שקול משוואה ריבועית.

בואו נקבע את שורשיו.

אין מספר ממשי שהריבוע שלו הוא -1. אבל אם נגדיר את האופרטור עם נוסחה אֲנִיכיחידה דמיונית, אז ניתן לכתוב את הפתרון למשוואה זו . במקביל ו - מספרים מרוכבים שבהם -1 הוא החלק הממשי, 2 או במקרה השני -2 הוא החלק הדמיוני. החלק הדמיוני הוא גם מספר ממשי. החלק הדמיוני כפול ביחידה הדמיונית אומר כבר מספר דמיוני.

באופן כללי, למספר מרוכב יש את הצורה

ז = x + iy ,

אֵיפֹה x, y– מספרים ממשיים, – יחידה דמיונית. במספר מדעים יישומיים, למשל, בהנדסת חשמל, אלקטרוניקה ותורת האותות, היחידה הדמיונית מסומנת על ידי י. מספרים אמיתיים x = Re(z)ו y=אני(ז)נקראים חלקים אמיתיים ודמיונייםמספרים ז.הביטוי נקרא צורה אלגבריתכתיבת מספר מרוכב.

כל מספר ממשי הוא מקרה מיוחד של מספר מרוכב בטופס . מספר דמיוני הוא גם מקרה מיוחד של מספר מרוכב .

הגדרת קבוצת המספרים המרוכבים C

ביטוי זה כתוב כך: סט עִם, המורכב מאלמנטים כאלה xו yשייכים לקבוצת המספרים הממשיים רוהיא יחידה דמיונית. שימו לב לכך וכו'.

שני מספרים מרוכבים ו שווים אם ורק אם החלקים האמיתיים והדמיוניים שלהם שווים, כלומר. ו.

מספרים ופונקציות מורכבות נמצאים בשימוש נרחב במדע ובטכנולוגיה, בפרט, במכניקה, ניתוח וחישוב של מעגלי זרם חילופין, אלקטרוניקה אנלוגית, בתיאוריה ובעיבוד של אותות, בתורת הבקרה האוטומטית ובמדעים יישומיים אחרים.

1. אריתמטיקה של מספרים מורכבים

חיבור של שני מספרים מרוכבים מורכב מהוספת החלקים הממשיים והדמיוניים שלהם, כלומר.

בהתאם, ההפרש של שני מספרים מרוכבים

מספר מורכב נִקרָא באופן מקיף לְהַטוֹתמִספָּר z =x+iy.

מספרים מצומדים מורכבים z ו-z * נבדלים בסימנים של החלק הדמיוני. זה ברור ש

.

כל שוויון בין ביטויים מורכבים נשאר תקף אם בכל מקום בשוויון זה אֲנִילהחליף עם - אֲנִי, כלומר עבור אל השוויון של מספרים מצומדים. מספרים אֲנִיו – אֲנִילא ניתן להבחין מבחינה אלגברית, שכן .

ניתן לחשב את המכפלה (הכפל) של שני מספרים מרוכבים באופן הבא:

חלוקה של שני מספרים מרוכבים:

דוּגמָה:

1. מטוס מורכב

מספר מרוכב יכול להיות מיוצג בצורה גרפית במערכת קואורדינטות מלבנית. הבה נגדיר מערכת קואורדינטות מלבנית במישור (x, y).

על הציר שׁוֹראנו נמקם את החלקים האמיתיים x, זה נקרא ציר אמיתי (אמיתי)., על הציר אוי-חלקים דמיוניים yמספרים מרוכבים. זה נקרא ציר דמיוני. במקרה זה, כל מספר מרוכב מתאים לנקודה מסוימת במישור, ומישור כזה נקרא מטוס מורכב. נְקוּדָה אהמישור המורכב יתאים לווקטור OA.

מִספָּר xנִקרָא אבשיסהמספר מרוכב, מספר y – להסדיר.

זוג מספרים מצומדים מורכבים מיוצג על ידי נקודות הממוקמות באופן סימטרי על הציר האמיתי.

אם במטוס קבענו מערכת קואורדינטות קוטבית, ואז כל מספר מרוכב זנקבע על ידי קואורדינטות קוטביות. במקביל מודולמספרים הוא הרדיוס הקוטבי של הנקודה, והזווית - הזווית הקוטבית או ארגומנט המספר המרוכב שלו ז.

מודולוס של מספר מרוכב תמיד לא שלילי. הארגומנט של מספר מרוכב אינו נקבע באופן ייחודי. הערך העיקרי של הטיעון חייב לעמוד בתנאי . כל נקודה במישור המורכב מתאימה גם לערך הכללי של הטיעון. טיעונים שנבדלים ביניהם בכפולה של 2π נחשבים שווים. ארגומנט המספר אפס אינו מוגדר.

הערך העיקרי של הארגומנט נקבע על ידי הביטויים:

זה ברור ש

במקביל
, .

