במאמר זה נתעכב בפירוט על אחד המושגים הראשוניים של הגיאומטריה - הרעיון של קו ישר במישור. ראשית, הבה נגדיר את המונחים והכינויים הבסיסיים. לאחר מכן, נדון במיקום היחסי של ישר ונקודה, וכן של שני קווים במישור, ונציג את האקסיומות הדרושות. לסיכום, נשקול דרכים להגדרת קו ישר במישור ונספק איורים גרפיים.

ניווט בדף.

קו ישר במישור הוא מושג.

לפני מתן מושג של קו ישר במטוס, עליך להבין בבירור מהו מטוס. מושג של מטוסמאפשר לך להשיג, למשל, משטח שטוח על שולחן או על קיר בית. עם זאת, יש לזכור כי מידות השולחן מוגבלות, והמישור משתרע מעבר לגבולות אלו עד אינסוף (כאילו יש לנו שולחן גדול באופן שרירותי).

אם ניקח עיפרון מושחז היטב ונגע בקצהו אל פני השטח של "השולחן", נקבל תמונה של נקודה. ככה אנחנו מקבלים ייצוג של נקודה במישור.

עכשיו אתה יכול לעבור ל הרעיון של קו ישר במישור.

מניחים דף נייר נקי על משטח השולחן (על מטוס). על מנת לצייר קו ישר, עלינו לקחת סרגל ולשרטט קו בעיפרון עד שגודל הסרגל וגיליון הנייר בו אנו משתמשים מאפשרים לנו לעשות. יש לציין שבדרך זו נקבל רק חלק מהשורה. אנחנו יכולים רק לדמיין קו ישר שלם המשתרע אל האינסוף.

המיקום היחסי של קו ונקודה.

אנחנו צריכים להתחיל עם האקסיומה: יש נקודות בכל קו ישר ובכל מישור.

נקודות מסומנות בדרך כלל באותיות לטיניות גדולות, למשל, נקודות A ו-F. בתורו, קווים ישרים מסומנים באותיות לטיניות קטנות, למשל, קווים ישרים a ו-d.

אֶפשָׁרִי שתי אפשרויות למיקום היחסי של קו ונקודה במישור: או שהנקודה שוכנת על הישר (במקרה הזה גם אומרים שהקו עובר דרך הנקודה), או שהנקודה לא שוכנת על הקו (אומרים גם שהנקודה לא שייכת לישר או ל- קו לא עובר דרך הנקודה).

כדי לציין שנקודה שייכת לקו מסוים, השתמש בסמל "". לדוגמה, אם נקודה A שוכנת על קו a, אז נוכל לכתוב . אם נקודה A לא שייכת לקו a, אז כתוב.

האמירה הבאה נכונה: יש רק קו ישר אחד שעובר בכל שתי נקודות.

קביעה זו היא אקסיומה ויש לקבל אותה כעובדה. בנוסף, זה די ברור: אנו מסמנים שתי נקודות על הנייר, שמים עליהן סרגל ומציירים קו ישר. ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות (לדוגמה, דרך נקודות A ו-B) יכול להיות מסומן בשתי אותיות אלו (במקרה שלנו, ישר AB או BA).

צריך להבין שעל קו ישר המוגדר במישור יש אינסוף נקודות שונות, וכל הנקודות הללו שוכנות באותו מישור. הצהרה זו נקבעת על ידי האקסיומה: אם שתי נקודות של קו שוכנות במישור מסוים, אז כל הנקודות של קו זה שוכנות במישור הזה.

קבוצת כל הנקודות הממוקמות בין שתי נקודות הנתונות על קו, יחד עם הנקודות הללו, נקראת קטע קו ישראו סתם מִגזָר. הנקודות המגבילות את הקטע נקראות קצוות הקטע. קטע מסומן בשתי אותיות המתאימות לנקודות הקצה של הקטע. לדוגמה, תנו לנקודות A ו-B להיות הקצוות של קטע, ואז ניתן למנות את הקטע הזה AB או BA. שימו לב כי ייעוד זה לקטע עולה בקנה אחד עם הייעוד לקו ישר. כדי למנוע בלבול, אנו ממליצים להוסיף את המילה "קטע" או "ישר" לייעוד.

כדי לתעד בקצרה אם נקודה מסוימת שייכת או לא שייכת לקטע מסוים, נעשה שימוש באותם סמלים. כדי להראות שקטע מסוים שוכב או לא שוכב על קו, השתמש בסמלים ובהתאמה. לדוגמה, אם קטע AB שייך לשורה a, אתה יכול לכתוב בקצרה .

כדאי גם להתעכב על המקרה שבו שלוש נקודות שונות שייכות לאותו קו. במקרה זה, נקודה אחת, ורק אחת, נמצאת בין שתי האחרות. אמירה זו היא אקסיומה נוספת. תן לנקודות A, B ו-C להיות על אותו קו, ונקודה B נמצאת בין נקודות A ו-C. אז נוכל לומר שנקודות A ו-C נמצאות בצדדים מנוגדים של נקודה B. אנו יכולים גם לומר שנקודות B ו-C נמצאות באותו צד של נקודה A, ונקודות A ו-B נמצאות באותו צד של נקודה C.

להשלמת התמונה נציין שכל נקודה על קו מחלקת את הקו הזה לשני חלקים - שניים קֶרֶן. במקרה זה, ניתנת אקסיומה: נקודה שרירותית O, השייכת לישר, מחלקת את הקו הזה לשתי קרניים, וכל שתי נקודות של קרן אחת שוכנות באותו צד של נקודה O, וכל שתי נקודות של קרניים שונות. שוכב בצדדים מנוגדים של הנקודה O.

המיקום היחסי של קווים במישור.

עכשיו בואו נענה על השאלה: "כיצד ניתן למקם שני קווים ישרים במישור זה ביחס זה לזה?"

ראשית, שני קווים ישרים על מטוס יכול לַחפוֹף.

זה אפשרי כאשר לקווים יש לפחות שתי נקודות משותפות. אכן, מכוח האקסיומה שנאמרה בפסקה הקודמת, יש רק קו ישר אחד העובר בשתי נקודות. במילים אחרות, אם שני קווים ישרים עוברים דרך שתי נקודות נתונות, אז הם חופפים.

שנית, שני קווים ישרים על מטוס יכול לַחֲצוֹת.

במקרה זה, לקווים יש נקודה משותפת אחת, הנקראת נקודת החיתוך של הקווים. חיתוך הקווים מסומן בסמל "", לדוגמה, המשמעות של הערך היא שהקווים a ו-b מצטלבים בנקודה M. קווים מצטלבים מובילים אותנו למושג הזווית בין קווים מצטלבים. בנפרד, כדאי לשקול את מיקומם של קווים ישרים במישור כאשר הזווית ביניהם היא תשעים מעלות. במקרה זה, הקווים נקראים אֲנָכִי(אנו ממליצים על המאמר קווים בניצב, ניצב קווים). אם קו a מאונך לקו b, אז ניתן להשתמש בסימון קצר.

שלישית, שני קווים ישרים במישור יכולים להיות מקבילים.

מנקודת מבט מעשית, נוח לשקול קו ישר במישור יחד עם וקטורים. חשיבות מיוחדת הם וקטורים שאינם אפס השוכבים על קו נתון או על כל אחד מהקווים המקבילים הם נקראים מכוון וקטורים של קו ישר. המאמר מכוון וקטור של קו ישר במישור נותן דוגמאות לכיוון וקטורים ומציג אפשרויות לשימוש בהם בפתרון בעיות.

כדאי לשים לב גם לוקטורים שאינם אפס השוכבים על כל אחד מהקווים בניצב לזה. וקטורים כאלה נקראים וקטורים של קו רגיל. השימוש בוקטורי קו נורמלי מתואר במאמר וקטור קו נורמלי במישור.

כאשר ניתנים שלושה קווים ישרים או יותר במישור, עולות אפשרויות רבות ושונות למיקומם היחסי. כל הקווים יכולים להיות מקבילים, אחרת חלקם או כולם מצטלבים. במקרה זה, כל הקווים יכולים להצטלב בנקודה אחת (ראה מאמר על חבורה של קווים), או שיכולות להיות להם נקודות חיתוך שונות.

לא נתעכב על כך בפירוט, אלא נציג ללא הוכחה מספר עובדות ראויות לציון ולעתים קרובות מאוד:

• אם שני קווים מקבילים לקו שלישי, אז הם מקבילים זה לזה;
• אם שני קווים מאונכים לישר שלישי, אז הם מקבילים זה לזה;
• אם ישר מסוים במישור חותך אחד משני ישרים מקבילים, אז הוא חותך גם את הישר השני.

שיטות להגדרת קו ישר במישור.

כעת נפרט את הדרכים העיקריות בהן ניתן להגדיר קו ישר ספציפי במישור. ידע זה שימושי מאוד מבחינה מעשית, שכן הפתרון לדוגמאות ובעיות רבות מבוסס עליו.

ראשית, ניתן להגדיר קו ישר על ידי ציון שתי נקודות במישור.

ואכן, מהאקסיומה הנדונה בפסקה הראשונה של מאמר זה, אנו יודעים שקו ישר עובר דרך שתי נקודות, ורק אחת.

אם הקואורדינטות של שתי נקודות מתפצלות מסומנות במערכת קואורדינטות מלבנית במישור, אז אפשר לרשום את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות.

שנית, ניתן לציין קו על ידי ציון הנקודה דרכה הוא עובר והקו אליו הוא מקביל. שיטה זו הוגנת, שכן דרך נקודה נתונה במישור עובר קו ישר בודד במקביל לישר נתון. ההוכחה לעובדה זו בוצעה בשיעורי גיאומטריה בתיכון.

אם קו ישר במישור מוגדר בצורה זו ביחס למערכת הקואורדינטות הקרטזית המלבנית המוכנסת, אז אפשר להרכיב את המשוואה שלו. על כך נכתב במשוואת המאמר של ישר העובר דרך נקודה נתונה במקביל לישר נתון.

שלישית, ניתן להגדיר קו ישר על ידי ציון הנקודה דרכה הוא עובר ואת וקטור הכיוון שלו.

אם ניתן בדרך זו ישר במערכת קואורדינטות מלבנית, אז קל לבנות את המשוואה הקנונית שלו של ישר במישור ומשוואות פרמטריות של ישר במישור.

הדרך הרביעית לציין קו היא לציין את הנקודה דרכה הוא עובר ואת הקו אליו הוא מאונך. ואכן, דרך נקודה נתונה של המישור עובר קו ישר בודד הניצב לישר הנתון. בואו נשאיר את העובדה הזו ללא הוכחה.

לבסוף, ניתן לציין קו במישור על ידי ציון הנקודה דרכה הוא עובר והווקטור הנורמלי של הישר.

אם ידועות הקואורדינטות של נקודה השוכנת על ישר נתון והקואורדינטות של הווקטור הנורמלי של הישר, אז אפשר לרשום את המשוואה הכללית של הישר.

הפניות.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. גֵאוֹמֶטרִיָה. כיתות ז' – ט': ספר לימוד למוסדות חינוך כלליים.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. גֵאוֹמֶטרִיָה. ספר לימוד לכיתות י'-יא' של בית הספר התיכון.
• בוגרוב יא.ש., ניקולסקי ש.מ. מתמטיקה גבוהה יותר. כרך ראשון: אלמנטים של אלגברה לינארית וגיאומטריה אנליטית.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. גיאומטריה אנליטית.

זכויות יוצרים של תלמידי חכמים

כֹּל הַזְכוּיוֹת שְׁמוּרוֹת.
מוגן בחוק זכויות יוצרים. אין לשכפל שום חלק מאתר www.site, לרבות חומרים פנימיים ומראה, בכל צורה או שימוש ללא אישור מראש ובכתב מבעל זכויות היוצרים.

נקודה וקו ישר הם הדמויות הגיאומטריות הבסיסיות במישור.

המדען היווני הקדום אוקלידס אמר: "נקודה" היא משהו שאין לו חלקים." המילה "נקודה" בתרגום מלטינית פירושה תוצאה של מגע מיידי, זריקה. נקודה היא הבסיס לבניית כל דמות גיאומטרית.

קו ישר או פשוט ישר הוא קו שלאורכו המרחק בין שתי נקודות הוא הקצר ביותר. קו ישר הוא אינסופי, ואי אפשר לתאר את כל הקו הישר ולמדוד אותו.

נקודות מסומנות באותיות לטיניות גדולות A, B, C, D, E וכו', וקווים ישרים באותן אותיות, אבל באותיות קטנות a, b, c, d, e וכו'. קו ישר יכול להיות מסומן גם על ידי שתי אותיות המתאימות לנקודות המונחות עליה. לדוגמה, קו ישר a יכול להיות מסומן AB.

אנו יכולים לומר שנקודות AB שוכנות על קו a או שייכות לקו a. ואנחנו יכולים לומר שהקו הישר a עובר בנקודות A ו-B.

הדמויות הגיאומטריות הפשוטות ביותר במישור הן קטע, קרן, קו שבור.

קטע הוא חלק מקו המורכב מכל הנקודות של הקו הזה, מוגבל בשתי נקודות נבחרות. נקודות אלו הן קצוות הקטע. קטע מסומן על ידי ציון הקצוות שלו.

קרן או חצי קו הם חלק מקו המורכב מכל נקודות הקו הזה השוכנות בצד אחד של נקודה נתונה. נקודה זו נקראת נקודת ההתחלה של חצי הקו או תחילת הקרן. לקורה יש נקודת התחלה, אבל אין סוף.

חצאי קווים או קרניים מסומנים על ידי שתי אותיות לטיניות קטנות: ההתחלה וכל אות אחרת המקבילה לנקודה השייכת לחצי הקו. במקרה זה, נקודת ההתחלה ממוקמת במקום הראשון.

מסתבר שהקו הישר הוא אינסופי: אין לו לא התחלה ולא סוף; לקרן יש רק התחלה, אבל אין סוף, אבל לקטע יש התחלה וסוף. לכן, אנו יכולים למדוד רק קטע.

מספר קטעים המחוברים זה לזה ברצף כך שהקטעים (שכנים) שיש להם נקודה משותפת אחת אינם ממוקמים על אותו קו ישר מייצגים קו שבור.

קו שבור יכול להיות סגור או פתוח. אם סוף הקטע האחרון עולה בקנה אחד עם תחילתו של הראשון, יש לנו קו שבור סגור אם לא, זה קו פתוח.

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור המקורי.

קו ישר -אחד המושגים הבסיסיים של גיאומטריה.

בְּבִירוּר קו ישריכול להדגים חוט מתוח, קצה של שולחן, קצה של דף נייר, מקום, חיבור של שני קירות חדר, אלומת אור. בעת ציור קווים ישרים, סרגל משמש בפועל.

קו ישרבעלי מאפיין כזה מוזרויות:

1.U קו ישראין התחלה או סוף, כלומר אין סוף . אפשר לצייר רק חלק ממנו.

2. בשניים נקודות שרירותיותניתן לבצע קו ישר, ורק אחד בזה.

3. דרך נ נקודה שרירותיתאתה יכול לצייר מספר בלתי מוגבל של קווים ישרים על מישור.

4. שניים לא תואמים קווים ישרים במישוראו מצטלבים בנקודה אחת, או שהם מַקְבִּיל.

כדי לציין קו ישרהשתמש באות קטנה אחת באלפבית הלטיני, או בשתי אותיות גדולות הכתובות בשני מקומות שונים בשורה זו.

אם אתה מציין על קו ישר נְקוּדָה, אז כתוצאה מכך נקבל שניים קֶרֶן:

קֶרֶןחלק שיחה קו ישר, מוגבל בצד אחד. כדי לייעד קורה, משתמשים באות קטנה אחת באלפבית הלטיני או בשתי אותיות גדולות, שאחת מהן מסומנת בתחילת הקורה.

החלק של קו ישר מוגבל משני הצדדים נקרא מִגזָר. קטע, כמו קו ישר, מסומן באות אחת או שתיים. במקרה האחרון, אותיות אלו מציינות את קצוות הקטע.

קו שנוצר מכמה קטעים שאינם שוכנים על אותו קו ישר נקרא בדרך כלל קו שבור. כאשר קצוות הקו השבור חופפים, אז קו שבורנקרא סָגוּר.

נקודה היא עצם מופשט שאין לו מאפייני מדידה: אין גובה, אין אורך, אין רדיוס. במסגרת המשימה חשוב רק מיקומה

הנקודה מסומנת על ידי מספר או באות לטינית גדולה (גדולה). מספר נקודות - עם מספרים שונים או אותיות שונות כדי שניתן יהיה להבחין ביניהן

נקודה א', נקודה ב', נקודה ג'

א ב ג

נקודה 1, נקודה 2, נקודה 3

1 2 3

ניתן לצייר שלוש נקודות "A" על פיסת נייר ולהזמין את הילד לצייר קו דרך שתי הנקודות "A". אבל איך להבין דרך אילו?

א א א

מסומן באותיות קטנות (קטנות) לטיניות

קו א, קו ב, קו ג

א ב ג

הקו יכול להיות

1. סגור אם ההתחלה והסוף שלו נמצאים באותה נקודה,
2. פתוח אם ההתחלה והסוף שלו אינם מחוברים

קווים סגורים

קווים פתוחים

יצאת מהדירה, קנית לחם בחנות וחזרת חזרה לדירה. איזה קו קיבלת? נכון, סגור. חזרת לנקודת ההתחלה שלך. יצאת מהדירה, קנית לחם בחנות, נכנסת לכניסה והתחלת לדבר עם השכן שלך. איזה קו קיבלת? לִפְתוֹחַ. לא חזרת לנקודת ההתחלה שלך. יצאת מהדירה וקנית לחם בחנות. איזה קו קיבלת? לִפְתוֹחַ. לא חזרת לנקודת ההתחלה שלך.

1. מצטלבים את עצמם
2. ללא צמתים עצמיים

קווים מצטלבים את עצמם

קווים ללא צמתים עצמיים

1. יָשִׁיר
2. שָׁבוּר
3. עָקוֹם

קווים ישרים

קווים שבורים

קווים מעוקלים

קו ישר הוא קו שאינו מעוקל, אין לו לא התחלה ולא סוף, אפשר להמשיך אותו בלי סוף לשני הכיוונים

גם כאשר נראה קטע קטן של קו ישר, ההנחה היא שהוא נמשך ללא הגבלת זמן בשני הכיוונים

מסומן באות לטינית קטנה (קטנה). או שתי אותיות גדולות (אותיות גדולות) לטיניות - נקודות שוכבות על קו ישר

קו ישר א

א

קו ישר AB

ב א

ישיר יכול להיות

1. מצטלבים אם יש להם נקודה משותפת. שני קווים יכולים להצטלב רק בנקודה אחת.
   • מאונך אם הם מצטלבים בזוויות ישרות (90°).
2. מקביל, אם הם לא מצטלבים, אין להם נקודה משותפת.

קווים מקבילים

קווים מצטלבים

קווים מאונכים

קרן היא חלק מקו ישר שיש לו התחלה אך אין לו סוף ניתן להמשיך אותו ללא הגבלה בכיוון אחד בלבד

לקרן האור בתמונה נקודת ההתחלה שלה היא השמש.

שֶׁמֶש

נקודה מחלקת קו ישר לשני חלקים - שתי קרניים A A

הקורה מסומנת באות לטינית קטנה (קטנה). או שתי אותיות לטיניות גדולות (אותיות גדולות), כאשר הראשונה היא הנקודה שממנה מתחילה הקרן, והשנייה היא הנקודה המונחת על הקרן

ריי א

א

קרן AB

ב א

הקרניים חופפות אם

1. ממוקם על אותו קו,
2. להתחיל בנקודה אחת
3. מכוון לכיוון אחד

קרני AB ו-AC חופפות

קרני CB ו-CA חופפות

ג ב א

קטע הוא חלק מקו שמוגבל בשתי נקודות, כלומר יש לו גם התחלה וגם סוף, כלומר ניתן למדוד את אורכו. אורכו של קטע הוא המרחק בין נקודת ההתחלה והסיום שלו

דרך נקודה אחת אתה יכול לצייר כל מספר של קווים, כולל קווים ישרים

דרך שתי נקודות - מספר בלתי מוגבל של עקומות, אבל רק קו ישר אחד

קווים מעוקלים העוברים דרך שתי נקודות

ב א

קו ישר AB

ב א

חתיכה "נחתכה" מהקו הישר ונשאר קטע. מהדוגמה למעלה ניתן לראות שאורכו הוא המרחק הקצר ביותר בין שתי נקודות.

✂ B A ✂

קטע מסומן בשתי אותיות לטיניות גדולות (אותיות גדולות), כאשר הראשונה היא הנקודה בה מתחיל הקטע, והשנייה היא הנקודה שבה הקטע מסתיים

ב א

קטע AB

בעיה: איפה הקו, הקרן, הקטע, העקומה?

קו שבור הוא קו המורכב מקטעים מחוברים ברציפות ללא זווית של 180°

קטע ארוך "נשבר" לכמה קצרים

החוליות של קו שבור (בדומה לחוליות של שרשרת) הן הקטעים המרכיבים את הקו השבור. קישורים סמוכים הם קישורים שבהם סוף קישור אחד הוא התחלה של קישור אחר. קישורים סמוכים לא צריכים לשכב על אותו קו ישר.

קודקודי קו שבור (בדומה לראשי הרים) הם הנקודה שממנה מתחיל הקו השבור, הנקודות שבהן מחוברים הקטעים היוצרים את הקו השבור והנקודה בה מסתיים הקו השבור.

קו שבור מסומן על ידי רישום כל הקודקודים שלו.

קו שבור ABCDE

קודקוד הפוליליין A, קודקוד הפוליליין B, קודקוד הפוליליין C, קודקוד הפוליליין D, קודקוד הפוליליין E

קישור שבור AB, קישור שבור BC, קישור שבור CD, קישור שבור DE

קישור AB וקישור BC צמודים

קישור BC ו-Link CD צמודים

קישור תקליטור וקישור DE צמודים

A B C D E 64 62 127 52

אורכו של קו שבור הוא סכום אורכי הקישורים שלו: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 מְשִׁימָה:שהקו השבור ארוך יותר , אשיש לו יותר קודקודים

? בשורה הראשונה יש את כל החוליות באותו אורך, כלומר 13 ס"מ. בשורה השנייה יש את כל הקישורים באותו אורך, כלומר 49 ס"מ. בשורה השלישית יש את כל החוליות באותו אורך, כלומר 41 ס"מ.

מצולע הוא פולי קו סגור

צידי המצולע (הביטויים יעזרו לך לזכור: "לך לכל ארבעת הכיוונים", "רוץ לכיוון הבית", "על איזה צד של השולחן תשב?") הם חוליות של קו שבור. צלעות סמוכות של מצולע הן קישורים סמוכים של קו שבור.

קודקודי מצולע הם קודקודי קו שבור. קודקודים סמוכים הם נקודות הקצה של צד אחד של המצולע.

מצולע מסומן על ידי רישום כל הקודקודים שלו.

פוליליין סגור ללא חיתוך עצמי, ABCDEF

מצולע ABCDEF

קודקוד מצולע A, קודקוד מצולע B, קודקוד מצולע C, קודקוד מצולע D, קודקוד מצולע E, קודקוד מצולע F

קודקוד A וקודקוד B צמודים

קודקוד B וקודקוד C צמודים

קודקוד D וקודקוד E צמודים

קודקוד E וקודקוד F צמודים

קודקוד F וקודקוד A צמודים

צד מצולע AB, צד מצולע BC, צד מצולע CD, צד מצולע DE, צד מצולע EF

צד AB וצד BC צמודים

צד BC וצד CD צמודים

צד התקליטור וצד ה-DE צמודים

צד DE וצד EF סמוכים

הצד EF והצד FA צמודים

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

ההיקף של מצולע הוא אורך הקו השבור: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

מצולע בעל שלושה קודקודים נקרא משולש, עם ארבע - מרובע, עם חמישה - מחומש וכו'.