x რიცხვის კვადრატული ფესვი არის რიცხვი a, რომელიც თავისთავად გამრავლებისას იძლევა x რიცხვს: a * a = a^2 = x, ?x = a. როგორც ნებისმიერ რიცხვში, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრება და გამოკლების არითმეტიკული მოქმედებები კვადრატული ფესვებით.

ინსტრუქციები

1. ჯერ კვადრატული ფესვების დამატებისას შეეცადეთ ამოიღოთ ეს ფესვები. ეს მისაღები იქნება, თუ რიცხვები ძირის ნიშნის ქვეშ არის სრულყოფილი კვადრატები. ვთქვათ, მოცემული გამოხატულებაა ?4 + ?9. პირველი რიცხვი 4 არის 2 რიცხვის კვადრატი. მეორე რიცხვი 9 არის 3 რიცხვის კვადრატი. ამრიგად გამოდის, რომ: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. თუ ძირის ნიშნის ქვეშ სრული კვადრატები არ არის, მაშინ სცადეთ რიცხვის მულტიპლიკატორის გადატანა ძირის ნიშნის ქვეშ. ვთქვათ, ვთქვათ, გამოთქმა მოცემულია?24 +?54. აკრიფეთ რიცხვები: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. რიცხვ 24-ს აქვს 4-ის კოეფიციენტი, რომელიც შეიძლება გადავიდეს კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ. რიცხვ 54-ს აქვს კოეფიციენტი 9. ამრიგად, გამოდის, რომ: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . ამ მაგალითში მულტიპლიკატორის ძირის ნიშნის ქვეშ მოხსნის შედეგად შესაძლებელი გახდა მოცემული გამოხატვის გამარტივება.

3. 2 კვადრატული ფესვის ჯამი იყოს წილადის მნიშვნელი, ვთქვათ, A / (?a + ?b). და დაე, თქვენი ამოცანა იყოს "აღმოხსნათ ირაციონალურობა მნიშვნელში". შემდეგ შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მეთოდი. წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლოთ გამოსახულებით ?a - ?b. ამრიგად, მნიშვნელი შეიცავს შემოკლებულ გამრავლების ფორმულას: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. ანალოგიით, თუ ფესვებს შორის განსხვავება მოცემულია მნიშვნელში: ?a - ?b, მაშინ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი უნდა გავამრავლოთ გამოსახულებით ?a + ?b. მაგალითად, მოდით წილადი 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. განვიხილოთ მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორების უფრო რთული მაგალითი. მიეცით წილადი 12 / (?2 + ?3 + ?5). თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი გამოსახულებით?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. და ბოლოს, თუ გჭირდებათ მხოლოდ სავარაუდო მნიშვნელობა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ კვადრატული ფესვები კალკულატორის გამოყენებით. გამოთვალეთ მნიშვნელობები ცალ-ცალკე მთელი რიცხვისთვის და ჩაწერეთ საჭირო სიზუსტით (ვთქვათ, ორი ათობითი ადგილი). და ამის შემდეგ შეასრულეთ საჭირო არითმეტიკული მოქმედებები, როგორც ჩვეულებრივი რიცხვებით. ვთქვათ, ვთქვათ, თქვენ უნდა გაარკვიოთ გამოთქმის სავარაუდო მნიშვნელობა ?7 + ?5 ? 2.65 + 2.24 = 4.89.

ვიდეო თემაზე

ყურადღება მიაქციე!
არავითარ შემთხვევაში არ შეიძლება კვადრატული ფესვების დამატება პრიმიტიულ რიცხვებად, ე.ი. ?3 + ?2 ? ?5!!!

სასარგებლო რჩევა
თუ თქვენ აფასებთ რიცხვს, რათა კვადრატი გადაიტანოთ ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ შეასრულეთ საპირისპირო შემოწმება - გაამრავლეთ ყველა მიღებული ფაქტორი და მიიღეთ ორიგინალური რიცხვი.

