טרפז הוא סוג מיוחד של מרובע שבו שתי צלעות מנוגדות מקבילות זו לזו, אך שתי האחרות אינן. לאובייקטים אמיתיים שונים יש צורה טרפזית, ולכן ייתכן שיהיה עליך לחשב את ההיקף של דמות גיאומטרית כזו כדי לפתור בעיות יומיומיות או בית ספריות.

גיאומטריה טרפזית

טרפז (מהיוונית "טרפז" - טבלה) הוא דמות במישור המוגבלת על ידי ארבעה קטעים, שניים מהם מקבילים ושניים לא. מקטעים מקבילים נקראים בסיסי הטרפז, ומקטעים לא מקבילים נקראים צלעות הדמות. הצדדים וזוויות הנטייה שלהם קובעים את סוג הטרפז, שיכול להיות קנה מידה, שווה שוקיים או מלבני. בנוסף לבסיסים ולצדדים, לטרפז יש שני אלמנטים נוספים:

• גובה - המרחק בין הבסיסים המקבילים של הדמות;
• קו אמצעי - קטע המחבר בין נקודות האמצע של הצדדים.

דמות גיאומטרית זו נפוצה במציאות.

טרפז במציאות

בחיי היומיום, חפצים אמיתיים רבים מקבלים צורה טרפזית. אתה יכול למצוא טרפז בקלות בתחומי הפעילות האנושית הבאים:

• עיצוב ועיצוב פנים - ספות, שולחנות, קירות, שטיחים, תקרות תלויות;
• עיצוב נוף - גבולות של מדשאות ומאגרים מלאכותיים, צורות של אלמנטים דקורטיביים;
• אופנה - צורת ביגוד, נעליים ואביזרים;
• אדריכלות - חלונות, קירות, יסודות בניין;
• ייצור - מוצרים וחלקים שונים.

עם שימוש כה נרחב בטרפזים, מומחים צריכים לעתים קרובות לחשב את ההיקף של דמות גיאומטרית.

היקף טרפז

ההיקף של דמות הוא מאפיין מספרי המחושב כסכום אורכי כל צלעות ה-n-גון. טרפז הוא מרובע ובאופן כללי לכל צלעותיו יש אורכים שונים, ולכן ההיקף מחושב באמצעות הנוסחה:

P = a + b + c + d,

כאשר a ו-c הם הבסיסים של הדמות, b ו-d הם צלעותיה.

למרות שאיננו צריכים לדעת את הגובה בעת חישוב ההיקף של טרפז, קוד המחשבון דורש הזנת משתנה זה. מכיוון שלגובה אין השפעה על חישובים, בעת שימוש במחשבון המקוון שלנו ניתן להזין כל ערך גובה שגדול מאפס. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמאות מהחיים האמיתיים

מִמחָטָה

נניח שיש לך צעיף בצורת טרפז ואתה רוצה לקצץ אותו עם שוליים. תצטרך לדעת את היקף הצעיף כדי שלא תקנה חומר נוסף או תלך פעמיים לחנות. תן לצעיף שווה שוקיים שלך את הפרמטרים הבאים: a = 120 ס"מ, b = 60 ס"מ, c = 100 ס"מ, d = 60 ס"מ אנו מכניסים את הנתונים הללו לטופס המקוון ומקבלים את התשובה בטופס:

לפיכך, היקף הצעיף הוא 340 ס"מ, וזהו בדיוק אורך צמת השוליים כדי לסיים אותו.

מדרונות

לדוגמה, החלטתם לעשות מדרונות עבור חלונות מתכת-פלסטיק שאינם סטנדרטיים בעלי צורה טרפזית. חלונות כאלה נמצאים בשימוש נרחב בעיצוב הבניין, ויוצרים קומפוזיציה של מספר אבנטים. לרוב, חלונות כאלה עשויים בצורה של טרפז מלבני. בואו לגלות כמה חומר יש צורך לעשות את המדרונות של חלון כזה. לחלון סטנדרטי יש את הפרמטרים הבאים: a = 140 ס"מ, b = 20 ס"מ, c = 180 ס"מ, d = 50 ס"מ אנו משתמשים בנתונים אלה ומקבלים את התוצאה בטופס

לכן, היקף החלון הטרפז הוא 390 ס"מ, וזה בדיוק כמה לוחות פלסטיק תצטרכו לקנות כדי ליצור את המדרונות.

מַסְקָנָה

הטרפז הוא דמות פופולרית בחיי היומיום, הקביעה של הפרמטרים שלו עשויים להיות נחוצים במצבים הכי לא צפויים. חישוב היקפים טרפזיים נחוץ לאנשי מקצוע רבים: מהנדסים ואדריכלים ועד מעצבים ומכונאים. קטלוג המחשבונים המקוונים שלנו יאפשר לכם לבצע חישובים לכל צורה וגופים גיאומטריים.

במתמטיקה ידועים כמה סוגים של מרובעים: ריבוע, מלבן, מעוין, מקבילית. ביניהם טרפז - סוג של מרובע קמור שבו שתי צלעות מקבילות ושתי האחרות אינן. הצלעות הנגדיות המקבילות נקראות הבסיסים, ושתי האחרות נקראות הצלעות הרוחביות של הטרפז. הקטע המחבר את נקודות האמצע של הצדדים נקרא קו האמצע. ישנם מספר סוגים של טרפזים: שווה שוקיים, מלבני, עקום. לכל סוג של טרפז יש נוסחאות למציאת השטח.

שטח של טרפז

כדי למצוא את השטח של טרפז, אתה צריך לדעת את אורך בסיסיו וגובהו. גובהו של טרפז הוא קטע מאונך לבסיסים. תנו לבסיס העליון להיות a, הבסיס התחתון יהיה b, והגובה יהיה h. לאחר מכן תוכל לחשב את השטח S באמצעות הנוסחה:

S = ½ * (a+b) * h

הָהֵן. קח חצי מסכום הבסיסים כפול הגובה.

ניתן יהיה גם לחשב את שטח הטרפז אם הגובה וקו המרכז ידועים. נסמן את קו האמצע - מ. אָז

בואו נפתור בעיה מסובכת יותר: ידועים אורכי ארבעת צלעות הטרפז - a, b, c, d. ואז האזור יימצא באמצעות הנוסחה:

אם ידועים אורכי האלכסונים והזווית ביניהם, מבצעים חיפוש באזור באופן הבא:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

כאשר d עם המדדים 1 ו-2 הם אלכסונים. בנוסחה זו, הסינוס של הזווית ניתן בחישוב.

בהינתן האורכים הידועים של הבסיסים a ו-b ושתי זוויות בבסיס התחתון, השטח מחושב באופן הבא:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

שטח של טרפז שווה שוקיים

טרפז שווה שוקיים הוא מקרה מיוחד של טרפז. ההבדל שלו הוא שטרפז כזה הוא מרובע קמור עם ציר סימטריה העובר דרך נקודות האמצע של שתי צלעות מנוגדות. הצדדים שלו שווים.

ישנן מספר דרכים למצוא את השטח של טרפז שווה שוקיים.

• לאורכים של שלוש צלעות. במקרה זה, אורכי הצלעות יתאימו, לכן הם מסומנים בערך אחד - c, ו-a ו-b - אורכי הבסיסים:

• אם אורך הבסיס העליון, הצלע והזווית בבסיס התחתון ידועים, אז השטח מחושב באופן הבא:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

כאשר a הוא הבסיס העליון, c הוא הצד.

• אם במקום הבסיס העליון ידוע אורכו של התחתון - b, השטח מחושב באמצעות הנוסחה:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• אם, כאשר ידועים שני בסיסים והזווית בבסיס התחתון, השטח מחושב באמצעות הטנגנס של הזווית:

S = ½ * (b2 – a2) * tan α

• השטח מחושב גם דרך האלכסונים והזווית ביניהם. במקרה זה, האלכסונים שווים באורכם, ולכן אנו מציינים כל אחד באות d ללא מנוי:

S = ½ * d2 * sin α

• בואו לחשב את שטח הטרפז, לדעת את אורך הצלע, קו האמצע והזווית בבסיס התחתון.

תנו לצלע הרוחבית להיות c, הקו האמצעי יהיה m, והזווית תהיה a, אז:

S = m * c * sin α

לפעמים אפשר לרשום עיגול בטרפז שווה צלעות שרדיוס שלו יהיה r.

ידוע שניתן לרשום מעגל בכל טרפז אם סכום אורכי הבסיסים שווה לסכום אורכי צלעותיו. אז ניתן למצוא את השטח דרך רדיוס המעגל הכתוב והזווית בבסיס התחתון:

S = 4r2 / sin α

אותו חישוב נעשה באמצעות קוטר D של המעגל הכתוב (אגב, הוא עולה בקנה אחד עם גובה הטרפז):

לדעת את הבסיס והזווית, השטח של טרפז שווה שוקיים מחושב באופן הבא:

S = a * b / sin α

(נוסחאות זו והנוסחאות הבאות תקפות רק עבור טרפזים עם עיגול חרוט).

באמצעות הבסיסים והרדיוס של המעגל, השטח נמצא באופן הבא:

אם רק הבסיסים ידועים, אז השטח מחושב באמצעות הנוסחה:

דרך הבסיסים וקו הצד, שטח הטרפז עם המעגל הכתוב ודרך הבסיסים והקו האמצעי - m מחושב באופן הבא:

שטח של טרפז מלבני

טרפז נקרא מלבני אם אחת מצלעותיו מאונך לבסיס. במקרה זה, אורך הצד עולה בקנה אחד עם גובה הטרפז.

טרפז מלבני מורכב מריבוע ומשולש. לאחר שמצאתי את השטח של כל אחת מהדמויות, חבר את התוצאות וקבל את השטח הכולל של הדמות.

כמו כן, נוסחאות כלליות לחישוב שטחו של טרפז מתאימות לחישוב שטחו של טרפז מלבני.

• אם ידועים אורכי הבסיסים והגובה (או צד הצד הניצב), אז השטח מחושב באמצעות הנוסחה:

S = (a + b) * h / 2

צד c יכול לפעול כ-h (גובה). ואז הנוסחה נראית כך:

S = (a + b) * c / 2

• דרך נוספת לחישוב שטח היא להכפיל את אורך קו המרכז בגובה:

או באורך הצד הניצב לרוחב:

• הדרך הבאה לחישוב היא דרך מחצית המכפלה של האלכסונים והסינוס של הזווית ביניהם:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

אם האלכסונים מאונכים, הנוסחה מפשטת ל:

S = ½ * d1 * d2

• דרך נוספת לחישוב היא דרך חצי ההיקף (סכום אורכי שתי צלעות מנוגדות) ורדיוס המעגל הכתוב.

נוסחה זו תקפה עבור בסיסים. אם ניקח את אורכי הצלעות, אז אחת מהן תהיה שווה לרדיוס כפול. הנוסחה תיראה כך:

S = (2r + c) * r

• אם מעגל רשום בטרפז, אז השטח מחושב באותו אופן:

כאשר m הוא אורך קו האמצע.

שטח של טרפז מעוקל

טרפז עקום הוא דמות שטוחה התחום על ידי הגרף של פונקציה רציפה לא שלילית y = f(x), המוגדרת על הקטע, ציר האבססיס והקווים הישרים x = a, x = b. בעיקרו של דבר, שתיים מצלעותיו מקבילות זו לזו (הבסיסים), הצלע השלישית מאונכת לבסיסים, והרביעית היא עקומה המתאימה לגרף הפונקציה.

מחפשים את השטח של טרפז עקום דרך האינטגרל באמצעות נוסחת ניוטון-לייבניץ:

כך מחושבים השטחים של סוגים שונים של טרפזים. אבל, בנוסף למאפיינים של הצדדים, לטרפזים יש את אותן תכונות של זוויות. כמו כל המרובעים הקיימים, סכום הזוויות הפנימיות של טרפז הוא 360 מעלות. וסכום הזוויות הסמוכות לצד הוא 180 מעלות.

כדי להרגיש בטוח ולפתור בעיות בשיעורי גיאומטריה, לא מספיק ללמוד את הנוסחאות. קודם כל צריך להבין אותם. לפחד, ועוד יותר לשנוא נוסחאות, זה לא פרודוקטיבי. מאמר זה ינתח בשפה נגישה דרכים שונות למצוא את השטח של טרפז. כדי להבין טוב יותר את הכללים והמשפטים המתאימים, נקדיש תשומת לב מסוימת לתכונותיו. זה יעזור לך להבין איך הכללים עובדים ובאילו מקרים יש ליישם נוסחאות מסוימות.

הגדרת טרפז

איזה מין נתון זה בכללי? טרפז הוא מצולע בעל ארבע פינות ושתי צלעות מקבילות. שני הצדדים האחרים של הטרפז יכולים להיות נטויים בזוויות שונות. הצדדים המקבילים שלו נקראים בסיסים, ולצדדים שאינם מקבילים משתמשים בשם "צדדים" או "ירכיים". דמויות כאלה נפוצות למדי בחיי היומיום. ניתן לראות את קווי המתאר של הטרפז בצלליות של בגדים, פריטי פנים, רהיטים, כלים ועוד רבים אחרים. ישנם סוגים שונים של טרפז: קנה מידה, שווי צלעות ומלבני. נבחן את סוגיהם ותכונותיהם ביתר פירוט בהמשך המאמר.

