გამარჯობა, ძვირფასო მეგობრებო! ჩვენ ვაგრძელებთ ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებული ამოცანების განხილვას. მე გირჩევთ მას, რაც აუცილებელია ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) მნიშვნელობის და ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების ამოსახსნელად.

პრობლემები ლოგარითმებთან ჩვენ ფუნქციის უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის საპოვნელად. ამ სტატიაში განვიხილავთ სამ პრობლემას, რომლებშიც კითხვაა ფუნქციების მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების პოვნა და მოცემული ფუნქცია შეიცავს ბუნებრივ ლოგარითმს.

თეორიული წერტილი:

ლოგარითმის განმარტებით, გამოხატვა ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ უნდა იყოს ნულზე მეტი. *ეს გასათვალისწინებელია არა მარტო ამ ამოცანებში, არამედ ლოგარითმის შემცველი განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

ფუნქციის მაქსიმალური (მინიმალური) წერტილების პოვნის ალგორითმი:

1. გამოთვალეთ ფუნქციის წარმოებული.

2. ვატოლებთ ნულს და ვხსნით განტოლებას.

3. მიღებულ ფესვებს ვნიშნავთ რიცხვით წრფეზე.*ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ იმ წერტილებს, რომლებშიც წარმოებული არ არსებობს. მოდით მივიღოთ ინტერვალები, რომლებზეც ფუნქცია იზრდება ან მცირდება.

4. განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები ამ ინტერვალებზე (თვითნებური მნიშვნელობების ჩანაცვლება მათგან წარმოებულში).

5. ვაკეთებთ დასკვნას.

იპოვეთ y = ln (x–11)–5x+2 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

მოდით დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ, რომ x–11>0 (ლოგარითმის განმარტებით), ანუ x > 11.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (11;∞).

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = 11 არ შედის ფუნქციის განსაზღვრის დომენში და მასში წარმოებული არ არსებობს. რიცხვთა ღერძზე აღვნიშნავთ ორ წერტილს 11 და 11.2. განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები თვითნებური მნიშვნელობების (11;11,2) და (11,2;+∞) ინტერვალებიდან აღმოჩენილ წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში. :

ამრიგად, x = 11.2 წერტილში, ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს დადებითიდან უარყოფითზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მაქსიმალური წერტილი.

პასუხი: 11.2

თავად გადაწყვიტე:

იპოვეთ y=ln (x+5)–2x+9 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი.

იპოვეთ y=4x– ln (x+5)+8 ფუნქციის მინიმალური წერტილი

დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ, რომ x+5>0 (ლოგარითმის თვისებით), ანუ x>–5.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (– 5;+∞).

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

წერტილი x = –5 არ შედის ფუნქციის განსაზღვრის დომენში და მასში წარმოებული არ არსებობს. მონიშნეთ ორი წერტილი რიცხვით ღერძზე–5 და –4,75. მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები თვითნებური მნიშვნელობების (–5;–4.75) და (–4.75;+∞) ინტერვალებიდან ნაპოვნი წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში:

ამრიგად, x = –4,75 წერტილში, ფუნქციის წარმოებული ცვლის ნიშანს უარყოფითიდან პოზიტიურზე, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის სასურველი მინიმალური წერტილი.

პასუხი: – 4.75

თავად გადაწყვიტე:

იპოვეთ y=2x–ln (x+3)+7 ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

იპოვეთ y = x 2 –34x+140lnx–10 ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი

ლოგარითმის თვისების მიხედვით, მისი ნიშნის ქვეშ გამოსახული არის ნულზე მეტი, ანუ x > 0.

განვიხილავთ ფუნქციას ინტერვალზე (0; +∞).

ვიპოვოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული:

მოდი ვიპოვოთ წარმოებულის ნულები:

კვადრატული განტოლების ამოხსნით მივიღებთ: D = 9 x 1 = 10 x 2 = 7.

წერტილი x = 0 არ შედის ფუნქციის განსაზღვრის დომენში და მასში წარმოებული არ არსებობს. ჩვენ აღვნიშნავთ სამ წერტილს რიცხვითი ღერძზე 0, 7და 10.

ხარის ღერძი იყოფა ინტერვალებად: (0;7), (7;10), (10; +∞).

მოდით განვსაზღვროთ ფუნქციის წარმოებულის ნიშნები მიღებული ინტერვალებიდან თვითნებური მნიშვნელობების აღმოჩენილ წარმოებულში ჩანაცვლებით და გამოვსახოთ ფუნქციის ქცევა ფიგურაში:

სულ ესაა. წარმატებებს გისურვებთ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

რა არის ფუნქციის ექსტრემუმი და რა არის ექსტრემუმის აუცილებელი პირობა?

ფუნქციის უკიდურესობა არის ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური.

ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური (უკიდურობის) აუცილებელი პირობაა შემდეგი: თუ f(x) ფუნქციას აქვს უკიდურესი x = a წერტილში, მაშინ ამ ეტაპზე წარმოებული არის ნული, უსასრულო, ან არა. არსებობს.

ეს პირობა აუცილებელია, მაგრამ არა საკმარისი. წარმოებული x = a წერტილში შეიძლება წავიდეს ნულამდე, უსასრულობამდე, ან არ არსებობდეს ფუნქციას ამ წერტილში ექსტრემის გარეშე.

რა არის საკმარისი პირობა ფუნქციის უკიდურესობისთვის (მაქსიმალური თუ მინიმალური)?

პირველი პირობა:

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) დადებითია a-დან მარცხნივ და უარყოფითია მარჯვნივ a-დან, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მაქსიმუმ

თუ x = a წერტილთან საკმარისად სიახლოვეს, წარმოებული f?(x) უარყოფითია a-დან მარცხნივ და დადებითია a-დან მარჯვნივ, მაშინ x = a წერტილში აქვს f(x) ფუნქცია. მინიმალურიიმ პირობით, რომ ფუნქცია f(x) აქ არის უწყვეტი.

ამის ნაცვლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მეორე საკმარისი პირობა ფუნქციის ექსტრემისთვის:

მოდით x = a წერტილში გაქრეს f?(x) პირველი წარმოებული; თუ მეორე წარმოებული f??(a) უარყოფითია, მაშინ f(x) ფუნქციას აქვს მაქსიმუმი x = a წერტილში, თუ დადებითია, მაშინ აქვს მინიმუმი.

რა არის ფუნქციის კრიტიკული წერტილი და როგორ მოვძებნოთ იგი?

ეს არის ფუნქციის არგუმენტის მნიშვნელობა, რომლის დროსაც ფუნქციას აქვს ექსტრემუმი (ანუ მაქსიმუმი ან მინიმალური). მის პოვნა გჭირდებათ იპოვნეთ წარმოებულიფუნქცია f?(x) და ნულის ტოლფასი, განტოლების ამოხსნა f?(x) = 0. ამ განტოლების ფესვები, ისევე როგორც ის წერტილები, რომლებზეც ამ ფუნქციის წარმოებული არ არსებობს, არის კრიტიკული წერტილები, ანუ არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებშიც შეიძლება იყოს ექსტრემუმი. მათი ამოცნობა ადვილად შეიძლება ნახვით წარმოებული გრაფიკი: ჩვენ გვაინტერესებს არგუმენტის ის მნიშვნელობები, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკი კვეთს აბსცისის ღერძს (Ox ღერძი) და ის მნიშვნელობები, რომლებზეც გრაფიკი განიცდის უწყვეტობას.

მაგალითად, ვიპოვოთ პარაბოლის ექსტრემუმი.

ფუნქცია y(x) = 3x2 + 2x - 50.

ფუნქციის წარმოებული: y?(x) = 6x + 2

ამოხსენით განტოლება: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ამ შემთხვევაში კრიტიკული წერტილია x0=-1/3. ეს არგუმენტის მნიშვნელობით აქვს ფუნქციას ექსტრემალური. მას იპოვე, გამოთქმაში ნაპოვნი რიცხვი ჩაანაცვლეთ ფუნქციით „x“-ის ნაცვლად:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

როგორ განვსაზღვროთ ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმალური, ე.ი. მისი ყველაზე დიდი და პატარა მნიშვნელობები?

