გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "რიცხვთა მიმდევრობები.გეომეტრიული პროგრესია"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, მიმოხილვები, სურვილები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

საგანმანათლებლო დამხმარე საშუალებები და ტრენაჟორები ინტეგრალის ონლაინ მაღაზიაში მე-9 კლასისთვის
ძალა და ფესვები ფუნქციები და გრაფიკები

ბიჭებო, დღეს ჩვენ გავეცნობით სხვა ტიპის პროგრესს.
დღევანდელი გაკვეთილის თემაა გეომეტრიული პროგრესია.

გეომეტრიული პროგრესია

განმარტება. რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომელშიც ყოველი წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის წინას ნამრავლს და რაღაც ფიქსირებულ რიცხვს, გეომეტრიული პროგრესია ეწოდება.
მოდით განვსაზღვროთ ჩვენი თანმიმდევრობა რეკურსიულად: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
სადაც b და q არის გარკვეული მოცემული რიცხვები. რიცხვს q ეწოდება პროგრესიის მნიშვნელი.

მაგალითი. 1,2,4,8,16... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის ერთს და $q=2$.

მაგალითი. 8,8,8,8... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის რვას,
და $q=1$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის სამს,
და $q=-1$.

გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ერთფეროვნების თვისებები.
თუ $b_(1)>0$, $q>1$,
მაშინ თანმიმდევრობა იზრდება.
თუ $b_(1)>0$, $0 მიმდევრობა ჩვეულებრივ აღინიშნება სახით: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

ისევე, როგორც არითმეტიკულ პროგრესიაში, თუ გეომეტრიულ პროგრესიაში ელემენტების რაოდენობა სასრულია, მაშინ პროგრესიას ეწოდება სასრული გეომეტრიული პროგრესია.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ მიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია, მაშინ ტერმინების კვადრატების თანმიმდევრობა ასევე გეომეტრიული პროგრესიაა. მეორე თანმიმდევრობით პირველი წევრი $b_(1)^2$-ის ტოლია, ხოლო მნიშვნელი $q^2$-ის ტოლია.

გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულა

გეომეტრიული პროგრესია ასევე შეიძლება დაზუსტდეს ანალიტიკური ფორმით. ვნახოთ, როგორ გავაკეთოთ ეს:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
ჩვენ ადვილად ვამჩნევთ ნიმუშს: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
ჩვენს ფორმულას ეწოდება "გეომეტრიული პროგრესიის n-ე წევრის ფორმულა".

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითებს.

მაგალითი. 1,2,4,8,16... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის ერთს,
და $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

მაგალითი. 16,8,4,2,1,1/2... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის თექვსმეტს და $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

მაგალითი. 8,8,8,8... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი რვის ტოლია და $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

მაგალითი. 3,-3,3,-3,3... გეომეტრიული პროგრესია, რომელშიც პირველი წევრი უდრის სამს და $q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

მაგალითი. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
ა) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=3$. იპოვეთ $b_(5)$.
ბ) ცნობილია, რომ $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. იპოვე ნ.
გ) ცნობილია, რომ $q=-2, b_(6)=96$. იპოვეთ $b_(1)$.
დ) ცნობილია, რომ $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. იპოვეთ q.

გამოსავალი.
ა) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ბ) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$, ვინაიდან $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
გ) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
დ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

მაგალითი. სხვაობა გეომეტრიული პროგრესიის მეშვიდე და მეხუთე წევრებს შორის არის 192, პროგრესიის მეხუთე და მეექვსე წევრთა ჯამი არის 192. იპოვეთ ამ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი.
ჩვენ ვიცით, რომ: $b_(7)-b_(5)=192$ და $b_(5)+b_(6)=192$.
ჩვენ ასევე ვიცით: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
შემდეგ:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ჩვენ მივიღეთ განტოლებების სისტემა:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
ჩვენი განტოლებების გათანაბრებისას მივიღებთ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
მივიღეთ ორი ამონახსნი q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
თანმიმდევრულად ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ გადაწყვეტილებების გარეშე.
მივიღეთ ეს: $b_(1)=4, q=2$.
ვიპოვოთ მეათე წევრი: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი

მოდით გვქონდეს სასრული გეომეტრიული პროგრესია. მოდით, ისევე როგორც არითმეტიკული პროგრესიისთვის, გამოვთვალოთ მისი წევრთა ჯამი.

მიეცით სასრული გეომეტრიული პროგრესია: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
შემოვიღოთ აღნიშვნა მისი ტერმინების ჯამისთვის: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
იმ შემთხვევაში, როდესაც $q=1$. გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრი პირველი წევრის ტოლია, მაშინ აშკარაა, რომ $S_(n)=n*b_(1)$.
ახლა განვიხილოთ შემთხვევა $q≠1$.
ზემოაღნიშნული თანხა გავამრავლოთ q-ზე.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
შენიშვნა:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2 )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

ჩვენ მივიღეთ სასრული გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის ფორმულა.

მაგალითი.
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი შვიდი წევრის ჯამი, რომლის პირველი წევრია 4, ხოლო მნიშვნელი 3.

გამოსავალი.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

მაგალითი.
იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეხუთე წევრი, რომელიც ცნობილია: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

გამოსავალი.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=$1364.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

გეომეტრიული პროგრესიის დამახასიათებელი თვისება

ბიჭებო, მოცემულია გეომეტრიული პროგრესია. მოდით შევხედოთ მის სამ ზედიზედ წევრს: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
ჩვენ ვიცით, რომ:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
შემდეგ:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
თუ პროგრესია სასრულია, მაშინ ეს თანასწორობა მოქმედებს ყველა წევრისთვის, გარდა პირველისა და უკანასკნელისა.
თუ წინასწარ არ არის ცნობილი, რა ფორმა აქვს მიმდევრობას, მაგრამ ცნობილია, რომ: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
მაშინ თამამად შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს არის გეომეტრიული პროგრესია.

რიცხვითი თანმიმდევრობა არის გეომეტრიული პროგრესია მხოლოდ მაშინ, როდესაც თითოეული წევრის კვადრატი უდრის პროგრესიის ორი მიმდებარე წევრის ნამრავლს. არ დაგავიწყდეთ, რომ სასრული პროგრესიისთვის ეს პირობა არ არის დაკმაყოფილებული პირველი და ბოლო ტერმინებისთვის.

მოდით შევხედოთ ამ იდენტურობას: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ ეწოდება a და b რიცხვების გეომეტრიულ საშუალოს.

გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი ტერმინის მოდული უდრის მისი ორი მიმდებარე წევრის გეომეტრიულ საშუალოს.

მაგალითი.
იპოვეთ x ისეთი, რომ $x+2; 2x+2; 3x+3$ იყო გეომეტრიული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი.

გამოსავალი.
გამოვიყენოთ დამახასიათებელი თვისება:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ და $x_(2)=-1$.
მოდით, თანმიმდევრულად ჩავანაცვლოთ ჩვენი გადაწყვეტილებები თავდაპირველ გამონათქვამში:
$x=2$-ით მივიღეთ თანმიმდევრობა: 4;6;9 – გეომეტრიული პროგრესია $q=1,5$-ით.
$x=-1$-ისთვის მივიღებთ თანმიმდევრობას: 1;0;0.
პასუხი: $x=2.$

დამოუკიდებლად გადასაჭრელი პრობლემები

1. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მერვე პირველი წევრი 16;-8;4;-2….
2. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მეათე წევრი 11,22,44….
3. ცნობილია, რომ $b_(1)=5, q=3$. იპოვეთ $b_(7)$.
4. ცნობილია, რომ $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. იპოვე ნ.
5. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი 11 წევრის ჯამი 3;12;48….
6. იპოვე x ისეთი, რომ $3x+4; 2x+4; x+5$ არის გეომეტრიული პროგრესიის სამი თანმიმდევრული წევრი.

მათემატიკა არის რაადამიანები აკონტროლებენ ბუნებას და საკუთარ თავს.

საბჭოთა მათემატიკოსი, აკადემიკოსი ა.ნ. კოლმოგოროვი

გეომეტრიული პროგრესია.

არითმეტიკული პროგრესიის ამოცანებთან ერთად, მათემატიკაში მისაღები გამოცდებში ხშირია გეომეტრიული პროგრესიის ცნებასთან დაკავშირებული პრობლემებიც. ასეთი პრობლემების წარმატებით გადასაჭრელად, თქვენ უნდა იცოდეთ გეომეტრიული პროგრესიების თვისებები და გქონდეთ მათი გამოყენების კარგი უნარები.

ეს სტატია ეძღვნება გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებების პრეზენტაციას. აქ ასევე მოცემულია ტიპიური პრობლემების გადაჭრის მაგალითები., მათემატიკაში მისაღები გამოცდების ამოცანებიდან ნასესხები.

ჯერ აღვნიშნოთ გეომეტრიული პროგრესიის ძირითადი თვისებები და გავიხსენოთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფორმულები და განცხადებები, დაკავშირებულია ამ კონცეფციასთან.

განმარტება.რიცხვთა თანმიმდევრობას ეწოდება გეომეტრიული პროგრესია, თუ ყოველი რიცხვი, მეორიდან დაწყებული, ტოლია წინა, გამრავლებული იმავე რიცხვზე. რიცხვს ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.

გეომეტრიული პროგრესირებისთვისფორმულები მოქმედებს

, (1)

სად . ფორმულა (1) ეწოდება გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინის ფორმულას, ხოლო ფორმულა (2) წარმოადგენს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას: პროგრესიის თითოეული წევრი ემთხვევა მისი მეზობელი ტერმინების გეომეტრიულ საშუალოს და .

შენიშვნა, რომ სწორედ ამ თვისების გამო ეძახიან განსახილველ პროგრესიას „გეომეტრიულს“.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები (1) და (2) განზოგადებულია შემდეგნაირად:

, (3)

თანხის გამოსათვლელადპირველი გეომეტრიული პროგრესიის წევრებიფორმულა მოქმედებს

თუ აღვნიშნავთ, მაშინ

სად . ვინაიდან ფორმულა (6) არის (5) ფორმულის განზოგადება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც და გეომეტრიული პროგრესიაუსასრულოდ მცირდება. თანხის გამოსათვლელადუსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა ტერმინიდან გამოიყენება ფორმულა

. (7)

მაგალითად, ფორმულის გამოყენებით (7) შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რა

სად . ეს ტოლობები მიიღება ფორმულიდან (7) იმ პირობით, რომ , (პირველი თანასწორობა) და , (მეორე ტოლობა).

თეორემა.თუ, მაშინ

მტკიცებულება. თუ, მაშინ

თეორემა დადასტურებულია.

მოდით გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითების განხილვაზე თემაზე "გეომეტრიული პროგრესია".

მაგალითი 1.მოცემული: , და . იპოვე .

გამოსავალი.თუ გამოვიყენებთ ფორმულას (5), მაშინ

პასუხი:.

მაგალითი 2.დაე იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.ვინაიდან და , ვიყენებთ ფორმულებს (5), (6) და ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის მეორე განტოლება (9) იყოფა პირველზე, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს, რომ . განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

1. თუ, მაშინ (9) სისტემის პირველი განტოლებიდან გვაქვს.

2. თუ , მაშინ .

მაგალითი 3.დაე , და . იპოვე .

გამოსავალი.(2) ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ან . მას შემდეგ ან .

პირობის მიხედვით. თუმცა, ამიტომ. მას შემდეგ, რაც და მაშინ აქ გვაქვს განტოლებათა სისტემა

თუ სისტემის მეორე განტოლება იყოფა პირველზე, მაშინ ან .

ვინაიდან, განტოლებას აქვს უნიკალური შესაფერისი ფესვი. ამ შემთხვევაში, ეს გამომდინარეობს სისტემის პირველი განტოლებიდან.

ფორმულის (7) გათვალისწინებით, ვიღებთ.

პასუხი:.

მაგალითი 4.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.მას შემდეგ.

მას შემდეგ ან

ფორმულის მიხედვით (2) გვაქვს. ამასთან დაკავშირებით, თანასწორობიდან (10) ვიღებთ ან .

თუმცა, პირობით, ამიტომ.

მაგალითი 5.ცნობილია, რომ. იპოვე .

გამოსავალი. თეორემის მიხედვით გვაქვს ორი ტოლობა

მას შემდეგ ან . იმიტომ რომ, მაშინ.

პასუხი:.

მაგალითი 6.მოცემული: და . იპოვე .

გამოსავალი.ფორმულის (5) გათვალისწინებით, ვიღებთ

მას შემდეგ. მას შემდეგ, რაც და, მაშინ.

მაგალითი 7.დაე იყოს. იპოვე .

გამოსავალი.(1) ფორმულის მიხედვით შეგვიძლია დავწეროთ

ამიტომ გვაქვს ან . ცნობილია რომ და , ამიტომ და .

პასუხი:.

მაგალითი 8.იპოვეთ უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი თუ

და .

გამოსავალი. ფორმულიდან (7) გამომდინარეობსდა . აქედან და პრობლემის პირობებიდან ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

თუ სისტემის პირველი განტოლება კვადრატია, და შემდეგ გაყავით მიღებული განტოლება მეორე განტოლებაზე, შემდეგ მივიღებთ

ან .

პასუხი:.

მაგალითი 9.იპოვეთ ყველა მნიშვნელობა, რომლისთვისაც თანმიმდევრობა, , არის გეომეტრიული პროგრესია.

გამოსავალი.დაე , და . ფორმულის მიხედვით (2), რომელიც განსაზღვრავს გეომეტრიული პროგრესიის ძირითად თვისებას, შეგვიძლია დავწეროთ ან .

აქედან ვიღებთ კვადრატულ განტოლებას, რომლის ფესვებიადა .

შევამოწმოთ: თუ, შემდეგ და ;

თუ , მაშინ და .პირველ შემთხვევაში გვაქვს

და , და მეორეში – და .

პასუხი: ,.მაგალითი 10.

, (11)

ამოხსენით განტოლება

სად და.

ფორმულიდან (7) გამომდინარეობს, რა გამოსავალი. განტოლების (11) მარცხენა მხარე არის უსასრულო კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი, რომელშიც და , ექვემდებარება: და .. ამასთან დაკავშირებით, განტოლება (11) იღებს ფორმას ან . შესაფერისი ფესვი

პასუხი:.

კვადრატული განტოლება არისმაგალითი 11. პდადებითი რიცხვების თანმიმდევრობააყალიბებს არითმეტიკულ პროგრესიას , ა- გეომეტრიული პროგრესია

გამოსავალი., და აქ. იპოვე . იმიტომ რომ, ეს (არითმეტიკული პროგრესიის მთავარი თვისება). იმიტომ რომ, მაშინ ან . აქედან გამომდინარეობს, რომ გეომეტრიულ პროგრესიას აქვს ფორმა. ფორმულის მიხედვით (2)შემდეგ ჩვენ დავწერთ ამას.

მას შემდეგ და მერე . ამ შემთხვევაში გამოთქმაიღებს ფორმას ან. პირობის მიხედვით, ასე რომ, განტოლებიდანჩვენ ვიღებთ განსახილველი პრობლემის უნიკალურ გადაწყვეტას, ე.ი. .

პასუხი:.

მაგალითი 12.ჯამის გამოთვლა

. (12)

გამოსავალი. გაამრავლეთ ტოლობის ორივე მხარე (12) 5-ზე და მიიღეთ

თუ გამოვაკლებთ (12) გამოსახულებას, ეს

ან .

გამოსათვლელად, ჩვენ ვცვლით მნიშვნელობებს ფორმულაში (7) და ვიღებთ . მას შემდეგ.

პასუხი:.

აქ მოცემული პრობლემის გადაჭრის მაგალითები გამოადგებათ აპლიკანტებს მისაღები გამოცდებისთვის მომზადებისას. პრობლემის გადაჭრის მეთოდების უფრო ღრმა შესწავლისთვის, დაკავშირებულია გეომეტრიულ პროგრესირებასთან, შეგიძლიათ გამოიყენოთ გაკვეთილები რეკომენდებული ლიტერატურის სიიდან.

1. მათემატიკაში ამოცანების კრებული კოლეჯების მსურველთათვის / რედ. მ.ი. სკანავი. – მ.: მირი და განათლება, 2013. – 608გვ.

2. სუპრუნი ვ.პ. მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის: სასკოლო სასწავლო გეგმის დამატებითი განყოფილებები. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216გვ.

3. მედინსკი მ.მ. ელემენტარული მათემატიკის სრული კურსი ამოცანებსა და სავარჯიშოებში. წიგნი 2: რიცხვების თანმიმდევრობა და პროგრესი. – მ.: ედიტუსი, 2015. – 208გვ.

ჯერ კიდევ გაქვთ შეკითხვები?

დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად დარეგისტრირდით.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

ინსტრუქციები

10, 30, 90, 270...

თქვენ უნდა იპოვოთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი.
გამოსავალი:

ვარიანტი 1. ავიღოთ პროგრესიის თვითნებური წევრი (მაგალითად, 90) და გავყოთ წინაზე (30): 90/30=3.

თუ ცნობილია გეომეტრიული პროგრესიის რამდენიმე წევრის ჯამი ან კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი, მაშინ პროგრესიის მნიშვნელის საპოვნელად გამოიყენეთ შესაბამისი ფორმულები:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), სადაც Sn არის გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი და
S = b1/(1-q), სადაც S არის უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამი (პროგრესიის ყველა წევრის ჯამი ერთზე ნაკლები მნიშვნელით).
მაგალითი.

კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრი უდრის ერთს, ხოლო მისი ყველა წევრის ჯამი უდრის ორს.

საჭიროა ამ პროგრესიის მნიშვნელის დადგენა.
გამოსავალი:

ჩაანაცვლეთ ამოცანის მონაცემები ფორმულაში. გამოვა:
2=1/(1-q), საიდანაც – q=1/2.

პროგრესია არის რიცხვების თანმიმდევრობა. გეომეტრიულ პროგრესიაში ყოველი მომდევნო წევრი მიიღება წინას გარკვეულ რიცხვზე q გამრავლებით, რომელსაც პროგრესიის მნიშვნელი ეწოდება.

ინსტრუქციები

თუ ცნობილია ორი მომიჯნავე გეომეტრიული ტერმინი b(n+1) და b(n), მნიშვნელის მისაღებად, თქვენ უნდა გაყოთ რიცხვი უფრო დიდის წინა რიცხვზე: q=b(n+1)/b. (n). ეს გამომდინარეობს პროგრესიის განმარტებიდან და მისი მნიშვნელიდან. მნიშვნელოვანი პირობაა, რომ პირველი წევრი და პროგრესიის მნიშვნელი არ იყოს ნულის ტოლი, წინააღმდეგ შემთხვევაში იგი განიხილება განუსაზღვრელი.

ამრიგად, პროგრესიის ტერმინებს შორის მყარდება შემდეგი მიმართებები: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) ფორმულის გამოყენებით შეიძლება გამოითვალოს გეომეტრიული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი, რომელშიც ცნობილია q მნიშვნელი და ტერმინი b1. ასევე, თითოეული პროგრესია მოდულით უდრის მისი მეზობელი წევრების საშუალოს: |b(n)|=√, სადაც პროგრესიამ მიიღო თავისი .

გეომეტრიული პროგრესიის ანალოგი არის უმარტივესი ექსპონენციალური ფუნქცია y=a^x, სადაც x არის მაჩვენებელი, a არის გარკვეული რიცხვი. ამ შემთხვევაში პროგრესიის მნიშვნელი ემთხვევა პირველ წევრს და უდრის a რიცხვს. y ფუნქციის მნიშვნელობა შეიძლება გავიგოთ, როგორც პროგრესიის n-ე წევრი, თუ არგუმენტი x მიღებული იქნება ნატურალური რიცხვი n (მრიცხველი).

არსებობს გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამისთვის: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). ეს ფორმულა მოქმედებს q≠1-ისთვის. თუ q=1, მაშინ პირველი n წევრის ჯამი გამოითვლება S(n)=n b1 ფორმულით. სხვათა შორის, პროგრესიას დაერქმევა ზრდა, როდესაც q ერთზე მეტია და b1 დადებითია. თუ პროგრესიის მნიშვნელი არ აღემატება ერთს აბსოლუტური მნიშვნელობით, პროგრესიას კლებადი ეწოდება.

გეომეტრიული პროგრესიის განსაკუთრებული შემთხვევაა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია (უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესია). ფაქტია, რომ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის პირობები ისევ და ისევ შემცირდება, მაგრამ არასოდეს მიაღწევს ნულს. ამის მიუხედავად, შესაძლებელია ასეთი პროგრესიის ყველა ტერმინის ჯამის პოვნა. იგი განისაზღვრება S=b1/(1-q) ფორმულით. n ტერმინების საერთო რაოდენობა უსასრულოა.

იმისათვის, რომ წარმოიდგინოთ, თუ როგორ შეგიძლიათ დაამატოთ უსასრულო რაოდენობის რიცხვი უსასრულობის მიღების გარეშე, გამოაცხეთ ტორტი. ნახევარი გაჭერით. შემდეგ გაჭერით 1/2 ნახევარი და ა.შ. ნაჭრები, რომლებსაც მიიღებთ, სხვა არაფერია, თუ არა უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის წევრები 1/2 მნიშვნელით. თუ დაამატებთ ყველა ამ ნაჭერს, მიიღებთ ორიგინალურ ნამცხვარს.

გეომეტრიის პრობლემები სპეციალური ტიპის ვარჯიშია, რომელიც სივრცით აზროვნებას მოითხოვს. თუ ვერ ამოხსნით გეომეტრიულს დავალებასცადეთ დაიცვას ქვემოთ მოცემული წესები.

ინსტრუქციები

წაიკითხეთ დავალების პირობები ძალიან ფრთხილად, თუ რამე არ გახსოვთ ან ვერ გაიგეთ, ხელახლა წაიკითხეთ.

შეეცადეთ დაადგინოთ რა ტიპის გეომეტრიული ამოცანებია, მაგალითად: გამოთვლითი, როდესაც საჭიროა გარკვეული მნიშვნელობის გარკვევა, პრობლემები, რომლებიც მოითხოვს მსჯელობის ლოგიკურ ჯაჭვს, პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია კონსტრუქციასთან კომპასისა და მმართველის გამოყენებით. შერეული ტიპის მეტი დავალება. როგორც კი გაარკვიეთ პრობლემის ტიპი, შეეცადეთ იფიქროთ ლოგიკურად.

გამოიყენეთ მოცემული დავალების საჭირო თეორემა, მაგრამ თუ ეჭვი გეპარებათ ან საერთოდ არ გაქვთ ვარიანტები, მაშინ შეეცადეთ დაიმახსოვროთ თეორია, რომელიც შეისწავლეთ შესაბამის თემაზე.

ასევე ჩაწერეთ პრობლემის გადაწყვეტა პროექტში. შეეცადეთ გამოიყენოთ ცნობილი მეთოდები თქვენი გადაწყვეტის სისწორის შესამოწმებლად.

ყურადღებით შეავსეთ პრობლემის გადაწყვეტა თქვენს ნოუთბუქში, წაშლისა და გადაკვეთის გარეშე და რაც მთავარია - შესაძლოა დრო და ძალისხმევა დასჭირდეს პირველი გეომეტრიული ამოცანების გადაჭრას. თუმცა, როგორც კი ამ პროცესს დაეუფლებით, დაიწყებთ თხილის მსგავსი ამოცანების დაწკაპუნებას, სიამოვნებას!

გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) რიცხვების თანმიმდევრობა, რომ b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პროგრესიის ყოველი წევრი მიიღება წინადან მისი გამრავლებით პროგრესიის q რაიმე არანულოვან მნიშვნელზე.

ინსტრუქციები

პროგრესირების ამოცანები ყველაზე ხშირად წყდება b1 პროგრესიის პირველი წევრისა და პროგრესიის q მნიშვნელის სისტემის შედგენით და შემდეგ სისტემის მიხედვით. განტოლებების შესაქმნელად სასარგებლოა რამდენიმე ფორმულის დამახსოვრება.

როგორ გამოვხატოთ პროგრესიის n-ე წევრი პროგრესიის პირველი წევრის მეშვეობით და პროგრესიის მნიშვნელი: b(n)=b1*q^(n-1).

ცალკე განვიხილოთ შემთხვევა |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

გეომეტრიული პროგრესიაარანაკლებ მნიშვნელოვანია მათემატიკაში არითმეტიკასთან შედარებით. გეომეტრიული პროგრესია არის b1, b2,..., b[n] რიცხვების თანმიმდევრობა, რომელთა ყოველი შემდეგი წევრი მიიღება წინა რიცხვის მუდმივ რიცხვზე გამრავლებით. ამ რიცხვს, რომელიც ასევე ახასიათებს ზრდის ან პროგრესირების ტემპს, ე.წ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელიდა აღვნიშნავთ

გეომეტრიული პროგრესიის სრულად დასაზუსტებლად, მნიშვნელის გარდა, აუცილებელია მისი პირველი წევრის ცოდნა ან განსაზღვრა. მნიშვნელის დადებითი მნიშვნელობისთვის პროგრესია არის მონოტონური მიმდევრობა და თუ რიცხვების ეს თანმიმდევრობა მონოტონურად კლებადია და თუ ის მონოტონურად იზრდება. შემთხვევა, როდესაც მნიშვნელი ერთის ტოლია, პრაქტიკაში არ განიხილება, რადგან გვაქვს იდენტური რიცხვების თანმიმდევრობა და მათი ჯამი პრაქტიკული ინტერესი არ არის.

გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი ტერმინიგამოითვლება ფორმულით

გეომეტრიული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამიგანისაზღვრება ფორმულით

მოდით შევხედოთ კლასიკური გეომეტრიული პროგრესიის ამოცანების გადაწყვეტილებებს. დავიწყოთ ყველაზე მარტივი გასაგებად.

მაგალითი 1. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი წევრია 27, ხოლო მნიშვნელი არის 1/3. იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ექვსი წევრი.

ამოხსნა: მოდით ჩავწეროთ პრობლემის პირობა ფორმაში

გამოთვლებისთვის ვიყენებთ გეომეტრიული პროგრესიის მე-n წევრის ფორმულას

მასზე დაყრდნობით ვპოულობთ პროგრესირების უცნობ ტერმინებს

როგორც ხედავთ, გეომეტრიული პროგრესიის პირობების გამოთვლა არ არის რთული. თავად პროგრესი ასე გამოიყურება

მაგალითი 2. მოცემულია გეომეტრიული პროგრესიის პირველი სამი წევრი: 6; -12; 24. იპოვე მნიშვნელი და მისი მეშვიდე წევრი.

ამოხსნა: ჩვენ ვიანგარიშებთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელს მისი განმარტების საფუძველზე

ჩვენ მივიღეთ მონაცვლეობითი გეომეტრიული პროგრესია, რომლის მნიშვნელი უდრის -2-ს. მეშვიდე ტერმინი გამოითვლება ფორმულის გამოყენებით

ეს წყვეტს პრობლემას.

მაგალითი 3. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია მისი ორი წევრით . იპოვეთ პროგრესიის მეათე წევრი.

გამოსავალი:

მოდით დავწეროთ მოცემული მნიშვნელობები ფორმულების გამოყენებით

წესების მიხედვით, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მნიშვნელი და შემდეგ მოვძებნოთ სასურველი მნიშვნელობა, მაგრამ მეათე წევრისთვის გვაქვს

იგივე ფორმულის მიღება შესაძლებელია შეყვანის მონაცემებით მარტივი მანიპულაციების საფუძველზე. სერიის მეექვსე წევრი გავყოთ მეორეზე და შედეგად მივიღებთ

თუ მიღებული მნიშვნელობა გამრავლებულია მეექვსე წევრზე, მივიღებთ მეათეს

ამრიგად, ასეთი პრობლემებისთვის, მარტივი ტრანსფორმაციების სწრაფი გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ სწორი გადაწყვეტა.

მაგალითი 4. გეომეტრიული პროგრესია მოცემულია განმეორებადი ფორმულებით

იპოვეთ გეომეტრიული პროგრესიის მნიშვნელი და პირველი ექვსი წევრის ჯამი.

გამოსავალი:

მოცემული მონაცემები დავწეროთ განტოლებათა სისტემის სახით

გამოთქვით მნიშვნელი მეორე განტოლების პირველზე გაყოფით

ვიპოვოთ პროგრესიის პირველი წევრი პირველი განტოლებიდან

მოდით გამოვთვალოთ შემდეგი ხუთი წევრი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად