1.

Atsakymas:5,9,13,17,21....... 4 n +1 ir n =4n+1

Nr. 19. Funkcija.

Funkcija (žemėlapis, operatorius, transformacija) – matematinė sąvoka, atspindinti ryšį tarp aibių elementų. Galima sakyti, kad funkcija yra „dėsnis“, pagal kurį kiekvienas vienos aibės elementas (vadinamas apibrėžimo sritimi) yra susietas su kokiu nors kitos aibės elementu (vadinamu reikšmių sritimi).

Funkcija yra vieno kintamojo priklausomybė nuo kito. Kitaip tariant, kiekių santykis.

Matematinė funkcijos samprata išreiškia intuityvią idėją, kaip vienas dydis visiškai lemia kito dydžio vertę. Taigi kintamojo x reikšmė vienareikšmiškai apsprendžia išraiškos reikšmę, o mėnesio reikšmė vienareikšmiškai lemia ir sekančio mėnesio reikšmę, bet kurį asmenį galima palyginti su kitu asmeniu – jo tėvu. Panašiai kai kurie iš anksto suplanuoti algoritmai sukuria tam tikrus išvesties duomenis, pagrįstus įvairiais įvesties duomenimis.

Dažnai terminas „funkcija“ reiškia skaitinę funkciją; tai yra funkcija, kuri vienus skaičius suderina su kitais. Šios funkcijos yra patogiai pavaizduotos figūromis grafikų pavidalu.

Galima pateikti kitą apibrėžimą. Funkcija yra specifinė veiksmas per kintamąjį.

Tai reiškia, kad mes paimame reikšmę, atliekame su ja tam tikrą veiksmą (pvz., kvadratu arba apskaičiuojame logaritmą) – ir gauname reikšmę.

Pateikiame dar vieną funkcijos apibrėžimą – tą, kuris dažniausiai randamas vadovėliuose.

Funkcija yra dviejų aibių atitikimas, kai kiekvienas pirmosios rinkinio elementas atitinka vieną ir tik vieną antrojo rinkinio elementą.

Pavyzdžiui, funkcija kiekvienam realiajam skaičiui priskiria dvigubai didesnį skaičių už .

Tam tikros funkcijos elementų aibė, kuri pakeista x, vadinama jos apibrėžimo sritimi, o tam tikros funkcijos elementų aibė – jos reikšmių sritimi.

Termino istorija:

Terminą „funkcija“ (tam tikra siauresne prasme) pirmasis pavartojo Leibnicas (1692). Savo ruožtu Johanas Bernoulli laiške Leibnicui šį terminą vartojo tam tikra prasme, artimesne šiuolaikinei. Iš pradžių funkcijos sąvoka nesiskyrė nuo analitinės reprezentacijos sąvokos. Vėliau pasirodė funkcijos apibrėžimas, kurį pateikė Euleris (1751), vėliau Lacroix (1806) - beveik šiuolaikine forma. Galiausiai bendrą funkcijos apibrėžimą (šiuolaikine forma, bet skaitinėms funkcijoms) pateikė Lobačevskis (1834) ir Dirichlet (1837). Iki XIX amžiaus pabaigos funkcijos samprata peraugo skaitinių sistemų rėmus. Pirmosios tai padarė vektorinės funkcijos, netrukus Frege pristatė logines funkcijas (1879), o atsiradus aibių teorijai Dedekindas (1887) ir Peano (1911) suformulavo šiuolaikinį universalų apibrėžimą.

Nr. 20. Funkcijos nustatymo metodai.

Yra 4 būdai nurodyti funkciją:

1. lentelės Gana įprasta yra nurodyti individualių asmenų lentelę

argumentų reikšmės ir jas atitinkančios funkcijų reikšmės. Šis funkcijos apibrėžimo metodas naudojamas, kai funkcijos apibrėžimo sritis yra diskreti baigtinė aibė.

Patogu, kai f yra baigtinė aibė, bet kai f yra begalinė, nurodomos tik pasirinktos poros (x, y).

Naudojant lentelės metodą, nurodant funkciją, galima apytiksliai apskaičiuoti funkcijos reikšmes, kurių nėra lentelėje, atitinkančias tarpines argumento reikšmes. Norėdami tai padaryti, naudokite interpoliacijos metodą.

Privalumai: tikslumas, greitis, naudojant verčių lentelę lengva rasti norimą funkcijos reikšmę. Lentelinio funkcijos nustatymo metodo pranašumai yra tai, kad jis leidžia iš karto, be papildomų matavimų ar skaičiavimų, nustatyti tam tikras konkrečias reikšmes.

Trūkumai: neužbaigtumas, aiškumo stoka. Kai kuriais atvejais lentelė neapibrėžia funkcijos iki galo, o tik kai kurioms argumento reikšmėms ir nepateikia vaizdinio funkcijos pasikeitimo pobūdžio, atsižvelgiant į argumento pasikeitimą.