სასკოლო მათემატიკის სასწავლო გეგმაში კვადრატული ფესვების თემა სავალდებულოა. თქვენ არ შეგიძლიათ მათ გარეშე კვადრატული განტოლებების ამოხსნისას. მოგვიანებით კი აუცილებელი ხდება არა მხოლოდ ფესვების ამოღება, არამედ მათთან სხვა მოქმედებების შესრულებაც. მათ შორის საკმაოდ რთულია: გამრავლება, გამრავლება და გაყოფა. მაგრამ არის საკმაოდ მარტივიც: გამოკლება და ფესვების დამატება. სხვათა შორის, ისინი ასე მხოლოდ ერთი შეხედვით გამოიყურებიან. შეცდომების გარეშე მათი შესრულება ყოველთვის ადვილი არ არის მათთვის, ვინც ახლა იწყებს მათ გაცნობას.

რა არის მათემატიკური ფესვი?

ეს ქმედება წარმოიშვა ექსპონენტაციის წინააღმდეგ. მათემატიკა გვთავაზობს ორ საპირისპირო ოპერაციას. მიმატებისთვის არის გამოკლება. გამრავლება ეწინააღმდეგება გაყოფას. ხარისხის საპირისპირო მოქმედება არის შესაბამისი ფესვის ამოღება.

თუ ხარისხი ორია, მაშინ ფესვი იქნება კვადრატი. ის ყველაზე გავრცელებულია სასკოლო მათემატიკაში. მას არც კი აქვს მითითება, რომ ის კვადრატულია, ანუ გვერდით არ არის მინიჭებული რიცხვი 2 ამ ოპერატორის მათემატიკური აღნიშვნა (რადიკალური) არის წარმოდგენილი ფიგურაში.

მისი განმარტება შეუფერხებლად მიედინება აღწერილი მოქმედებიდან. რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რას მისცემს რადიკალური გამოხატულება თავისთავად გამრავლებისას. ეს რიცხვი იქნება კვადრატული ფესვი. თუ ამას მათემატიკურად ჩავწერთ, მივიღებთ შემდეგს: x*x=x 2 =y, რაც ნიშნავს √y=x.

რა მოქმედებების შესრულება შეგიძლიათ მათთან?

მის ბირთვში, ფესვი არის წილადი ძალა მრიცხველში ერთი. და მნიშვნელი შეიძლება იყოს ნებისმიერი. მაგალითად, კვადრატულ ფესვს აქვს ორი. მაშასადამე, ყველა ქმედება, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ძალაუფლებით, ასევე მოქმედებს ფესვებისთვის.

და მოთხოვნები ამ ქმედებებისთვის იგივეა. თუ გამრავლება, გაყოფა და გაძლიერება არ აწყდება სირთულეებს მოსწავლეებისთვის, მაშინ ფესვების დამატება, ისევე როგორც მათი გამოკლება, ზოგჯერ იწვევს დაბნეულობას. და ეს ყველაფერი იმიტომ, რომ მსურს ამ ოპერაციების შესრულება ფესვის ნიშნის გარეშე. და სწორედ აქედან იწყება შეცდომები.

როგორია შეკრების და გამოკლების წესები?

ჯერ უნდა გახსოვდეთ ორი კატეგორიული „არა“:

• შეუძლებელია ფესვების შეკრება და გამოკლება, როგორც მარტივი რიცხვების შემთხვევაში, ანუ შეუძლებელია ჯამის რადიკალური გამონათქვამების დაწერა ერთი ნიშნით და მათემატიკური მოქმედებების შესრულება;
• თქვენ არ შეგიძლიათ ფესვების დამატება და გამოკლება სხვადასხვა მაჩვენებლით, მაგალითად, კვადრატული და კუბური.

პირველი აკრძალვის ნათელი მაგალითი: √6 + √10 ≠ √16, მაგრამ √(6 + 10) = √16.

მეორე შემთხვევაში, უმჯობესია შემოვიფარგლოთ თავად ფესვების გამარტივებით. და დატოვეთ მათი თანხა პასუხში.

