לבקשתך!

7. מצא את הקטן ביותר תקופה חיוביתפונקציות: y=2cos(0.2x+1).

בואו ליישם את הכלל: אם הפונקציה f היא מחזורית ויש לה תקופה T, אז הפונקציה y=Af(kx+b) שבה A,k ו-b קבועים, וגם k≠0 היא מחזורית, והתקופה שלה היא T o = T: | k|.עבורנו, T=2π היא התקופה החיובית הקטנה ביותר של פונקציית הקוסינוס, k=0.2. נמצא T o = 2π:0.2=20π:2=10π.

9. המרחק מהנקודה שנמצאת במרחק שווה מקודקודי הריבוע למישור שלה הוא 9 דמ. מצא את המרחק מנקודה זו לצידי הריבוע אם צלע הריבוע היא 8 ד"מ.

10. פתרו את המשוואה: 10=|5x+5x 2 |.

מאז |10|=10 ו-|-10|=10, אז 2 מקרים אפשריים: 1) 5x 2 +5x=10 ו-2) 5x 2 +5x=-10. חלקו כל אחד מהשוויון ב-5 ופתור את המשוואות הריבועיות שהתקבלו:

1) x 2 +x-2=0, שורשים לפי משפט וייטה x 1 =-2, x 2 =1. 2) x 2 +x+2=0. המפלה היא שלילית - אין שורשים.

11. פתרו את המשוואה:

בצד ימין של השוויון אנו מיישמים את הזהות הלוגריתמית העיקרית:

אנחנו מקבלים שוויון:

בואו נחליט משוואה ריבועית x 2 -3x-4=0 ומצא את השורשים: x 1 =-1, x 2 =4.

13. פתרו את המשוואה ומצאו את סכום השורשים שלה במרווח המצוין.

22. לפתור אי שוויון:

ואז אי השוויון יקבל את הצורה: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.

24. שורה y= א x+b מאונך לישר y=2x+3 ועובר דרך הנקודה C(4; 5). תמציא את המשוואה שלו. יָשִׁירy=k 1 x+b 1 ו-y=k 2 x+b 2 מאונכים זה לזה אם מתקיים התנאי k 1 ∙k 2 =-1.זה נובע מכך א·2=-1. הקו הישר הרצוי ייראה כך: y=(-1/2) x+b. נמצא את הערך של b if במשוואת הישר שלנו במקום זאת Xו בְּ-בוא נחליף את הקואורדינטות של נקודה C.

5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. אז נקבל את המשוואה: y=(-1/2)x+7.

25. ארבעה דייגים א', ב', ג' ו-ד' התהדרו במלכוד שלהם:

1. ד' תפס יותר מ-C;

2. סכום התפיסות A ו-B שווה לסכום התפיסות C ו-D;

3. A ו-D ביחד תפסו פחות מ-B ו-C ביחד. רשמו את המלכוד של הדייגים בסדר יורד.

יש לנו: 1) D>C; 2) A+B=C+D; 3) A+D 2 השוויון: A=C+D-B והחלפה ב 3 -ה. אנחנו מקבלים C+D-B+D 2 -שוויון וגם תחליף ב 3 -ה. B=C+D-A. ואז A+D

מינימום חיובי תְקוּפָה פונקציותבטריגונומטריה הוא מסומן f. הוא מאופיין בערך הקטן ביותר של המספר החיובי T, כלומר, ערך קטן יותר של T כבר לא יהיה תְקוּפָהאוֹם פונקציות .

אתה תצטרך

• – ספר עיון מתמטי.

הוראות

1. אנא שים לב לכך תְקוּפָהלפונקציה ical אין תמיד מינימום נכון תְקוּפָה. אז, למשל, כמו תְקוּפָהומתמשך פונקציותיכול להיות כל מספר ללא תנאי, מה שאומר שאולי אין לו את החיובי הקטן ביותר תְקוּפָהא. יש גם לא קבועים תְקוּפָה ical פונקציות, שאין להם הכי קטן נכון תְקוּפָהא. עם זאת, ברוב המקרים המינימום נכון תְקוּפָהבְּ- תְקוּפָהיש עדיין כמה פונקציות ical.