2. analitinis(formulės). Dažniausiai ryšį nustatantis įstatymas

argumentas ir funkcija, nurodyti naudojant formules. Šis funkcijos nurodymo metodas vadinamas analitiniu. Tai svarbiausia MA (matematinei analizei), nes MA metodai (diferencialinis, integralinis skaičiavimas) reikalauja šio priskyrimo būdo. Tą pačią funkciją galima nurodyti skirtingomis formulėmis: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Kartais skirtingose ​​jų sričių dalyse apibrėžta funkcija gali būti pateikta skirtingomis formulėmis f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f). Dažnai taikant šį funkcijos nurodymo būdą apibrėžimo sritis nenurodoma, tuomet apibrėžimo sritis suprantama kaip natūrali apibrėžimo sritis, t.y. visų x reikšmių rinkinys, kurio funkcija turi tikrąją reikšmę.

Šis metodas leidžia kiekvienai argumento x skaitinei reikšmei tiksliai arba tam tikru tikslumu rasti atitinkamą skaitinę funkcijos y reikšmę.

Ypatingas analitinio funkcijos nurodymo metodo atvejis yra nurodyti funkciją lygtimi, kurios formos F(x,y)=0 (1) Jei ši lygtis turi savybę, kad ∀ x∈D atitinka vienintelį y, toks F(x,y)=0, tada jie sako, kad D lygtis (1) netiesiogiai apibrėžia funkciją. Kitas specialus funkcijos nurodymo atvejis yra parametrinis, su kiekviena pora ( x,y)∈f nurodyta naudojant porą funkcijų x=ϕ( t),y=ψ( t) Kur t∈M.

Vida y= f(x), x APIE N, Kur N– natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), žymima y=f(n) arba y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Vertybės y 1 ,y 2 ,y 3 ,… vadinami atitinkamai pirmuoju, antruoju, trečiuoju, ... sekos nariais.

Pavyzdžiui, dėl funkcijos y= n 2 galima parašyti:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Sekų nustatymo metodai. Sekas galima nurodyti įvairiais būdais, iš kurių trys yra ypač svarbūs: analitinė, aprašomoji ir pasikartojanti.

1. Seka pateikiama analitiškai, jei pateikta jos formulė n narys:

y n=f(n).

Pavyzdys. y n= 2n – 1 – nelyginių skaičių seka: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Aprašomasis Skaitmeninę seką galima nurodyti paaiškinti, iš kurių elementų seka sudaryta.

1 pavyzdys. „Visi sekos nariai yra lygūs 1“. Tai reiškia, kad mes kalbame apie stacionarią seką 1, 1, 1, …, 1, ….

2 pavyzdys: „Seką sudaro visi pirminiai skaičiai didėjančia tvarka“. Taigi, pateikta seka yra 2, 3, 5, 7, 11, .... Šiame pavyzdyje naudojant tokį sekos nurodymo metodą, sunku atsakyti, kam lygus, tarkime, 1000-asis sekos elementas.

3. Pasikartojantis sekos nurodymo metodas – tai taisyklės, leidžiančios apskaičiuoti, nurodymas n-asis sekos narys, jei žinomi ankstesni jos nariai. Pasikartojančio metodo pavadinimas kilęs iš lotyniško žodžio pasikartojantis- grįžk. Dažniausiai tokiais atvejais nurodoma formulė, leidžianti išreikšti n eilės narį per ankstesnius ir nurodykite 1–2 pradinius sekos narius.

1 pavyzdys. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 jei n = 2, 3, 4,….

Čia y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Matote, kad šiame pavyzdyje gautą seką taip pat galima nurodyti analitiškai: y n= 4n – 1.

2 pavyzdys. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n– 1 jei n = 3, 4,….

Čia: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šiame pavyzdyje pateikta seka ypač tiriama matematikoje, nes ji turi daug įdomių savybių ir pritaikymų. Ji vadinama Fibonačio seka, pavadinta XIII amžiaus italų matematiko vardu. Labai lengva nustatyti Fibonačio seką pakartotinai, bet labai sunku analitiškai. n Fibonačio skaičius išreiškiamas jo serijos numeriu pagal šią formulę.

Iš pirmo žvilgsnio formulė n Fibonačio skaičius atrodo neįtikėtinas, nes formulėje, nurodančioje natūraliųjų skaičių seką, yra tik kvadratinės šaknys, tačiau pirmąsias kelias formules galite patikrinti „rankiniu būdu“ n.

Skaičių sekų savybės.

Skaitinė seka yra ypatingas skaitinės funkcijos atvejis, todėl sekoms taip pat atsižvelgiama į daugybę funkcijų savybių.

Apibrėžimas . Pasekmė ( y n} vadinamas didėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis už ankstesnį:

y 1 m. 2 m 3 m. n n +1

Apibrėžimas.Seka ( y n} vadinamas mažėjančiu, jei kiekvienas jo narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis už ankstesnį:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Didėjančios ir mažėjančios sekos jungiamos pagal bendrą terminą – monotoninės sekos.

1 pavyzdys. y 1 = 1; y n= n 2 – didėjanti seka.

Taigi teisinga sekanti teorema (būdinga aritmetinės progresijos savybė). Skaičių seka yra aritmetinė tada ir tik tada, kai kiekvienas jos narys, išskyrus pirmąjį (ir baigtinės sekos atveju paskutinį), yra lygus ankstesnių ir paskesnių narių aritmetiniam vidurkiui.

