ელიფსი არის სიბრტყეზე წერტილების გეომეტრიული ადგილი, რომელთაგან დაშორების ჯამი თითოეულიდან ორ მოცემულ წერტილამდე F_1 და F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a), რომელიც აღემატება მანძილს (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.36, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ელიფსის ფოკუსური თვისება.
ელიფსის ფოკუსური თვისება
F_1 და F_2 წერტილებს უწოდებენ ელიფსის ფოკუსებს, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა O არის ელიფსის ცენტრი, ნომერი 2a არის ძირითადი ღერძის სიგრძე. ელიფსი (შესაბამისად, რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი). სეგმენტებს F_1M და F_2M, რომლებიც აკავშირებენ ელიფსის თვითნებურ M წერტილს მის კერებთან, ეწოდება M წერტილის კეროვანი რადიუსი. ელიფსის ორი წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტს ელიფსის აკორდი ეწოდება.
შეფარდება e=\frac(c)(a) ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობას. განმარტებიდან (2a>2c) გამომდინარეობს, რომ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
ელიფსის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ელიფსის კანონიკური განტოლებით მოცემული ხაზი:
მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნახ. 3.36c). კოორდინატთა სისტემის საწყისად ვიღებთ ელიფსის O ცენტრს; ფოკუსში (ფოკალური ღერძი ან ელიფსის პირველი ღერძი) გამავალ სწორ ხაზს ვიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებითი მიმართულება არის F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); ავიღოთ სწორი ხაზი ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარული და რომელიც გადის ელიფსის ცენტრს (ელიფსის მეორე ღერძი) ორდინატთა ღერძად (მიმართულება ორდინატთა ღერძზე არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია) .
მოდით შევქმნათ ელიფსის განტოლება მისი გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს ფოკუსურ თვისებას. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ განვსაზღვრავთ კერების კოორდინატებს F_1(-c,0),~F_2(c,0). M(x,y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს, გვაქვს:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
ამ თანასწორობის კოორდინატების სახით ჩაწერისას მივიღებთ:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში და მივყავართ მსგავსი ტერმინები:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
4-ზე გაყოფით, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვსვამთ:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
დანიშნულმა b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ვიღებთ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ორივე მხარის გაყოფით a^2b^2\ne0-ზე მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
ამიტომ, არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია.
თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე (სურ. 3.36,6), ვინაიდან a=b. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც წერტილი აქვს წერტილი, კანონიკური იქნება O\equiv F_1\equiv F_2, და განტოლება x^2+y^2=a^2 არის წრის განტოლება, რომელსაც აქვს ცენტრი O წერტილში და რადიუსი ტოლია a-ს.
მსჯელობის საპირისპირო თანმიმდევრობით განხორციელებისას შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.49) და მხოლოდ ისინი, მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ეწოდება ელიფსი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსის ანალიტიკური განმარტება უდრის მის გეომეტრიულ განმარტებას, რომელიც გამოხატავს ელიფსის კეროვან თვისებას.
ელიფსის სარეჟისორო საკუთრება
ელიფსის მიმართულებები არის ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის პარალელურად მისგან იმავე მანძილზე \frac(a^2)(c). c=0-ზე, როდესაც ელიფსი არის წრე, არ არსებობს მიმართულებები (შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მიმართულებები უსასრულობაშია).
ელიფსი ექსცენტრიულობით 0
ფაქტობრივად, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.37,6) პირობა \frac(r_2)(\rho_2)=eშეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატის სახით:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, მივდივართ კანონიკურ ელიფსის განტოლებამდე (3.49). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსის F_1 და დირექტორისთვის d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
ელიფსის განტოლება პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში
ელიფსის განტოლებას პოლარული კოორდინატთა სისტემაში F_1r\varphi (ნახ. 3.37, c და 3.37 (2)) აქვს ფორმა
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
სადაც p=\frac(b^2)(a) არის ელიფსის ფოკალური პარამეტრი.
ფაქტობრივად, ავირჩიოთ ელიფსის მარცხენა ფოკუსი F_1, როგორც პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსი, ხოლო სხივი F_1F_2, როგორც პოლარული ღერძი (ნახ. 3.37, გ). მაშინ თვითნებური წერტილისთვის M(r,\varphi), ელიფსის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს r+MF_2=2a. ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_2(2c,0) წერტილებს შორის (იხ.):
\begin(გასწორებული)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (გასწორებული)
მაშასადამე, კოორდინატულ ფორმაში ელიფსის განტოლებას F_1M+F_2M=2a აქვს ფორმა
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
გამოხატეთ პოლარული რადიუსი r და გააკეთეთ ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
ქ.ე.დ.
კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ელიფსის განტოლებაში
ვიპოვოთ ელიფსის (იხ. სურ. 3.37, ა) გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან (ელიფსის წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს აბსცისის ღერძთან (ფოკალური ღერძით): x=\pm a. შესაბამისად, ელიფსის შიგნით შემავალი ფოკუსური ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2a-ს. ამ სეგმენტს, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი. x=0 ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm b. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით შემავალი ელიფსის მეორე ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ელიფსის მცირე ღერძი ეწოდება, ხოლო b რიცხვი არის ელიფსის ნახევრად ღერძი.
