אינטגרל מובהק. כיצד לחשב שטח של דמות
הבה נעבור לשקול יישומים של חשבון אינטגרלי. בשיעור זה ננתח את המשימה האופיינית והנפוצה ביותר - כיצד להשתמש באינטגרל מוגדר כדי לחשב את השטח של דמות מישור. לבסוף, מי שמחפש משמעות במתמטיקה גבוהה יותר - שימצאו אותה. אתה אף פעם לא יודע. בחיים האמיתיים, תצטרך להעריך עלילת דאצ'ה באמצעות פונקציות יסודיות ולמצוא את השטח שלה באמצעות אינטגרל מוגדר.
כדי לשלוט בהצלחה בחומר, עליך:
1) הבן את האינטגרל הבלתי מוגדר לפחות ברמת ביניים. לפיכך, על בובות לקרוא תחילה את השיעור לֹא.
2) להיות מסוגל ליישם את נוסחת ניוטון-לייבניץ ולחשב את האינטגרל המובהק. אתה יכול ליצור קשרי ידידות חמים עם אינטגרלים מסוימים בדף אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.
למעשה, כדי למצוא את השטח של דמות, אתה לא צריך כל כך הרבה ידע באינטגרל הבלתי מוגדר והמוגדר. המשימה "לחשב את השטח באמצעות אינטגרל מוגדר" כרוכה תמיד בבניית ציור, כך שהידע שלך וכישורי הציור יהיו נושא דחוף הרבה יותר. בהקשר זה, כדאי לרענן את הזיכרון שלך מהגרפים של פונקציות בסיסיות, ולכל הפחות, להיות מסוגל לבנות קו ישר, פרבולה והיפרבולה. זה יכול להיעשות (עבור רבים, זה הכרחי) בעזרת חומר מתודולוגי ומאמר על טרנספורמציות גיאומטריות של גרפים.
למעשה, כולם מכירים את המשימה של מציאת השטח באמצעות אינטגרל מובהק מאז בית הספר, ולא נלך רחוק יותר מתוכנית הלימודים בבית הספר. המאמר הזה אולי לא היה קיים בכלל, אבל העובדה היא שהבעיה מתרחשת ב-99 מקרים מתוך 100, כאשר תלמיד סובל מבית ספר שנוא ושולט בהתלהבות בקורס במתמטיקה גבוהה יותר.
החומרים של סדנה זו מוצגים בפשטות, בפירוט ובמינימום תיאוריה.
נתחיל בטרפז מעוקל.
טרפז עקוםהוא דמות שטוחה התחום על ידי ציר, קווים ישרים וגרף של פונקציה רציף על מרווח שאינו משנה סימן במרווח זה. תן לדמות הזו להיות ממוקם לא נמוך יותרציר x:
אָז השטח של טרפז עקום שווה מספרית לאינטגרל מוגדר. לכל אינטגרל מוגדר (שקיים) יש משמעות גיאומטרית טובה מאוד. בכיתה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונותאמרתי שאינטגרל מוגדר הוא מספר. ועכשיו הגיע הזמן לציין עוד עובדה שימושית. מנקודת מבט של גיאומטריה, האינטגרל המובהק הוא AREA.
כלומר, האינטגרל המובהק (אם הוא קיים) מתאים מבחינה גיאומטרית לשטח של דמות מסוימת. לדוגמה, שקול את האינטגרל המובהק. האינטגרנד מגדיר עקומה במישור הממוקם מעל הציר (מי שרוצה יכול לעשות ציור), והאינטגרל המובהק עצמו שווה מספרית לשטח הטרפז העקום המקביל.
דוגמה 1
זוהי הצהרת משימה טיפוסית. הנקודה הראשונה והחשובה ביותר בהחלטה היא בניית שרטוט. יתר על כן, הציור חייב להיות בנוי יָמִינָה.
