Pamoka ir pristatymas tema: "Skaičių sekos. Geometrinė progresija"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Mokomosios priemonės ir simuliatoriai Integral internetinėje parduotuvėje 9 klasei
Galios ir šaknys Funkcijos ir grafikai

Vaikinai, šiandien mes susipažinsime su kitu progresavimo tipu.
Šios dienos pamokos tema – geometrinė progresija.

Geometrinė progresija

Apibrėžimas. Skaičių seka, kurioje kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesnio ir tam tikro fiksuoto skaičiaus sandaugai, vadinama geometrine progresija.
Apibrėžkime savo seką rekursyviai: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
kur b ir q yra tam tikri duotieji skaičiai. Skaičius q vadinamas progresijos vardikliu.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus vienetui, o $q=2$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus aštuoniems,
ir $q=1$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus trims,
ir $q=-1$.

Geometrinė progresija turi monotoniškumo savybių.
Jei $b_(1)>0$, $q>1$,
tada seka didėja.
Jei $b_(1)>0$, $0 Seka dažniausiai žymima tokia forma: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Kaip ir aritmetinėje progresijoje, jei geometrinėje progresijoje elementų skaičius yra baigtinis, progresija vadinama baigtine geometrine progresija.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Atkreipkite dėmesį, kad jei seka yra geometrinė progresija, tai terminų kvadratų seka taip pat yra geometrinė progresija. Antroje sekoje pirmasis narys yra lygus $b_(1)^2$, o vardiklis lygus $q^2$.

Geometrinės progresijos n-ojo nario formulė

Geometrinė progresija taip pat gali būti nurodyta analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Lengvai pastebime šabloną: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Mūsų formulė vadinama „geometrinės progresijos n-ojo nario formule“.

Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.

Pavyzdys. 1,2,4,8,16... Geometrinė progresija, kurioje pirmasis narys yra lygus vienetui,
ir $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

Pavyzdys. 16,8,4,2,1,1/2… Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra lygus šešiolikai ir $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

Pavyzdys. 8,8,8,8... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus aštuoniems, o $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

Pavyzdys. 3,-3,3,-3,3... Geometrinė progresija, kurios pirmasis narys lygus trims, o $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

Pavyzdys. Duota geometrinė progresija $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
a) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=3$. Raskite $b_(5)$.
b) Yra žinoma, kad $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Rasti n.
c) Yra žinoma, kad $q=-2, b_(6)=96$. Raskite $b_(1)$.
d) Yra žinoma, kad $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Rasti q.

Sprendimas.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, nes $2^7=128 => n-1=7; n = 8 USD.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinės progresijos narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresijos narių suma yra 192. Raskite dešimtąjį šios progresijos narį.

Sprendimas.
Žinome, kad: $b_(7)-b_(5)=192$ ir $b_(5)+b_(6)=192$.
Taip pat žinome: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Tada:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Gavome lygčių sistemą:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Sulyginę lygtis, gauname:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Gavome du sprendinius q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Iš eilės pakeiskite antrąją lygtį:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ sprendimų nėra.
Gavome: $b_(1)=4, q=2$.
Raskime dešimtąjį terminą: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Baigtinės geometrinės progresijos suma

Turėkime baigtinę geometrinę progresiją. Kaip ir aritmetinei progresijai, apskaičiuokime jos narių sumą.

Tegu pateikta baigtinė geometrinė progresija: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Įveskime jos narių sumos pavadinimą: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Tuo atveju, kai $q=1$. Visi geometrinės progresijos nariai lygūs pirmajam nariui, tada akivaizdu, kad $S_(n)=n*b_(1)$.
Dabar panagrinėkime atvejį $q≠1$.
Aukščiau nurodytą sumą padauginkime iš q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Pastaba:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Gavome baigtinės geometrinės progresijos sumos formulę.

Pavyzdys.
Raskite geometrinės progresijos, kurios pirmasis narys yra 4, o vardiklis yra 3, pirmųjų septynių narių sumą.

Sprendimas.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

Pavyzdys.
Raskite penktąjį žinomos geometrinės progresijos narį: $b_(1)=-3$; $b_(n) = -3072 $; $S_(n) = -4095 $.

Sprendimas.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
-4095 USD(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
-4095 USD(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
341 USD = 1364 USD.
$q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Būdinga geometrinės progresijos savybė

Vaikinai, pateikta geometrinė progresija. Pažvelkime į tris iš eilės einančius narius: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Mes žinome, kad:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Tada:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Jei progresija yra baigtinė, tai ši lygybė galioja visoms sąlygoms, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį.
Jei iš anksto nežinoma, kokios formos seka, bet žinoma, kad: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Tada galime drąsiai teigti, kad tai geometrinė progresija.

Skaičių seka yra geometrinė progresija tik tada, kai kiekvieno nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresijos narių sandaugai. Nepamirškite, kad baigtinei progresijai ši sąlyga netenkinama pirmajai ir paskutinei kadencijoms.

Pažiūrėkime į šią tapatybę: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ vadinamas geometriniu skaičių a ir b vidurkiu.

Bet kurio geometrinės progresijos nario modulis yra lygus dviejų gretimų jo narių geometriniam vidurkiui.

Pavyzdys.
Raskite x tokį, kad $x+2; 2x+2; 3x+3$ buvo trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Sprendimas.
Naudokime būdingą savybę:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ ir $x_(2)=-1$.
Paeiliui pakeisime savo sprendimus pradine išraiška:
Kai $x=2$, gavome seką: 4;6;9 – geometrinė progresija su $q=1.5$.
Jei $x=-1$, gauname seką: 1;0;0.
Atsakymas: $x=2.$

Problemos, kurias reikia spręsti savarankiškai

1. Raskite aštuntą pirmąjį geometrinės progresijos narį 16;-8;4;-2….
2. Raskite geometrinės progresijos 11,22,44… dešimtąjį narį.
3. Yra žinoma, kad $b_(1)=5, q=3$. Raskite $b_(7)$.
4. Yra žinoma, kad $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Rasti n.
5. Raskite geometrinės progresijos 3;12;48… pirmųjų 11 narių sumą.
6. Raskite x tokį, kad $3x+4; 2x+4; x+5$ yra trys iš eilės geometrinės progresijos nariai.

Matematika yra kasžmonės valdo gamtą ir save.

Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorovas

Geometrinė progresija.

Be aritmetinės progresijos problemų, matematikos stojamuosiuose egzaminuose taip pat dažnai pasitaiko problemų, susijusių su geometrinės progresijos samprata. Norint sėkmingai išspręsti tokias problemas, reikia žinoti geometrinių progresijų ypatybes ir turėti gerus jų naudojimo įgūdžius.

Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresijos savybių pristatymui. Čia taip pat pateikiami tipinių problemų sprendimo pavyzdžiai., pasiskolintas iš matematikos stojamųjų egzaminų užduočių.

Pirmiausia atkreipkime dėmesį į pagrindines geometrinės progresijos savybes ir prisiminkime svarbiausias formules ir teiginius, susijusi su šia sąvoka.

Apibrėžimas. Skaičių seka vadinama geometrine progresija, jei kiekvienas skaičius, pradedant nuo antrojo, yra lygus ankstesniajam, padaugintam iš to paties skaičiaus. Skaičius vadinamas geometrinės progresijos vardikliu.

Geometrinei progresijaiformulės galioja

, (1)

Kur. Formulė (1) vadinama geometrinės progresijos bendrojo nario formule, o (2) formulė parodo pagrindinę geometrinės progresijos savybę: kiekvienas progresijos narys sutampa su gretimų narių ir geometriniu vidurkiu.

Pastaba, kad kaip tik dėl šios savybės nagrinėjama progresija vadinama „geometrine“.

Pirmiau pateiktos (1) ir (2) formulės apibendrinamos taip:

, (3)

Norėdami apskaičiuoti sumą pirma geometrinės progresijos terminaitaikoma formulė

Jei žymėsime , tai

Kur. Kadangi , (6) formulė yra (5) formulės apibendrinimas.

Tuo atveju, kai ir geometrinė progresijabe galo mažėja. Norėdami apskaičiuoti sumąvisų be galo mažėjančios geometrinės progresijos narių naudojama formulė

. (7)

Pavyzdžiui, naudodami (7) formulę galime parodyti, Ką

Kur. Šios lygybės gaunamos iš (7) formulės su sąlyga, kad , (pirmoji lygybė) ir , (antroji lygybė).

Teorema. Jei, tada

Įrodymas. Jei, tada

Teorema įrodyta.

Pereikime prie problemų sprendimo pavyzdžių tema „Geometrinė progresija“.

1 pavyzdys. Atsižvelgiant: , ir . Rasti.

Sprendimas. Jei pritaikysime (5) formulę, tai

Atsakymas:.

2 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.

Sprendimas. Kadangi ir , naudojame formules (5), (6) ir gauname lygčių sistemą

Jeigu antroji sistemos (9) lygtis dalinama iš pirmosios, tada arba . Iš to išplaukia, kad . Panagrinėkime du atvejus.

