ნაწილი 7 ათწილადი წილადები და მოქმედებები მათთან
ამ განყოფილებაში შეისწავლით:
რა არის ათობითი წილადი და როგორია მისი სტრუქტურა;
როგორ შევადაროთ ათწილადები;
როგორია ათწილადების შეკრება-გამოკლების წესები;
როგორ მოვძებნოთ ორი ათობითი წილადის ნამრავლი და კოეფიციენტი;
რა არის რიცხვის დამრგვალება და როგორ დავამრგვალოთ რიცხვები;
როგორ გამოვიყენოთ შესწავლილი მასალა პრაქტიკაში
§ 29. რა არის ათწილადი? ათწილადების შედარება
შეხედეთ სურათს 220. ხედავთ, რომ AB სეგმენტის სიგრძეა 7 მმ, ხოლო DC სეგმენტის სიგრძე 18 მმ. ამ სეგმენტების სიგრძის სანტიმეტრებში მისაცემად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ წილადები: 
თქვენ იცით მრავალი სხვა მაგალითი, სადაც გამოიყენება წილადები 10, 100, 1000 და მსგავსი მნიშვნელებით. Ისე, 
ასეთ წილადებს ათწილადები ეწოდება. მათი ჩასაწერად გამოიყენეთ უფრო მოსახერხებელი ფორმა, რომელსაც სახაზავი შემოგთავაზებთ თქვენს აქსესუარზე. მოდით შევხედოთ მოცემულ მაგალითს.
თქვენ იცით, რომ DC სეგმენტის სიგრძე (ნახ. 220) შეიძლება გამოისახოს შერეული რიცხვის სახით
თუ ამ რიცხვის მთელი ნაწილის შემდეგ დავსვამთ მძიმით, ხოლო წილადი ნაწილის მრიცხველს, მივიღებთ უფრო კომპაქტურ ჩანაწერს: AB სეგმენტისთვის, მაშინ მივიღებთ: 0,7 სმ მართლაც სწორია, ის ერთზე ნაკლებია, ამიტომ მისი მთელი ნაწილი არის 0. რიცხვები 1.8 და 0.7 არის ათობითი წილადების მაგალითები.
ათობითი წილადი 1.8 იკითხება შემდეგნაირად: „ერთი ქულა რვა“, ხოლო წილადი 0.7 არის „ნული წერტილი შვიდი“.
როგორ დავწეროთ წილადები 
როგორც ათწილადები? ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ათობითი აღნიშვნის სტრუქტურა.
ათობითი წილადის აღნიშვნაში ყოველთვის არის მთელი რიცხვი და წილადი ნაწილი. ისინი გამოყოფილია მძიმით. მთლიან ნაწილში კლასები და რიგები იგივეა, რაც ნატურალური რიცხვების. თქვენ იცით, რომ ეს არის ერთეულების კლასები, ათასობით, მილიონები და ა.შ. და თითოეულ მათგანს აქვს 3 ციფრი - ერთეული, ათეული და ასეული. ათობითი წილადის წილადში კლასები არ გამოიყოფა, მაგრამ შეიძლება იყოს იმდენი ციფრი, რამდენიც სასურველია, მათი სახელები შეესაბამება წილადების მნიშვნელების სახელებს - მეათედი, მეათედი, მეათასედი, ათი მეათასედი, მეათასედი; , ათი მილიონიანი და ა.შ. მეათედი ადგილი არის ყველაზე ძველი ადგილი ათწილადის წილადში.
ცხრილში 40 ხედავთ ათობითი ადგილების სახელებს და რიცხვს „ას ოცდასამი მთლიანი და ოთხი ათას ხუთასი ექვსასი ათასიანი“ ან 
ჩვეულებრივ წილადში წილადი ნაწილის სახელწოდება "ასი მეათასედი" განსაზღვრავს მის მნიშვნელს, ხოლო ათობითი ნაწილში - მისი წილადი ნაწილის ბოლო ციფრი. ამას ხედავთ რიცხვის წილადი ნაწილის მრიცხველში 
მნიშვნელში ნულზე ერთი ციფრი ნაკლებია. თუ ამას არ გავითვალისწინებთ, მაშინ წილადი ნაწილის ჩაწერისას მივიღებთ შეცდომას - 4506 ასი ათასის ნაცვლად დავწერთ 4506 ათიათასედს, მაგრამ 
ამიტომ ამ რიცხვის ათწილადის სახით ჩაწერისას ათწილადის შემდეგ (მეათე ადგილზე) უნდა ჩადოთ 0: 123.04506.
Შენიშვნა:
ათობითი წილადს იმდენივე ციფრი უნდა ჰქონდეს ათობითი წერტილის შემდეგ, რამდენიც არის ნულები შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელში.
ახლა შეგვიძლია ჩამოვწეროთ წილადები
ათწილადების სახით.
ათწილადები შეიძლება შევადაროთ ისევე, როგორც ნატურალური რიცხვები. თუ ათობითი წილადების ჩანაწერში ბევრი ციფრია, მაშინ გამოიყენება სპეციალური წესები. მოდით შევხედოთ მაგალითებს.
დავალება. შეადარეთ წილადები: 1) 96.234 და 830.123; 2) 3.574 და 3.547.
გადაწყვეტილებები. 1, პირველი წილადის მთელი რიცხვი არის ორნიშნა რიცხვი 96, ხოლო მეორე წილადის მთელი რიცხვი არის სამნიშნა რიცხვი 830, შესაბამისად:
96,234 < 830,123.
2. წერისას წილადები 3.574 და 3.547 და მთელი ნაწილები ტოლია. მაშასადამე, ჩვენ შევადარებთ მათ წილად ნაწილებს, ამ წილადებს ერთმანეთის ქვემოთ ვწერთ:
თითოეულ წილადს აქვს 5 მეათედი. მაგრამ პირველ წილადში არის 7 მეასედი, ხოლო მეორეში მხოლოდ 4 მეასედი. მაშასადამე, პირველი წილადი მეორეზე მეტია: 3,574 > 3,547.
ათობითი წილადების შედარების წესები.
1. ორი ათობითი წილადიდან უფრო დიდია ის, რომლის მთელი ნაწილი უფრო დიდია.
2. თუ ათობითი წილადების მთელი რიცხვი ტოლია, მაშინ შეადარე მათი წილადი ნაწილები ცოტ-ცოტა, დაწყებული ყველაზე მნიშვნელოვანი ციფრით.
წილადების მსგავსად, ათწილადები შეიძლება განთავსდეს კოორდინატულ სხივზე. ნახაზზე 221 ხედავთ, რომ A, B და C წერტილებს აქვთ კოორდინატები: A(0.2), B(0.9), C(1.6).
შეიტყვეთ მეტი
ათწილადები დაკავშირებულია ათობითი პოზიციური რიცხვების სისტემასთან. თუმცა, მათ გარეგნობას უფრო გრძელი ისტორია აქვს და დაკავშირებულია გამოჩენილი მათემატიკოსისა და ასტრონომის ალ-კაშის სახელთან (სრული სახელი - ჯემშიდ იბნ მასუდალ-კაში). თავის ნაშრომში „არითმეტიკის გასაღები“ (XV საუკუნე) მან პირველად ჩამოაყალიბა ათობითი წილადებთან მუშაობის წესები და მოჰყვა მათთან მოქმედებების შესრულების მაგალითები. არაფერი იცოდა ალ-კაშის აღმოჩენის შესახებ, ფლამანდიელმა მათემატიკოსმა და ინჟინერმა საიმონ სტევინმა მეორედ „აღმოაჩინა“ ათობითი წილადები დაახლოებით 150 წლის შემდეგ. ნაშრომში „ათწილადი“ (1585 გვ.) ს. სტივინმა გამოკვეთა ათობითი წილადების თეორია. მან ხელი შეუწყო მათ ყოველმხრივ, ხაზს უსვამდა ათობითი წილადების მოხერხებულობას პრაქტიკული გამოთვლებისთვის.
მთელი ნაწილის გამოყოფა წილადის ათწილადიდან შემოთავაზებულია სხვადასხვა გზით. ამრიგად, ალ-კაშიმ მთელი და წილადი ნაწილები სხვადასხვა მელნით დაწერა ან მათ შორის ვერტიკალური ხაზი დადო. ს.სტივინმა წრეში ჩადო ნული, რათა გამოეყო მთელი ნაწილი წილადი ნაწილისგან. ჩვენს დროში მიღებული მძიმე შემოგვთავაზა ცნობილმა გერმანელმა ასტრონომმა იოჰანეს კეპლერმა (1571 - 1630 წწ.).
ᲞᲝᲑᲚᲔᲛᲔᲑᲘᲡ ᲛᲝᲒᲕᲐᲠᲔᲑᲐ
1173. ჩაწერეთ AB მონაკვეთის სიგრძე სანტიმეტრებში, თუ:
1)AB = 5 მმ; 2)AB = 8 მმ; 3)AB = 9 მმ; 4)AB = 2 მმ.
1174. წაიკითხეთ წილადები:
1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;
2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.
დასახელება: ა) წილადის მთელი ნაწილი; ბ) წილადის წილადი ნაწილი; გ) წილადი ციფრები.
1175. მოიყვანეთ ათობითი წილადის მაგალითი, რომელშიც ათობითი წერტილის შემდეგ არის:
1) ერთი ციფრი; 2) ორი ნომერი; 3) სამი ნომერი.
1176. რამდენი ათწილადი აქვს ათწილადის წილადს, თუ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მნიშვნელი ტოლია:
1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?
1177. წილადებიდან რომელს აქვს უფრო დიდი მთელი ნაწილი:
1) 12.5 ან 115.2; 4) 789.154 ან 78.4569;
2) 5.25 ან 35.26; 5) 1258.00265 ან 125.0333;
3) 185.25 ან 56.325; 6) 1269.569 თუ 16.12?
1178. ნომერში 1256897 გამოყავით ბოლო ციფრი მძიმით და წაიკითხეთ მიღებული რიცხვი. შემდეგ თანმიმდევრულად გადაიტანეთ მძიმით ერთი ციფრი მარცხნივ და დაასახელეთ მიღებული წილადები.
1179. წაიკითხეთ წილადები და დაწერეთ ათწილადები:
1180 წაიკითხეთ წილადები და დაწერეთ ათწილადების სახით:
1181. ჩვეულებრივი წილადით დაწერე:
1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;
2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;
3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.
1182. ჩვეულებრივი წილადით დაწერე:
1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.
1183. ათწილადი წილადით დაწერეთ:
1) 8 ქულა 3; 5) 145 ქულა 14;
2) 12 ქულა 5; 6) 125 ქულა 19;
3) 0 ქულა 5; 7) 0 ქულა 12 მეასედი;
4) 12 ქულა 34 მეასედი; 8) 0 ქულა 3 მეასედი.
1184. ათწილადი წილადით დაწერეთ:
1) ნულოვანი წერტილი რვა მეათასედი;
2) ოცი ქულა ოთხი;
3) ცამეტი პუნქტი მეხუთე;
4) ას ორმოცდახუთი ქულა ორასედი.
1185. წილადი ჩაწერეთ წილადად და შემდეგ ათწილადად:
1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;
2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.
1186. ჩაწერეთ შერეული რიცხვი და შემდეგ ათწილადი:
1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;
2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.
1187. ჩაწერეთ შერეული რიცხვი და შემდეგ ათწილადი:
1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;
2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.
1188. ექსპრესი გრივნაში:
1) 35 კ.; 2) 6 კ.; 3) 12 UAH 35 კაპიკი; 4) 123 ათასი.
1189. ექსპრესი გრივნაში:
1) 58 კ.; 2) 2 კ.; 3) 56 UAH 55 კაპიკი; 4)175 კ.
1190. გრივენითა და კაპიკებით დაწერეთ:
1)10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH.
1191. გამოხატეთ მეტრით და დაწერეთ პასუხი ათწილადის სახით: 1) 5 მ 7 დმ; 2) 15 მ 58 სმ; 3) 5 მ 2 მმ; 4) 12 მ 4 დმ 3 სმ 2 მმ.
1192. გამოთქვით კილომეტრებში და დაწერეთ პასუხი ათწილადის სახით: 1) 3 კმ 175 მ; 2) 45 კმ 47 მ; 3) 15 კმ 2 მ.
1193. ჩაწერეთ მეტრებში და სანტიმეტრებში:
1) 12,55 მ; 2) 2,06 მ; 3) 0,25 მ; 4) 0,08 მ.
1194. შავი ზღვის უდიდესი სიღრმე 2211 კმ. გამოხატეთ ზღვის სიღრმე მეტრებში.
1195. შეადარეთ წილადები:
1) 15.5 და 16.5; 5) 4.2 და 4.3; 9) 1.4 და 1.52;
2) 12.4 და 12.5; 6) 14.5 და 15.5; 10) 4.568 და 4.569;
3)45.8 და 45.59; 7) 43.04 და 43.1; 11)78.45178.458;
4) 0.4 და 0.6; 8) 1.23 და 1.364; 12) 2.25 და 2.243.
1196. შეადარეთ წილადები:
1)78.5 და 79.5; 3) 78.3 და 78.89; 5) 25.03 და 25.3;
2) 22.3 და 22.7; 4) 0.3 და 0.8; 6) 23.569 და 23.568.
1197. ათწილადი წილადები დაწერეთ ზრდადი თანმიმდევრობით:
1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;
2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.
1198. ჩამოწერეთ ათწილადი წილადები კლებადობით:
15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.
1199. გამოთქვით კვადრატულ მეტრებში და დაწერეთ ათწილადის სახით:
1) 5 დმ2; 2) 15 სმ2; 3)5დმ212სმ2.
1200. ოთახი მართკუთხედის ფორმისაა. მისი სიგრძეა 90 დმ, ხოლო სიგანე 40 დმ. იპოვნეთ ოთახის ფართობი. დაწერეთ თქვენი პასუხი კვადრატულ მეტრებში.
1201 წ. შეადარეთ წილადები:
1)0.04 და 0.06; 5) 1.003 და 1.03; 9) 120.058 და 120.051;
2) 402.0022 და 40.003; 6) 1,05 და 1,005; 10) 78.05 და 78.58;
3) 104.05 და 105.05; 7) 4.0502 და 4.0503; 11) 2.205 და 2.253;
4) 40.04 და 40.01; 8)60.4007i60.04007; 12)20.12 და 25.012.
1202. შეადარეთ წილადები:
1)0.03 და 0.3; 4) 6.4012 და 6.404;
2) 5.03 და 5.003; 5) 450.025 და 450.2054;
1203. ჩაწერეთ ხუთი ათობითი წილადი, რომელიც მდებარეობს წილადებს შორის კოორდინატულ სხივზე:
1)6.2 და 6.3; 2) 9.2 და 9.3; 3) 5.8 და 5.9; 4) 0.4 და 0.5.
1204. ჩამოწერეთ ხუთი ათობითი წილადი, რომლებიც განლაგებულია წილადებს შორის კოორდინატთა სხივზე: 1) 3.1 და 3.2; 2) 7.4 და 7.5.
1205. ორ მეზობელ ნატურალურ რიცხვს შორის მოთავსებულია ათობითი წილადი:
1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?
1206. ჩამოწერეთ ხუთი ათობითი წილადი, რომლებზედაც მოქმედებს უტოლობა:
1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;
2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.
1207. ჩამოწერეთ ხუთი ათწილადი წილადი, რომლებისთვისაც არის უტოლობა:
1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.
1208. დაწერეთ ყველაზე დიდი ათობითი წილადი:
1) ათწილადის შემდეგ ორი ციფრი, 2-ზე ნაკლები;
2) ათწილადის შემდეგ ერთი ციფრით, 3-ზე ნაკლები;
3) ათწილადის შემდეგ სამი ციფრით, 4-ზე ნაკლები;
4) ათწილადის შემდეგ ოთხი ციფრით, 1-ზე ნაკლები.
1209. დაწერეთ უმცირესი ათობითი წილადი:
1) ორი ციფრით ათობითი წერტილის შემდეგ, რომელიც 2-ზე მეტია;
2) სამი ციფრით ათობითი წერტილის შემდეგ, რომელიც 4-ზე მეტია.
1210. ჩაწერეთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც შეიძლება ვარსკვლავის ადგილას დავსვათ სწორი უტოლობის მისაღებად:
1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;
2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.
1211. რომელი რიცხვი შეიძლება დავდოთ ვარსკვლავის ნაცვლად სწორი უტოლობის მისაღებად:
1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?
1212. ჩაწერეთ ყველა ათწილადი, რომელთა მთელი ნაწილი უდრის 6-ს, ხოლო წილადი შეიცავს სამ ათწილადს, დაწერილი 7 და 8. დაწერეთ ეს წილადები კლებადობით.
1213. ჩაწერეთ ექვსი ათობითი წილადი, რომელთა მთელი ნაწილი უდრის 45-ს, ხოლო წილადი შედგება ოთხი განსხვავებული ციფრისგან: 1, 2, 3, 4. დაწერეთ ეს წილადები ზრდადობით.
1214. რამდენი ათობითი წილადი შეგიძლია შეადგინო, რომლის მთელი ნაწილი უდრის 86-ს, ხოლო წილადი სამი განსხვავებული ციფრისგან შედგება: 1,2,3?
1215. რამდენი ათობითი წილადის შედგენა შეიძლება, რომლის მთელი ნაწილი უდრის 5-ს, ხოლო წილადი სამნიშნა, ჩაწერილი 6-ით და 7-ით? დაწერეთ ეს წილადები კლებადობით.
1216. გადახაზეთ სამი ნული 50.004007 რიცხვში, რათა შექმნათ:
1) ყველაზე დიდი რიცხვი; 2) ყველაზე პატარა რიცხვი.
განათავსეთ იგი პრაქტიკაში
1217. გაზომეთ თქვენი რვეულის სიგრძე და სიგანე მილიმეტრებში და დაწერეთ პასუხი დეციმეტრებში.
1218. ათწილადების გამოყენებით დაწერეთ თქვენი სიმაღლე მეტრებში.
1219. გაზომეთ თქვენი ოთახის ზომები და გამოთვალეთ მისი პერიმეტრი და ფართობი. ჩაწერეთ თქვენი პასუხი მეტრებში და კვადრატულ მეტრებში.
გადახედეთ პრობლემებს
1220. x-ის რომელ მნიშვნელობებზეა წილადი არასწორი?
1221. ამოხსენი განტოლება:
1222. მაღაზიას უნდა გაეყიდა 714 კგ ვაშლი. პირველ დღეს ყველა ვაშლი გაიყიდა, მეორე დღეს კი - პირველ დღეს გაყიდულიდან. რამდენი ვაშლი გაიყიდა 2 დღეში?
1223. კუბის კიდე შემცირდა 10 სმ-ით და მივიღეთ კუბი, რომლის მოცულობა არის 8 დმ3. იპოვეთ პირველი კუბის მოცულობა.
ეს თემა განიხილავს როგორც ათობითი წილადების შედარების ზოგად სქემას, ასევე სასრულ და უსასრულო წილადების შედარების პრინციპის დეტალურ ანალიზს. თეორიულ ნაწილს ტიპიური ამოცანების გადაჭრით გავაძლიერებთ. ჩვენ ასევე განვიხილავთ ათობითი წილადების ბუნებრივ ან შერეულ რიცხვებთან და ჩვეულებრივ წილადებთან შედარების მაგალითებს.
მოდით დავაზუსტოთ: თეორიულად, მხოლოდ დადებითი ათობითი წილადების შედარება განიხილება ქვემოთ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
ათობითი წილადების შედარების ზოგადი პრინციპი
ყოველი სასრული ათობითი და უსასრულო პერიოდული ათწილადისთვის არის მათ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები. შესაბამისად, სასრულ და უსასრულო პერიოდული წილადების შედარება შეიძლება მოხდეს როგორც შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადების შედარება. სინამდვილეში, ეს განცხადება არის ათწილადი პერიოდული წილადების შედარების ზოგადი პრინციპი.
ზოგადი პრინციპიდან გამომდინარე, ჩამოყალიბებულია ათობითი წილადების შედარების წესები, რომელთა დაცვით შესაძლებელია შედარებული ათობითი წილადების არ გადაქცევა ჩვეულებრივად.
იგივე შეიძლება ითქვას შემთხვევებზე, როდესაც ათობითი პერიოდული წილადი შედარებულია ნატურალურ რიცხვებთან ან შერეულ რიცხვებთან, ჩვეულებრივ წილადებთან - მოცემული რიცხვები უნდა შეიცვალოს მათი შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადებით.
თუ ჩვენ ვსაუბრობთ უსასრულო არაპერიოდული წილადების შედარებაზე, მაშინ ის ჩვეულებრივ მცირდება სასრული ათობითი წილადების შედარებამდე. განსახილველად მიღებულია შედარებული უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების ისეთი ნიშნები, რაც შესაძლებელს გახდის შედარების შედეგის მიღებას.
ტოლი და არათანაბარი ათწილადები
განმარტება 1ტოლი ათწილადები- ეს არის ორი სასრული ათობითი წილადი, რომელთა შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები ტოლია. წინააღმდეგ შემთხვევაში ათწილადები არის არათანაბარი.
ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, მარტივია შემდეგი დებულების დასაბუთება: თუ თქვენ მოაწერთ ხელს ან, პირიქით, ჩამოაგდებთ რამდენიმე ციფრს 0-ს მოცემული ათობითი წილადის ბოლოს, მიიღებთ მის ტოლ ათწილადს. მაგალითად: 0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = .... ან: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130. არსებითად, მარჯვნივ წილადის ბოლოს ნულის დამატება ან ჩაშვება ნიშნავს შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებას ან 10-ზე გაყოფას. ხსენებულს დავუმატოთ წილადების ძირითადი თვისება (წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის იმავე ნატურალურ რიცხვზე გამრავლებით ან გაყოფით, მივიღებთ თავდაპირველის ტოლ წილადს) და გვაქვს ზემოაღნიშნული მტკიცების დამადასტურებელი.
მაგალითად, ათობითი წილადი 0.7 შეესაბამება საერთო წილადს 7 10. მარჯვნივ ნულის მიმატებით მივიღებთ ათობითი წილადს 0, 70, რომელიც შეესაბამება საერთო წილადს 70 100, 7 70 100: 10. . ანუ: 0.7 = 0.70. და პირიქით: ათწილადის 0, 70 წილადში მარჯვნივ ნულის გადაგდება, მივიღებთ წილადს 0, 7 - ამრიგად, ათობითი წილადიდან 70 100 მივდივართ წილად 7 10, მაგრამ 7 10 = 70: 10 100 : 10 შემდეგ: 0, 70 = 0 , 7 .
ახლა განვიხილოთ თანაბარი და არათანაბარი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების ცნების შინაარსი.
განმარტება 2
ტოლი უსასრულო პერიოდული წილადებიარის უსასრულო პერიოდული წილადები, რომელთა შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები ტოლია. თუ მათ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები არ არის ტოლი, მაშინ შესადარებლად მოცემული პერიოდული წილადებიც არათანაბარი.
ეს განმარტება საშუალებას გვაძლევს გამოვიტანოთ შემდეგი დასკვნები:
თუ მოცემული პერიოდული ათობითი წილადების აღნიშვნები ემთხვევა, მაშინ ასეთი წილადები ტოლია. მაგალითად, პერიოდული ათობითი წილადები 0.21 (5423) და 0.21 (5423) ტოლია;
თუ მოცემულ ათწილადის პერიოდულ წილადებში პერიოდები იწყება ერთი და იგივე პოზიციიდან, პირველ წილადს აქვს წერტილი 0, ხოლო მეორეს - 9; 0-ის წინა პერიოდის ციფრის მნიშვნელობა ერთით მეტია 9-ის წინა პერიოდის რიცხვის მნიშვნელობაზე, მაშინ ასეთი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები ტოლია. მაგალითად, პერიოდული წილადები 91, 3 (0) და 91, 2 (9), ასევე წილადები: 135, (0) და 134, (9) ტოლია;
ნებისმიერი სხვა პერიოდული წილადი არ არის ტოლი. მაგალითად: 8, 0 (3) და 6, (32); 0 , (42) და 0 , (131) და ა.შ.
რჩება ტოლი და არათანაბარი უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების გათვალისწინება. ასეთი წილადები ირაციონალური რიცხვებია და არ შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად. შესაბამისად, უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების შედარება არ მცირდება ჩვეულებრივთან შედარებით.
განმარტება 3
ტოლი უსასრულო არაპერიოდული ათწილადები- ეს არის არაპერიოდული ათობითი წილადები, რომელთა ჩანაწერები მთლიანად ემთხვევა.
ლოგიკური კითხვა იქნება: როგორ შევადაროთ ჩანაწერები, თუ შეუძლებელია ასეთი წილადების „დასრულებული“ ჩანაწერის დანახვა? უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების შედარებისას, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ შედარებისთვის მითითებული წილადების მხოლოდ გარკვეული სასრული რიცხვი, რათა ეს დასკვნის გამოტანის საშუალებას მოგცემთ. იმათ. არსებითად, უსასრულო არაპერიოდული ათწილადების შედარება სასრულ ათწილადების შედარებაა.
ეს მიდგომა შესაძლებელს ხდის უსასრულო არაპერიოდული წილადების ტოლობის დამტკიცებას მხოლოდ მოცემულ ციფრამდე. მაგალითად, წილადები 6, 73451... და 6, 73451... უდრის უახლოეს ას მეათასედს, რადგან საბოლოო ათობითი წილადები 6, 73451 და 6, 7345 ტოლია. წილადები 20, 47... და 20, 47... უდრის უახლოეს მეასედებს, რადგან წილადები 20, 47 და 20, 47 და ასე შემდეგ ტოლია.
უსასრულო არაპერიოდული წილადების უტოლობა საკმაოდ კონკრეტულად არის დადგენილი აღნიშვნების აშკარა განსხვავებებით. მაგალითად, წილადები 6, 4135... და 6, 4176... ან 4, 9824... და 7, 1132... და ა.შ. არატოლია.
ათობითი წილადების შედარების წესები. მაგალითების ამოხსნა
თუ დადგინდა, რომ ორი ათობითი წილადი არათანაბარია, როგორც წესი, ასევე აუცილებელია იმის დადგენა, რომელია მეტი და რომელი ნაკლები. განვიხილოთ ათობითი წილადების შედარების წესები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის ზემოაღნიშნული ამოცანის გადაჭრას.
ძალიან ხშირად საკმარისია შედარებისთვის მოცემული ათობითი წილადების მთელი ნაწილების შედარება.
განმარტება 4
ათობითი წილადი, რომლის მთელი ნაწილი უფრო დიდია, უფრო დიდია. პატარა წილადია ის, რომლის მთელი ნაწილი უფრო პატარაა.
ეს წესი ვრცელდება როგორც სასრულ, ასევე უსასრულო ათობითი წილადებზე.
მაგალითი 1
აუცილებელია შევადაროთ ათობითი წილადები: 7, 54 და 3, 97823....
გამოსავალი
აშკარაა, რომ მოცემული ათობითი წილადები არ არის ტოლი. მათი მთელი ნაწილები ტოლია შესაბამისად: 7 და 3. იმიტომ რომ 7 > 3, შემდეგ 7, 54 > 3, 97823….
პასუხი: 7 , 54 > 3 , 97823 … .
იმ შემთხვევაში, როდესაც შესადარებლად მოცემული წილადების მთელი ნაწილები ტოლია, ამოცანის ამოხსნა მცირდება წილადი ნაწილების შედარებამდე. წილადი ნაწილების შედარება ხდება ცალ-ცალკე - მეათედების ადგილიდან ქვედამდე.
ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც უნდა შევადაროთ სასრული ათობითი წილადები.
მაგალითი 2
აუცილებელია საბოლოო ათობითი წილადების შედარება 0.65 და 0.6411.
გამოსავალი
ცხადია, მოცემული წილადების მთელი ნაწილები ტოლია (0 = 0). მოდით შევადაროთ წილადი ნაწილები: მეათედებში მნიშვნელობები ტოლია (6 = 6), მაგრამ მეასედში წილადის მნიშვნელობა 0,65 მეტია წილადის მეასედების მნიშვნელობაზე 0,6411 (5 > 4) . ამრიგად, 0.65 > 0.6411.
პასუხი: 0 , 65 > 0 , 6411 .
ზოგიერთ პრობლემაში, რომელიც ადარებს სასრულ ათობითი წილადებს ათწილადების სხვადასხვა რაოდენობასთან, აუცილებელია ნულების საჭირო რაოდენობის დამატება მარჯვნივ წილადზე ნაკლები ათწილადით. მოსახერხებელია ამ გზით ათწილადების რაოდენობის გათანაბრება მოცემულ წილადებში შედარების დაწყებამდეც კი.
მაგალითი 3
აუცილებელია შევადაროთ საბოლოო ათობითი წილადები 67, 0205 და 67, 020542.
გამოსავალი
ეს წილადები აშკარად არ არის ტოლი, რადგან მათი ჩანაწერები განსხვავებულია. უფრო მეტიც, მათი მთელი ნაწილები ტოლია: 67 = 67. ვიდრე მოცემული წილადების წილადი ნაწილების ბიტიურ შედარებას დავიწყებთ, მოდით გავათანაბროთ ათწილადების რიცხვი ნულების მიმატებით მარჯვნივ წილადებში, რომლებსაც ნაკლები ათწილადი აქვთ. შემდეგ შედარებისთვის ვიღებთ წილადებს: 67, 020500 და 67, 020542. ჩვენ ვაწარმოებთ ბიტობრივ შედარებას და ვხედავთ, რომ ასი მეათედის ადგილას მნიშვნელობა წილადში 67.020542 მეტია 67.020500 წილადის შესაბამის მნიშვნელობაზე (4 > 0). ამრიგად, 67, 020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .
პასუხი: 67 , 0205 < 67 , 020542 .
თუ საჭიროა სასრული ათობითი წილადის შედარება უსასრულო წილადთან, მაშინ სასრული წილადი იცვლება უსასრულო წილადით, მისი ტოლი 0 პერიოდით. შემდეგ ტარდება ბიტიური შედარება.
მაგალითი 4
აუცილებელია შევადაროთ სასრული ათობითი წილადი 6, 24 უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი 6, 240012 ...
გამოსავალი
ჩვენ ვხედავთ, რომ მოცემული წილადების მთელი ნაწილები ტოლია (6 = 6). მეათედებისა და მეასედების ადგილებში ორივე წილადის მნიშვნელობები ასევე ტოლია. დასკვნის გამოტანის მიზნით ვაგრძელებთ შედარებას, ვანაცვლებთ სასრულ ათობითი წილადს ტოლი უსასრულო წილადით 0 პერიოდით და მივიღებთ: 6, 240000 .... მეხუთე ათწილადის მიღწევის შემდეგ, ჩვენ ვიპოვით განსხვავებას: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .
პასუხი: 6, 24< 6 , 240012 … .
უსასრულო ათობითი წილადების შედარებისას ასევე გამოიყენება ადგილის შედარება, რომელიც მთავრდება, როდესაც მოცემული წილადების ზოგიერთ ადგილას მნიშვნელობები განსხვავებული აღმოჩნდება.
მაგალითი 5
აუცილებელია შევადაროთ უსასრულო ათობითი წილადები 7, 41 (15) და 7, 42172....
გამოსავალი
მოცემულ წილადებში არის ტოლი მთელი ნაწილები, მეათედების მნიშვნელობებიც ტოლია, მაგრამ მეასედების ადგილას ვხედავთ განსხვავებას: 1.< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
პასუხი: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .
მაგალითი 6
აუცილებელია შევადაროთ უსასრულო პერიოდული წილადები 4, (13) და 4, (131).
გამოსავალი:
შემდეგი ტოლობები ნათელი და ჭეშმარიტია: 4, (13) = 4, 131313... და 4, (133) = 4, 131131.... ვადარებთ მთელ ნაწილებს და ბიტობრივ წილად ნაწილებს და მეოთხე ათობითი ადგილზე ვაფიქსირებთ შეუსაბამობას: 3 > 1. შემდეგ: 4, 131313... > 4, 131131..., და 4, (13) > 4, (131).
პასუხი: 4 , (13) > 4 , (131) .
ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვთან შედარების შედეგის მისაღებად, თქვენ უნდა შეადაროთ მოცემული წილადის მთელი ნაწილი მოცემულ ნატურალურ რიცხვს. გასათვალისწინებელია, რომ პერიოდული წილადები 0 ან 9 პერიოდებით ჯერ უნდა იყოს წარმოდგენილი მათ ტოლი სასრული ათობითი წილადების სახით.
განმარტება 5
თუ მოცემული ათობითი წილადის მთელი რიცხვი ნაკლებია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ მთელი წილადი უფრო მცირეა მოცემულ ნატურალურ რიცხვთან მიმართებაში. თუ მოცემული წილადის მთელი რიცხვი მეტია ან ტოლია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ წილადი მეტია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე.
