אחת הבעיות הכלכליות החשובות היא לקבוע את האסטרטגיה האופטימלית להחלפת מכונות ישנות, aipcraTOB ומכונות בחדשות. התיישנות של ציוד משמעה בלאי הפיזי והמוסרי שלו, וכתוצאה מכך עלויות התיקון והתחזוקה עולות, עלויות הייצור לייצור עולות ומצטמצמות.

ביצועים וערך נוזלי. מגיע זמן שבו משתלם יותר למכור ציוד ישן ולהחליף אותו בחדש מאשר להפעיל אותו בהוצאות גדולות; יתרה מכך, ניתן להחליף אותו בציוד חדש מאותו סוג או חדש ומתקדם יותר. האסטרטגיה האופטימלית להחלפת ציוד היא לקבוע את זה תזמון אופטימלי. קריטריון האופטימליות במקרה זה יכול להיות הרווח מהפעלת הציוד, שאותו יש לבצע אופטימיזציה, או סך עלויות התפעול במהלך פרק הזמן הנדון, שאותן יש למזער.

הבה נציג את הסימון הבא:

r(t)- עלויות תחזוקה שנתיות לציוד גיל טלְהַנִיחַ;

g(t)- ערך שייר של ציוד גיל טלְהַנִיחַ;

ר 0 - מחיר רכישה של ציוד.

קחו בחשבון את התקופה נשנים, בהן יש צורך לקבוע את מחזור החלפת הציוד האופטימלי.

הבה נסמן ב-L*(/) את העלויות האופטימליות המתקבלות

גיל הציוד טשנים עבור הנותרים נשנים של מחזור שימוש בציוד, בכפוף לאסטרטגיה מיטבית.

גיל הציוד נספר בכיוון זרימת התהליך. לפיכך, / = 0 מתאים למקרה של שימוש בציוד חדש. בכל שלב בתהליך / V-stage, יש לקבל החלטה לשמור, להחליף או לתקן ציוד. האפשרות שנבחרה צריכה להבטיח כי סך עלויות התפעול ממוזערות במהלך פרק הזמן הנבדק.

ההנחה היא כי המעבר מעבודה על ציוד גיל טההתכוננות לעבודה על ציוד חדש מתרחשת באופן מיידי, כלומר, החלפת ציוד ישן והמעבר לעבודה על ציוד חדש משתלבים בתקופה אחת.

דוגמה 4.2

הציוד נמצא בשימוש חמש שנים ולאחר מכן נמכר. בתחילת כל שנה ניתן להחליט האם לשמור את הציוד או להחליף אותו בחדש. עלות ציוד חדש P 0= 4000 לשפשף. לְאַחַר טשנות פעילות (1g(t) = Р 0 2~‘ rub. (ערך נוזל). עלויות התחזוקה במהלך השנה תלויות בגיל הציוד טושווים r(t) = 600(/ + 1).

קבע את האסטרטגיה האופטימלית להפעלת ציוד כך שסך העלויות, תוך התחשבות ברכישה הראשונית והמכירה הסופית, יהיו מינימליות.

פִּתָרוֹן.שיטת חלוקת השליטה לשלבים היא טבעית - אך עם השנים, נ= 5. פרמטר מצב - גיל מכונה לו= ט,,v 0 = 0 - המכונית חדשה בתחילת שנת הפעילות הראשונה. השליטה בכל שלב תלויה בשני משתנים אִםו אִם.

משוואות המצב תלויות בבקרה:

מחוון יעילות של שלב א':

(בְּ אִםעלויות רק עבור הפעלת עידן המכונה ט,בְּ- אִםהמכונה נמכרת (-4000 2~"), קנה חדשה (4000) ומופעלת בשנה הראשונה (600), העלויות הכוללות הן (-4000 2" + 4000 + 600)).

תנו ל'(?) להיות העלויות האופטימליות המותנות להפעלת המכונה, החל משלב א' ועד סופו, בתנאי שעד תחילת שלב א' המכונה ישנה. הבה נכתוב את משוואות וולמן עבור הפונקציות A(r), ונחליף את בעיית המקסום בבעיית המיזעור:

ערך 4000 2 0+11 - עלות גיל הרכב טשנים (בהתאם לתנאים, המכונית נמכרת לאחר חמש שנות פעילות):

מההגדרה של פונקציות А* (/) זה בא בעקבות A min = А*(0).

הבה נציג פתרון גיאומטרי לבעיה זו. בואו נשרטט את מספר הצעד על ציר ה-x אֶל,ולאורך הסמין - גיל המכונה /. נְקוּדָה (אל - 1, /) במטוס מתאים לתחילת שנת פעילות המכונה A - - גיל / שנים. תנועה על הגרף בהתאם לפקד המקובל על / שלב o-thמוצג באיור. 4.3.

אוֹרֶז. 4.3

המצב של תחילת פעולת המכונה מתאים לנקודה,v‘(0,0), הסוף - לנקודות.5(5,/). כל מסלול שמעביר את נקודה DA-1, /) מנקודה 5 מורכב מקטעים - שלבים המתאימים לשנים של פעילות. יש צורך לבחור מסלול שבו עלות הפעלת המכונה תהיה מינימלית.

מעל כל קטע המחבר את הנקודות (A' - 1, /) ו-(A, / + 1), הפקדים המתאימים כתובים אִםעלויות (600(/ + 1)), ומעל הקטע המחבר את הנקודות (אֶל- 1, /) ו- אֶל, /), - עלויות המתאימות לניהול אִם(4600 - 4000 2 "). בדרך זו, כל הקטעים המחברים ב-1rafix ממוקמים, בהתאמה למעברים מכל מצב ld_| למצב ש ק(ראה איור 4.3).

לאחר מכן, אופטימיזציה מותנית מבוצעת על ה-faff המסומן. במדינות (5, /) המכונית נמכרת, ההכנסה האופטימלית המותנית מהמכירה היא 4000 2~‘, אבל מכיוון שהפונקציה האובייקטיבית קשורה לעלויות, ערך ההכנסה עם סימן מינוס ממוקם במעגלי הנקודות (5, /). לאחר מכן, בשלבים הבאים, העלויות המינימליות נבחרות בין שני מעברים אפשריים, הכתובים במעגל בנקודה נתונה, והפקדים המתאימים בשלב זה מסומנים בחץ מנוקד. במקרה זה, בכל שלב משוואות וולמן נפתרות באופן תעבורתי (איור 4.4).

לאחר ביצוע אופטימיזציה מותנית, אנו משיגים בנקודה (0, 0) את העלות המינימלית של תפעול המכונה למשך כחמש שנים עם מכירה שלאחר מכן: דקה = 11,900 לאחר מכן, נבנה המסלול האופטימלי, נע מהנקודה אז(0, 0) לאורך החצים המקווקו ב.?. נקבל קבוצת נקודות: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), התואמת את האופטימלי לִשְׁלוֹט U"(u c , U‘, U U c , U c).מצב אופטימלי

הפעולה היא החלפת המכונה בחדשה בתחילת השנה השלישית.

לפיכך, הגרף המסומן (רשת) מאפשר לך לפרש בבירור את דיאגרמת העיצוב ולפתור את הבעיה באמצעות השיטה תכנות דינמי.

מודלים של תכנות דינמי ונהלי חישוב גמישים מאוד מבחינת הכללתם שינויים שוניםמשימות. לדוגמה, ניתן לשקול בעיה דומה מספר גדולאפשרויות שליטה, "תיקון", " שיפוץ גדול"וכו'. כל הגורמים הללו יכולים להילקח בחשבון על ידי סכימת חישוב תכנות דינמית.

אסטרטגיית תכנות דינמית אופטימלית

IN השקפה כלליתהבעיה מונחת כדלקמן: קבע את האסטרטגיה האופטימלית לשימוש בציוד על פני פרק זמן הנמשך מ' שנים, והרווח עבור כל I שנים, i= משימוש בציוד בגיל t שנים צריך להיות מקסימלי.

ידועים הבאים: r(t) - הכנסות ממכירת מוצרים המיוצרים בשנה על ציוד בגיל t שנים, l(t) - עלויות שנתיות בהתאם לגיל הציוד t, c(t) - ערך שייר של ציוד בגיל t שנים, P - עלות ציוד חדש. גיל הציוד מתייחס לתקופת פעולת הציוד לאחר ההחלפה האחרונה, המתבטאת בשנים.

כדי לבנות מודל מתמטי, השלבים שנוסחו להלן מבוצעים ברצף.

1. קביעת מספר השלבים. מספר השלבים שווה למספר השנים שבהן הציוד נמצא בשימוש.

2. קביעת מצבי מערכת. מצב המערכת מאופיין בגיל הציוד t; t=.

3. הגדרת בקרות. בתחילת השלב ה-i, i=, ניתן לבחור באחד משני פקדים: להחליף או לא להחליף ציוד. לכל אפשרות שליטה מוקצה מספר

uс - אם הציוד לא מוחלף;

uз - אם הציוד מוחלף.

4. קביעת פונקציית התשלום על שלב א'. פונקציית התשלום המופעלת בשלב ה-i היא הרווח מהשימוש בציוד עד סוף שנת הפעילות ה-i, t=, i=.

u1= uс - אם הציוד לא הוחלף בתחילת השנה ה-i;

u2= uз - אם הציוד מוחלף.

כך, אם הציוד לא נמכר, אז הרווח מהשימוש בו הוא ההפרש בין עלות הייצור לעלויות התפעול. בהחלפת ציוד, הרווח הוא ההפרש בין הערך השיורי של הציוד לעלות הציוד החדש, אליו מתווסף ההפרש בין עלות הייצור לבין עלויות התפעול של ציוד חדש שגילו בתחילת ה-i -השלב ההוא הוא 0 שנים.

5. הגדרת פונקציית שינוי המצב

u1 uс - אם Xi=0

u2= uз - אם Xi=1

6. עריכת משוואה פונקציונלית עבור i=m.

7. עריכת המשוואה הפונקציונלית הבסיסית

כאשר Wi(t) הוא הרווח מהשימוש בציוד בגיל t שנים מהשלב ה-i (מתום השנה ה-i) ועד סוף תקופת ההפעלה.

Wi+1(t+1) - רווח משימוש בציוד בן t+1 שנה מהשלב (i+1) ועד תום תקופת ההפעלה;

לפיכך, נבנה מודל מתמטי של הבעיה.

אלגוריתם לפתרון הבעיה

בואו נציג את הסימון הבא:

זה גיל הציוד.

L(t) - ייצור מוצרים על ציוד שגילו t שנים.

R(t) - עלויות אחזקת ציוד.

P(t) - ערך שייר של ציוד.

P - עלות ציוד חדש

Fn(t) - רווח מציוד ישן שגילו t שנים.

n-שנה שעברה.

על ציוד ישן (1)

זו המשוואה הפונקציונלית

טופס מסמך קלט

ניתן להזין נתונים באמצעות טבלה:

טבלה מס' 1. מידע על קלט נתונים.

לפי הנוסחה

תיאור תוכנה וחומרה

התוכנית פותחה בשפת התכנות Borland

Delphi 7.0 באמצעות מערכת ההפעלה Microsoft Windows XP Professional

בעת פיתוח התוכנית, נעשה שימוש ברכיבי Delphi:

String Grid - למילוי ספריות והצגת תוצאות

עריכה - להזנת ערכים

כפתור - ליצירת כפתור

תווית - יצירת תוויות לנוחות השימוש

תמונה - תמונות

Main Menu - תפריט תוכניות

OpenDialog - פתיחת דיאלוג

במהלך הפיתוח תוֹכנָהנעשה שימוש גם בכלי השירות הבאים של המערכת:

תוכנת אנטי וירוס (Dr.Web 4.44)

אחסון תוכניות בארכיון (WinRar v3.45).

כלי עזר של Microsoft Office ( Microsoft Word, אקסל).

עורכים גרפיים (PhotoShop v CS3)

בעת פיתוח התוכנה, נעשה שימוש במחשב עם המאפיינים הבאים:

מעבד: Intel Pentium(R) 3.00 GHz

זיכרון RAM: 1Gb DDR2 PC 533

כרטיס מסך: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

כונן קשיח: 200 ג'יגה-בייט

צג: 17 אינץ' 1280x1025@75Hz

דוגמה לניפוי באגים

בואו למצוא את הרווח המקסימלי בעת החלפת ציוד לאחר שנתיים:

לפי הנוסחה

מסקנה: נקבל את הרווח המקסימלי של 215 יחידות אם נשנה את הציוד לאחר שנתיים לשלישי.

תיאור התוכנית

התכנית "פתרון בעיות של החלפת ציוד" מיועדת למפעלים העוסקים בכל סוג של פעילות הדורשת שימוש בציוד מסוים. ממספר סיבות, הציוד נשחק פיזית, כלומר. מתקלקל ולא ניתן לתיקון, או שמתרחשות תקלות כאלה שבהן קל יותר לקנות ציוד חדש מאשר לתקן ציוד ישן, או שהוא מתבלה מבחינה מוסרית, כלומר. קצב צמיחה פיתוח כלכליהתעשיות לייצור ציוד זה גדולות מאוד. לפיכך, על מנת ש"ייצור מוצר" על ציוד כזה יגיע השפעה מקסימלית, יש לשנות אותו מעת לעת. תוכנית זו מחשבת את מספר השנים שלאחר מכן אתה צריך להחליף ציוד כדי להשיג רווח מקסימלי.

כדי לפתח את התוכנית "פתרון בעיות החלפת ציוד", נעשה שימוש בשפת התכנות של Delphi 6. נכון לעכשיו, סביבת תכנות מונחה עצמים זו היא מאוד פופולרית, היא מבוססת על שפת ה-Object Pascal. היא מאפשרת ליצור אפליקציות בדרגות מורכבות שונות - מתוכנות פשוטות ועד למקצועיות המיועדות לעבודה עם מסדי נתונים. בנוסף, העזרה לתוכנית מוצגת בדפי HTML באמצעות תוכנת Arachnophilia.

כל עבודה עם התוכנית מבוססת על עבודה עם התפריט ניתן למצוא בפריט התפריט עזרה/תוכן/עבודה עם התפריט.

תכנית זו נוצרה תוך כדי השלמת פרויקט קורס בנושא "שיטות מתמטיות" בנושא זה.

תכנות דינמי. בעיה בהחלפת ציוד

מצא את התזמון האופטימלי להחלפת ציוד. עלות ראשונית של ציוד q 0 =6000 קונבנציונלי. יחידות, ערך חיסול L(t)=q 0 2 -i, עלות אחזקת ציוד בגיל i שנים למשך שנה אחת S(t)=0.1q 0 (t+1), חיי שירות ציוד 5 שנים. בתום חיי השירות שלו, הציוד נמכר. פתור את הבעיה בצורה גרפית.

כדי לבנות גרף בתוכנת Wolfram Mathematica 6.0, הזן

g = עלילה[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

כתוצאה מכך, אנו מקבלים גרף:

מהגרף רואים שהתקופה האופטימלית להחלפת ציוד היא השנה השנייה להפעלתו.

תכנות דינמי. חלוקה מיטבית של הכספים בין מפעלים

מצא את החלוקה האופטימלית של הכספים בכמות של 9 יחידות קונבנציונליות. יחידות בין ארבע חברות. הרווח מכל מפעל הוא פונקציה של הכספים שהושקעו בו ומוצג בטבלה:

השקעות
אני מיזם
מפעל II
מפעל III
מפעל IV

ההשקעות בכל מיזם הן כפולות של יחידה קונבנציונלית אחת. יחידות

נחלק את תהליך הקצאת הכספים למפעלים ל-4 שלבים: בשלב הראשון, כספי y 1 מוקצים למיזם P 1, בשני - y 2 כספים למיזם P 2, בשלב השלישי - y 3 כספים למיזם P 3, בשליש הרביעי - y 4 קרנות לארגון P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

שימו לב שבשלב הרביעי של הקצאת הכספים, כל היתרה x 3 מושקעת במפעל P 4, ולכן y 3 = x 4.

בוא נשתמש במשוואות בלמן עבור N = 4.

כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הטבלאות הבאות:

טבלה 1

טבלה 2

טבלה 3

טבלה 4

מטבלה 4 עולה שהשליטה האופטימלית תהיה y 1 * = 3, בעוד שהרווח האופטימלי הוא 42. לאחר מכן נקבל

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

לפיכך, ההשקעה האופטימלית ביותר היא בארגונים P1, P2, P3 ו-P4 מְזוּמָנִיםבכמות של 4, 1.1 ו-3 יחידות קונבנציונליות, בהתאמה. במקרה זה, הרווח יהיה מקסימלי ויסתכם ב-42 יחידות קונבנציונליות. יחידות

משימת החלפת הציוד היא לקבוע את העיתוי האופטימלי להחלפת ציוד ישן (מכונות, מבני ייצור וכו') במהלך פעולתו. עם הזמן, עלויות הייצור של תיקונים ותחזוקה נוכחיים וגדולים עולות, פריון העבודה והערך הנוזלי יורדים.

לכן בנקודת זמן מסוימת יש צורך (היתכנות כלכלית) להחליף ציוד ישן בחדש. קריטריון האופטימליות הוא, ככלל, או הרווח מהפעלת הציוד (בעיית מקסום) או סך עלויות התפעול במהלך התקופה המתוכננת (בעיית מזעור).

לפיכך, המשימה היא למצוא לוח זמנים להחלפת ציוד ישן בציוד חדש במהלך תקופת הפעילות המתוכננת.

המאפיין העיקרי של הציוד הוא פרמטר המצב - גילו.

בעת הידור של מודל החלפה דינמי, תהליך ההחלפה נחשב כ – שלב, חלוקת כל תקופת הפעולה ל-n שלבים. שליטה אפשרית בכל שלב מאופיינת בתכונות איכותיות, למשל,
(שמור ציוד),
(להחליף ציוד).

בעת פתרון הבעיה של החלפת ציוד, נעשה שימוש בנתונים הראשוניים הבאים:

- תקופת תכנון;

- עלות נוזלית של ציוד (
);

- עלות אחזקת ציוד (
);

-עלות ראשונית של ציוד ().

משוואות מצב המערכת תלויות בבקרה:

למעשה, אם כן -השלב
, לאחר מכן תוך שמירה על הציוד
בעוד שנה גיל הציוד יעלה ב-1. אם הציוד יוחלף בחדש
, אז זה אומר להתחלה -הצעד בגילה =0, ולאחר שנת פעילות =1, כלומר
.

מחוון ביצועים שלב ה':

.

לְאַפשֵׁר
– עלויות אופטימליות מותנות לתפעול הציוד, החל מ הצעד עד הסוף, בתנאי שזה להתחלה -ציוד המדרגות ישן שנים.

אז משוואות בלמן ייראו כך:

פתרון גיאומטרי לבעיית החלפת הציוד. ניתן להציג את ערכת החישוב לפתרון הבעיה של החלפת ציוד בצורה של דיאגרמת שתי קואורדינטות (גרף). על ציר האבשיסה נשרטט את מספר הצעד , באורינטה - גיל הציוד . נְקוּדָה
במטוס מתאים להתחלה שנת הפעילות של עידן הציוד שנים. תנועה בתרשים בהתאם לפקד המקובל על השלב ה-th מוצג באיור.

מעל כל קטע המחבר בין הנקודות
ו
, הפקדים המתאימים נרשמים
עלויות אחזקת ציוד, ומעל הקטע המחבר בין הנקודות
ו
, אנו רושמים את העלויות המתאימות להחלפת ציוד - ניהול
. לפיכך, כל הקטעים המחברים בגרף התואמים למעברים מכל מצב יסומנו
במדינה .

פתרון לדוגמא טיפוסית

משימה 4

במפעל הייצור TITAN, הציוד פעל במשך
שנים, ולאחר מכן הוא נמכר (מניחים שאחרי שנים, ציוד עקב התיישנות אינו מסוגל להבטיח ייצור של מוצרים תחרותיים). בתחילת כל שנה מחליטה הנהלת המיזם לשמור את הציוד או להחליפו בציוד חדש ודומה (במקרה זה הציוד הישן נמכר, והתמורה משמשת לכיסוי חלק מעלותו של החדש. צִיוּד). העלות הראשונית של ציוד חדש היא
אלף רובל, עלויות תחזוקה של ציוד -
אלף רובל, והערך הנוזלי של הציוד -
אלף רובל ניתנים בטבלה. 11.

טבלה 11

נתונים ראשוניים עבור משימת החלפת הציוד

הֶכְרֵחִי:

1. קבע את העלויות הכוללות המינימליות של מפעל הייצור TITAN לתפעול הציוד במהלך התקופה הנסקרת .

2. לקבוע את האסטרטגיה (לוח הזמנים) האופטימלית לתפעול הציוד, תוך הבטחת עלויות התפעול המינימליות של מפעל הייצור TITAN במהלך התקופה הנבדקת במחירים שוטפים.

3. תן פרשנות כלכלית לפתרון המתקבל.

1. הבה נקבע את העלויות הכוללות המינימליות של מפעל הייצור TITAN להפעלת הציוד למשך 5 שנים. הבה נבצע אופטימיזציה מותנית על הגרף המסומן (איור 28).

שלב 5 במדינות (5, ) הציוד נמכר, ההכנסה האופטימלית המותנית מהמכירה שווה לערך הנזיל
, אבל מכיוון שפונקציית המטרה קשורה לעלויות, אז במעגלי הנקודות (5, ) שים את סכום ההכנסה עם סימן "-".

מדינה (4,1).

לפיכך, אם המערכת שלב אחרוןהיה בנקודה (4,1), אז אתה צריך ללכת לנקודה (5,2) (אנו מציינים את הכיוון הזה עם קו מקווקו).

מדינה (4,2).

אסטרטגיית החלפת ציוד אופטימלית

אחת הבעיות הכלכליות החשובות היא קביעת האסטרטגיה האופטימלית להחלפת מכונות, יחידות ומכונות ישנות בחדשות.

התיישנות הציוד כוללת את הבלאי הפיזי והמוסרי שלו, כתוצאה מכך עולות עלויות הייצור לייצור מוצרים על ציוד ישן, עלויות התיקון והתחזוקה שלו עולות, הפריון והערך הנוזלי יורדים.

מגיע זמן שבו משתלם יותר למכור ציוד ישן ולהחליף אותו בחדש מאשר להפעיל אותו בהוצאות גדולות; יתרה מכך, ניתן להחליף אותו בציוד חדש מאותו סוג או חדש ומתקדם יותר.

האסטרטגיה האופטימלית להחלפת ציוד היא קביעת תזמון ההחלפה האופטימלי. קריטריון האופטימליות במקרה זה יכול להיות הרווח מהפעלת הציוד, שאותו יש לבצע אופטימיזציה, או סך עלויות התפעול במהלך פרק הזמן הנדון, שאותן יש למזער.

הבה נציג את הסימון הבא: r(t) היא העלות של מוצרים המיוצרים בשנה אחת על יחידת ציוד בגיל t שנים;

u(t) - עלויות תחזוקה שנתיות לציוד בגיל t שנים;

s(t) - ערך שייר של ציוד בגיל t שנים;

P הוא מחיר הרכישה של הציוד.

הבה ניקח בחשבון תקופה של N שנים שבה יש צורך לקבוע את מחזור החלפת הציוד האופטימלי.

הבה נסמן ב-fN(t) את ההכנסה המקסימלית שהתקבלה מציוד בגיל t שנים למשך N השנים הנותרות של מחזור השימוש בציוד, בכפוף לאסטרטגיה מיטבית.

גיל הציוד נספר בכיוון זרימת התהליך. לפיכך, t = 0 מתאים למקרה של שימוש בציוד חדש. שלבי הזמן של התהליך ממוספרים בכיוון ההפוך ביחס להתקדמות התהליך. לפיכך, N = 1 מתייחס לשלב זמן אחד שנותר עד לסיום התהליך, ו- N = N - לתחילת התהליך.

בכל שלב בתהליך ה-N, יש לקבל החלטה לשמר או להחליף ציוד. האפשרות הנבחרת צריכה להבטיח רווח מקסימלי.

למשוואות פונקציונליות המבוססות על עקרון האופטימליות יש את הצורה:

המשוואה הראשונה מתארת ​​תהליך N-שלב, והשנייה מתארת ​​תהליך חד-שלבי. לשתי המשוואות שני חלקים: השורה העליונה קובעת את ההכנסה המתקבלת על ידי אחזקת הציוד; נמוך יותר - הכנסה המתקבלת בעת החלפת ציוד והמשך תהליך העבודה על ציוד חדש.

במשוואה הראשונה, הפונקציה r(t) - u(t) היא ההפרש בין עלות המוצרים המיוצרים לבין עלויות התפעול בשלב ה-N של התהליך.

הפונקציה fN–1 (t + 1) מאפיינת את סך הרווח מ- (N - 1) שלבים שנותרו עבור ציוד שגילו בתחילת שלבים אלו הוא (t + 1) שנים.

השורה התחתונה במשוואה הראשונה מאופיינת כך: הפונקציה s(t) - P מייצגת את העלות נטו של החלפת ציוד בן t שנים.

הפונקציה r(0) מבטאת את ההכנסה המתקבלת מציוד חדש בגיל 0 שנים. ההנחה היא שהמעבר מעבודה על ציוד בגיל t שנים לעבודה על ציוד חדש מתרחש באופן מיידי, כלומר. תקופת החלפת הציוד הישן והמעבר לעבודה על ציוד חדש משתלבים באותו שלב.

הפונקציה האחרונה fN–1 מייצגת את ההכנסה משלבי N - 1 הנותרים, שלפני תחילתם הציוד בן שנה.

ניתן לתת פרשנות דומה למשוואה לתהליך חד-שלבי. אין מונח של הצורה f0(t + 1), מכיוון ש-N מקבל את הערך 1, 2,..., N. השוויון f0(t) = 0 נובע מהגדרת הפונקציה fN(t).

המשוואות הן יחסים חוזרים המאפשרים לנו לקבוע את הערך של fN(t) בהתאם ל-fN–1(t + 1). מבנה המשוואות הללו מראה שכאשר עוברים משלב אחד של התהליך לשלב הבא, גיל הציוד עולה מ-t ל- (t + 1) שנים, ומספר השלבים הנותרים יורד מ-N ל- (N - 1) .

החישוב מתחיל באמצעות המשוואה הראשונה. המשוואות מאפשרות לך להעריך אפשרויות להחלפה ותחזוקה של ציוד כדי לקבל את זה שמציע הכי הרבה הכנסות. יחסים אלו מאפשרים לא רק לבחור דרך פעולה בעת ההחלטה האם לשמור או להחליף ציוד, אלא גם לקבוע את הרווח המתקבל בעת קבלת כל אחת מההחלטות הללו.

דוּגמָה. קבע את מחזור החלפת הציוד האופטימלי עם הנתונים הראשוניים הבאים: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), המוצגים בטבלה.

פִּתָרוֹן. נכתוב את המשוואות בצורה הבאה:

נמשיך בחישובים עד שמתקיים התנאי f1(1) > f2(2), כלומר. V כרגעיש צורך בהחלפת הציוד שכן סכום הרווח המתקבל כתוצאה מהחלפת הציוד גדול יותר מאשר במקרה של שימוש בישן. אנו מניחים את תוצאות החישוב בטבלה, מסמנים את רגע ההחלפה בכוכבית, ולאחר מכן נעצור חישובים נוספים לאורך הקו.

אתה לא צריך לפתור את המשוואה בכל פעם, אלא לבצע את החישובים בטבלה. לדוגמה, בוא נחשב את f4(t):

אנו עוצרים חישובים נוספים עבור f4(t), שכן f4(4) = 23 בהתבסס על תוצאות החישוב ולאורך הקו התוחם את אזורי ההחלטה לתחזוקה והחלפת ציוד, נמצא את מחזור החלפת הציוד האופטימלי. למשימה זו 4 שנים.

תְשׁוּבָה. כדי להשיג רווח מקסימלי משימוש בציוד בתהליך בן שנים עשר שלבים, המחזור האופטימלי הוא החלפת ציוד כל 4 שנים.

הקצאת משאבים מיטבית

שתהיה כמות מסוימת של משאבים x שצריך לחלק בין n מפעלים שונים, חפצים, יצירות וכו'. כדי להשיג את היעילות הכוללת המקסימלית משיטת ההפצה שנבחרה.

הבה נציג את הסימון הבא: xi - כמות המשאבים שהוקצו למפעל ה-i (i = );

gi(xi) היא פונקציית שירות, במקרה זה היא כמות ההכנסה מהשימוש במשאב xi שקיבלה המיזם ה-i;

fk(x) היא ההכנסה הגדולה ביותר שניתן להשיג על ידי שימוש במשאבים x מ-k הארגונים הראשונים.

ניתן לכתוב את הבעיה המנוסחת בצורה מתמטית:

עם הגבלות:

כדי לפתור את הבעיה, יש צורך להשיג יחס הישנות המחבר בין fk(x) ו-fk–1(x).

הבה נסמן ב-xk את כמות המשאב בשימוש בשיטה kth (0 ≤ xk ≤ x), ואז עבור (k - 1) שיטות כמות המשאבים שנותרה שווה ל- (x - xk). ההכנסה הגדולה ביותר שתתקבל בעת שימוש במשאב (x - xk) מהשיטות הראשונות (k - 1) תהיה fk–1(x - xk).

כדי למקסם את ההכנסה הכוללת מהשיטה k-th והראשונה (k - 1), יש צורך לבחור xk בצורה כזו שהיחסים הבאים יתקיימו:

בואו נשקול משימה ספציפיתעל חלוקת השקעות הון בין מפעלים.

חלוקת השקעות עבור שימוש יעילפוטנציאל ארגוני

דירקטוריון החברה בוחן הצעות להגדלת כושר הייצור כדי להגדיל את התפוקה של מוצרים הומוגניים בארבעה מפעלים בבעלות החברה.

כדי להרחיב את הייצור, מועצת המנהלים מקצה כספים בסכום של 120 מיליון רובל. בדיסקרטיות של 20 מיליון רובל. העלייה בתפוקה בארגונים תלויה בכמות שהוקצתה הערכים שלה מוצגים לפי ארגונים ונכללים בטבלה.

מצא את חלוקת הכספים בין מפעלים שמבטיחה את הגידול המרבי בתפוקה, ולא ניתן לבצע יותר מהשקעה אחת לכל מיזם.

פִּתָרוֹן. נחלק את פתרון הבעיה לארבעה שלבים לפי מספר המפעלים בהם צפויות להתבצע השקעות.

יחסי החזרה ייראו כך:

למיזם מס' 1

עבור כל שאר המפעלים

את הפתרון נבצע על פי יחסי הישנות בארבעה שלבים.

שלב 1. אנו מבצעים השקעות רק עבור הארגון הראשון. אָז

שלב 2. אנו מקצים השקעות למפעל הראשון והשני. ליחס החזרה לשלב השני יש את הצורה

ב-x = 20 f2(20) = מקסימום (8 + 0.0 + 10) = מקסימום (8, 10) = 10,

ב-x = 40 f2(40) = מקסימום (16.8 + 10.20) = מקסימום (16, 18, 20) =20,

ב-x = 60 f2(60) = מקסימום (25.16 + 10, 8 + 20.28) = מקסימום (25.26, 28.28) = 28,

ב-x = 80 f2(80) = מקסימום (36.25 + 10.16 + 20.8 + 28.40) = מקסימום (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

ב-x = 100 f2(100) = מקסימום (44.36 + 10.25 + 20.16 + 28.8 + 40.48) = מקסימום (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

ב-x = 120 f2(120) = מקסימום (62.44 + 10.36 +20.25 + 28.16 + 40.8 + 48.62) = מקסימום (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

שלב 3. אנחנו מממנים את השלב השני ואת המיזם השלישי. אנו מבצעים חישובים באמצעות הנוסחה

ב-x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,

ב-x = 40 f3(40) = מקסימום (20.10 + 12.21) = מקסימום (20, 22, 21) = 22,

ב-x = 60 f3(60) = מקסימום (28.20 + 12.10 + 21.27) = מקסימום (28, 32, 31, 27) = 32,

ב-x = 80 f3(80) = מקסימום (40.28 + 12.20 + 21.10 + 27.38) = מקסימום (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

ב-x = 100 f3(100) = מקסימום (48.40 + 12.28 + 21.20 + 27.10 + 38.50) = מקסימום (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

ב-x = 120 f3(120) = מקסימום (62.48 + 12.40 + 21.28 + 27.20 + 38.10 + 50.63) = מקסימום (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

שלב 4. השקעות בסכום של 120 מיליון רובל. מופץ בין השלב השלישי למפעל הרביעי.

ב-x = 120 f4(120) = מקסימום (63.52 + 11.41 + 23.32 + 30.22 + 37.12 + 51.63) = מקסימום (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

מתקבלים תנאי הבקרה משלב 1 עד 4. נחזור מהשלב ה-4 ל-1. הגידול המרבי בתפוקת המוצר הוא 64 מיליון רובל. הושג בשלב ה-4 כ-41 + 23, כלומר. 23 מיליון לשפשף. תואמים להקצאה של 40 מיליון רובל. המפעל הרביעי (ראה טבלה 29.3). על פי השלב השלישי, 41 מיליון רובל. מתקבל כ-20 + 21, כלומר. 21 מיליון לשפשף. מתאים להקצאה ייעודית של 40 מיליון רובל. לחברה שלישית. על פי שלב 2, 20 מיליון רובל. התקבל בהקצאה של 40 מיליון רובל. למפעל השני.

לפיכך, השקעות בסכום של 120 מיליון רובל. רצוי להקצות 40 מיליון רובל כל אחד למפעלים השני, השלישי והרביעי. כל אחד, בעוד שהעלייה בייצור תהיה מקסימלית ותסתכם ב-64 מיליון רובל.

מזעור עלויות הקמה ותפעול של מפעלים

משימה על מיקום אופטימלי מפעלי ייצורניתן לצמצם לבעיית הקצאת משאבים על פי קריטריון המזעור, תוך התחשבות בתנאי המספרים השלמים המוטלים על המשתנים.

שיהיה ביקוש למוצר שמבוקש בטריטוריה מסוימת. ישנן נקודות ידועות שבהן ניתן לבנות מפעלים מייצרים המוצר הזה. עלויות הבנייה והתפעול של מפעלים כאלה חושבו.

יש צורך לאתר מפעלים כך שעלויות הקמתם ותפעולם יהיו מינימליות.

הבה נציג את הסימון הבא:

x הוא כמות המשאב המבוזר שניתן להשתמש בו ב-n דרכים שונות,

xi - כמות המשאב בשימוש לפי שיטת i (i = );

gi(xi) היא פונקציית עלות השווה, למשל, לערך עלויות הייצור בעת שימוש במשאב xi בשיטת i;

φk(x) - העלות הנמוכה ביותר, שצריך להפיק בעת שימוש במשאב x בדרכים ה-k הראשונות.

יש צורך למזער את העלות הכוללת של פיתוח משאב x בכל הדרכים:

תחת הגבלות

המשמעות הכלכלית של המשתנים xi היא למצוא את מספר המפעלים המומלצים לבנייה בנקודה ה-i. לנוחות החישובים, נניח שמתוכננת בניית מפעלים בעלי אותה יכולת.

הבה נבחן את הבעיה הספציפית של איתור ארגונים.

דוּגמָה. בשלושה מחוזות בעיר מתכנן היזם להקים חמישה מפעלים בעלי יכולת שווה לייצור מוצרי מאפה מבוקשים.

יש צורך לאתר מפעלים באופן שיבטיח את העלויות הכוללות המינימליות להקמתם ותפעולם. הערכים של פונקציית העלות gi(x) ניתנים בטבלה.

IN בדוגמה זו gi(x) הוא פונקציה של הוצאות במיליוני רובל, המאפיינת את כמות עלויות הבנייה והתפעול בהתאם למספר המפעלים הממוקמים באזור ה-i;

φk(x) הוא הסכום הקטן ביותר של עלויות במיליוני רובל שצריכות להיגרם במהלך הבנייה והתפעול של ארגונים באזורי k הראשונים.

פִּתָרוֹן. אנו פותרים את הבעיה באמצעות יחסי הישנות: עבור האזור הראשון

לתחומים אחרים

נפתור את הבעיה בשלושה שלבים.

שלב 1. אם כל המפעלים בנויים רק במחוז הראשון, אז

העלויות המינימליות האפשריות ב-x = 5 הן 76 מיליון רובל.

שלב 2. הבה נקבע את האסטרטגיה האופטימלית לאיתור ארגונים רק בשני האזורים הראשונים באמצעות הנוסחה

בוא נמצא את φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

בוא נחשב את φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

בוא נמצא את φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

הבה נגדיר את φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

בוא נחשב את φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

שלב 3. הבה נקבע את האסטרטגיה האופטימלית לאיתור חמישה מפעלים בשלושה מחוזות באמצעות הנוסחה

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

בוא נמצא את φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

העלויות המינימליות האפשריות ב-x = 5 הן 46 מיליון רובל.

נקבעו העלויות להקמת מפעלים משלב א' עד ג'. בואו נחזור לשלב 1 ב-3. מינימום עלויותב 46 מיליון רובל. בשלב ה-3 מתקבלים כ-9 + 37, כלומר. 9 מיליון שפשוף. תואמים להקמת מפעל אחד באזור השלישי (ראה לוח 29.4). על פי השלב השני, 37 מיליון רובל. מתקבל כ-19 + 18, כלומר. 19 מיליון לשפשף. תואמים לבניית שני מפעלים באזור השני. על פי השלב הראשון, 18 מיליון רובל. תואמים לבניית שני מפעלים באזור הראשון.

תְשׁוּבָה. האסטרטגיה האופטימלית היא לבנות מפעל אחד ברובע השלישי, שני מפעלים כל אחד במחוז השני והראשון, תוך כדי עלות מינימליתהבנייה והתפעול יהיו 46 ימים. יחידות

מציאת עלויות רציונליות בבניית צינורות ועורקי הובלה

נדרש להניח שביל (צינור, כביש מהיר) בין שתי נקודות A ו-B באופן שסך העלויות של הקמתו יהיו מינימליות.

פִּתָרוֹן. נחלק את המרחק בין נקודות A ו-B לשלבים (קטעים). בכל צעד נוכל לנוע מזרחה (לאורך ציר X) או צפונה (לאורך ציר Y). ואז הנתיב מ-A ל-B מייצג צעד בכיוון קו שבור, שקטעיו מקבילים לאחד מצירי הקואורדינטות. העלויות לבניית כל קטע ידועות (איור 29.2) במיליוני רובל.

נחלק את המרחק מ-A ל-B בכיוון מזרח ל-4 חלקים, בצפון – ל-3 חלקים. ניתן להתייחס לנתיב כמערכת מבוקרת, העוברת בהשפעת שליטה מהמצב ההתחלתי A למצב הסופי B. מצב מערכת זו לפני תחילת כל שלב יאופיין בשתי קואורדינטות שלמות x ו-y. עבור כל מצב של המערכת (נקודת צמתים), אנו מוצאים את הבקרה האופטימלית המותנית. זה נבחר כך שהעלות של כל השלבים הנותרים עד לסיום התהליך תהיה מינימלית. אנו מבצעים את הליך האופטימיזציה המותנית בכיוון ההפוך, כלומר. מנקודה ב' לנקודה א'.

בואו למצוא את האופטימיזציה המותנית של השלב האחרון.