1. Jei tada iš pirmosios sistemos (9) lygties turime.

2. Jei , tada .

3 pavyzdys. Tegul , ir . Rasti.

Sprendimas. Iš (2) formulės išplaukia, kad arba . Nuo tada arba .

Pagal būklę. Tačiau todėl. Nuo ir tada čia turime lygčių sistemą

Jei antroji sistemos lygtis yra padalinta iš pirmosios, tada arba .

Kadangi lygtis turi unikalią tinkamą šaknį. Šiuo atveju tai išplaukia iš pirmosios sistemos lygties.

Atsižvelgdami į (7) formulę, gauname.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Duota: ir . Rasti.

Sprendimas. Nuo tada.

Nuo tada arba

Pagal (2) formulę turime . Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) gauname arba .

Tačiau pagal sąlygą, todėl.

5 pavyzdys. Yra žinoma, kad. Rasti.

Sprendimas. Pagal teoremą turime dvi lygybes

Nuo tada arba . Nes tada.

Atsakymas:.

6 pavyzdys. Duota: ir . Rasti.

Sprendimas. Atsižvelgdami į (5) formulę, gauname

Nuo tada. Nuo , ir tada .

7 pavyzdys. Tegul būna. Rasti.

Sprendimas. Pagal (1) formulę galime rašyti

Todėl turime arba . Yra žinoma, kad ir , todėl ir .

Atsakymas:.

8 pavyzdys. Raskite begalinės mažėjančios geometrinės progresijos vardiklį, jei

Ir .

Sprendimas. Iš (7) formulės išplaukia Ir . Iš čia ir iš uždavinio sąlygų gauname lygčių sistemą

Jei pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė, o tada gautą lygtį padalinkite iš antrosios lygties, tada gauname

Arba .

Atsakymas:.

9 pavyzdys. Raskite visas reikšmes, kurių seka , , yra geometrinė progresija.

Sprendimas. Leiskite , ir . Pagal (2) formulę, kuri apibrėžia pagrindinę geometrinės progresijos savybę, galime parašyti arba .

Iš čia gauname kvadratinę lygtį, kurių šaknys yra Ir .

Patikrinkime: jei, tada , ir ;

jei , tada ir . Pirmuoju atveju turime

ir , o antrajame – ir .

Atsakymas: ,.10 pavyzdys.

, (11)

Išspręskite lygtį

kur ir.

Iš (7) formulės išplaukia, Ką Sprendimas. Kairėje lygties pusėje (11) yra begalinės mažėjančios geometrinės progresijos suma, kurioje ir , atsižvelgiant į: ir .. Šiuo atžvilgiu (11) lygtis įgauna formą arba . Tinkama šaknis

Atsakymas:.

kvadratinė lygtis yra 11 pavyzdys. Pteigiamų skaičių seka sudaro aritmetinę progresiją , A– geometrinė progresija

Sprendimas., ir čia. Rasti. Nes, Tai (pagrindinė aritmetinės progresijos savybė). Nes, tada arba . Iš to išplaukia, kad geometrinė progresija turi formą. Pagal (2) formulę, tada mes tai užrašome.

Nuo ir tada . Šiuo atveju išraiškaįgauna formą arba . Pagal būklę, taigi iš lygties.gauname unikalų nagrinėjamos problemos sprendimą, t.y. .

Atsakymas:.

12 pavyzdys. Apskaičiuokite sumą

. (12)

Sprendimas. Abi lygybės (12) puses padauginkite iš 5 ir gaukite

Jei iš gautos išraiškos atimsime (12)., Tai

arba .

Norėdami apskaičiuoti, reikšmes pakeičiame formule (7) ir gauname . Nuo tada.

Atsakymas:.

Čia pateikti problemų sprendimo pavyzdžiai pravers stojantiesiems ruošiantis stojamiesiems egzaminams. Gilesniam problemų sprendimo metodų tyrimui, susijusi su geometrine progresija, Galite naudoti vadovėlius iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.

1. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į kolegijas / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematika aukštųjų mokyklų studentams: papildomos mokyklos programos dalys. – M.: Lenandas / URSS, 2014. – 216 p.

3. Medynsky M.M. Pilnas elementarios matematikos kursas uždaviniuose ir pratybose. 2 knyga: skaičių sekos ir progresas. – M.: Editus, 2015. – 208 p.

Vis dar turite klausimų?

Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Instrukcijos

10, 30, 90, 270...

Turite rasti geometrinės progresijos vardiklį.
Sprendimas:

1 variantas. Paimkime savavališką progresijos narį (pavyzdžiui, 90) ir padalinkime jį iš ankstesnio (30): 90/30=3.

Jei žinoma kelių geometrinės progresijos narių suma arba visų mažėjančios geometrinės progresijos narių suma, tada progresijos vardikliui rasti naudokite atitinkamas formules:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kur Sn yra pirmųjų n geometrinės progresijos narių suma ir
S = b1/(1-q), kur S yra be galo mažėjančios geometrinės progresijos suma (visų progresijos narių, kurių vardiklis mažesnis už vieną, suma).
Pavyzdys.

Mažėjančios geometrinės progresijos pirmasis narys lygus vienetui, o visų jos narių suma lygi dviem.

Būtina nustatyti šios progresijos vardiklį.
Sprendimas:

Pakeiskite duomenis iš uždavinio į formulę. Tai paaiškės:
2=1/(1-q), iš kur – q=1/2.

Progresija yra skaičių seka. Geometrinėje progresijoje kiekvienas paskesnis narys gaunamas padauginus ankstesnįjį iš tam tikro skaičiaus q, vadinamo progresijos vardikliu.

Instrukcijos

Jei žinomi du gretimi geometriniai terminai b(n+1) ir b(n), norint gauti vardiklį, skaičių su didesniu reikia padalyti iš prieš jį esančio: q=b(n+1)/b (n). Tai išplaukia iš progresijos apibrėžimo ir jo vardiklio. Svarbi sąlyga yra ta, kad progresijos pirmasis narys ir vardiklis nėra lygūs nuliui, kitaip jis laikomas neapibrėžtu.

Taigi tarp progresijos narių nustatomi tokie ryšiai: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Naudojant formulę b(n)=b1 q^(n-1), galima apskaičiuoti bet kurį geometrinės progresijos narį, kuriame žinomas vardiklis q ir terminas b1. Be to, kiekviena progresija pagal modulį yra lygi gretimų narių vidurkiui: |b(n)|=√, kur progresija gavo savo .

Geometrinės progresijos analogas yra paprasčiausia eksponentinė funkcija y=a^x, kur x – eksponentas, a – tam tikras skaičius. Šiuo atveju progresijos vardiklis sutampa su pirmuoju nariu ir yra lygus skaičiui a. Funkcijos y reikšmė gali būti suprantama kaip n-asis progresijos narys, jei argumentas x laikomas natūraliuoju skaičiumi n (skaitiklis).

Egzistuoja geometrinės progresijos pirmųjų n narių sumai: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ši formulė galioja q≠1. Jei q=1, tai pirmųjų n narių suma apskaičiuojama pagal formulę S(n)=n b1. Beje, progresija bus vadinama didėjančia, kai q yra didesnis už vienetą ir b1 yra teigiamas. Jei progresijos vardiklis absoliučia verte neviršija vieneto, progresija bus vadinama mažėjančia.

Ypatingas geometrinės progresijos atvejis yra be galo mažėjanti geometrinė progresija (be galo mažėjanti geometrinė progresija). Faktas yra tas, kad mažėjančios geometrinės progresijos sąlygos vėl ir vėl mažės, bet niekada nepasieks nulio. Nepaisant to, galima rasti visų tokios progresijos terminų sumą. Jis nustatomas pagal formulę S=b1/(1-q). Bendras terminų skaičius n yra begalinis.

Norėdami įsivaizduoti, kaip galite pridėti begalinį skaičių skaičių, negaudami begalybės, iškepkite pyragą. Nupjaukite pusę jo. Tada nupjaukite 1/2 pusę ir pan. Dalys, kurias gausite, yra ne kas kita, kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos, kurios vardiklis yra 1/2, nariai. Jei sudėsite visus šiuos gabalus, gausite originalų pyragą.

Geometrijos problemos yra ypatingas pratimų tipas, reikalaujantis erdvinio mąstymo. Jei negalite išspręsti geometrijos užduotis, pabandykite laikytis toliau pateiktų taisyklių.

Instrukcijos

Labai atidžiai perskaitykite užduoties sąlygas, jei ko nors neprisimenate ar nesuprantate, perskaitykite dar kartą.

Pabandykite nustatyti, kokio tipo geometrinės problemos tai yra, pavyzdžiui: skaičiavimo uždaviniai, kai reikia išsiaiškinti kokią nors reikšmę, problemos, susijusios su , reikalaujančios loginės samprotavimo grandinės, problemos, susijusios su konstravimu naudojant kompasą ir liniuotę. Daugiau mišraus tipo užduočių. Kai išsiaiškinsite problemos tipą, pabandykite mąstyti logiškai.

Taikykite reikiamą teoremą duotai užduočiai, bet jei abejojate arba visai nėra pasirinkimų, pabandykite prisiminti teoriją, kurią studijavote atitinkama tema.

Taip pat užrašykite problemos sprendimą juodraščio formoje. Pabandykite naudoti žinomus metodus, kad patikrintumėte savo sprendimo teisingumą.

Atidžiai užpildykite problemos sprendimą savo sąsiuvinyje, neištrindami ir neperbraukdami, o svarbiausia – gali prireikti laiko ir pastangų išspręsti pirmąsias geometrines užduotis. Tačiau kai tik įvaldysite šį procesą, pradėsite spustelėti tokias užduotis kaip riešutai ir tuo mėgautis!

Geometrinė progresija yra tokia skaičių seka b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), kad b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Kitaip tariant, kiekvienas progresijos narys gaunamas iš ankstesnio, padauginus jį iš kokio nors progresijos q vardiklio, kuris nėra nulis.

Instrukcijos

Progresavimo problemos dažniausiai sprendžiamos sudarant ir po to sekant sistemą, atsižvelgiant į pirmąjį progresijos narį b1 ir progresijos vardiklį q. Norint sukurti lygtis, naudinga atsiminti kai kurias formules.

Kaip išreikšti n-ąjį progresijos narį per pirmąjį progresijos narį ir progresijos vardiklį: b(n)=b1*q^(n-1).

Atskirai panagrinėkime atvejį |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Geometrinė progresija ne mažiau svarbi matematika, palyginti su aritmetika. Geometrinė progresija – tai skaičių seka b1, b2,..., b[n], kurios kiekvienas kitas narys gaunamas ankstesnįjį padauginus iš pastovaus skaičiaus. Šis skaičius, kuris taip pat apibūdina augimo ar progresavimo greitį, vadinamas geometrinės progresijos vardiklis ir žymėti

Norint visiškai nurodyti geometrinę progresiją, be vardiklio, būtina žinoti arba nustatyti pirmąjį jos narį. Teigiamai vardiklio reikšmei progresija yra monotoniška seka, o jei ši skaičių seka monotoniškai mažėja ir jei monotoniškai didėja. Atvejis, kai vardiklis lygus vienetui, praktiškai nenagrinėjamas, nes turime identiškų skaičių seką, o jų sumavimas praktiškai neįdomus

Bendrasis geometrinės progresijos terminas apskaičiuojamas pagal formulę

Geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma nustatoma pagal formulę

Pažvelkime į klasikinės geometrinės progresijos uždavinių sprendimus. Pradėkime nuo paprasčiausių, kuriuos reikia suprasti.

1 pavyzdys. Pirmasis geometrinės progresijos narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite pirmuosius šešis geometrinės progresijos narius.

Sprendimas: Parašykime problemos sąlygą formoje

Skaičiavimams naudojame geometrinės progresijos n-ojo nario formulę

Remdamiesi juo, randame nežinomus progresavimo terminus

Kaip matote, apskaičiuoti geometrinės progresijos sąlygas nėra sunku. Pati progresija atrodys taip

2 pavyzdys. Pateikti pirmieji trys geometrinės progresijos nariai: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir jo septintą narį.

Sprendimas: Geomitrinės progresijos vardiklį apskaičiuojame pagal jo apibrėžimą

Gavome kintamąją geometrinę progresiją, kurios vardiklis lygus -2. Septintasis narys apskaičiuojamas pagal formulę

Tai išsprendžia problemą.

3 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama dviem jos nariais . Raskite dešimtąjį progresijos narį.

Sprendimas:

Parašykime pateiktas reikšmes naudodami formules

Pagal taisykles turėtume rasti vardiklį ir tada ieškoti norimos reikšmės, tačiau dešimtam kadencijai turime

Tą pačią formulę galima gauti naudojant paprastas manipuliacijas su įvesties duomenimis. Šeštą serijos terminą padalinkite iš kito ir gausime

Jei gautą reikšmę padauginame iš šeštojo nario, gauname dešimtą

Taigi tokioms problemoms, greitai naudodami paprastas transformacijas, galite rasti tinkamą sprendimą.

4 pavyzdys. Geometrinė progresija pateikiama pasikartojančiomis formulėmis

Raskite geometrinės progresijos vardiklį ir pirmųjų šešių narių sumą.

Sprendimas:

Pateiktus duomenis užrašykime lygčių sistemos forma

Išreikškite vardiklį, padalydami antrąją lygtį iš pirmosios

Raskime pirmąjį progresijos narį iš pirmosios lygties

Apskaičiuokime šiuos penkis terminus, kad surastume geometrinės progresijos sumą