პრიზმის საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი მრავალკუთხედი - სამკუთხედი, ოთხკუთხედი და ა.შ. ორივე ფუძე აბსოლუტურად იდენტურია და შესაბამისად, რომლებთანაც პარალელური კიდეების კუთხეები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული, ყოველთვის პარალელურია. რეგულარული პრიზმის ძირში დევს რეგულარული მრავალკუთხედი, ანუ ის, რომელშიც ყველა გვერდი თანაბარია. სწორ პრიზმაში, გვერდით სახეებს შორის ნეკნები პერპენდიკულარულია ფუძის მიმართ. ამ შემთხვევაში, სწორი პრიზმის ფუძე შეიძლება შეიცავდეს მრავალკუთხედს ნებისმიერი რაოდენობის კუთხით. პრიზმას, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი, ეწოდება პარალელეპიპედი. მართკუთხედი არის პარალელოგრამის განსაკუთრებული შემთხვევა. თუ ეს ფიგურა დევს ფუძესთან, ხოლო გვერდითი სახეები განლაგებულია ფუძის მიმართ სწორი კუთხით, პარალელეპიპედს მართკუთხა ეწოდება. ამ გეომეტრიული სხეულის მეორე სახელი მართკუთხაა.

რას ჰგავს იგი

თანამედროვე ადამიანის გარემოში საკმაოდ ბევრია მართკუთხა პრიზმა. ეს არის, მაგალითად, ჩვეულებრივი მუყაო ფეხსაცმლისთვის, კომპიუტერის კომპონენტებისთვის და ა.შ. მიმოიხედე გარშემო. ოთახშიც კი ალბათ ნახავთ ბევრ მართკუთხა პრიზმას. მასში შედის კომპიუტერის ქეისი, წიგნის კარადა, მაცივარი, გარდერობი და სხვა მრავალი ნივთი. ფორმა ძალიან პოპულარულია ძირითადად იმიტომ, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მაქსიმალურად გამოიყენოთ თქვენი სივრცე, იქნება ეს ინტერიერის გაფორმებას თუ ნივთებს მუყაოში აწყობთ გადაადგილებამდე.

მართკუთხა პრიზმის თვისებები

მართკუთხა პრიზმას აქვს მთელი რიგი სპეციფიკური თვისებები. ნებისმიერი წყვილი სახე შეიძლება ემსახურებოდეს მას, რადგან ყველა მიმდებარე სახე განლაგებულია ერთმანეთზე იმავე კუთხით და ეს კუთხე 90°-ია. მართკუთხა პრიზმის მოცულობა და ზედაპირის ფართობის გამოთვლა უფრო ადვილია, ვიდრე ნებისმიერი სხვა. აიღეთ ნებისმიერი ობიექტი, რომელსაც აქვს მართკუთხა პრიზმის ფორმა. გაზომეთ მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე. მოცულობის მოსაძებნად, უბრალოდ გაამრავლეთ ეს ზომები. ანუ ფორმულა ასე გამოიყურება: V=a*b*h, სადაც V არის მოცულობა, a და b არის ფუძის გვერდები, h არის სიმაღლე, რომელიც ემთხვევა ამ გეომეტრიული სხეულის გვერდით კიდეს. ბაზის ფართობი გამოითვლება S1=a*b ფორმულით. გვერდითი ზედაპირისთვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ ფუძის პერიმეტრი P=2(a+b) ფორმულით, შემდეგ კი გაამრავლოთ სიმაღლეზე. შედეგად მიღებული ფორმულა არის S2=P*h=2(a+b)*h. მართკუთხა პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, დაამატეთ ორჯერ ბაზის ფართობი და გვერდითი ზედაპირის ფართობი. ფორმულა არის S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

სხვადასხვა პრიზმები განსხვავდება ერთმანეთისგან. ამავე დროს, მათ ბევრი საერთო აქვთ. პრიზმის ფუძის ფართობის მოსაძებნად, თქვენ უნდა გესმოდეთ, რა ტიპისაა იგი.

