זהויות טריגונומטריותהם שוויון המקימים קשר בין הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי של זווית אחת, מה שמאפשר למצוא כל אחת מהפונקציות הללו, בתנאי שכל אחת אחרת ידועה.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

זהות זו אומרת שסכום ריבוע הסינוס של זווית אחת וריבוע הקוסינוס של זווית אחת שווה לאחד, מה שבפועל מאפשר לחשב את הסינוס של זווית אחת כאשר הקוסינוס שלה ידוע ולהיפך .

בעת המרת ביטויים טריגונומטריים, משתמשים בזהות זו לעתים קרובות, המאפשרת להחליף את סכום הריבועים של הקוסינוס והסינוס של זווית אחת באחד וגם לבצע את פעולת ההחלפה בסדר הפוך.

מציאת טנגנס וקוטנגנט דרך סינוס וקוסינוס

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

זהויות אלו נוצרות מההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. אחרי הכל, אם אתה מסתכל, אז בהגדרה, הסמין של y הוא הסינוס, והאבססיס של x הוא הקוסינוס. אז המשיק יהיה שווה ליחס \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), והיחס \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- יהיה קוטנגנט.

נוסיף שרק עבור זוויות כאלה \alpha שהפונקציות הטריגונומטריות הכלולות בהן הגיוניות, הזהויות יתקיימו, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

לדוגמה: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)תקף עבור זוויות \alpha השונות מ \frac(\pi)(2)+\pi z, א ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- עבור זווית \alpha שאינה \pi z , z הוא מספר שלם.

הקשר בין משיק לקוטנגנט

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

זהות זו תקפה רק עבור זוויות \alpha השונות מהן \frac(\pi)(2) z. אחרת, קוטנגנט או משיק לא ייקבעו.

בהתבסס על הנקודות לעיל, אנו מקבלים את זה tg \alpha = \frac(y)(x), א ctg\alpha=\frac(x)(y). מכאן נובע מכך tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. לפיכך, המשיק והקוטנגנט של זווית אחת שבה הם הגיוניים הם מספרים הדדיים.

יחסים בין טנגנס לקוסינוס, קוטנגנט וסינוס

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- סכום ריבוע הטנגנס של הזווית \alpha ו-1 שווה לריבוע ההפוך של הקוסינוס של זווית זו. זהות זו תקפה עבור כל \alpha מלבד \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- הסכום של 1 וריבוע הקוטנגנט של הזווית \alpha , שווה לריבוע ההפוך של הסינוס של הזווית הנתונה. זהות זו תקפה עבור כל \alpha מלבד \pi z .

דוגמאות עם פתרונות לבעיות באמצעות זהויות טריגונומטריות

דוגמה 1

מצא את \sin \alpha ו-tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12ו \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

הפונקציות \sin \alpha ו\cos \alpha מקושרות על ידי הנוסחה \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. החלפה לתוך הנוסחה הזו \cos \alpha = -\frac12, אנחנו מקבלים:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

למשוואה זו יש 2 פתרונות:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

לפי תנאי \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ברבעון השני, הסינוס חיובי, אז \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

כדי למצוא את tg \alpha , אנו משתמשים בנוסחה tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

דוגמה 2

מצא את \cos \alpha ו-ctg \alpha אם ו \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

הצג פתרון

פִּתָרוֹן

החלפה לתוך הנוסחה \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1מספר מותנה \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), אנחנו מקבלים \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. למשוואה זו יש שני פתרונות \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

לפי תנאי \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . ברבעון השני, הקוסינוס שלילי, אז \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

על מנת למצוא ctg \alpha , אנו משתמשים בנוסחה ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). אנחנו יודעים את הערכים המתאימים.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

דוגמה 2להוכיח זהות

נוכיח את הזהות הזו על ידי שינוי הביטוי בצד ימין.

שיטה 1.

לכן

שיטה 2.

קודם כל, שים לב ש-ctg α =/= 0; אחרת, הביטוי tg לא יהיה הגיוני α = 1/ctg α . אבל אם ctg α =/= 0, אז ניתן להכפיל את המונה והמכנה של הביטוי הרדיקלי ב-ctg α מבלי לשנות את ערך השבר. לָכֵן,

שימוש בזהויות tg α ctg α = 1 ו-1+ ctg 2 α = cosec 2 α , אנחנו מקבלים

לכן Q.E.D.

תגובה. יש לשים לב לעובדה שהצד השמאלי של הזהות המוכחת (חטא α ) מוגדר עבור כל הערכים α , והנכון - רק מתי α =/= π / 2 נ.

לכן, רק מתי הכל קבילערכים α באופן כללי, ביטויים אלו אינם שווים זה לזה.

דוגמה 3להוכיח זהות

חטא (3/2 π + α ) + cos( π - α ) = cos(2 π + α )-3sin( π / 2 - α )

אנו הופכים את החלק השמאלי והימני של זהות זו באמצעות נוסחאות ההפחתה:

חטא (3/2 π + α ) + cos( π - α ) = - כי α - כיון α = - 2 cos α ;

cos (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .

אז, הביטויים בשני חלקי הזהות הזו מצטמצמים לאותה צורה. כך מוכחת הזהות.

דוגמה 4להוכיח זהות

חטא 4 α + עלות 4 α - 1 = - 2 חטא 2 α כי 2 α .

הבה נראה את ההבדל בין החלק השמאלי לימין. של זהות זו הוא אפס.

(חטא 4 α + עלות 4 α - 1) - (- 2 חטא 2 α כי 2 α ) = (חטא 4 α +2sin2 α כי 2 α + עלות 4 α ) - 1 =

= (חטא 2 α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

כך מוכחת הזהות.

דוגמה 5להוכיח זהות

אפשר לראות בזהות זו פרופורציה. אבל כדי להוכיח את תקפות הפרופורציה a/b = c/d, מספיק להראות שהמכפלה של המונחים הקיצוניים שלה מוֹדָעָהשווה למכפלת האיברים האמצעיים שלו לִפנֵי הַסְפִירָה. כך נעשה במקרה הזה. הבה נראה את זה (1 - חטא α ) (1+ חטא α ) = cos α חַסַת עָלִים α .

אכן, (1 - חטא α ) (1 + חטא α ) = 1-חטא 2 α = cos2 α .

"זהויות טריגונומטריות". כיתה י'

“אמת מתמטית, מה שלא יהיה
אם בפריז או בטולוז, אותו דבר
ב פסקל

סוג שיעור: שיעור בגיבוש מיומנויות ויכולות.

שיעור של אוריינטציה מתודולוגית כללית.

מטרת הפעילות : היווצרות יכולתם של התלמידים לאופן פעולה חדש הקשור לבניית מבנה המושגים והאלגוריתמים הנלמדים.

מטרות השיעור:

דִידַקטִי : ללמד כיצד ליישם ידע, מיומנויות ויכולות שנרכשו בעבר כדי לפשט ביטויים ולהוכיח זהויות טריגונומטריות.

מתפתח: לפתח חשיבה לוגית, זיכרון, עניין קוגניטיבי, להמשיך ביצירת דיבור מתמטי, לפתח את יכולת הניתוח וההשוואה.

חינוכי: להראות שמושגים מתמטיים אינם מבודדים זה מזה, אלא מייצגים מערכת מסוימת של ידע, שכל הקישורים שלה קשורים זה בזה, כדי להמשיך ביצירת מיומנויות אסתטיות בעת כתיבת הערות, כישורי שליטה ושליטה עצמית.

כדי לפתור בעיות בטריגונומטריה בהצלחה, אתה צריך להיות בטוח בנוסחאות רבות. יש לזכור נוסחאות טריגונומטריות. אבל זה לא אומר שצריך לשנן אותם בעל פה, העיקר לשנן לא את הנוסחאות עצמן, אלא את האלגוריתמים לגזירתן. ניתן להשיג כל נוסחה טריגונומטרית די מהר אם אתה יודע היטב את ההגדרות והמאפיינים הבסיסיים של הפונקציות sinα, cosα, tgα, ctgα, היחס sin. 2 α+ cos 2 α =1 וכו'.

לימוד נוסחאות טריגונומטריות בבית הספר אינו מיועד עבורך לחשב סינוסים וקוסינוסים למשך שארית חייך, אלא עבור המוח שלך לרכוש את היכולת לעבוד. ( . שקופית 2 )

“ הדרכים אינן הידע המופקד במוח כמו שומן; הכבישים הם אלה שהופכים לשרירי נפש", כתב ג' ספסר, פילוסוף וסוציולוג אנגלי.

נשאב ונאמן את השרירים המנטליים. לכן, אנו חוזרים על הנוסחאות הטריגונומטריות הבסיסיות.TEST (שקף 4) (שקף 5)

חזרנו על הנוסחאות, עכשיו אנחנו יכולים לעזור לשני חברים, בואו נקרא להם איסלאם ומוחמד.

לאחר שינוי ביטוי טריגונומטרי מורכב מאודא הֵם קיבל את הביטויים הבאים:(שקופית 6)

(שקופית 7) כל אחד הגן על תשובתו. איך לגלות מי מהם נכון? פנינו לארטיום, שהוא חבר של פיטר"אפטון הוא ידידי אבל האמת יקרה יותר": אמר ארטיום והציע כמה דרכים לפתור את המחלוקת ביניהם. ואיזה דרכים אתה יכול להציע לבסס את האמת?הצע דרכים לבסס את האמת (שקופית 8):

1) הפוך, פשט את א' פ ו-A מ , כלומר הוביל לביטוי אחד

2) א פ - אבל מ = 0

3) …..

כלומר, שניהם צדקו. והתשובות שלהם שוות לכל הערכים האפשרייםα ו-β .

איך קוראים לביטויים כאלה?זהויות. אילו זהויות אתה מכיר?

זהות , המושג הבסיסי של לוגיקה, פילוסופיה ומתמטיקה; משמש בשפות של תיאוריות מדעיות לניסוח יחסים מגדירים, חוקים ומשפטים.

זהות היא קטגוריה פילוסופית המבטאת שוויון, זהות של אובייקט, תופעה עם עצמו או שוויון של מספר אובייקטים.

במתמטיקה זהות הוא שוויון שתקף לכל ערכים קבילים של המשתנים הכלולים בו.(שקופית 9)

נושא השיעור : "זהויות טריגונומטריות".

מטרות: למצוא דרכים.

שני אנשים עובדים ליד הלוח.

№ 2. הוכח את הזהות.

P.h. \u003d L.h.

הזהות הוכחה.

№ 3. הוכח את הזהות:

דרך אחת:

דו כיווני:

דרכים להוכחת זהויות.

הצד הימני של הזהות. אם בסופו של דבר נקבל את הצד השמאלי, אז הזהות נחשבת מוכחת.

בצע טרנספורמציות שוותצד שמאל וימין של הזהות. אם כתוצאה מכך נקבל את אותה תוצאה, אזי הזהות נחשבת מוכחת.

הורידו את הצד השמאלי מהצד הימני של הזהות.

הורידו את הצד הימני מהצד השמאלי של הזהות. אנו מבצעים טרנספורמציות שוות על ההבדל. ואם בסוף נקבל אפס, אז הזהות נחשבת מוכחת.

יש לזכור גם שהזהות תקפה רק עבור ערכים קבילים של משתנים.

מדוע יש צורך להוכיח זהויות טריגונומטריות? בבחינה, משימה C1 היא משוואות טריגונומטריות!

הוחלט מס' 465-467

אז בואו נסכם את הלקח. (שקופית 10)

מה היה נושא השיעור?

אילו שיטות להוכחת זהויות אתה מכיר?

1. המר משמאל לימין או מימין לשמאל.
2. המרת החלק השמאלי והימני לאותו ביטוי.
3. שרטוט ההפרש בין החלק השמאלי והימני והוכח שההבדל הזה שווה לאפס.

באילו נוסחאות משתמשים בשביל זה?

1. נוסחאות לכפל מקוצר.
2. 6 זהויות טריגונומטריות.

השתקפות שיעור. (שקופית 11)

המשך בביטויים:

– היום בכיתה למדתי...
היום בכיתה למדתי...
- היום בשיעור חזרתי...
היום בכיתה פגשתי...
נהניתי מהשיעור שלי היום...

שיעורי בית. №№465-467 (שקופית 12)

משימה יצירתית: הכן מצגת על הזהויות המפורסמות של המתמטיקה. (לדוגמה, הזהות אוילר.)(שקופית

זהויות טריגונומטריותהם שוויון שמבססים קשר בין הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנט של זווית אחת, מה שמאפשר לך למצוא כל אחת מהפונקציות הללו, בתנאי שכל אחת אחרת ידועה.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

הקשר בין סינוס לקוסינוס

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

זהות זו אומרת שסכום ריבוע הסינוס של זווית אחת וריבוע הקוסינוס של זווית אחת שווה לאחד, מה שבפועל מאפשר לחשב את הסינוס של זווית אחת כאשר הקוסינוס שלה ידוע ולהיפך .

בעת המרת ביטויים טריגונומטריים, משתמשים בזהות זו לעתים קרובות, המאפשרת להחליף את סכום הריבועים של הקוסינוס והסינוס של זווית אחת באחד וגם לבצע את פעולת ההחלפה בסדר הפוך.

מציאת טנגנס וקוטנגנט דרך סינוס וקוסינוס

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

זהויות אלו נוצרות מההגדרות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטי. אחרי הכל, אם אתה מסתכל, אז בהגדרה הסמיכה \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), והיחס \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- יהיה קוטנגנט.

נוסיף כי רק עבור זוויות כאלה \(\alpha \) , שעבורן הפונקציות הטריגונומטריות הכלולות בהן הגיוניות, יהיו הזהויות , .

לדוגמה: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \)תקף עבור זוויות \(\alpha \) השונות מ-\(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) , וכן \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- עבור זווית \(\alpha \) שאינה \(\pi z \) , \(z \) - הוא מספר שלם.

הקשר בין משיק לקוטנגנט

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

זהות זו תקפה רק עבור זוויות \(\alpha \) השונות מ-\(\dfrac(\pi)(2) z \) . אחרת, קוטנגנט או משיק לא ייקבעו.

בהתבסס על הנקודות לעיל, אנו מקבלים את זה \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) ו-\(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . מכאן נובע מכך \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). לפיכך, המשיק והקוטנגנט של זווית אחת שבה הם הגיוניים הם מספרים הדדיים.

יחסים בין טנגנס לקוסינוס, קוטנגנט וסינוס

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- סכום הטנגנס בריבוע של הזווית \(\alpha \) ו-\(\alpha \) , מלבד \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- sum \(\alpha \) , שווה לריבוע ההפוך של הסינוס של הזווית הנתונה. זהות זו תקפה עבור כל \(\alpha \) מלבד \(\pi z \) .

Javascript מושבת בדפדפן שלך.
יש להפעיל פקדי ActiveX על מנת לבצע חישובים!

דוגמאות לזהות:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

אבל הביטוי \(\frac(x^2)(x)=x\) הוא זהות רק בתנאי \(x≠0\) (אחרת הצד השמאלי לא קיים).

איך מוכיחים זהות?

המתכון פשוט בטירוף:

כדי להוכיח זהות, אתה צריך להוכיח שהחלק הימני והשמאלי שלה שווים, כלומר. צמצמו אותו לצורה "ביטוי" = "אותו ביטוי".

לדוגמה,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

על מנת לעשות זאת אתה יכול:

1. המר רק את הצד הימני או רק את הצד השמאלי.
2. המר את שני החלקים בו זמנית.
3. השתמש בכל טרנספורמציה מתמטית חוקית (לדוגמה, תן דומה; סוגריים פתוחים; העבר מונחים מחלק אחד לאחר על ידי שינוי הסימן; הכפל או חלק את החלק השמאלי והימני באותו מספר או ביטוי שאינו שווה לאפס וכו'. ).
4. השתמש בכל נוסחאות מתמטיות.

זוהי הנקודה הרביעית שבה משתמשים לרוב בהוכחת זהויות, כך שכל מה שאתה צריך לדעת, לזכור ולהיות מסוגל להשתמש בו.

דוגמא . הוכח את הזהות הטריגונומטרית \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
פִּתָרוֹן :

דוגמא . הוכח כי הביטוי \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) היא זהות.
פִּתָרוֹן :

דוגמא . הוכח את הזהות הטריגונומטרית \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
פִּתָרוֹן :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		כאן נהפוך רק את הצד הימני, וננסה לצמצם אותו שמאלה. אנחנו משאירים את השמאלי ללא שינוי. אנחנו זוכרים.
\(1-tg^2 t=\)		עכשיו בוא נעשה חלוקה של איבר אחר איבר בשבר (כלומר ליישם בכיוון ההפוך): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b) )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		נבטל את השבר הראשון בצד ימין, ונחיל על השני: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\).
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		ובכן, הסינוס חלקי הקוסינוס שווה לאותה זווית: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

דוגמא . הוכח את הזהות הטריגונומטרית \(=ctg(π+t)-1\)
פִּתָרוֹן :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		כאן נשנה את שני החלקים: - משמאל: אנו הופכים את \(\cos⁡2t\) לפי נוסחת הזווית הכפולה; - ובימין \(ctg(π+t)\) על ידי .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		עכשיו אנחנו עובדים רק עם הצד השמאלי. במונה נשתמש , במכנה נשתמש בסינוס בסוגריים.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t))))\)\(=ctg\:t-1\)		הפחת את השבר ב-\(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\).
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		אנו מחלקים את השבר מונח אחר מונח, והופכים אותו לשני שברים נפרדים.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		השבר הראשון הוא , והשני שווה לאחד.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		צד שמאל שווה לצד ימין, הזהות מוכחת.

כפי שאתה יכול לראות, הכל די פשוט, אבל אתה צריך לדעת את כל הנוסחאות והמאפיינים.

כיצד להוכיח את הזהות הטריגונומטרית הבסיסית

שתי דרכים קלות לגזור את הנוסחה \(\sin^2x+\cos^2x=1\). אתה רק צריך לדעת את משפט פיתגורס ואת ההגדרה של סינוס וקוסינוס.

תשובות לשאלות נפוצות:

שְׁאֵלָה: איך לקבוע מה צריך להפוך בזהות - צד שמאל, צד ימין, או שניהם יחד?
תשובה: אין הבדל - בכל מקרה, תקבל את אותה תוצאה. לדוגמה, בדוגמה השלישית, נוכל להגיע בקלות מהצד השמאלי \(1-tg^2 t\) בצד ימין \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(נסה לעשות זאת בעצמך). או להפוך את שניהם, כך שהם "נפגשים באמצע", איפשהו באזור \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). לכן, אתה יכול להוכיח בכל דרך נוחה לך. בכל נתיב שאתה רואה, בצע את זה. הדבר העיקרי היחיד הוא להפוך "באופן חוקי", כלומר להבין על בסיס איזה רכוש, כלל או נוסחה אתה עושה את השינוי הבא.