მაგალითი 7
აუცილებელია შევადაროთ ნატურალური რიცხვი 8 და ათობითი წილადი 9, 3142....
გამოსავალი:
მოცემული ნატურალური რიცხვი ნაკლებია მოცემული ათობითი წილადის მთელ ნაწილზე (8< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.
პასუხი: 8 < 9 , 3142 … .
მაგალითი 8
აუცილებელია შევადაროთ ნატურალური რიცხვი 5 და ათობითი წილადი 5, 6.
გამოსავალი
მოცემული წილადის მთელი რიცხვი უდრის მოცემულ ნატურალურ რიცხვს, შემდეგ ზემოაღნიშნული წესის მიხედვით 5.< 5 , 6 .
პასუხი: 5 < 5 , 6 .
მაგალითი 9
აუცილებელია შევადაროთ ნატურალური რიცხვი 4 და პერიოდული ათობითი წილადი 3, (9).
გამოსავალი
მოცემული ათობითი წილადის პერიოდი არის 9, რაც ნიშნავს, რომ შედარებამდე აუცილებელია მოცემული ათობითი წილადის ჩანაცვლება მის ტოლი სასრული ან ნატურალური რიცხვით. ამ შემთხვევაში: 3, (9) = 4. ამრიგად, ორიგინალური მონაცემები თანაბარია.
პასუხი: 4 = 3, (9).
ათწილადი წილადის წილადთან ან შერეულ რიცხვთან შესადარებლად, თქვენ უნდა:
დაწერეთ წილადი ან შერეული რიცხვი ათწილადის სახით და შემდეგ შეადარეთ ათწილადები ან
- დაწერეთ ათობითი წილადი საერთო წილადის სახით (გამონაკლისია უსასრულო არაპერიოდული წილადი) და შემდეგ შეადარეთ მოცემულ საერთო წილადს ან შერეულ რიცხვს.
მაგალითი 10
აუცილებელია შევადაროთ ათობითი წილადი 0,34 და საერთო წილადი 1 3.
გამოსავალი
მოდით, პრობლემა ორი გზით გადავჭრათ.
- მოცემული ჩვეულებრივი წილადი 1 3 დავწეროთ ტოლი პერიოდული ათობითი წილადის სახით: 0, 33333.... მაშინ საჭირო ხდება ათწილადების 0, 34 და 0, 33333 შედარება.... ვიღებთ: 0, 34 > 0, 33333 ..., რაც ნიშნავს 0, 34 > 1 3.
- მოცემული ათობითი წილადი 0, 34 ჩავწეროთ მის ტოლ ჩვეულებრივ წილადად. ანუ: 0, 34 = 34,100 = 17,50. შევადაროთ ჩვეულებრივი წილადები სხვადასხვა მნიშვნელით და მივიღოთ: 17 50 > 1 3. ამრიგად, 0, 34 > 1 3.
პასუხი: 0 , 34 > 1 3 .
მაგალითი 11
აუცილებელია შევადაროთ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი 4, 5693 ... და შერეული რიცხვი. 4 3 8 .
გამოსავალი
უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადი არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შერეული რიცხვის სახით, მაგრამ შესაძლებელია შერეული რიცხვის არასწორ წილადად გადაქცევა და თავის მხრივ მისი თანაბარი ათობითი წილადის სახით ჩაწერა. შემდეგ: 4 3 8 = 35 8 და
ესენი.: 4 3 8 = 35 8 = 4.375. შევადაროთ ათობითი წილადები: 4, 5693 ... და 4, 375 (4, 5693 ... > 4, 375) და მივიღოთ: 4, 5693 ... > 4 3 8.
პასუხი: 4 , 5693 … > 4 3 8 .
თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter
ამ სტატიაში განვიხილავთ თემას " ათწილადების შედარება" პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ ათობითი წილადების შედარების ზოგადი პრინციპი. ამის შემდეგ გავარკვევთ, რომელი ათობითი წილადია ტოლი და რომელი არატოლი. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით იმის გარკვევას, თუ რომელი ათობითი წილადი არის უფრო დიდი და რომელი ნაკლები. ამისთვის შევისწავლით სასრულ, უსასრულო პერიოდული და უსასრულო არაპერიოდული წილადების შედარების წესებს. ჩვენ შემოგთავაზებთ მთელ თეორიას მაგალითებით დეტალური გადაწყვეტილებებით. დასასრულს, მოდით შევხედოთ ათობითი წილადების შედარებას ნატურალურ რიცხვებთან, ჩვეულებრივ წილადებთან და შერეულ რიცხვებთან.
დაუყოვნებლივ ვთქვათ, რომ აქ მხოლოდ დადებითი ათობითი წილადების შედარებაზე ვისაუბრებთ (იხ. დადებითი და უარყოფითი რიცხვები). დანარჩენი შემთხვევები განხილულია რაციონალური რიცხვების შედარების სტატიებში და რეალური რიცხვების შედარება.
გვერდის ნავიგაცია.
ათობითი წილადების შედარების ზოგადი პრინციპი
შედარების ამ პრინციპზე დაყრდნობით, მიღებულია ათობითი წილადების შედარების წესები, რომლებიც შესაძლებელს ხდის შედარებული ათობითი წილადების ჩვეულებრივ წილადებად გადაქცევის გარეშე. ამ წესებს და ასევე მათი გამოყენების მაგალითებს განვიხილავთ შემდეგ აბზაცებში.
მსგავსი პრინციპი გამოიყენება სასრული ათობითი წილადების ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების შესადარებლად ნატურალურ რიცხვებთან, ჩვეულებრივ წილადებთან და შერეულ რიცხვებთან: შედარებული რიცხვები იცვლება მათი შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადებით, რის შემდეგაც ხდება ჩვეულებრივი წილადების შედარება.
რაც შეეხება უსასრულო არაპერიოდული ათწილადების შედარება, მაშინ ჩვეულებრივ საქმე ეხება სასრულ ათობითი წილადების შედარებას. ამისათვის გაითვალისწინეთ შედარებული უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების ნიშნების რაოდენობა, რაც საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედარების შედეგი.
ტოლი და არათანაბარი ათწილადები
ჯერ წარმოგიდგენთ ტოლი და არათანაბარი ათობითი წილადების განმარტებები.
განმარტება.
ორი დაბოლოებული ათობითი წილადი ეწოდება თანაბარი, თუ მათი შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები ტოლია, წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს ათობითი წილადები ეწოდება არათანაბარი.
ამ განსაზღვრებიდან გამომდინარე, მარტივია შემდეგი დებულების დასაბუთება: თუ მოცემული ათობითი წილადის ბოლოს რამდენიმე ციფრი 0-ს დაამატებთ ან გააუქმებთ, მიიღებთ მის ტოლ ათწილადს. მაგალითად, 0.3=0.30=0.300=… და 140.000=140.00=140.0=140.
მართლაც, ათწილადი წილადის მარჯვნივ ნულის დამატება ან გაუქმება შეესაბამება შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის 10-ზე გამრავლებას ან გაყოფას. ჩვენ ვიცით წილადის ძირითადი თვისება, რომელიც ამბობს, რომ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება ან გაყოფა იმავე ნატურალურ რიცხვზე იძლევა წილადს, რომელიც ტოლია თავდაპირველის. ეს ადასტურებს, რომ ათწილადის წილადის ნაწილში ნულების მარჯვნივ შეკრება ან გაუქმება იძლევა ორიგინალის ტოლ წილადს.
მაგალითად, ათობითი წილადი 0,5 შეესაბამება საერთო წილადს 5/10, ნულის დამატების შემდეგ მარჯვნივ, ათწილადი წილადი 0,50 შეესაბამება საერთო წილადს 50/100 და. ამრიგად, 0.5=0.50. პირიქით, თუ ათობითი წილადში 0,50 ჩვენ გადავდებთ 0-ს მარჯვნივ, მაშინ მივიღებთ წილადს 0,5, ანუ ჩვეულებრივი წილადიდან 50/100 მივდივართ წილად 5/10-მდე, მაგრამ 
. ამიტომ, 0.50=0.5.
მოდით გადავიდეთ ტოლი და არათანაბარი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების განსაზღვრა.
განმარტება.
ორი უსასრულო პერიოდული წილადი თანაბარი, თუ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები ტოლია; თუ მათ შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადები არ არის ტოლი, მაშინ შედარებული პერიოდული წილადებიც არის არ უდრის.
ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს სამი დასკვნა:
- თუ პერიოდული ათობითი წილადების აღნიშვნები მთლიანად ემთხვევა, მაშინ ასეთი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები ტოლია. მაგალითად, პერიოდული ათწილადები 0.34(2987) და 0.34(2987) ტოლია.
- თუ შედარებული ათობითი პერიოდული წილადების პერიოდები იწყება ერთი და იგივე პოზიციიდან, პირველ წილადს აქვს პერიოდი 0, მეორეს აქვს პერიოდი 9, ხოლო 0-ის წინა პერიოდის ციფრის მნიშვნელობა ერთით მეტია ციფრის მნიშვნელობაზე. წინა პერიოდი 9, მაშინ ასეთი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადები ტოლია. მაგალითად, პერიოდული წილადები 8,3(0) და 8,2(9) ტოლია და წილადები 141,(0) და 140,(9) ასევე ტოლია.
- ნებისმიერი სხვა პერიოდული წილადი არ არის ტოლი. აქ მოცემულია არათანაბარი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადების მაგალითები: 9,0(4) და 7,(21), 0,(12) და 0,(121), 10,(0) და 9,8(9).
რჩება გამკლავება ტოლი და არათანაბარი უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადები. როგორც ცნობილია, ასეთი ათობითი წილადები არ შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად (ასეთი ათობითი წილადები წარმოადგენს ირაციონალურ რიცხვებს), ამიტომ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების შედარება არ შეიძლება შემცირდეს ჩვეულებრივი წილადების შედარებამდე.
განმარტება.
ორი უსასრულო არაპერიოდული ათწილადი თანაბარითუ მათი ჩანაწერები მთლიანად ემთხვევა.
მაგრამ არის ერთი გაფრთხილება: შეუძლებელია უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების "დასრულებული" ჩანაწერის ნახვა, ამიტომ შეუძლებელია მათი ჩანაწერების სრულ დამთხვევაში დარწმუნდეთ. Როგორ უნდა იყოს?
უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების შედარებისას განიხილება მხოლოდ შედარებული წილადების ნიშნების სასრული რაოდენობა, რაც საშუალებას იძლევა გამოიტანოს საჭირო დასკვნები. ამრიგად, უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების შედარება მცირდება სასრულ ათობითი წილადების შედარებამდე.
ამ მიდგომით ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების ტოლობაზე მხოლოდ მოცემულ ციფრამდე. მოვიყვანოთ მაგალითები. უსასრულო არაპერიოდული ათწილადები 5.45839... და 5.45839... უდრის უახლოეს ას მეათასედს, ვინაიდან სასრული ათწილადები 5.45839 და 5.45839 ტოლია; არაპერიოდული ათობითი წილადები 19.54... და 19.54810375... უდრის უახლოეს მეასედს, ვინაიდან ისინი ტოლია წილადების 19.54 და 19.54.
ამ მიდგომით, უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადების უტოლობა საკმაოდ დანამდვილებით არის დადგენილი. მაგალითად, უსასრულო არაპერიოდული ათწილადები 5.6789... და 5.67732... არ არის ტოლი, რადგან განსხვავება მათ აღნიშვნებში აშკარაა (სასრული ათწილადები 5.6789 და 5.6773 არ არის ტოლი). უსასრულო ათწილადები 6.49354... და 7.53789... ასევე არ არის ტოლი.
ათობითი წილადების შედარების წესები, მაგალითები, ამონახსნები
იმის დადგენის შემდეგ, რომ ორი ათობითი წილადი არათანაბარია, ხშირად უნდა გაარკვიოთ ამ წილადებიდან რომელია დიდი და რომელი ნაკლები მეორეზე. ახლა ჩვენ გადავხედავთ ათობითი წილადების შედარების წესებს, რაც საშუალებას მოგვცემს ვუპასუხოთ დასმულ კითხვას.
ხშირ შემთხვევაში, საკმარისია შედარებული ათობითი წილადების მთელი ნაწილების შედარება. მართალია შემდეგი ათწილადების შედარების წესი: რაც უფრო დიდია ათწილადი წილადი, რომლის მთელი ნაწილი დიდია და მით ნაკლებია ათწილადი, რომლის მთელი ნაწილიც ნაკლებია.
ეს წესი ვრცელდება როგორც სასრულ, ასევე უსასრულო ათობითი წილადებზე. მოდით შევხედოთ მაგალითების გადაწყვეტილებებს.
მაგალითი.
შეადარეთ ათწილადები 9.43 და 7.983023….
გამოსავალი.
ცხადია, ეს ათწილადები არ არის თანაბარი. სასრული ათობითი წილადის 9.43 უდრის 9-ს, ხოლო უსასრულო არაპერიოდული წილადის 7.983023... უდრის 7-ს. ვინაიდან 9>7 (იხ. ნატურალური რიცხვების შედარება), შემდეგ 9,43>7,983023.
პასუხი:
9,43>7,983023 .
მაგალითი.
რომელი ათობითი წილადი 49.43(14) და 1045.45029... არის პატარა?
გამოსავალი.
პერიოდული წილადის 49.43(14) მთელი რიცხვი ნაკლებია უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის 1045.45029..., შესაბამისად, 49.43(14)<1 045,45029… .
პასუხი:
49,43(14) .
თუ შედარებული ათობითი წილადების მთელი ნაწილები ტოლია, მაშინ იმის გასარკვევად, რომელია დიდი და რომელი ნაკლები, უნდა შეადაროთ წილადი ნაწილები. ათობითი წილადების წილადი ნაწილების შედარება ხდება ბიტ-ბიტი- მეათედების კატეგორიიდან ქვედამდე.
პირველ რიგში, მოდით შევხედოთ ორი სასრული ათობითი წილადის შედარების მაგალითს.
მაგალითი.
შეადარეთ ბოლო ათწილადები 0.87 და 0.8521.
გამოსავალი.
ამ ათობითი წილადების მთელი ნაწილები ტოლია (0=0), ამიტომ გადავდივართ წილადი ნაწილების შედარებაზე. მეათე ადგილის მნიშვნელობები ტოლია (8=8), ხოლო წილადის მეასედი ადგილის მნიშვნელობა 0,87-ით მეტია წილადის მეასედი ადგილის მნიშვნელობაზე 0,8521 (7>5). ამიტომ, 0.87>0.8521.
პასუხი:
0,87>0,8521 .
ზოგჯერ, იმისთვის, რომ შევადაროთ ბოლო ათწილადები ათწილადების სხვადასხვა რაოდენობასთან, წილადებს ნაკლები ათწილადი უნდა დაემატოს ნულების რაოდენობა მარჯვნივ. საკმაოდ მოსახერხებელია ათწილადების რიცხვის გათანაბრება, სანამ დაიწყება საბოლოო ათობითი წილადების შედარება, ერთ-ერთი მათგანის მარჯვნივ ნულების გარკვეული რაოდენობის დამატებით.
მაგალითი.
შეადარეთ ბოლო ათწილადები 18.00405 და 18.0040532.
გამოსავალი.
ცხადია, ეს წილადები არათანაბარია, რადგან მათი აღნიშვნები განსხვავებულია, მაგრამ ამავე დროს მათ აქვთ თანაბარი მთელი ნაწილები (18 = 18).
ამ წილადების წილადი ნაწილების ბიტური შედარების წინ ვათანაბრებთ ათობითი ადგილების რაოდენობას. ამისათვის ჩვენ ვამატებთ ორ ციფრს 0 წილადის ბოლოს 18.00405 და მივიღებთ თანაბარ ათობითი წილადს 18.0040500.
18.0040500 და 18.0040532 წილადების ათობითი ადგილების მნიშვნელობები ტოლია ას მეათასედამდე, ხოლო 18.0040500 წილადის მემილიონე ადგილის მნიშვნელობა ნაკლებია წილადის შესაბამისი ადგილის მნიშვნელობაზე 18.0040532 (<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .
პასუხი:
18,00405<18,0040532 .
სასრული ათობითი წილადის უსასრულო წილადის შედარებისას სასრული წილადი იცვლება ტოლი უსასრულო პერიოდული წილადით 0 პერიოდით, რის შემდეგაც შედარება ხდება ციფრით.
მაგალითი.
შეადარეთ სასრულ ათწილადი 5.27 უსასრულო არაპერიოდიულ ათწილადს 5.270013... .
გამოსავალი.
ამ ათობითი წილადების მთელი ნაწილები ტოლია. ამ წილადების მეათედი და მეასედი ციფრების მნიშვნელობები ტოლია და შემდგომი შედარების მიზნით, სასრულ ათწილადს ვცვლით ტოლი უსასრულო პერიოდული წილადით 0 პერიოდით 5.270000 ფორმის.... მეხუთე ათწილადამდე ათწილადების მნიშვნელობები 5.270000... და 5.270013... ტოლია, ხოლო მეხუთე ათწილადზე გვაქვს 0.<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .
პასუხი:
5,27<5,270013… .
უსასრულო ათობითი წილადების შედარება ასევე ხორციელდება ადგილზედა მთავრდება, როგორც კი ზოგიერთი ციფრის მნიშვნელობები განსხვავებული აღმოჩნდება.
მაგალითი.
შეადარეთ უსასრულო ათწილადები 6.23(18) და 6.25181815….
გამოსავალი.
ამ წილადების მთელი ნაწილები ტოლია და მეათედების ადგილის მნიშვნელობები ასევე ტოლია. და პერიოდული წილადის 6.23(18) მეასედი ციფრის მნიშვნელობა ნაკლებია უსასრულო არაპერიოდული ათობითი წილადის მეასედი ციფრზე 6.25181815..., შესაბამისად, 6.23(18)<6,25181815… .
პასუხი:
6,23(18)<6,25181815… .
მაგალითი.
3,(73) და 3,(737) უსასრულო პერიოდული ათწილადებიდან რომელია მეტი?
გამოსავალი.
გასაგებია, რომ 3,(73)=3,73737373... და 3,(737)=3,737737737... . მეოთხე ათწილადზე ბიტური შედარება მთავრდება, რადგან იქ გვაქვს 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .
პასუხი:
3,(737) .
ათწილადების შედარება ნატურალურ რიცხვებთან, წილადებთან და შერეულ რიცხვებთან.
ათობითი წილადის ნატურალურ რიცხვთან შედარების შედეგი შეიძლება მივიღოთ მოცემული წილადის მთელი ნაწილის მოცემულ ნატურალურ რიცხვთან შედარებით. ამ შემთხვევაში პერიოდული წილადები 0 ან 9 პერიოდებით ჯერ უნდა შეიცვალოს მათ ტოლი სასრული ათობითი წილადებით.
მართალია შემდეგი ათობითი წილადებისა და ნატურალური რიცხვების შედარების წესი: თუ ათობითი წილადის მთელი ნაწილი ნაკლებია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ მთელი წილადი ნაკლებია ამ ნატურალურ რიცხვზე; თუ წილადის მთელი რიცხვი მეტია ან ტოლია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე, მაშინ წილადი მეტია მოცემულ ნატურალურ რიცხვზე.
მოდით შევხედოთ ამ შედარების წესის გამოყენების მაგალითებს.
მაგალითი.
შეადარეთ ნატურალური რიცხვი 7 ათწილადის წილადთან 8,8329….
გამოსავალი.
ვინაიდან მოცემული ნატურალური რიცხვი ნაკლებია მოცემული ათობითი წილადის მთელ რიცხვზე, მაშინ ეს რიცხვი ნაკლებია მოცემულ ათობითი წილადზე.
პასუხი:
7<8,8329… .
მაგალითი.
შეადარეთ ნატურალური რიცხვი 7 და ათობითი წილადი 7.1.