ახლა წესებზე

1. იპოვეთ და დააჯგუფეთ მსგავსი ფესვები. ანუ მათ, ვისაც არა მარტო ერთი და იგივე რიცხვები აქვთ რადიკალში, არამედ თავადაც აქვთ იგივე მაჩვენებელი.
2. პირველ მოქმედებაში შეასრულეთ ერთ ჯგუფში გაერთიანებული ფესვების დამატება. მისი განხორციელება მარტივია, რადგან თქვენ მხოლოდ უნდა დაამატოთ მნიშვნელობები, რომლებიც ჩნდება რადიკალების წინ.
3. ამოიღეთ იმ ტერმინების ფესვები, რომლებშიც რადიკალური გამოხატულება ქმნის მთელ კვადრატს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ დატოვოთ არაფერი რადიკალის ნიშნის ქვეშ.
4. რადიკალური გამონათქვამების გამარტივება. ამისათვის თქვენ უნდა დაანაწილოთ ისინი პირველ ფაქტორებად და ნახოთ, აძლევენ თუ არა ისინი რომელიმე რიცხვის კვადრატს. გასაგებია, რომ ეს ასეა, როდესაც ვსაუბრობთ კვადრატულ ფესვზე. როდესაც მაჩვენებელი სამი ან ოთხია, მაშინ პირველმა ფაქტორებმა უნდა მისცეს კუბი ან რიცხვის მეოთხე ხარისხი.
5. ამოიღეთ რადიკალის ნიშნის ქვეშ ის ფაქტორი, რომელიც იძლევა მთელ ძალას.
6. ნახეთ, მსგავსი ტერმინები ისევ გამოჩნდება. თუ კი, მაშინ კვლავ შეასრულეთ მეორე ნაბიჯი.

იმ სიტუაციაში, როდესაც ამოცანა არ საჭიროებს ფესვის ზუსტ მნიშვნელობას, მისი გამოთვლა შესაძლებელია კალკულატორის გამოყენებით. დამრგვალეთ გაუთავებელი ათობითი წილადი, რომელიც გამოჩნდება მის ფანჯარაში. ყველაზე ხშირად ეს კეთდება მეასედამდე. და შემდეგ შეასრულეთ ყველა ოპერაცია ათობითი წილადებისთვის.

ეს არის მთელი ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ როგორ უნდა დაამატოთ ფესვები. ქვემოთ მოყვანილი მაგალითები ასახავს ზემოთ მოცემულს.

პირველი დავალება

გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობა:

ა) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

ბ) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

გ) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

ა) თუ დაიცავთ ზემოთ მოცემულ ალგორითმს, ხედავთ, რომ ამ მაგალითში პირველი ორი მოქმედებისთვის არაფერია. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ რამდენიმე რადიკალური გამონათქვამი.

მაგალითად, დაშალეთ 32 ორ ფაქტორად 2 და 16; 18 ტოლი იქნება 9-ისა და 2-ის ნამრავლის; 128 არის 2 64-ზე. ამის გათვალისწინებით, გამოთქმა დაიწერება ასე:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

ახლა თქვენ უნდა ამოიღოთ რადიკალური ნიშნის ქვეშ ის ფაქტორები, რომლებიც აძლევენ რიცხვის კვადრატს. ეს არის 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. გამოთქმა მიიღებს ფორმას:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

ცოტა უნდა გავამარტივოთ ჩაწერა. ამისათვის გაამრავლეთ კოეფიციენტები ფესვის ნიშნამდე:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

ამ გამოთქმაში ყველა ტერმინი მსგავსი აღმოჩნდა. ამიტომ, თქვენ უბრალოდ უნდა დაკეცოთ ისინი. პასუხი იქნება: 5√2.

ბ) წინა მაგალითის მსგავსად, ფესვების დამატება იწყება მათი გამარტივებით. რადიკალური გამონათქვამები 75, 147, 48 და 300 წარმოდგენილი იქნება შემდეგ წყვილებში: 5 და 25, 3 და 49, 3 და 16, 3 და 100. თითოეული მათგანი შეიცავს რიცხვს, რომლის ამოღებაც შესაძლებელია ფესვის ნიშნის ქვეშ. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

გამარტივების შემდეგ პასუხია: 5√5 - 5√3. მისი დატოვება შესაძლებელია ამ ფორმით, მაგრამ უმჯობესია ფრჩხილებიდან აიღოთ საერთო ფაქტორი 5: 5 (√5 - √3).

გ) და ისევ ფაქტორიზაცია: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. ფესვის ნიშნის ქვეშ ფაქტორების ამოღების შემდეგ გვაქვს:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. მსგავსი ტერმინების მოყვანის შემდეგ მივიღებთ შედეგს: 7√11.