მართლაც, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ხოლო b=a ტოლობა მიიღება მხოლოდ c=0 შემთხვევაში, როცა ელიფსი არის წრე. დამოკიდებულება k=\frac(b)(a)\leqslant1ეწოდება ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი.
შენიშვნები 3.9
1. სწორი ხაზები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის შიგნით არის ელიფსი (იხ. სურ. 3.37, ა).
2. ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც წრის დიამეტრზე შეკუმშვით მიღებული წერტილების ადგილი.
მართლაც, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy წრის განტოლება იყოს x^2+y^2=a^2. x ღერძზე შეკუმშვისას კოეფიციენტით 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) განტოლებაში x=x" და y=\frac(1)(k)y" წრეების ჩანაცვლებით, ვიღებთ M(x,y) წერტილის M"(x",y") გამოსახულების კოორდინატთა განტოლებას. ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ვინაიდან b=k\cdot a . ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება. 3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ელიფსის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ელიფსის მთავარ ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი. მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ელიფსს. მაშინ M"(x,-y) და M""(-x,y) წერტილები, კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში M წერტილის სიმეტრიული, ასევე იმავე ელიფსს ეკუთვნის. 4. ელიფსის განტოლებიდან პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.37, გ), დაზუსტებულია ფოკუსური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ელიფსის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარულად (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ელიფსის ფორმას, კერძოდ განსხვავებას ელიფსსა და წრეს შორის. რაც უფრო დიდია e, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი და რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო უახლოვდება ელიფსი წრეს (სურ. 3.38a). მართლაც, იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2-b^2, მივიღებთ e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\მარჯვნივ )\^2=1-k^2,
!} სადაც k არის ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი, 0 6. განტოლება \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ზე ა 7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bგანსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ცენტრია O"(x_0,y_0), რომლის ღერძები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია (ნახ. 3.38, გ). ეს განტოლება მცირდება კანონიკურთან პარალელური გადაყვანის გამოყენებით (3.36). როდესაც a=b=R განტოლება (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2აღწერს R რადიუსის წრეს ცენტრით O წერტილში"(x_0,y_0) . ელიფსის პარამეტრული განტოლებაკანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
მართლაც, ამ გამონათქვამების (3.49) განტოლებით ჩანაცვლებით, ჩვენ მივდივართ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობამდე. \cos^2t+\sin^2t=1. მაგალითი 3.20.დახატეთ ელიფსი \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევრადღერძები, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, შეკუმშვის კოეფიციენტი, ფოკალური პარამეტრი, მიმართულების განტოლებები. გამოსავალი.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას ვადგენთ ნახევრადღერძებს: a=2 - ნახევრად მთავარი ღერძი, b=1 - ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი. ვაშენებთ ძირითად ოთხკუთხედს გვერდებით 2a=4,~2b=2 საწყისთან ცენტრით (სურ. 3.39). ელიფსის სიმეტრიის გათვალისწინებით, ჩვენ მას ვუთავსებთ მთავარ მართკუთხედს. საჭიროების შემთხვევაში, განსაზღვრეთ ელიფსის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატები. მაგალითად, x=1 ელიფსის განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). ამიტომ, წერტილები კოორდინატებით \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ელიფსს ეკუთვნის. შეკუმშვის კოეფიციენტის გაანგარიშება k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ფოკუსური მანძილი 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ჩვენ ვადგენთ საპირისპირო განტოლებებს: x=\pm\frac(a^2)(c)~\მარცხნივ ისარი~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). განმარტება. ელიფსი არის სიბრტყეზე წერტილების გეომეტრიული ადგილი, რომელთაგან თითოეულის მანძილის ჯამი ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა (იმ პირობით, რომ ეს მნიშვნელობა მეტია კერებს შორის მანძილს). . კერებს მათ შორის მანძილით აღვნიშნავთ - ით, ხოლო მუდმივ მნიშვნელობას უდრის ელიფსის თითოეული წერტილიდან კერებამდე მანძილების ჯამის (პირობით). ავაშენოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა ისე, რომ კერები იყოს აბსცისის ღერძზე, ხოლო კოორდინატების წარმოშობა ემთხვევა სეგმენტის შუას (სურ. 44). შემდეგ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: მარცხენა ფოკუსი და მარჯვენა ფოკუსი. გამოვიტანოთ ელიფსის განტოლება ჩვენ მიერ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში. ამ მიზნით განიხილეთ ელიფსის თვითნებური წერტილი. ელიფსის განმარტებით, ამ წერტილიდან კერამდე მანძილების ჯამი უდრის: ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ ამ განტოლების გასამარტივებლად, ჩვენ ვწერთ მას ფორმაში შემდეგ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ ან აშკარა გამარტივების შემდეგ: ახლა ისევ განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვაქცევთ, რის შემდეგაც გვაქვს: ან იდენტური გარდაქმნების შემდეგ: ვინაიდან, ელიფსის განმარტებაში არსებული მდგომარეობის მიხედვით, რიცხვი დადებითია. შემოვიღოთ აღნიშვნა შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას: ელიფსის განმარტებით, მისი რომელიმე წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (26). მაგრამ განტოლება (29) არის (26) განტოლების შედეგი. შესაბამისად, ის ასევე კმაყოფილდება ელიფსის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით. შეიძლება აჩვენოს, რომ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც არ დევს ელიფსზე, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (29). ამრიგად, განტოლება (29) არის ელიფსის განტოლება. მას ელიფსის კანონიკური განტოლება ეწოდება. მოდით დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით. უპირველეს ყოვლისა, აღვნიშნოთ, რომ ეს განტოლება შეიცავს x და y-ის მხოლოდ ლუწი ხარისხებს. ეს ნიშნავს, რომ თუ რომელიმე წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ ის ასევე შეიცავს სიმეტრიულ წერტილს აბსცისის ღერძთან მიმართებით წერტილთან და სიმეტრიულ წერტილს ორდინატთა ღერძის მიმართ. ამრიგად, ელიფსს აქვს სიმეტრიის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც ჩვენს არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში ემთხვევა კოორდინატთა ღერძებს. ელიფსის სიმეტრიის ღერძებს ამიერიდან ელიფსის ღერძებს დავარქმევთ, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილს ელიფსის ცენტრს. ღერძს, რომელზეც მდებარეობს ელიფსის კერები (ამ შემთხვევაში, აბსცისის ღერძი) ფოკალური ღერძი ეწოდება. ჯერ განვსაზღვროთ ელიფსის ფორმა პირველ მეოთხედში. ამისათვის გადავწყვიტოთ განტოლება (28) y-სთვის: აშკარაა, რომ აქ, რადგან y იღებს წარმოსახვით მნიშვნელობებს. 0-დან a-მდე გაზრდისას y მცირდება b-დან 0-მდე. ელიფსის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ მეოთხედში, იქნება რკალი, რომელიც შემოიფარგლება B (0; b) წერტილებით და მდებარეობს კოორდინატთა ღერძებზე (სურ. 45). ახლა ელიფსის სიმეტრიის გამოყენებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 45. ელიფსის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს ელიფსის წვეროები ეწოდება. ელიფსის სიმეტრიიდან გამომდინარეობს, რომ წვეროების გარდა, ელიფსს კიდევ ორი წვერო აქვს (იხ. სურ. 45). ელიფსის მოპირდაპირე წვეროებს და დამაკავშირებელ სეგმენტებს, ისევე როგორც მათ სიგრძეებს, შესაბამისად ელიფსის მთავარ და მცირე ღერძებს უწოდებენ. a და b რიცხვებს უწოდებენ ელიფსის მთავარ და მცირე ნახევარღერძებს, შესაბამისად. კერებს შორის მანძილის ნახევრის თანაფარდობას ელიფსის ნახევრად ძირითად ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით: ვინაიდან , ელიფსის ექსცენტრიულობა ერთიანობაზე ნაკლებია: ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის ფორმას. მართლაც, ფორმულიდან (28) გამომდინარეობს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით ნაკლებია მისი მცირე ნახევრადღერძი b განსხვავდება ძირითადი ნახევრადღერძისგან a, ანუ მით უფრო ნაკლებად წაგრძელებულია ელიფსი (ფოკალური ღერძის გასწვრივ). შემზღუდველ შემთხვევაში, შედეგი არის a რადიუსის წრე: , ან . ამავდროულად, ელიფსის კერები თითქოს ერწყმის ერთ წერტილს - წრის ცენტრში. წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია: კავშირი ელიფსსა და წრეს შორის შეიძლება დადგინდეს სხვა თვალსაზრისით. ვაჩვენოთ, რომ a და b ნახევრადღერძებით ელიფსი შეიძლება ჩაითვალოს a რადიუსის წრის პროექციად. განვიხილოთ ორი სიბრტყე P და Q, რომლებიც ქმნიან მათ შორის ისეთ კუთხეს a, რომლისთვისაც (სურ. 46). ავაშენოთ კოორდინატთა სისტემა P სიბრტყეში, ხოლო Q სიბრტყეში Oxy სისტემა საერთო საწყისი O და საერთო აბსცისის ღერძი, რომელიც ემთხვევა სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს. განვიხილოთ წრე P სიბრტყეში ცენტრით საწყისთან და რადიუსით ტოლი a. მოდით იყოს თვითნებურად არჩეული წერტილი წრეზე, იყოს მისი პროექცია Q სიბრტყეზე და იყოს M წერტილის პროექცია Ox ღერძზე. ვაჩვენოთ, რომ წერტილი დევს ელიფსზე a და b ნახევრად ღერძებით. ელიფსი არის სიბრტყეზე წერტილების გეომეტრიული ადგილი, თითოეული მათგანიდან დაშორების ჯამი ორ მოცემულ წერტილამდე F_1, ხოლო F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a) უფრო დიდი ვიდრე მანძილი (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.36, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ელიფსის ფოკუსური თვისება. F_1 და F_2 წერტილებს უწოდებენ ელიფსის ფოკუსებს, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა O არის ელიფსის ცენტრი, რიცხვი 2a არის მთავარი ღერძის სიგრძე. ელიფსი (შესაბამისად, რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი). სეგმენტებს F_1M და F_2M, რომლებიც აკავშირებენ ელიფსის თვითნებურ M წერტილს მის კერებთან, ეწოდება M წერტილის კეროვანი რადიუსი. ელიფსის ორი წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტს ელიფსის აკორდი ეწოდება. შეფარდება e=\frac(c)(a) ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობას. განმარტებიდან (2a>2c) გამომდინარეობს, რომ 0\leqslant e<1
. При e=0
, т.е. при c=0
, фокусы F_1
и F_2
, а также центр O
совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a
(рис.3.36,6). ელიფსის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ელიფსის კანონიკური განტოლებით მოცემული ხაზი: მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნახ. 3.36c). კოორდინატთა სისტემის საწყისად ვიღებთ ელიფსის O ცენტრს; ფოკუსში (ფოკალური ღერძი ან ელიფსის პირველი ღერძი) გამავალ სწორ ხაზს ვიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებითი მიმართულება არის F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); ავიღოთ სწორი ხაზი ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარული და რომელიც გადის ელიფსის ცენტრს (ელიფსის მეორე ღერძი) ორდინატთა ღერძად (მიმართულება ორდინატთა ღერძზე არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია) . მოდით შევქმნათ ელიფსის განტოლება მისი გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს ფოკუსურ თვისებას. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ განვსაზღვრავთ კერების კოორდინატებს F_1(-c,0),~F_2(c,0). M(x,y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს, გვაქვს: \vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a. ამ თანასწორობის კოორდინატების სახით ჩაწერისას მივიღებთ: \sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a. მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში და მივყავართ მსგავსი ტერმინები: (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx. 4-ზე გაყოფით, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვსვამთ: A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2). დანიშნულმა b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ვიღებთ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ორივე მხარის გაყოფით a^2b^2\ne0-ზე მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე: \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1. ამიტომ, არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია. თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე (სურ. 3.36,6), ვინაიდან a=b. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც წერტილი აქვს წერტილი, კანონიკური იქნება O\equiv F_1\equiv F_2, და განტოლება x^2+y^2=a^2 არის წრის განტოლება, რომელსაც აქვს ცენტრი O წერტილში და რადიუსი ტოლია a-ს. მსჯელობის საპირისპირო თანმიმდევრობით განხორციელებისას შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.49) და მხოლოდ ისინი, მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ეწოდება ელიფსი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსის ანალიტიკური განმარტება უდრის მის გეომეტრიულ განმარტებას, რომელიც გამოხატავს ელიფსის კეროვან თვისებას. ელიფსის მიმართულებები არის ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის პარალელურად მისგან იმავე მანძილზე \frac(a^2)(c). c=0-ზე, როდესაც ელიფსი არის წრე, არ არსებობს მიმართულებები (შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მიმართულებები უსასრულობაშია). ელიფსი ექსცენტრიულობით 0 F_1,d_1 ან F_2,d_2. ფაქტობრივად, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.37,6) მდგომარეობაშეიძლება ჩაიწეროს კოორდინატის სახით: \frac(r_2)(\rho_2)=e ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება \sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right) e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2 , მივდივართ კანონიკურ ელიფსის განტოლებამდე (3.49). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსისთვის F_1 და დირექტორისთვის. d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e ელიფსის განტოლებას პოლარული კოორდინატთა სისტემაში F_1r\varphi (ნახ. 3.37, c და 3.37 (2)) აქვს ფორმა R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi) სადაც p=\frac(b^2)(a) არის ელიფსის ფოკალური პარამეტრი. ფაქტობრივად, ავირჩიოთ ელიფსის მარცხენა ფოკუსი F_1, როგორც პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსი, ხოლო სხივი F_1F_2, როგორც პოლარული ღერძი (ნახ. 3.37, გ). მაშინ თვითნებური წერტილისთვის M(r,\varphi), ელიფსის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს r+MF_2=2a. ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_2(2c,0) წერტილებს შორის (იხ. 2.8 შენიშვნების მე-2 პუნქტი): \begin(გასწორებული)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (გასწორებული) მაშასადამე, კოორდინატულ ფორმაში ელიფსის განტოლებას F_1M+F_2M=2a აქვს ფორმა ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს: R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a. R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2. e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a): R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), ქ.ე.დ. ვიპოვოთ ელიფსის (იხ. სურ. 3.37, ა) გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან (ელიფსის წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს აბსცისის ღერძთან (ფოკალური ღერძით): x=\pm a. შესაბამისად, ელიფსის შიგნით შემავალი ფოკუსური ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2a-ს. ამ სეგმენტს, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი. x=0 ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm b. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით შემავალი ელიფსის მეორე ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ელიფსის მცირე ღერძი ეწოდება, ხოლო b რიცხვი არის ელიფსის ნახევრად ღერძი. მართლაც, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ხოლო b=a ტოლობა მიიღება მხოლოდ c=0 შემთხვევაში, როცა ელიფსი არის წრე. დამოკიდებულება k=\frac(b)(a)\leqslant1ეწოდება ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი. შენიშვნები 3.9 1. სწორი ხაზები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის შიგნით არის ელიფსი (იხ. სურ. 3.37, ა). 2. ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც წრის დიამეტრზე შეკუმშვით მიღებული წერტილების ადგილი. მართლაც, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy წრის განტოლება იყოს x^2+y^2=a^2. x ღერძზე შეკუმშვისას კოეფიციენტით 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) წრეების x=x" და y=\frac(1)(k)y" განტოლებაში ჩანაცვლებით, ვიღებთ M(x) წერტილის M"(x",y") გამოსახულების კოორდინატთა განტოლებას, y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} ვინაიდან b=k\cdot a . ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება. 3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ელიფსის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ელიფსის მთავარ ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი. მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ელიფსს. მაშინ M"(x,-y) და M""(-x,y) წერტილები, კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში M წერტილის სიმეტრიული, ასევე იმავე ელიფსს ეკუთვნის. 4. ელიფსის განტოლებიდან პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.37, გ), დაზუსტებულია ფოკუსური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ელიფსის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე პერპენდიკულარულად კეროვანი ღერძის მიმართ ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ელიფსის ფორმას, კერძოდ განსხვავებას ელიფსსა და წრეს შორის. რაც უფრო დიდია e, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი და რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო უახლოვდება ელიფსი წრეს (სურ. 3.38a). მართლაც, იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2-b^2, მივიღებთ E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\მარჯვნივ )\^2=1-k^2,
!} სადაც k არის ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი, 0 6. განტოლება \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ზე ა
7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bგანსაზღვრავს ელიფსს ცენტრით O"(x_0,y_0) წერტილით, რომლის ღერძები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია (ნახ. 3.38, გ). ეს განტოლება მცირდება კანონიკურთან პარალელური გადაყვანის გამოყენებით (3.36). როდესაც a=b=R განტოლება (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2აღწერს R რადიუსის წრეს ცენტრით O წერტილში"(x_0,y_0) . ელიფსის პარამეტრული განტოლებაკანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
მართლაც, ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებით განტოლებით (3.49), მივდივართ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობამდე \cos^2t+\sin^2t=1. მაგალითი 3.20.დახატეთ ელიფსი \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევრადღერძები, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, შეკუმშვის კოეფიციენტი, ფოკალური პარამეტრი, მიმართულების განტოლებები. გამოსავალი.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას ვადგენთ ნახევრადღერძებს: a=2 - ნახევრად მთავარი ღერძი, b=1 - ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი. ვაშენებთ ძირითად ოთხკუთხედს გვერდებით 2a=4,~2b=2 საწყისთან ცენტრით (სურ. 3.39). ელიფსის სიმეტრიის გათვალისწინებით, მას მთავარ მართკუთხედში ვათავსებთ. საჭიროების შემთხვევაში, განსაზღვრეთ ელიფსის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატები. მაგალითად, x=1 ელიფსის განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). ამიტომ, წერტილები კოორდინატებით \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ელიფსს ეკუთვნის. შეკუმშვის კოეფიციენტის გაანგარიშება k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ფოკუსური მანძილი 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ჩვენ ვადგენთ საპირისპირო განტოლებებს: x=\pm\frac(a^2)(c)~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). საფუძვლიანი შესწავლის შემდეგ სწორი ხაზები თვითმფრინავშიჩვენ ვაგრძელებთ ორგანზომილებიანი სამყაროს გეომეტრიის შესწავლას. ფსონები გაორმაგებულია და გეპატიჟებით ეწვიოთ ელიფსების, ჰიპერბოლების, პარაბოლების თვალწარმტაცი გალერეას, რომლებიც ტიპიური წარმომადგენლებია. მეორე რიგის ხაზები. ექსკურსია უკვე დაწყებულია და ჯერ მოკლე ინფორმაცია მუზეუმის სხვადასხვა სართულზე მთელი გამოფენის შესახებ: ხაზს თვითმფრინავზე ეწოდება ალგებრული, თუ შიგნით აფინური კოორდინატთა სისტემამის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება ფორმის ტერმინებისგან ( – რეალური რიცხვი, – არაუარყოფითი მთელი რიცხვები). როგორც ხედავთ, ალგებრული წრფის განტოლება არ შეიცავს სინუსებს, კოსინუსებს, ლოგარითმებს და სხვა ფუნქციურ ბომონდს. მხოლოდ X და Y არის შემოსული არაუარყოფითი მთელი რიცხვებიგრადუსი. ხაზის შეკვეთამასში შემავალი ტერმინების მაქსიმალური მნიშვნელობის ტოლი. შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ალგებრული წრფის კონცეფცია, ისევე როგორც მისი რიგი, არ არის დამოკიდებული არჩევანზე. აფინური კოორდინატთა სისტემამაშასადამე, არსებობის სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ყველა შემდგომი გამოთვლა ხდება ქ დეკარტის კოორდინატები. ზოგადი განტოლებამეორე რიგის ხაზს აქვს ფორმა, სადაც თუ , მაშინ განტოლება ამარტივებს ბევრს ესმოდა ახალი ტერმინების მნიშვნელობა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მასალის 100%-ით ათვისების მიზნით, თითებს ბუდეში ვყრით. ხაზის რიგის დასადგენად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ ყველა ტერმინიმისი განტოლებები და იპოვეთ თითოეული მათგანისთვის გრადუსების ჯამიშემომავალი ცვლადები. მაგალითად: ტერმინი შეიცავს "x"-ს პირველ ხარისხამდე; ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ განსაზღვრავს განტოლება ხაზს მეორეშეკვეთა: ტერმინი შეიცავს „x“-ს მე-2 ხარისხამდე; მაქსიმალური ღირებულება: 2 თუ დამატებით დავუმატებთ, ვთქვათ, ჩვენს განტოლებას, მაშინ ის უკვე დაადგენს მესამე რიგის ხაზი. ცხადია, მე-3 რიგის ხაზის განტოლების ზოგადი ფორმა შეიცავს ტერმინების „სრულ კომპლექტს“, ცვლადების ძალაუფლების ჯამი, რომელშიც ტოლია სამი: იმ შემთხვევაში, თუ დაემატება ერთი ან მეტი შესაფერისი