בעת בניית ציור, אני ממליץ על הסדר הבא: בהתחלהעדיף לבנות את כל הקווים הישרים (אם קיימים) ורק אָז– פרבולות, היפרבולות, גרפים של פונקציות אחרות. יותר משתלם לבנות גרפים של פונקציות נקודה אחר נקודה, ניתן למצוא את טכניקת הבנייה הנקודתית בחומר העזר גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. שם תוכלו למצוא גם חומר שימושי מאוד לשיעור שלנו - איך לבנות במהירות פרבולה.
בבעיה זו, הפתרון עשוי להיראות כך.
נצייר את הציור (שים לב שהמשוואה מגדירה את הציר):
אני לא אצל את הטרפז המעוקל כאן ברור על איזה אזור אנחנו מדברים. הפתרון ממשיך כך:
על הקטע, גרף הפונקציה ממוקם מעל הציר, בגלל זה:
תְשׁוּבָה:
למי יש קשיים בחישוב האינטגרל המובהק ויישום נוסחת ניוטון-לייבניץ 
, עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות.
לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, אנו סופרים את מספר התאים בציור "בעין" - ובכן, יהיו בערך 9, מה שנראה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.
דוגמה 2
חשב את השטח של דמות התחום בקווים, , וציר
זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.
מה לעשות אם הטרפז המעוקל ממוקם מתחת לסרן?
דוגמה 3
חשב את שטח הדמות התחום בקווים ובצירי קואורדינטות.
פִּתָרוֹן: בוא נעשה ציור: 
אם נמצא טרפז מעוקל מתחת לסרן(או לפחות לא גבוה יותרציר נתון), אז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:
במקרה זה: 
תְשׁוּמַת לֵב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:
1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.
2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.
בפועל, לרוב הדמות ממוקמת הן בחצי המישור העליון והן בחצי המישור התחתון, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.
דוגמה 4
מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים, .
פִּתָרוֹן: ראשית עליך להשלים את הציור. באופן כללי, כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בוא נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:
זה אומר שהגבול התחתון של האינטגרציה הוא , הגבול העליון של האינטגרציה הוא .
אם אפשר, עדיף לא להשתמש בשיטה זו..
הרבה יותר רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". טכניקת הבנייה הנקודתית של גרפים שונים נדונה בפירוט בעזרה גרפים ומאפיינים של פונקציות יסודיות. עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). וגם נשקול דוגמה כזו.
נחזור למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות קודם קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה את הציור: 
אני חוזר על כך שכאשר בונים באופן נקודתי, גבולות האינטגרציה מתגלים לרוב "באופן אוטומטי".
ועכשיו נוסחת העבודה: אם יש פונקציה רציפה כלשהי על הקטע גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי , ואז ניתן למצוא את שטח הדמות התחום על ידי הגרפים של הפונקציות הללו והקווים , , באמצעות הנוסחה: 
כאן אתה כבר לא צריך לחשוב איפה הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, ובגדול, זה משנה איזה גרף גבוה יותר(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.
בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל לקו הישר, ולכן יש צורך להחסיר ממנו
הפתרון המושלם עשוי להיראות כך:
הדמות הרצויה מוגבלת על ידי פרבולה מעל וקו ישר למטה.
על הקטע, לפי הנוסחה המתאימה:
תְשׁוּבָה:
למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה פשוטה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה 
. מכיוון שהציר מוגדר על ידי המשוואה, והגרף של הפונקציה נמצא לא גבוה יותרצירים, אם כן 
ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון משלך
דוגמה 5
דוגמה 6
מצא את השטח של הדמות התחום בקווים, .
כאשר פותרים בעיות הכרוכות בחישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. השרטוט נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר זהירות... נמצא השטח של הדמות הלא נכונה, כך בדיוק פישל המשרת הצנוע שלך כמה פעמים. הנה מקרה מהחיים האמיתיים:
דוגמה 7
חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים , , , .
פִּתָרוֹן: ראשית, בואו נעשה ציור: 
...אה, הציור יצא שטויות, אבל הכל נראה קריא.
הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, מתרחשת לעתים קרובות "תקלה" שאתה צריך למצוא את השטח של דמות מוצלת בירוק!
דוגמה זו שימושית גם בכך שהיא מחשבת את השטח של דמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:
1) על הקטע שמעל הציר יש גרף של קו ישר;
2) על הקטע שמעל הציר יש גרף של היפרבולה.
ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:
תְשׁוּבָה:
נעבור למשימה משמעותית אחרת.
דוגמה 8
חשב את השטח של דמות התחום בקווים,
בואו נציג את המשוואות בצורה "בית ספר" ונעשה ציור נקודתי: 
מהציור ברור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב":.
אבל מה הגבול התחתון?! ברור שזה לא מספר שלם, אבל מה זה? יכול להיות? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, בהחלט יכול להתברר ש... או השורש. מה אם בנינו את הגרף בצורה לא נכונה?
במקרים כאלה, אתה צריך להשקיע זמן נוסף ולהבהיר את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.
בוא נמצא את נקודות החיתוך של קו ישר ופרבולה.
לשם כך נפתור את המשוואה: 
,
באמת, .
הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי, העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים החישובים כאן הם לא הכי פשוטים;
על הקטע 
, לפי הנוסחה המתאימה: 
תְשׁוּבָה: 
ובכן, בסוף השיעור, בואו נסתכל על עוד שתי משימות קשות.
דוגמה 9
חשב את שטח הדמות התחום בקווים , ,
פִּתָרוֹן: בואו נתאר את הדמות הזו בציור. 
לעזאזל, שכחתי לחתום על לוח הזמנים, וסליחה, לא רציתי לחזור על התמונה. לא יום ציור, בקיצור, היום זה היום =)
לבנייה נקודתית, יש צורך לדעת את המראה של סינוסואיד (ובאופן כללי כדאי לדעת גרפים של כל הפונקציות היסודיות), כמו גם כמה ערכי סינוס, ניתן למצוא אותם ב טבלה טריגונומטרית. במקרים מסוימים (כמו במקרה זה), ניתן לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג בצורה נכונה את הגרפים ומגבלות האינטגרציה.
אין בעיות עם גבולות האינטגרציה כאן הם נובעים ישירות מהתנאי: "x" משתנה מאפס ל"pi". בואו נקבל החלטה נוספת:
על הקטע, הגרף של הפונקציה ממוקם מעל הציר, לכן:
משימה מס' 3. צרו ציור וחשבו את שטח הדמות התחום בקווים
יישום האינטגרל לפתרון בעיות יישומיות
חישוב שטח
האינטגרל המוגדר של פונקציה לא שלילית רציפה f(x) שווה מספרית להשטח של טרפז עקום התחום על ידי העקומה y = f(x), ציר O x והקווים הישרים x = a ו-x = b. בהתאם לכך, נוסחת השטח כתובה כך:
בואו נסתכל על כמה דוגמאות לחישוב השטחים של דמויות מישוריות.
משימה מס' 1. חשב את השטח התחום בקווים y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
פִּתָרוֹן.בואו נבנה דמות שאת שטחה נצטרך לחשב.
y = x 2 + 1 היא פרבולה שהענפים שלה מכוונים כלפי מעלה, והפרבולה מוסטת כלפי מעלה ביחידה אחת ביחס לציר O y (איור 1).
איור 1. גרף של הפונקציה y = x 2 + 1
משימה מס' 2. חשב את השטח התחום בקווים y = x 2 – 1, y = 0 בטווח שבין 0 ל-1.
 |
פִּתָרוֹן.הגרף של פונקציה זו הוא פרבולה של ענפים המכוונים כלפי מעלה, והפרבולה מוסטת ביחס לציר O y כלפי מטה ביחידה אחת (איור 2).
איור 2. גרף של הפונקציה y = x 2 – 1
משימה מס' 3. צרו ציור וחשבו את שטח הדמות התחום בקווים
y = 8 + 2x – x 2 ו-y = 2x – 4.
פִּתָרוֹן.הראשון מבין שני הקווים הללו הוא פרבולה שענפיה מופנים כלפי מטה, שכן מקדם x 2 הוא שלילי, והקו השני הוא ישר החותך את שני צירי הקואורדינטות.
כדי לבנות פרבולה, נמצא את הקואורדינטות של הקודקוד שלה: y'=2 - 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - אבסקיסה של הקודקוד; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 הוא הקודקוד שלו, N(1;9) הוא הקודקוד.
כעת הבה נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה והקו הישר על ידי פתרון מערכת המשוואות:
השוואת צלעות ימין של משוואה שצלעותיה השמאליות שוות.
נקבל 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 או x 2 – 12 = 0, ומכאן 
.
אז, הנקודות הן נקודות החיתוך של פרבולה וקו ישר (איור 1).
איור 3 גרפים של פונקציות y = 8 + 2x – x 2 ו- y = 2x – 4
נבנה קו ישר y = 2x – 4. הוא עובר דרך הנקודות (0;-4), (2;0) על צירי הקואורדינטות.
כדי לבנות פרבולה, אפשר להשתמש גם בנקודות החיתוך שלה עם ציר 0x, כלומר שורשי המשוואה 8 + 2x – x 2 = 0 או x 2 – 2x – 8 = 0. באמצעות משפט וייטה זה קל כדי למצוא את השורשים שלו: x 1 = 2, x 2 = 4.
איור 3 מציג דמות (קטע פרבולי M 1 N M 2) התחום בקווים אלה.
החלק השני של הבעיה הוא למצוא את השטח של הדמות הזו. ניתן למצוא את שטחו באמצעות אינטגרל מוגדר לפי הנוסחה 
.
ביחס למצב זה, נקבל את האינטגרל: 
2 חישוב נפח גוף המהפכה
נפח הגוף המתקבל מסיבוב העקומה y = f(x) סביב ציר O x מחושב על ידי הנוסחה:
כאשר מסתובבים סביב ציר O y, הנוסחה נראית כך:
משימה מס' 4. קבע את נפח הגוף המתקבל מסיבוב של טרפז מעוקל התחום בקווים ישרים x = 0 x = 3 ועקומה y = סביב ציר O x.
פִּתָרוֹן.בואו נצייר תמונה (איור 4).
איור 4. גרף של הפונקציה y =
עוצמת הקול הנדרשת היא 
משימה מס' 5. חשב את נפח הגוף המתקבל מסיבוב של טרפז מעוקל התחום על ידי עקומת y = x 2 וקווים ישרים y = 0 ו- y = 4 סביב ציר O y.
פִּתָרוֹן.יש לנו:
סקור שאלות
דוגמה1 . חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, ו-x = 2
בואו נבנה דמות (ראה איור) נבנה קו ישר x + 2y – 4 = 0 באמצעות שתי נקודות A(4;0) ו-B(0;2). הבעת y עד x, נקבל y = -0.5x + 2. באמצעות נוסחה (1), שבה f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, נמצא
S = = [-0.25=11.25 מ"ר יחידות
דוגמה 2. חשב את שטח הדמות התחום בקווים: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 ו- y = 0.
פִּתָרוֹן. בואו נבנה את הדמות.
בואו נבנה קו ישר x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
נבנה קו ישר x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
בואו נמצא את נקודת החיתוך של הקווים על ידי פתרון מערכת המשוואות:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
כדי לחשב את השטח הנדרש, נחלק את המשולש AMC לשני משולשים AMN ו-NMC, שכן כאשר x משתנה מ-A ל-N, השטח מוגבל על ידי קו ישר, וכאשר x משתנה מ-N ל-C - על ידי קו ישר
עבור משולש AMN יש לנו: ; y = 0.5x + 2, כלומר f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
עבור משולש NMC יש לנו: y = - x + 5, כלומר f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
על ידי חישוב השטח של כל משולש והוספת התוצאות, אנו מוצאים:
מ"ר יחידות
מ"ר יחידות
9 + 4, 5 = 13.5 מ"ר יחידות בדוק: = 0.5AC = 0.5 מ"ר. יחידות
דוגמה 3. חשב את השטח של דמות התחום בקווים: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
במקרה זה, עליך לחשב את השטח של טרפז מעוקל התחום על ידי הפרבולה y = x 2 , קווים ישרים x = 2 ו- x = 3 וציר השור (ראה איור) באמצעות נוסחה (1) אנו מוצאים את שטח הטרפז העקום
= = 6 מ"ר יחידות
דוגמה 4. חשב את שטח הדמות התחום על ידי הקווים: y = - x 2 + 4 ו-y = 0
בואו נבנה את הדמות. השטח הנדרש מוקף בין הפרבולה y = - x 2 + 4 וציר השור.
בואו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר השור. בהנחה ש-y = 0, נמצא את x = מכיוון שנתון זה סימטרי על ציר Oy, אנו מחשבים את שטח הדמות הממוקמת מימין לציר Oy, ומכפילים את התוצאה המתקבלת: = +4x]sq. יחידות 2 = 2 מ"ר יחידות
דוגמה 5. חשב את שטחה של דמות התחום בקווים: y 2 = x, yx = 1, x = 4
כאן אתה צריך לחשב את השטח של טרפז עקום התחום על ידי הענף העליון של הפרבולה 2 = x, ציר שור וקווים ישרים x = 1 ו-x = 4 (ראה איור)
לפי הנוסחה (1), שבה f(x) = a = 1 ו-b = 4, יש לנו = (= יחידות ריבועיות.
דוגמה 6 . חשב את שטח הדמות התחום בקווים: y = sinx, y = 0, x = 0, x=.
השטח הנדרש מוגבל על ידי חצי הגל של הסינוסואיד וציר השור (ראה איור).
יש לנו - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 מ"ר. יחידות
דוגמה 7. חשב את שטח הדמות התחום בקווים: y = - 6x, y = 0 ו-x = 4.
הדמות ממוקמת מתחת לציר השור (ראה איור).
לכן, אנו מוצאים את השטח שלו באמצעות נוסחה (3)
= =
דוגמה 8. חשב את שטח הדמות התחום בקווים: y = ו-x = 2. בנה את עקומת y = לפי נקודות (ראה איור). לפיכך, אנו מוצאים את שטח הדמות באמצעות נוסחה (4)
דוגמה 9 .
X 2 + y 2 = ר 2 .
כאן אתה צריך לחשב את השטח המוקף במעגל x 2 + y 2 = ר 2 , כלומר שטח מעגל ברדיוס r עם המרכז במקור. בואו נמצא את החלק הרביעי של אזור זה על ידי נטילת גבולות האינטגרציה מ-0
לִפנֵי; יש לנו: 1 = = [
לָכֵן, 1 =
דוגמה 10. חשב את השטח של דמות התחום בקווים: y= x 2 ו-y = 2x
נתון זה מוגבל על ידי הפרבולה y = x 2 והישר y = 2x (ראה איור) כדי לקבוע את נקודות החיתוך של הקווים הנתונים, נפתור את מערכת המשוואות: x 2 – 2x = 0 x = 0 ו-x = 2
באמצעות נוסחה (5) כדי למצוא את השטח, נקבל
= גרף של פונקציה y = x 2 + 2 ממוקם מעל הצירשׁוֹר, בגלל זה:
תְשׁוּבָה: .
למי יש קשיים בחישוב האינטגרל המובהק ויישום נוסחת ניוטון-לייבניץ
,
עיין בהרצאה אינטגרל מובהק. דוגמאות לפתרונות. לאחר השלמת המשימה, תמיד כדאי להסתכל על הציור ולהבין אם התשובה אמיתית. במקרה זה, אנו סופרים את מספר התאים בציור "בעין" - ובכן, יהיו בערך 9, מה שנראה נכון. ברור לחלוטין שאם קיבלנו, נניח, את התשובה: 20 יחידות מרובעות, אז ברור שנעשתה טעות איפשהו - 20 תאים כמובן לא מתאימים לנתון המדובר, לכל היותר תריסר. אם התשובה שלילית, אז גם המשימה נפתרה בצורה לא נכונה.
דוגמה 2
חשב את השטח של דמות התחום בקווים xy = 4, x = 2, x= 4 וציר שׁוֹר.
זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.
מה לעשות אם הטרפז המעוקל ממוקם מתחת לסרןשׁוֹר?
דוגמה 3
חשב את השטח של דמות התחום בקווים y = לְשֶׁעָבַר, x= 1 וצירי קואורדינטות.
פתרון: בואו נעשה ציור:
אם טרפז מעוקל ממוקם לחלוטין מתחת לציר שׁוֹר , אז ניתן למצוא את השטח שלו באמצעות הנוסחה:
במקרה זה:
.
תְשׁוּמַת לֵב! אין לבלבל בין שני סוגי המשימות:
1) אם תתבקשו לפתור פשוט אינטגרל מוגדר ללא כל משמעות גיאומטרית, אז הוא עשוי להיות שלילי.
2) אם תתבקשו למצוא את השטח של דמות באמצעות אינטגרל מוגדר, אז השטח תמיד חיובי! לכן המינוס מופיע בנוסחה שנידונה זה עתה.
בפועל, לרוב הדמות ממוקמת הן בחצי המישור העליון והן בחצי המישור התחתון, ולכן, מבעיות בית הספר הפשוטות ביותר נעבור לדוגמאות משמעותיות יותר.
דוגמה 4
מצא את השטח של דמות מישור התחום בקווים y = 2x – x 2 , y = -x.
פתרון: ראשית אתה צריך לעשות ציור. כאשר בונים ציור בבעיות שטח, אנו מתעניינים בעיקר בנקודות החיתוך של קווים. בואו נמצא את נקודות החיתוך של הפרבולה y = 2x – x 2 וישר y = -x. ניתן לעשות זאת בשתי דרכים. השיטה הראשונה היא אנליטית. נפתור את המשוואה:
זה אומר שהגבול התחתון של אינטגרציה א= 0, גבול עליון של אינטגרציה ב= 3. לעתים קרובות יותר רווחי ומהיר יותר לבנות קווים נקודה אחר נקודה, וגבולות האינטגרציה מתבהרים "מעצמם". עם זאת, השיטה האנליטית של מציאת גבולות עדיין צריכה לשמש לפעמים אם, למשל, הגרף גדול מספיק, או שהבנייה המפורטת לא חשפה את גבולות האינטגרציה (הם יכולים להיות חלקים או לא רציונליים). נחזור למשימה שלנו: יותר רציונלי לבנות קודם קו ישר ורק אחר כך פרבולה. בואו נעשה את הציור:
נחזור על כך שכאשר בונים באופן נקודתי, גבולות האינטגרציה נקבעים לרוב "אוטומטית".
ועכשיו נוסחת העבודה:
אם על הקטע [ א; ב] פונקציה רציפה כלשהי ו(x) גדול או שווה לפונקציה רציפה כלשהי ז(x), אז ניתן למצוא את השטח של הדמות המקבילה באמצעות הנוסחה:
כאן כבר לא צריך לחשוב איפה הדמות ממוקמת - מעל הציר או מתחת לציר, אלא זה משנה איזה גרף גבוה יותר(ביחס לגרף אחר), ואיזה מהם נמצא מתחת.
בדוגמה הנבדקת, ברור שעל הקטע הפרבולה ממוקמת מעל הקו הישר, ולכן מ-2 x – xיש לגרוע 2 - x.
הפתרון המושלם עשוי להיראות כך:
הנתון הרצוי מוגבל על ידי פרבולה y = 2x – x 2 למעלה וישר y = -xלְהַלָן.
על קטע 2 x – x 2 ≥ -x. לפי הנוסחה המתאימה:
תְשׁוּבָה: .
למעשה, נוסחת בית הספר לשטח של טרפז עקום בחצי המישור התחתון (ראה דוגמה מס' 3) היא מקרה מיוחד של הנוסחה
.
כי הציר שׁוֹרנתון על ידי המשוואה y= 0, והגרף של הפונקציה ז(x) ממוקם מתחת לציר שׁוֹר, זה
.
ועכשיו כמה דוגמאות לפתרון משלך
דוגמה 5
דוגמה 6
מצא את השטח של דמות התחום בקווים
כאשר פותרים בעיות הכרוכות בחישוב שטח באמצעות אינטגרל מוגדר, קורה לפעמים תקרית מצחיקה. השרטוט נעשה נכון, החישובים היו נכונים, אבל בגלל חוסר זהירות... נמצא האזור של הדמות הלא נכונה.
דוגמה 7
ראשית בואו נעשה ציור:
הדמות שאת השטח שלה אנחנו צריכים למצוא מוצללת בכחול(הסתכלו היטב על המצב - איך הנתון מוגבל!). אבל בפועל, בגלל חוסר תשומת לב, אנשים מחליטים לעתים קרובות שהם צריכים למצוא את אזור הדמות המוצל בירוק!
דוגמה זו שימושית גם מכיוון שהיא מחשבת את השטח של דמות באמצעות שני אינטגרלים מוגדרים. בֶּאֱמֶת:
1) על הקטע [-1; 1] מעל הציר שׁוֹרהגרף ממוקם ישר y = x+1;
2) על קטע מעל הציר שׁוֹרנמצא הגרף של היפרבולה y = (2/x).
ברור למדי שניתן (וצריך) להוסיף את האזורים, לכן:
תְשׁוּבָה:
דוגמה 8
חשב את השטח של דמות התחום בקווים
בואו נציג את המשוואות בצורת "בית ספר".
ולעשות ציור נקודתי:
מהציור ברור שהגבול העליון שלנו הוא "טוב": ב = 1.
אבל מה הגבול התחתון?! ברור שזה לא מספר שלם, אבל מה זה?
יכול להיות, א=(-1/3)? אבל איפה הערובה שהציור נעשה בדיוק מושלם, יכול בהחלט להתברר שכן א=(-1/4). מה אם בנינו את הגרף בצורה לא נכונה?
במקרים כאלה, אתה צריך להשקיע זמן נוסף ולהבהיר את גבולות האינטגרציה בצורה אנליטית.
בוא נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים
לשם כך נפתור את המשוואה:
.
לָכֵן, א=(-1/3).
הפתרון הנוסף הוא טריוויאלי. העיקר לא להתבלבל בהחלפות ובסימנים. החישובים כאן הם לא הכי פשוטים. על הקטע
, 
,
לפי הנוסחה המתאימה:
תְשׁוּבָה: 
לסיום השיעור, נסתכל על עוד שתי משימות קשות.
דוגמה 9
חשב את השטח של דמות התחום בקווים
פתרון: הבה נתאר את הדמות הזו בציור.
כדי לבנות ציור נקודתי, אתה צריך לדעת את המראה של סינוסואיד. באופן כללי, כדאי לדעת את הגרפים של כל הפונקציות היסודיות, כמו גם כמה ערכי סינוס. ניתן למצוא אותם בטבלת הערכים פונקציות טריגונומטריות. במקרים מסוימים (לדוגמה, במקרה זה), ניתן לבנות שרטוט סכמטי, שעליו יש להציג בצורה נכונה את הגרפים ומגבלות האינטגרציה.
אין בעיות עם גבולות האינטגרציה כאן הם נובעים ישירות מהתנאי:
- "x" משתנה מאפס ל-"pi". בואו נקבל החלטה נוספת:
על קטע, הגרף של פונקציה y= חטא 3 xממוקם מעל הציר שׁוֹר, בגלל זה:
(1) ניתן לראות כיצד סינוסים וקוסינוסים משולבים בחזקות אי-זוגיות בשיעור אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות. אנחנו צובטים סינוס אחד.
(2) אנו משתמשים בזהות הטריגונומטרית הראשית בטופס
(3) בואו נשנה את המשתנה ט=cos x, אם כן: ממוקם מעל הציר, לכן:
.
.
פֶּתֶק:שים לב כיצד נלקח האינטגרל של הקוביות המשיקות כאן
.
הבה ניקח בחשבון טרפז מעוקל התחום על ידי ציר השור, העקומה y=f(x) ושני ישרים: x=a ו-x=b (איור 85). ניקח ערך שרירותי של x (רק לא a ולא b). בוא ניתן לו תוספת h = dx ונתחשב ברצועה התחום על ידי ישרים AB ו-CD, ציר השור והקשת BD השייכת לעקומה הנבדקת. לרצועה זו נקרא רצועה אלמנטרית. השטח של רצועה יסודית שונה משטח המלבן ACQB במשולש העקום BQD, ושטחו של האחרון קטן משטח המלבן BQDM עם הצלעות BQ = =h= dx) QD=Ay ושטח שווה ל-hAy = Ay dx. כשהצד h יורד, גם צד Du פוחת ובמקביל עם h שואף לאפס. לכן, השטח של ה-BQDM הוא אינפיניטסימלי מסדר שני. השטח של רצועה יסודית הוא התוספת של השטח, ושטח המלבן ACQB, שווה ל-AB-AC ==/(x) dx> הוא ההפרש של השטח. כתוצאה מכך, אנו מוצאים את האזור עצמו על ידי שילוב הדיפרנציאל שלו. בתוך הדמות הנבדקת, המשתנה הבלתי תלוי l: משתנה מ-a ל-b, כך שהשטח הנדרש 5 יהיה שווה ל-5= \f(x) dx. (I) דוגמה 1. הבה נחשב את השטח התחום על ידי הפרבולה y - 1 -x*, ישרים X =--Fj-, x = 1 וציר O* (איור 86). באיור. 87. איור. 86. 1 כאן f(x) = 1 - l?, גבולות האינטגרציה הם a = - ו-£ = 1, לכן J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* דוגמה 2. בוא נחשב את השטח המוגבל על ידי הסינוסואיד y = sinXy, ציר השור והקו הישר (איור 87). יישום הנוסחה (I), נקבל A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf דוגמה 3. חשב את השטח המוגבל בקשת של הסינוסואיד ^у = sin jc, מוקף בין שתי נקודות חיתוך סמוכות עם ציר השור (לדוגמה, בין המוצא לנקודה עם האבססיס i). שימו לב שמשיקולים גיאומטריים ברור ששטח זה יהיה פי שניים משטח הדוגמה הקודמת. עם זאת, בוא נעשה את החישובים: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o אכן, ההנחה שלנו התבררה כנכונה. דוגמה 4. חשב את השטח התחום על ידי הסינוסואיד וציר השור בתקופה אחת (איור 88). חישובים ראשוניים מצביעים על כך שהשטח יהיה גדול פי ארבעה מאשר בדוגמה 2. עם זאת, לאחר ביצוע חישובים, נקבל "i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. תוצאה זו דורשת הבהרה. כדי להבהיר את מהות העניין, מחשבים גם את השטח המוגבל באותו סינוסאיד y = sin l: ואת ציר השור בטווח שבין l ל-2i. ביישום נוסחה (I), נקבל 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. לפיכך, אנו רואים שתחום זה התברר כשלי. בהשוואה לשטח שחושב בתרגיל 3, אנו מוצאים שהערכים המוחלטים שלהם זהים, אבל הסימנים שונים. אם נחיל תכונה V (ראה פרק י"א, § 4), נקבל 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0מה שקרה בדוגמה זו אינו תאונה. תמיד השטח הממוקם מתחת לציר השור, בתנאי שהמשתנה הבלתי תלוי משתנה משמאל לימין, מתקבל בחישוב באמצעות אינטגרלים. בקורס זה תמיד נשקול אזורים ללא שלטים. לכן, התשובה בדוגמה שנידון זה עתה תהיה: השטח הנדרש הוא 2 + |-2| = 4. דוגמה 5. בוא נחשב את שטח ה-BAB המוצג באיור. 89. שטח זה מוגבל על ידי ציר השור, הפרבולה y = - xr והישר y - = -x+\. שטח של טרפז עקום השטח הנדרש OAB מורכב משני חלקים: OAM ו-MAV. מכיוון שנקודה A היא נקודת החיתוך של פרבולה וקו ישר, נמצא את הקואורדינטות שלה על ידי פתרון מערכת המשוואות 3 2 Y = mx. (אנחנו רק צריכים למצוא את האבשיסה של נקודה A). פתרון המערכת, אנו מוצאים l; = ~. לכן, יש לחשב את השטח בחלקים, ריבוע ראשון. OAM ולאחר מכן pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x)