Главная Теплоснабжение и вентиляция Как решить линейную функцию с дробью. Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике

Как решить линейную функцию с дробью. Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике

В данном уроке мы рассмотрим дробно-линейную функцию, решим задачи с использованием дробно-линейной функции, модуля, параметра.

Тема: Повторение

Урок: Дробно-линейная функция

1. Понятие и график дробно-линейной функции

Определение:

Дробно-линейной называется функция вида:

Например:

Докажем, что графиком данной дробно-линейной функции является гипербола.

Вынесем в числителе двойку за скобки, получим:

Имеем х и в числителе, и в знаменателе. Теперь преобразуем так, чтобы в числителе появилось выражение :

Теперь почленно сократим дробь:

Очевидно, что графиком данной функции является гипербола.

Можно предложить второй способ доказательства, а именно разделить в столбик числитель на знаменатель:

Получили:

2. Построение эскиза графика дробно-линейной функции

Важно уметь легко строить график дробно-линейной функции, в частности находить центр симметрии гиперболы. Решим задачу.

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Мы уже преобразовали данную функцию и получили:

Для построения данного графика мы не будем сдвигать оси или саму гиперболу. Мы используем стандартный метод построения графиков функции, использующий наличие интервалов знакопостоянства.

Действуем согласно алгоритму. Сначала исследуем заданную функцию.

Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства: на крайнем правом () функция имеет знак плюс, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень. Так, на интервале функция отрицательна, на интервале функция положительна.

Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится тройке, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т. е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту и вертикальную , центр гиперболы точка (3;2). Проиллюстрируем:

Рис. 1. График гиперболы к примеру 1

3. Дробно линейная функция с модулем, ее график

Задачи с дробно-линейной функцией могут быть осложнены наличием модуля или параметра. Чтобы построить, например, график функции , необходимо следовать следующему алгоритму:

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму

В полученном графике есть ветви, которые находятся над осью х и под осью х.

1. Наложить заданный модуль. При этом части графика, находящиеся над осью х, остаются без изменений, а те, которые находятся под осью - зеркально отображаются относительно оси х. Получим:

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму

Пример 2 - построить график функции:

Рис. 4. График функции к примеру 2

4. Решение дробно-линейного уравнения с параметром

Рассмотрим следующую задачу - построить график функции . Для этого необходимо следовать следующему алгоритму:

1. Построить график подмодульной функции

Предположим, получен следующий график:

Рис. 5. Иллюстрация к алгоритму

1. Наложить заданный модуль. Чтобы понять, как это сделать, раскроем модуль.

Таким образом, для значений функции при неотрицательных значениях аргумента изменений не произойдет. Касательно второго уравнения мы знаем, что оно получается путем симметричного отображения относительно оси у. имеем график функции:

Рис. 6. Иллюстрация к алгоритму

Пример 3 - построить график функции:

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Рис. 7. График функции к примеру 3

Пример 4 - найти число корней уравнения с параметром:

Напомним, что решить уравнение с параметром означает перебрать все значения параметра и для каждого из них указать ответ. Действуем согласно методике. Сначала строим график функции, это мы уже сделали в предыдущем примере (см. рисунок 7). Далее необходимо рассечь график семейством прямых при различных а, найти точки пересечения и выписать ответ.

Глядя на график, выписываем ответ: при и уравнение имеет два решения; при уравнение имеет одно решение; при уравнение не имеет решений.

Функция у = и её график.

ЦЕЛИ:

1) ввести определение функции у = ;

2) научить строить график функции у = , используя программу Agrapher;

3) сформировать умение строить эскизы графиков функции у = , используя свойства преобразования графиков функций;

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

У: Рассмотрим функции, заданные формулами у = ; у = ; у = .

Что представляют собой выражения, записанные в правых частях этих формул?

Д: Правые части этих формул имеют вид рациональной дроби, у которой числитель-двучлен первой степени или число, отличное от нуля, а знаменатель-двучлен первой степени.

У: Такие функции принято задавать формулой вида

Рассмотрите случаи когда а) с = 0 или в) = .

(Если во втором случае учащиеся будут испытывать затруднения, то нужно попросить их выра зить с из заданной пропорции и затем подставить полученное выражение в формулу (1)).

Д1: Если с = 0, то у = х + в – линейная функция.

Д2: Если = , то с = . Подставив значение с в формулу (1) получим:

То есть у = - линейная функция.

У: Функция, которую можно задать формулой вида у =, где буквой х обозначена незави-

симая переменная, а буквами а, в, с и d – произвольные числа, причём с0 и аd – вс 0, называется дробно-линейной функцией.

Покажем, что графиком дробно-линейной функции является гипербола.

Пример 1. Построим график функции у = . Выделим из дроби целую часть.

Имеем: = = = 1 + .