თუ წარმოებულის ნიშანი x0 კრიტიკულ წერტილში გავლისას იცვლება "პლუს"-დან "მინუსზე", მაშინ x0 არის მაქსიმალური ქულა; თუ წარმოებულის ნიშანი იცვლება მინუსიდან პლუსზე, მაშინ x0 არის მინიმალური ქულა; თუ ნიშანი არ იცვლება, მაშინ x0 წერტილში არ არის არც მაქსიმუმი და არც მინიმალური.

განხილული მაგალითისთვის:

ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარცხნივ: x = -1

x = -1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ანუ ნიშანი არის „მინუს“).

ახლა ჩვენ ვიღებთ არგუმენტის თვითნებურ მნიშვნელობას კრიტიკული წერტილის მარჯვნივ: x = 1

x = 1-ზე წარმოებულის მნიშვნელობა იქნება y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ანუ ნიშანი არის „პლუს“).

როგორც ხედავთ, წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი მინუსიდან პლუსზე კრიტიკულ წერტილში გავლისას. ეს ნიშნავს, რომ x0 კრიტიკულ მნიშვნელობაზე გვაქვს მინიმალური წერტილი.

ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე(სეგმენტზე) გვხვდება იგივე პროცედურის გამოყენებით, მხოლოდ იმის გათვალისწინებით, რომ, შესაძლოა, ყველა კრიტიკული წერტილი არ იყოს მითითებულ ინტერვალში. ის კრიტიკული წერტილები, რომლებიც ინტერვალის მიღმაა, უნდა გამოირიცხოს განხილვისგან. თუ ინტერვალის შიგნით არის მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი, მას ექნება ან მაქსიმუმი ან მინიმუმი. ამ შემთხვევაში, ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობების დასადგენად, ჩვენ ასევე გავითვალისწინებთ ფუნქციის მნიშვნელობებს ინტერვალის ბოლოებში.

მაგალითად, ვიპოვოთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

ინტერვალებით:

ასე რომ, ფუნქციის წარმოებული არის

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

ჩვენ ვხსნით განტოლებას 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

კრიტიკულ წერტილებს ვპოულობთ ინტერვალზე [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (არ შედის ინტერვალში)

x = -arccos(0.16667) – 2π*1 = -7.687

x = arccos (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos (0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (არ შედის ინტერვალში)

ჩვენ ვპოულობთ ფუნქციის მნიშვნელობებს არგუმენტის კრიტიკულ მნიშვნელობებზე:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ჩანს, რომ ინტერვალზე [-9; 9] ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

და ყველაზე პატარა - x = 4.88-ზე:

x = 4.88, y = -5.398.

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს მხოლოდ ერთი კრიტიკული წერტილი: x = -4.88. ფუნქციის მნიშვნელობა x = -4.88-ზე უდრის y = 5.398-ს.

იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ინტერვალის ბოლოებში:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ინტერვალზე [-6; -3] გვაქვს ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა

y = 5,398 x = -4,88-ზე

ყველაზე პატარა ღირებულება -

y = 1.077 x = -3-ზე

როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილები და განვსაზღვროთ ამოზნექილი და ჩაზნექილი გვერდები?

y = f(x) წრფის ყველა გადახრის წერტილის მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ მეორე წარმოებული, გაათანაბროთ იგი ნულამდე (გადაწყვიტეთ განტოლება) და შეამოწმოთ x-ის ყველა ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც მეორე წარმოებული არის ნული, უსასრულო ან არ არსებობს. თუ ამ სიდიდეებიდან ერთ-ერთის გავლისას მეორე წარმოებული ცვლის ნიშანს, მაშინ ფუნქციის გრაფიკს ამ ეტაპზე აქვს ფლექსია. თუ ის არ იცვლება, მაშინ არ არის მოსახვევი.

განტოლების ფესვები ვ? (x) = 0, ისევე როგორც ფუნქციის და მეორე წარმოებულის უწყვეტობის შესაძლო წერტილები, ყოფს ფუნქციის განსაზღვრის დომენს რამდენიმე ინტერვალებად. ამოზნექილობა მათ თითოეულ ინტერვალზე განისაზღვრება მეორე წარმოებულის ნიშნით. თუ მეორე წარმოებული შესწავლილი ინტერვალის წერტილში დადებითია, მაშინ წრფე y = f(x) არის ჩაზნექილი ზემოთ, ხოლო თუ უარყოფითია, მაშინ ქვემოთ.

როგორ მოვძებნოთ ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი?

f(x,y) ფუნქციის ექსტრემის საპოვნელად, დიფერენცირებადი მისი სპეციფიკაციის დომენში, დაგჭირდებათ:

1) იპოვეთ კრიტიკული წერტილები და ამისთვის - ამოხსენით განტოლებათა სისტემა

fh? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) თითოეული კრიტიკული წერტილისთვის P0(a;b) გამოიკვლიეთ, რჩება თუ არა სხვაობის ნიშანი უცვლელი

ყველა წერტილისთვის (x;y) საკმარისად ახლოს P0-თან. თუ სხვაობა დადებითი რჩება, მაშინ P0 წერტილში გვაქვს მინიმალური, თუ უარყოფითი, მაშინ გვაქვს მაქსიმუმი. თუ განსხვავება არ ინარჩუნებს თავის ნიშანს, მაშინ P0 წერტილში ექსტრემი არ არის.

ფუნქციის უკიდურესობა განისაზღვრება ანალოგიურად არგუმენტების უფრო დიდი რაოდენობით.

რა არის ბენდი "ბანდეროსის" ოფიციალური ვებგვერდი
რუსულენოვანი ჰიპ-ჰოპ შემსრულებლების ვებსაიტები: mad-a.ru - რეპ შემსრულებლის MAD-A-ს ოფიციალური ვებგვერდი (ფოტოები, მუსიკა, ბიოგრაფია); st1m.ru - რეპ არტისტის St1m ოფიციალური ვებგვერდი (მუსიკა, ვიდეო, ფოტოები, ინფორმაცია კონცერტების შესახებ, სიახლეები, ფორუმი); all1.ru - კრეატიული გაერთიანების ოფიციალური ვებგვერდი

რა შემთხვევაში აქვს საგზაო პოლიციის ინსპექტორს მანქანის გაჩერების უფლება?
„პოლიციის შესახებ“ კანონის მე-13 მუხლის მე-20 პუნქტის დებულებებიდან გამომდინარე, საგზაო პოლიციის ინსპექტორს უფლება აქვს გააჩეროს სატრანსპორტო საშუალება (შემდგომში – სატრანსპორტო საშუალება), თუ ეს აუცილებელია დაკისრებული მოვალეობების შესასრულებლად. პოლიცია საგზაო უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად და სხვა შემთხვევებში (სრული სია იხილეთ ქვემოთ). თუ ინსპექტორი ვიზუალურად

როგორ დავიცვათ თქვენი სამუშაო ჩანაწერი დამსაქმებლის მიერ განზრახ დაკარგვისგან
დამსაქმებლის მიერ სამუშაო ჩანაწერის განზრახ დაკარგვისგან (დაზიანებისგან) დასაცავად, რეკომენდებულია საწარმოს თანამშრომელმა მიიღოს სამუშაო ჩანაწერის ასლი ნებისმიერი კანონიერი გზით, მაგალითად, საბაბით, რომ მიმართოს სესხს და შეინახოს. ის უსაფრთხო ადგილას. თუ არაკეთილსინდისიერი დამსაქმებელი განზრახ ანადგურებს თანამშრომლის დასაქმების ფაქტებს მის საწარმოში (რათა თავიდან აიცილოს შრომის კანონმდებლობის დარღვევის გამოვლენა.

