פונקציה רציונלית חלקית

נוּסחָה y = k/x, הגרף הוא היפרבולה. בחלק 1 של ה-GIA, פונקציה זו מוצעת ללא תזוזות לאורך הצירים. לכן יש לו רק פרמטר אחד ק. ההבדל הגדול ביותר במראה הגרף תלוי בסימן ק.

קשה יותר לראות הבדלים בגרפים אם קדמות אחת:

כפי שאנו רואים, כמה שיותר ק, ככל שההפרבולה עולה.

האיור מציג פונקציות שעבורן הפרמטר k שונה באופן משמעותי. אם ההבדל לא כל כך גדול, אז די קשה לקבוע אותו בעין.

בהקשר זה, המשימה הבאה, שמצאתי במדריך טוב בדרך כלל להכנה לבחינה הממלכתית, היא פשוט "יצירת מופת":

לא רק זה, בתמונה קטנה למדי, גרפים ברווחים קרובים פשוט מתמזגים. כמו כן, היפרבולות עם k חיובי ושלילי מתוארות באותו מישור קואורדינטות. מה שיבלבל לחלוטין את כל מי שיסתכל על הציור הזה. "הכוכב הקטן והמגניב" פשוט מושך את העין שלך.

תודה לאל שזו רק משימת אימון. בגרסאות אמיתיות הוצעו ניסוח נכון יותר וציורים ברורים.

בואו להבין איך לקבוע את המקדם קלפי הגרף של הפונקציה.

מתוך הנוסחה: y = k/xזה נובע מכך k = y x. כלומר, אנחנו יכולים לקחת כל נקודה שלמה עם קואורדינטות נוחות ולהכפיל אותן - נקבל ק.

ק= 1·(- 3) = - 3.

לכן הנוסחה של פונקציה זו היא: y = - 3/x.

מעניין לשקול את המצב עם שבר ק. במקרה זה, ניתן לכתוב את הנוסחה בכמה דרכים. זה לא אמור להטעות.

לְדוּגמָה,

אי אפשר למצוא נקודה אחת שלמה בגרף הזה. לכן הערך קניתן לקבוע בקירוב מאוד.

ק= 1·0.7≈0.7. עם זאת, ניתן להבין ש-0< ק< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

אז בואו נסכם.

ק> 0 היפרבולה ממוקמת בזוויות הקואורדינטות ה-1 וה-3 (רבעים),

ק < 0 - во 2-м и 4-ом.

אִם קמודולו גדול מ-1 ( ק= 2 או ק= - 2), אז הגרף ממוקם מעל 1 (מתחת ל-1) לאורך ציר ה-y ונראה רחב יותר.

אִם קמודולו פחות מ-1 ( ק= 1/2 או ק= - 1/2), אז הגרף ממוקם מתחת ל-1 (מעל - 1) לאורך ציר ה-y ונראה צר יותר, "לחוץ" לכיוון האפס:

הפונקציה y = והגרף שלה.

יעדים:

1) הצג את ההגדרה של הפונקציה y = ;

2) ללמד כיצד לבנות גרף של הפונקציה y = באמצעות תוכנת Agrapher;

3) לפתח את היכולת לבנות סקיצות של גרפים של הפונקציה y = תוך שימוש במאפייני הטרנספורמציה של גרפי פונקציות;

א. חומר חדש - שיחה מורחבת.

U: הבה ניקח בחשבון את הפונקציות המוגדרות על ידי הנוסחאות y = ; y = ; y = .

מהם הביטויים הכתובים בצד ימין של נוסחאות אלו?

ד: לצדדים הימניים של נוסחאות אלו יש צורה של שבר רציונלי, שבו המונה הוא בינומי מהמעלה הראשונה או מספר שאינו אפס, והמכנה הוא בינומי מהמעלה הראשונה.

U: פונקציות כאלה מצוינות בדרך כלל על ידי נוסחה של הטופס

שקול את המקרים שבהם a) c = 0 או c) = .

(אם במקרה השני התלמידים חווים קשיים, אז אתה צריך לבקש מהם להתבטא עִםמפרופורציה נתונה ולאחר מכן החליפו את הביטוי המתקבל בנוסחה (1)).

D1: אם c = 0, אז y = x + b היא פונקציה לינארית.

D2: אם = , אז c = . החלפת הערך עִם בנוסחה (1) נקבל:

כלומר, y = היא פונקציה לינארית.

Y: פונקציה שניתן לציין על ידי נוסחה בצורת y =, כאשר האות x מציינת ערך עצמאי

המשתנה הזה, והאותיות a, b, c ו-d הם מספרים שרירותיים, ו-c0 ו-ad כולם 0, נקרא פונקציה שברית ליניארית.

הבה נראה שהגרף של פונקציה שברית ליניארית הוא היפרבולה.

דוגמה 1.בואו נבנה גרף של הפונקציה y = . בואו נפריד את כל החלק מהשבר.

יש לנו: = = = 1 + .

ניתן לקבל את גרף הפונקציה y = +1 מגרף הפונקציה y = באמצעות שני תרגומים מקבילים: הזזה של 2 יחידות ימינה לאורך ציר X והזזה של יחידה אחת כלפי מעלה בכיוון ה-Y ציר עם תזוזות אלו, האסימפטוטות של ההיפרבולה y = ינועו: ישר x = 0 (כלומר ציר Y) הוא 2 יחידות ימינה, והקו הישר y = 0 (כלומר ציר X) הוא יחידה אחת. לְמַעלָה. לפני בניית גרף, בואו נצייר אסימפטוטות במישור הקואורדינטות עם קו מנוקד: ישרים x = 2 ו- y = 1 (איור 1a). בהתחשב בכך שההיפרבולה מורכבת משני ענפים, כדי לבנות כל אחד מהם ניצור, באמצעות תוכנת Agrapher, שתי טבלאות: האחת עבור x>2, והשנייה עבור x<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
בְּ-	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
בְּ-	7	4	3	2,5	2	1,6

הבה נסמן (באמצעות תוכנת Agrapher) נקודות במישור הקואורדינטות, שהקואורדינטות שלהן רשומות בטבלה הראשונה, ונחבר אותן בקו רציף חלק. אנחנו מקבלים ענף אחד של ההיפרבולה. באופן דומה, באמצעות הטבלה השנייה, אנו מקבלים את הענף השני של ההיפרבולה (איור 1b).

דוגמה 2. נבנה גרף של הפונקציה y = - בוא נבודד את כל החלק מהשבר על ידי חלוקת הבינומי 2x + 10 בבינומי x + 3. נקבל = 2 + . לכן, y = -2.

ניתן לקבל את גרף הפונקציה y = --2 מגרף הפונקציה y = - באמצעות שני תרגומים מקבילים: תזוזה של 3 יחידות שמאלה והזזה של 2 יחידות למטה. האסימפטוטים של ההיפרבולה הם ישרים x = -3 ו- y = -2. בואו ניצור (באמצעות תוכנית Agrapher) טבלאות עבור x<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
בְּ-	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
בְּ-	2	0	-1	-1,2	-1,5

על ידי בניית (באמצעות תוכנת Agrapher) נקודות במישור הקואורדינטות ושרטוט הענפים של ההיפרבולה דרכן, נקבל גרף של הפונקציה y = - (איור 2).

U:מהו הגרף של פונקציה שברית ליניארית?

D: הגרף של כל פונקציה שברית ליניארית הוא היפרבולה.

T: כיצד לצייר גרף של פונקציה שברית ליניארית?

D: הגרף של פונקציה לינארית שברית מתקבל מגרף הפונקציה y = באמצעות תרגומים מקבילים לאורך צירי הקואורדינטות, ענפי ההיפרבולה של הפונקציה הליניארית השברית הם סימטריים לגבי הנקודה (-. הישר x = נקראת האסימפטוטה האנכית של ההיפרבולה הקו הישר y = נקרא האסימפטוטה האופקית.

T: מהו תחום ההגדרה של פונקציה שברית ליניארית?

T: מהו טווח הערכים של פונקציה שברית ליניארית?

D: E(y) = .

T: האם לפונקציה יש אפסים?

D: אם x = 0, אז f(0) = , d. כלומר, לפונקציה יש אפסים - נקודה A.

T: האם לגרף של פונקציה שברית ליניארית יש נקודות חיתוך עם ציר X?

D: אם y = 0, אז x = -. זה אומר שאם a, אז לנקודת החיתוך עם ציר X יש קואורדינטות. אם a = 0, b, אז בגרף של הפונקציה השברית הליניארית אין נקודות חיתוך עם ציר האבססיס.

U: הפונקציה יורדת על פני מרווחים של כל תחום ההגדרה אם bc-ad > 0 וגדלה על פני מרווחים של כל תחום ההגדרה אם bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

ש: האם ניתן לציין את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה?

D: לפונקציה אין את הערכים הגדולים והקטנים ביותר.

T: אילו קווים הם האסימפטוטים של הגרף של פונקציה שברית לינארית?

D: האסימפטוטה האנכית היא הישר x = -; והאסימפטוטה האופקית היא הישר y = .

(התלמידים רושמים במחברת את כל המסקנות, ההגדרות והמאפיינים ההכללות של פונקציה שברית ליניארית)

II. קוֹנסוֹלִידַצִיָה.

בעת בנייה ו"קריאת" גרפים של פונקציות שבר ליניאריות, נעשה שימוש במאפיינים של תוכנית Agrapher

III. עבודה עצמאית חינוכית.

1. מצא את מרכז ההיפרבולה, אסימפטוטות וגרף את הפונקציה:

א) y = ב) y = ג) y = ; ד) y = ; ה) y = ; ה) y = ;

ז) y = h) y = -

כל תלמיד עובד בקצב שלו. במידת הצורך, המורה מעניק סיוע באמצעות שאילת שאלות, שהתשובות עליהן יסייעו לתלמיד לבצע את המשימה בצורה נכונה.

עבודה מעבדתית ומעשית על חקר המאפיינים של הפונקציות y = ו- y = ותכונות הגרפים של פונקציות אלו.

מטרות: 1) להמשיך ולפתח את הכישורים לבניית גרפים של פונקציות y = ו- y = באמצעות תוכנת Agrapher;

2) לגבש את המיומנויות של "קריאת גרפים" של פונקציות ואת היכולת "לחזות" שינויים בגרפים במהלך טרנספורמציות שונות של פונקציות ליניאריות חלקיות.

I. חזרה מובחנת על תכונות של פונקציה לינארית חלקית.

כל תלמיד מקבל כרטיס - תדפיס עם משימות. כל הבנייה מתבצעת באמצעות תוכנת Agrapher. התוצאות של כל משימה נדונות מיד.

כל תלמיד, תוך שימוש בשליטה עצמית, יכול להתאים את התוצאות המתקבלות בעת השלמת משימה ולבקש עזרה ממורה או יועץ תלמידים.

מצא את הערך של הארגומנט X שבו f(x) =6; f(x) =-2.5.

3. בנה גרף של הפונקציה y = קבע אם הנקודה שייכת לגרף של פונקציה זו: א) A(20;0.5); ב) ב(-30;-); ג) C(-4;2.5); ד) ד(25;0.4)?

4. בנה גרף של הפונקציה y = מצא את המרווחים שבהם y>0 ובהם y<0.

5. גרף את הפונקציה y = . מצא את התחום והטווח של הפונקציה.

6. ציין את האסימפטוטים של ההיפרבולה - גרף הפונקציה y = -. צור גרף.

7. גרף את הפונקציה y = . מצא את האפסים של הפונקציה.

עבודה מעבדתית ומעשית.

כל תלמיד מקבל 2 קלפים: קלף מס' 1 "הוראות"עם תוכנית לפיה העבודה מתבצעת, והטקסט עם המשימה וכרטיס מס' 2 " תוצאות מחקר פונקציונלי ”.

1. שרטט גרף של הפונקציה המצוינת.
2. מצא את התחום של הפונקציה.
3. מצא את הטווח של הפונקציה.
4. ציין את האסימפטוטות של ההיפרבולה.
5. מצא את האפסים של הפונקציה (f(x) = 0).
6. מצא את נקודת החיתוך של ההיפרבולה עם ציר X (y = 0).

7. מצא את המרווחים שבהם: א) y<0; б) y>0.

