בַּיִת לְעַצֵב חיסור של מספרים טבעיים. דקה, תחבולה, הבדל

חיסור של מספרים טבעיים. דקה, תחבולה, הבדל

בשיעור זה תלמדו מהן פעולות ישירות והפוכות במתמטיקה. המורה ידבר על כל מרכיבי החיסור וגם יראה שתי דרכים להחסיר סכום ממספר.

בחיים אנו מתמודדים כל הזמן עם פעולות ישירות והפוכות. אתה יכול לשפוך מים לתוך ספל, אתה יכול לשפוך מים החוצה. אתה יכול להיכנס הביתה, ואז לצאת מהבית. יש הרבה דוגמאות כאלה.

במתמטיקה נוכל למצוא בקלות צמד פעולות הפוכות כאלה. זה חיבור וחיסור.

אוֹרֶז. 1. איור של תוספת

חיסור: היו 5 תפוחים, 2 נלקחו, 3 נשארו חיסור (איור 2).

אוֹרֶז. 2. חיסור

ברור שחיבור וחיסור הן פעולות הפוכות, ולכן חיבור וחיסור הן פעולות הפוכות זו לזו.

כדי לבצע חיבור או חיסור, אנחנו לא לוקחים חפצים כדי לעזור לנו ולא שמים אותם בערימה אחת. אנו פותרים בעיה כזו בצורה מופשטת, תוך שימוש במספרים ופעולות הפוכות.

לדוגמה, כדי להחסיר 2 מ-5, עלינו להבין מה נשאר.

וכדי לעשות זאת עלינו לדמיין את 5 כסכום של שני חלקים.

ואנחנו מבינים שאם נחסר 2, אז נשאר 3.

ניתן לייצג ולכתוב את אותה כמות בדרכים שונות. כל השיטות הללו שוות ערך: . אנחנו תמיד יכולים להשתמש באחד שנוח לנו במקרה הזה. עכשיו נוח לנו לדמיין ש-5 הוא הסכום של 3 ו-2. לכן, אם נסיר, נחסר חלק אחד (2), אז השני (3) יישאר.

איך להחסיר 7 מ-15?

אנחנו מיד מדמיינים את זה. זה אומר שלאחר הפחתת 7, נשאר 8.

מתברר שחיסור הוא מציאת מספר הרחבה לא ידוע.

בואו נסתכל שוב על הדוגמה. כדי להחסיר את המספר 2 מהמספר 5, עליך לייצג את 5 כשני איברים ולמצוא את האיבר הלא ידוע. זו תהיה התוצאה של החיסור.

אם אתה צריך להחסיר מספר ממספר:

המשמעות היא שהמספר חייב להיות מיוצג כשני איברים ו-.

מונח אחד לא מוכר לנו. אנחנו צריכים למצוא אותו. זו תוצאה של חיסור.

ברור שאי אפשר לקחת יותר תפוחים מהאגרטל ממה שהיו שם. לכן, כשמדברים על חיסור של מספרים טבעיים, לא נוכל להחסיר מספר גדול ממספר קטן יותר. אז יהיו מספרים אחרים, לא רק טבעיים, והפחתת מספר גדול ממספר קטן יותר תתאפשר.

או הנה נימוק אחר: לגרוע פירושו להציג את זה בצורה של שני איברים, אבל האיברים, החלקים, לא יכולים להיות גדולים מהשלם.

אבל לעת עתה ההסכמה היא כדלקמן: מהמספר נחסר את המספר , רק אם לא פחות מ- . התוצאה תהיה מספר חדש.

אוֹרֶז. 3. שמות רכיבים בעת חיסור

המילה "הבדל" דומה מאוד למילה "הבדל". בעצם מה ההבדל, כמה שונה המספר 15 מהמספר 7, 15 תפוחים מ-7 תפוחים? עבור 8 תפוחים. כלומר, ההבדל בין המספרים 15 ו-7 הוא ההבדל ביניהם.