ზოგადი თეორია

პრიზმა არის ნებისმიერი პოლიედონი, რომლის გვერდებს აქვთ პარალელოგრამის ფორმა. უფრო მეტიც, მისი ფუძე შეიძლება იყოს ნებისმიერი პოლიედონი - სამკუთხედიდან n-გონამდე. უფრო მეტიც, პრიზმის ფუძეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია. რაც არ ეხება გვერდით სახეებს არის ის, რომ ისინი შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს ზომით.

პრობლემების გადაჭრისას არა მხოლოდ პრიზმის ფუძის ფართობი გვხვდება. შეიძლება მოითხოვოს გვერდითი ზედაპირის ცოდნა, ანუ ყველა სახე, რომელიც არ არის ფუძე. სრული ზედაპირი იქნება პრიზმის შემადგენელი ყველა სახის გაერთიანება.

ზოგჯერ პრობლემები მოიცავს სიმაღლეს. იგი პერპენდიკულარულია ფუძეებზე. პოლიედრონის დიაგონალი არის სეგმენტი, რომელიც წყვილად აკავშირებს ნებისმიერ ორ წვეროს, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს.

უნდა აღინიშნოს, რომ სწორი ან დახრილი პრიზმის საბაზისო ფართობი არ არის დამოკიდებული მათსა და გვერდითა სახეებს შორის კუთხეზე. თუ მათ აქვთ იგივე ფიგურები ზედა და ქვედა სახეებზე, მაშინ მათი ფართობი თანაბარი იქნება.

სამკუთხა პრიზმა

მას ძირში აქვს ფიგურა სამი წვერით, ანუ სამკუთხედი. როგორც მოგეხსენებათ, ეს შეიძლება იყოს განსხვავებული. თუ ასეა, საკმარისია გახსოვდეთ, რომ მისი ფართობი განისაზღვრება ფეხების ნახევრად პროდუქტით.

მათემატიკური აღნიშვნა ასე გამოიყურება: S = ½ av.

ზოგადად ფუძის ფართობის გასარკვევად, სასარგებლოა ფორმულები: ყანჩა და ის, რომელშიც გვერდის ნახევარი აღებულია მისკენ მიზიდული სიმაღლით.

პირველი ფორმულა უნდა დაიწეროს შემდეგნაირად: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). ეს აღნიშვნა შეიცავს ნახევრად პერიმეტრს (p), ანუ სამი მხარის ჯამს გაყოფილი ორზე.

მეორე: S = ½ n a * a.

თუ გსურთ გაარკვიოთ სამკუთხა პრიზმის ფუძის ფართობი, რომელიც არის რეგულარული, მაშინ სამკუთხედი აღმოჩნდება ტოლგვერდა. ამისათვის არსებობს ფორმულა: S = ¼ a 2 * √3.

ოთხკუთხა პრიზმა

მისი საფუძველი არის რომელიმე ცნობილი ოთხკუთხედი. ეს შეიძლება იყოს მართკუთხედი ან კვადრატი, პარალელეპიპედი ან რომბი. თითოეულ შემთხვევაში, პრიზმის ფუძის ფართობის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ საკუთარი ფორმულა.

თუ ფუძე არის მართკუთხედი, მაშინ მისი ფართობი განისაზღვრება შემდეგნაირად: S = ab, სადაც a, b არის მართკუთხედის გვერდები.

როდესაც საქმე ეხება ოთხკუთხა პრიზმას, ჩვეულებრივი პრიზმის ფუძის ფართობი გამოითვლება კვადრატის ფორმულის გამოყენებით. რადგან სწორედ ის დევს საძირკველში. S = a 2.

იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუძე პარალელეპიპედია, საჭირო იქნება შემდეგი ტოლობა: S = a * n a. ხდება ისე, რომ მოცემულია პარალელეპიპედის გვერდი და ერთ-ერთი კუთხე. შემდეგ, სიმაღლის გამოსათვლელად, დაგჭირდებათ დამატებითი ფორმულის გამოყენება: n a = b * sin A. უფრო მეტიც, კუთხე A არის "b" მხარის მიმდებარედ, ხოლო სიმაღლე n არის ამ კუთხის საპირისპირო.