8. ציין את מרווחי העלייה (הירידה) של הפונקציה.

אני אופציה.

באמצעות תוכנת Agrapher, בנה גרף של הפונקציה וחקור את תכונותיה:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = f) y = . -5-

הנה המקדמים עבור Xוהמונחים החופשיים במונה ובמכנה מקבלים מספרים ממשיים. הגרף של פונקציה שברית ליניארית במקרה הכללי הוא הִיפֵּרבּוֹלָה.

הפונקציה הלינארית השברית הפשוטה ביותר y = -אַתָה-

שביתות קשר פרופורציונלי הפוך; ההיפרבולה המייצגת אותו מוכרת היטב מהקורסים בתיכון (איור 5.5).

אוֹרֶז. 5.5

דוּגמָה. 5.3

שרטט גרף של פונקציה שברית ליניארית:

• 1. מאז השבר הזה לא הגיוני מתי x = 3, זה תחום הפונקציה Xמורכב משני מרווחים אינסופיים:
• 3) ו-(3; +°°).

2. על מנת לחקור את ההתנהגות של פונקציה על גבול תחום ההגדרה (כלומר כאשר X-»3 ובשעה X-> ±°°), כדאי להפוך את הביטוי הזה לסכום של שני איברים באופן הבא:

מכיוון שהאיבר הראשון קבוע, התנהגות הפונקציה על הגבול נקבעת למעשה על ידי האיבר השני, המשתנה. לאחר שלמדתי את תהליך השינוי שלו, מתי X->3 ו X->±°°, אנו מסיקים את המסקנות הבאות לגבי הפונקציה הנתונה:

• א) עבור x->3 יָמִינָה(כלומר עבור *>3) הערך של הפונקציה עולה ללא הגבלה: בְּ--> +°°: ב-x->3 שְׁמֹאל(כלומר ב-x y - לפיכך, ההיפרבולה הרצויה מתקרבת לקו הישר ללא הגבלה עם המשוואה x = 3 (משמאל למטהו למעלה מימין)וכך הקו הישר הזה הוא אסימפטוטה אנכיתהַגזָמָה;
• ב) ב x ->±°° האיבר השני יורד ללא הגבלה, ולכן ערך הפונקציה מתקרב לאיבר הראשון, הקבוע ללא הגבלה, כלומר. להעריך y = 2. במקרה זה, הגרף של הפונקציה מתקרב ללא הגבלה (שמאל למטה וימין למעלה) לישר שניתן במשוואה y = 2; כך הקו הזה הוא אסימפטוטה אופקיתהַגזָמָה.

הֶעָרָה.המידע המתקבל בסעיף זה הוא החשוב ביותר לאפיון התנהגות הגרף של פונקציה בחלק המרוחק של המישור (באופן פיגורטיבי, באינסוף).

• 3. בהנחה l = 0, נמצא y = ~.לכן, ההי-

פרבולה חוצה את הציר אהבנקודה M x = (0;-^).

• 4. פונקציה אפס ( בְּ-= 0) יהיה ב X= -2; לכן, ההיפרבולה הזו חותכת את הציר אהבנקודה M 2 (-2; 0).
• 5. שבר חיובי אם למונה ולמכנה יש אותו סימן, ושלילי אם יש להם סימנים שונים. בפתרון מערכות האי-שוויון המתאימות, אנו מוצאים שלפונקציה יש שני מרווחים חיוביים: (-°°; -2) ו- (3; +°°) ומרווח שלילי אחד: (-2; 3).
• 6. ייצוג פונקציה כסכום של שני איברים (ראה פריט 2) מקל למדי לזהות שני מרווחי ירידה: (-°°; 3) ו-(3; +°°).
• 7. ברור שלפונקציה הזו אין קיצוניות.
• 8. הגדר Y של הערכים של פונקציה זו: (-°°; 2) ו- (2; +°°).
• 9. אין גם זוגיות, אי זוגיות או מחזוריות. המידע שנאסף מספיק כדי באופן סכמטי

מתארים היפרבול בְּצוּרָה גְרָפִיתהמשקף את המאפיינים של פונקציה זו (איור 5.6).