תכונות של טרפז

הבה נתעכב בקצרה על המאפיינים של דמות זו. סכום הזוויות הסמוכות לכל צד הוא תמיד 180°. יש לציין שכל הזוויות של טרפז מסתכמות ב-360 מעלות. לטרפז יש מושג של קו אמצע. אם תחבר את נקודות האמצע של הצלעות עם קטע, זה יהיה הקו האמצעי. הוא מיועד מ. לקו האמצעי יש תכונות חשובות: הוא תמיד מקביל לבסיסים (נזכור שגם הבסיסים מקבילים זה לזה) ושווה לחצי הסכום שלהם:

את ההגדרה הזו יש ללמוד ולהבין, כי היא המפתח לפתרון בעיות רבות!

עם טרפז, אתה תמיד יכול להוריד את הגובה לבסיס. גובה הוא ניצב, מסומן לעתים קרובות בסמל h, הנמשך מכל נקודה של בסיס אחד לבסיס אחר או להרחבה שלו. קו האמצע והגובה יעזרו לך למצוא את השטח של הטרפז. בעיות כאלה הן הנפוצות ביותר בקורס גיאומטריה בבית הספר ומופיעות באופן קבוע בין עבודות מבחנים ובחינות.

הנוסחאות הפשוטות ביותר עבור השטח של טרפז

בואו נסתכל על שתי הנוסחאות הפופולריות והפשוטות ביותר המשמשות למציאת השטח של טרפז. מספיק להכפיל את הגובה בחצי מסכום הבסיסים כדי למצוא בקלות את מה שאתה מחפש:

S = h*(a + b)/2.

בנוסחה זו, a, b מציינים את הבסיסים של הטרפז, h - הגובה. כדי להקל על התפיסה, במאמר זה, סימני כפל מסומנים בסימן (*) בנוסחאות, אם כי בספרי עיון רשמיים לרוב מושמט את סימן הכפל.

בואו נסתכל על דוגמה.

נתון: טרפז עם שני בסיסים שווים ל-10 ו-14 ס"מ, הגובה הוא 7 ס"מ מהו שטח הטרפז?

בואו נסתכל על הפתרון לבעיה זו. באמצעות נוסחה זו, תחילה עליך למצוא את חצי הסכום של הבסיסים: (10+14)/2 = 12. אז, חצי הסכום שווה ל-12 ס"מ כעת נכפיל את חצי הסכום בגובה: 12*7 = 84. מה שאנחנו מחפשים נמצא. תשובה: שטח הטרפז הוא 84 מ"ר. ס"מ.

הנוסחה הידועה השנייה אומרת: שטח הטרפז שווה למכפלת קו האמצע וגובה הטרפז. כלומר, זה בעצם נובע מהמושג הקודם של קו האמצע: S=m*h.

שימוש באלכסונים לחישובים

דרך נוספת למצוא את השטח של טרפז היא למעשה לא כל כך מסובכת. הוא מחובר לאלכסונים שלו. באמצעות נוסחה זו, כדי למצוא את השטח, עליך להכפיל את חצי המכפלה של האלכסונים שלו (d 1 d 2) בסינוס של הזווית ביניהם:

S = ½ d 1 d 2 חטא א.

בואו נבחן בעיה שמראה את היישום של שיטה זו. נתון: טרפז שאורך האלכסונים שווה ל-8 ו-13 ס"מ בהתאמה הזווית a בין האלכסונים היא 30°. מצא את השטח של הטרפז.

פִּתָרוֹן. באמצעות הנוסחה לעיל, קל לחשב את הנדרש. כפי שאתה יודע, חטא 30° הוא 0.5. לכן, S = 8*13*0.5=52. תשובה: השטח הוא 52 מ"ר. ס"מ.

מציאת השטח של טרפז שווה שוקיים

טרפז יכול להיות שווה שוקיים (שוניים). צלעותיו זהות והזוויות בבסיסים שוות, מה שממחיש היטב באיור. לטרפז שווה שוקיים יש את אותן תכונות כמו לרגיל, בתוספת מספר מיוחדים. ניתן לתחום מעגל סביב טרפז שווה שוקיים, וניתן לרשום מעגל בתוכו.

אילו שיטות קיימות לחישוב השטח של דמות כזו? השיטה שלהלן תדרוש הרבה חישובים. כדי להשתמש בו, אתה צריך לדעת את ערכי הסינוס (החטא) והקוסינוס (הקוסינוס) של הזווית בבסיס הטרפז. כדי לחשב אותם, אתה צריך טבלאות Bradis או מחשבון הנדסי. הנה הנוסחה:

S= ג*חֵטְא א*(א - ג*חַסַת עָלִים א),

אֵיפֹה עִם- ירך לרוחב, א- זווית בבסיס התחתון.

לטרפז שווה צלעות יש אלכסונים באורך שווה. גם ההיפך נכון: אם לטרפז יש אלכסונים שווים, אז הוא שווה שוקיים. מכאן הנוסחה הבאה שתעזור למצוא את שטחו של טרפז - חצי המכפלה של ריבוע האלכסונים והסינוס של הזווית ביניהם: S = ½ d 2 sin א.

מציאת השטח של טרפז מלבני

ידוע מקרה מיוחד של טרפז מלבני. זהו טרפז, שבו צד אחד (הירך שלו) צמוד לבסיסים בזווית ישרה. יש לו תכונות של טרפז רגיל. בנוסף, יש לו תכונה מאוד מעניינת. ההבדל בריבועי האלכסונים של טרפז כזה שווה להפרש בריבועי הבסיסים שלו. כל השיטות שתוארו קודם לכן לחישוב שטח משמשות עבורו.

אנו משתמשים בכושר המצאה

יש טריק אחד שיכול לעזור אם אתה שוכח נוסחאות ספציפיות. בואו נסתכל מקרוב על מה זה טרפז. אם נחלק אותו מחשבתית לחלקים, נקבל צורות גיאומטריות מוכרות ומובנות: ריבוע או מלבן ומשולש (אחד או שניים). אם הגובה והצלעות של הטרפז ידועים, אתה יכול להשתמש בנוסחאות עבור שטח של משולש ומלבן, ולאחר מכן לחבר את כל הערכים המתקבלים.

בואו נמחיש זאת בדוגמה הבאה. נתון טרפז מלבני. זווית C = 45°, זוויות A, D הן 90°. הבסיס העליון של הטרפז הוא 20 ס"מ, הגובה הוא 16 ס"מ אתה צריך לחשב את השטח של הדמות.

דמות זו מורכבת כמובן ממלבן (אם שתי זוויות שוות ל-90°) ומשולש. מכיוון שהטרפז הוא מלבני, לכן גובהו שווה לצלע שלו, כלומר 16 ס"מ יש לנו מלבן עם צלעות של 20 ו-16 ס"מ, בהתאמה. עכשיו תחשבו על משולש שהזווית שלו היא 45°. אנחנו יודעים שצד אחד שלו הוא 16 ס"מ מאחר שצלע זה הוא גם גובה הטרפז (ואנחנו יודעים שהגובה יורד לבסיס בזווית ישרה), לכן, הזווית השנייה של המשולש היא 90°. מכאן שהזווית הנותרת של המשולש היא 45°. התוצאה של זה היא שנקבל משולש שווה שוקיים ישר, שבו שתי צלעות זהות. זה אומר שהצד השני של המשולש שווה לגובה, כלומר 16 ס"מ כל שנותר הוא לחשב את שטח המשולש והמלבן ולהוסיף את הערכים המתקבלים.

שטחו של משולש ישר זווית שווה למחצית מכפלת רגליו: S = (16*16)/2 = 128. שטחו של מלבן שווה למכפלת רוחבו ואורכו: S = 20*16 = 320. מצאנו את הדרוש: שטח הטרפז S = 128 + 320 = 448 מ"ר. אתה יכול בקלות לבדוק את עצמך באמצעות הנוסחאות לעיל, התשובה תהיה זהה.

אנו משתמשים בנוסחת ה-Pick

לבסוף, אנו מציגים נוסחה מקורית נוספת שעוזרת למצוא את השטח של טרפז. זה נקרא נוסחת ה-Pick. זה נוח לשימוש כאשר הטרפז מצויר על נייר משובץ. בעיות דומות נמצאות לעתים קרובות בחומרי GIA. זה נראה כך:

S = M/2 + N - 1,

בנוסחה זו M הוא מספר הצמתים, כלומר. הצלבות של קווי הדמות עם קווי התא בגבולות הטרפז (נקודות כתומות באיור), N הוא מספר הצמתים בתוך הדמות (נקודות כחולות). הכי נוח להשתמש בו כשמוצאים את השטח של מצולע לא סדיר. עם זאת, ככל שהארסנל של טכניקות בשימוש גדול יותר, כך פחות שגיאות והתוצאות טובות יותר.

כמובן שהמידע המסופק אינו ממצה את סוגיו ותכונותיו של טרפז, כמו גם את השיטות למציאת שטחו. מאמר זה מספק סקירה כללית של המאפיינים החשובים ביותר שלו. כאשר פותרים בעיות גיאומטריות, חשוב לפעול בהדרגה, להתחיל עם נוסחאות ובעיות קלות, לגבש את ההבנה באופן עקבי ולעבור לרמה אחרת של מורכבות.

יחד, הנוסחאות הנפוצות ביותר יעזרו לתלמידים לנווט בין הדרכים השונות לחישוב שטחו של טרפז ולהתכונן טוב יותר למבחנים ולמטלות בנושא זה.

ו. עכשיו אנחנו יכולים להתחיל לשקול את השאלה איך למצוא את השטח של טרפז. משימה זו מתעוררת לעתים רחוקות מאוד בחיי היומיום, אך לפעמים מתברר שיש צורך, למשל, למצוא את השטח של חדר בצורת טרפז, המשמש יותר ויותר בבניית דירות מודרניות, או ב עיצוב פרויקטי שיפוץ.

טרפז הוא דמות גיאומטרית שנוצרת מארבעה קטעים מצטלבים, שניים מהם מקבילים זה לזה ונקראים בסיסי הטרפז. שני הקטעים האחרים נקראים צלעות הטרפז. בנוסף, נצטרך הגדרה נוספת בהמשך. זהו הקו האמצעי של הטרפז, שהוא קטע המחבר בין נקודות האמצע של הצלעות לבין גובה הטרפז, השווה למרחק בין הבסיסים.
כמו משולשים, לטרפז יש סוגים מיוחדים בצורת טרפז שווה שוקיים (שווה צלעות), שאורכי הצלעות בו זהים, וטרפז מלבני, שבו אחת הצלעות יוצרת זווית ישרה עם הבסיסים.

לטרפז יש כמה תכונות מעניינות:

1. קו האמצע של הטרפז שווה למחצית מסכום הבסיסים ומקביל להם.
   
2. לטרפזים שווה שוקיים צלעות שוות והזוויות שהם יוצרים עם הבסיסים.
   
3. נקודות האמצע של האלכסונים של טרפז ונקודת החיתוך של האלכסונים שלו נמצאים על אותו קו ישר.
   
4. אם סכום הצלעות של טרפז שווה לסכום הבסיסים, ניתן לרשום בו עיגול
   
5. אם סכום הזוויות שנוצרות על ידי צלעות טרפז בכל אחד מהבסיסים שלו הוא 90, אזי אורך הקטע המחבר את נקודות האמצע של הבסיסים שווה לחצי ההפרש שלהם.
   
6. ניתן לתאר טרפז שווה שוקיים על ידי עיגול. ולהיפך. אם טרפז מתאים למעגל, אז הוא שווה שוקיים.
   
7. הקטע העובר דרך נקודות האמצע של הבסיסים של טרפז שווה שוקיים יהיה מאונך לבסיסיו ומייצג את ציר הסימטריה.
   

כיצד למצוא את השטח של טרפז.

שטח הטרפז יהיה שווה למחצית מסכום הבסיסים שלו כפול גובהו. בצורת נוסחה, זה כתוב כביטוי:

כאשר S הוא שטח הטרפז, a, b הוא אורך כל אחד מבסיסי הטרפז, h הוא גובה הטרפז.

אתה יכול להבין ולזכור נוסחה זו כדלקמן. כדלקמן מהאיור שלהלן, באמצעות קו המרכז, ניתן להמיר טרפז למלבן שאורכו יהיה שווה למחצית מסכום הבסיסים.

אתה יכול גם לפרק כל טרפז לדמויות פשוטות יותר: מלבן ומשולש אחד או שניים, ואם זה יותר קל לך, אז מצא את שטח הטרפז כסכום שטחי הדמויות המרכיבות אותו.

יש עוד נוסחה פשוטה לחישוב שטחו. לפי זה, שטחו של טרפז שווה למכפלת קו האמצע שלו בגובה הטרפז והוא כתוב בצורה: S = m*h, כאשר S הוא השטח, m הוא אורך הטרפז. קו אמצע, h הוא גובה הטרפז. נוסחה זו מתאימה יותר לבעיות מתמטיקה מאשר לבעיות יומיומיות, שכן בתנאים אמיתיים לא תדעו את אורך קו האמצע ללא חישובים מקדימים. ואתה תדע רק את אורכי הבסיסים והדפנות.

במקרה זה, ניתן למצוא את שטח הטרפז באמצעות הנוסחה:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

כאשר S הוא השטח, a, b הם הבסיסים, c, d הם צלעות הטרפז.

ישנן מספר דרכים אחרות למצוא את השטח של טרפז. אבל, הם לא נוחים בערך כמו הנוסחה האחרונה, מה שאומר שאין טעם להתעכב עליהם. לכן, אנו ממליצים להשתמש בנוסחה הראשונה מהמאמר ומאחלים שתמיד תקבלו תוצאות מדויקות.

התרגול של בחינת המדינה המאוחדת והבחינה הממלכתית בשנה שעברה מראה שבעיות גיאומטריה גורמות לקשיים עבור תלמידי בית ספר רבים. אתה יכול להתמודד איתם בקלות אם אתה משנן את כל הנוסחאות הדרושות ומתאמן בפתרון בעיות.

במאמר זה תראה נוסחאות למציאת השטח של טרפז, כמו גם דוגמאות לבעיות עם פתרונות. אתה עלול להיתקל באותם ב-KIM במהלך בחינות הסמכה או באולימפיאדות. לכן, התייחס אליהם בזהירות.

מה אתה צריך לדעת על הטרפז?

ראשית, בואו נזכור את זה טרפזנקרא מרובע שבו שתי צלעות מנוגדות, הנקראות גם בסיסים, מקבילות, ושתי האחרות אינן.

בטרפז ניתן להוריד גם את הגובה (מאונך לבסיס). קו האמצע מצויר - זהו קו ישר המקביל לבסיסים ושווה למחצית מסכוםם. כמו גם אלכסונים שיכולים להצטלב וליצור זוויות חדות וקהות. או, במקרים מסוימים, בזווית ישרה. בנוסף, אם הטרפז שווה שוקיים, ניתן לרשום בו עיגול. ותאר מעגל סביבו.

נוסחאות אזור טרפז

ראשית, בואו נסתכל על הנוסחאות הסטנדרטיות למציאת השטח של טרפז. נשקול דרכים לחישוב השטח של שווה שוקיים וטרפזים עקומים להלן.

אז, דמיינו שיש לכם טרפז עם בסיסים a ו-b, שבו גובה h מורד לבסיס הגדול יותר. חישוב השטח של דמות במקרה זה קל כמו הפגזת אגסים. אתה רק צריך לחלק את סכום אורכי הבסיסים בשניים ולהכפיל את התוצאה בגובה: S = 1/2(a + b)*h.

ניקח מקרה אחר: נניח שבטרפז, בנוסף לגובה, יש קו אמצעי מ'. אנו מכירים את הנוסחה למציאת אורך הקו האמצעי: m = 1/2(a + b). לכן, אנו יכולים לפשט בצדק את הנוסחה עבור שטח הטרפז לצורה הבאה: S = m*h. במילים אחרות, כדי למצוא את השטח של טרפז, אתה צריך להכפיל את קו המרכז בגובה.

הבה נבחן אפשרות נוספת: הטרפז מכיל אלכסונים d 1 ו- d 2, שאינם מצטלבים בזוויות ישרות α. כדי לחשב את השטח של טרפז כזה, עליך לחלק את מכפלת האלכסונים בשניים ולהכפיל את התוצאה בחטא הזווית ביניהם: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

כעת שקול את הנוסחה למציאת שטחו של טרפז אם לא ידוע עליו דבר מלבד אורכי כל צלעותיו: a, b, c ו-d. זוהי נוסחה מסורבלת ומורכבת, אבל זה יעזור לך לזכור אותה למקרה: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

אגב, הדוגמאות לעיל נכונות גם למקרה שבו אתה צריך את הנוסחה עבור שטח של טרפז מלבני. זהו טרפז, שצלעו צמוד לבסיסים בזווית ישרה.

טרפז שווה שוקיים

טרפז שצלעותיו שוות נקרא שווה שוקיים. נשקול מספר אפשרויות עבור הנוסחה עבור השטח של טרפז שווה שוקיים.

אפשרות ראשונה: למקרה שבו מעגל עם רדיוס r רשום בתוך טרפז שווה שוקיים, והצד והבסיס הגדול יותר יוצרים זווית חדה α. ניתן לרשום עיגול בטרפז בתנאי שסכום אורכי הבסיסים שלו שווה לסכום אורכי הצלעות.

השטח של טרפז שווה שוקיים מחושב באופן הבא: מכפילים את ריבוע רדיוס המעגל הכתוב בארבע ומחלקים את כולו ב-sinα: S = 4r 2 /sinα. נוסחת שטח נוספת היא מקרה מיוחד לאופציה כאשר הזווית בין הבסיס הגדול לצלע היא 30 0: S = 8r2.

אפשרות שניה: הפעם ניקח טרפז שווה שוקיים, שבו בנוסף מצוירים האלכסונים d 1 ו-d 2, וכן הגובה h. אם האלכסונים של טרפז מאונכים זה לזה, הגובה הוא מחצית מסכום הבסיסים: h = 1/2(a + b). אם אתה יודע זאת, קל להפוך את הנוסחה של אזור הטרפז שכבר מוכר לך לצורה זו: S = h 2.