მაგალითი წილადური გამოსახულებებით

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

თქვენ დაგჭირდებათ შემდეგი რიცხვების ფაქტორირება: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. ისევე როგორც უკვე განხილული, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფაქტორები ძირის ნიშნის ქვეშ. და გაამარტივე გამოთქმა:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

ეს გამოთქმა მოითხოვს მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორებას. ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მეორე წევრი √2/√2-ზე:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

მოქმედებების დასასრულებლად, თქვენ უნდა აირჩიოთ ფაქტორების მთელი ნაწილი ფესვების წინ. პირველისთვის არის 1, მეორესთვის არის 2.

შინაარსი:

მათემატიკაში ფესვები შეიძლება იყოს კვადრატული, კუბური ან ჰქონდეს სხვა მაჩვენებლები (ძალა), რომელიც მარცხნივ იწერება ფესვის ნიშნის ზემოთ. ძირის ნიშნის ქვეშ გამოსახულებას რადიკალური გამოხატულება ეწოდება. ფესვების დამატება ალგებრული გამოხატვის ტერმინების დამატების მსგავსია, ანუ ის მოითხოვს მსგავსი ფესვების განსაზღვრას.

ნაბიჯები

ნაწილი 1 ფესვების განსაზღვრა

1. 1 ფესვების აღნიშვნა.გამონათქვამი ძირის ნიშნის ქვეშ (√) ნიშნავს, რომ აუცილებელია ამ გამოსახულებიდან გარკვეული ხარისხის ფესვის ამოღება.
   • ფესვი აღინიშნება ნიშნით √.
   • ფესვის მაჩვენებელი (ხარისხი) იწერება მარცხნივ, ძირის ნიშნის ზემოთ. მაგალითად, 27-ის კუბური ფესვი იწერება როგორც: 3 √(27)
   • თუ ფესვის მაჩვენებლის (ხარისხი) აკლია, მაშინ მაჩვენებელი ითვლება 2-ის ტოლად, ანუ ეს არის კვადრატული ფესვი (ან მეორე ხარისხის ფესვი).
   • ძირის ნიშანამდე დაწერილ რიცხვს მულტიპლიკატორი ეწოდება (ანუ ეს რიცხვი მრავლდება ფესვზე), მაგალითად 5√(2)
   • თუ ფესვის წინ კოეფიციენტი არ არის, მაშინ ის უდრის 1-ს (გახსოვდეთ, რომ 1-ზე გამრავლებული ნებისმიერი რიცხვი თავის ტოლია).
   • თუ თქვენ პირველად მუშაობთ ფესვებთან, გააკეთეთ შესაბამისი ჩანაწერები მულტიპლიკატორსა და ფესვის მაჩვენებელზე, რათა თავიდან აიცილოთ დაბნეულობა და უკეთ გაიგოთ მათი მიზანი.
2. 2 გახსოვდეთ რომელი ფესვების დაკეცვა შეიძლება და რომელი არა.ისევე, როგორც თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ გამოხატვის სხვადასხვა ტერმინები, მაგალითად, 2a + 2b ≠ 4ab, თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ განსხვავებული ფესვები.
   • თქვენ არ შეგიძლიათ ფესვების დამატება სხვადასხვა რადიკალური გამონათქვამებით, მაგალითად, √(2) + √(3) ≠ √(5). მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ რიცხვები იმავე ფესვის ქვეშ, მაგალითად, √(2 + 3) = √(5) (2-ის კვადრატული ფესვი არის დაახლოებით 1,414, 3-ის კვადრატული ფესვი არის დაახლოებით 1,732 და კვადრატული ფესვი 5-ისა. არის დაახლოებით 2.236).
   • თქვენ არ შეგიძლიათ დაამატოთ ფესვები იგივე რადიკალური გამონათქვამებით, მაგრამ განსხვავებული მაჩვენებლებით, მაგალითად, √(64) + 3 √(64) (ეს ჯამი არ არის 5 √(64), რადგან 64-ის კვადრატული ფესვი არის 8, 64-ის კუბური ფესვი არის 4, 8 + 4 = 12, რაც ბევრად აღემატება 64-ის მეხუთე ფესვს, რაც დაახლოებით 2,297-ია).