2. מִינִימוּם תְקוּפָהסינוס שווה ל-2?. ראה את הדוגמה להוכחה לכך. פונקציות y=sin(x). תן ל-T להיות שרירותי תְקוּפָהאוהם סינוס, במקרה זה sin(a+T)=sin(a) עבור כל ערך של a. אם a=?/2, מסתבר שsin(T+?/2)=sin(?/2)=1. עם זאת, sin(x)=1 רק במקרה שבו x=?/2+2?n, כאשר n הוא מספר שלם. מכאן נובע ש-T=2?n, כלומר הערך החיובי הקטן ביותר של 2?n הוא 2?.

3. מינימום נכון תְקוּפָהגם קוסינוס שווה ל-2?. ראה את הדוגמה להוכחה לכך. פונקציות y=cos(x). אם T שרירותית תְקוּפָה om cosine, ואז cos(a+T)=cos(a). במקרה ש-a=0, cos(T)=cos(0)=1. לאור זאת, הערך החיובי הקטן ביותר של T שבו cos(x) = 1 הוא 2?.

4. בהתחשב בעובדה ש-2? – תְקוּפָהסינוס וקוסינוס, אותו ערך יהיה תְקוּפָה ohm cotangent, כמו גם משיק, עם זאת, לא מינימלי, כי, כידוע, המינימלי הוא נכון תְקוּפָהמשיק וקוטנגנט שווים?. אתה יכול לאמת זאת על ידי התבוננות בדוגמה הבאה: לנקודות המתאימות למספרים (x) ו-(x+?) במעגל הטריגונומטרי יש מיקומים מנוגדים בקוטר. המרחק מנקודה (x) לנקודה (x+2?) מתאים לחצי עיגול. בהגדרה של משיק וקוטנגנט tg(x+?)=tgx, ו-ctg(x+?)=ctgx, כלומר המינימום נכון תְקוּפָהקוטנגנט וטנגנס שווים?.

פונקציה מחזורית היא פונקציה שחוזרת על ערכיה לאחר תקופה שאינה אפס. התקופה של פונקציה היא מספר שכאשר הוא מתווסף לארגומנט של פונקציה, אינו משנה את ערך הפונקציה.

אתה תצטרך

• ידע במתמטיקה יסודית וסקירה בסיסית.

הוראות

1. הבה נסמן את התקופה של הפונקציה f(x) במספר K. המשימה שלנו היא לגלות את הערך הזה של K. לשם כך, דמיינו שהפונקציה f(x), באמצעות ההגדרה של פונקציה מחזורית, אנו משווים f(x+K)=f(x).

2. אנו פותרים את המשוואה המתקבלת לגבי ה-K הלא ידוע, כאילו x הוא קבוע. בהתאם לערך של K, יהיו מספר אפשרויות.

3. אם K>0 – אז זו התקופה של הפונקציה שלך אם K=0 – אז הפונקציה f(x) אינה מחזורית אם הפתרון למשוואה f(x+K)=f(x) אינו קיים עבור כל K לא שווה לאפס, אז פונקציה כזו נקראת א-מחזורית וגם אין לה נקודה.

סרטון על הנושא

לָשִׂים לֵב!
כל הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות, וכל הפונקציות הפולינומיות בעלות מדרגה גדולה מ-2 הן א-מחזוריות.

עצה שימושית
התקופה של פונקציה המורכבת מ-2 פונקציות מחזוריות היא הכפולה הפחות אוניברסלית של התקופות של פונקציות אלו.

אם ניקח בחשבון נקודות על מעגל, אז נקודות x, x + 2π, x + 4π וכו'. חופפים זה לזה. לפיכך, טריגונומטרי פונקציותעל קו ישר מעת לעתלחזור על משמעותם. אם התקופה מפורסמת פונקציות, אפשר לבנות פונקציה על תקופה זו ולחזור עליה על אחרות.

