גֵאוֹמֶטרִיָה

סעיף II. סטריאומטריה

§22. כַּדוּר. כַּדוּר.

1. הגדרה של כדור וכדור. אלמנטים של כדור וכדור.

כדור הוא גוף גיאומטרי שנוצר מסיבוב של מעגל סביב ציר המכיל את קוטרו (איור 500).

מרכז המעגל המסתובב נקרא מרכז הכדור, רדיוס המעגל הוא רדיוס הכדור, וקוטר המעגל הוא קוטר הכדור. באיור 500, נקודה O היא מרכז הכדור, OA ו-OB הם הרדיוסים של הכדור, ו-AB הוא קוטר הכדור.

פני השטח של כדור נקראים כדור.

המרכז, הרדיוס והקוטר של כדור הם גם המרכז, הרדיוס והקוטר של כדור.

כל נקודות הכדור נמצאות באותו מרחק, שווה לרדיוס, ממרכז הכדור. נקודות אחרות על הכדור שאינן שייכות לכדור נקראות נקודות פנימיות, ונאמר שנקודות כאלה שוכנות בתוך הכדור. הנקודות הפנימיות של הכדור הן ממרכז הכדור במרחק הקטן מהרדיוס.

כך אנו מגיעים להגדרה נוספת של כדור וכדור.

כדור הוא משטח המורכב מכל הנקודות במרחב שנמצאות במרחק שווה מאותה נקודה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק ממרכז הכדור לכל אחת מנקודותיו נקרא רדיוס הכדור.

כדור הוא גוף גיאומטרי המורכב מכל הנקודות במרחב הממוקמות במרחק שאינו גדול מנתון מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הזה נקרא רדיוס הכדור.

דוגמא. רדיוס הכדור הוא 3.5 ס"מ. נקודה A ממוקמת בתוך או מחוץ לכדור אם היא רחוקה ממרכז הכדור: 1) ס"מ, 2)ס"מ.

כששואלים אנשים את השאלה במה שונה כדור מכדור, רבים פשוט מושכים בכתפיים, מתוך מחשבה שהם למעשה אותו דבר (אנלוגיה למעגל ולעיגול). אכן, האם כולנו מכירים היטב את הגיאומטריה מתכנית הלימודים בבית הספר ויכולים לענות מיד על שאלה זו? לכדור יש כמה הבדלים מהכדור, שלא רק תלמידי בית ספר צריכים לדעת כדי לקבל ציון טוב על הידע המופגן שלהם, אלא גם אנשים רבים אחרים, למשל, שעבודתם קשורה ישירות לציורים.

הַגדָרָה

כַּדוּרהוא מכלול כל הנקודות במרחב. כל הנקודות הללו נמצאות ממרכז הגוף הגיאומטרי במרחק שאינו גדול מזה שצוין. המרחק הזה עצמו נקרא הרדיוס. כדור, כגוף גיאומטרי, נוצר באופן הבא: חצי עיגול מסתובב סביב קוטרו. לגבי הכדור, זה פני השטח של הכדור (לדוגמה, כדור סגור כולל אותו, פתוח לא). חישוב שטח או נפח של כדור הוא נוסחה גיאומטרית שלמה שהיא מורכבת מאוד, למרות הפשטות לכאורה של הדמות הגאומטרית עצמה.

כַּדוּר, כפי שצוין לעיל, הוא פני השטח של הכדור, הקליפה שלו. כל הנקודות במרחב נמצאות במרחק שווה ממרכז הכדור. באשר לרדיוס של גוף גיאומטרי, הוא נקרא כל קטע, שנקודה אחת שלו היא ישירות מרכז הכדור, והשנייה יכולה להיות ממוקמת בכל נקודה על פני השטח. אנו יכולים לומר שהכדור הוא מעטפת הכדור ללא כל תוכן (דוגמאות ספציפיות יותר יובאו להלן). בדיוק כמו כדור, כדור הוא גוף של מהפכה. אגב, רבים תוהים גם מה ההבדל בין עיגול למעגל מכדור ומכדור. הכל פשוט כאן: במקרה הראשון, מדובר בדמויות על מטוס, במקרה השני - בחלל.

השוואה

כבר נאמר שהכדור הוא פני הכדור, מה שכבר מאפשר לדבר על סימן משמעותי אחד להבדל. ההבדל בין שני הגופים הגיאומטריים נצפה גם בהיבטים אחרים:

• כל נקודות הכדור נמצאות באותו מרחק מהמרכז, בעוד הגוף מוגבל על ידי פני השטח (כדור שריק בפנים). במילים אחרות, הכדור חלול. בדרך כלל, כדי להקל על ההבנה, ניתנת דוגמה פשוטה עם בלון וכדור ביליארד. שני החפצים הללו נקראים כדורים, אך במקרה הראשון עסקינן בכדור, ובמקרה השני בכדור מן המניין שתכולתו בפנים.
• לכדור יש שטח משלו, אבל אין לו נפח. לכדור, לעומת זאת, יש נפח שניתן לחישוב, בעוד שאין לו שטח. מישהו יכול לומר שזהו הסימן העיקרי להבדל, אבל הוא מופיע רק אם יש צורך לבצע כמה חישובים (נוסחאות גיאומטריות מורכבות). לכן, ההבדל העיקרי הוא שהכדור חלול, והכדור הוא גוף עם תוכן בתוכו.
• הבדל נוסף טמון ברדיוס. לדוגמה, הרדיוס של כדור הוא לא רק המרחק של נקודות למרכז. כל קטע המחבר בין נקודה בכדור למרכזה יכול להיקרא רדיוס. כל הקטעים הללו שווים זה לזה. לגבי הכדור, הנקודות השוכנות בתוכו רחוקות פחות מרדיוס מהמרכז (דווקא בגלל הכדור התוחם אותו).

אתר ממצאים

1. כדור הוא חלול, בעוד שכדור הוא מוצק מלא מבפנים. לדוגמה, בלון הוא כדור, כדור ביליארד הוא כדור מן המניין.
2. לכדור יש שטח ואין נפח, בעוד שכדור עושה את ההיפך.
3. ההבדל השלישי הוא מדידת הרדיוס של שני גופים גיאומטריים.

בפרק ב' נמשיך ב"בניית גיאומטריה" ונדבר על המבנה והתכונות של הדמויות המרחביות החשובות ביותר - כדור וכדור, גלילים וחרוטים, מנסרות ופירמידות. רוב העצמים שנוצרו בידי אדם הם בניינים, מכוניות, רהיטים, כלים וכו' וכו' מורכבים מחלקים בעלי צורה של דמויות אלה.

§ 4. כדור וכדור

אחרי קווים ישרים ומישורים, הכדור והכדור הם הפשוטים ביותר, אך חשובים מאוד ועשירים בתכונות שונות של דמויות מרחביות. ספרים שלמים נכתבו על התכונות הגיאומטריות של כדור ועל פני השטח שלו - כדור. חלק מהמאפיינים הללו היו ידועים כבר לגיאומטרים היוונים הקדומים, וחלקם נמצאו ממש לאחרונה, בשנים האחרונות. תכונות אלו (יחד עם חוקי מדעי הטבע) מסבירות מדוע, למשל, לגרמי שמיים ולביצי דגים יש צורה של כדור, מדוע כדורי כדור וכדורי כדורגל עשויים בצורת כדור, מדוע מיסבים כדוריים נפוצים כל כך ב טכנולוגיה וכו'. אנחנו יכולים רק להוכיח את התכונות הפשוטות ביותר של כדור. הוכחת תכונות אחרות, אם כי חשובות מאוד, דורשת לעתים קרובות שימוש בשיטות שאינן אלמנטריות כלל, אם כי הניסוחים של מאפיינים כאלה יכולים להיות פשוטים מאוד: למשל, בין כל הגופים בעלי שטח פנים נתון, לכדור יש את הנפח הגדול ביותר.

4.1. הגדרות של כדור וכדור.

כדור וכדור מוגדרים במרחב בדיוק באותו אופן כמו מעגל ומעגל במישור. כדור הוא דמות המורכבת מכל הנקודות במרחב המרוחקות מנתון

הצבע על אותו מרחק (חיובי).

נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק נקרא הרדיוס שלה (איור 4.1).

אז, כדור עם מרכז O ורדיוס R הוא דמות שנוצרה על ידי כל הנקודות X של החלל עבורה

כדור הוא דמות שנוצרת מכל הנקודות במרחב שנמצאות במרחק שאינו גדול ממרחק נתון (חיובי) מנקודה נתונה. נקודה זו נקראת מרכז הכדור, והמרחק הזה נקרא הרדיוס שלה.

אז, כדור עם מרכז O ורדיוס R הוא דמות שנוצרה על ידי כל הנקודות X של החלל עבור אשר

אותן נקודות X של הכדור עם מרכז O ורדיוס R שעבורן הן יוצרות כדור. אומרים שכדור זה תוחם את הכדור הנתון, או שהוא פני השטח שלו.

בערך אותן נקודות X של הכדור, שעבורן אנו אומרים שהן שוכבות בתוך הכדור.

רדיוס הכדור (והכדור) נקרא לא רק המרחק, אלא גם כל קטע המחבר את המרכז עם נקודת הכדור.

הכדור והכדור הם בעיקר דמויות גיאומטריות, ואם הכדור הוא גוף גיאומטרי, אז הכדור הוא פני השטח של הכדור. נתונים אלה היו מעניינים לפני אלפי שנים לפני הספירה.

לאחר מכן, כאשר התגלה שכדור הארץ הוא כדור, והשמים הם כדור שמימי, פותח כיוון מרתק חדש בגיאומטריה - גיאומטריה על כדור או גיאומטריה כדורית. כדי לדבר על גודל ונפח של כדור, תחילה עליך להגדיר אותו.

כַּדוּר

כדור ברדיוס R שמרכזו בנקודה O בגיאומטריה נקרא גוף שנוצר מכל הנקודות במרחב שיש להן תכונה משותפת. נקודות אלו ממוקמות במרחק שאינו עולה על רדיוס הכדור, כלומר ממלאות את כל החלל פחות מרדיוס הכדור לכל הכיוונים ממרכזו. אם ניקח בחשבון רק את הנקודות שנמצאות במרחק שווה ממרכז הכדור, נשקול את פני השטח שלו או את מעטפת הכדור.

איך אני יכול להשיג כדור? אנחנו יכולים לגזור עיגול מנייר ולהתחיל לסובב אותו סביב הקוטר שלו. כלומר, קוטר המעגל יהיה ציר הסיבוב. דמות משכילה תהיה כדור. לכן, הכדור נקרא גם גוף המהפכה. כי זה יכול להיווצר על ידי סיבוב של דמות שטוחה - עיגול.

בוא ניקח איזה מטוס ונחתוך איתו את הכדור שלנו. בדיוק כמו שחתכנו תפוז בסכין. החתיכה שאנו חותכים מהכדור נקראת קטע הכדור.

ביוון העתיקה, הם ידעו לא רק לעבוד עם כדור וכדור, כמו עם דמויות גיאומטריות, למשל, להשתמש בהם בבנייה, אלא גם לדעת לחשב את שטח הפנים של הכדור ואת הנפח של כדור.

כדור הוא שם אחר לפני השטח של כדור. כדור אינו גוף - הוא פני השטח של גוף מהפכה. עם זאת, מכיוון שגם לכדור הארץ וגם לגופים רבים יש צורה כדורית, כמו טיפת מים, חקר היחסים הגיאומטריים בתוך הכדור הפך לנפוץ.

לדוגמה, אם נחבר שתי נקודות של הכדור ביניהן על ידי קו ישר, אז הקו הישר הזה ייקרא אקורד, ואם אקורד זה עובר דרך מרכז הכדור, החופף למרכז הכדור, אז האקורד ייקרא קוטר הכדור.

אם נצייר קו ישר שנוגע בכדור בנקודה אחת בלבד, אזי זה ייקרא משיק. בנוסף, משיק זה לכדור בנקודה זו יהיה מאונך לרדיוס הכדור הנמשך לנקודת המשיק.

אם נמשיך את האקורד לקו ישר בכיוון אחד והשני מהכדור, אז האקורד הזה ייקרא סקאנט. או שאתה יכול לומר אחרת - הסקאנט לכדור מכיל את האקורד שלו.

נפח כדור

הנוסחה לחישוב נפח של כדור היא:

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

אם אתה צריך למצוא את הנפח של מקטע כדורי, השתמש בנוסחה:

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h הוא גובה המקטע הכדורי.

שטח פנים של כדור או כדור

כדי לחשב את שטח הכדור או שטח הפנים של כדור (הם זהים):

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

ארכימדס אהב מאוד את הכדור ואת הכדור, הוא אפילו ביקש להשאיר ציור על קברו, שבו רשום כדור בגליל. ארכימדס האמין שנפח הכדור ומשטחו שווים לשני שליש מנפחו ומשטחו של הגליל שבו כתובה הכדור.

הַגדָרָה.

כַּדוּר (משטח כדור) הוא אוסף כל הנקודות במרחב התלת מימדי שנמצאות באותו מרחק מנקודה אחת, הנקראת מרכז הכדור(O).

ניתן לתאר כדור כדמות תלת מימדית שנוצרת על ידי סיבוב של מעגל סביב קוטרו ב-180° או חצי עיגול סביב קוטרו ב-360°.

הַגדָרָה.

כַּדוּרהוא אוסף כל הנקודות במרחב התלת מימדי, שהמרחק מהן אינו עולה על מרחק מסוים לנקודה הנקראת מרכז כדור(O) (קבוצה של כל הנקודות של מרחב תלת מימדי התחום על ידי כדור).

ניתן לתאר כדור כדמות תלת מימדית, שנוצרת על ידי סיבוב מעגל סביב קוטרו ב-180 מעלות או חצי עיגול סביב קוטרו ב-360 מעלות.

הַגדָרָה. רדיוס כדור (כדור).(R) הוא המרחק ממרכז הכדור (כדור) Oלכל נקודה של הכדור (משטח הכדור).

הַגדָרָה. קוטר כדור (כדור).(D) הוא קטע המחבר בין שתי נקודות של הכדור (פני השטח של הכדור) ועובר במרכזו.