График функции у = +1 можно получить из графика функции у = с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Х и сдвига на 1 единицу вверх в направлении оси У. При этих сдвигах переместятся асимптоты гиперболы у = : прямая х = 0 (т. е. ось У) – на 2 единицы вправо, а прямая у = 0 (т. е. ось Х) – на одну единицу вверх. Прежде чем строить график, проведём на координатной плоскости пунктиром асимптоты: прямые х = 2 и у = 1 (рис. 1а). Учитывая, что гипербола состоит из двух ветвей, для построения каждой из них составим, используя программу Agrapher, две таблицы: одну для х>2, а другую для х<2.

х	1	0	-1	-2	-4	-10
у	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
х	3	4	5	6	8	12
у	7	4	3	2,5	2	1,6

Отметим (с помощью программы Agrapher) в координатной плоскости точки, координаты которых записаны в первой таблице, и соединим их плавной непрерывной линией. Получим одну ветвь гиперболы. Аналогично, воспользовавшись второй таблицей, получим вторую ветвь гиперболы (рис. 1б).

Пример 2. Построим график функции у = -.Выделим из дроби целую часть, разделив двучлен 2х + 10 на двучлен х + 3. Получим = 2 + . Следовательно, у = --2.

График функции у = --2 можно получить из графика функции у = - с помощью двух параллельных переносов: сдвига на 3 единицы влево и сдвига на 2 единицы вниз. Асимптоты гиперболы – прямые х = -3 и у = -2. Составим (с помощью программы Agrapher) таблицы для х<-3 и для х>-3.

х	-2	-1	1	2	7
у	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
х	-4	-5	-7	-8	-11
у	2	0	-1	-1,2	-1,5

Построив (с помощью программы Agrapher) точки в координатной плоскости и проведя через них ветви гиперболы, получим график функции у = - (рис. 2).

У: Что является графиком дробно-линейной функции?

Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола.

У: Как построить график дробно-линейной функции?

Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (-. Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой.

У: Какова область определения дробно-линейной функции?

У: Какова область значений дробно-линейной функции?

Д: Е(у) = .

У: Есть ли у функции нули?

Д: Если х = 0, то f(0) = , d. То есть у функции есть нули – точка А.

У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х?

Д: Если у = 0, то х = -. Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет.

У: Функция убывает на промежутках всей области определения, если bc-ad > 0 и возрастает на промежутках всей области определения, если bc-ad < 0. Но это немонотонная функция.

У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции?

Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции?

Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = -; а горизонтальной асимптотой – прямая y = .

(Все обобщающие выводы-определения и свойства дробно-линейной функции учащиеся записывают в тетрадь)

II. Закрепление.

При построении и “чтении” графиков дробно-линейных функций применяются свойства программы Agrapher

III. Обучающая самостоятельная работа.

Найдите центр гиперболы, асимптоты и постройте график функции:

а) у = б) у = в) у = ; г) у = ; д) у = ; е) у = ;

ж) у = з) у = -

Каждый учащийся работает в своём темпе. При необходимости учитель оказывает помощь, задавая вопросы, ответы на которые помогут ученику правильно выполнить задание.

Лабораторно-практическая работа по исследованию свойств функций у = и у = и особенностей графиков этих функций.

ЦЕЛИ: 1) продолжить формирование умений строить графики функций у = и у = , используя программу Agrapher;

2) закрепить навыки “чтения графиков” функций и способностей “предсказывать” изменения графиков при различных преобразованиях дробно – линейных функций.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

Каждому учащемуся выдаётся карточка – распечатка c заданиями. Все построения выполняются с помощью программы Agrapher. Результаты выполнения каждого задания обсуждаются сразу же.

Каждый ученик с помощью самоконтроля может скорректировать результаты, полученные при выполнении задания и попросить помощи у учителя или ученика – консультанта.

Найдите значение аргумента Х, при котором f(x) =6 ; f(x) =-2.5.

3. Постройте график функции у = Определите, принадлежит ли графику данной функции точка: а) А(20;0.5); б) В(-30;-); в) С(-4;2.5); г) Д(25;0,4)?

4. Постройте график функции у = Найдите промежутки в которых у>0 и в которых у<0.

5. Постройте график функции у = . Найдите область определения и область значений функции.

6. Укажите асимптоты гиперболы – графика функции у = -. Выполните построение графика.

7. Постройте график функции у = . Найдите нули функции.

II.Лабораторно-практическая работа.

Каждому ученику выдаются 2 карточки: карточка №1 “Инструкция” с планом, по которому выполняется работа, и текстом с заданием и карточка №2 “Результаты исследования функции ”.

Постройте график указанной функции.
Найдите область определения функции.
Найдите область значения функции.
Укажите асимптоты гиперболы.
Найдите нули функции (f(x) = 0).
Найдите точку пересечения гиперболы с осью Х (у = 0).

7. Найдите промежутки в которых: а) у<0; б) y>0.

8. Укажите промежутки возрастания (убывания) функции.

I вариант.

Постройте, используя программу Agrapher, график функции и исследуйте ей свойства:

а) у = б) у = - в) у = г) у = д) у = е) у = . -5-

Тема: Повторение

Урок: Дробно-линейная функция

Определение:

Дробно-линейной называется функция вида:

Например:

Докажем, что графиком данной дробно-линейной функции является гипербола.

Вынесем в числителе двойку за скобки, получим:

Имеем х и в числителе, и в знаменателе. Теперь преобразуем так, чтобы в числителе появилось выражение :

Теперь почленно сократим дробь:

Очевидно, что графиком данной функции является гипербола.

Можно предложить второй способ доказательства, а именно разделить в столбик числитель на знаменатель:

Получили:

Пример 1 - построить эскиз графика функции:

Мы уже преобразовали данную функцию и получили:

Действуем согласно алгоритму. Сначала исследуем заданную функцию.

Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:

Таким образом, имеем горизонтальную асимптоту и вертикальную , центр гиперболы точка (3;2). Проиллюстрируем:

Рис. 1. График гиперболы к примеру 1

Рис. 2. Иллюстрация к алгоритму

В полученном графике есть ветви, которые находятся над осью х и под осью х.

Рис. 3. Иллюстрация к алгоритму

Пример 2 - построить график функции:

Рис. 4. График функции к примеру 2

1. Построить график подмодульной функции

Предположим, получен следующий график:

Рис. 5. Иллюстрация к алгоритму

1. Наложить заданный модуль. Чтобы понять, как это сделать, раскроем модуль.

Рис. 6. Иллюстрация к алгоритму

Пример 3 - построить график функции:

Согласно алгоритму, сначала нужно построить график подмодульной функции, мы его уже построили (см. рисунок 1)

Рис. 7. График функции к примеру 3

Пример 4 - найти число корней уравнения с параметром:

ax + b
Дробно-линейная функция – это функция вида y = --- ,
cx + d

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

Свойства дробно-линейной функции:

Графиком дробно-линейной функции является гипербола, которую можно получить из гиперболы y = k/x с помощью параллельных переносов вдоль координатных осей. Для этого формулу дробно-линейной функции надо представить в следующем виде:

k
y = n + ---
x – m

где n – количество единиц, на которое гипербола смещается вправо или влево, m – количество единиц, на которое гипербола смещается вверх или вниз. При этом асимптоты гиперболы сдвигаются в прямые x = m, y = n.

Асимптота – это прямая, к которой приближаются точки кривой по мере их удаления в бесконечность (см.рисунок ниже).

Что касается параллельных переносов – см.предыдущие разделы.

Пример 1. Найдем асимптоты гиперболы и построим график функции:

x + 8
y = ---
x – 2

Решение:

k
Представим дробь в виде n + ---
x – m

Для этого x + 8 запишем в следующем виде: x – 2 + 10 (т.е. 8 представили в виде –2 + 10).

x + 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2

Почему выражение приняло такой вид? Ответ простой: произведите сложение (приведя оба слагаемых к общему знаменателю), и вы вернетесь к предыдущему выражению. То есть это результат преобразования заданного выражения.

Итак, мы получили все необходимые значения:

k = 10, m = 2, n = 1.

Таким образом, мы нашли асимптоты нашей гиперболы (исходя из того, что x = m, y = n):

То есть одна асимптота гиперболы проходит параллельно оси y на расстоянии 2 единиц справа от нее, а вторая асимптота проходит параллельно оси x на расстоянии 1 единицы выше ее.

Построим график данной функции. Для этого сделаем следующее:

1) проведем в координатной плоскости пунктиром асимптоты – прямую x = 2 и прямую y = 1.

2) так как гипербола состоит из двух ветвей, то для построения этих ветвей составим две таблицы: одну для x<2, другую для x>2.

Сначала подберем значения x для первого варианта (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Выбираем произвольно другие значения x (например, -2, -1, 0 и 1). Вычисляем соответствующие значения y . Результаты всех полученных вычислений вписываем в таблицу:

Теперь составим таблицу для варианта x>2:

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Строительный портал. Оттачиваем мастерство

Как решить линейную функцию с дробью. Построение графиков функций одна из интереснейших тем в школьной математике

1. Понятие и график дробно-линейной функции

2. Построение эскиза графика дробно-линейной функции

3. Дробно линейная функция с модулем, ее график

4. Решение дробно-линейного уравнения с параметром

I. Новый материал – развёрнутая беседа.

II. Закрепление.

III. Обучающая самостоятельная работа.

I. Дифференцированное повторение свойств дробно–линейной функции.

II.Лабораторно-практическая работа.