הוראות

1. התקופה היא מספר T כך ש-f(x) = f(x+T). כדי למצוא את התקופה, פתרו את המשוואה המתאימה, תוך החלפת x ו-x+T כארגומנט. במקרה זה, נעשה שימוש בתקופות הידועות בעבר עבור פונקציות. עבור פונקציות הסינוס והקוסינוס התקופה היא 2π, ולפונקציות המשיקות והקו-טנגנטיות היא π.

2. תינתן לפונקציה f(x) = sin^2(10x). שקול את הביטוי sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). השתמש בנוסחה כדי להפחית את המידה: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. אז אתה מקבל 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) או cos 20x = cos (20x+20T). בידיעה שהתקופה של הקוסינוס היא 2π, 20T = 2π. זה אומר T = π/10. T היא התקופה הנכונה המינימלית, והפונקציה תחזור על עצמה לאחר 2T, ואחרי 3T, ובכיוון השני לאורך הציר: -T, -2T וכו'.

עצה שימושית
השתמש בנוסחאות כדי להפחית את מידת הפונקציה. אם אתה כבר יודע את התקופות של פונקציות מסוימות, נסה לצמצם את הפונקציה הקיימת לאלה המפורסמות.

פונקציה שהערכים שלה חוזרים על עצמם לאחר קריאה של מספר מסוים תְקוּפָתִי. כלומר, לא משנה כמה נקודות תוסיפו לערך של x, הפונקציה תהיה שווה לאותו מספר. כל חיפוש אחר פונקציות תקופתיות מתחיל בחיפוש של התקופה הקטנה ביותר, כדי לא לבצע עבודה מיותרת: מספיק ללמוד את כל המאפיינים במרווח השווה לתקופה.

הוראות

1. השתמש בהגדרה תְקוּפָתִי פונקציות. כל ערכי x ב פונקציותהחלף ב-(x+T), כאשר T היא התקופה המינימלית פונקציות. פתרו את המשוואה המתקבלת, בהתחשב ב-T כמספר לא ידוע.

2. כתוצאה מכך, תקבל זהות מסוימת, ממנה נסו לבחור את התקופה הקטנה ביותר. נניח, אם נקבל את השוויון sin(2T)=0.5, לכן, 2T=P/6, כלומר, T=P/12.

3. אם השוויון מתברר כנכון רק כאשר T = 0 או הפרמטר T תלוי ב-x (נניח, מתקבל השוויון 2T = x), מסיקים שהפונקציה אינה מחזורית.

4. על מנת לברר את התקופה המינימלית פונקציותהמכיל רק ביטוי טריגונומטרי אחד, השתמש בכלל. אם הביטוי מכיל sin או cos, התקופה עבור פונקציותיהיה 2P, ועבור הפונקציות tg, ctg קבעו את התקופה המינימלית P. שימו לב שאין להעלות את הפונקציה לשום חזקה, ואת המשתנה מתחת לסימן פונקציותאין להכפיל במספר שאינו 1.

5. אם cos או חטא בפנים פונקציותבנוי להספק אחיד, צמצם את התקופה 2P בחצי. מבחינה גרפית אתה יכול לראות את זה כך: גרף פונקציות, הממוקם מתחת לציר x, ישתקף בצורה סימטרית כלפי מעלה, וכתוצאה מכך הפונקציה תחזור על עצמה פעמיים.

6. על מנת למצוא את התקופה המינימלית פונקציותבהינתן שהזווית x מוכפלת במספר כלשהו, ​​המשך כדלקמן: קבע את התקופה האופיינית לכך פונקציות(נניח כי זה 2P). לאחר מכן, חלקו אותו בפקטור שלפני המשתנה. זו תהיה תקופת המינימום הרצויה. הירידה בתקופה נראית בבירור על הגרף: היא נדחסת בדיוק באותה כמות שהזווית מתחת לסימן הטריגונומטרי מוכפלת ב- פונקציות .

7. שימו לב שאם לפני x יש מספר שבר קטן מ-1, התקופה גדלה, כלומר, הגרף, להיפך, נמתח.

8. אם לביטוי שלך יש שניים מחזוריים פונקציותכפול זה בזה, מצא את התקופה המינימלית עבור כל אחד בנפרד. לאחר מכן, קבע את הגורם האוניברסלי המינימלי עבורם. נניח, עבור תקופות P ו-2/3P, הגורם האוניברסלי המינימלי יהיה 3P (הוא מתחלק ללא שארית גם ב-P וגם ב-2/3P).

יש צורך בחישוב השכר הממוצע של העובדים לחישוב קצבאות נכות זמניות ותשלום עבור נסיעות עסקים. הרווחים הממוצעים של מומחים מחושבים על סמך זמן העבודה בפועל ותלויים בשכר, הקצבאות והמענקים המפורטים בטבלת האיוש.

אתה תצטרך

• – שולחן איוש;
• - מחשבון;
• – נכון;
• - לוח ייצור;
• - גיליון זמן או תעודת סיום עבודה.

הוראות

1. על מנת לחשב את השכר הממוצע של עובד, תחילה קבעו את התקופה עבורה עליכם לחשב אותה. כרגיל, תקופה זו היא 12 חודשים קלנדריים. אבל אם עובד עובד בארגון פחות משנה, למשל, 10 חודשים, אז אתה צריך למצוא את הרווחים הממוצעים עבור הזמן שבו המומחה מבצע את תפקידו.

2. כעת קבעו את גובה השכר שנצבר לו בפועל עבור תקופת החיוב. לשם כך יש להשתמש בתלושי שכר לפיהם ניתנו לעובד את כל התשלומים המגיעים לו. אם לא יעלה על הדעת להשתמש במסמכים אלו, יש להכפיל את השכר החודשי, הבונוסים והקצבאות ב-12 (או מספר החודשים שהעובד עובד במפעל, אם הוא מועסק בחברה פחות משנה. ).

3. חשב את הרווחים היומי הממוצע שלך. לשם כך, חלקו את סכום השכר לתקופת החיוב במספר הימים הממוצע בחודש (כיום הוא 29.4). חלקו את הסכום המתקבל ב-12.

4. לאחר מכן, קבע את מספר שעות העבודה בפועל. לשם כך, השתמש בדף זמן. יש למלא מסמך זה על ידי שומר זמן, קצין כוח אדם או עובד אחר שאחריות התפקיד שלו כוללת זאת.

5. הכפל את מספר שעות העבודה בפועל ברווח היומי הממוצע. הסכום המתקבל הינו השכר הממוצע של המומחה לשנה. חלקו את הסכום הכולל ב-12. זו תהיה ההכנסה החודשית הממוצעת שלכם. חישוב זה משמש לעובדים ששכרם תלוי בזמן העבודה בפועל.

6. כאשר עובד מקבל שכר בעבודת יד, אז מכפילים את תעריף התעריף (המצוין בטבלת האיוש ונקבע בחוזה העבודה) במספר המוצרים שיוצרו (השתמש בתעודת סיום עבודה או במסמך אחר בו הדבר נרשם).

לָשִׂים לֵב!
אל תבלבלו בין הפונקציות y=cos(x) ו-y=sin(x) - בעלות תקופה זהה, פונקציות אלו מתוארות בצורה שונה.

עצה שימושית
לבהירות רבה יותר, צייר פונקציה טריגונומטרית שעבורה מחושבת התקופה הנכונה המינימלית.

הוראות

אנא שים לב לכך תְקוּפָהל-ical לא תמיד יש את החיוב הקטן ביותר תְקוּפָה. אז, למשל, כמו תְקוּפָהוקבוע פונקציותיכול להיות כל מספר, וייתכן שאין לו את החיובי הקטן ביותר תְקוּפָהא. יש גם לא קבועים תְקוּפָה ical פונקציות, שאין להם הכי פחות חיובי תְקוּפָהא. עם זאת, ברוב המקרים החיובי הקטן ביותר תְקוּפָהבְּ- תְקוּפָהעדיין יש כאלה מגניבים.