თუ პრიზმის ძირში არის რომბი, მაშინ მისი ფართობის დასადგენად დაგჭირდებათ იგივე ფორმულა, რაც პარალელოგრამისთვის (რადგან ეს მისი განსაკუთრებული შემთხვევაა). მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს: S = ½ d 1 d 2. აქ d 1 და d 2 არის რომბის ორი დიაგონალი.

რეგულარული ხუთკუთხა პრიზმა

ეს შემთხვევა მოიცავს მრავალკუთხედის სამკუთხედებად დაყოფას, რომელთა არეების გარკვევა უფრო ადვილია. მიუხედავად იმისა, რომ ფიგურებს შეიძლება ჰქონდეთ წვეროების განსხვავებული რაოდენობა.

ვინაიდან პრიზმის ფუძე არის რეგულარული ხუთკუთხედი, ის შეიძლება დაიყოს ხუთ ტოლგვერდა სამკუთხედად. მაშინ პრიზმის ფუძის ფართობი უდრის ერთი ასეთი სამკუთხედის ფართობს (ფორმულა შეგიძლიათ იხილოთ ზემოთ), გამრავლებული ხუთზე.

რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა

ხუთკუთხა პრიზმისთვის აღწერილი პრინციპის გამოყენებით შესაძლებელია ფუძის ექვსკუთხედის დაყოფა 6 ტოლგვერდა სამკუთხედად. ასეთი პრიზმის ბაზის ფართობის ფორმულა წინა მსგავსია. მხოლოდ ის უნდა გამრავლდეს ექვსზე.

ფორმულა ასე გამოიყურება: S = 3/2 a 2 * √3.

ამოცანები

No 1. თუ გავითვალისწინებთ სწორ ხაზს, მისი დიაგონალი არის 22 სმ, პოლიედრონის სიმაღლე 14 სმ. გამოთვალეთ პრიზმის ფუძის ფართობი და მთელი ზედაპირი.

გამოსავალი.პრიზმის საფუძველი არის კვადრატი, მაგრამ მისი გვერდი უცნობია. მისი მნიშვნელობა შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატის დიაგონალიდან (x), რომელიც დაკავშირებულია პრიზმის (d) დიაგონალთან და მის სიმაღლესთან (h). x 2 = d 2 - n 2. მეორეს მხრივ, ეს სეგმენტი "x" არის ჰიპოტენუზა სამკუთხედში, რომლის ფეხები ტოლია კვადრატის გვერდის. ანუ x 2 = a 2 + a 2. ამრიგად, გამოდის, რომ a 2 = (d 2 - n 2)/2.

შეცვალეთ რიცხვი 22-ის ნაცვლად და შეცვალეთ "n" მისი მნიშვნელობით - 14, გამოდის, რომ კვადრატის გვერდი 12 სმ-ია, ახლა უბრალოდ გაარკვიეთ ფუძის ფართობი: 12 * 12 = 144 სმ 2.

მთელი ზედაპირის ფართობის გასარკვევად, საჭიროა ორჯერ დაამატოთ ბაზის ფართობი და გააოთხმაგოთ გვერდითი ფართობი. ეს უკანასკნელი მარტივად შეიძლება მოიძებნოს მართკუთხედის ფორმულის გამოყენებით: გავამრავლოთ პოლიედრონის სიმაღლე და ფუძის მხარე. ანუ 14 და 12, ეს რიცხვი იქნება 168 სმ 2-ის ტოლი. პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი გამოდის 960 სმ 2.

უპასუხე.პრიზმის ფუძის ფართობია 144 სმ 2. მთლიანი ზედაპირი 960 სმ 2.

No 2. ძირში არის სამკუთხედი, რომლის გვერდია 6 სმ. ამ შემთხვევაში, გვერდითი ზედაპირის დიაგონალი არის 10 სმ.

გამოსავალი.ვინაიდან პრიზმა რეგულარულია, მისი ფუძე არის ტოლგვერდა სამკუთხედი. მაშასადამე, მისი ფართობი გამოდის 6-ის კვადრატში, გამრავლებული ¼-ზე და 3-ის კვადრატულ ფესვზე. მარტივი გაანგარიშებით მივყავართ შედეგს: 9√3 სმ 2. ეს არის პრიზმის ერთი ფუძის ფართობი.

