მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იპოვოთ რამდენიმე გზით. სწორი კუთხე, როგორც ნებისმიერი ფიგურის ნაწილი, ამატებს მას თვისებებს და ეს შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემების სწორად და სწრაფად გადასაჭრელად.

მართკუთხა სამკუთხედი

პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ თავად მართკუთხა სამკუთხედი, მისი მახასიათებლები და თვისებები. მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელიც შეიცავს კუთხეს.

მართკუთხა სამკუთხედი არ შეიძლება იყოს ბლაგვი, რადგან მაშინ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი გადააჭარბებს 180 გრადუსს, რაც შეუძლებელია.

მართკუთხა სამკუთხედში სამი სიმაღლიდან ორი ემთხვევა გვერდებს - ფეხებს. ამავე მიზეზით, მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილი ემთხვევა მარჯვენა კუთხით მდებარე წვეროს.

ბრინჯი. 1. მართკუთხა სამკუთხედის ყველა სიმაღლე.

იგივე წერტილი იქნება შემოხაზული წრის ცენტრი.

სამკუთხედის ფართობი

სამკუთხედის ფართობი ჩვეულებრივ გვხვდება სტანდარტული ფორმულის გამოყენებით, როგორც ფუძის ნამრავლის ნახევარი და ამ ფუძემდე მიყვანილი სიმაღლე.

$$S=(1\over2)*a*h$$

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ფართობი, როგორც გვერდების ნამრავლის ნახევარი და მათ შორის კუთხის სინუსი:

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

არსებობს რთული ფორმულები ფართობის მოსაძებნად, მაგრამ ისინი ძალიან იშვიათად გამოიყენება.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი გვხვდება იგივე ფორმულების გამოყენებით, მაგრამ ზოგიერთ შემთხვევაში ეს ფორმულები შეიძლება გამარტივდეს.

მაგალითად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის ფაქტი, რომ მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლეები ემთხვევა ფეხებს. შემდეგ სტანდარტული ფორმულა ხდება:

$S=(1\over2)*a*b$, სადაც a და b არის მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები.

ეს არის ერთ-ერთი უმარტივესი ფორმულა მართკუთხა სამკუთხედის ფართობისთვის. ვცადოთ მეორე ფორმულის გარდაქმნა.

$$S=(1\over2)*a*b*sin(g)$$

თუ გავიხსენებთ, რომ კუთხის სინუსი არის მოპირდაპირე ფეხის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. ჩვენს შემთხვევაში, საპირისპირო ფეხი აღინიშნება ასო f-ით, რადგან a არის მიმდებარე ფეხი, ხოლო მახვილი კუთხე შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ ფეხსა და ჰიპოტენუზას შორის. ასე რომ b არის ჰიპოტენუზა.

$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - ყველაფერი არის იგივე ფორმულა.

ბრინჯი. 2. დასკვნის გამოტანა.

ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ სწორად გავაკეთეთ პირველი დასკვნა და მართკუთხა სამკუთხედს აქვს მხოლოდ ერთი სპეციალური ფორმულა ფართობის საპოვნელად. თუ ის არ ჯდება, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ზოგადი ფორმულები. ეს არის ფართობის გამოთვლის ორი შესაძლო გზა.

მაგალითად, თუ ჰიპოტენუზა ცნობილია პრობლემის მდგომარეობით, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ იპოვოთ ჰიპოტენუზაზე დავარდნილი სიმაღლე და განსაზღვროთ ფართობი ზოგადი ფორმულის გამოყენებით. იმავე პრინციპით, შეგიძლიათ იპოვოთ ტერიტორია სინუსში, თუ ცნობილია ჰიპოტენუზა და ფეხი.

ბრინჯი. 3. ჰიპოტენუზისკენ მიზიდული სიმაღლე.

მთავარია გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერ პრობლემას ყოველთვის აქვს 3 გამოსავალი და გადაჭრით თითოეულს ყველაზე მოსახერხებელი გზით.

რა ვისწავლეთ?

ჩვენ ვისაუბრეთ მართკუთხა სამკუთხედებზე და გამოვიყვანეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის ფორმულა ფეხების მიხედვით. ჩვენ განვიხილეთ სამკუთხედების ფართობის ზოგადი ფორმულები და ვთქვით, რომ თითოეული ეს ფორმულა შესაფერისია მართკუთხა სამკუთხედის ამოსახსნელად.

თემის ვიქტორინა

სტატიის რეიტინგი

Საშუალო რეიტინგი: 4.5. სულ მიღებული შეფასებები: 115.

მართკუთხა სამკუთხედი რეალობაში გვხვდება თითქმის ყველა კუთხეში. ამ ფიგურის თვისებების ცოდნა, ისევე როგორც მისი ფართობის გამოთვლის უნარი, უდავოდ გამოგადგებათ არა მხოლოდ გეომეტრიის პრობლემების გადასაჭრელად, არამედ ცხოვრებისეულ სიტუაციებშიც.

სამკუთხედის გეომეტრია

ელემენტარულ გეომეტრიაში მართკუთხა სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც შედგება სამი დაკავშირებული სეგმენტისგან, რომლებიც ქმნიან სამ კუთხეს (ორი მახვილი და ერთი სწორი). მართკუთხა სამკუთხედი არის ორიგინალური ფიგურა, რომელიც ხასიათდება მრავალი მნიშვნელოვანი თვისებით, რომლებიც ქმნიან ტრიგონომეტრიის საფუძველს. ჩვეულებრივი სამკუთხედისგან განსხვავებით, მართკუთხა ფიგურის გვერდებს აქვთ საკუთარი სახელები:

• ჰიპოტენუზა არის სამკუთხედის ყველაზე გრძელი გვერდი, რომელიც მდებარეობს სწორი კუთხის საპირისპიროდ.
• ფეხები - სეგმენტები, რომლებიც ქმნიან სწორ კუთხეს. განხილული კუთხიდან გამომდინარე, ფეხი შეიძლება იყოს მის მიმდებარედ (ამ კუთხის ფორმირება ჰიპოტენუზასთან ერთად) ან საპირისპირო (იწოლა კუთხის საპირისპიროდ). არამართკუთხა სამკუთხედებისთვის ფეხები არ არის.

ეს არის ფეხებისა და ჰიპოტენუზის თანაფარდობა, რომელიც ქმნის ტრიგონომეტრიის საფუძველს: სინუსები, ტანგენტები და სეკანტები განისაზღვრება, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების თანაფარდობა.

მართკუთხა სამკუთხედი რეალობაში

ეს მაჩვენებელი ფართოდ გამოიყენება რეალობაში. სამკუთხედები გამოიყენება დიზაინსა და ტექნოლოგიაში, ამიტომ ფიგურის ფართობის გამოთვლა უნდა მოხდეს ინჟინრების, არქიტექტორების და დიზაინერების მიერ. ტეტრაედრების ან პრიზმების ფუძეებს აქვთ სამკუთხედის ფორმა - სამგანზომილებიანი ფიგურები, რომლებიც ადვილად შეხვდებით ყოველდღიურ ცხოვრებაში. გარდა ამისა, კვადრატი არის "ბრტყელი" მართკუთხა სამკუთხედის უმარტივესი წარმოდგენა რეალობაში. მოედანი არის ზეინკალი, სახატავი, სამშენებლო და ხუროს ინსტრუმენტი, რომელსაც იყენებენ როგორც სკოლის მოსწავლეების, ასევე ინჟინრების მიერ კუთხეების ასაგებად.

სამკუთხედის ფართობი

გეომეტრიული ფიგურის ფართობი არის რაოდენობრივი შეფასება იმისა, თუ რამდენი სიბრტყეა შემოსაზღვრული სამკუთხედის გვერდებით. ჩვეულებრივი სამკუთხედის ფართობი შეგიძლიათ იხილოთ ხუთი გზით, ჰერონის ფორმულის გამოყენებით ან გამოთვლებში მოქმედებით ისეთი ცვლადებით, როგორიცაა ჩაწერილი ან შემოხაზული წრის საფუძველი, მხარე, კუთხე და რადიუსი. ფართობის უმარტივესი ფორმულა გამოიხატება შემდეგნაირად:

სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი, h არის მისი სიმაღლე.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლის ფორმულა კიდევ უფრო მარტივია:

სადაც a და b არის ფეხები.

ჩვენს ონლაინ კალკულატორთან მუშაობისას შეგიძლიათ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი სამი წყვილი პარამეტრის გამოყენებით:

• ორი ფეხი;
• ფეხი და მიმდებარე კუთხე;
• ფეხი და საპირისპირო კუთხე.

ამოცანებში ან ყოველდღიურ სიტუაციებში მოგეცემათ ცვლადების სხვადასხვა კომბინაცია, ამიტომ კალკულატორის ეს ფორმა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სამკუთხედის ფართობი რამდენიმე გზით. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

რეალური ცხოვრების მაგალითები

Კერამიკის ფილა

ვთქვათ, გსურთ სამზარეულოს კედლები კერამიკული ფილებით მოაწყოთ, რომლებსაც მართკუთხა სამკუთხედის ფორმა აქვთ. ფილების მოხმარების დასადგენად, თქვენ უნდა გაარკვიოთ მოპირკეთების ერთი ელემენტის ფართობი და დასამუშავებელი ზედაპირის მთლიანი ფართობი. დავუშვათ, საჭიროა 7 კვადრატული მეტრის დამუშავება. ერთი ელემენტის ფეხების სიგრძეა თითო 19 სმ, მაშინ კრამიტის ფართობი ტოლი იქნება:

ეს ნიშნავს, რომ ერთი ელემენტის ფართობია 24,5 კვადრატული სანტიმეტრი ან 0,01805 კვადრატული მეტრი. ამ პარამეტრების გათვალისწინებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ, რომ კედლის 7 კვადრატული მეტრის დასასრულებლად დაგჭირდებათ 7 / 0.01805 = 387 მოსაპირკეთებელი ფილა.

სასკოლო დავალება

დავუშვათ, რომ სკოლის გეომეტრიის პრობლემაში საჭიროა მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის პოვნა, მხოლოდ იმის ცოდნა, რომ ერთი ფეხის გვერდი არის 5 სმ, ხოლო მოპირდაპირე კუთხის მნიშვნელობა 30 გრადუსია. ჩვენს ონლაინ კალკულატორს ახლავს ილუსტრაცია, რომელიც აჩვენებს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებსა და კუთხეებს. თუ გვერდი a = 5 სმ, მაშინ მისი საპირისპირო კუთხე არის კუთხე ალფა, უდრის 30 გრადუსს. შეიყვანეთ ეს მონაცემები კალკულატორის ფორმაში და მიიღეთ შედეგი:

ამრიგად, კალკულატორი არა მხოლოდ ითვლის მოცემული სამკუთხედის ფართობს, არამედ განსაზღვრავს მიმდებარე ფეხისა და ჰიპოტენუზის სიგრძეს, ასევე მეორე კუთხის მნიშვნელობას.

დასკვნა

მართკუთხა სამკუთხედები გვხვდება ჩვენს ცხოვრებაში ფაქტიურად ყველა კუთხეში. ასეთი ფიგურების ფართობის განსაზღვრა გამოგადგებათ არა მხოლოდ გეომეტრიაში სასკოლო დავალებების ამოხსნისას, არამედ ყოველდღიურ და პროფესიულ საქმიანობაშიც.

სამკუთხედი არის ბრტყელი გეომეტრიული ფიგურა, რომლის ერთი კუთხე უდრის 90 °. ამავდროულად, გეომეტრიაში ხშირად საჭიროა ასეთი ფიგურის ფართობის გამოთვლა. როგორ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ გეტყვით შემდგომ.

უმარტივესი ფორმულა მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დასადგენად

საწყისი მონაცემები, სადაც: a და b არის მართი კუთხიდან გამოსული სამკუთხედის გვერდები.

ანუ ფართობი უდრის სწორი კუთხიდან გამოსული ორი მხარის ნამრავლის ნახევარს. რა თქმა უნდა, არსებობს ჰერონის ფორმულა, რომელიც გამოიყენება ჩვეულებრივი სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, მაგრამ მნიშვნელობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ სამი მხარის სიგრძე. შესაბამისად, თქვენ მოგიწევთ ჰიპოტენუზის გამოთვლა და ეს დამატებითი დროა.

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით

ეს არის კარგად ცნობილი და ორიგინალური ფორმულა, მაგრამ ამისათვის თქვენ მოგიწევთ ჰიპოტენუზას გამოთვლა ორი ფეხის გასწვრივ პითაგორას თეორემის გამოყენებით.

ამ ფორმულაში: a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები, ხოლო p არის ნახევარპერიმეტრი.

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი მოცემული ჰიპოტენუზა და კუთხე

თუ არცერთი ფეხი არ არის ცნობილი თქვენს პრობლემაში, მაშინ უმარტივეს მეთოდს ვერ გამოიყენებთ. ღირებულების დასადგენად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ ფეხების სიგრძე. ეს კეთდება უბრალოდ ჰიპოტენუზასა და ჩართული კუთხის კოსინუსის მიერ.

b=c×cos(α)

იცოდეთ ერთ-ერთი ფეხის სიგრძე, პითაგორას თეორემის გამოყენებით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ სწორი კუთხიდან გამომავალი მეორე მხარე.

b 2 \u003d c 2 -a 2

ამ ფორმულაში c და a არის ჰიპოტენუზა და ფეხი, შესაბამისად. ახლა თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფართობი პირველი ფორმულის გამოყენებით. ანალოგიურად, ერთი ფეხი შეიძლება გამოითვალოს მეორე და კუთხე. ამ შემთხვევაში, ერთ-ერთი სასურველი მხარე ტოლი იქნება ფეხის ნამრავლისა და კუთხის ტანგენტისა. ფართობის გამოსათვლელად სხვა გზებიც არსებობს, მაგრამ ძირითადი თეორემებისა და წესების ცოდნით შეგიძლიათ მარტივად იპოვოთ სასურველი მნიშვნელობა.

თუ თქვენ არ გაქვთ სამკუთხედის არცერთი გვერდი, არამედ მხოლოდ მედიანა და ერთი კუთხე, მაშინ შეგიძლიათ გამოთვალოთ გვერდების სიგრძე. ამისათვის გამოიყენეთ მედიანას თვისებები მართკუთხა სამკუთხედის ორზე გასაყოფად. შესაბამისად, მას შეუძლია იმოქმედოს როგორც ჰიპოტენუზა, თუ ის მწვავე კუთხიდან გამოდის. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა, რათა იპოვოთ სამკუთხედის გვერდების სიგრძე, რომლებიც გამოდიან სწორი კუთხიდან.

როგორც ხედავთ, ძირითადი ფორმულების და პითაგორას თეორემის ცოდნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი კუთხე და ერთი გვერდის სიგრძე.

საშუალო სკოლაში გეომეტრიის გაკვეთილებზე ყველას გვასწავლიდნენ სამკუთხედების შესახებ. თუმცა, სასკოლო სასწავლო გეგმის ფარგლებში ვიღებთ მხოლოდ ყველაზე საჭირო ცოდნას და ვსწავლობთ გაანგარიშების ყველაზე გავრცელებულ და სტანდარტულ მეთოდებს. არის თუ არა უჩვეულო გზები ამ მნიშვნელობის მოსაძებნად?

შესავალად გავიხსენოთ რომელი სამკუთხედი ითვლება მართკუთხა სამკუთხედად და ასევე აღვნიშნოთ ფართობის ცნება.

მართკუთხა სამკუთხედი არის დახურული გეომეტრიული ფიგურა, რომლის ერთ-ერთი კუთხე უდრის 90 0-ს. განმარტებაში ინტეგრალური ცნებებია ფეხები და ჰიპოტენუზა. ფეხები არის ორი მხარე, რომლებიც ქმნიან სწორ კუთხეს შეერთების წერტილში. ჰიპოტენუზა არის მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირე მხარე. მართკუთხა სამკუთხედი შეიძლება იყოს ტოლგვერდა (მისი ორი გვერდი იგივე ზომის იქნება), მაგრამ არასოდეს ტოლგვერდა (ყველა გვერდი ერთნაირი სიგრძეა). სიმაღლის, მედიანის, ვექტორების და სხვა მათემატიკური ტერმინების განმარტებები დეტალურად არ იქნება გაანალიზებული. მათი პოვნა მარტივია საცნობარო წიგნებში.

მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი. მართკუთხედებისგან განსხვავებით, წესი

მხარეთა პროდუქტი განმარტებაში არ მოქმედებს. ტერმინების მშრალ ენაზე საუბრისას, სამკუთხედის ფართობი გაგებულია, როგორც ამ ფიგურის თვისება, დაიკავოს სიბრტყის ნაწილი, გამოსახული რიცხვით. საკმაოდ რთული გასაგებია, ხომ ხედავ. ჩვენ არ ვეცდებით ღრმად ჩავუღრმავდეთ განმარტებას, ჩვენი მიზანი ეს არ არის. მოდით გადავიდეთ მთავარზე - როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი? ჩვენ თვითონ არ შევასრულებთ გამოთვლებს, ჩვენ მხოლოდ ფორმულებს მივუთითებთ. ამისათვის განვსაზღვროთ აღნიშვნა: A, B, C - სამკუთხედის გვერდები, ფეხები - AB, BC. კუთხე ACB სწორია. S არის სამკუთხედის ფართობი, h n n არის სამკუთხედის სიმაღლე, სადაც nn არის მხარე, რომელზეც ის დაბლაა.

მეთოდი 1. როგორ ვიპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი, თუ ცნობილია მისი ფეხების ზომა

მეთოდი 2. იპოვეთ ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი

მეთოდი 3. ფართობის გამოთვლა მართკუთხედის მეშვეობით

მართკუთხა სამკუთხედს ვასრულებთ კვადრატში (თუ სამკუთხედი

ტოლკუთხედები) ან მართკუთხედი. ჩვენ ვიღებთ მარტივ ოთხკუთხედს, რომელიც შედგება 2 იდენტური მართკუთხა სამკუთხედისგან. ამ შემთხვევაში, ერთი მათგანის ფართობის მნიშვნელობა იქნება მიღებული ფიგურის ფართობის ნახევარი. მართკუთხედის S გამოითვლება გვერდების ნამრავლით. ამ მნიშვნელობას M-ით აღვნიშნავთ. ფართობის სასურველი მნიშვნელობა უდრის M-ის ნახევარს.

მეთოდი 4. "პითაგორას შარვალი". ცნობილი პითაგორას თეორემა

ჩვენ ყველას გვახსოვს მისი ფორმულირება: "ფეხების კვადრატების ჯამი ...". მაგრამ ყველას არ შეუძლია

ვთქვათ, და აქ არის რამდენიმე "შარვალი". ფაქტია, რომ თავდაპირველად პითაგორამ შეისწავლა მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებული ურთიერთობა. კვადრატების გვერდების თანაფარდობის ნიმუშების ამოცნობის შემდეგ, მან შეძლო გამოეყვანა ყველა ჩვენგანისთვის ცნობილი ფორმულა. მისი გამოყენება შესაძლებელია, როდესაც ერთ-ერთი მხარის ღირებულება უცნობია.

მეთოდი 5. როგორ მოვძებნოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი ჰერონის ფორმულის გამოყენებით

ეს ასევე საკმაოდ მარტივი გაანგარიშებაა. ფორმულა მოიცავს სამკუთხედის ფართობის გამოხატვას მისი გვერდების რიცხვითი მნიშვნელობების მიხედვით. გამოთვლებისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ სამკუთხედის ყველა მხარის სიდიდე.

S = (p-AC)*(p-BC), სადაც p = (AB+BC+AC)*0.5

გარდა ზემოაღნიშნულისა, არსებობს მრავალი სხვა გზა, რათა იპოვოთ ისეთი იდუმალი ფიგურის ზომა, როგორიცაა სამკუთხედი. მათ შორის: გამოთვლა შემოხაზული ან შემოხაზული წრის მეთოდით, გამოთვლა წვეროების კოორდინატების გამოყენებით, ვექტორების, აბსოლუტური სიდიდეების, სინუსების, ტანგენტების გამოყენება.