פָּחוּת תְקוּפָהסינוס שווה ל-2?. שקול את הדוגמה הזו פונקציות y=sin(x). תן ל-T להיות שרירותי תְקוּפָהאוהם סינוס, במקרה זה sin(a+T)=sin(a) עבור כל ערך של a. אם a=?/2, מסתבר שsin(T+?/2)=sin(?/2)=1. עם זאת, sin(x)=1 רק אם x=?/2+2?n, כאשר n הוא מספר שלם. מכאן נובע ש-T=2?n, ולכן הערך החיובי הקטן ביותר הוא 2?n 2?.

הכי פחות חיובי תְקוּפָהגם קוסינוס שווה ל-2?. שקול את ההוכחה לכך עם דוגמה פונקציות y=cos(x). אם T שרירותית תְקוּפָה om cosine, ואז cos(a+T)=cos(a). במקרה ש-a=0, cos(T)=cos(0)=1. לאור זאת, הערך החיובי הקטן ביותר של T שבו cos(x) = 1 הוא 2?.

בהתחשב בעובדה ש-2? – תְקוּפָהסינוס וקוסינוס, זה גם יהיה תְקוּפָה ohm cotangent, כמו גם משיק, אבל לא מינימלי, שכן, כמו, החיובי הקטן ביותר תְקוּפָהמשיק וקוטנגנט שווים?. אתה יכול לאמת זאת על ידי התחשבות בדברים הבאים: לנקודות המתאימות ל-(x) ו-(x+?) במעגל הטריגונומטרי יש מיקומים מנוגדים בקוטר. המרחק מנקודה (x) לנקודה (x+2?) מתאים לחצי עיגול. לפי ההגדרה של משיק וקוטנגנט tg(x+?)=tgx, ו-ctg(x+?)=ctgx, שפירושו החיובי הקטן ביותר תְקוּפָהקוטנגנט ו?.

שימו לב

אל תבלבלו בין הפונקציות y=cos(x) ו-y=sin(x) - עם אותה תקופה, פונקציות אלו מיוצגות בצורה שונה.

עצה שימושית

לבהירות רבה יותר, צייר פונקציה טריגונומטרית שעבורה מחושבת התקופה החיובית הקטנה ביותר.

מקורות:

• מדריך למתמטיקה, מתמטיקה בית ספרית, מתמטיקה גבוהה יותר

פונקציה מחזורית היא פונקציה שחוזרת על ערכיה לאחר תקופה שאינה אפס. התקופה של פונקציה היא מספר שכאשר הוא מתווסף לארגומנט פונקציה, אינו משנה את הערך של הפונקציה.

אתה תצטרך

• ידע במתמטיקה יסודית ועקרונות ניתוח.

הוראות

סרטון על הנושא

שימו לב

כל הפונקציות הטריגונומטריות הן מחזוריות, וכל הפונקציות הפולינומיות בעלות מדרגה גדולה מ-2 הן א-מחזוריות.

עצה שימושית

התקופה של פונקציה המורכבת משתי פונקציות מחזוריות היא המכפלה הפחות משותף של התקופות של פונקציות אלו.

אם ניקח בחשבון נקודות על מעגל, אז נקודות x, x + 2π, x + 4π וכו'. חופפים זה לזה. לפיכך, טריגונומטרי פונקציותעל קו ישר מעת לעתלחזור על משמעותם. אם התקופה ידועה פונקציות, אתה יכול לבנות פונקציה על תקופה זו ולחזור עליה על אחרות.

הוראות

תינתן לפונקציה f(x) = sin^2(10x). שקול את sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). השתמש בנוסחה להפחתה: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. אז אתה מקבל 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) או cos 20x = cos (20x+20T). בידיעה שהתקופה של הקוסינוס היא 2π, 20T = 2π. זה אומר T = π/10. T היא התקופה הקטנה ביותר, והפונקציה תחזור על עצמה לאחר 2T, ואחרי 3T, ולצד לאורך הציר: -T, -2T וכו'.

עצה שימושית

השתמש בנוסחאות כדי להפחית את מידת הפונקציה. אם אתה כבר יודע את התקופות של פונקציות כלשהן, נסה לצמצם את הפונקציה הקיימת לאלה המוכרות.

פונקציה שהערכים שלה חוזרים על עצמם לאחר קריאה של מספר מסוים תְקוּפָתִי. כלומר, לא משנה כמה נקודות תוסיפו לערך של x, הפונקציה תהיה שווה לאותו מספר. כל מחקר של פונקציות תקופתיות מתחיל בחיפוש אחר התקופה הקטנה ביותר, כדי לא לעשות עבודה מיותרת: מספיק ללמוד את כל המאפיינים במרווח השווה לתקופה.

הוראות

כתוצאה מכך, תקבל זהות מסוימת, שממנה נסה לבחור את התקופה המינימלית. לדוגמה, אם נקבל את השוויון sin(2T)=0.5, לכן, 2T=P/6, כלומר, T=P/12.

אם השוויון מתברר כנכון רק כאשר T = 0 או הפרמטר T תלוי ב-x (לדוגמה, מתקבל השוויון 2T = x), נניח שהפונקציה אינה מחזורית.

כדי לגלות את התקופה הקצרה ביותר פונקציותהמכיל רק ביטוי טריגונומטרי אחד, השתמש . אם הביטוי מכיל sin או cos, התקופה עבור פונקציותיהיה 2P, ועבור הפונקציות tg, ctg קבע את התקופה הקטנה ביותר P. שימו לב שאין להעלות את הפונקציה לאף חזקה, ואת המשתנה מתחת לסימן פונקציותאין להכפיל במספר שאינו 1.

אם cos או חטא בפנים פונקציותמורם להספק אחיד, צמצם את התקופה של 2P בחצי. באופן גרפי אתה יכול לראות את זה כך: פונקציות, מתחת לציר ה-x, ישתקף בצורה סימטרית כלפי מעלה, כך שהפונקציה תחזור על עצמה פעמיים.

כדי למצוא את התקופה הקטנה ביותר פונקציותבהינתן שהזווית x מוכפלת במספר כלשהו, ​​המשך כדלקמן: קבע את התקופה הסטנדרטית של זה פונקציות(לדוגמה, עבור cos זה 2P). ואז לפצל אותו לפני המשתנה. זו תהיה התקופה הקצרה ביותר הנדרשת. הירידה בתקופה נראית בבירור על הגרף: היא בדיוק באותה כמות שהזווית מתחת לסימן הטריגונומטרי מוכפלת ב- פונקציות.

אם לביטוי שלך יש שניים מחזוריים פונקציותכפול זה בזה, מצא את התקופה הקטנה ביותר עבור כל אחד בנפרד. לאחר מכן קבע את הגורם הפחות משותף עבורם. לדוגמה, עבור תקופות P ו-2/3P, הגורם המשותף הקטן ביותר יהיה 3P (אין לו שארית גם ב-P וגם ב-2/3P).

חישוב השכר הממוצע של העובדים הכרחי לחישוב קצבאות נכות זמניות ותשלום עבור נסיעות עסקים. השכר הממוצע של מומחים מחושב על סמך זמן העבודה בפועל ותלוי בשכר, הקצבאות והמענקים המפורטים בטבלת האיוש.

מטרה: סיכום ושיטתיות של הידע של התלמידים בנושא "תקופות של פונקציות"; לפתח מיומנויות ביישום המאפיינים של פונקציה מחזורית, מציאת התקופה החיובית הקטנה ביותר של פונקציה, בניית גרפים של פונקציות מחזוריות; לקדם עניין בלימודי מתמטיקה; לטפח התבוננות ודיוק.

ציוד: מחשב, מקרן מולטימדיה, כרטיסי משימות, שקופיות, שעונים, שולחנות קישוטים, אלמנטים של אומנות עממית

"מתמטיקה היא מה שאנשים משתמשים כדי לשלוט בטבע ובעצמם."
א.נ. קולמוגורוב

התקדמות השיעור

I. שלב ארגוני.

בדיקת מוכנות התלמידים לשיעור. דווח על נושא ומטרות השיעור.

II. בודק שיעורי בית.

אנו בודקים שיעורי בית באמצעות דוגמאות ודנים בנקודות הקשות ביותר.

III. הכללה ושיטתיות של ידע.

1. עבודה פרונטלית בעל פה.

בעיות תיאוריה.

1) יוצרים הגדרה של תקופת הפונקציה
2) ציין את התקופה החיובית הקטנה ביותר של הפונקציות y=sin(x), y=cos(x)
3). מהי התקופה החיובית הקטנה ביותר של הפונקציות y=tg(x), y=ctg(x)
4) באמצעות עיגול, הוכח את נכונות היחסים:

y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)

tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z

sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z

5) איך לשרטט פונקציה מחזורית?

תרגילי פה.

1) הוכח את הקשרים הבאים

א) sin(740º) = sin(20º)
ב) cos(54º) = cos(-1026º)
ג) sin(-1000º) = sin(80º)

2. הוכח שזווית של 540º היא אחת מהתקופות של הפונקציה y= cos(2x)

3. הוכח שזווית של 360º היא אחת מהתקופות של הפונקציה y=tg(x)

4. הפוך את הביטויים הללו כך שהזוויות הכלולות בהם לא יעלו על 90º בערך המוחלט.

א) tg375º
ב) ctg530º
ג) sin1268º
ד) cos(-7363º)

5. היכן נתקלת במילים PERIOD, PERIODICITY?

תשובות התלמידים: תקופה במוזיקה היא מבנה שבו מוצגת מחשבה מוזיקלית שלמה פחות או יותר. תקופה גיאולוגית היא חלק מעידן ומחולקת לעידנים עם תקופה של 35 עד 90 מיליון שנה.

זמן מחצית חיים של חומר רדיואקטיבי. שבר תקופתי. כתבי עת הם פרסומים מודפסים המופיעים במועדים מוגדרים בהחלט. המערכת המחזורית של מנדלייב.

6. הדמויות מציגות חלקים מהגרפים של פונקציות תקופתיות. קבע את התקופה של הפונקציה. קבע את התקופה של הפונקציה.

תְשׁוּבָה: T=2; T=2; T=4; T=8.

7. היכן בחייך נתקלת בבנייה של אלמנטים חוזרים?

תשובת תלמיד: אלמנטים של קישוטים, אמנות עממית.

IV. פתרון בעיות קולקטיבי.

(פתרון בעיות בשקופיות.)

הבה נבחן את אחת הדרכים ללמוד פונקציה למחזוריות.

שיטה זו מונעת את הקשיים הכרוכים בהוכחה שתקופה מסוימת היא הקטנה ביותר, וכן מונעת את הצורך להתמודד עם שאלות לגבי פעולות אריתמטיות בפונקציות מחזוריות ומחזוריות של פונקציה מורכבת. ההנמקה מבוססת רק על ההגדרה של פונקציה מחזורית ועל העובדה הבאה: אם T היא התקופה של הפונקציה, אז nT(n?0) היא התקופה שלה.

בעיה 1. מצא את התקופה החיובית הקטנה ביותר של הפונקציה f(x)=1+3(x+q>5)

פתרון: נניח שתקופת ה-T של פונקציה זו. ואז f(x+T)=f(x) עבור כל x € D(f), כלומר.

1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)

נניח x=-0.25 שנקבל

(T)=0<=>T=n, n € Z

הגענו לכך שכל התקופות של הפונקציה המדוברת (אם הן קיימות) הן בין המספרים השלמים. בואו נבחר את המספר החיובי הקטן ביותר מבין המספרים הללו. זֶה 1 . בוא נבדוק האם זו אכן תהיה מחזור 1 .

f(x+1) =3(x+1+0.25)+1

מאז (T+1)=(T) עבור כל T, אז f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x), כלומר. 1 – תקופה ו. מכיוון ש-1 הוא הקטן ביותר מבין כל המספרים השלמים החיוביים, אז T=1.

בעיה 2. הראה שהפונקציה f(x)=cos 2 (x) היא מחזורית ומצא את התקופה העיקרית שלה.

בעיה 3. מצא את התקופה העיקרית של הפונקציה

f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

הבה נניח את תקופת ה-T של הפונקציה, ולאחר מכן עבור כל Xהיחס תקף

sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)

אם x=0, אז

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

אם x=-T, אז

sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)

5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)

sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5

אם נוסיף את זה, נקבל:

10cos(0.75T)=10

2π n, n € Z

הבה נבחר את המספר החיובי הקטן ביותר מבין כל המספרים ה"חשודים" לתקופה ונבדוק האם מדובר בנקודה ל-f. המספר הזה

f(x+)=sin(1.5x+4π)+5cos(0.75x+2π)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)

זה אומר שזו התקופה העיקרית של הפונקציה f.

בעיה 4. בואו נבדוק האם הפונקציה f(x)=sin(x) היא מחזורית

תן T להיות התקופה של הפונקציה f. ואז עבור כל x

sin|x+Т|=sin|x|

אם x=0, אז sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.

בוא נניח. שעבור כמה n המספר π n הוא התקופה

הפונקציה הנבדקת π n>0. ואז sin|π n+x|=sin|x|

זה מרמז ש-n חייב להיות גם מספר זוגי וגם מספר אי-זוגי, אבל זה בלתי אפשרי. לכן, פונקציה זו אינה תקופתית.

משימה 5. בדוק אם הפונקציה היא תקופתית

f(x)=

תן T להיות התקופה של f, אם כן

, מכאן שsinT=0, Т=π n, n € Z. הבה נניח שעבור כמה n המספר π n הוא אכן התקופה של פונקציה זו. אז המספר 2π n יהיה הנקודה

מכיוון שהמונים שווים, המכנים שלהם שווים, לפיכך

המשמעות היא שהפונקציה f אינה מחזורית.

עבודה בקבוצות.

משימות לקבוצה 1.

משימות לקבוצה 2.

בדוק אם הפונקציה f היא מחזורית ומצא את התקופה הבסיסית שלה (אם היא קיימת).

f(x)=cos(2x)+2sin(2x)

משימות לקבוצה 3.

בתום עבודתן מציגות הקבוצות את הפתרונות שלהן.

VI. מסכם את השיעור.

הִשׁתַקְפוּת.

המורה נותנת לתלמידים כרטיסים עם ציורים ומבקשת מהם לצבוע חלק מהציור הראשון בהתאם למידת שהם חושבים שהם שולטים בשיטות לימוד פונקציה למחזוריות, ובחלק מהציור השני - בהתאם שלהם. תרומה לעבודה בשיעור.

VII. שִׁעוּרֵי בַּיִת

1). בדוק אם הפונקציה f היא תקופתית ומצא את התקופה הבסיסית שלה (אם היא קיימת)

ב). f(x)=x 2 -2x+4

ג). f(x)=2tg(3x+5)

2). לפונקציה y=f(x) יש נקודה T=2 ו-f(x)=x 2 +2x עבור x € [-2; 0]. מצא את הערך של הביטוי -2f(-3)-4f(3.5)

סִפְרוּת/

1. מורדקוביץ' א.ג.אלגברה והתחלות ניתוח עם לימוד מעמיק.
2. מָתֵימָטִיקָה. הכנה לבחינת המדינה המאוחדת. אד. Lysenko F.F., Kulabukhova S.Yu.
3. שרמטייבה T.G. , Tarasova E.A.אלגברה וניתוח התחלה לכיתות י'-י"א.