ყველა გვერდითი სახე ერთნაირია და არის მართკუთხედები 6 და 10 სმ გვერდების გამოსათვლელად, უბრალოდ გაამრავლეთ ეს რიცხვები. შემდეგ გაამრავლეთ ისინი სამზე, რადგან პრიზმას ზუსტად ამდენი გვერდითი სახე აქვს. შემდეგ ჭრილობის გვერდითი ზედაპირის ფართობი აღმოჩნდება 180 სმ 2.

უპასუხე.ფართობი: ძირი - 9√3 სმ 2, პრიზმის გვერდითი ზედაპირი - 180 სმ 2.

ლექცია: პრიზმა, მისი ფუძეები, გვერდითი ნეკნები, სიმაღლე, გვერდითი ზედაპირი; სწორი პრიზმა; სწორი პრიზმა

პრიზმა

თუ ჩვენთან ბრტყელი ფიგურები ისწავლეთ წინა კითხვებიდან, მაშინ სრულიად მზად ხართ სამგანზომილებიანი ფიგურების შესასწავლად. პირველი მყარი, რომელსაც ჩვენ ვისწავლით, იქნება პრიზმა.

პრიზმაარის სამგანზომილებიანი სხეული, რომელსაც აქვს უამრავი სახე.

ამ ფიგურას აქვს ორი მრავალკუთხედი ფუძეებზე, რომლებიც განლაგებულია პარალელურ სიბრტყეში და ყველა გვერდითი სახე აქვს პარალელოგრამის ფორმას.

ნახ.1. ნახ. 2

მოდით გავარკვიოთ, რისგან შედგება პრიზმა. ამისათვის ყურადღება მიაქციეთ ნახ.1-ს

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, პრიზმას აქვს ორი ფუძე, რომლებიც ერთმანეთის პარალელურია - ეს არის ხუთკუთხედები ABCEF და GMNJK. უფრო მეტიც, ეს მრავალკუთხედები ერთმანეთის ტოლია.

პრიზმის ყველა სხვა სახეს ეწოდება გვერდითი სახეები - ისინი შედგება პარალელოგრამებისგან. მაგალითად BMNC, AGKF, FKJE და ა.შ.

ყველა გვერდითი სახის მთლიანი ზედაპირი ეწოდება გვერდითი ზედაპირი.

მიმდებარე სახეების თითოეულ წყვილს აქვს საერთო მხარე. ამ საერთო მხარეს კიდე ეწოდება. მაგალითად MV, SE, AB და ა.შ.

თუ პრიზმის ზედა და ქვედა ფუძე ერთმანეთთან არის დაკავშირებული პერპენდიკულარულად, მაშინ მას პრიზმის სიმაღლე დაერქმევა. ფიგურაში სიმაღლე აღინიშნება როგორც სწორი ხაზი OO 1.

არსებობს პრიზმის ორი ძირითადი ტიპი: ირიბი და სწორი.

თუ პრიზმის გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაშინ ასეთ პრიზმას ე.წ. მიდრეკილი.

თუ პრიზმის ყველა კიდე ფუძეების პერპენდიკულარულია, მაშინ ასეთ პრიზმას უწოდებენ პირდაპირი.

თუ პრიზმის ფუძეები შეიცავს რეგულარულ მრავალკუთხედებს (თანაბარი გვერდების მქონე), მაშინ ასეთ პრიზმას ე.წ. სწორი.

თუ პრიზმის ფუძეები ერთმანეთის პარალელურად არ არის, მაშინ ასეთ პრიზმას ეძახიან შეკვეცილი.

თქვენ შეგიძლიათ იხილოთ ნახ. 2-ზე

ფორმულები პრიზმის მოცულობისა და ფართობის საპოვნელად

მოცულობის პოვნის სამი ძირითადი ფორმულა არსებობს. ისინი განსხვავდებიან ერთმანეთისგან განაცხადის მიხედვით:

მსგავსი ფორმულები პრიზმის ზედაპირის გასარკვევად:

ზოგადი ინფორმაცია სწორი პრიზმის შესახებ

პრიზმის გვერდითი ზედაპირი (უფრო ზუსტად, გვერდითი ზედაპირის ფართობი) ე.წ ჯამიგვერდითი სახეების უბნები. პრიზმის მთლიანი ზედაპირი ტოლია გვერდითი ზედაპირისა და ფუძეების ფართობების ჯამის.

თეორემა 19.1. სწორი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი უდრის ფუძის პერიმეტრისა და პრიზმის სიმაღლის ნამრავლს, ანუ გვერდითი კიდის სიგრძეს.

მტკიცებულება. სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედებია. ამ მართკუთხედების ფუძეები არის პრიზმის ძირში მდებარე მრავალკუთხედის გვერდები, ხოლო სიმაღლეები ტოლია გვერდითი კიდეების სიგრძისა. აქედან გამომდინარეობს, რომ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

სადაც a 1 და n არის ფუძის კიდეების სიგრძე, p არის პრიზმის ფუძის პერიმეტრი, ხოლო I არის გვერდითი კიდეების სიგრძე. თეორემა დადასტურდა.

პრაქტიკული დავალება

პრობლემა (22) . დახრილ პრიზმაში იგი ხორციელდება განყოფილებაგვერდითი ნეკნების პერპენდიკულარული და ყველა გვერდითი ნეკნების გადაკვეთა. იპოვეთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი, თუ განივი პერიმეტრი უდრის p-ს, ხოლო გვერდითი კიდეები ტოლია l-ის.

გამოსავალი. დახატული მონაკვეთის სიბრტყე ყოფს პრიზმას ორ ნაწილად (სურ. 411). მოდით, ერთ-ერთ მათგანს დავუმორჩილოთ პარალელურად თარგმნას, პრიზმის საფუძვლების გაერთიანებით. ამ შემთხვევაში ვიღებთ სწორ პრიზმას, რომლის ფუძეა თავდაპირველი პრიზმის განივი კვეთა, ხოლო გვერდითი კიდეები ლ-ის ტოლია. ამ პრიზმას აქვს იგივე გვერდითი ზედაპირი, როგორც თავდაპირველი. ამრიგად, თავდაპირველი პრიზმის გვერდითი ზედაპირი ტოლია pl.

განხილული თემის შეჯამება

ახლა შევეცადოთ შევაჯამოთ პრიზმების შესახებ განხილული თემა და გავიხსენოთ რა თვისებები აქვს პრიზმას.

პრიზმის თვისებები

ჯერ ერთი, პრიზმას აქვს ყველა მისი ფუძე, როგორც თანაბარი მრავალკუთხედი;
მეორეც, პრიზმაში მისი ყველა გვერდითი სახე პარალელოგრამებია;
მესამე, ისეთ მრავალმხრივ ფიგურაში, როგორიცაა პრიზმა, ყველა გვერდითი კიდე თანაბარია;

ასევე, უნდა გვახსოვდეს, რომ პოლიედრები, როგორიცაა პრიზები, შეიძლება იყოს სწორი ან დახრილი.

რომელ პრიზმას ეწოდება სწორი პრიზმა?

თუ პრიზმის გვერდითი კიდე მდებარეობს მისი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ ასეთ პრიზმას სწორი ეწოდება.

ზედმეტი არ იქნება გავიხსენოთ, რომ სწორი პრიზმის გვერდითი სახეები მართკუთხედებია.

რა ტიპის პრიზმას ეწოდება ირიბი?

მაგრამ თუ პრიზმის გვერდითი კიდე არ არის განლაგებული მისი ფუძის სიბრტყის პერპენდიკულარულად, მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის დახრილი პრიზმა.

რომელ პრიზმას ეწოდება სწორი?

თუ რეგულარული მრავალკუთხედი დევს სწორი პრიზმის ძირში, მაშინ ასეთი პრიზმა რეგულარულია.

ახლა გავიხსენოთ ის თვისებები, რაც აქვს ჩვეულებრივ პრიზმას.