სად შეგიძლიათ იპოვოთ დახმარების ინფორმაცია ინტერნეტში ყველა ტელეფონისთვის?
"ყვითელი გვერდების" ვებსაიტები ინტერნეტში: yellow-pages.ru - საცნობარო ინფორმაციის ონლაინ ჟურნალი "ყვითელი გვერდები"; ypag.ru - დსთ-ს ყვითელი გვერდები; yellowpages.rin.ru - ყვითელი გვერდები

რამდენი გრადუსია რადიანში?
1 რკალი წუთი (1′) = 60 რკალი წამი (60″) 1 კუთხური ხარისხი (1°) = 60 რკალი წუთი (60′) = 3600 რკალი წამი (3600″) 1 რადიანი ≈ 57,295779513° ≈ 7& prim 571

მუსიკა ხელოვნების ფორმაა. სპეციალურად ორგანიზებული ხმები ემსახურება მუსიკაში განწყობისა და გრძნობების გადმოცემის საშუალებას. მუსიკის ძირითადი ელემენტები და გამომსახველობითი საშუალებებია: მელოდია, რიტმი, მეტრი, ტემპი, დინამიკა, ტემბრი, ჰარმონია, ინსტრუმენტაცია და სხვა. მუსიკა ბავშვის მხატვრული გემოვნების განვითარების ძალიან კარგი საშუალებაა. მუსიკას შეუძლია გავლენა მოახდინოს თქვენს განწყობაზე

რომელმა ქვეყნებმა უმასპინძლეს ფორმულა 1-ის გრან პრის 2005 წელს?
2005 წელს მსოფლიო ჩემპიონატი შედგებოდა 19 გრანპრისგან, რომლებიც ჩატარდა შემდეგ ქვეყნებში: ავსტრალია, მალაიზია, ბაჰრეინი, სან მარინო, ესპანეთი, მონაკო, კანადა, აშშ, საფრანგეთი, დიდი ბრიტანეთი, გერმანია, უნგრეთი, თურქეთი, იტალია, ბელგია, ბრაზილია, იაპონია, ჩინეთი. ევროპის გრან-პრი გერმანიაში (ნიურბურგი) გაიმართა დაწვრილებით ვებგვერდზე http:/.

რა არის ალოკაზია
ალოკაზია (Alocasia) ჯიშისებრთა ოჯახი. სამშობლო სამხრეთ ამერიკა. იშვიათი მცენარე, რომელსაც უყვარს სათბურის პირობები (ტენიანობა და სითბო) და ამიტომ ფართოდ არ გამოიყენება მებოსტნეებში. ალოკაზია მშვენიერი შიდა მცენარეა, დიდი ისრის ფორმის ოვალური (ან გულის ფორმის) ფოთლებით, რომელთაგან 6-7-ზე მეტი არ არის. ყველაზე გავრცელებულია

რას ნიშნავს ფრაზა "ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი"?
ფრაზა "ჩვენ უკვე ვიგრძენით ამ ყვავილის სუნი" გამოყენებულია იმავე მნიშვნელობით, როგორც ცნობილი ფრაზეოლოგიური ერთეული "გადააბიჯე ერთსა და იმავე რაფზე ორჯერ", ე.ი. უკვე ნაცნობი უსიამოვნო სიტუაციის წინაშე. ეს გამოთქმა გვხვდება ილია ილფის ფელეტონში „ახალგაზრდა ქალბატონები“ (1929) შემდეგში.

სად ვიპოვოთ პანაკოტას რეცეპტი
პანაკოტა არის ნაზი, მაცდუნებელი დესერტი, დამზადებული კრემისა და ჟელატინისაგან, რომელიც მზადდება იტალიაში, ემილია-რომანიას რეგიონში. დესერტის სახელი სიტყვასიტყვით ითარგმნება როგორც "მოხარშული კრემი" ან "მოხარშული კრემი", მაგრამ არსებითად ეს არის კრემის პუდინგი სხვადასხვა დანამატების გარეშე ან სხვადასხვა დანამატებით.

რა არის 90 გრადუსის კოსინუსი?
კოსინუსი არის ერთ-ერთი ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომელიც აღინიშნება cos. მართკუთხა სამკუთხედში, მწვავე კუთხის კოსინუსი უდრის ამ კუთხიდან გამომავალი ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან კოსინუსების მნიშვნელობები ხშირად წარმოქმნილი კუთხეებისთვის (π - pi, √ - კვადრატული ფესვი

ფუნქციის გაზრდა, შემცირება და უკიდურესობა

ფუნქციის ზრდის, კლების და ექსტრემის ინტერვალების პოვნა არის როგორც დამოუკიდებელი ამოცანა, ასევე სხვა ამოცანების არსებითი ნაწილი, კერძოდ, სრული ფუნქციის შესწავლა. პირველადი ინფორმაცია ფუნქციის გაზრდის, შემცირებისა და ექსტრემის შესახებ მოცემულია თეორიული თავი წარმოებულის შესახებ, რასაც მე გირჩევთ წინასწარ შესწავლას (ან გამეორება)– ასევე იმ მიზეზით, რომ შემდეგი მასალა ეფუძნება ძალიან არსებითად წარმოებული,ამ სტატიის ჰარმონიული გაგრძელებაა. თუმცა, თუ დრო მოკლეა, მაშინ ასევე შესაძლებელია დღევანდელი გაკვეთილის მაგალითების წმინდა ფორმალური პრაქტიკა.

დღეს კი ჰაერში იშვიათი ერთსულოვნების სული ტრიალებს და პირდაპირ ვგრძნობ, რომ ყველა დამსწრე იწვის სურვილით ისწავლეთ ფუნქციის შესწავლა მისი წარმოებულის გამოყენებით. ამიტომ, გონივრული, კარგი, მარადიული ტერმინოლოგია მაშინვე გამოჩნდება თქვენი მონიტორის ეკრანებზე.

რისთვის? ერთ-ერთი მიზეზი ყველაზე პრაქტიკულია: ისე, რომ ცხადი იყოს, ზოგადად რას მოეთხოვებათ კონკრეტულ ამოცანაში!

ფუნქციის ერთფეროვნება. ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის ექსტრემები

განვიხილოთ რამდენიმე ფუნქცია. მარტივად რომ ვთქვათ, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ის უწყვეტიმთელ რიცხვთა ხაზზე:

ყოველი შემთხვევისთვის, სასწრაფოდ მოვიშოროთ შესაძლო ილუზიები, განსაკუთრებით იმ მკითხველებისთვის, რომლებიც ახლახან გაეცნენ ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები. ახლა ჩვენ არ აინტერესებს, როგორ მდებარეობს ფუნქციის გრაფიკი ღერძის მიმართ (ზემოთ, ქვემოთ, სადაც ღერძი იკვეთება). დამაჯერებლად, გონებრივად წაშალეთ ცულები და დატოვეთ ერთი გრაფიკი. იმიტომ, რომ სწორედ აქ არის ინტერესი.

ფუნქცია იზრდებაინტერვალზე, თუ ამ ინტერვალის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის, რომელიც დაკავშირებულია მიმართებით, უტოლობა მართალია. ანუ არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო დიდ მნიშვნელობას და მისი გრაფიკი მიდის „ქვემოდან ზევით“. საჩვენებელი ფუნქცია იზრდება ინტერვალით.

ანალოგიურად, ფუნქცია მცირდებაინტერვალზე, თუ მოცემული ინტერვალის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის ისეთი, რომ უტოლობა იყოს ჭეშმარიტი. ანუ, არგუმენტის უფრო დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის უფრო მცირე მნიშვნელობას და მისი გრაფიკი მიდის "ზემოდან ქვემოდან". ჩვენი ფუნქცია მცირდება ინტერვალებით .

თუ ფუნქცია იზრდება ან მცირდება ინტერვალით, მაშინ მას უწოდებენ მკაცრად ერთფეროვანიამ ინტერვალში. რა არის ერთფეროვნება? მიიღეთ ეს სიტყვასიტყვით - ერთფეროვნება.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ არ კლებულობსფუნქცია (მოდუნებული მდგომარეობა პირველ განმარტებაში) და არ მზარდიფუნქცია (დარბილებული მდგომარეობა მე-2 განსაზღვრებაში). ინტერვალზე შეუმცირებელ ან არ მზარდ ფუნქციას ეწოდება მონოტონური ფუნქცია მოცემულ ინტერვალზე. (მკაცრი ერთფეროვნება არის "უბრალოდ" ერთფეროვნების განსაკუთრებული შემთხვევა).

თეორია ასევე განიხილავს სხვა მიდგომებს ფუნქციის მატება/შემცირების დასადგენად, მათ შორის ნახევარინტერვალებზე, სეგმენტებზე, მაგრამ იმისათვის, რომ თავზე ზეთი-ზეთი-ზეთი არ დაგასხათ, ჩვენ დავთანხმდებით ღია ინტერვალებით მუშაობას კატეგორიული განმარტებებით. - ეს უფრო ნათელია და ბევრი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად სავსებით საკმარისია.

ამრიგად, ჩემს სტატიებში ფორმულირება „ფუნქციის ერთფეროვნება“ თითქმის ყოველთვის იმალება ინტერვალებითმკაცრი ერთფეროვნება(მკაცრად მზარდი ან მკაცრად კლებადი ფუნქცია).

წერტილის მეზობლობა. სიტყვები, რომლის შემდეგაც სტუდენტები გარბიან სადაც კი შეუძლიათ და საშინლად იმალებიან კუთხეებში. ...თუმცა პოსტის შემდეგ კუშის საზღვრებიისინი ალბათ აღარ იმალებიან, მაგრამ მხოლოდ ოდნავ კანკალებენ =) არ ინერვიულოთ, ახლა მათემატიკური ანალიზის თეორემების მტკიცებულებები არ იქნება - მე მჭირდებოდა გარემო, რომ უფრო მკაცრად ჩამომეყალიბებინა განმარტებები ექსტრემალური წერტილები. გავიხსენოთ:

წერტილის მეზობლობაინტერვალი, რომელიც შეიცავს მოცემულ წერტილს, ეწოდება და მოხერხებულობისთვის ინტერვალი ხშირად სიმეტრიულად ითვლება. მაგალითად, წერტილი და მისი სტანდარტული სამეზობლო:

სინამდვილეში, განმარტებები:

წერტილი ე.წ მკაცრი მაქსიმალური წერტილი, თუ არსებობსმისი სამეზობლო, ყველასთვისრომელთა მნიშვნელობები, გარდა თვით წერტილისა, უტოლობა . ჩვენს კონკრეტულ მაგალითში ეს არის წერტილი.

წერტილი ე.წ მკაცრი მინიმალური წერტილი, თუ არსებობსმისი სამეზობლო, ყველასთვისრომელთა მნიშვნელობები, გარდა თვით წერტილისა, უტოლობა . ნახაზში არის წერტილი "a".

შენიშვნა : სამეზობლო სიმეტრიის მოთხოვნა სულაც არ არის საჭირო. გარდა ამისა, მნიშვნელოვანია თავად არსებობის ფაქტისამეზობლო (პატარა თუ მიკროსკოპული), რომელიც აკმაყოფილებს მითითებულ პირობებს

პუნქტები ე.წ მკაცრად ექსტრემალური წერტილებიან უბრალოდ ექსტრემალური წერტილებიფუნქციები. ანუ, ეს არის განზოგადებული ტერმინი მაქსიმალური ქულების და მინიმალური ქულებისთვის.

როგორ გავიგოთ სიტყვა "ექსტრემალური"? დიახ, ისევე პირდაპირ, როგორც ერთფეროვნება. ატრაქციონების ექსტრემალური წერტილები.

როგორც მონოტონურობის შემთხვევაში, ფხვიერი პოსტულატები არსებობს და თეორიულად უფრო ხშირია (რაც, რა თქმა უნდა, განიხილება მკაცრი შემთხვევები!):

წერტილი ე.წ მაქსიმალური ქულა, თუ არსებობსმისი შემოგარენი ისეთია ყველასთვის
წერტილი ე.წ მინიმალური ქულა, თუ არსებობსმისი შემოგარენი ისეთია ყველასთვისამ უბნის ღირებულებებს უთანასწორობა აქვს.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო ორი განსაზღვრების მიხედვით, მუდმივი ფუნქციის ნებისმიერი წერტილი (ან ფუნქციის „ბრტყელი მონაკვეთი“) ითვლება მაქსიმალურ და მინიმალურ წერტილად! ფუნქცია, სხვათა შორის, არის არამზარდიც და არც კლებადი, ანუ მონოტონური. თუმცა, ამ მოსაზრებებს თეორეტიკოსებს დავუტოვებთ, რადგან პრაქტიკაში ჩვენ თითქმის ყოველთვის განვიხილავთ ტრადიციულ „გორაკებს“ და „ღრმულებს“ (იხ. ნახატი) უნიკალურ „გორაკის მეფესთან“ ან „ჭაობის პრინცესასთან“. როგორც ჯიში, ჩნდება წვერიზევით ან ქვევით მიმართული, მაგალითად, ფუნქციის მინიმუმი წერტილში.

ოჰ, და მეფობაზე ვსაუბრობთ:
– მნიშვნელობა ჰქვია მაქსიმუმფუნქციები;
– მნიშვნელობა ჰქვია მინიმალურიფუნქციები.

საერთო სახელი - უკიდურესობებიფუნქციები.

გთხოვთ, ფრთხილად იყავით სიტყვებთან!

ექსტრემალური წერტილები- ეს არის "X" მნიშვნელობები.
უკიდურესობები- "თამაშის" მნიშვნელობა.

! შენიშვნა : ზოგჯერ ჩამოთვლილი ტერმინები ეხება "X-Y" წერტილებს, რომლებიც პირდაპირ დევს ფუნქციის გრაფიკზე.

რამდენი ექსტრემა შეიძლება ჰქონდეს ფუნქციას?

არცერთი, 1, 2, 3, ... და ა.შ. უსასრულოდ. მაგალითად, სინუსს აქვს უსასრულოდ ბევრი მინიმუმი და მაქსიმუმი.

მნიშვნელოვანია!ტერმინი "ფუნქციის მაქსიმალური" არა იდენტურიტერმინი "ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა". ადვილი შესამჩნევია, რომ ღირებულება მაქსიმალურია მხოლოდ ადგილობრივ სამეზობლოში, ხოლო ზედა მარცხნივ არის "მაგარი ამხანაგები". ანალოგიურად, "ფუნქციის მინიმალური" არ არის იგივე, რაც "ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა" და ნახაზზე ვხედავთ, რომ მნიშვნელობა მინიმალურია მხოლოდ გარკვეულ არეალში. ამასთან დაკავშირებით, ექსტრემალური წერტილებიც ეწოდება ადგილობრივი ექსტრემალური წერტილებიდა უკიდურესი - ადგილობრივი უკიდურესობები. ისინი დადიან და იხეტიალებენ ახლოს და გლობალურიძმებო. ასე რომ, ნებისმიერ პარაბოლას აქვს თავის წვეროზე გლობალური მინიმუმიან გლობალური მაქსიმუმი. გარდა ამისა, მე არ განვასხვავებ უკიდურესობის ტიპებს და ახსნა უფრო ზოგადსაგანმანათლებლო მიზნებისთვის არის გაჟღერებული - დამატებითი ზედსართავები „ადგილობრივი“/„გლობალური“ არ უნდა გაგიკვირდეთ.

მოდით შევაჯამოთ ჩვენი მოკლე ექსკურსია თეორიაში სატესტო კადრით: რას ნიშნავს დავალება „მონოტონურობის ინტერვალების და ფუნქციის უკიდურესი წერტილების პოვნა“?

ფორმულირება გიბიძგებთ იპოვოთ:

– მზარდი/შემცირების ფუნქციის ინტერვალები (არაკლებადი, არმზარდი ჩნდება გაცილებით იშვიათად);

– მაქსიმალური და/ან მინიმალური ქულები (ასეთის არსებობის შემთხვევაში). ისე, წარუმატებლობის თავიდან ასაცილებლად, უმჯობესია თავად იპოვოთ მინიმალური/მაქსიმუმი ;-)

როგორ განვსაზღვროთ ეს ყველაფერი?წარმოებული ფუნქციის გამოყენებით!

როგორ მოვძებნოთ გაზრდის, კლების ინტერვალები,
ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის ექსტრემები?

ბევრი წესი, ფაქტობრივად, უკვე ცნობილია და გასაგებია გაკვეთილი წარმოებულის მნიშვნელობის შესახებ.

ტანგენტის წარმოებული მოაქვს მხიარული ამბები, რომ ფუნქცია იზრდება მთელს მსოფლიოში განმარტების სფერო.

კოტანგენტით და მისი წარმოებულით სიტუაცია ზუსტად საპირისპიროა.

რკალი იზრდება ინტერვალზე - წარმოებული აქ დადებითია: .
როდესაც ფუნქცია განსაზღვრულია, მაგრამ არა დიფერენცირებადი. თუმცა, კრიტიკულ წერტილში არის მემარჯვენე წარმოებული და მემარჯვენე ტანგენსი, ხოლო მეორე კიდეზე არის მათი მარცხენა ანალოგები.

ვფიქრობ, არ გაგიჭირდებათ მსგავსი მსჯელობის განხორციელება რკალის კოსინუსსა და მის წარმოებულზე.

ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი შემთხვევა, რომელთაგან ბევრია ტაბულური წარმოებულებიშეგახსენებთ, მიყევით პირდაპირ წარმოებული განმარტებები.

რატომ შეისწავლეთ ფუნქცია მისი წარმოებულის გამოყენებით?

უკეთ რომ გავიგოთ, როგორ გამოიყურება ამ ფუნქციის გრაფიკი: სადაც მიდის „ქვემოდან ზემოთ“, სადაც „ზემოდან ქვევით“, სადაც აღწევს მინიმუმებსა და მაქსიმუმებს (თუ საერთოდ აღწევს). ყველა ფუნქცია ასე მარტივი არ არის - უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ წარმოდგენა არ გვაქვს კონკრეტული ფუნქციის გრაფიკის შესახებ.

დროა გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე და განვიხილოთ ალგორითმი ერთფეროვნების და ფუნქციის უკიდურესობის ინტერვალების მოსაძებნად:

მაგალითი 1

იპოვეთ ფუნქციის ზრდა/კლება და ექსტრემის ინტერვალები

გამოსავალი:

1) პირველი ნაბიჯი არის პოვნა ფუნქციის დომენიდა ასევე გაითვალისწინეთ შესვენების წერტილები (თუ ისინი არსებობს). ამ შემთხვევაში ფუნქცია უწყვეტია მთელ რიცხვთა წრფეზე და ეს მოქმედება გარკვეულწილად ფორმალურია. მაგრამ რიგ შემთხვევებში, სერიოზული ვნებები აქ იფეთქებს, ამიტომ მოდი აბზაცს ზიზღის გარეშე მივუდგეთ.

2) ალგორითმის მეორე წერტილი განპირობებულია

ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა:

თუ არის ექსტრემუმი ერთ წერტილში, მაშინ ან მნიშვნელობა არ არსებობს.

დაბნეული ხართ დასასრულით? "მოდული x" ფუნქციის ექსტრემი .

პირობა აუცილებელია, მაგრამ არ არის საკმარისიდა პირიქით ყოველთვის არ არის მართალი. ასე რომ, ჯერ კიდევ არ გამომდინარეობს თანასწორობიდან, რომ ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს ან მინიმუმს წერტილში. კლასიკური მაგალითი უკვე ხაზგასმულია ზემოთ - ეს არის კუბური პარაბოლა და მისი კრიტიკული წერტილი.

მაგრამ როგორც არ უნდა იყოს, ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა კარნახობს საეჭვო წერტილების პოვნის აუცილებლობას. ამისათვის იპოვეთ წარმოებული და ამოხსენით განტოლება:

პირველი სტატიის დასაწყისში ფუნქციების გრაფიკების შესახებმე გითხარით, როგორ სწრაფად ავაშენოთ პარაბოლა მაგალითის გამოყენებით : „...ვიღებთ პირველ წარმოებულს და ვატოლებთ ნულს: ...მაშ ასე, ჩვენი განტოლების ამონახსნი: - სწორედ ამ ადგილას მდებარეობს პარაბოლის წვერო...“. ახლა, ვფიქრობ, ყველას ესმის, რატომ მდებარეობს პარაბოლის წვერო ზუსტად ამ წერტილში =) ზოგადად, აქ მსგავსი მაგალითით უნდა დავიწყოთ, მაგრამ ეს ძალიან მარტივია (თუნდაც დუმალებისთვის). გარდა ამისა, გაკვეთილის ბოლოს არის ანალოგი ფუნქციის წარმოებული. ამიტომ, მოდით გავზარდოთ ხარისხი:

მაგალითი 2

იპოვნეთ ფუნქციის ერთფეროვნებისა და ექსტრემის ინტერვალები

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. სრული ამოხსნა და პრობლემის სავარაუდო საბოლოო ნიმუში გაკვეთილის ბოლოს.

დადგა წილად-რაციონალურ ფუნქციებთან შეხვედრის დიდი ხნის ნანატრი მომენტი:

მაგალითი 3

გამოიკვლიეთ ფუნქცია პირველი წარმოებულის გამოყენებით

ყურადღება მიაქციეთ, რამდენად ცვალებადია ერთი და იგივე დავალების ხელახალი ფორმულირება.

გამოსავალი:

1) ფუნქცია განიცდის უსასრულო წყვეტებს წერტილებში.

2) ჩვენ აღმოვაჩენთ კრიტიკულ წერტილებს. ვიპოვოთ პირველი წარმოებული და გავუტოლოთ ნულს:

მოდი ამოვხსნათ განტოლება. წილადი არის ნული, როცა მისი მრიცხველი ნულია:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ სამ კრიტიკულ წერტილს:

3) ჩვენ გამოვსახავთ ყველა აღმოჩენილ წერტილს რიცხვით წრფეზე და ინტერვალის მეთოდიჩვენ განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს:

შეგახსენებთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ გარკვეული წერტილი ინტერვალში და გამოთვალოთ წარმოებულის მნიშვნელობა მასზე და დაადგინეთ მისი ნიშანი. უფრო მომგებიანია არა დათვლა, არამედ სიტყვიერი "შეფასება". ავიღოთ, მაგალითად, წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება ინტერვალს და შევასრულოთ ჩანაცვლება: .

ორი „პლუს“ და ერთი „მინუს“ იძლევა „მინუსს“, შესაბამისად, რაც ნიშნავს, რომ წარმოებული უარყოფითია მთელ ინტერვალზე.

მოქმედება, როგორც გესმით, უნდა განხორციელდეს ექვსიდან თითოეული ინტერვალისთვის. სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველის ფაქტორი და მნიშვნელი მკაცრად დადებითია ნებისმიერი წერტილისთვის ნებისმიერ ინტერვალში, რაც მნიშვნელოვნად ამარტივებს დავალებას.

ასე რომ, წარმოებულმა გვითხრა, რომ ფუნქცია თავად იზრდება და მცირდება . მოსახერხებელია იმავე ტიპის ინტერვალების დაკავშირება შეერთების ხატულასთან.

იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მაქსიმუმს:
იმ მომენტში ფუნქცია აღწევს მინიმუმს:

დაფიქრდით, რატომ არ გჭირდებათ მეორე მნიშვნელობის ხელახლა გამოთვლა ;-)

წერტილის გავლისას წარმოებული არ იცვლის ნიშანს, ამიტომ ფუნქციას იქ არ აქვს EXTREMUM - ის შემცირდა და დარჩა კლებადობით.

! გავიმეოროთ მნიშვნელოვანი წერტილი: წერტილები არ განიხილება კრიტიკულად - ისინი შეიცავს ფუნქციას არ არის განსაზღვრული. შესაბამისად, აქ პრინციპში არ შეიძლება იყოს უკიდურესობა(მაშინაც კი, თუ წარმოებული ცვლის ნიშანს).

უპასუხე: ფუნქცია იზრდება და მცირდება ფუნქციის მაქსიმუმის მიღწევის მომენტში: , ხოლო წერტილში – მინიმუმი: .

მონოტონურობის ინტერვალებისა და ექსტრემების ცოდნა დადგენილთან ერთად ასიმპტოტებიუკვე ძალიან კარგ წარმოდგენას იძლევა ფუნქციის გრაფიკის გარეგნობაზე. საშუალო მომზადების ადამიანს შეუძლია სიტყვიერად განსაზღვროს, რომ ფუნქციის გრაფიკს აქვს ორი ვერტიკალური ასიმპტოტი და ირიბი ასიმპტოტი. აი ჩვენი გმირი:

სცადეთ კიდევ ერთხელ დააკავშიროთ კვლევის შედეგები ამ ფუნქციის გრაფიკთან.
კრიტიკულ მომენტში ექსტრემუმი არ არის, მაგრამ არის გრაფიკის ფლექსია(რაც, როგორც წესი, ხდება მსგავს შემთხვევებში).

მაგალითი 4

იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესობა

მაგალითი 5

იპოვეთ მონოტონურობის ინტერვალები, ფუნქციის მაქსიმუმი და მინიმუმი

…დღეს თითქმის რაღაც „X კუბში“ დღესასწაულს ჰგავს...
ოოოო, გალერეაში ვინ შესთავაზა ამისთვის დალევა? =)

თითოეულ დავალებას აქვს თავისი არსებითი ნიუანსი და ტექნიკური დახვეწილობა, რაც გაკვეთილის ბოლოს არის კომენტირებული.

გამარჯობა! ჩავაბაროთ მომავალ ერთიან სახელმწიფო გამოცდას მაღალი ხარისხის სისტემური მომზადებით და მეცნიერების გრანიტის დაფქვაში დაჟინებით!!! INპოსტის ბოლოს არის საკონკურსო დავალება, იყავი პირველი! ამ განყოფილების ერთ-ერთ სტატიაში მე და შენ, რომელშიც მოცემულია ფუნქციის გრაფიკი და დასმული იყო სხვადასხვა კითხვები ექსტრემებთან, გაზრდის (კლების) ინტერვალებთან და სხვასთან დაკავშირებით.

ამ სტატიაში განვიხილავთ მათემატიკაში ერთიან სახელმწიფო გამოცდაში შეტანილ ამოცანებს, რომლებშიც მოცემულია ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი და დასმულია შემდეგი კითხვები:

1. მოცემული სეგმენტის რომელ წერტილში იღებს ფუნქცია უდიდეს (ან უმცირეს) მნიშვნელობას.

2. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის მაქსიმალური (ან მინიმალური) წერტილების რაოდენობა.

3. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა.

4. იპოვეთ მოცემული სეგმენტის კუთვნილი ფუნქციის უკიდურესი წერტილი.

5. იპოვეთ გაზრდის (ან კლების) ფუნქციის ინტერვალები და პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შემავალი მთელი რიცხვების ჯამი.

6. იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის (ან შემცირების) ინტერვალები. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებიდან უდიდესის სიგრძე.

7. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა y = kx + b ფორმის წრფეს.

8. იპოვეთ აბსცისა იმ წერტილის, სადაც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი პარალელურია აბსცისის ღერძის ან ემთხვევა მას.

შეიძლება არსებობდეს სხვა კითხვები, მაგრამ ისინი არ შეგიქმნიან რაიმე სირთულეს, თუ გესმით და (მოწოდებულია სტატიების ბმულები, რომლებიც გვაწვდიან გადაწყვეტისთვის აუცილებელ ინფორმაციას, გირჩევთ მათ გამეორებას).

ძირითადი ინფორმაცია (მოკლედ):

1. წარმოებულს მზარდი ინტერვალებით აქვს დადებითი ნიშანი.

თუ წარმოებულს განსაზღვრულ წერტილში გარკვეული ინტერვალიდან აქვს დადებითი მნიშვნელობა, მაშინ ამ ინტერვალზე ფუნქციის გრაფიკი იზრდება.

2. კლებადი ინტერვალებით წარმოებულს აქვს უარყოფითი ნიშანი.

თუ წარმოებულს გარკვეული ინტერვალიდან გარკვეულ წერტილში აქვს უარყოფითი მნიშვნელობა, მაშინ ფუნქციის გრაფიკი მცირდება ამ ინტერვალზე.

3. წარმოებული x წერტილში ტოლია იმავე წერტილის ფუნქციის გრაფიკზე დახატული ტანგენსის დახრილობისა.

4. ფუნქციის უკიდურესობის (მაქსიმუმ-მინიმუმის) წერტილებში წარმოებული ნულის ტოლია. ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი ამ წერტილში არის x ღერძის პარალელურად.

ეს ნათლად უნდა გაიგოთ და გახსოვდეთ!!!

წარმოებული გრაფიკი ბევრ ადამიანს „აბნევს“. ზოგიერთი ადამიანი უნებურად ცდება მას ფუნქციის გრაფიკად. მაშასადამე, ასეთ შენობებში, სადაც ხედავთ, რომ მოცემულია გრაფიკი, მაშინვე გაამახვილეთ თქვენი ყურადღება მოცემულ მდგომარეობაში იმაზე, თუ რა არის მოცემული: ფუნქციის გრაფიკი თუ ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი?

თუ ეს არის ფუნქციის წარმოებულის გრაფიკი, მაშინ განიხილეთ იგი როგორც თავად ფუნქციის „ასახვა“, რომელიც უბრალოდ გაწვდით ინფორმაციას ამ ფუნქციის შესახებ.

განიხილეთ დავალება:

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–2;21).

ჩვენ ვუპასუხებთ შემდეგ კითხვებს:

1. სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)იღებს უდიდეს ღირებულებას.

მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქცია მცირდება (ის მცირდება ინტერვალის მარცხენა საზღვრიდან მარჯვნივ). ამრიგად, ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ანუ მე-7 წერტილში.

პასუხი: 7

2. სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)

ამ წარმოებული გრაფიკიდან შეგვიძლია ვთქვათ შემდეგი. მოცემულ ინტერვალზე ფუნქციის წარმოებული დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ ამ ინტერვალზე ფუნქცია იზრდება (ის იზრდება ინტერვალის მარცხენა საზღვრიდან მარჯვნივ). ამრიგად, ფუნქციის უმცირესი მნიშვნელობა მიიღწევა სეგმენტის მარცხენა საზღვარზე, ანუ x = 3 წერტილში.

პასუხი: 3

3. იპოვეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)

მაქსიმალური ქულები შეესაბამება იმ წერტილებს, სადაც წარმოებული ნიშანი იცვლება დადებითიდან უარყოფითზე. განვიხილოთ სად იცვლება ნიშანი ამ გზით.

სეგმენტზე (3;6) წარმოებული დადებითია, სეგმენტზე (6;16) უარყოფითი.

სეგმენტზე (16;18) წარმოებული დადებითია, სეგმენტზე (18;20) უარყოფითი.

ამრიგად, მოცემულ სეგმენტზე ფუნქციას აქვს ორი მაქსიმალური წერტილი x = 6 და x = 18.

პასუხი: 2

4. იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

მინიმალური ქულები შეესაბამება წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება უარყოფითიდან დადებითზე. ჩვენი წარმოებული უარყოფითია ინტერვალზე (0;3), ხოლო დადებითია ინტერვალზე (3;4).

ამრიგად, სეგმენტზე ფუნქციას აქვს მხოლოდ ერთი მინიმალური წერტილი x = 3.

*პასუხის ჩაწერისას ფრთხილად იყავით - ქულების რაოდენობაა დაფიქსირებული და არა x მნიშვნელობა შეიძლება დაუშვას უყურადღებობის გამო;

პასუხი: 1

5. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რა უნდა იპოვოთ რაოდენობაექსტრემალური ქულები (ეს არის როგორც მაქსიმალური, ასევე მინიმალური ქულები).

ექსტრემალური წერტილები შეესაბამება წერტილებს, სადაც წარმოებულის ნიშანი იცვლება (დადებითიდან უარყოფითზე ან პირიქით). მდგომარეობაში მოცემულ გრაფიკში ეს არის ფუნქციის ნულები. წარმოებული ქრება 3, 6, 16, 18 წერტილებზე.

ამრიგად, ფუნქციას აქვს 4 უკიდურესი წერტილი სეგმენტზე.

პასუხი: 4

6. იპოვეთ გაზრდის ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)

ამ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X)შეესაბამება იმ ინტერვალებს, რომლებზეც მისი წარმოებული დადებითია, ანუ ინტერვალებს (3;6) და (16;18). გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ მასში არ შედის ინტერვალის საზღვრები (მრგვალი ფრჩხილები - საზღვრები არ შედის ინტერვალში, კვადრატული ფრჩხილები - შედის). ეს ინტერვალები შეიცავს მთელ რიცხვებს 4, 5, 17. მათი ჯამია: 4 + 5 + 17 = 26

პასუხი: 26

7. იპოვეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)მოცემულ ინტერვალში. თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფუნქციის ინტერვალების შემცირება ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. ამ პრობლემაში ეს არის ინტერვალები (–2;3), (6;16), (18:21).

ეს ინტერვალები შეიცავს შემდეგ მთელ რიცხვებს: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. მათი ჯამია:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

პასუხი: 140

*მიაქციეთ ყურადღება პირობას: შედის თუ არა საზღვრები ინტერვალში. თუ საზღვრები შედის, მაშინ გადაწყვეტის პროცესში განხილულ ინტერვალებში ეს საზღვრებიც უნდა იყოს გათვალისწინებული.

8. იპოვეთ გაზრდის ფუნქციის ინტერვალები ვ(X)

ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული დადებითია. ჩვენ უკვე მივუთითეთ ისინი: (3;6) და (16:18). მათგან ყველაზე დიდი არის ინტერვალი (3;6), მისი სიგრძე 3.

პასუხი: 3

9. იპოვეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

ფუნქციის ინტერვალების შემცირება ვ(X)შეესაბამება ინტერვალებს, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული უარყოფითია. ჩვენ უკვე მივუთითეთ ისინი (–2;3), (6;16), (18;21), მათი სიგრძე არის შესაბამისად 5, 10, 3.

ყველაზე დიდის სიგრძეა 10.

პასუხი: 10

10. იპოვეთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზედაც ტანგენსი ფუნქციის გრაფიკზე ვ(X)პარალელურად ან ემთხვევა სწორ ხაზს y = 2x + 3.

წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში უდრის ტანგენსის დახრილობას. ვინაიდან ტანგენსი არის y = 2x + 3 სწორი ხაზის პარალელურად ან ემთხვევა მას, მათი კუთხური კოეფიციენტები უდრის 2-ს. ეს ნიშნავს, რომ აუცილებელია ვიპოვოთ წერტილების რაოდენობა, რომლებზეც y′(x 0) = 2. გეომეტრიულად ეს შეესაბამება წარმოებული გრაფიკის გადაკვეთის წერტილების რაოდენობას სწორი ხაზით y = 2. ამ ინტერვალზე 4 ასეთი წერტილია.

პასუხი: 4

11. იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილი ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის.

ფუნქციის უკიდურესი წერტილი არის წერტილი, რომელშიც მისი წარმოებული ტოლია ნულის ტოლია, ხოლო ამ წერტილის სიახლოვეს წარმოებული ცვლის ნიშანს (დადებითიდან უარყოფითზე ან პირიქით). სეგმენტზე წარმოებული გრაფიკი კვეთს x ღერძს, წარმოებული ცვლის ნიშანს უარყოფითიდან დადებითზე. აქედან გამომდინარე, წერტილი x = 3 არის უკიდურესი წერტილი.

პასუხი: 3

12. იპოვეთ იმ წერტილების აბსცისა, რომლებშიც y = f (x) გრაფიკის ტანგენტები პარალელურია აბსცისის ღერძის ან ემთხვევა მას. თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი.

y = f (x) გრაფიკზე ტანგენსი შეიძლება იყოს აბსცისის ღერძის პარალელურად ან ემთხვევა მას, მხოლოდ იმ წერტილებში, სადაც წარმოებული ტოლია ნულის (ეს შეიძლება იყოს უკიდურესი წერტილები ან სტაციონარული წერტილები, რომელთა სიახლოვეს წარმოებული აკეთებს არ შეცვალოს მისი ნიშანი). ეს გრაფიკი აჩვენებს, რომ წარმოებული არის ნული 3, 6, 16,18 წერტილებში. ყველაზე დიდი არის 18.

თქვენი მსჯელობის სტრუქტურირება შეგიძლიათ ასე:

წარმოებულის მნიშვნელობა ტანგენციის წერტილში უდრის ტანგენსის დახრილობას. ვინაიდან ტანგენსი პარალელურია ან ემთხვევა x ღერძს, მისი დახრილობა არის 0 (მართლაც, ნულოვანი გრადუსიანი კუთხის ტანგენსი არის ნული). მაშასადამე, ჩვენ ვეძებთ წერტილს, სადაც დახრილობა ნულის ტოლია და, შესაბამისად, წარმოებული ნულის ტოლია. წარმოებული უდრის ნულს იმ წერტილში, სადაც მისი გრაფიკი კვეთს x ღერძს და ეს არის 3, 6, 16,18 წერტილები.

პასუხი: 18

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრულია ინტერვალზე (–8;4). [–7;–3] სეგმენტის რომელ წერტილშია ფუნქცია ვ(X)იღებს უმცირეს მნიშვნელობას.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–7;14). იპოვნეთ ფუნქციის მაქსიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X), სეგმენტს ეკუთვნის [–6;9].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–18;6). იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური ქულების რაოდენობა ვ(X)სეგმენტს ეკუთვნის [–13;1].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–11; –11). იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილების რაოდენობა ვ(X), სეგმენტს ეკუთვნის [–10; –10].

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–7;4). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრულია ინტერვალზე (–5;7). იპოვნეთ კლების ფუნქციის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ ამ ინტერვალებში შეტანილი მთელი რიცხვების ჯამი.

ფიგურაში ნაჩვენებია გრაფიკი y =ვ'(X)- ფუნქციის წარმოებული ვ(X), განსაზღვრული ინტერვალზე (–11;3). იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები ვ(X). თქვენს პასუხში მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

F ფიგურა გვიჩვენებს გრაფიკს

პრობლემის პირობები იგივეა (რაც განვიხილეთ). იპოვეთ სამი რიცხვის ჯამი:

1. f (x) ფუნქციის კიდურების კვადრატების ჯამი.

2. f (x) ფუნქციის მაქსიმალური ქულების ჯამის კვადრატებისა და მინიმალური წერტილების ჯამის სხვაობა.

3. y = –3x + 5 სწორი წრფის პარალელურად f (x) ტანგენტების რაოდენობა.

პირველი, ვინც გასცემს სწორ პასუხს, მიიღებს წამახალისებელ პრიზს 150 რუბლის ოდენობით. დაწერეთ თქვენი პასუხები კომენტარებში. თუ ეს თქვენი პირველი კომენტარია ბლოგზე, მაშინვე არ გამოჩნდება, მაგრამ ცოტა მოგვიანებით (ნუ ინერვიულებთ, კომენტარის დაწერის დრო ჩაიწერება).

წარმატებებს გისურვებთ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიციხ.

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ მომიყვებით საიტის შესახებ სოციალურ ქსელებში.

ფუნქცია და მისი მახასიათებლების შესწავლა თანამედროვე მათემატიკაში ერთ-ერთ საკვანძო თავს იკავებს. ნებისმიერი ფუნქციის მთავარი კომპონენტია გრაფიკები, რომლებიც ასახავს არა მხოლოდ მის თვისებებს, არამედ ამ ფუნქციის წარმოებულების პარამეტრებს. მოდით გავიგოთ ეს რთული თემა. რა არის საუკეთესო გზა ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური ქულების მოსაძებნად?

ფუნქცია: განმარტება

ნებისმიერ ცვლადს, რომელიც გარკვეულწილად დამოკიდებულია სხვა სიდიდის მნიშვნელობებზე, შეიძლება ეწოდოს ფუნქცია. მაგალითად, ფუნქცია f(x 2) არის კვადრატული და განსაზღვრავს მნიშვნელობებს მთელი x სიმრავლისთვის. ვთქვათ, რომ x = 9, მაშინ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობა იქნება 9 2 = 81.

ფუნქციები სხვადასხვა ტიპისაა: ლოგიკური, ვექტორული, ლოგარითმული, ტრიგონომეტრიული, რიცხვითი და სხვა. მათ სწავლობდნენ ისეთი გამოჩენილი გონება, როგორიცაა ლაკრუა, ლაგრანჟი, ლაიბნიცი და ბერნოული. მათი ნამუშევრები ფუნქციების შესწავლის თანამედროვე გზების საყრდენს წარმოადგენს. მინიმალური ქულების პოვნამდე ძალიან მნიშვნელოვანია ფუნქციის და მისი წარმოებულის მნიშვნელობის გაგება.