ტერმინი, რომელიც შეიცავს მე-3, მე-4 და უფრო მაღალი რიგის ალგებრულ ხაზებს არაერთხელ უნდა შევხვდეთ, კერძოდ, გაცნობისას. პოლარული კოორდინატთა სისტემა. თუმცა, დავუბრუნდეთ ზოგად განტოლებას და გავიხსენოთ მისი უმარტივესი სასკოლო ვარიაციები. მაგალითად, წარმოიქმნება პარაბოლა, რომლის განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ჰიპერბოლა ექვივალენტური განტოლებით. თუმცა ყველაფერი ასე მშვიდად არ არის... ზოგადი განტოლების მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ თითქმის ყოველთვის არ არის ნათელი, რომელ ხაზს განსაზღვრავს იგი. უმარტივეს შემთხვევაშიც კი, მაშინვე ვერ მიხვდებით, რომ ეს ჰიპერბოლაა. ასეთი განლაგება კარგია მხოლოდ მასკარადისთვის, ამიტომ ტიპიური პრობლემა განიხილება ანალიტიკური გეომეტრიის დროს. მე-2 რიგის ხაზის განტოლება კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა. ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული ამოცანის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორი, ჯერ ერთი, მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი ადვილად ჩანს. აშკარაა, რომ ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიარის სწორი ხაზი. მეორე სართულზე აღარ გველოდება დარაჯი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია: მოქმედებების სპეციალური ნაკრების გამოყენებით, მეორე რიგის ხაზის ნებისმიერი განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ფორმამდე: (და დადებითი რეალური რიცხვებია) 1) 2) – ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება; 3) 4) – წარმოსახვითიელიფსი; 5) – გადამკვეთი ხაზების წყვილი; 6) – წყვილი წარმოსახვითიგადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთი მოქმედი წერტილით); 7) – პარალელური წრფეების წყვილი; 8) – წყვილი წარმოსახვითიპარალელური ხაზები; 9) – წყვილი დამთხვევა ხაზები. ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში განტოლება აზუსტებს წყვილს პირდაპირი, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ორდინატთა ღერძის პარალელურ წრფეებს? პასუხი: ეს არ ითვლება კანონიკურად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით, ხოლო კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან მას ფუნდამენტურად ახალი არაფერი მოაქვს. ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა განსხვავებული ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა. ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს ამოცანების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის/ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს. მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ „როგორ ავაშენოთ ელიფსი“, „განსხვავება ელიფსა და ოვალს შორის“ და „ელიფსის ექსცენტრიულობა“. ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. მე მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ ელიფსის განმარტებას, მაგრამ ახლა დროა დავისვენოთ მოლაპარაკე მაღაზიიდან და მოვაგვაროთ საერთო პრობლემა: დიახ, უბრალოდ აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება ხშირად ხდება და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი სწორად ვერ უმკლავდება ნახატს: მაგალითი 1 ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი გამოსავალი: ჯერ განტოლება მოვიყვანოთ კანონიკურ ფორმამდე: რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც განლაგებულია წერტილებში. ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას. ამ შემთხვევაში: იმისთვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება კონკრეტული ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს. ყველაფერი კარგადაა, გლუვი და ლამაზია, მაგრამ არის ერთი სიფრთხილე: ნახატი პროგრამის გამოყენებით გავაკეთე. და თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ნახატი ნებისმიერი აპლიკაციის გამოყენებით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე უჯრა ქაღალდი დევს, ხელებზე კი თაგვები წრეებში ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ამაო არ არის, რომ კაცობრიობამ გამოიგონა სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი ხელსაწყოები ხატვისთვის. ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შეგვეძლოს ზუსტად დავხატოთ ელიფსი მხოლოდ წვეროების ცოდნით. კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევრად ღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგადად, ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა. ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მომწონს კონსტრუქცია კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით, რადგან ალგორითმი არ არის უმოკლესი და ნახატი საგრძნობლად გადატვირთულია. აუცილებლობის შემთხვევაში, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ: შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად: კანონიკური განტოლებით განსაზღვრული ელიფსი სიმეტრიულია როგორც კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე საწყისის მიმართ. და ეს შესანიშნავია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის უსასყიდლოების საწინდარია. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ ჩვენ გვჭირდება ფუნქცია მოდით აღვნიშნოთ წერტილები ნახაზზე (წითელი), სიმეტრიული წერტილები დარჩენილ რკალებზე (ლურჯი) და ყურადღებით დავაკავშიროთ მთელი კომპანია ხაზით: ელიფსი ოვალის განსაკუთრებული შემთხვევაა. სიტყვა "ოვალური" არ უნდა გავიგოთ ფილისტიმური გაგებით ("ბავშვმა დახატა ოვალი" და ა.შ.). ეს არის მათემატიკური ტერმინი, რომელსაც აქვს დეტალური ფორმულირება. ამ გაკვეთილის მიზანი არ არის განიხილოს ოვალების თეორია და მათი სხვადასხვა ტიპები, რომლებსაც პრაქტიკულად არ ექცევა ყურადღება ანალიტიკური გეომეტრიის სტანდარტულ კურსში. და, უფრო აქტუალური საჭიროებების შესაბამისად, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავდივართ ელიფსის მკაცრ განმარტებაზე: ელიფსიარის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეულ მათგანთან მანძილების ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან, ე.წ. ხრიკებიელიფსი, არის მუდმივი სიდიდე, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ელიფსის მთავარი ღერძის სიგრძეს: . ახლა ყველაფერი უფრო ნათელი გახდება: წარმოიდგინეთ, რომ ლურჯი წერტილი "მოგზაურობს" ელიფსის გასწვრივ. ასე რომ, არ აქვს მნიშვნელობა ელიფსის რომელ წერტილს ავიღებთ, სეგმენტების სიგრძის ჯამი ყოველთვის იგივე იქნება: მოდით დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ჯამის მნიშვნელობა მართლაც რვის ტოლია. გონებრივად მოათავსეთ წერტილი "um" ელიფსის მარჯვენა წვეროზე, შემდეგ: , რაც უნდა შემოწმდეს. მისი დახატვის კიდევ ერთი მეთოდი ემყარება ელიფსის განმარტებას. უმაღლესი მათემატიკა ზოგჯერ დაძაბულობისა და სტრესის მიზეზია, ამიტომ დროა კიდევ ერთი განტვირთვის სესია. გთხოვთ, აიღეთ ვატმენის ქაღალდი ან მუყაოს დიდი ფურცელი და მიამაგრეთ მაგიდაზე ორი ლურსმნით. ეს იქნება ხრიკები. ამობურცულ ფრჩხილის თავებს მიამაგრეთ მწვანე ძაფი და ფანქრით ბოლომდე მიათრევთ. ფანქრის ტყვია დასრულდება გარკვეულ წერტილში, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს. ახლა დაიწყეთ ფანქრის გადაადგილება ქაღალდის ფურცლის გასწვრივ, შეინარჩუნეთ მწვანე ძაფი მჭიდროდ. განაგრძეთ პროცესი სანამ არ დაბრუნდებით საწყის წერტილში... მშვენიერია... ნახატის შემოწმება შესაძლებელია ექიმმა და მასწავლებელმა =) ზემოხსენებულ მაგალითში მე გამოვხატე "მზა" ფოკუსური წერტილები და ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვყოთ ისინი გეომეტრიის სიღრმიდან. თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მის კერებს აქვთ კოორდინატები გამოთვლები უფრო მარტივია, ვიდრე მარტივი: ! ფოკუსების კონკრეტული კოორდინატების იდენტიფიცირება შეუძლებელია „ცე“-ს მნიშვნელობით!ვიმეორებ, რომ ეს არის DISTANCE თითოეული ფოკუსიდან ცენტრამდე(რომელიც ზოგად შემთხვევაში არ უნდა მდებარეობდეს ზუსტად საწყისზე). ელიფსის ექსცენტრიულობა არის თანაფარდობა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები დიაპაზონში. ჩვენს შემთხვევაში: მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დამოკიდებული ელიფსის ფორმა მის ექსცენტრიულობაზე. ამისთვის დააფიქსირეთ მარცხენა და მარჯვენა წვეროებიგანსახილველი ელიფსის, ანუ ნახევარმთავარი ღერძის მნიშვნელობა მუდმივი დარჩება. მაშინ ექსცენტრიულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას: . დავიწყოთ ექსცენტრიულობის მნიშვნელობის ერთიანობასთან მიახლოება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ. რას ნიშნავს ეს? ...დაიმახსოვრე ხრიკები ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ელიფსის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ერთიანობასთან, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი. ახლა მოდი საპირისპირო პროცესის მოდელირება: ელიფსის კერები ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო მსგავსია ელიფსი... შეხედეთ შემზღუდველ შემთხვევას, როდესაც კერები წარმატებით გაერთიანებულია საწყისთან: მართლაც, ნახევრადღერძების თანასწორობის შემთხვევაში, ელიფსის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას, რომელიც რეფლექსურად გარდაიქმნება სკოლიდან კარგად ცნობილი "a" რადიუსის სათავეში ცენტრის მქონე წრის განტოლებაში. პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება აღნიშვნა „სალაპარაკო“ ასო „ერ“-ით: . რადიუსი არის სეგმენტის სიგრძე, წრის თითოეული წერტილი ამოღებულია ცენტრიდან რადიუსის მანძილით. გაითვალისწინეთ, რომ ელიფსის განმარტება რჩება სრულიად სწორი: კერები ემთხვევა, ხოლო წრის თითოეული წერტილისთვის დამთხვევა სეგმენტების სიგრძის ჯამი მუდმივია. ვინაიდან კერებს შორის მანძილი არის, მაშინ ნებისმიერი წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია. წრის აგება მარტივი და სწრაფია, უბრალოდ გამოიყენეთ კომპასი. თუმცა, ზოგჯერ საჭიროა მისი ზოგიერთი წერტილის კოორდინატების გარკვევა, ამ შემთხვევაში მივდივართ ნაცნობ გზაზე - განტოლებას მივყავართ მხიარულ მატანოვის ფორმამდე: შემდეგ ჩვენ ვიპოვით საჭირო მნიშვნელობებს, განასხვავებენ, ინტეგრირებადა გააკეთე სხვა კარგი საქმეები. სტატია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ ცნობისთვისაა, მაგრამ როგორ შეიძლება იცხოვრო სამყაროში სიყვარულის გარეშე? კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის მაგალითი 2 შეადგინეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება, თუ ცნობილია მისი ერთ-ერთი კერა და ნახევრად მცირე ღერძი (ცენტრი სათავეშია). იპოვეთ წვეროები, დამატებითი წერტილები და დახაზეთ ხაზი ნახაზზე. გამოთვალეთ ექსცენტრიულობა. ამოხსნა და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს დავამატოთ მოქმედება: დავუბრუნდეთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, კერძოდ, იმ მდგომარეობას, რომლის საიდუმლოც აწამებს ცნობისმოყვარე გონებას ამ მრუდის პირველი ხსენების შემდეგ. ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ ელიფსს ასეთი განტოლება იშვიათია, მაგრამ გვხვდება. და ის რეალურად განსაზღვრავს ელიფსს. მოდი გავამჟღავნოთ: ელიფსის პარამეტრული განტოლება
ელიფსის ფოკუსური თვისება
ელიფსის სარეჟისორო საკუთრება
ელიფსის განტოლება პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში
კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ელიფსის განტოლებაში
ელიფსის პარამეტრული განტოლება
გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა ჩართოთ ActiveX კონტროლი!
მეორე რიგის ხაზები.
ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება. წრეალგებრული წრფის ცნება და მისი რიგი
- თვითნებური რეალური რიცხვები (ჩვეულებრივია მისი დაწერა ორჯერ), და კოეფიციენტები არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი.
და თუ კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მაშინ ეს არის ზუსტად "ბრტყელი" ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც წარმოადგენს პირველი შეკვეთის ხაზი.
ტერმინი შეიცავს "Y" 1 ხარისხამდე;
ტერმინში არ არის ცვლადები, ამიტომ მათი ძალების ჯამი არის ნული.
ჯამს აქვს ცვლადების ძალაუფლების ჯამი: 1 + 1 = 2;
ტერმინი შეიცავს „Y“-ს მე-2 ხარისხამდე;
ყველა სხვა პირობა - ნაკლებიგრადუსი.
, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.
, შემდეგ უკვე ვისაუბრებთ მე-4 შეკვეთის ხაზებიდა ა.შ.რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა?
მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია
– ელიფსის კანონიკური განტოლება;
– პარაბოლას კანონიკური განტოლება;ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება
როგორ ავაშენოთ ელიფსი?
სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი 
დაურეკა ნახევრად ძირითადი ლილვიელიფსი;
ნომერი 
– მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს; 
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.
. ჩნდება კითხვა აბსცისებით დამატებითი ქულების პოვნის შესახებ 
. მოდით შეეხეთ სამ SMS შეტყობინებას კალკულატორზე: 
რა თქმა უნდა, ასევე სასიამოვნოა, რომ თუ გამოთვლებში სერიოზული შეცდომა დაშვებულია, მაშინვე გახდება ნათელი მშენებლობის დროს.
ჯობია, საწყისი ჩანახატი ძალიან თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ დააჭიროთ ფანქრით. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?ელიფსის განმარტება. ელიფსის კერები და ელიფსის ექსცენტრიულობა
ამ შემთხვევაში ფოკუსებს შორის მანძილი ამ მნიშვნელობაზე ნაკლებია: .
როგორ მოვძებნოთ ელიფსის კერები?
, სად არის ეს მანძილი თითოეული ფოკუსიდან ელიფსის სიმეტრიის ცენტრამდე.
და, შესაბამისად, კერებს შორის მანძილი ასევე არ შეიძლება იყოს მიბმული ელიფსის კანონიკურ პოზიციასთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსი შეიძლება გადავიდეს სხვა ადგილას და მნიშვნელობა უცვლელი დარჩეს, ხოლო კერები ბუნებრივად შეცვლიან კოორდინატებს. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ ეს თემის შემდგომი შესწავლისას.ელიფსის ექსცენტრიულობა და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა
. ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის ფოკუსები აბსცისის ღერძის გასწვრივ გვერდითი წვეროებამდე "გადაინაცვლებს". და რადგან „მწვანე სეგმენტები არ არის რეზინი“, ელიფსი აუცილებლად დაიწყებს გაბრტყელებას და გადაიქცევა ღერძზე დაყრილ ძეხვად.
ერთმანეთისკენ წავიდნენ, ცენტრს მიუახლოვდნენ. ეს ნიშნავს, რომ „ce“-ს მნიშვნელობა სულ უფრო და უფრო მცირდება და, შესაბამისად, ექსცენტრიულობა ნულისკენ მიისწრაფვის: .
ამ შემთხვევაში, "მწვანე სეგმენტები", პირიქით, "გადატვირთული გახდება" და ისინი დაიწყებენ ელიფსის ხაზის "დაძაბვას" ზემოთ და ქვემოთ.
წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა
– ზედა ნახევარწრის ფუნქცია;
- ქვედა ნახევარწრის ფუნქცია.როტაცია და პარალელურად თარგმნა ელიფსი
, მაგრამ პრაქტიკაში არ არის შესაძლებელი განტოლების დაკმაყოფილება 
? თუმცა აქაც ხომ ელიფსია!
აგების შედეგად მიიღეს ჩვენი მშობლიური ელიფსი, რომელიც შემოტრიალდა 90 გრადუსით. ანუ 
- ეს არაკანონიკური ჩანაწერიელიფსი 
. ჩანაწერი!- განტოლება 
არ განსაზღვრავს სხვა ელიფსს, ვინაიდან ღერძზე არ არის წერტილები (ფოკუსები), რომლებიც დააკმაყოფილებს ელიფსის განმარტებას.