ייצוג מספר מורכב זבטופס

נִקרָא צורה טריגונומטריתמספר מרוכב.

דוּגמָה.

1. צורה אקספוננציאלית של מספרים מרוכבים

פירוק ב סדרת מקלאוריןעבור פונקציות ארגומנט אמיתיות יש את הצורה:

עבור פונקציה אקספוננציאלית עם ארגומנט מורכב זהפירוק דומה

.

ניתן לייצג את הרחבת סדרת Maclaurin עבור הפונקציה המעריכית של הארגומנט הדמיוני

הזהות המתקבלת נקראת הנוסחה של אוילר.

לטיעון שלילי יש את הצורה

על ידי שילוב ביטויים אלה, תוכל להגדיר את הביטויים הבאים עבור סינוס וקוסינוס

.

שימוש בנוסחה של אוילר, מהצורה הטריגונומטרית של ייצוג מספרים מרוכבים

ניתן להשיג מְעִיד עַלצורה (אקספוננציאלית, קוטבית) של מספר מרוכב, כלומר. הייצוג שלו בצורה

,

אֵיפֹה - קואורדינטות קוטביות של נקודה עם קואורדינטות מלבניות ( x,y).

הצימוד של מספר מרוכב נכתב בצורה אקספוננציאלית באופן הבא.

עבור צורה אקספוננציאלית, קל לקבוע את הנוסחאות הבאות להכפלה וחלוקה של מספרים מרוכבים

כלומר, בצורה אקספוננציאלית, המכפלה והחלוקה של מספרים מרוכבים פשוטים יותר מאשר בצורה אלגברית. בעת הכפלה, מוכפלים המודולים של הגורמים, ומוסיפים את הארגומנטים. כלל זה חל על כל מספר גורמים. בפרט, כאשר מכפילים מספר מרוכב זעַל אֲנִיוֶקטוֹר זמסתובב נגד כיוון השעון 90

בחילוק, מודול המונה מחולק במודול המכנה, והארגומנט של המכנה מופחת מהארגומנט של המונה.

באמצעות הצורה האקספוננציאלית של מספרים מרוכבים, נוכל לקבל ביטויים עבור הזהויות הטריגונומטריות הידועות. למשל מהזהות

בעזרת הנוסחה של אוילר נוכל לכתוב

השוואת החלקים הממשיים והדמיוניים בביטוי זה, נקבל ביטויים לקוסינוס וסינוס של סכום הזוויות

1. חזקות, שורשים ולוגריתמים של מספרים מרוכבים

העלאת מספר מרוכב לעוצמה טבעית נמיוצר על פי הנוסחה

דוּגמָה. בוא נעשה חישוב .

בואו נדמיין מספר בצורה טריגונומטרית

’

יישום נוסחת האקספונציה, נקבל

על ידי הכנסת הערך בביטוי ר= 1, נקבל את מה שנקרא הנוסחה של מויברה, שבאמצעותו אתה יכול לקבוע ביטויים עבור הסינוסים והקוסינוסים של זוויות מרובות.

שׁוֹרֶשׁ נ-חזק של מספר מרוכב זיש נערכים שונים שנקבעו על ידי הביטוי

דוּגמָה. בוא נמצא את זה.

לשם כך, אנו מבטאים את המספר המרוכב () בצורה טריגונומטרית

.

באמצעות הנוסחה לחישוב השורש של מספר מרוכב, אנו מקבלים

לוגריתם של מספר מרוכב ז- זה המספר w, עבורו . ללוגריתם הטבעי של מספר מרוכב יש מספר אינסופי של ערכים והוא מחושב לפי הנוסחה

מורכב מחלק אמיתי (קוסינוס) ודמיוני (סינוס). מתח זה יכול להיות מיוצג כווקטור של אורך אממ, שלב ראשוני (זווית), מסתובב במהירות זוויתית ω .

יתרה מכך, אם מתווספות פונקציות מורכבות, אז מתווספים החלקים האמיתיים והדמיוניים שלהן. אם פונקציה מורכבת מוכפלת בפונקציה קבועה או ממשית, אז החלקים הממשיים והדמיונים שלה מוכפלים באותו גורם. בידול/אינטגרציה של פונקציה מורכבת כזו מסתכם בבידול/אינטגרציה של החלקים האמיתיים והדמיוניים.

למשל, הבחנה בביטוי המתח המורכב

זה להכפיל אותו ב iω הוא החלק האמיתי של הפונקציה f(z), ו – חלק דמיוני של הפונקציה. דוגמאות: .

מַשְׁמָעוּת זמיוצג על ידי נקודה במישור z המורכב, והערך המתאים w- נקודה במישור המורכב w. כאשר מוצג w = f(z)קווי מטוס זלהפוך לקווי מישור w, דמויות של מישור אחד לדמויות של אחר, אבל הצורות של הקווים או הדמויות יכולות להשתנות באופן משמעותי.