כך, מצד אחד, ההפרש הוא תוצאה של הפחתת מספר קטן ממספר גדול יותר. מצד שני, זה כמה מספר אחד שונה מזה, ההבדל ביניהם.

אבא בן 36, ואמא צעירה ממנו בשנתיים. בת כמה אמא?

הורידו 2 מ-36.

זהו הסוג הראשון של בעיה שאנו פותרים באמצעות חיסור: אנו יודעים מספר אחד, עלינו למצוא אחד שני קטן יותר בכמות ידועה. כלומר, אנו יודעים מיד את ה-minuend ואת subtrahend, מספרים ו.

בכיתה יש 25 איש, מתוכם 14 בנות. כמה בנים יש בכיתה?

ברור שיש רק 25 בנות ובנים. יש 14 בנות, מספר לא ידוע של בנים.

אנחנו צריכים למצוא את המונח הלא ידוע. וחיפוש מונח לא ידוע הוא כבר משימת חיסור. מ-25 צריך להחסיר 14.

יש 11 בנים בכיתה.

זהו הסוג השני של הבעיה, כאשר מוסיפים שני מספרים, אחד מהם ידוע והשני לא. אבל התוצאה, הכמות, ידועה.

ידוע ומודגש בכחול. יש צורך למצוא את המונח הלא ידוע. אבל חיפוש אחר מונח לא ידוע הוא חיסור.

האחות בת 12, והאח בן 9. בכמה שנים האחות גדולה מהאח?

אחותי גדולה מאחי ב-3 שנים.

זהו הסוג השלישי של מטלות - משימת השוואה.

באגרטל היו 17 תפוחים. פטיה לקחה 4 תפוחים, מאשה לקחה 3. כמה תפוחים נשארו באגרטל?

פִּתָרוֹן

פטיה לקחה 4, מאשה - 3, הם לקחו בסך הכל תפוחים. כדי למצוא כמה נשאר, הפחיתו:

אם תכתוב את זה בשורה אחת:

בואו נספור כמה תפוחים נשארו בכל פעם שפטיה ומשה לקחו תפוחים. פטיה לקחה 4, שמאלה. מאשה לקחה עוד 3, עזבה.

או, בשורה אחת, .

נותרו 10 תפוחים באגרטל.

שתי השיטות שוות ערך, התשובה זהה. כלומר, הפחתת סכום זהה להפחתת כל מונח של סכום זה בנפרד.

עכשיו בוא נגרע מ 140 מִספָּר 60 . יש לנו 140-60=(100+40)-60. כִּי 60 יותר מ 40 , אז החיסור חייב להתבצע באופן הבא: (100+40)−60=(100−60)+40=40+40=80 .

להחסיר מ 10 432 מִספָּר 300 . אנו מפרקים את המינונד לספרות ולאחר מכן מיישמים את המאפיין של הפחתת מספר מסכום של שלושה מספרים או יותר:
10 432−300=(10 000+400+30+2)−300= 10 000+(400−300)+30+2=
=10 000+100+30+2=10 132 .

בסוף סעיף זה, בואו נחשב את ההפרש 231 112−7 000 . יש לנו
231 112−7 000= (200 000+30 000+1 000+100+10+2)−7 000= 200 000+(30 000−7 000)+1 000+100+10+2 .

הכל הסתכם במציאת ההבדל 30 000−7 000 . כִּי 30 000=20 000+10 000 , ואז 30,000-7,000= (20,000+10,000)-7,000= 20,000+(10,000-7,000)= 20,000+3,000=23,000. בואו נשתמש בתוצאה הזו ונסיים את החישובים:
200 000+(30 000−7 000)+ 1 000+100+10+2=
=200 000+23 000+1 000+100+10+2= 224 112 .

חיסור של מספרים טבעיים שרירותיים.

נותר לשקול את חיסור המספרים הטבעיים, כאשר ה-subtrahend מפורק לסכום של איברי ספרות. במקרה זה, החיסור מתבצע באופן הבא: לאחר הצגת ה-subtrahend כסכום של איברים ספרתיים, נעשה שימוש בתכונה של הפחתת סכום שני מספרים ממספר טבעי את מספר הפעמים הנדרש. יתרה מכך, יותר נוח להחסיר תחילה יחידות, אחר כך עשרות, אחר כך מאות וכו'.

לדוגמה, בוא נחשב את ההפרש 45−32 . הרחבת התוספות 32 לפי קטגוריה: 32=30+2 . יש לנו 45-32=45-(30+2) . מטעמי נוחות, נסדר מחדש את האיברים בסוגריים 45−(30+2)=45−(2+30) (נוכל לעשות זאת בשל התכונה הקומוטטיבית של חיבור). כעת אנו מיישמים את המאפיין של הפחתת סכום ממספר: 45−(2+30)=(45−2)−30. נותר לחשב את ההפרש 45−2 , ואז להפחית את המספר מהתוצאה שהתקבלה 30 . ביצוע שלבים אלה לא יגרום לקשיים כלשהם אם שלטת היטב בחומר בפסקאות הקודמות. כָּך, 45−2=(40+5)−2=40+(5−2)=40+3=43 . ואז (45-2)-30=43-30. נותר לייצג את המינונד כסכום של מונחי סיביות ולהשלים את החישובים: 43−30=(40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

נוח לכתוב את כל הפתרון בצורה של שרשרת של שוויון:
45−32=45−(2+30)= (45−2)−30=((40+5)−2)−30=
=(40+(5−2))−30= (40+3)−30=(40−30)+3=10+3=13 .

בואו נסבך מעט את הדוגמה. הורידו מהמספר 85 מִספָּר 18 . אנחנו ממיינים את המספר לספרות 18 , ואנחנו מקבלים 18=10+8 . החליפו את התנאים: 10+8=8+10 . כעת נחסר את הסכום המתקבל של מונחי סיביות מהמספר 85 ולהחיל את המאפיין של הפחתת סכום ממספר: 85−18=85−(8+10)=(85−8)−10 .

אנו מחשבים את ההפרש בסוגריים:
85−8=(80+5)−8=(80−8)+5= ((70+10)−8)+5= (70+(10−8))+5=(70+2)+5=70+7=77 .

ואז (85-8)-10=77-10= (70+7)−10=(70−10)+7=60+7=67 .

כדי לגבש את החומר, ננתח את הפתרון לדוגמא אחרת.

הורידו מהמספר 23 555 מִספָּר 715 . כִּי 715=700+10+5=5+10+700=5+(10+700) , זה 23 555−715=23 555−(5+10+700) . הורידו את הסכום מהמספר באופן הבא: 23,555−(5+(10+700))= (23,555−5)−(10+700) .

בוא נחשב את ההפרש בסוגריים:
23 555−5=(20 000+3 000+500+50+5)−5= 20 000+3 000+500+50+(5−5)=
=20 000+3 000+500+50+0= 20 000+3 000+500+50=23 550 .

אָז (23 555−5)−(10+700)=23 550−(10+700) . שוב נפנה לתכונה של הפחתת מספר טבעי מסכום: 23 550−(10+700)=(23 550−10)−700 .

שוב אנו מחשבים את ההפרש בסוגריים:
23 550−10=(20 000+3 000+500+50)−10= 20 000+3 000+500+(50−10)=
=20 000+3 000+500+40=23 540 .

יש לנו
(23 550−10)−700= 23 540−700=(20 000+3 000+500+40)−700=
=20 000+(3 000−700)+500+40 .

להחסיר מ 3 000 מִספָּר 700 והחליפו את התוצאה הזו בסכום האחרון: 3 000−700=(2 000+1 000)−700= 2,000+(1,000-700)= 2,000+300=2,300, ואז 20,000+(3,000-700)+500+40= 20,000+2,300+500+40=22,840.

לסיכום נקודה זו, יש לציין שכדי להחסיר שני מספרים טבעיים נוח להשתמש בשיטה מיוחדת, הנקראת חיסור עמודות.

חיסור של מספרים טבעיים על קרן קואורדינטות.

בואו נראה מהי חיסור של מספרים טבעיים מנקודת מבט של גיאומטריה. בשביל זה אנחנו צריכים. מטעמי נוחות, נניח שהוא ממוקם אופקית וימינה.

הפחתת מספר טבעי b ממספר טבעי a על קרן קואורדינטות יכולה להתפרש באופן הבא. אנו מוצאים את הנקודה שהקואורדינטה שלה היא המינואנד a. כעת מנקודה זו לכיוון נקודה O נפתור קטעי יחידה בזה אחר זה בכמות שנקבעת על ידי b מופחתת. פעולות אלו יובילו אותנו לנקודה על קרן הקואורדינטות, שהקואורדינטה שלה שווה להפרש a−b. במילים אחרות, הפחתת מספר טבעי b ממספר טבעי a בקרן קואורדינטות מייצגת תנועה שמאלה מנקודה עם קואורדינטה a למרחק b, ואנו מגיעים לנקודה עם קואורדינטה a−b.

האיור שלהלן ממחיש את חיסור המספר הטבעי 4 מהמספר הטבעי 6 בקרן קואורדינטות. לאחר כל הפעולות הדרושות, נגיע לנקודה עם קואורדינטה 2, ונוודא ש-6−4=2.

בדיקת התוצאה של הפחתת מספרים טבעיים בחיבור.

בדיקת התוצאה של חיסור שני מספרים טבעייםמבוסס על הקשר בין חיסור לחיבור, אותו הזכרנו כבר בפסקה הראשונה של מאמר זה. שם גילינו שאם c+b=a, אז a−b=c ו-a−c=b. זה גם די קל להראות את תקפות ההצהרות ההפוכות הבאות: אם a−b=c אז c+b=a; אם a−c=b אז b+c=a. הבה נראה את תקפותו של הראשון שבהם (עבור השני אפשר לבצע נימוק דומה).

נניח בצד b פריטים מתוך פריטים זמינים, ולאחר מכן נשארים עם c פריטים. בשל המשמעות של הפחתת מספרים טבעיים, פעולה זו תואמת את השוויון a−b=c. אם לאחר מכן נחזיר את הפריטים b הנדחים למקומם (להוסיף אותם לפריטים c), אז ברור שיהיה לנו את מספר הפריטים המקורי, כלומר א. לאחר מכן, אם נפנה למשמעות של הוספת מספרים טבעיים, נוכל לדבר על תקפות השוויון c+b=a.

כעת נוכל לנסח כלל המאפשר לנו לבדוק את תוצאת החיסור באמצעות חיבור: אתה צריך להוסיף את subtrahend להפרש המתקבל, ואתה אמור לקבל מספר השווה ל-minuend. אם התוצאה היא מספר שאינו שווה למספר המופחת, זה יצביע על כך שנעשתה שגיאה איפשהו במהלך החיסור.

כל שנותר הוא לנתח את הפתרונות של מספר דוגמאות שבהן בודקים את תוצאת החיסור באמצעות חיבור.

דוּגמָה.

מהמספר הטבעי 50 הופרע המספר הטבעי 42 1,024-11=1,024-(1+10)= (1 024−1)−10=1 023−10=1 013 .

כעת נבדוק את תוצאת החיסור: 1,013+11=(1,000+10+3)+(10+1)= 1,000+10+10+3+1= 1,000+20+4=1,024. קיבלנו מספר השווה לזה המופחת, לכן, ההפרש חושב בצורה נכונה.

תְשׁוּבָה:

1 024−11=1 023 .

בדיקת התוצאה של חיסור מספרים טבעיים בחיסור.

ניתן לבדוק את נכונות התוצאה של חיסור מספרים טבעיים לא רק באמצעות חיבור, אלא גם באמצעות חיסור. בשביל זה אתה צריך להחסיר את ההפרש שנמצא מהמינואנד, ואתה אמור לקבל מספר השווה ל-subtrahend. אם התוצאה היא מספר שונה מזה שנגרע, אז נפלה טעות איפשהו.

נסביר מעט את הכלל המוכרז, המאפשר לנו לבדוק את התוצאה של חיסור המספרים הטבעיים. בואו נדמיין שיש לנו פירות, כולל תפוחים b ואגסים. אם נשים את כל התפוחים בצד, אז יישארו לנו רק c אגסים, ויש לנו a−b=c . אם נשים בצד את כל האגסים, אז יישארו לנו רק תפוחים b, עם a−c=b.

דוּגמָה.

המספר הטבעי 343 הופרע מהמספר הטבעי 543, וכתוצאה מכך המספר 200. בדוק את התוצאה שלך.

פִּתָרוֹן.

כמובן שניתן לבדוק את תוצאת החיסור באמצעות חיבור: 200+343=543. מכיוון שהמספר המתקבל שווה למספר המופחת, החיסור בוצע בצורה נכונה.

ניתן גם לבדוק חיסור של מספרים טבעיים באמצעות חיסור. כדי לעשות זאת, נחסר את ההפרש 200 מהמינואנד 543, נקבל 543-200=(500+43)-200= (500-200)+43=30+43=343. מספר זה שווה ל-subtrahend, כך שהחיסור נכון.

הפניות.

מָתֵימָטִיקָה. כל ספרי לימוד לכיתות א', ב', ג', ד' של מוסדות החינוך הכללי.
מָתֵימָטִיקָה. כל ספרי לימוד לכיתה ה' של מוסדות החינוך הכללי.

נושא: "חיסור של מספרים טבעיים".

סוג שיעור : שיעור לשיפור הידע, המיומנויות והיכולות.

מטרות השיעור :

1. חיזוק תכונת החיסור;

2. פתרון בעיות המשתמשות בפעולת החיסור.

3. בדוק את הידע של התלמידים בנושאים הבאים:

א.פתרון בעיות המשתמשות בפעולת החיסור.

ב. הפחתת סכום ממספר, והפחתת מספר מסכום.

4. לפתח את תחומי העניין הקוגניטיביים של התלמידים, חשיבה עצמאית, יכולת לנווט בטקסט של בעיה, דיבור;

מטרות השיעור:

1. חינוכי:

לסכם ידע בנושא "חיסור של מספרים טבעיים";

לחזק את היכולת ליישם את תכונות החיסור בתהליך השלמת משימות;

מעקב אחר רמת הידע, המיומנויות והיכולות של התלמידים בנושא "חיסור של מספרים טבעיים".

2. התפתחותי:

עבודה על פיתוח המנגנון הרעיוני;

לפתח פעילות קוגניטיבית;

לפתח תרבות של פעילויות חינוכיות;

לפתח גישה משמעותית כלפי הפעילויות שלך;

לפתח את היכולת להדגיש את העיקר;

לקדם פיתוח עניין בנושא, ארגון, אחריות;

לפתח חשיבה עצמאית, לראות את הדפוס הכללי ולהסיק מסקנות כלליות.

3. חינוכי:

לטפח גישה אחראית ללמידה;

לטפח את הרצון וההתמדה להשגת תוצאות סופיות;

לטפח ניקיון;

לטפח תרבות של תקשורת.

התקדמות השיעור

א. רגע ארגוני.

אסוף מחברות שיעורי בית. רשום את התאריך, העבודה בכיתה ונושא השיעור במחברות שלך.

II. עדכון ידע בסיסי.

התלמידים מתבקשים לענות על השאלות הבאות.

א) איזו פעולה נקראת חיסור? (פעולה המשתמשת בסכום ובאחד המונחים כדי למצוא מונח אחר)

ב) איך קוראים למספרים בחיסור? (מינואנד, תחבולה והבדל)

ג) איזה מספר נקרא המינואנד? (המספר שממנו יש להחסיר)

ד) איזה מספר נקרא subtrahend? (המספר שנגרע)

ד) איזה מספר נקרא ההפרש? (תוצאה של חיסור)

ו) כיצד ניתן לגלות עד כמה מספר אחד גדול ממספר אחר? (אתה צריך למצוא את ההבדל ביניהם)

ז) כמה תכונות של חיסור יש? נסח אותם, תן דוגמה.

שקול דוגמה: 64 – (5 + 4) =

איך אפשר להגיע לתוצאה?

שני תלמידים מגיעים ללוח ורושמים 2 דרכים לפתור את הדוגמה הזו.

שיטה I: 64 – (5 + 4) = 64 – 9 = 55. שיטה II: (64–4) – 5 = 55

המורה נותן הצהרהג'ורג'אפוליה: « אם אתה רוצה ללמוד לשחות, אז היכנס באומץ למים, ואם אתה רוצה ללמוד איך לפתור בעיות, אז פתור אותן!!»

היום בשיעור נמשיך ללמוד את הנושא "חיסור של מספרים טבעיים" ולנתחבעיות המשתמשות בפעולת החיסור.

אֲנִי אֲנִי I. פתרון בעיות. עבודה עם ספר הלימוד .

ניתן לחלק את כל המשימות בשיעור זה ל-2 קבוצות:

1) № 247, 263.

2) 249, 250, 286, 291.

שישה תלמידים מתחלפים בפתרון בעיות בלוח, שאר התלמידים פותרים את הבעיות הללו במחברות.

בעיה מס' 247.

נְקוּדָהגשוכב על הקטעא.ב. מצא את אורך הקטעא.כ., אםא.ב= 38 ס"מ, וC.B.= 29 ס"מ.

בעיה מס' 263.

אורך מקטעא.בשווה ל-37 ס"מ נקודותגודלשכב על הקטעא.ב, והנקודהדנמצא בין הנקודותגוב. מצא את אורך הקטעCD, אם

א)אС=12 ס"מ,BD=17 ס"מ; ב)מוֹדָעָה=26 ס"מ,C.B.= 18 ס"מ.

בעיה מס' 249.

מכונה אוטומטית אחת ייצרה 1235 חלקים, והשנייה - 1645 חלקים. כמה חלקים נוספים ייצרה המכונה השנייה מהראשונה?

בעיה מס' 250.

96 שקיות תפוחי אדמה נאספו משתי חלקות אדמה. 54 שקיות נאספו מהאתר הראשון. כמה פחות שקיות תפוחי אדמה נאספו מהחלקה השנייה מאשר מהראשונה?

בעיה מס' 286.

נחתכו 37 מ' מחוט דיג כמה מטרים יותר נחתכו בחוט דיג, אם בהתחלה היו 54 מ' של חוט דיג.

בעיה מס' 291.

רכבת הנוסעים מורכבת מ-12 קרונות עם 58 מושבים כל אחד. כמה מושבים ריקים נשארו אם יש 667 נוסעים ברכבת?

IV. דקת חינוך גופני לאצבעות, לעיניים ולגב (שקופית 11 ).

V. עבודה עצמאית (15 דקות). (שקופית 12)

אפשרות I

תכונות של חיסור :

א) (6571 +3455) – 2571; ג) 3457 – (2457 + 349);

ב) (2397 +6831) – 6831; ד) 9522 – (3989 + 4522).

2) דגם מגדל הטלוויזיה מורכב משלושה בלוקים. גובה הבלוק התחתון הוא 1 מ' 35 ס"מ, האמצעי קצר ב-45 ס"מ מהתחתון. מהו גובה הבלוק העליון אם גובה הדגם הוא 4 מ'?

3) בצע את החיסור:

א) 8003565440 – 6989128416; ב) 9000551000 – 8797496.

אפשרות II

1) בצע את השלבים בצורה הפשוטה ביותר באמצעותתכונות של חיסור :

א) (6574 + 3359) – 2359; ג) 5456 – (2456 + 728);

ב) (1234 +2587) – 1234; ד) 8289 – (2623 + 3289).

2) שריון של אביר מימי הביניים שוקל 27 ק"ג 500 גרם, והחרב קלה ב-18 ק"ג 400 גרם. כמה שוקל מגן אם השריון המלא של האביר שוקל 50 ק"ג?