ნაწილი 2 ფესვების გამარტივება და დამატება

1. 1 მსგავსი ფესვების ამოცნობა და დაჯგუფება.მსგავსი ფესვები არის ფესვები, რომლებსაც აქვთ იგივე მაჩვენებლები და იგივე რადიკალური გამონათქვამები. მაგალითად, განიხილეთ გამოთქმა:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • პირველ რიგში, გადაწერეთ გამონათქვამი ისე, რომ იმავე ინდექსის ფესვები განლაგდეს თანმიმდევრულად.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • შემდეგ გადაწერეთ გამონათქვამი ისე, რომ ფესვები იმავე მაჩვენებლით და იგივე რადიკალური გამოსახულებით თანმიმდევრულად განლაგდეს.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 გაამარტივეთ ფესვები.ამისათვის დაშალეთ (სადაც შესაძლებელია) რადიკალური გამონათქვამები ორ ფაქტორად, რომელთაგან ერთი ამოღებულია ფესვის ქვეშ. ამ შემთხვევაში ამოღებული რიცხვი და ძირეული ფაქტორი მრავლდება.
   • ზემოთ მოყვანილ მაგალითში აკრიფეთ რიცხვი 50 2*25-ად და რიცხვი 32 2*16-ად. 25-დან და 16-დან შეგიძლიათ აიღოთ კვადრატული ფესვები (შესაბამისად, 5 და 4) და ამოიღოთ 5 და 4 ფესვის ქვეშ, გაამრავლოთ ისინი შესაბამისად 2 და 1 ფაქტორებზე, ამგვარად, მიიღებთ გამარტივებულ გამოსახულებას: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • რიცხვი 81 შეიძლება გამრავლდეს 3*27, ხოლო 27 რიცხვიდან შეგიძლიათ აიღოთ 3-ის კუბური ფესვი. ეს რიცხვი 3 შეიძლება ამოიღოთ ფესვის ქვემოდან. ამრიგად, თქვენ მიიღებთ კიდევ უფრო გამარტივებულ გამოსახულებას: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 დაამატეთ მსგავსი ფესვების ფაქტორები.ჩვენს მაგალითში არის 2-ის მსგავსი კვადრატული ფესვები (შეიძლება დაემატოს) და 3-ის მსგავსი კვადრატული ფესვები (მათი ასევე შეიძლება დაემატოს). 3-ის კუბურ ფესვს ასეთი ფესვები არ აქვს.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • საბოლოო გამარტივებული გამოხატულება: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• არ არსებობს ზოგადად მიღებული წესები გამონათქვამში ფესვების ჩაწერის თანმიმდევრობის შესახებ. აქედან გამომდინარე, თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ფესვები მათი ინდიკატორების აღმავალი თანმიმდევრობით და რადიკალური გამონათქვამების აღმავალი თანმიმდევრობით.

კვადრატული ფესვების თვისებები

აქამდე ჩვენ შევასრულეთ ხუთი არითმეტიკული მოქმედება რიცხვებზე: შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა და გაძლიერება და გამოთვლებში აქტიურად გამოიყენებოდა ამ ოპერაციების სხვადასხვა თვისებები, მაგალითად a + b = b + a, an-bn = (ab)n და ა.შ.

ამ თავში მოცემულია ახალი ოპერაცია - არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის აღება. მისი წარმატებით გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა გაეცნოთ ამ ოპერაციის თვისებებს, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ ამ განყოფილებაში.

მტკიცებულება. მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="თანასწორობა" width="120" height="25 id=">!}.

ზუსტად ასე ჩამოვაყალიბებთ შემდეგ თეორემას.

(მოკლე ფორმულირება, რომელიც უფრო მოსახერხებელია პრაქტიკაში გამოსაყენებლად: წილადის ფესვი უდრის ფესვების წილადს, ან კოეფიციენტის ფესვი უდრის ფესვების კოეფიციენტს.)

ამჯერად ჩვენ მოგცემთ მტკიცებულების მხოლოდ მოკლე შეჯამებას და თქვენ ცდილობთ გააკეთოთ შესაბამისი კომენტარები ისეთივე, როგორიც შეადგენდა თეორემა 1-ის დამტკიცების არსს.

შენიშვნა 3. რა თქმა უნდა, ეს მაგალითი შეიძლება სხვაგვარად გადაწყდეს, განსაკუთრებით თუ ხელთ გაქვთ მიკროკალკულატორი: გაამრავლეთ რიცხვები 36, 64, 9 და შემდეგ აიღეთ მიღებული პროდუქტის კვადრატული ფესვი. თუმცა, დამეთანხმებით, რომ ზემოთ შემოთავაზებული გამოსავალი უფრო კულტურულად გამოიყურება.