წარმოებული და მისი როლი

ყველა ფუნქცია დამოკიდებულია მათ ცვლადებზე, რაც ნიშნავს, რომ მათ შეუძლიათ ნებისმიერ დროს შეცვალონ მნიშვნელობა. გრაფიკზე ეს იქნება გამოსახული როგორც მრუდი, რომელიც ან ეცემა ან იზრდება ორდინატთა ღერძის გასწვრივ (ეს არის „y“ რიცხვების მთელი ნაკრები ვერტიკალური გრაფიკის გასწვრივ). ასე რომ, ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური წერტილების განსაზღვრა სწორედ ამ „რხევებს“ უკავშირდება. მოდით განვმარტოთ, რა არის ეს ურთიერთობა.

ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული გრაფიკულად არის დახატული, რათა შევისწავლოთ მისი ძირითადი მახასიათებლები და გამოვთვალოთ რამდენად სწრაფად იცვლება ფუნქცია (ანუ ცვლის მის მნიშვნელობას ცვლადის "x"-ის მიხედვით). იმ მომენტში, როდესაც ფუნქცია იზრდება, მისი წარმოებულის გრაფიკიც გაიზრდება, მაგრამ ნებისმიერ წამში ფუნქციამ შეიძლება დაიწყოს შემცირება, შემდეგ კი წარმოებულის გრაფიკი შემცირდება. იმ წერტილებს, რომლებზეც წარმოებული იცვლება მინუს ნიშნიდან პლუს ნიშანში, მინიმალური ქულები ეწოდება. იმისათვის, რომ იცოდეთ როგორ იპოვოთ მინიმალური ქულები, უკეთ უნდა გესმოდეთ

როგორ გამოვთვალოთ წარმოებული?

განმარტება და ფუნქციები გულისხმობს რამდენიმე ცნებას ზოგადად, წარმოებულის განმარტება შეიძლება შემდეგნაირად გამოიხატოს: ეს არის სიდიდე, რომელიც აჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს.

მისი დადგენის მათემატიკური გზა ბევრი სტუდენტისთვის რთული ჩანს, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი გაცილებით მარტივია. თქვენ უბრალოდ უნდა დაიცვათ სტანდარტული გეგმა ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებულის მოსაძებნად. ქვემოთ აღვწერთ, თუ როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ ფუნქციის მინიმალური წერტილი დიფერენციაციის წესების გამოყენებისა და წარმოებულების ცხრილის დამახსოვრების გარეშე.

1. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციის წარმოებული გრაფიკის გამოყენებით. ამისათვის თქვენ უნდა გამოსახოთ თავად ფუნქცია, შემდეგ აიღოთ მასზე ერთი წერტილი (სურათზე A წერტილი დახაზეთ ხაზი აბსცისის ღერძამდე ვერტიკალურად (წერტილი x 0), ხოლო A წერტილში დახაზეთ ტანგენსი. ფუნქციის გრაფიკი. x ღერძი და ტანგენსი ქმნიან გარკვეულ კუთხეს a. მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თუ რამდენად სწრაფად იზრდება ფუნქცია, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამ კუთხის ტანგენსი a.
2. გამოდის, რომ კუთხის ტანგენსი ტანგენტსა და x-ღერძის მიმართულებას შორის არის ფუნქციის წარმოებული მცირე ფართობზე A წერტილით. ეს მეთოდი ითვლება წარმოებულის განსაზღვრის გეომეტრიულ მეთოდად.

ფუნქციის შესწავლის მეთოდები

სასკოლო მათემატიკის სასწავლო გეგმაში ფუნქციის მინიმალური წერტილის პოვნა შესაძლებელია ორი გზით. ჩვენ უკვე განვიხილეთ პირველი მეთოდი გრაფიკის გამოყენებით, მაგრამ როგორ განვსაზღვროთ წარმოებულის რიცხვითი მნიშვნელობა? ამისათვის თქვენ უნდა ისწავლოთ რამდენიმე ფორმულა, რომელიც აღწერს წარმოებულის თვისებებს და დაგეხმარებათ გადაიყვანოთ ცვლადები, როგორიცაა "x" რიცხვებად. შემდეგი მეთოდი უნივერსალურია, ამიტომ მისი გამოყენება შესაძლებელია თითქმის ყველა ტიპის ფუნქციაზე (როგორც გეომეტრიული, ასევე ლოგარითმული).

1. აუცილებელია ფუნქციის გათანაბრება წარმოებულ ფუნქციასთან, შემდეგ კი გამოხატვის გამარტივება დიფერენცირების წესების გამოყენებით.
2. ზოგიერთ შემთხვევაში, როდესაც მოცემულია ფუნქცია, რომელშიც ცვლადი "x" არის გამყოფში, აუცილებელია განისაზღვროს მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონი, მისგან წერტილის "0" გამორიცხვით (იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ მათემატიკაში არასოდეს უნდა გავყოთ ნულზე).
3. ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გადააქციოთ ფუნქციის საწყისი ფორმა მარტივ განტოლებად, მთელი გამოსახულების ტოლფასი ნულამდე. მაგალითად, თუ ფუნქცია ასე გამოიყურებოდა: f(x) = 2x 3 +38x, მაშინ დიფერენციაციის წესების მიხედვით მისი წარმოებული უდრის f"(x) = 3x 2 +1. შემდეგ ამ გამოსახულებას ვაქცევთ შემდეგი ფორმის განტოლება: 3x 2 +1 = 0 .
4. განტოლების ამოხსნის და „x“ წერტილების პოვნის შემდეგ, თქვენ უნდა გამოსახოთ ისინი x ღერძზე და დაადგინოთ, წარმოებული ამ მონაკვეთებში მონიშნულ წერტილებს შორის არის დადებითი თუ უარყოფითი. აღნიშვნის შემდეგ, გაირკვევა, რომელ მომენტში იწყება ფუნქცია კლებას, ანუ ცვლის ნიშანს მინუსიდან საპირისპიროზე. სწორედ ამ გზით შეგიძლიათ იპოვოთ როგორც მინიმალური, ასევე მაქსიმალური ქულები.

დიფერენცირების წესები

ფუნქციის და მისი წარმოებულის შესწავლის ყველაზე ძირითადი კომპონენტია დიფერენცირების წესების ცოდნა. მხოლოდ მათი დახმარებით შეგიძლიათ შეცვალოთ რთული გამონათქვამები და დიდი რთული ფუნქციები. მოდით გავეცნოთ მათ, საკმაოდ ბევრია, მაგრამ ისინი ყველა ძალიან მარტივია როგორც სიმძლავრის, ასევე ლოგარითმული ფუნქციების ბუნებრივი თვისებების გამო.

1. ნებისმიერი მუდმივის წარმოებული ტოლია ნულის (f(x) = 0). ანუ წარმოებული f(x) = x 5 + x - 160 მიიღებს შემდეგ ფორმას: f" (x) = 5x 4 +1.
2. ორი წევრის ჯამის წარმოებული: (f+w)" = f"w + fw".
3. ლოგარითმული ფუნქციის წარმოებული: (log a d)" = d/ln a*d. ეს ფორმულა ვრცელდება ყველა ტიპის ლოგარითმზე.
4. სიმძლავრის წარმოებული: (x n)"= n*x n-1. მაგალითად, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. სინუსოიდური ფუნქციის წარმოებული: (sin a)" = cos a. თუ a კუთხის sin არის 0,5, მაშინ მისი წარმოებული არის √3/2.

ექსტრემალური წერტილები

ჩვენ უკვე განვიხილეთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ მინიმალური ქულები, მაგრამ არსებობს კონცეფცია და ფუნქციები. თუ მინიმალური აღნიშნავს იმ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქცია იცვლება მინუს ნიშნიდან პლუსზე, მაშინ მაქსიმალური ქულები არის ის წერტილები x ღერძზე, რომლებზეც ფუნქციის წარმოებული იცვლება პლუსიდან საპირისპირო მინუსზე.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მაქსიმალური ქულები ზემოთ აღწერილი მეთოდის გამოყენებით, მაგრამ უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ისინი მიუთითებენ იმ უბნებზე, სადაც ფუნქცია იწყებს შემცირებას, ანუ წარმოებული იქნება ნულზე ნაკლები.

მათემატიკაში ჩვეულებრივია ორივე ცნების განზოგადება, მათი შეცვლა ფრაზით "ექსტრემალური წერტილები". როდესაც დავალება გთხოვს ამ წერტილების ამოცნობას, ეს ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცემული ფუნქციის წარმოებული და იპოვოთ მინიმალური და მაქსიმალური ქულები.