נוסחה לאזור של טרפז מעוקל

נתחיל בכך שנבין מהו טרפז מעוקל. דמיינו ציר קואורדינטות וגרף של פונקציה רציפה ולא שלילית f שאינה משנה סימן בתוך קטע נתון על ציר ה-x. טרפז עקום נוצר על ידי הגרף של הפונקציה y = f(x) - בחלק העליון, ציר ה-x נמצא בתחתית (קטע), ובצדדים - קווים ישרים המצוירים בין נקודות a ו-b והגרף של הפונקציה.

אי אפשר לחשב את השטח של דמות לא סטנדרטית כזו באמצעות השיטות לעיל. כאן אתה צריך ליישם ניתוח מתמטי ולהשתמש באינטגרל. כלומר: נוסחת ניוטון-לייבניץ - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). בנוסחה זו, F היא הנגזרת האנטי-נגזרת של הפונקציה שלנו בקטע שנבחר. והשטח של טרפז עקום מתאים לתוספת של הנגזרת האנטי-נגזרת בקטע נתון.

דוגמאות לבעיות

כדי להקל על ההבנה של כל הנוסחאות האלו בראש, הנה כמה דוגמאות לבעיות במציאת השטח של טרפז. הכי טוב יהיה אם תנסה קודם כל לפתור את הבעיות בעצמך, ורק אז תשווה את התשובה שתקבל עם הפתרון המוכן.

משימה מס' 1:נתון טרפז. הבסיס הגדול יותר שלו הוא 11 ס"מ, הקטן הוא 4 ס"מ. לטרפז יש אלכסונים, אחד באורך 12 ס"מ, השני 9 ס"מ.

פתרון: בניית AMRS טרפז. צייר קו ישר РХ דרך קודקוד P כך שהוא מקביל לאלכסון MC ויחצה את הישר AC בנקודה X. תקבל משולש APХ.

נשקול שתי דמויות שהתקבלו כתוצאה ממניפולציות אלה: משולש APX ומקבילית CMRX.

הודות למקבילית, אנו למדים ש-PX = MC = 12 ס"מ ו-CX = MR = 4 ס"מ. מהיכן נוכל לחשב את הצלע AX של המשולש ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 ס"מ.

נוכל גם להוכיח שהמשולש APX הוא ישר זווית (כדי לעשות זאת יש ליישם את משפט פיתגורס - AX 2 = AP 2 + PX 2). וחשב את השטח שלו: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 ס"מ 2.

בשלב הבא תצטרכו להוכיח שמשולשים AMP ו-PCX שווים בשטחם. הבסיס יהיה שוויון הצדדים MR ו-CX (כבר הוכח לעיל). וגם הגבהים שאתה מוריד בצדדים האלה - הם שווים לגובה הטרפז של AMRS.

כל זה יאפשר לך לומר ש-S AMPC = S APX = 54 ס"מ 2.

משימה מס' 2:ניתן הטרפז KRMS. בצדדים הצדדיים שלו יש נקודות O ו-E, בעוד OE ו-KS מקבילים. כמו כן, ידוע ששטחי הטרפזים ORME ו-OKSE הם ביחס 1:5. RM = a ו-KS = b. אתה צריך למצוא OE.

פתרון: שרטטו קו מקביל ל-RK דרך נקודה M, וציינו את נקודת החיתוך שלו עם OE כ-T. A היא נקודת החיתוך של הישר המצויר דרך נקודה E במקביל ל-RK עם הבסיס KS.

בואו נציג עוד סימון אחד - OE = x. וגם הגובה h 1 עבור המשולש TME והגובה h 2 עבור המשולש AEC (אתה יכול להוכיח באופן עצמאי את הדמיון של המשולשים הללו).

נניח כי b > a. השטחים של הטרפזים ORME ו-OKSE נמצאים ביחס 1:5, מה שנותן לנו את הזכות ליצור את המשוואה הבאה: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. בואו נמיר ונקבל: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

מכיוון שהמשולשים TME ו-AEC דומים, יש לנו h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). בואו נשלב את שני הערכים ונקבל: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

לפיכך, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

מַסְקָנָה

גיאומטריה היא לא המדעים הקלים ביותר, אבל אתה בהחלט יכול להתמודד עם שאלות הבחינה. מספיק להראות קצת התמדה בהכנה. וכמובן, זכור את כל הנוסחאות הדרושות.

ניסינו לאסוף את כל הנוסחאות לחישוב שטח הטרפז במקום אחד כדי שתוכל להשתמש בהן כשאתה מתכונן לבחינות ותשנה את החומר.

הקפד לספר לחברים לכיתה ולחברים שלך ברשתות חברתיות על מאמר זה. שיהיו עוד ציונים טובים לבחינת המדינה המאוחדת ולבחינות המדינה!

באתר, בעת העתקת חומר במלואו או בחלקו, נדרש קישור למקור המקורי.