შენიშვნა 4. პირველ მეთოდში ჩვენ ჩავატარეთ გამოთვლები "პირველად". მეორე გზა უფრო ელეგანტურია:
მივმართეთ ფორმულა a2 - b2 = (a - b) (a + b) და გამოიყენა კვადრატული ფესვების თვისება.

შენიშვნა 5. ზოგიერთი „ცხელი თავი“ ზოგჯერ ამ „გადაწყვეტას“ სთავაზობს მაგალითს 3:

ეს, რა თქმა უნდა, სიმართლეს არ შეესაბამება: ხედავთ - შედეგი არ არის იგივე, რაც მაგალითში 3. ფაქტია, რომ არ არსებობს ქონება. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!}არსებობს მხოლოდ თვისებები, რომლებიც ეხება კვადრატული ფესვების გამრავლებას და გაყოფას. იყავით ფრთხილად და ფრთხილად, ნუ მიიღებთ სურვილს.

ამ განყოფილების დასასრულებლად, მოდით აღვნიშნოთ კიდევ ერთი საკმაოდ მარტივი და ამავე დროს მნიშვნელოვანი თვისება:
თუ a > 0 და n - ბუნებრივი რიცხვი, ეს

კვადრატული ფესვის ოპერაციის შემცველი გამონათქვამების კონვერტაცია

აქამდე მხოლოდ ტრანსფორმაციები ვასრულებდით რაციონალური გამონათქვამები, ამისათვის გამოიყენება მრავალწევრებზე და ალგებრულ წილადებზე მოქმედებების წესები, შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და ა.შ. ამ თავში შემოვიტანეთ ახალი ოპერაცია - კვადრატული ფესვის ამოღების ოპერაცია; ჩვენ დავადგინეთ რომ

სადაც, გავიხსენოთ, a, b არის არაუარყოფითი რიცხვები.

ამათ გამოყენება ფორმულები, შეგიძლიათ შეასრულოთ სხვადასხვა ტრანსფორმაციები გამონათქვამებზე, რომლებიც შეიცავს კვადრატული ფესვის ოპერაციას. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს და ყველა მაგალითში ვივარაუდოთ, რომ ცვლადები იღებენ მხოლოდ არაუარყოფით მნიშვნელობებს.

მაგალითი 3.შეიყვანეთ მულტიპლიკატორი კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ:

მაგალითი 6. გაამარტივეთ გამოთქმა Solution. მოდით შევასრულოთ თანმიმდევრული გარდაქმნები:

რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება არ არის ერთადერთი ოპერაცია, რომელიც შეიძლება შესრულდეს ამ მათემატიკური ფენომენით. ისევე როგორც ჩვეულებრივი რიცხვები, კვადრატული ფესვები აგროვებენ და აკლებენ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

კვადრატული ფესვების შეკრებისა და გამოკლების წესები

ისეთი ოპერაციები, როგორიცაა კვადრატული ფესვების შეკრება და გამოკლება, შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რადიკალური გამოხატულება იგივეა.

მაგალითი 1

შეგიძლიათ დაამატოთ ან გამოკლოთ გამონათქვამები 2 3 და 6 3, მაგრამ არა 56 და 9 4. თუ შესაძლებელია გამონათქვამის გამარტივება და მისი დაყვანა ფესვებზე იმავე რადიკალით, მაშინ გაამარტივეთ და შემდეგ დაამატეთ ან გამოაკლოთ.

მოქმედებები ფესვებთან: საფუძვლები

6 50 - 2 8 + 5 12

მოქმედების ალგორითმი:

1. რადიკალური გამოხატვის გამარტივება. ამისათვის აუცილებელია რადიკალური გამოხატვის დაშლა 2 ფაქტორად, რომელთაგან ერთი არის კვადრატული რიცხვი (რიცხვი, საიდანაც ამოღებულია მთელი კვადრატული ფესვი, მაგალითად, 25 ან 9).
2. შემდეგ თქვენ უნდა აიღოთ კვადრატული რიცხვის ფესვიდა ჩაწერეთ მიღებული მნიშვნელობა root ნიშნის წინ. გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მეორე ფაქტორი შეყვანილია ფესვის ნიშნის ქვეშ.
3. გამარტივების პროცესის შემდეგ აუცილებელია ფესვების ხაზგასმა იგივე რადიკალური გამონათქვამებით - მხოლოდ მათი დამატება და გამოკლებაა შესაძლებელი.
4. ერთიდაიგივე რადიკალური გამონათქვამის მქონე ფესვებისთვის აუცილებელია ძირის ნიშნის წინ გამოჩენილი ფაქტორების დამატება ან გამოკლება. რადიკალური გამოხატულება უცვლელი რჩება. თქვენ არ შეგიძლიათ რადიკალური რიცხვების დამატება ან გამოკლება!

