מודול מספר אהוא המרחק מהמקור לנקודה א(א).
כדי להבין את ההגדרה הזו, בואו נחליף את המשתנה אכל מספר, למשל 3 ונסה לקרוא אותו שוב:
מודול מספר 3 הוא המרחק מהמקור לנקודה א(3 ).
מתברר שהמודול הוא לא יותר ממרחק רגיל. בואו ננסה לראות את המרחק מהמקור לנקודה A( 3 )
מרחק מהמקור לנקודה A( 3 ) שווה ל-3 (שלוש יחידות או שלושה שלבים).
המודול של מספר מסומן על ידי שני קווים אנכיים, למשל:
המודולוס של המספר 3 מסומן באופן הבא: |3|
המודולוס של המספר 4 מסומן באופן הבא: |4|
המודולוס של המספר 5 מסומן באופן הבא: |5|
חיפשנו את המודולוס של המספר 3 וגילינו שהוא שווה ל-3. אז נכתוב אותו:
קוראים כמו: "המודלוס של המספר שלוש הוא שלוש"
כעת ננסה למצוא את המודולוס של המספר -3. שוב, נחזור להגדרה ונחליף בתוכה את המספר -3. רק במקום נקודה אלהשתמש בנקודה חדשה ב. סוֹף פָּסוּק אכבר השתמשנו בדוגמה הראשונה.
מודול המספר - 3 הוא המרחק מהמקור לנקודה ב(—3 ).
המרחק מנקודה אחת לאחרת לא יכול להיות שלילי. לכן, גם המודולוס של כל מספר שלילי, בהיותו מרחק, לא יהיה שלילי. המודולוס של המספר -3 יהיה המספר 3. גם המרחק מהמוצא לנקודה B(-3) שווה לשלוש יחידות:
קוראים כמו: "המודלוס של מינוס שלוש הוא שלוש."
המודולוס של המספר 0 שווה ל-0, שכן הנקודה עם קואורדינטה 0 חופפת למקור הקואורדינטות, כלומר. מרחק ממקור לנקודה O(0)שווה לאפס:
"מודול האפס הוא אפס"
אנו מסיקים מסקנות:
- המודולוס של מספר אינו יכול להיות שלילי;
- עבור מספר חיובי ואפס, המודולוס שווה למספר עצמו, ולמספר שלילי - המספר ההפוך;
- למספרים מנוגדים יש מודולים שווים.
מספרים הפוכים
מספרים שנבדלים רק בסימנים נקראים מוּל. לדוגמה, המספרים −2 ו-2 הם הפכים. הם שונים רק בסימנים. למספר −2 יש סימן מינוס, ול-2 יש סימן פלוס, אבל אנחנו לא רואים אותו, כי פלוס, כפי שאמרנו קודם, באופן מסורתי לא כתוב.
דוגמאות נוספות למספרים מנוגדים:
למספרים מנוגדים יש מודולים שווים. לדוגמה, בוא נמצא את המודולים עבור −2 ו-2
האיור מראה שהמרחק מהמקור לנקודות A(−2)ו B(2)שווה שווה לשני שלבים.
אהבתם את השיעור?
הצטרף לקבוצת VKontakte החדשה שלנו והתחל לקבל הודעות על שיעורים חדשים
מחשבון מתמטיקה מקוון זה יעזור לך לפתור משוואה או אי שוויון עם מודולים. תוכנית עבורפתרון משוואות ואי-שוויון עם מודולים לא רק נותן את התשובה לבעיה, זה מובילפתרון מפורט עם הסברים
, כלומר מציג את תהליך השגת התוצאה.
תוכנית זו יכולה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון בבתי ספר לחינוך כללי בעת הכנה למבחנים ומבחנים, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, ולהורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה.
או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרונות מפורטים.כך תוכלו לערוך בעצמכם הכשרה ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הצעירים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום פתרון הבעיות.
הזן משוואה או אי שוויון עם מודולים
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
פתור משוואה או אי שוויון
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.
JavaScript מושבת בדפדפן שלך.
כדי שהפתרון יופיע, עליך להפעיל JavaScript.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך. כִּי יש הרבה אנשים שמוכנים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך הועמדה בתור.
תוך מספר שניות הפתרון יופיע למטה. אנא המתןשניה...
אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על כך בטופס המשוב. אל תשכח.
לציין איזו משימה
אתה מחליט מה
הזן בשדות
המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:
קצת תיאוריה. 
משוואות ואי-שוויון עם מודולים
אם \(a \geq 0 \), אז \(|a|=a \);
if \(a ככלל, משוואה (אי-שוויון) עם מודולים מצטמצמת לקבוצה של משוואות (אי-שוויון) שאינן מכילות את סימן המודול.
בנוסף להגדרה לעיל, נעשה שימוש בהצהרות הבאות:
1) אם \(c > 0\), אז המשוואה \(|f(x)|=c \) שווה ערך לקבוצת המשוואות: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) אם \(c > 0 \), אז אי השוויון \(|f(x)| 3) אם \(c \geq 0 \), אז אי השוויון \(|f(x)| > c \) הוא שווה ערך לקבוצת אי-שוויון: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) אם שני הצדדים של אי השוויון \(f(x) דוגמה 1. פתרו את המשוואה \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).
אם \(x-1 \geq 0\), אז \(|x-1| = x-1\) והמשוואה הנתונה לובשת את הצורה
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
אם \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
לפיכך, יש לשקול את המשוואה הנתונה בנפרד בכל אחד משני המקרים המצוינים.
1) תן \(x-1 \geq 0 \), כלומר. \(x\geq 1\). מהמשוואה \(x^2 +2x -8 = 0\) נמצא \(x_1=2, \; x_2=-4\).
התנאי \(x \geq 1 \) מתקיים רק על ידי הערך \(x_1=2\).
2) תן \(x-1 תשובה: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
דוגמה 2. פתרו את המשוואה \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).דרך ראשונה
(הרחבת מודול בהגדרה).
בהיגיון כמו בדוגמה 1, אנו מגיעים למסקנה שיש לשקול את המשוואה הנתונה בנפרד אם מתקיימים שני תנאים: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) או \(x^2-6x+7
1) אם \(x^2-6x+7 \geq 0 \), אז \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) והמשוואה הנתונה לובשת את הצורה \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). לאחר שנפתר את המשוואה הריבועית הזו, נקבל: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
בואו נגלה האם הערך \(x_1=6\) עומד בתנאי \(x^2-6x+7 \geq 0\). לשם כך, החלף את הערך המצוין באי השוויון הריבועי. נקבל: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), כלומר. \(7 \geq 0 \) הוא אי שוויון אמיתי.
2) אם \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) עומד בתנאי \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) אינו עומד בתנאי התנאי \ (x^2-6x+7 אז, למשוואה הנתונה יש שני שורשים: \(x=6, \; x=3 \).
דרך שניה.אם המשוואה ניתנת \(|f(x)| = h(x) \), אז עם \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
שתי המשוואות הללו נפתרו לעיל (באמצעות השיטה הראשונה לפתרון המשוואה הנתונה), השורשים שלהן הם כדלקמן: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). התנאי \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) של ארבעת הערכים הללו מתקיים רק בשניים: 6 ו-3. המשמעות היא שלמשוואה הנתונה יש שני שורשים: \(x=6 , \; x=3 \ ).
דרך שלישית(גרָפִי).
1) בוא נבנה גרף של הפונקציה \(y = |x^2-6x+7| \). ראשית, בואו נבנה פרבולה \(y = x^2-6x+7\).
יש לנו \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). ניתן לקבל את הגרף של הפונקציה \(y = (x-3)^2-2\) מהגרף של הפונקציה \(y = x^2\) על ידי הזזה של 3 יחידות קנה מידה ימינה (לאורך ציר x) ו-2 יחידות קנה מידה למטה (לאורך ציר ה-y).
הישר x=3 הוא ציר הפרבולה שאנו מעוניינים בה. כנקודות בקרה לשרטוט מדויק יותר, נוח לקחת את הנקודה (3; -2) - קודקוד הפרבולה, נקודה (0; 7) ונקודה (6; 7) סימטריות אליה ביחס לציר הפרבולה. .
כדי לבנות כעת גרף של הפונקציה \(y = |x^2-6x+7| \), עליך להשאיר ללא שינוי את החלקים של הפרבולה הבנויה שנמצאים לא מתחת לציר ה-x, ולשקף את החלק הזה של פרבולה שנמצאת מתחת לציר x ביחס לציר x.
2) בואו נבנה גרף של הפונקציה הליניארית \(y = \frac(5x-9)(3)\). נוח לקחת נקודות (0; –3) ו-(3; 2) כנקודות בקרה.חשוב שנקודת ה-x = 1.8 של חיתוך הישר עם ציר האבססיס ממוקמת מימין לנקודת החיתוך השמאלית של הפרבולה עם ציר האבססיס - זו הנקודה \(x=3-\ sqrt(2) \) (מאז \(3-\sqrt(2 ) 3) אם לשפוט לפי השרטוט, הגרפים מצטלבים בשתי נקודות - A(3; 2) ו-B(6; 7). החלפת האבססיס של אלה נקודות x = 3 ו- x = 6 למשוואה הנתונה, אנו משוכנעים שבשני המקרים, מתקבל השוויון המספרי הנכון. זה אומר שההשערה שלנו אוששה - למשוואה יש שני שורשים: x = 3 x = 6. תשובה: 3;
הֶעָרָה
דוגמה 2. פתרו את המשוואה \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
. השיטה הגרפית, על כל האלגנטיות שלה, אינה אמינה במיוחד. בדוגמה שנחשבה, זה עבד רק בגלל ששורשי המשוואה הם מספרים שלמים.
שקול את המרווח הראשון: \((-\infty; \; -3) \).
אם x שקול את המרווח השני: \([-3; \; 2) \).
אם \(-3 \leq x שקול את המרווח השלישי: \()