რეგულარული პრიზმის თვისებები

პირველ რიგში, რეგულარული მრავალკუთხედები ყოველთვის ემსახურება როგორც რეგულარული პრიზმის საფუძველს;
მეორეც, თუ გავითვალისწინებთ რეგულარული პრიზმის გვერდით სახეებს, ისინი ყოველთვის თანაბარი მართკუთხედებია;
მესამე, თუ შევადარებთ გვერდითი ნეკნების ზომებს, მაშინ ჩვეულებრივ პრიზმაში ისინი ყოველთვის თანაბარია.
მეოთხე, სწორი პრიზმა ყოველთვის სწორია;
მეხუთე, თუ რეგულარულ პრიზმაში გვერდითი სახეები აქვს კვადრატის ფორმას, მაშინ ასეთ ფიგურას ჩვეულებრივ უწოდებენ ნახევრად რეგულარულ მრავალკუთხედს.

პრიზმის კვეთა

ახლა მოდით შევხედოთ პრიზმის განივი მონაკვეთს:

საშინაო დავალება

ახლა შევეცადოთ გავაერთიანოთ ის თემა, რომელიც ვისწავლეთ პრობლემების გადაჭრით.

დავხატოთ დახრილი სამკუთხა პრიზმა, მის კიდეებს შორის მანძილი ტოლი იქნება: 3 სმ, 4 სმ და 5 სმ, ხოლო ამ პრიზმის გვერდითი ზედაპირი 60 სმ2-ის ტოლი იქნება. ამ პარამეტრების გათვალისწინებით, იპოვეთ ამ პრიზმის გვერდითი კიდე.

იცით თუ არა, რომ გეომეტრიული ფიგურები მუდმივად გვახვევენ გარშემო, არა მხოლოდ გეომეტრიის გაკვეთილებზე, არამედ ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც არის საგნები, რომლებიც ამა თუ იმ გეომეტრიულ ფიგურას წააგავს.

ყველა სახლს, სკოლას ან სამსახურს აქვს კომპიუტერი, რომლის სისტემის ერთეული სწორი პრიზმის ფორმისაა.

თუ უბრალო ფანქარს აიღებთ, ნახავთ, რომ ფანქრის ძირითადი ნაწილი პრიზმაა.

ქალაქის ცენტრალურ ქუჩაზე სეირნობისას ვხედავთ, რომ ჩვენს ფეხქვეშ დევს ფილა, რომელსაც აქვს ექვსკუთხა პრიზმის ფორმა.

A.V. Pogorelov, გეომეტრია 7-11 კლასებისთვის, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

პრიზმა. პარალელეპიპედი

პრიზმაარის პოლიედონი, რომლის ორი სახე ტოლია n-გონებით (ბაზები) , დევს პარალელურ სიბრტყეში, ხოლო დარჩენილი n სახე პარალელოგრამებია (გვერდითი სახეები) . გვერდითი ნეკნი პრიზმის მხარეს, რომელიც არ ეკუთვნის ფუძეს, ეწოდება პრიზმის მხარე.

პრიზმას, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების სიბრტყეზე პერპენდიკულარულია, ეწოდება პირდაპირი პრიზმა (სურ. 1). თუ გვერდითი კიდეები არ არის პერპენდიკულარული ფუძეების სიბრტყეზე, მაშინ პრიზმა ეწოდება მიდრეკილი . სწორი პრიზმა არის სწორი პრიზმა, რომლის ფუძეები რეგულარული მრავალკუთხედებია.

სიმაღლეპრიზმა არის მანძილი ფუძეების სიბრტყეებს შორის. დიაგონალი პრიზმა არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წვეროს, რომლებიც არ ეკუთვნის ერთსა და იმავე სახეს. დიაგონალური განყოფილება ეწოდება პრიზმის მონაკვეთს სიბრტყით, რომელიც გადის ორ გვერდით კიდეზე, რომლებიც არ მიეკუთვნება ერთსა და იმავე სახეს. პერპენდიკულარული მონაკვეთი ეწოდება პრიზმის მონაკვეთს პრიზმის გვერდითი კიდეზე პერპენდიკულარული სიბრტყით.

გვერდითი ზედაპირის ფართობი პრიზმის არის ყველა გვერდითი სახის ფართობის ჯამი. მთლიანი ზედაპირის ფართობი ეწოდება პრიზმის ყველა სახის ფართობების ჯამს (ანუ გვერდითა და ფუძეების ფართობების ჯამი).

თვითნებური პრიზმისთვის ჭეშმარიტია შემდეგი ფორმულები::

სად ლ- გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პ

ქ

S მხარე

S სავსე

S ბაზა- ბაზების ფართობი;

ვ- პრიზმის მოცულობა.

სწორი პრიზმისთვის სწორია შემდეგი ფორმულები:

სად გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლ- გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე.

პარალელეპიპედიეწოდება პრიზმა, რომლის ფუძე არის პარალელოგრამი. პარალელეპიპედს, რომლის გვერდითი კიდეები ფუძეების პერპენდიკულარულია, ეწოდება პირდაპირი (ნახ. 2). თუ გვერდითი კიდეები არ არის ფუძეების პერპენდიკულარული, მაშინ პარალელეპიპედი ეწოდება მიდრეკილი . მართკუთხა პარალელეპიპედი, რომლის ფუძე არის მართკუთხედი, ეწოდება მართკუთხა. მართკუთხა პარალელეპიპედს, რომელსაც ყველა კიდე ტოლია, ეწოდება კუბი

პარალელეპიპედის სახეებს, რომლებსაც საერთო წვეროები არ აქვთ, ეწოდება საპირისპირო . ერთი წვეროდან გამომავალი კიდეების სიგრძეს უწოდებენ გაზომვები პარალელეპიპედი. ვინაიდან პარალელეპიპედი არის პრიზმა, მისი ძირითადი ელემენტები განისაზღვრება ისევე, როგორც ისინი განისაზღვრება პრიზმებისთვის.

თეორემები.

1. პარალელეპიპედის დიაგონალები იკვეთება ერთ წერტილში და ორად ყოფს მას.

2. მართკუთხა პარალელეპიპედში დიაგონალის სიგრძის კვადრატი მისი სამი განზომილების კვადრატების ჯამის ტოლია:

3. მართკუთხა პარალელეპიპედის ოთხივე დიაგონალი ერთმანეთის ტოლია.

თვითნებური პარალელეპიპედისთვის მოქმედებს შემდეგი ფორმულები:

სად ლ- გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ- სიმაღლე;

პ– პერპენდიკულარული მონაკვეთის პერიმეტრი;

ქ– პერპენდიკულარული კვეთის ფართობი;

S მხარე- გვერდითი ზედაპირის ფართობი;

S სავსე- მთლიანი ზედაპირის ფართობი;

S ბაზა- ბაზების ფართობი;

ვ- პრიზმის მოცულობა.

მარჯვენა პარალელეპიპედისთვის სწორია შემდეგი ფორმულები:

სად გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ლ- გვერდითი ნეკნის სიგრძე;

ჰ– მარჯვენა პარალელეპიპედის სიმაღლე.

მართკუთხა პარალელეპიპედისთვის სწორია შემდეგი ფორმულები:

(3)

სად გვ- ბაზის პერიმეტრი;

ჰ- სიმაღლე;

დ- დიაგონალი;

ა, ბ, გ- პარალელეპიპედის გაზომვები.

შემდეგი ფორმულები სწორია კუბისთვის:

სად ა- ნეკნების სიგრძე;

დ- კუბის დიაგონალი.

მაგალითი 1.მართკუთხა პარალელეპიპედის დიაგონალი არის 33 დმ, ხოლო ზომები 2: 6: 9 თანაფარდობით. იპოვეთ პარალელეპიპედის ზომები.

გამოსავალი.პარალელეპიპედის ზომების საპოვნელად ვიყენებთ ფორმულას (3), ე.ი. იმით, რომ კუბოიდის ჰიპოტენუზის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. მოდით აღვნიშნოთ კპროპორციულობის ფაქტორი. მაშინ პარალელეპიპედის ზომები იქნება 2-ის ტოლი კ, 6კდა 9 კ. მოდით დავწეროთ ფორმულა (3) პრობლემის მონაცემებისთვის:

ამ განტოლების ამოხსნა კ, ვიღებთ:

ეს ნიშნავს, რომ პარალელეპიპედის ზომებია 6 დმ, 18 დმ და 27 დმ.