נוּסחָה. נפח כדור:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

נוּסחָה. שטח פנים של כדורדרך רדיוס או קוטר:

S = 4π R 2 = π D 2

משוואת כדור

1. משוואת כדור עם רדיוס R ומרכז במקור מערכת הקואורדינטות הקרטזית:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. משוואת כדור עם רדיוס R ומרכז בנקודה עם קואורדינטות (x 0 , y 0 , z 0) במערכת הקואורדינטות הקרטזית:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

הַגדָרָה. נקודות מנוגדות בצורה דימטריתהן כל שתי נקודות על פני הכדור (כדור) המחוברות בקוטר.

תכונות בסיסיות של כדור וכדור

1. כל נקודות הכדור מרוחקות באותה מידה מהמרכז.

2. כל קטע של כדור על ידי מישור הוא מעגל.

3. כל קטע של כדור על ידי מישור הוא מעגל.

4. לכדור יש את הנפח הגדול ביותר מבין כל הדמויות המרחביות בעלות אותו שטח פנים.

5. דרך כל שתי נקודות הפוכות בקוטר, ניתן לצייר עיגולים רבים וגדולים לכדור או עיגולים לכדור.

6. דרך כל שתי נקודות, למעט נקודות הפוכות בקוטר, אפשר לצייר רק עיגול אחד גדול לכדור או עיגול גדול לכדור.

7. כל שני מעגלים גדולים של כדור אחד נחתכים לאורך קו ישר העובר במרכז הכדור, והמעגלים נחתכים בשתי נקודות הפוכות בקוטר.

8. אם המרחק בין מרכזים של שני כדורים כלשהם קטן מסכום הרדיוסים שלהם וגדול ממודלוס ההפרש בין הרדיוסים שלהם, אז כדורים כאלה לְהִצְטָלֵב, ונוצר מעגל במישור החיתוך.

הגזרה, אקורד, מישור הסקאנט של הכדור ותכונותיהם

הַגדָרָה. גזרת הספירותהוא קו ישר החותך את הכדור בשתי נקודות. נקודות החיתוך נקראות נקודות ניקובמשטח או נקודות כניסה ויציאה על פני השטח.

הַגדָרָה. אקורד של כדור (כדור)הוא קטע המחבר בין שתי נקודות של כדור (פני השטח של כדור).

הַגדָרָה. מטוס חיתוךהוא המישור החותך את הכדור.

הַגדָרָה. מישור קוטרלי- זהו מישור חותך העובר דרך מרכז כדור או כדור, החתך נוצר, בהתאמה מעגל גדולו מעגל גדול. למעגל הגדול ולמעגל הגדול יש מרכז החופף למרכז הכדור (כדור).

כל אקורד שעובר במרכז הכדור (כדור) הוא קוטר.

אקורד הוא קטע של קו סקנט.

המרחק d ממרכז הכדור לסקאנט קטן תמיד מרדיוס הכדור:

ד< R

המרחק m בין מישור החיתוך למרכז הכדור תמיד קטן מהרדיוס R:

M< R

הקטע של מטוס החיתוך על הכדור תמיד יהיה מעגל קטן, ועל הכדור הקטע יהיה עיגול קטן. למעגל קטן ולעיגול קטן יש את המרכזים שלהם שאינם חופפים למרכז הכדור (כדור). ניתן למצוא את הרדיוס r של מעגל כזה על ידי הנוסחה:

r \u003d √ R 2 - m2,

כאשר R הוא רדיוס הכדור (כדור), m הוא המרחק ממרכז הכדור למישור החיתוך.

הַגדָרָה. חצי כדור (חצי כדור)- זהו חצי מהכדור (כדור), שנוצר כאשר הוא נחתך על ידי מישור קוטרלי.

מישור משיק, משיק לכדור ותכונותיהם

הַגדָרָה. טנג'נט לכדורהוא קו ישר הנוגע בכדור בנקודה אחת בלבד.

הַגדָרָה. מטוס טנגנטי לכדורהוא מישור שנוגע בכדור בנקודה אחת בלבד.

קו המשיק (מישור) תמיד מאונך לרדיוס הכדור הנמשך לנקודת המגע

המרחק ממרכז הכדור לקו המשיק (מישור) שווה לרדיוס הכדור.

הַגדָרָה. קטע כדור- זהו החלק של הכדור שמנותק מהכדור על ידי מטוס חיתוך. עמוד השדרה של הקטעלקרוא למעגל שנוצר באתר המדור. גובה המקטע h הוא אורך האנך הנמשך מאמצע בסיס הקטע אל פני הקטע.

נוּסחָה. שטח פנים חיצוני של קטע כדורעם גובה h במונחים של רדיוס כדור R:

S = 2π Rh