ბურთი და სფერო, პირველ რიგში, გეომეტრიული ფიგურებია და თუ ბურთი გეომეტრიული სხეულია, მაშინ სფერო არის ბურთის ზედაპირი. ეს ციფრები საინტერესო იყო ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მრავალი ათასი წლის წინ.

შემდგომში, როდესაც გაირკვა, რომ დედამიწა არის ბურთი და ცა არის ციური სფერო, შეიქმნა ახალი მომხიბლავი მიმართულება გეომეტრიაში - გეომეტრია სფეროზე ან სფერული გეომეტრია. იმისათვის, რომ ვისაუბროთ ბურთის ზომაზე და მოცულობაზე, ჯერ ის უნდა განისაზღვროს.

ბურთი

R რადიუსის ბურთი, რომელსაც აქვს ცენტრი O წერტილში გეომეტრიაში არის სხეული, რომელიც იქმნება სივრცის ყველა წერტილით, რომლებსაც აქვთ საერთო თვისება. ეს წერტილები განლაგებულია მანძილით, რომელიც არ აღემატება ბურთის რადიუსს, ანუ ისინი ავსებენ მთელ სივრცეს ბურთის რადიუსზე ნაკლებს მისი ცენტრიდან ყველა მიმართულებით. თუ გავითვალისწინებთ მხოლოდ იმ წერტილებს, რომლებიც თანაბარი მანძილით არიან დაშორებული ბურთის ცენტრიდან, განვიხილავთ მის ზედაპირს ან ბურთის გარსს.

როგორ მივიღო ბურთი? შეგვიძლია ქაღალდიდან გამოვჭრათ წრე და დავიწყოთ მისი შემობრუნება საკუთარი დიამეტრის გარშემო. ანუ წრის დიამეტრი იქნება ბრუნვის ღერძი. ჩამოყალიბებული ფიგურა იქნება ბურთი. ამიტომ, ბურთს ასევე უწოდებენ რევოლუციის სხეულს. რადგან ის შეიძლება ჩამოყალიბდეს ბრტყელი ფიგურის – წრის ბრუნვით.

ავიღოთ თვითმფრინავი და ამით დავჭრათ ჩვენი ბურთი. ისევე, როგორც დანით დავჭრათ ფორთოხალი. ნაწილს, რომელიც ჩვენ ვწყვეტთ ბურთს, ეწოდება სფერული სეგმენტი.

ძველ საბერძნეთში მათ იცოდნენ, თუ როგორ ემუშავათ არა მხოლოდ ბურთთან და სფეროსთან, როგორც გეომეტრიული ფიგურები, მაგალითად, მათი გამოყენება მშენებლობაში, არამედ იცოდნენ როგორ გამოეთვალათ ბურთის ზედაპირის ფართობი და ბურთის მოცულობა.

სფერო არის ბურთის ზედაპირის სხვა სახელი. სფერო არ არის სხეული - ეს არის რევოლუციის სხეულის ზედაპირი. თუმცა, რადგან დედამიწასაც და ბევრ სხეულსაც აქვს სფერული ფორმა, მაგალითად წყლის წვეთი, ფართოდ გავრცელდა სფეროს შიგნით გეომეტრიული ურთიერთობების შესწავლა.

მაგალითად, თუ სფეროს ორ წერტილს დავუკავშირებთ ერთმანეთს სწორი ხაზით, მაშინ ამ სწორ ხაზს ეძახიან აკორდი, ხოლო თუ ეს აკორდი გადის სფეროს ცენტრში, რომელიც ემთხვევა ბურთის ცენტრს, მაშინ აკორდი დაერქმევა სფეროს დიამეტრს.

თუ დავხაზავთ სწორ ხაზს, რომელიც ეხება სფეროს მხოლოდ ერთ წერტილში, მაშინ ამ წრფეს ტანგენსი ეწოდება. გარდა ამისა, სფეროს ეს ტანგენსი ამ წერტილში იქნება პერპენდიკულარული სფეროს რადიუსის მიმართ, რომელიც შეხების წერტილამდეა გამოყვანილი.

თუ აკორდს სფეროდან ერთი მიმართულებით ან მეორე მიმართულებით გავაგრძელებთ სწორ ხაზს, მაშინ ამ აკორდს სეკანტი დაერქმევა. ან შეიძლება სხვანაირად ვთქვათ - სფეროს სეკანტი თავის აკორდს შეიცავს.

ბურთის მოცულობა

ბურთის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა არის:

სადაც R არის ბურთის რადიუსი.

თუ თქვენ გჭირდებათ სფერული სეგმენტის მოცულობის პოვნა, გამოიყენეთ ფორმულა:

V seg =πh 2 (R-h/3), h არის სფერული სეგმენტის სიმაღლე.

ბურთის ან სფეროს ზედაპირის ფართობი

სფეროს ან ბურთის ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელად (ისინი იგივეა):

სადაც R არის სფეროს რადიუსი.

არქიმედეს ძალიან უყვარდა ბურთი და სფერო, მან სთხოვა კიდეც დაეტოვებინა ნახატი მის საფლავზე, რომელშიც ბურთი იყო ჩაწერილი ცილინდრში. არქიმედეს სჯეროდა, რომ სფეროს მოცულობა და მისი ზედაპირი უდრის ცილინდრის მოცულობის და ზედაპირის ორ მესამედს, რომელშიც ეს სფეროა ჩაწერილი“.

ბურთიეს არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მისი დიამეტრის ღერძზე ნახევარწრიულის ბრუნვის შედეგად.

გამოთვალეთ ბურთის მოცულობა

ბურთის მოცულობაშეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:

R - ბურთის რადიუსი

V - ბურთის მოცულობა

იპოვეთ სფეროს მოცულობა სანტიმეტრის რადიუსით.

ბურთის მოცულობის გამოსათვლელად გამოიყენება შემდეგი ფორმულა:

სად არის ბურთის საჭირო მოცულობა, – , არის რადიუსი.

ამრიგად, სანტიმეტრის რადიუსით, ბურთის მოცულობა უდრის:

ვ

3.14×103

= 4186,7

კუბური სანტიმეტრი.

გეომეტრიაში ბურთიგანისაზღვრება, როგორც გარკვეული სხეული, რომელიც არის სივრცეში ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელიც მდებარეობს ცენტრიდან არაუმეტეს მოცემული მანძილით, რომელსაც ეწოდება ბურთის რადიუსი.

ბურთის ზედაპირს სფერო ეწოდება, ხოლო თავად ბურთი იქმნება მისი დიამეტრის ირგვლივ ნახევარწრიულის ბრუნვით, რომელიც რჩება უმოძრაოდ.

ამ გეომეტრიულ სხეულს ხშირად ხვდებიან დიზაინერები და არქიტექტორები, რომლებსაც ხშირად უწევთ გამოთვალეთ სფეროს მოცულობა. მაგალითად, თანამედროვე მანქანების დიდი უმრავლესობის წინა საკიდის დიზაინში გამოიყენება ე.წ.

მათი დახმარებით დაკავშირებულია საჭის ბორბლებისა და ბერკეტების კერები. რამდენად სწორი იქნება გათვლილიმათი მოცულობა დიდწილად დამოკიდებულია არა მხოლოდ ამ ერთეულების გამძლეობაზე და მათი მუშაობის სისწორეზე, არამედ მოძრაობის უსაფრთხოებაზე.

ტექნოლოგიაში ფართოდ გამოიყენება ისეთი ნაწილები, როგორიცაა ბურთულიანი საკისრები, რომელთა დახმარებით ცულები იკვრება სხვადასხვა კომპონენტისა და შეკრების ფიქსირებულ ნაწილებში და უზრუნველყოფილია მათი ბრუნვა.

გასათვალისწინებელია, რომ მათი გამოთვლისას დიზაინერებმა მაღალი სიზუსტით უნდა იპოვონ ბურთის მოცულობა (უფრო სწორად, გალიაში მოთავსებული ბურთები). რაც შეეხება ლითონის საყრდენი ბურთულების დამზადებას, ისინი მზადდება ლითონის მავთულისგან რთული პროცესის გამოყენებით, რომელიც მოიცავს ფორმირების, გამკვრივების, უხეში დაფქვის, დასრულების და გაწმენდის ეტაპებს.

სხვათა შორის, ის ბურთები, რომლებიც შედის ყველა ბურთულიანი კალმის დიზაინში, მზადდება ზუსტად იგივე ტექნოლოგიით.

ხშირად ბურთები გამოიყენება არქიტექტურაშიც, სადაც ისინი ყველაზე ხშირად შენობებისა და სხვა სტრუქტურების დეკორატიულ ელემენტებს წარმოადგენენ.

უმეტეს შემთხვევაში, ისინი მზადდება გრანიტისგან, რაც ხშირად მოითხოვს დიდ ხელით შრომას. რა თქმა უნდა, არ არის აუცილებელი ამ ბურთების დამზადებაში ისეთი მაღალი სიზუსტის შენარჩუნება, როგორიც სხვადასხვა ერთეულებსა და მექანიზმებში გამოიყენება.

ისეთი საინტერესო და პოპულარული თამაში, როგორიცაა ბილიარდი, ბურთების გარეშე წარმოუდგენელია. მათი წარმოებისთვის გამოიყენება სხვადასხვა მასალა (ძვალი, ქვა, ლითონი, პლასტმასი) და გამოიყენება სხვადასხვა ტექნოლოგიური პროცესი.

ბილიარდის ბურთების ერთ-ერთი მთავარი მოთხოვნაა მათი მაღალი სიძლიერე და მაღალი მექანიკური დატვირთვის (პირველ რიგში დარტყმის) გაძლების უნარი. გარდა ამისა, მათი ზედაპირი უნდა იყოს ზუსტი სფერო, რათა უზრუნველყოს აუზის მაგიდების ზედაპირზე გლუვი და თანაბარი გორვა.

და ბოლოს, არც ერთი ახალი წელი ან ნაძვის ხე არ შეუძლია ისეთი გეომეტრიული სხეულების გარეშე, როგორიცაა ბურთები. ეს დეკორაციები უმეტეს შემთხვევაში მინისგან მზადდება აფეთქების მეთოდით და მათ წარმოებაში უდიდესი ყურადღება ექცევა არა განზომილების სიზუსტეს, არამედ პროდუქციის ესთეტიკას.

ტექნოლოგიური პროცესი თითქმის მთლიანად ავტომატიზირებულია და საშობაო ბურთები მხოლოდ ხელით არის შეფუთული.

სფერო არის ერთ-ერთი უმარტივესი გეომეტრიული სხეული, რომელშიც მისი ზედაპირის ყველა წერტილი იმავე მანძილზეა სურათის ცენტრიდან. მანძილს სფეროს ცენტრიდან მისი ზედაპირის ნებისმიერ წერტილამდე რადიუსი ეწოდება.

ბურთის მოცულობა

ბურთის დიამეტრს ორჯერ რადიუსი ეწოდება.

როგორ მოვძებნოთ სფეროს მოცულობა მისი რადიუსის გარშემო

თუ ვიცით სფეროს რადიუსი, ადვილად გამოვთვალოთ მისი სიდიდე. ამისათვის გაამრავლეთ კუბი რადიუსზე და ოთხმაგი რიცხვით Pi, რის შემდეგაც შედეგი გაიყოფა სამზე. ბურთის მოცულობის განსაზღვრის ფორმულა მისი რადიუსის მიხედვით ასეთია: .
ვისაც დაავიწყდა, გვახსოვს, რომ Pi არის ფიქსირებული მნიშვნელობა და უდრის 3.14-ს.

როგორ მოვძებნოთ სფეროს მოცულობა დიამეტრის მიხედვით

თუ სფეროს დიამეტრი პრობლემის პირობებიდან არის ცნობილი, მისი მოცულობა გამოითვლება შემდეგი ფორმულით: , ანუ.

რიცხვი Pi უნდა გავამრავლოთ დიამეტრის დიამეტრზე, შემდეგ შედეგი იყოფა 6-ზე.

როგორ განვსაზღვროთ ბურთის მასა

სხეულის მასა არის ფიზიკური რაოდენობა, რომელიც მიუთითებს მისი ინერციის ხარისხზე. ფიზიკური სხეულის მასა დამოკიდებულია დაკავებული სივრცის მოცულობაზე და მასალის სიმკვრივეზე, საიდანაც იგი აწყობილია. რეგულარული ფორმის სხეულის მოცულობა (ვთქვათ, ცემა) არ არის რთული გამოთვლა და თუ მასალა, საიდანაც იგი მზადდება, ასევე ცნობილია, ნაყარადნებადართულია იყოს ძალიან პრიმიტიული.

ინსტრუქციები

პირველიშეიყვანეთ თანხა ცემა .

როგორ გამოვთვალოთ ბურთის მოცულობა

ამისთვის საკმარისია იცოდე შენი ერთ-ერთი პარამეტრი - რადიუსი, დიამეტრი, ზედაპირი და ა.შ.. მითხარი თუ იცი დიამეტრი ცემად), მისი მოცულობა (V) ნებადართულია განისაზღვროს, როგორც პროდუქტის მეექვსედი, რომლის დიამეტრი იზრდება კუბში Pi რიცხვით: V = π * d? / 6. რადიუსის გავლით ცემა(r) მოცულობა გამოიხატება, როგორც Pi-ს ნამრავლის მესამედი, რომელიც ოთხმაგდება კუბში მოთავსებული რადიუსით: V = 4 * π * r? / 3.

მეორეითვლიან ნაყარადცემა(მ), გაამრავლეთ მისი მოცულობა მატერიის ბრწყინვალე სიმკვრივით (p): m = p * V.

თუ ეს მასალაა ცემაარა ერთგვაროვანი, მაშინ უნდა ავიღოთ საშუალო სიმკვრივე. ამ ფორმულაში ჩვენ ვცვლით მოცულობას ცემამისი ცნობილი პარამეტრების საშუალებით ნებადართულია ცნობილი დიამეტრის აღება ცემაფორმულა m = p * π * d? / 6 და მთავარი რადიუსისთვის m = p * 4 * π * r? / 3.

მესამეგამოიყენეთ გამოთვლებისთვის, მაგალითად, ტიპიური პროგრამული კალკულატორი, რომელიც მოყვება Windows-ის საბაზისო ოპერაციულ სისტემას, ნებისმიერი ძლიერი ვერსია, რომელიც დღეს გამოიყენება.

დასაწყებად უმარტივესი გზაა Win + r დაჭერით, რათა გახსნათ ტიპიური დიალოგი პროგრამის გასაშვებად, შემდეგ შეიყვანეთ ბრძანება calc და დააწკაპუნეთ OK.

მენიუში "კალკულატორი" გააფართოვეთ განყოფილება "ნახვა" და აირჩიეთ "ინჟინერი" ან "მეცნიერი" ხაზი (დამოკიდებულია ოპერაციული სისტემის ვერსიიდან, რომელსაც იყენებთ) - ამ რეჟიმის ინტერფეისს აქვს ღილაკი Pi ნომრის შეყვანისთვის. დააწკაპუნეთ. ამ კალკულატორში გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციები არ იწვევს კითხვებს, მაგრამ განისაზღვრება მასის გამოთვლისას. ცემაიქნება რამდენიმე ღილაკი სიმბოლოებით x^2 და x^3.

წყლის და სანიტარული დიზაინი

ელფოსტა: [ელფოსტა დაცულია]

სამუშაო საათები: ორშაბათი-პარასკევი 9-00-დან 18-00 საათამდე (ლანჩის გარეშე)

სფეროს მოცულობის გამოთვლა რადიუსის ან დიამეტრის გამოყენებით

სფერო არის გეომეტრიული სხეული, რომელიც წარმოადგენს სივრცეში ყველა წერტილის კრებულს, რომელიც მდებარეობს ცენტრიდან გარკვეულ მანძილზე.

როგორ გამოვთვალოთ ბურთის მოცულობა

ბურთის მთავარი მათემატიკური მახასიათებელი მისი რადიუსია.

ბურთის რაოდენობა არის ამ რიცხვის რაოდენობრივი მახასიათებელი სამყაროში.

ბურთის მოცულობის გამოთვლის ფორმულა:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r არის სფეროს რადიუსი;
d არის სფეროს დიამეტრი.

აგრეთვე იხილეთ სტატია ყველა გეომეტრიული ფორმის შესახებ (წრფივი 1D, ბრტყელი 2D და 3D 3D).

ეს გვერდი არის უმარტივესი ვებ კალკულატორი ბურთის მოცულობის გამოსათვლელად რადიუსის ან დიამეტრის მიხედვით.

ბევრი სხეული, რომელსაც ცხოვრებაში ვხვდებით ან ვის შესახებაც გვსმენია, სფერული ფორმისაა, მაგალითად, ფეხბურთის ბურთი, წვიმის დროს წყლის ვარდნა ან ჩვენი პლანეტა. ამასთან დაკავშირებით, აქტუალურია განიხილოს საკითხი, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სფეროს მოცულობა.

ბურთის ფიგურა გეომეტრიაში

ბურთის შესახებ კითხვაზე პასუხის გაცემამდე, მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ სხეულს. ზოგიერთი ადამიანი მას ურევს სფეროს. გარეგნულად, ისინი მართლაც ჰგვანან ერთმანეთს, მაგრამ ბურთი შიგნით შევსებული საგანია, ხოლო სფერო არის მხოლოდ უსასრულო სისქის ბურთის გარე გარსი.

გეომეტრიის თვალსაზრისით, ბურთი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წერტილების კრებულით, ხოლო ისინი, რომლებიც მის ზედაპირზე დევს (ისინი ქმნიან სფეროს) ფიგურის ცენტრიდან იმავე მანძილზე არიან. ამ მანძილს რადიუსი ეწოდება. სინამდვილეში, რადიუსი არის ერთადერთი პარამეტრი, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბურთის ნებისმიერი თვისების აღსაწერად, როგორიცაა მისი ზედაპირის ფართობი ან მოცულობა.

ქვემოთ მოცემულ სურათზე ნაჩვენებია ბურთის მაგალითი.

თუ ყურადღებით დააკვირდებით ამ სრულყოფილ მრგვალ ობიექტს, შეგიძლიათ გამოიცნოთ როგორ მიიღოთ იგი ჩვეულებრივი წრიდან. ამისათვის საკმარისია ამ ბრტყელი ფიგურის შემობრუნება ღერძის გარშემო, რომელიც ემთხვევა მის დიამეტრს.

ერთ-ერთი ცნობილი უძველესი ლიტერატურული წყარო, რომელიც საკმარისად დეტალურად განიხილავს ამ სამგანზომილებიანი ფიგურის თვისებებს, არის ბერძენი ფილოსოფოსის ევკლიდის ნაშრომი - "ელემენტები".

ზედაპირის ფართობი და მოცულობა

როდესაც განიხილება კითხვა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ბურთის მოცულობა, ამ მნიშვნელობის გარდა, უნდა იყოს მოცემული მისი ფართობის ფორმულა, რადგან ორივე გამონათქვამი შეიძლება იყოს დაკავშირებული ერთმანეთთან, როგორც ნაჩვენები იქნება ქვემოთ.

ასე რომ, ბურთის მოცულობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ შემდეგი ორი ფორმულიდან ერთი:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

აქ R არის ფიგურის რადიუსი. მოცემული პირველი ფორმულა ზუსტია, მაგრამ ამით ისარგებლეთ, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ათწილადების შესაბამისი რაოდენობა pi-სთვის. მეორე გამოხატულება იძლევა საკმაოდ კარგ შედეგს, რომელიც განსხვავდება პირველისგან მხოლოდ 0,03%-ით. რიგი პრაქტიკული ამოცანებისთვის ეს სიზუსტე საკმარისზე მეტია.

უდრის ამ მნიშვნელობას სფეროსთვის, ანუ გამოხატულია ფორმულით S = 4 * pi * R2. თუ რადიუსს გამოვხატავთ აქედან და შემდეგ ჩავანაცვლებთ მას მოცულობის პირველ ფორმულაში, მაშინ მივიღებთ: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * პი)).

ამრიგად, ჩვენ განვიხილეთ კითხვები, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ბურთის მოცულობა რადიუსში და მისი ზედაპირის ფართობზე. ამ გამონათქვამების წარმატებით გამოყენება შესაძლებელია პრაქტიკაში. მოგვიანებით სტატიაში მივცემთ მაგალითს მათი გამოყენების შესახებ.

წვიმის წვეთების პრობლემა

წყალი უწონად მდგომარეობაში ღებულობს სფერულ წვეთს. ეს გამოწვეულია ზედაპირული დაძაბულობის ძალების არსებობით, რომლებიც მიდრეკილნი არიან მინიმუმამდე დაიყვანონ ზედაპირის ფართობი. თავის მხრივ, ბურთს აქვს ყველაზე დაბალი მნიშვნელობა ერთი და იგივე მასის მქონე გეომეტრიულ ფიგურებს შორის.

წვიმის დროს წყლის ჩამოვარდნილი წვეთი უწონობაშია, ამიტომ მისი ფორმა არის სფერო (აქ ჩვენ უგულებელყოფთ ჰაერის წინააღმდეგობის ძალას). აუცილებელია განისაზღვროს ამ წვეთი მოცულობა, ზედაპირის ფართობი და რადიუსი, თუ ცნობილია, რომ მისი მასა 0,05 გრამია.

მოცულობის დადგენა ადვილია ამის გასაკეთებლად, გაყავით ცნობილი მასა H 2 O-ის სიმკვრივით (ρ = 1 გ/სმ 3). შემდეგ V = 0,05 / 1 = 0,05 სმ 3.

იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ბურთის მოცულობა, უნდა გამოვხატოთ რადიუსი ფორმულიდან და შევცვალოთ მიღებული მნიშვნელობა, გვაქვს: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4 * 3,1416)) = 0,2285 სმ.

ახლა ჩვენ ვცვლით რადიუსის მნიშვნელობას ფიგურის ზედაპირის ფართობის გამოხატულებაში, ვიღებთ: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 სმ 2.

ამრიგად, იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ბურთის მოცულობა, მივიღეთ პასუხი ამოცანის ყველა კითხვაზე: R = 2,285 მმ, S = 0,6561 სმ 2 და V = 0,05 სმ 3.

სანამ დაიწყებთ ბურთის კონცეფციის შესწავლას, რა არის ბურთის მოცულობა და განიხილავთ მისი პარამეტრების გამოთვლის ფორმულებს, უნდა გახსოვდეთ წრის კონცეფცია, რომელიც ადრე შესწავლილი იყო გეომეტრიის კურსში. ყოველივე ამის შემდეგ, სამგანზომილებიან სივრცეში მოქმედებების უმეტესობა მსგავსია ან მოჰყვება ორგანზომილებიან გეომეტრიას, რომელიც მორგებულია მესამე კოორდინატისა და მესამე ხარისხის გარეგნობისთვის.

რა არის წრე?

წრე არის ფიგურა დეკარტის სიბრტყეზე (ნაჩვენებია სურათზე 1); ყველაზე ხშირად განმარტება ჟღერს, როგორც "სიბრტყის ყველა წერტილის გეომეტრიული მდებარეობა, საიდანაც მოცემულ წერტილამდე (ცენტრამდე) მანძილი არ აღემატება გარკვეულ არაუარყოფით რიცხვს, რომელსაც ეწოდება რადიუსი".

როგორც ნახატიდან ვხედავთ, წერტილი O არის ფიგურის ცენტრი და აბსოლუტურად ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელიც ავსებს წრეს, მაგალითად, A, B, C, K, E, მდებარეობს მოცემულ რადიუსზე არაუმეტეს. (არ გასცდეთ ნახ.2-ზე გამოსახულ წრეს).

თუ რადიუსი არის ნული, მაშინ წრე იქცევა წერტილად.

პრობლემები გაგებასთან დაკავშირებით

მოსწავლეები ხშირად ურევენ ამ ცნებებს. ამის დამახსოვრება ადვილია ანალოგიით. რგოლი, რომელსაც ბავშვები ტრიალებენ ფიზიკური აღზრდის გაკვეთილებზე, არის წრე. ამის გაგებით ან გახსენებით, რომ ორივე სიტყვის პირველი ასო არის „O“, ბავშვები მნემონიკურად გაიგებენ განსხვავებას.

"ბურთის" კონცეფციის გაცნობა

ბურთი არის სხეული (ნახ. 3), რომელიც შემოსაზღვრულია გარკვეული სფერული ზედაპირით. რა არის „სფერული ზედაპირი“ მისი განმარტებიდან ირკვევა: ეს არის ზედაპირის ყველა წერტილის გეომეტრიული ადგილი, საიდანაც მოცემულ წერტილამდე (ცენტრამდე) მანძილი არ აღემატება გარკვეულ არაუარყოფით რიცხვს, რომელსაც ეწოდება რადიუსი. როგორც ხედავთ, წრის და სფერული ზედაპირის ცნებები მსგავსია, განსხვავდება მხოლოდ ის სივრცეები, რომლებშიც ისინი მდებარეობს. თუ ორგანზომილებიან სივრცეში გამოვსახავთ ბურთს, მივიღებთ წრეს, რომლის საზღვარი არის წრე (ბურთის საზღვარი სფერული ზედაპირია). ნახატზე ვხედავთ სფერულ ზედაპირს რადიუსებით OA = OB.

ბურთი დახურულია და ღიაა

ვექტორულ და მეტრულ სივრცეებში ასევე განიხილება სფერულ ზედაპირთან დაკავშირებული ორი ცნება. თუ ბურთი მოიცავს ამ სფეროს, მაშინ მას უწოდებენ დახურულს, მაგრამ თუ არა, მაშინ ბურთი ღიაა. ეს უფრო "მოწინავე" ცნებებია, ისინი სწავლობენ ინსტიტუტებში, როგორც ანალიზში შესავალი. მარტივი, თუნდაც ყოველდღიური გამოყენებისთვის, საკმარისი იქნება ფორმულები, რომლებიც შესწავლილია სტერეომეტრიის კურსში 10-11 კლასებისთვის. სწორედ ეს ცნებებია ხელმისაწვდომი თითქმის ყველა საშუალო განათლებული ადამიანისთვის, რაც შემდგომში იქნება განხილული.

ცნებები, რომლებიც უნდა იცოდეთ შემდეგი გამოთვლებისთვის

რადიუსი და დიამეტრი.

ბურთის რადიუსი და მისი დიამეტრი განისაზღვრება ისე, როგორც წრეში.

რადიუსი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ბურთის საზღვარზე არსებულ ნებისმიერ წერტილს და იმ წერტილს, რომელიც არის ბურთის ცენტრი.

დიამეტრი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორ წერტილს ბურთის საზღვარზე და გადის მის ცენტრში. ნახაზი 5a ნათლად აჩვენებს, თუ რომელი სეგმენტებია ბურთის რადიუსი, ხოლო ფიგურა 5b გვიჩვენებს სფეროს დიამეტრებს (სეგმენტები, რომლებიც გადიან O წერტილში).

სექციები სფეროში (ბურთი)

სფეროს ნებისმიერი მონაკვეთი არის წრე. თუ ის გადის ბურთის ცენტრში, მას უწოდებენ დიდ წრეს (წრე დიამეტრით AB), დანარჩენ მონაკვეთებს უწოდებენ პატარა წრეებს (წრე დიამეტრით DC).

ამ წრეების ფართობი გამოითვლება შემდეგი ფორმულების გამოყენებით:

აქ S არის ფართობის აღნიშვნა, R არის რადიუსი, D არის დიამეტრი. ასევე არის მუდმივი ტოლი 3.14. მაგრამ არ დაიბნეთ, რომ დიდი წრის ფართობის გამოსათვლელად გამოიყენება თავად ბურთის (სფეროს) რადიუსი ან დიამეტრი, ხოლო ფართობის დასადგენად საჭიროა მცირე წრის რადიუსის ზომები.

ასეთი მონაკვეთების უსასრულო რაოდენობა, რომლებიც გადის ბურთის საზღვარზე მდებარე ერთნაირი დიამეტრის ორ წერტილს, შეიძლება დახაზოთ. მაგალითად, ჩვენი პლანეტა: ორი წერტილი ჩრდილოეთ და სამხრეთ პოლუსებზე, რომლებიც დედამიწის ღერძის ბოლოებია და გეომეტრიული გაგებით, დიამეტრის ბოლოები და მერიდიანები, რომლებიც გადიან ამ ორ წერტილში (სურათი 7). . ანუ სფეროზე დიდი წრეების რაოდენობა უსასრულობისკენ მიისწრაფვის.

ბურთის ნაწილები

თუ თქვენ მოწყვეტთ "ნაჭერს" სფეროდან გარკვეული სიბრტყის გამოყენებით (სურათი 8), მაშინ მას დაერქმევა სფერული ან სფერული სეგმენტი. მას ექნება სიმაღლე - პერპენდიკულარული საჭრელი სიბრტყის ცენტრიდან სფერულ ზედაპირზე O 1 K. წერტილს K სფერულ ზედაპირზე, რომელზეც სიმაღლე მოდის, ეწოდება სფერული სეგმენტის წვერო. და პატარა წრე O 1 T რადიუსით (ამ შემთხვევაში, ფიგურის მიხედვით, თვითმფრინავმა არ გაიარა სფეროს ცენტრში, მაგრამ თუ მონაკვეთი გადის ცენტრს, მაშინ განივი წრე იქნება დიდი), რომელიც წარმოიქმნება სფერული სეგმენტის მოწყვეტით, დაერქმევა ჩვენი ცალი ბურთის საფუძველს - სფერულ სეგმენტს.

თუ სფერული სეგმენტის თითოეულ საბაზისო წერტილს დავუკავშირებთ სფეროს ცენტრს, მივიღებთ ფიგურას, რომელსაც ეწოდება "სფერული სექტორი".

თუ ორი სიბრტყე გადის სფეროს და ერთმანეთის პარალელურია, მაშინ სფეროს იმ ნაწილს, რომელიც მათ შორისაა ჩასმული, ეწოდება სფერული შრე (სურათი 9, რომელიც გვიჩვენებს სფეროს ორი სიბრტყით და ცალკე სფერული ფენით).

სფეროს ამ ნაწილის ზედაპირს (ხაზგასმული ნაწილი 9 სურათზე მარჯვნივ) ეწოდება სარტყელი (კიდევ ერთხელ, უკეთ გასაგებად, ანალოგიის დახატვა შესაძლებელია გლობუსთან, კერძოდ მის კლიმატურ ზონებთან - არქტიკული, ტროპიკული, ზომიერი. და ა.შ.), ხოლო მონაკვეთის წრეები იქნება ბაზის სფერული ფენა. ფენის სიმაღლე არის დიამეტრის ნაწილი, რომელიც შედგენილია საჭრელი სიბრტყეების პერპენდიკულარულად ბაზების ცენტრებიდან. ასევე არსებობს სფერული სფეროს ცნება. ის წარმოიქმნება მაშინ, როდესაც ერთმანეთის პარალელურად მყოფი სიბრტყეები არ კვეთენ სფეროს, მაგრამ ეხებიან მას თითოეულ წერტილში.

ბურთის მოცულობის და მისი ზედაპირის ფართობის გამოსათვლელი ფორმულები

ბურთი იქმნება ნახევარწრის ან წრის ფიქსირებული დიამეტრის გარშემო ბრუნვით. მოცემული ობიექტის სხვადასხვა პარამეტრის გამოსათვლელად, ბევრი მონაცემი არ არის საჭირო.

სფეროს მოცულობა, გამოთვლის ფორმულა, რომელიც მოცემულია ზემოთ, მიღებულია ინტეგრაციის გზით. მოდით გავარკვიოთ წერტილი-პუნქტი.

ჩვენ განვიხილავთ წრეს ორგანზომილებიან სიბრტყეში, რადგან, როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს არის წრე, რომელიც ეფუძნება ბურთის კონსტრუქციას. ჩვენ ვიყენებთ მხოლოდ მის მეოთხე ნაწილს (სურათი 10).

ვიღებთ წრეს ერთეული რადიუსით და ცენტრით საწყისთან. ასეთი წრის განტოლება ასეთია: X 2 + Y 2 = R 2. ჩვენ გამოვხატავთ Y აქედან: Y 2 = R 2 - X 2.

აუცილებლად გაითვალისწინეთ, რომ შედეგად მიღებული ფუნქცია არის არაუარყოფითი, უწყვეტი და მცირდება X სეგმენტზე (0; R), რადგან X-ის მნიშვნელობა იმ შემთხვევაში, როდესაც განვიხილავთ წრის მეოთხედს, დევს ნულიდან მნიშვნელობამდე. რადიუსი, ანუ ერთი.

შემდეგი, რასაც ვაკეთებთ, არის ჩვენი მეოთხედის წრე x-ღერძის გარშემო. შედეგად ვიღებთ ნახევარსფეროს. მისი მოცულობის დასადგენად მივმართავთ ინტეგრაციის მეთოდებს.

ვინაიდან ეს არის მხოლოდ ნახევარსფეროს მოცულობა, ჩვენ გავაორმაგებთ შედეგს, საიდანაც აღმოვაჩენთ, რომ ბურთის მოცულობა უდრის:

მცირე ნიუანსი

თუ თქვენ გჭირდებათ ბურთის მოცულობის გამოთვლა მისი დიამეტრის მიხედვით, გახსოვდეთ, რომ რადიუსი არის დიამეტრის ნახევარი და ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა ზემოთ მოცემულ ფორმულაში.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიაღწიოთ ბურთის მოცულობის ფორმულას მისი მოსაზღვრე ზედაპირის ფართობის - სფეროს მეშვეობით. შეგახსენებთ, რომ სფეროს ფართობი გამოითვლება ფორმულით S = 4πr 2, რომლის ინტეგრირებაც სფეროს მოცულობის ზემოთ მოცემულ ფორმულამდე მივდივართ. იმავე ფორმულებიდან შეგიძლიათ გამოხატოთ რადიუსი, თუ პრობლემის განცხადება შეიცავს მოცულობის მნიშვნელობას.

ბურთი არის რევოლუციის გეომეტრიული სხეული, რომელიც წარმოიქმნება მისი დიამეტრის გარშემო წრის ან ნახევარწრის ბრუნვით. ასევე, ბურთი არის სივრცე, რომელიც შემოსაზღვრულია სფერული ზედაპირით. არსებობს მრავალი რეალური სფერული ობიექტი და მასთან დაკავშირებული პრობლემები, რომლებიც მოითხოვს სფეროს მოცულობის განსაზღვრას.

ბურთი და სფერო

წრე უძველესი გეომეტრიული ფიგურაა და უძველესი მეცნიერები მას წმინდა მნიშვნელობას ანიჭებდნენ. წრე არის უსასრულო დროისა და სივრცის სიმბოლო, სამყაროს და არსებობის სიმბოლო. პითაგორას აზრით, წრე ყველაზე ლამაზი ფიგურაა. სამგანზომილებიან სივრცეში წრე იქცევა სფეროდ, წრესავით იდეალურ, კოსმიურ და ლამაზად.

სფერო ძველ ბერძნულად ნიშნავს "ბურთს". სფერო არის ზედაპირი, რომელიც წარმოიქმნება ფიგურის ცენტრიდან თანაბარი დაშორებით უსასრულო რაოდენობის წერტილებით. სფეროს მიერ შემოსაზღვრული სივრცე არის ბურთი. ბურთი იდეალური გეომეტრიული ფიგურაა, რომლის ფორმასაც მრავალი რეალური ობიექტი იღებს. მაგალითად, რეალურ ცხოვრებაში ქვემეხის ბურთულებს, საკისრებს ან ბურთებს ბურთის ფორმა აქვთ, ბუნებაში - წყლის წვეთები, ხის გვირგვინები ან კენკრა, სივრცეში - ვარსკვლავები, მეტეორები ან პლანეტები.

ბურთის მოცულობა

სფერული ფიგურის მოცულობის განსაზღვრა რთული ამოცანაა, რადგან ასეთი გეომეტრიული სხეული არ შეიძლება დაიყოს კუბებად ან სამკუთხა პრიზმებად, რომელთა მოცულობის ფორმულები უკვე ცნობილია. თანამედროვე მეცნიერება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ბურთის მოცულობა განსაზღვრული ინტეგრალის გამოყენებით, მაგრამ როგორ იქნა მიღებული მოცულობის ფორმულა ძველ საბერძნეთში, როცა ინტეგრალებზე არავის სმენია? არქიმედემ გამოთვალა სფეროს მოცულობა კონუსისა და ცილინდრის გამოყენებით, რადგან ამ ფიგურების მოცულობის ფორმულები უკვე განსაზღვრული იყო ძველი ბერძენი ფილოსოფოსისა და მათემატიკოსის დემოკრიტეს მიერ.

არქიმედემ წარმოადგინა ნახევარი სფერო იდენტური კონუსებისა და ცილინდრების გამოყენებით, თითოეული ფიგურის რადიუსი უდრის მის სიმაღლეს R ​​= h. ძველმა მეცნიერმა წარმოიდგინა კონუსი და ცილინდრი დაყოფილი უსასრულო რაოდენობის პატარა ცილინდრებად. არქიმედესი მიხვდა, რომ თუ კონუსის Vk მოცულობას გამოაკლებს Vc ცილინდრის მოცულობას, ის მიიღებს ერთი ნახევარსფეროს Vsh მოცულობას:

0,5 Vsh = Vc − Vk

კონუსის მოცულობა გამოითვლება მარტივი ფორმულით:

Vk = 1/3 × ანუ × h,

მაგრამ იმის ცოდნა, რომ ამ შემთხვევაში არის წრის ფართობი და h = R, მაშინ ფორმულა გარდაიქმნება:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

ცილინდრის მოცულობა გამოითვლება ფორმულით:

Vc = pi × R 2 × სთ,

მაგრამ თუ დავუშვებთ, რომ ცილინდრის სიმაღლე მისი რადიუსის ტოლია, მივიღებთ:

Vc = pi × R 3 .

ამ ფორმულების გამოყენებით არქიმედესმა მიიღო:

0,5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 ან Vsh = 4/3 pi × R 3

ბურთის მოცულობის ფორმულის თანამედროვე განმარტება მიღებულია სფერული ზედაპირის ფართობის ინტეგრალიდან, მაგრამ შედეგი იგივე რჩება.

Vsh = 4/3 pi × R 3

ბურთის მოცულობის გამოთვლა შეიძლება საჭირო გახდეს როგორც რეალურ ცხოვრებაში, ასევე აბსტრაქტული ამოცანების გადაჭრისას. ონლაინ კალკულატორის გამოყენებით სფეროს მოცულობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იცოდეთ მხოლოდ ერთი პარამეტრი: სფეროს დიამეტრი ან რადიუსი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითები ცხოვრებიდან

თოფის ბურთულები

ვთქვათ, გსურთ იცოდეთ რამდენი თუჯია საჭირო ექვსი ფუტის კალიბრის ქვემეხის ჩამოსასხმელად. თქვენ იცით, რომ ასეთი ბირთვის დიამეტრი 9,6 სანტიმეტრია. შეიყვანეთ ეს რიცხვი კალკულატორის "დიამეტრი" უჯრედში და მიიღებთ პასუხს როგორც

ამრიგად, მოცემული კალიბრის ქვემეხის დასადნებლად დაგჭირდებათ 463 კუბური სანტიმეტრი ან 0,463 ლიტრი თუჯი.

ბუშტები

შეიძლება დაგაინტერესოთ რამდენი ჰაერია საჭირო ბურთის სრულყოფილ სფერულ ფორმაში გასაბერად. თქვენ იცით, რომ არჩეული ბურთის რადიუსი არის 10 სმ. შეიყვანეთ ეს მნიშვნელობა კალკულატორის უჯრედში და მიიღებთ შედეგს

ეს ნიშნავს, რომ ერთი ასეთი ბუშტის გასაბერად დაგჭირდებათ 4188 კუბური სანტიმეტრი ან 4,18 ლიტრი ჰაერი.

დასკვნა

ბურთის მოცულობის განსაზღვრის აუცილებლობა შეიძლება წარმოიშვას სხვადასხვა სიტუაციებში: აბსტრაქტული სკოლის პრობლემებიდან სამეცნიერო კვლევებისა და წარმოების საკითხებამდე. ნებისმიერი სირთულის კითხვების გადასაჭრელად გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი, რომელიც მომენტალურად წარმოგიდგენთ ზუსტ შედეგს და საჭირო მათემატიკურ გამოთვლებს.