Pavyzdys. Kokia verte x skaičiai 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 sudaro baigtinę aritmetinę progresiją?

Pagal būdingą savybę pateiktos išraiškos turi tenkinti santykį

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Išsprendus šią lygtį gaunama x= –5,5. Šia verte x pateiktos išraiškos 3 x + 2, 5x– 4 ir 11 x+ 12 atitinkamai paimkite reikšmes –14,5, –31,5, –48,5. Tai aritmetinė progresija, jos skirtumas yra –17.

Geometrinė progresija.

Skaičių seka, kurios visi nariai yra ne nuliai ir kurių kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q, vadinamas geometrine progresija, o skaičiumi q- geometrinės progresijos vardiklis.

Taigi geometrinė progresija yra skaičių seka ( b n), rekursyviai apibrėžtas ryšiais

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b Ir q – duotus skaičius, b ≠ 0, q ≠ 0).

1 pavyzdys. 2, 6, 18, 54, ... – didėjanti geometrinė progresija b = 2, q = 3.

2 pavyzdys. 2, –2, 2, –2,… – geometrinė progresija b= 2,q= –1.

3 pavyzdys. 8, 8, 8, 8, … – geometrinė progresija b= 8, q= 1.

Geometrinė progresija yra didėjanti seka, jei b 1 > 0, q> 1 ir mažėja, jei b 1 > 0, 0 q

Viena iš akivaizdžių geometrinės progresijos savybių yra ta, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai ir kvadratų seka, t.y.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... yra geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus b 1 2 , o vardiklis yra q 2 .

Formulė n- geometrinės progresijos narys turi formą

b n= b 1 qn – 1 .

Galite gauti baigtinės geometrinės progresijos terminų sumos formulę.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

tegul S n – jos narių suma, t.y.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Tai priimta q Nr 1. Nustatyti S n naudojama dirbtinė technika: atliekamos kai kurios geometrinės išraiškos transformacijos S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Taigi, S n q= S n +b n q – b 1 ir todėl

Tai yra formulė su umma n geometrinės progresijos narių tuo atveju, kai q≠ 1.

At q= 1 formulės nereikia išvesti atskirai, akivaizdu, kad šiuo atveju S n= a 1 n.

Progresija vadinama geometrine, nes kiekvienas joje esantis narys, išskyrus pirmąjį, yra lygus ankstesnių ir vėlesnių terminų geometriniam vidurkiui. Tiesa, nuo

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

vadinasi, b n 2=bn– 1 mlrd + 1 ir ši teorema yra teisinga (būdinga geometrinės progresijos savybė):

skaičių seka yra geometrinė progresija tada ir tik tada, kai kiekvieno jos nario kvadratas, išskyrus pirmąjį (ir paskutinį, jei yra baigtinė seka), yra lygus ankstesnių ir vėlesnių narių sandaugai.

Konsistencijos riba.

Tegul būna seka ( c n} = {1/n}. Ši seka vadinama harmonine, nes kiekvienas jos narys, pradedant nuo antrojo, yra harmoninis vidurkis tarp ankstesnių ir paskesnių terminų. Geometrinis skaičių vidurkis a Ir b yra numeris

Kitu atveju seka vadinama divergentine.

Remiantis šiuo apibrėžimu, galima, pavyzdžiui, įrodyti, kad egzistuoja riba A=0 harmoninei sekai ( c n} = {1/n). Tegu ε yra savavališkai mažas teigiamas skaičius. Atsižvelgiama į skirtumą

Ar toks dalykas egzistuoja? N tai visiems n ≥ N galioja 1 nelygybė /N? Jei priimsime kaip N bet koks natūralusis skaičius, didesnis už 1/ε , tada visiems n ≥ N galioja 1 nelygybė /n ≤ 1/N ε, Q.E.D.

Kartais gali būti labai sunku įrodyti tam tikros sekos ribos buvimą. Dažniausiai pasitaikančios sekos yra gerai ištirtos ir išvardytos žinynuose. Yra svarbių teoremų, leidžiančių daryti išvadą, kad tam tikra seka turi ribą (ir netgi ją apskaičiuoti), remiantis jau ištirtomis sekomis.

1 teorema. Jei seka turi ribą, tai ji yra ribojama.

2 teorema. Jeigu seka monotoniška ir ribojama, tai ji turi ribą.

3 teorema. Jei seka ( a n} turi limitą A, tada sekos ( ca n}, {a n+ c) ir (| a n|} turi ribas cA, A +c, |A| atitinkamai (čia c– savavališkas skaičius).

4 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B pa n + qbn) turi ribą pA+ qB.

5 teorema. Jei sekos ( a n) Ir ( b n) turi ribas, lygias A Ir B atitinkamai, seka ( a n b n) turi ribą AB.

6 teorema. Jei sekos ( a n} Ir ( b n) turi lygias ribas A Ir B atitinkamai ir, be to, b n ≠ 0 ir B≠ 0, tada seka ( a n / b n) turi ribą A/B.

Anna Chugainova