პასუხი: 6 დმ, 18 დმ, 27 დმ.

მაგალითი 2.იპოვეთ დახრილი სამკუთხა პრიზმის მოცულობა, რომლის ფუძეა 8 სმ გვერდით ტოლგვერდა სამკუთხედი, თუ გვერდითი კიდე უდრის ფუძის მხარეს და დახრილია ფუძის მიმართ 60º კუთხით.

გამოსავალი . დავხატოთ ნახატი (სურ. 3).

იმისათვის, რომ იპოვოთ დახრილი პრიზმის მოცულობა, თქვენ უნდა იცოდეთ მისი ფუძისა და სიმაღლის ფართობი. ამ პრიზმის ფუძის ფართობი არის ტოლგვერდა სამკუთხედის ფართობი, რომლის გვერდია 8 სმ.

პრიზმის სიმაღლე არის მანძილი მის ფუძეებს შორის. ზემოდან აზედა ფუძის 1, ქვედა ბაზის სიბრტყის პერპენდიკულარულად ჩამოწიეთ ა 1 დ. მისი სიგრძე იქნება პრიზმის სიმაღლე. განვიხილოთ დ ა 1 ახ.წ: ვინაიდან ეს არის გვერდითი კიდის დახრილობის კუთხე ა 1 ასაბაზო თვითმფრინავამდე, ა 1 ა= 8 სმ ამ სამკუთხედიდან ვპოულობთ ა 1 დ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ მოცულობას ფორმულის გამოყენებით (1):

პასუხი: 192 სმ 3.

მაგალითი 3.რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმის გვერდითი კიდე არის 14 სმ. ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთის ფართობია 168 სმ 2. იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 4)

ყველაზე დიდი დიაგონალური მონაკვეთი არის მართკუთხედი ა.ა. 1 DD 1 დიაგონალიდან ახ.წრეგულარული ექვსკუთხედი ABCDEFარის ყველაზე დიდი. პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად, საჭიროა იცოდეთ ფუძის მხარე და გვერდითი კიდის სიგრძე.

დიაგონალური მონაკვეთის (მართკუთხედის) ფართობის გაცნობით, ჩვენ ვპოულობთ ფუძის დიაგონალს.

მას შემდეგ

მას შემდეგ AB= 6 სმ.

მაშინ ბაზის პერიმეტრია:

მოდით ვიპოვოთ პრიზმის გვერდითი ზედაპირის ფართობი:

რეგულარული ექვსკუთხედის ფართობი 6 სმ გვერდით არის:

იპოვეთ პრიზმის მთლიანი ზედაპირის ფართობი:

პასუხი:

მაგალითი 4.მარჯვენა პარალელეპიპედის ფუძე არის რომბი. დიაგონალური კვეთის ფართობია 300 სმ2 და 875 სმ2. იპოვეთ პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობი.

გამოსავალი.დავხატოთ ნახატი (სურ. 5).

რომბის გვერდი ავღნიშნოთ ა, რომბის დიაგონალები დ 1 და დ 2, პარალელეპიპედური სიმაღლე თ. მარჯვენა პარალელეპიპედის გვერდითი ზედაპირის ფართობის საპოვნელად აუცილებელია ფუძის პერიმეტრის გამრავლება სიმაღლეზე: (ფორმულა (2)). ბაზის პერიმეტრი p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, იმიტომ ABCD- რომბი H = AA 1 = თ. რომ. საჭიროა მოძებნა ადა თ.

განვიხილოთ დიაგონალური მონაკვეთები. AA 1 SS 1 – მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე არის რომბის დიაგონალი AC = დ 1, მეორე - გვერდითი კიდე AA 1 = თ, მაშინ

ანალოგიურად განყოფილებისთვის BB 1 DD 1 ვიღებთ:

პარალელოგრამის ისეთი თვისების გამოყენებით, რომ დიაგონალების კვადრატების ჯამი უდრის მისი ყველა მხარის კვადრატების ჯამს, ვიღებთ ტოლობას ვიღებთ შემდეგს.