რჩევა 1

თუ თქვენ გაქვთ მაგალითი დიდი რაოდენობით იდენტური რადიკალური გამონათქვამებით, მაშინ ხაზი გაუსვით ასეთ გამონათქვამებს ერთი, ორმაგი და სამმაგი ხაზებით, რათა ხელი შეუწყოთ გაანგარიშების პროცესს.

მაგალითი 3

შევეცადოთ ამ მაგალითის ამოხსნას:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. ჯერ 50 უნდა დაშალოთ 2 ფაქტორად 25 და 2, შემდეგ აიღოთ 25-ის ფესვი, რომელიც უდრის 5-ს და ამოიღოთ 5 ფესვის ქვეშ. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 5 6-ზე (ძირის ფაქტორი) და მიიღოთ 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. ჯერ 8 უნდა დაშალოთ 2 ფაქტორად: 4 და 2. შემდეგ აიღეთ ფესვი 4-დან, რომელიც უდრის 2-ს და ამოიღეთ 2 ფესვის ქვეშ. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 2 2-ზე (ძირითადი ფაქტორი) და მიიღოთ 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. ჯერ 12 უნდა დაშალოთ 2 ფაქტორად: 4 და 3. შემდეგ ამოიღეთ 4-ის ფესვი, რომელიც უდრის 2-ს და ამოიღეთ ფესვის ქვეშიდან. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ 2 5-ზე (ძირის ფაქტორი) და მიიღოთ 10 3.

გამარტივების შედეგი: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

შედეგად, ჩვენ ვნახეთ რამდენი იდენტური რადიკალური გამონათქვამი შეიცავს ამ მაგალითს. ახლა ვივარჯიშოთ სხვა მაგალითებით.

მაგალითი 4

• მოდით გავამარტივოთ (45). ფაქტორი 45: (45) = (9 × 5) ;
• ფესვის ქვეშ 3-ს ამოვიღებთ (9 = 3): 45 = 3 5;
• დაამატეთ ფაქტორები ფესვებში: 3 5 + 4 5 = 7 5.

მაგალითი 5

6 40 - 3 10 + 5:

• გავამარტივოთ 6 40. ჩვენ ვაქცევთ 40-ს: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• ფესვის ქვეშ 2-ს ამოვიღებთ (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10;
• ვამრავლებთ ფესვის წინ გამოჩენილ ფაქტორებს: 12 10;
• გამოთქმას ვწერთ გამარტივებული ფორმით: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• ვინაიდან პირველ ორ წევრს აქვს იგივე რადიკალური რიცხვი, შეგვიძლია გამოვაკლოთ ისინი: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

მაგალითი 6

როგორც ვხედავთ, რადიკალური რიცხვების გამარტივება შეუძლებელია, ამიტომ მაგალითში ვეძებთ ტერმინებს იგივე რადიკალური რიცხვებით, ვასრულებთ მათემატიკურ მოქმედებებს (შეკრება, გამოკლება და ა.შ.) და ვწერთ შედეგს:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

რჩევა:

• შეკრებამდე ან გამოკლებამდე აუცილებელია რადიკალური გამონათქვამების გამარტივება (თუ შესაძლებელია).
• კატეგორიულად აკრძალულია ფესვების დამატება და გამოკლება სხვადასხვა რადიკალური გამონათქვამებით.
• არ უნდა დაამატოთ ან გამოკლოთ მთელი რიცხვი ან ფესვი: 3 + (2 x) 1/2 .
• წილადებთან მოქმედებების შესრულებისას თქვენ უნდა იპოვოთ რიცხვი, რომელიც იყოფა თითოეულ მნიშვნელზე, შემდეგ მიიყვანეთ წილადები საერთო მნიშვნელზე, შემდეგ დაამატეთ მრიცხველები და დატოვეთ მნიშვნელები უცვლელი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter