דוגמה 1. מצא פתרון כללי ופתרון מסוים של המערכת

פִּתָרוֹןאנחנו עושים את זה באמצעות מחשבון. בואו נכתוב את המטריצות המורחבות והעיקריות:

המטריצה ​​הראשית A מופרדת על ידי קו מנוקד אנו כותבים מערכות לא ידועות בראש, תוך התחשבות בסידור מחדש אפשרי של מונחים במשוואות המערכת. על ידי קביעת הדרגה של המטריצה ​​המורחבת, אנו מוצאים בו זמנית את הדרגה של המטריצה ​​הראשית. במטריצה ​​B, העמודה הראשונה והשנייה פרופורציונלית. מבין שני העמודות הפרופורציונליות, רק אחד יכול ליפול לתוך הקטין הבסיסי, אז בואו נעביר, למשל, את העמודה הראשונה מעבר לקו המקווקו עם הסימן הנגדי. עבור המערכת, המשמעות היא העברת איברים מ-x 1 לצד ימין של המשוואות.

בואו נצמצם את המטריצה ​​לצורה משולשת. נעבוד רק עם שורות, שכן הכפלת שורה מטריצה ​​במספר שאינו אפס והוספתה לשורה אחרת עבור המערכת משמעה הכפלת המשוואה באותו מספר והוספתה עם משוואה אחרת, מה שלא משנה את פתרון ה- מַעֲרֶכֶת. אנו עובדים עם השורה הראשונה: מכפילים את השורה הראשונה של המטריצה ​​ב-(-3) ומוסיפים בתורו לשורה השנייה והשלישית. לאחר מכן הכפילו את השורה הראשונה ב-(-2) והוסיפו אותה לשורה הרביעית.

השורות השניות והשלישיות פרופורציונליות, לכן ניתן למחוק אחת מהן, למשל השניה. זה שווה ערך לחציית המשוואה השנייה של המערכת, מכיוון שהיא תוצאה של השלישית.

כעת אנו עובדים עם השורה השנייה: מכפילים אותה ב-(-1) ומוסיפים אותה לשלישית.

הקטנה המנוקדת היא בעלת הסדר הגבוה ביותר (בין הקטנות האפשריות) והיא אינה אפס (שווה למכפלת היסודות באלכסון הראשי), והקטנה הזו שייכת הן למטריצה ​​הראשית והן למטריצה ​​המורחבת, לכן rangA = rangB = 3.
קַטִין הוא בסיסי. הוא כולל מקדמים עבור הבלתי ידועים x 2 , x 3 , x 4 , כלומר הבלתי ידועים x 2 , x 3 , x 4 תלויים, ו- x 1 , x 5 חופשיים.
בואו נשנה את המטריצה, ונשאיר רק את המינור הבסיסי בצד שמאל (המתאים לנקודה 4 באלגוריתם הפתרון לעיל).

המערכת עם המקדמים של המטריצה ​​הזו שוות ערך למערכת המקורית ויש לה את הצורה

באמצעות השיטה של ​​חיסול לא ידועים אנו מוצאים:
, ,

השגנו יחסים המבטאים את המשתנים התלויים x 2, x 3, x 4 דרך החופשיים x 1 ו- x 5, כלומר מצאנו פתרון כללי:

על ידי הקצאת ערכים כלשהם לבלתי ידועים החופשיים, אנו משיגים כל מספר של פתרונות מסוימים. בוא נמצא שני פתרונות ספציפיים:
1) תן x 1 = x 5 = 0, ואז x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) שימו x 1 = 1, x 5 = -1, ואז x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
כך נמצאו שני פתרונות: (0,1,-3,3,0) – פתרון אחד, (1,4,-7,7,-1) – פתרון אחר.

דוגמה 2. חקור תאימות, מצא פתרון כללי ואחד מסוים למערכת

פִּתָרוֹן. בואו נסדר מחדש את המשוואה הראשונה והשנייה כך שתהיה אחת במשוואה הראשונה ונכתוב את המטריצה ​​B.

אנו מקבלים אפסים בעמודה הרביעית על ידי הפעלה עם השורה הראשונה:

כעת אנו מקבלים את האפסים בעמודה השלישית באמצעות השורה השנייה:

השורות השלישית והרביעית פרופורציונלית, כך שניתן למחוק אחת מהן מבלי לשנות את הדרגה:
הכפל את השורה השלישית ב- (–2) והוסף אותה לשורה הרביעית:

אנו רואים שהדרגות של המטריצות הראשיות והמורחבות שוות ל-4, והדרגה עולה בקנה אחד עם מספר הלא ידועים, לכן, למערכת יש פתרון ייחודי:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

דוגמה 3. בדוק את התאימות של המערכת ומצא פתרון אם הוא קיים.

פִּתָרוֹן. אנו מרכיבים מטריצה ​​מורחבת של המערכת.

נסדר מחדש את שתי המשוואות הראשונות כך שיהיה 1 בפינה השמאלית העליונה:
הכפלת השורה הראשונה ב-(-1), הוספתה לשורה השלישית:

הכפל את השורה השנייה ב- (-2) והוסף אותה לשלישית:

המערכת אינה עקבית, שכן במטריצה ​​הראשית קיבלנו שורה המורכבת מאפסים, שנמחקת כשמוצאים את הדרגה, אך במטריצה ​​המורחבת נשארת השורה האחרונה, כלומר r B > r A .

תַרגִיל. חקור מערכת משוואות זו לצורך תאימות ופתור אותה באמצעות חשבון מטריצה.
פִּתָרוֹן

דוּגמָה. הוכיחו את התאימות של מערכת המשוואות הלינאריות ופתרו אותה בשתי דרכים: 1) בשיטת גאוס; 2) שיטת קריימר. (הזן את התשובה בטופס: x1,x2,x3)
פתרון :doc :doc :xls
תְשׁוּבָה: 2,-1,3.

דוּגמָה. ניתנת מערכת של משוואות ליניאריות. הוכח את התאימות שלו. מצא פתרון כללי של המערכת ופתרון אחד מסוים.
פִּתָרוֹן
תְשׁוּבָה: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

תַרגִיל. מצא את הפתרונות הכלליים והפרטיים של כל מערכת.
פִּתָרוֹן.אנו לומדים את המערכת הזו באמצעות משפט קרונקר-קפלי.
בואו נכתוב את המטריצות המורחבות והעיקריות:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

כאן מטריצה ​​A מודגשת.
בואו נצמצם את המטריצה ​​לצורה משולשת. נעבוד רק עם שורות, שכן הכפלת שורה מטריצה ​​במספר שאינו אפס והוספתה לשורה אחרת עבור המערכת משמעה הכפלת המשוואה באותו מספר והוספתה עם משוואה אחרת, מה שלא משנה את פתרון ה- מַעֲרֶכֶת.
בוא נכפיל את השורה הראשונה ב-(3). הכפל את השורה השנייה ב- (-1). בוא נוסיף את השורה השנייה לשורה הראשונה:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

בוא נכפיל את השורה השנייה ב-(2). הכפל את השורה השלישית ב-(-3). בוא נוסיף את השורה השלישית לשורה השנייה:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

הכפל את השורה השנייה ב- (-1). בוא נוסיף את השורה השנייה לשורה הראשונה:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

הקטנה שנבחרה היא בעלת הסדר הגבוה ביותר (של קטינים אפשריים) ואינה אפס (הוא שווה למכפלת האלמנטים באלכסון ההפוך), והקטנה הזו שייכת הן למטריצה ​​הראשית והן למטריצה ​​המורחבת, לכן ring( A) = rang(B) = 3 מכיוון שהדרגה של המטריצה ​​הראשית שווה לדרגה של המורחבת, אז המערכת משתפת פעולה.
הקטין הזה הוא בסיסי. הוא כולל מקדמים עבור הבלתי ידועים x 1 , x 2 , x 3 , כלומר הבלתי ידועים x 1 , x 2 , x 3 הם תלויים (בסיסיים), ו- x 4 , x 5 חופשיים.
בואו נשנה את המטריצה, נשאיר רק את הבסיס מינור בצד שמאל.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

המערכת עם המקדמים של מטריצה ​​זו שוות ערך למערכת המקורית ובעלת הצורה:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
באמצעות השיטה של ​​חיסול לא ידועים אנו מוצאים:
השגנו יחסים המבטאים את המשתנים התלויים x 1 , x 2 , x 3 דרך החופשיים x 4 , x 5 , כלומר מצאנו פתרון כללי:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
לֹא בָּטוּחַ, כי יש יותר מפתרון אחד.

תַרגִיל. פתור את מערכת המשוואות.
תְשׁוּבָה:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
על ידי הקצאת ערכים כלשהם לבלתי ידועים החופשיים, אנו משיגים כל מספר של פתרונות מסוימים. המערכת היא לֹא בָּטוּחַ

מערכת של m משוואות לינאריות עם n לא ידועיםנקרא מערכת של הצורה

אֵיפֹה a ijו ב אני (אֲנִי=1,…,מ; ב=1,…,נ) הם כמה מספרים ידועים, ו x 1 ,…,x n– לא ידוע. בייעוד מקדמים a ijמדד ראשון אֲנִימציין את מספר המשוואה, והשני י– מספר הלא נודע שעליו עומד מקדם זה.

נכתוב את המקדמים עבור הלא ידועים בצורה של מטריצה , שאליו נקרא מטריצה ​​של המערכת.

המספרים בצד ימין של המשוואות הם b 1 ,…,b mנקראים חברים בחינם.

מִכלוֹל נמספרים c 1 ,…,c nנִקרָא הַחְלָטָהשל מערכת נתונה, אם כל משוואה של המערכת הופכת לשוויון לאחר החלפת מספרים לתוכה c 1 ,…,c nבמקום הלא ידועים המקבילים x 1 ,…,x n.

המשימה שלנו תהיה למצוא פתרונות למערכת. במקרה זה עשויים להיווצר שלושה מצבים:

נקראת מערכת של משוואות לינאריות שיש לה לפחות פתרון אחד מְשׁוּתָף. אחרת, כלומר. אם למערכת אין פתרונות, אז זה נקרא לא משותף.

בואו נבחן דרכים למצוא פתרונות למערכת.

שיטת מטריקס לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות

מטריצות מאפשרות לרשום בקצרה מערכת של משוואות לינאריות. תינתן מערכת של 3 משוואות עם שלושה לא ידועים:

שקול את מטריצת המערכת ומטריצות עמודות של מונחים לא ידועים וחופשיים

בוא נמצא את העבודה

הָהֵן. כתוצאה מהמכפלה, נקבל את הצדדים השמאליים של המשוואות של מערכת זו. לאחר מכן, באמצעות ההגדרה של שוויון מטריצות, ניתן לכתוב את המערכת הזו בצורה

או קצר יותר א∙X=B.

הנה המטריצות או בידועים, והמטריצה Xלֹא יְדוּעַ. יש צורך למצוא אותו, כי... המרכיבים שלה הם הפתרון למערכת הזו. המשוואה הזו נקראת משוואת מטריצה.

תן לקובע המטריצה ​​להיות שונה מאפס | א| ≠ 0. ואז משוואת המטריצה ​​נפתרת באופן הבא. הכפל את שני הצדדים של המשוואה משמאל במטריצה א-1, הפוך למטריצה א: . כִּי A -1 A = Eו ה∙X = X, אז נקבל פתרון למשוואת המטריצה ​​בצורה X = A -1 B .

שימו לב שמכיוון שניתן למצוא את המטריצה ​​ההפוכה רק עבור מטריצות מרובעות, שיטת המטריצה ​​יכולה לפתור רק את המערכות שבהן מספר המשוואות עולה בקנה אחד עם מספר הלא ידועים. עם זאת, רישום מטריצה ​​של המערכת אפשרי גם במקרה שמספר המשוואות אינו שווה למספר הלא ידועים, אז המטריצה אלא יהיה מרובע ולכן אי אפשר למצוא פתרון למערכת בטופס X = A -1 B.

דוגמאות.לפתור מערכות משוואות.

שלטון קרימר

שקול מערכת של 3 משוואות לינאריות עם שלושה לא ידועים:

דטרמיננט מסדר שלישי המתאים למטריצת המערכת, כלומר. מורכב ממקדמים לא ידועים,

נִקרָא הקובע של המערכת.

בואו נחבר שלושה דטרמיננטים נוספים באופן הבא: נחליף ברצף עמודות 1, 2 ו-3 בקובע D בעמודה של מונחים חופשיים

אז נוכל להוכיח את התוצאה הבאה.

משפט (כלל קריימר).אם הקובע של המערכת Δ ≠ 0, אז למערכת הנבדקת יש פתרון אחד ויחיד, ו

הוֹכָחָה. אז בואו ניקח בחשבון מערכת של 3 משוואות עם שלושה לא ידועים. בוא נכפיל את המשוואה הראשונה של המערכת במשלים האלגברי א 11אֵלֵמֶנט א 11, משוואה 2 - על א 21ו-3 - על א 31:

בואו נוסיף את המשוואות האלה:

בואו נסתכל על כל אחת מהסוגריים והצד הימני של המשוואה הזו. לפי המשפט על הרחבת הקובע באלמנטים של העמודה הראשונה

באופן דומה, ניתן להראות כי ו.

לבסוף, קל להבחין בכך

לפיכך, אנו משיגים את השוויון: .

מכאן, .

השוויון ונגזרים באופן דומה, מהם נובע הצהרת המשפט.

לפיכך, נציין שאם הקובע של המערכת Δ ≠ 0, אז למערכת יש פתרון ייחודי ולהיפך. אם הקובע של המערכת שווה לאפס, אז למערכת יש מספר אינסופי של פתרונות או שאין לה פתרונות, כלומר. מְנוּגָד.

דוגמאות.לפתור מערכת משוואות

שיטת גאוס

ניתן להשתמש בשיטות שנידונו קודם כדי לפתור רק את המערכות שבהן מספר המשוואות עולה בקנה אחד עם מספר הלא ידועים, והקביעה של המערכת חייבת להיות שונה מאפס. שיטת גאוס היא אוניברסלית יותר ומתאימה למערכות עם כל מספר של משוואות. זה מורכב בחיסול עקבי של לא ידועים ממשוואות המערכת.

שקול שוב מערכת של שלוש משוואות עם שלושה לא ידועים:

.

נשאיר את המשוואה הראשונה ללא שינוי, ומהשנייה והשלישית נוציא את המונחים המכילים x 1. כדי לעשות זאת, חלק את המשוואה השנייה ב א 21 ומכפילים ב- א 11, ולאחר מכן הוסף אותו למשוואה הראשונה. באופן דומה, אנו מחלקים את המשוואה השלישית ב א 31 ומכפילים ב- א 11, ולאחר מכן הוסף אותו עם הראשון. כתוצאה מכך, המערכת המקורית תקבל את הצורה:

כעת מהמשוואה האחרונה אנו מבטלים את המונח המכיל x 2. כדי לעשות זאת, חלקו את המשוואה השלישית ב, הכפלו והוסיפו עם השנייה. אז תהיה לנו מערכת משוואות:

מכאן, מהמשוואה האחרונה קל למצוא x 3, ואז מהמשוואה השנייה x 2ולבסוף, מהראשון - x 1.

כאשר משתמשים בשיטת גאוס, ניתן להחליף את המשוואות במידת הצורך.

לעתים קרובות, במקום לכתוב מערכת משוואות חדשה, הם מגבילים את עצמם לכתיבת המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

ואז להביא אותו לצורה משולשת או אלכסונית באמצעות טרנספורמציות יסודיות.

אֶל טרנספורמציות יסודיותהמטריצות כוללות את התמורות הבאות:

1. סידור מחדש של שורות או עמודות;
2. הכפלת מחרוזת במספר שאינו אפס;
3. הוספת שורות אחרות לשורה אחת.

דוגמאות:פתרו מערכות משוואות בשיטת גאוס.

לפיכך, למערכת יש אינסוף פתרונות.

עם זאת, בפועל שני מקרים נוספים נפוצים:

- המערכת אינה עקבית (אין לה פתרונות);
– המערכת עקבית ויש לה אינסוף פתרונות.

פֶּתֶק : המונח "עקביות" מרמז שלמערכת יש לפחות פתרון כלשהו. במספר בעיות, יש צורך קודם כל לבחון את התאימות של המערכת כיצד לעשות זאת, עיין במאמר על דרגה של מטריצות.

עבור מערכות אלו, נעשה שימוש בשיטות הפתרון האוניברסאליות ביותר - שיטת גאוס. למעשה, גם שיטת ה"בית ספר" תוביל לתשובה, אך במתמטיקה גבוהה יותר נהוג להשתמש בשיטת גאוס של חיסול רציף של אלמונים. מי שלא מכיר את האלגוריתם של שיטת גאוס, נא ללמוד תחילה את השיעור שיטת גאוס עבור בובות.

טרנספורמציות המטריצה ​​היסודיות עצמן זהות לחלוטין, ההבדל יהיה בסוף הפתרון. ראשית, הבה נסתכל על כמה דוגמאות כאשר למערכת אין פתרונות (לא עקביים).

דוגמה 1

מה מיד מושך את עיניך במערכת הזו? מספר המשוואות קטן ממספר המשתנים. אם מספר המשוואות קטן ממספר המשתנים, אז נוכל לומר מיד שהמערכת אינה עקבית או שיש לה אינסוף פתרונות. וכל שנותר הוא לברר.

תחילתו של הפתרון רגילה לחלוטין - אנו רושמים את המטריצה ​​המורחבת של המערכת ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות מביאים אותה לצורה שלבים:

(1) בשלב השמאלי העליון אנחנו צריכים לקבל +1 או –1. אין מספרים כאלה בעמודה הראשונה, אז סידור מחדש של השורות לא יעשה כלום. היחידה תצטרך לארגן את עצמה, וניתן לעשות זאת בכמה דרכים. עשיתי כך: לשורה הראשונה נוסיף את השורה השלישית, כפול -1.

(2) כעת נקבל שני אפסים בעמודה הראשונה. לשורה השנייה נוסיף את השורה הראשונה כפול 3. לשורה השלישית נוסיף את השורה הראשונה כפול 5.

(3) לאחר השלמת הטרנספורמציה, תמיד מומלץ לראות אם אפשר לפשט את המחרוזות המתקבלות? פַּחִית. אנו מחלקים את השורה השנייה ב-2, ובמקביל מקבלים את ה-1 הנדרש בשלב השני. מחלקים את השורה השלישית ב-3.

(4) הוסף את השורה השנייה לשורה השלישית.

כנראה שכולם שמו לב לקו הרע שנבע מתמורות יסודיות: . ברור שזה לא יכול להיות כך. אכן, הבה נכתוב מחדש את המטריצה ​​שהתקבלה חזרה למערכת המשוואות הלינאריות:

אם, כתוצאה מתמורות יסודיות, מתקבלת מחרוזת של הצורה שבה הוא מספר שאינו אפס, אז המערכת אינה עקבית (אין לה פתרונות).

איך לרשום את סיום המשימה? הבה נצייר בגיר לבן: "כתוצאה מתמורות יסודיות, מתקבלת מחרוזת של הצורה , שם " ונותן את התשובה: למערכת אין פתרונות (לא עקביים).

אם, על פי התנאי, נדרש לחקור את המערכת לתאימות, אז יש צורך להמציא את הפתרון בסגנון סולידי יותר תוך שימוש בקונספט דרגת מטריצה ​​ומשפט קרונקר-קפלי.

שימו לב שאין כאן היפוך של האלגוריתם גאוסי - אין פתרונות ופשוט אין מה למצוא.

דוגמה 2

לפתור מערכת משוואות ליניאריות

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור. אני מזכיר לך שוב שהפתרון שלך עשוי להיות שונה מהפתרון שלי לאלגוריתם גאוס אין "נוקשות".

תכונה טכנית נוספת של הפתרון: ניתן לעצור טרנספורמציות אלמנטריות מִיָד, ברגע שורה כמו , איפה . הבה נבחן דוגמה מותנית: נניח שאחרי הטרנספורמציה הראשונה מתקבלת המטריצה . המטריצה ​​עדיין לא הצטמצמה לצורת דרג, אך אין צורך בטרנספורמציות יסודיות נוספות, שכן הופיעה שורה של הצורה שבה . יש לתת תשובה מיידית שהמערכת אינה תואמת.

כאשר למערכת משוואות ליניאריות אין פתרונות, זו כמעט מתנה, בשל העובדה שמתקבל פתרון קצר, לפעמים ממש ב-2-3 שלבים.

אבל הכל בעולם הזה מאוזן, ובעיה שבה למערכת יש אינסוף פתרונות היא פשוט ארוכה יותר.

דוגמה 3

לפתור מערכת משוואות ליניאריות

יש 4 משוואות ו-4 לא ידועים, כך שלמערכת יכול להיות פתרון יחיד, או שאין לו פתרונות, או שיש לה אינסוף פתרונות. כך או כך, השיטה הגאוסית תוביל אותנו בכל מקרה לתשובה. זוהי הרבגוניות שלו.

ההתחלה שוב סטנדרטית. הבה נכתוב את המטריצה ​​המורחבת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נביא אותה לצורה שלבים:

זה הכל, ופחדת.

(1) שים לב שכל המספרים בעמודה הראשונה מתחלקים ב-2, כך ש-2 זה בסדר בצעד השמאלי העליון. לשורה השנייה נוסיף את השורה הראשונה, כפול –4. לשורה השלישית נוסיף את השורה הראשונה, כפול –2. לשורה הרביעית נוסיף את השורה הראשונה, כפול –1.

תְשׁוּמַת לֵב!רבים עשויים להתפתות לשורה הרביעית לְחַסֵרשורה ראשונה. זה יכול להיעשות, אבל זה לא הכרחי הניסיון מראה שההסתברות לטעות בחישובים עולה פי כמה. פשוט הוסף: לשורה הרביעית הוסף את השורה הראשונה כפול –1 – בדיוק ככה!

(2) שלוש השורות האחרונות הן פרופורציונליות, שתיים מהן ניתנות למחיקה.

כאן שוב אנחנו צריכים להראות תשומת לב מוגברת, אבל האם הקווים באמת פרופורציונליים? ליתר ביטחון (במיוחד עבור קומקום), כדאי להכפיל את השורה השנייה ב-1 ולחלק את השורה הרביעית ב-2, וכך יהיו שלושה קווים זהים. ורק אחר כך להסיר שניים מהם.

כתוצאה מתמורות יסודיות, המטריצה ​​המורחבת של המערכת מצטמצמת לצורה שלבים:

בעת כתיבת משימה במחברת, רצוי לרשום את אותן הערות בעיפרון לצורך הבהירות.

הבה נכתוב מחדש את מערכת המשוואות המתאימה:

אין כאן ריח של פתרון יחיד "רגיל" למערכת. גם אין קו רע. המשמעות היא שזהו המקרה השלישי שנותר - למערכת יש אינסוף פתרונות. לפעמים, לפי התנאי, יש צורך לחקור את תאימות המערכת (כלומר להוכיח שבכלל קיים פתרון), על כך תוכלו לקרוא בפסקה האחרונה של המאמר איך למצוא את הדרגה של מטריצה?אבל לעת עתה נעבור על היסודות:

קבוצה אינסופית של פתרונות למערכת נכתבת בקצרה בצורה של מה שנקרא פתרון כללי של המערכת .

אנו מוצאים את הפתרון הכללי של המערכת תוך שימוש בהיפוך של שיטת גאוס.

ראשית עלינו להגדיר אילו משתנים יש לנו בְּסִיסִי, ואיזה משתנים לְשַׁחְרֵר. אתה לא צריך להטריד את עצמך במונחים של אלגברה לינארית, רק תזכור שיש כאלה משתנים בסיסייםו משתנים חופשיים.

משתנים בסיסיים תמיד "יושבים" אך ורק על שלבי המטריצה.
בדוגמה זו, המשתנים הבסיסיים הם ו

משתנים חופשיים הם הכל נוֹתָרמשתנים שלא קיבלו שלב. במקרה שלנו יש שניים מהם: – משתנים חופשיים.

עכשיו אתה צריך כֹּל משתנים בסיסייםאֶקְסְפּרֶס רק דרך משתנים חופשיים.

ההפך של האלגוריתם של גאוס פועל באופן מסורתי מלמטה למעלה.
מהמשוואה השנייה של המערכת אנו מבטאים את המשתנה הבסיסי:

עכשיו תסתכל על המשוואה הראשונה: . ראשית נחליף את הביטוי המצוי בו:

נותר לבטא את המשתנה הבסיסי במונחים של משתנים חופשיים:

בסופו של דבר קיבלנו את מה שהיינו צריכים - כֹּלמשתנים בסיסיים ( ו ) באים לידי ביטוי רק דרךמשתנים חופשיים:

למעשה, הפתרון הכללי מוכן:

איך כותבים נכון את הפתרון הכללי?
משתנים חופשיים נכתבים בפתרון הכללי "בעצמם" ובהקפדה במקומם. במקרה זה, יש לכתוב משתנים חופשיים במיקום השני והרביעי:
.

הביטויים המתקבלים עבור המשתנים הבסיסיים וברור שצריך לכתוב בעמדה הראשונה והשלישית:

מתן משתנים בחינם ערכים שרירותיים, אתה יכול למצוא אינסוף הרבה פתרונות פרטיים. הערכים הפופולריים ביותר הם אפסים, מכיוון שהפתרון המסוים הוא הקל ביותר להשגה. בואו נחליף לפתרון הכללי:

- פתרון פרטי.

עוד זוג מתוקים הם כאלה, בואו נחליף אותם בפתרון הכללי:

- פתרון פרטי נוסף.

קל לראות שיש למערכת המשוואות אין סוף פתרונות(שכן אנו יכולים לתת משתנים חופשיים כֹּלערכים)

כֹּלהפתרון המסוים חייב לספק לכולםמשוואת המערכת. זהו הבסיס לבדיקה "מהירה" של תקינות הפתרון. קחו, למשל, פתרון מסוים והחליפו אותו בצד השמאלי של כל משוואה של המערכת המקורית:

הכל חייב להתאחד. ועם כל פתרון מסוים שתקבל, הכל צריך גם להסכים.

אבל, למהדרין, בדיקת פתרון מסוים היא לפעמים הטעיה, כלומר. פתרון מסוים עשוי לספק כל משוואה של המערכת, אך הפתרון הכללי עצמו נמצא למעשה באופן שגוי.

לכן, אימות הפתרון הכללי הוא יסודי ואמין יותר. כיצד לבדוק את הפתרון הכללי שנוצר ?

זה לא קשה, אבל די מייגע. אנחנו צריכים לקבל ביטויים בְּסִיסִימשתנים, במקרה זה ו , והחליפו אותם בצד השמאלי של כל משוואה של המערכת.

בצד שמאל של המשוואה הראשונה של המערכת:

בצד שמאל של המשוואה השנייה של המערכת:


הצד הימני של המשוואה המקורית מתקבל.

דוגמה 4

פתרו את המערכת בשיטת גאוס. מצא את הפתרון הכללי ושניים ספציפיים. בדוק את הפתרון הכללי.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. כאן, אגב, שוב מספר המשוואות קטן ממספר הלא ידועים, מה שאומר שברור מיד שהמערכת תהיה לא עקבית או שתהיה לה מספר אינסופי של פתרונות. מה חשוב בתהליך ההחלטה עצמו? תשומת לב, ושוב תשומת לב. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

ועוד כמה דוגמאות לחיזוק החומר

דוגמה 5

לפתור מערכת משוואות ליניאריות. אם למערכת יש אינסוף פתרונות, מצאו שני פתרונות מסוימים ובדקו את הפתרון הכללי

פִּתָרוֹן: בואו נרשום את המטריצה ​​המורחבת של המערכת, ובאמצעות טרנספורמציות יסודיות, נביא אותה לצורה שלבים:

(1) הוסף את השורה הראשונה לשורה השנייה. לשורה השלישית נוסיף את השורה הראשונה כפול 2. לשורה הרביעית נוסיף את השורה הראשונה כפול 3.
(2) לשורה השלישית נוסיף את השורה השנייה, כפול –5. לשורה הרביעית נוסיף את השורה השנייה, כפול –7.
(3) השורה השלישית והרביעית זהות, אנו מוחקים אחת מהן.

זה כזה יופי:

משתנים בסיסיים יושבים על המדרגות, לכן - משתנים בסיסיים.
יש רק משתנה חינמי אחד שלא קיבל שלב:

לַהֲפוֹך:
בואו נבטא את המשתנים הבסיסיים באמצעות משתנה חופשי:
מהמשוואה השלישית:

הבה נשקול את המשוואה השנייה ונחליף בה את הביטוי המצוי:

הבה נשקול את המשוואה הראשונה ונחליף את הביטויים שנמצאו ולתוכה:

כן, מחשבון שמחשב שברים רגילים עדיין נוח.

אז הפתרון הכללי הוא:

שוב, איך זה יצא? המשתנה החינמי יושב לבדו במקום הרביעי הראוי לו. גם הביטויים שהתקבלו עבור המשתנים הבסיסיים תפסו את מקומם הסידורי.

הבה נבדוק מיד את הפתרון הכללי. העבודה מיועדת לשחורים, אבל כבר עשיתי אותה, אז תפסו אותה =)

אנו מחליפים שלושה גיבורים , , בצד שמאל של כל משוואה של המערכת:

מתקבלות הצלעות הימניות המתאימות של המשוואות, ובכך נמצא הפתרון הכללי בצורה נכונה.

עכשיו מהפתרון הכללי שנמצא אנו מקבלים שני פתרונות מסוימים. המשתנה החינמי היחיד כאן הוא השף. אין צורך לטרוף את המוח.

תן לזה להיות אז - פתרון פרטי.
תן, אם כן, להיות עוד פתרון מסוים.

תְשׁוּבָה: פתרון כללי: , פתרונות פרטיים: , .

לא הייתי צריך לזכור על שחורים... ...כי כל מיני מניעים סדיסטיים נכנסו לי לראש ונזכרתי בפוטושופ המפורסם שבו אנשי קו קלוקס קלאנס בחלוקים לבנים רצים על המגרש אחרי שחקן כדורגל שחור. אני יושב ומחייך בשקט. אתה יודע כמה מסיח את הדעת...

הרבה מתמטיקה מזיקה, אז דוגמה אחרונה דומה לפתרון בעצמך.

דוגמה 6

מצא את הפתרון הכללי למערכת המשוואות הלינאריות.

כבר בדקתי את הפתרון הכללי, אפשר לסמוך על התשובה. הפתרון שלך עשוי להיות שונה מהפתרון שלי, העיקר שהפתרונות הכלליים עולים בקנה אחד.

כנראה, אנשים רבים שמו לב לרגע לא נעים בפתרונות: לעתים קרובות מאוד, במהלך ההפוך של שיטת גאוס, היינו צריכים להתעסק עם שברים רגילים. בפועל, זה אכן המקרים שבהם אין שברים הם הרבה פחות שכיחים. היו מוכנים נפשית והכי חשוב טכנית.

אתעכב על כמה מאפיינים של הפתרון שלא נמצאו בדוגמאות שנפתרו.

הפתרון הכללי של המערכת עשוי לכלול לפעמים קבוע (או קבועים), למשל: . כאן אחד המשתנים הבסיסיים שווה למספר קבוע: . אין בזה שום דבר אקזוטי, זה קורה. ברור שבמקרה זה, כל פתרון מסוים יכיל חמישייה במיקום הראשון.

לעתים רחוקות, אבל יש מערכות שבהן מספר המשוואות גדול ממספר המשתנים. השיטה גאוסית פועלת בתנאים הקשים ביותר, יש לצמצם את המטריצה ​​המורחבת של המערכת בצורה שלבית באמצעות אלגוריתם סטנדרטי. מערכת כזו עשויה להיות לא עקבית, עשויה להיות בעלת אינסוף פתרונות, ולמרבה הפלא, עשויה להיות לה פתרון יחיד.

לחקור מערכת של משוואות גילאיות ליניאריות (SLAEs) לעקביות פירושו לגלות אם למערכת הזו יש פתרונות או אין. ובכן, אם יש פתרונות, אז ציינו כמה יש.

נצטרך מידע מהנושא "מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות. מונחים בסיסיים. צורת סימון מטריצה". בפרט נחוצים מושגים כמו מטריצת מערכת ומטריצת מערכת מורחבת, שכן הניסוח של משפט קרונקר-קפלי מבוסס עליהם. כרגיל, נסמן את מטריצת המערכת באות $A$, ואת המטריצה ​​המורחבת של המערכת באות $\widetilde(A)$.

משפט קרונקר-קפלי

מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות עקבית אם ורק אם הדרגה של מטריצת המערכת שווה לדרגת המטריצה ​​המורחבת של המערכת, כלומר. $\rang A=\rang\widetilde(A)$.

הרשו לי להזכיר לכם שמערכת נקראת joint אם יש לה לפחות פתרון אחד. משפט Kronecker-Capelli אומר כך: אם $\rang A=\rang\widetilde(A)$, אז יש פתרון; אם $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, אז ל-SLAE הזה אין פתרונות (לא עקביים). התשובה לשאלה לגבי מספר הפתרונות הללו ניתנת על ידי פועל יוצא של משפט קרונקר-קפלי. בניסוח התוצאה, נעשה שימוש באות $n$, השווה למספר המשתנים של ה-SLAE הנתון.

תוצאה של משפט קרונקר-קפלי

1. אם $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, אז ה-SLAE אינו עקבי (אין לו פתרונות).
2. אם $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. אם $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$, אז ה-SLAE מוגדר (יש לו פתרון אחד בדיוק).

שימו לב שהמשפט המנוסח ותולדתו אינם מציינים כיצד למצוא פתרון ל-SLAE. בעזרתם תוכלו לברר רק אם הפתרונות הללו קיימים או לא, ואם הם קיימים אז כמה.

דוגמה מס' 1

חקור SLAE $ \left \(\begin(aligned) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42. \end(aligned )\right.$ עבור תאימות אם ה-SLAE תואם, ציין את מספר הפתרונות.

כדי לגלות את קיומם של פתרונות ל-SLAE נתון, אנו משתמשים במשפט Kronecker-Capelli. נצטרך את המטריצה ​​של המערכת $A$ ואת המטריצה ​​המורחבת של המערכת $\widetilde(A)$, נכתוב אותם:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right);\; \widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end(מערך) \right). $$

אנחנו צריכים למצוא את $\rang A$ ו-$\rang\widetilde(A)$. ישנן דרכים רבות לעשות זאת, חלקן מופיעות בסעיף דירוג מטריקס. בדרך כלל משתמשים בשתי שיטות לחקר מערכות כאלה: "חישוב דרגת מטריצה ​​בהגדרה" או "חישוב דרגת מטריצה ​​בשיטת טרנספורמציות יסודיות".

שיטה מס' 1. דרגות מחשוב בהגדרה.

על פי ההגדרה, הדרגה היא הסדר הגבוה ביותר מבין הקטינים במטריצה, שביניהם יש לפחות אחד ששונה מאפס. בדרך כלל, המחקר מתחיל בקטינים מסדר ראשון, אך כאן נוח יותר להתחיל מיד בחישוב הקטין מסדר שלישי של המטריצה ​​$A$. האלמנטים המינוריים מסדר שלישי ממוקמים בצומת של שלוש שורות ושלוש עמודות של המטריצה ​​המדוברת. מאחר והמטריצה ​​$A$ מכילה רק 3 שורות ו-3 עמודות, המינור מסדר שלישי של המטריצה ​​$A$ הוא הקובע של המטריצה ​​$A$, כלומר. $\Delta A$. כדי לחשב את הקובע, אנו מיישמים נוסחה מס' 2 מהנושא "נוסחאות לחישוב הקובעים מהסדר השני והשלישי":

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(array) \right|=-21. $$

אז יש מינור מסדר שלישי של המטריצה ​​$A$, שאינו שווה לאפס. אי אפשר ליצור מינור מסדר רביעי, מכיוון שהוא דורש 4 שורות ו-4 עמודות, ולמטריקס $A$ יש רק 3 שורות ו-3 עמודות. אז, הסדר הגבוה ביותר של הקטינים של המטריצה ​​$A$, שביניהם יש לפחות אחד שאינו שווה לאפס, הוא 3. לכן, $\rang A=3$.

אנחנו צריכים גם למצוא את $\rang\widetilde(A)$. בואו נסתכל על המבנה של המטריצה ​​$\widetilde(A)$. עד השורה במטריצה ​​$\widetilde(A)$ יש אלמנטים של המטריצה ​​$A$, וגילינו ש$\Delta A\neq 0$. כתוצאה מכך, למטריצה ​​$\widetilde(A)$ יש מינור מסדר שלישי, שאינו שווה לאפס. אנחנו לא יכולים לבנות קטינים מסדר רביעי של המטריצה ​​$\widetilde(A)$, אז אנחנו מסיקים: $\rang\widetilde(A)=3$.

מכיוון ש$\rang A=\rang\widetilde(A)$, אז לפי משפט Kronecker-Capelli המערכת עקבית, כלומר. יש פתרון (לפחות אחד). כדי לציין את מספר הפתרונות, אנו לוקחים בחשבון שה-SLAE שלנו מכיל 3 לא ידועים: $x_1$, $x_2$ ו-$x_3$. מכיוון שמספר הלא ידועים הוא $n=3$, אנו מסיקים: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, לכן, על פי התוצאה של משפט קרונקר-קפלי, המערכת היא מוגדרת, כלומר. יש פתרון ייחודי.

הבעיה נפתרה. אילו חסרונות ויתרונות יש לשיטה זו? ראשית, בואו נדבר על היתרונות. ראשית, היינו צריכים רק למצוא קובע אחד. לאחר מכן, קבענו מיד מסקנה לגבי מספר הפתרונות. בדרך כלל, חישובים סטנדרטיים סטנדרטיים נותנים מערכות משוואות המכילות שלושה לא ידועים ויש להם פתרון ייחודי. למערכות כאלה השיטה הזו מאוד נוחה, כי אנחנו יודעים מראש שיש פתרון (אחרת הדוגמה לא הייתה בחישוב הסטנדרטי). הָהֵן. כל שעלינו לעשות הוא להראות את קיומו של פתרון בצורה המהירה ביותר. שנית, הערך המחושב של הקובע של מטריצת המערכת (כלומר $\Delta A$) יהיה שימושי מאוחר יותר: כאשר נתחיל לפתור מערכת נתונה בשיטת Cramer או באמצעות המטריצה ​​ההפוכה.

עם זאת, שיטת חישוב הדרגה אינה רצויה בהגדרה אם המטריצה ​​של המערכת $A$ היא מלבנית. במקרה זה, עדיף להשתמש בשיטה השנייה, אשר יידונו להלן. בנוסף, אם $\Delta A=0$, אז לא נוכל לומר דבר על מספר הפתרונות של SLAE לא הומוגנית נתונה. אולי ל-SLAE יש מספר אינסופי של פתרונות, או אולי אף אחד. אם $\Delta A=0$, נדרש מחקר נוסף, שלעתים קרובות הוא מסורבל.

לסיכום מה שנאמר, אני מציין שהשיטה הראשונה טובה לאותם SLAEs שמטריצת המערכת שלהם היא מרובעת. יתרה מכך, ה-SLAE עצמו מכיל שלושה או ארבעה לא ידועים ונלקח מחישובים או בדיקות סטנדרטיות.

שיטה מספר 2. חישוב דרגה בשיטת טרנספורמציות יסודיות.

שיטה זו מתוארת בפירוט בנושא המתאים. נתחיל לחשב את הדרגה של המטריצה ​​$\widetilde(A)$. למה מטריצות $\widetilde(A)$ ולא $A$? העובדה היא שהמטריצה ​​$A$ היא חלק מהמטריצה ​​$\widetilde(A)$, לכן, על ידי חישוב דרגת המטריצה ​​$\widetilde(A)$ נמצא בו זמנית את הדרגה של המטריצה ​​$A$ .

\begin(aligned) &\widetilde(A) =\left(\begin(array) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(array) \right) \rightarrow \left|\text(החליפו את השורה הראשונה והשנייה)\right| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0) \\ II-3\cdot I\\ III+4\cdot I \end(array) \rightarrow \left(\begin (מערך) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(array) \right) \begin(array) ( l) \phantom(0) \\ \phantom(0)\\ III-2\cdot II \end(array)\rightarrow\\ &\rightarrow \left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(מערך) \right) \end(מיושר)

צמצמנו את המטריצה ​​$\widetilde(A)$ לצורה טרפזית. באלכסון הראשי של המטריצה ​​המתקבלת $\left(\begin(array) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end( array) \right)$ מכיל שלושה אלמנטים שאינם אפס: -1, 3 ו-7. מסקנה: דרגת המטריצה ​​$\widetilde(A)$ היא 3, כלומר. $\rang\widetilde(A)=3$. בעת ביצוע טרנספורמציות עם רכיבי המטריצה ​​$\widetilde(A)$, הפכנו בו-זמנית את רכיבי המטריצה ​​$A$ הממוקמים עד לקו. המטריצה ​​$A$ מצטמצמת גם היא לצורה טרפזית: $\left(\begin(array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(array) \right )$. מסקנה: דרגת המטריצה ​​$A$ היא גם 3, כלומר. $\rang A=3$.

מכיוון ש$\rang A=\rang\widetilde(A)$, אז לפי משפט Kronecker-Capelli המערכת עקבית, כלומר. יש פתרון. כדי לציין את מספר הפתרונות, אנו לוקחים בחשבון שה-SLAE שלנו מכיל 3 לא ידועים: $x_1$, $x_2$ ו-$x_3$. מכיוון שמספר הלא ידועים הוא $n=3$, אנו מסיקים: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, לכן, על פי התוצאה של משפט קרונקר-קפלי, המערכת מוגדרת, כלומר. יש פתרון ייחודי.

מהם היתרונות של השיטה השנייה? היתרון העיקרי הוא הרבגוניות שלו. זה לא משנה לנו אם המטריצה ​​של המערכת היא מרובעת או לא. בנוסף, למעשה ביצענו טרנספורמציות קדימה של שיטת גאוס. נותרו רק כמה שלבים, ונוכל להשיג פתרון ל-SLAE הזה. למען האמת, אני אוהב יותר את השיטה השנייה מהראשונה, אבל הבחירה היא עניין של טעם.

תְשׁוּבָה: ה-SLAE הנתון עקבי ומוגדר.

דוגמה מס' 2

חקור SLAE $ \left\( \begin(aligned) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4 \end(aligned) \right.$ עבור תאימות.

נמצא את הדרגות של מטריצת המערכת ומטריצת המערכת המורחבת בשיטה של ​​טרנספורמציות יסודיות. מטריצת מערכת מורחבת: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(array) \right)$. בואו למצוא את הדרגות הנדרשות על ידי שינוי המטריצה ​​המורחבת של המערכת:

המטריצה ​​המורחבת של המערכת מצטמצמת לצורה שלבים. אם מטריצה ​​מצטמצמת לצורת דרג, אז הדירוג שלה שווה למספר השורות שאינן אפס. לכן, $\rang A=3$. המטריצה ​​$A$ (עד השורה) מצטמצמת לצורת טרפז והדרגה שלה היא 2, $\rang A=2$.

מאז $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$, אז לפי משפט קרונקר-קפלי המערכת אינה עקבית (כלומר, אין לה פתרונות).

תְשׁוּבָה: המערכת לא עקבית.

דוגמה מס' 3

חקור SLAE $ \left\( \begin(aligned) & 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=-6 ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132 \end(aligned) \right.$ עבור תאימות.

למטריצה ​​המורחבת של המערכת יש את הצורה: $\widetilde(A)=\left(\begin(array) (ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(מערך) \right)$. הבה נחליף את השורה הראשונה והשנייה של המטריצה ​​הזו כך שהרכיב הראשון בשורה הראשונה יהפוך לאחד: $\left(\begin(array) (ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(array) \right)$.

צמצמנו את המטריצה ​​המורחבת של המערכת ואת המטריצה ​​של המערכת עצמה לצורה טרפזית. דרגת המטריצה ​​המורחבת של המערכת שווה לשלוש, דרגת המטריצה ​​של המערכת שווה גם היא לשלוש. מכיוון שהמערכת מכילה $n=5$ לא ידועים, כלומר. $\rang\widetilde(A)=\rang A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

תְשׁוּבָה: המערכת אינה ודאית.

בחלק השני, ננתח דוגמאות הנכללות לרוב בחישובים סטנדרטיים או במבחנים במתמטיקה גבוהה יותר: מחקר עקביות ופתרון SLAE בהתאם לערכי הפרמטרים הכלולים בו.

מערכות משוואות נמצאות בשימוש נרחב במגזר הכלכלי למידול מתמטי של תהליכים שונים. למשל, בפתרון בעיות של ניהול ותכנון ייצור, מסלולים לוגיסטיים (בעיית הובלה) או הצבת ציוד.

מערכות משוואות משמשות לא רק במתמטיקה, אלא גם בפיזיקה, כימיה וביולוגיה, בעת פתרון בעיות של מציאת גודל אוכלוסיה.

מערכת משוואות לינאריות היא שתי משוואות או יותר עם מספר משתנים שעבורן יש צורך למצוא פתרון משותף. רצף כזה של מספרים שכל המשוואות הופכות לשוויון אמיתי או מוכיחות שהרצף אינו קיים.

משוואה לינארית

משוואות בצורה ax+by=c נקראות לינאריות. הייעודים x, y הם הלא ידועים שיש למצוא את ערכם, b, a הם המקדמים של המשתנים, c הוא האיבר החופשי של המשוואה.
פתרון משוואה באמצעות שרטוט יראה כמו קו ישר, שכל נקודותיו הן פתרונות לפולינום.

סוגי מערכות של משוואות ליניאריות

הדוגמאות הפשוטות ביותר נחשבות למערכות של משוואות ליניאריות עם שני משתנים X ו-Y.

F1(x, y) = 0 ו-F2(x, y) = 0, כאשר F1,2 הם פונקציות ו-(x, y) הם משתני פונקציה.

לפתור מערכת משוואות - זה אומר למצוא ערכים (x, y) שבהם המערכת הופכת לשוויון אמיתי או לקבוע שערכים מתאימים של x ו-y לא קיימים.

זוג ערכים (x, y), שנכתב כקואורדינטות של נקודה, נקרא פתרון למערכת של משוואות לינאריות.

אם למערכות יש פתרון אחד משותף או שאין פתרון, הן נקראות שווה ערך.

מערכות הומוגניות של משוואות ליניאריות הן מערכות שהצד הימני שלהן שווה לאפס. אם לחלק הימני אחרי סימן השוויון יש ערך או מתבטא בפונקציה, מערכת כזו היא הטרוגנית.

מספר המשתנים יכול להיות הרבה יותר משניים, אז צריך לדבר על דוגמה למערכת של משוואות ליניאריות עם שלושה משתנים או יותר.

כאשר הם מתמודדים עם מערכות, תלמידי בית הספר מניחים שמספר המשוואות חייב בהכרח להתאים למספר הלא ידועים, אבל זה לא המקרה. מספר המשוואות במערכת אינו תלוי במשתנים יכולים להיות כמה מהן כרצונך.

שיטות פשוטות ומורכבות לפתרון מערכות משוואות

אין שיטה אנליטית כללית לפתרון מערכות כאלה. כל השיטות מבוססות על פתרונות מספריים. קורס מתמטיקה בבית הספר מתאר בפירוט שיטות כגון תמורה, חיבור אלגברי, החלפה, וכן שיטות גרפיות ומטריצות, פתרון בשיטת גאוס.

המשימה העיקרית בלימוד שיטות פתרון היא ללמד כיצד לנתח נכון את המערכת ולמצוא את אלגוריתם הפתרון האופטימלי לכל דוגמה. העיקר הוא לא לשנן מערכת של כללים ופעולות לכל שיטה, אלא להבין את העקרונות של שימוש בשיטה מסוימת

פתרון דוגמאות של מערכות משוואות ליניאריות בתכנית הלימודים בחינוך הכללי של כיתה ז' הוא די פשוט ומוסבר בפירוט רב. בכל ספר לימוד במתמטיקה, חלק זה זוכה לתשומת לב מספקת. פתרון דוגמאות של מערכות משוואות ליניאריות בשיטת גאוס וקרמר נלמד ביתר פירוט בשנים הראשונות של ההשכלה הגבוהה.

פתרון מערכות בשיטת ההחלפה

הפעולות של שיטת ההחלפה מכוונות לבטא את ערכו של משתנה אחד במונחים של השני. הביטוי מוחלף לתוך המשוואה הנותרת, ואז הוא מצטמצם לצורה עם משתנה אחד. הפעולה חוזרת על עצמה בהתאם למספר הלא ידועים במערכת

הבה ניתן פתרון לדוגמה של מערכת משוואות לינאריות של מחלקה 7 בשיטת ההחלפה:

כפי שניתן לראות מהדוגמה, המשתנה x הובע באמצעות F(X) = 7 + Y. הביטוי שהתקבל, שהוחלף במשוואה השנייה של המערכת במקום X, עזר לקבל משתנה אחד Y במשוואה השנייה . פתרון דוגמה זו הוא קל ומאפשר לך לקבל את ערך Y השלב האחרון הוא לבדוק את הערכים שהתקבלו.

לא תמיד ניתן לפתור דוגמה למערכת של משוואות ליניאריות על ידי החלפה. המשוואות יכולות להיות מורכבות וביטוי המשתנה במונחים של הלא נודע השני יהיה מסורבל מדי לחישובים נוספים. כאשר ישנם יותר מ-3 אלמונים במערכת, גם פתרון באמצעות החלפה אינו הולם.

פתרון של דוגמה למערכת של משוואות לא הומוגניות ליניאריות:

פתרון באמצעות חיבור אלגברי

בחיפוש אחר פתרונות למערכות בשיטת החיבור מוסיפים משוואות מונח אחר מונח ומכפילים במספרים שונים. המטרה הסופית של פעולות מתמטיות היא משוואה במשתנה אחד.

יישום שיטה זו דורש תרגול והתבוננות. פתרון מערכת משוואות ליניאריות בשיטת החיבור כאשר יש 3 משתנים או יותר אינו קל. חיבור אלגברי נוח לשימוש כאשר משוואות מכילות שברים ועשרונים.

אלגוריתם פתרון:

1. הכפל את שני הצדדים של המשוואה במספר מסוים. כתוצאה מהפעולה האריתמטית, אחד מהמקדמים של המשתנה צריך להיות שווה ל-1.
2. הוסף את הביטוי המתקבל מונח אחר מונח ומצא אחד מהלא ידועים.
3. החלף את הערך המתקבל במשוואה השנייה של המערכת כדי למצוא את המשתנה הנותר.

שיטת פתרון על ידי הכנסת משתנה חדש

ניתן להציג משתנה חדש אם המערכת דורשת מציאת פתרון עבור לא יותר משתי משוואות גם מספר הלא ידועים צריך להיות לא יותר משניים.

השיטה משמשת לפישוט אחת מהמשוואות על ידי הכנסת משתנה חדש. המשוואה החדשה נפתרת עבור הלא נודע שהוצג, והערך המתקבל משמש לקביעת המשתנה המקורי.

הדוגמה מראה שעל ידי הכנסת משתנה חדש t, ניתן היה להקטין את המשוואה הראשונה של המערכת לטרינום ריבועי סטנדרטי. אתה יכול לפתור פולינום על ידי מציאת המבחין.

יש צורך למצוא את ערכו של המבחין באמצעות הנוסחה הידועה: D = b2 - 4*a*c, כאשר D הוא המבחין הרצוי, b, a, c הם הגורמים של הפולינום. בדוגמה הנתונה, a=1, b=16, c=39, ולכן D=100. אם המבחין גדול מאפס, אז יש שני פתרונות: t = -b±√D / 2*a, אם המבחין קטן מאפס, אז יש פתרון אחד: x = -b / 2*a.

הפתרון למערכות המתקבלות נמצא בשיטת ההוספה.

שיטה חזותית לפתרון מערכות

מתאים ל-3 מערכות משוואות. השיטה מורכבת מבניית גרפים של כל משוואה הכלולה במערכת על ציר הקואורדינטות. הקואורדינטות של נקודות החיתוך של העקומות יהיו הפתרון הכללי של המערכת.

לשיטה הגרפית יש מספר ניואנסים. בואו נסתכל על כמה דוגמאות לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות בצורה ויזואלית.

כפי שניתן לראות מהדוגמה, עבור כל קו נבנו שתי נקודות, ערכי המשתנה x נבחרו באופן שרירותי: 0 ו-3. בהתבסס על ערכי x, נמצאו הערכים של y: 3 ו-0. נקודות עם קואורדינטות (0, 3) ו- (3, 0) סומנו על הגרף והתחברו באמצעות קו.

יש לחזור על השלבים עבור המשוואה השנייה. נקודת החיתוך של הקווים היא הפתרון של המערכת.

הדוגמה הבאה דורשת מציאת פתרון גרפי למערכת של משוואות לינאריות: 0.5x-y+2=0 ו-0.5x-y-1=0.

כפי שניתן לראות מהדוגמה, למערכת אין פתרון, מכיוון שהגרפים מקבילים ואינם מצטלבים לכל אורכם.

המערכות מדוגמאות 2 ו-3 דומות, אך כאשר הן בנויות ברור שהפתרונות שלהן שונים. צריך לזכור שלא תמיד ניתן לומר אם למערכת יש פתרון או אין תמיד צורך לבנות גרף.

המטריצה ​​והזנים שלה

מטריצות משמשות לכתיבה תמציתית של מערכת משוואות ליניאריות. מטריצה ​​היא סוג מיוחד של טבלה מלאה במספרים. ל-n*m יש n - שורות ו-m - עמודות.

מטריצה ​​היא מרובעת כאשר מספר העמודות והשורות שווה. מטריצה-וקטור היא מטריצה ​​של עמודה אחת עם מספר אפשרי אינסופי של שורות. מטריצה ​​עם אחדים לאורך אחד האלכסונים ושאר מרכיבי אפס נקראת זהות.

מטריצה ​​הפוכה היא מטריצה ​​בהכפלה שהמקורית הופכת למטריצה ​​של יחידה מטריצה ​​כזו קיימת רק עבור הריבוע המקורי.

כללים להמרת מערכת משוואות למטריצה

ביחס למערכות משוואות, המקדמים והאיברים החופשיים של המשוואות נכתבים כמספרי מטריצה ​​משוואה אחת היא שורה אחת של המטריצה.

אומרים ששורת מטריצה ​​אינה אפס אם לפחות אלמנט אחד בשורה אינו אפס. לכן, אם בכל אחת מהמשוואות מספר המשתנים שונה, אז יש צורך להזין אפס במקום הלא נודע החסר.

עמודות המטריצה ​​חייבות להתאים לחלוטין למשתנים. המשמעות היא שניתן לכתוב את המקדמים של המשתנה x רק בעמודה אחת, למשל הראשונה, מקדם ה-y הלא ידוע - רק בשנייה.

כאשר מכפילים מטריצה, כל הרכיבים של המטריצה ​​מוכפלים ברצף במספר.

אפשרויות למציאת המטריצה ​​ההפוכה

הנוסחה למציאת המטריצה ​​ההפוכה היא פשוטה למדי: K -1 = 1 / |K|, כאשר K -1 היא המטריצה ​​ההפוכה, ו- |K| הוא הקובע של המטריצה. |K| לא חייב להיות שווה לאפס, אז למערכת יש פתרון.

הקובע מחושב בקלות עבור מטריצה ​​של שניים על שניים, אתה רק צריך להכפיל את האלמנטים האלכסוניים זה בזה. לאפשרות "שלוש על שלוש" יש נוסחה |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . אתה יכול להשתמש בנוסחה, או שאתה יכול לזכור שצריך לקחת אלמנט אחד מכל שורה ומכל עמודה כדי שמספרי העמודות ושורות האלמנטים לא יחזרו על עצמם בעבודה.

פתרון דוגמאות למערכות משוואות ליניאריות בשיטת המטריצה

שיטת המטריצה ​​למציאת פתרון מאפשרת לצמצם ערכים מסורבלים בעת פתרון מערכות עם מספר רב של משתנים ומשוואות.

בדוגמה, a nm הם המקדמים של המשוואות, המטריצה ​​היא וקטור x n הם משתנים, ו- b n הם איברים חופשיים.

פתרון מערכות בשיטת גאוס

במתמטיקה גבוהה יותר נלמדת שיטת גאוס יחד עם שיטת קראמר, ותהליך מציאת פתרונות למערכות נקרא שיטת פתרון גאוס-קרמר. שיטות אלו משמשות למציאת משתנים של מערכות עם מספר רב של משוואות ליניאריות.

שיטת גאוס דומה מאוד לפתרונות על ידי החלפה וחיבור אלגברי, אך היא שיטתית יותר. בקורס בית הספר, הפתרון בשיטת גאוס משמש למערכות של 3 ו-4 משוואות. מטרת השיטה היא לצמצם את המערכת לצורת טרפז הפוך. באמצעות טרנספורמציות והחלפות אלגבריות נמצא ערכו של משתנה אחד באחת ממשוואות המערכת. המשוואה השנייה היא ביטוי עם 2 לא ידועים, בעוד ש-3 ו-4 הם, בהתאמה, עם 3 ו-4 משתנים.

לאחר הבאת המערכת לצורה המתוארת, הפתרון הנוסף מצטמצם להחלפה רציפה של משתנים ידועים לתוך משוואות המערכת.

בספרי הלימוד לכיתה ז' מתוארת דוגמה לפתרון בשיטת גאוס באופן הבא:

כפי שניתן לראות מהדוגמה, בשלב (3) התקבלו שתי משוואות: 3x 3 -2x 4 =11 ו-3x 3 +2x 4 =7. פתרון כל אחת מהמשוואות יאפשר לך לגלות את אחד המשתנים x n.

משפט 5, המוזכר בטקסט, קובע שאם אחת מהמשוואות של המערכת תוחלף באחת שווה ערך, אז המערכת המתקבלת תהיה שוות ערך גם לזו המקורית.

שיטת גאוס קשה לתלמידי חטיבת הביניים להבנה, אבל היא אחת הדרכים המעניינות ביותר לפתח את כושר ההמצאה של ילדים הרשומים לתוכניות למידה מתקדמות בשיעורי מתמטיקה ופיזיקה.

כדי להקל על ההקלטה, החישובים נעשים בדרך כלל באופן הבא:

המקדמים של המשוואות והאיברים החופשיים נכתבים בצורה של מטריצה, כאשר כל שורה של המטריצה ​​מתאימה לאחת ממשוואות המערכת. מפריד בין הצד השמאלי של המשוואה לימין. ספרות רומיות מציינות את מספרי המשוואות במערכת.

ראשית, רשום את המטריצה ​​שאיתה יש לעבוד, ולאחר מכן את כל הפעולות שבוצעו עם אחת השורות. המטריצה ​​המתקבלת נכתבת לאחר סימן "חץ" וממשיכים את הפעולות האלגבריות הדרושות עד להשגת התוצאה.

התוצאה צריכה להיות מטריצה ​​שבה אחד האלכסונים שווה ל-1, וכל שאר המקדמים שווים לאפס, כלומר המטריצה ​​מצטמצמת לצורת יחידה. אסור לשכוח לבצע חישובים עם מספרים משני צידי המשוואה.

שיטת הקלטה זו פחות מסורבלת ומאפשרת לך לא להסיח את דעתך על ידי פירוט של אלמונים רבים.

השימוש החופשי בכל שיטת פתרון ידרוש טיפול וקצת ניסיון. לא כל השיטות הן בעלות אופי יישומי. שיטות מסוימות למציאת פתרונות עדיפות יותר בתחום מסוים של פעילות אנושית, בעוד שאחרות קיימות למטרות חינוכיות.