אוֹרֶז. 5.6

הפונקציות שנדונו עד לנקודה זו נקראות אַלגֶבּרִי.עכשיו נעבור לשקול טרנסצנדנטליפונקציות.

בשיעור זה נסתכל על הפונקציה הליניארית השברית, נפתור בעיות באמצעות הפונקציה הליניארית השברית, מודול, פרמטר.

נושא: חזרה

שיעור: פונקציה ליניארית חלקית

1. מושג וגרף של פונקציה שברית ליניארית

הַגדָרָה:

פונקציה של הטופס:

לְדוּגמָה:

הבה נוכיח שהגרף של פונקציית שבר ליניארית זו הוא היפרבולה.

בוא נוציא את השניים מהסוגריים במונה ונקבל:

יש לנו x גם במונה וגם במכנה. כעת אנו מתמירים כך שהביטוי יופיע במונה:

עכשיו בואו נצמצם את השבר מונח אחר מונח:

ברור שהגרף של פונקציה זו הוא היפרבולה.

אנו יכולים להציע שיטה שנייה להוכחה, כלומר לחלק את המונה במכנה בעמודה:

התקבל:

2. שרטוט גרף של פונקציה שברית ליניארית

חשוב להיות מסוגל לבנות בקלות גרף של פונקציה שברית ליניארית, בפרט, כדי למצוא את מרכז הסימטריה של היפרבולה. בואו נפתור את הבעיה.

דוגמה 1 - שרטוט גרף של פונקציה:

כבר המרנו את הפונקציה הזו וקיבלנו:

כדי לבנות את הגרף הזה, לא נעביר את הצירים או את ההיפרבולה עצמה. אנו משתמשים בשיטה סטנדרטית לבניית גרפי פונקציות, תוך שימוש בנוכחות של מרווחים של סימן קבוע.

אנו פועלים לפי האלגוריתם. ראשית, הבה נבחן את הפונקציה הנתונה.

לפיכך, יש לנו שלושה מרווחים של סימן קבוע: בקצה הימני () לפונקציה יש סימן פלוס, ואז הסימנים מתחלפים, מכיוון שלכל השורשים יש את המעלה הראשונה. אז, על מרווח הפונקציה שלילית, על מרווח הפונקציה חיובית.

אנו בונים שרטוט של הגרף בקרבת השורשים ונקודות השבירה של ה-ODZ. יש לנו: מכיוון שבנקודה מסוימת סימן הפונקציה משתנה מפלוס למינוס, העקומה נמצאת תחילה מעל הציר, אחר כך עוברת דרך האפס ואז ממוקמת מתחת לציר ה-x. כאשר המכנה של שבר כמעט שווה לאפס, זה אומר שכאשר ערך הטיעון נוטה לשלוש, ערך השבר שואף לאינסוף. במקרה זה, כאשר הארגומנט מתקרב לטריפל משמאל, הפונקציה שלילית ונוטה למינוס אינסוף, מימין הפונקציה חיובית ועוזבת פלוס אינסוף.

כעת אנו בונים שרטוט של גרף הפונקציה בקרבת נקודות באינסוף, כלומר כאשר הטיעון נוטה לפלוס או מינוס אינסוף. במקרה זה, ניתן להזניח תנאים קבועים. יש לנו:

לפיכך, יש לנו אסימפטוטה אופקית ואנכית, מרכז ההיפרבולה הוא נקודה (3;2). בואו נמחיש:

אוֹרֶז. 1. גרף של היפרבולה למשל 1

3. פונקציה לינארית חלקית עם מודולוס, הגרף שלה

בעיות עם פונקציה ליניארית חלקית יכולות להיות מסובכות על ידי נוכחות של מודול או פרמטר. כדי לבנות, למשל, גרף של הפונקציה, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:

אוֹרֶז. 2. איור לאלגוריתם

לגרף המתקבל יש ענפים שנמצאים מעל ציר ה-x ומתחת לציר ה-x.

1. החל את המודול שצוין. במקרה זה, חלקים מהגרף הממוקמים מעל ציר ה-x נשארים ללא שינוי, ואלה הממוקמים מתחת לציר משתקפים ביחס לציר ה-X. אנחנו מקבלים:

אוֹרֶז. 3. איור לאלגוריתם

דוגמה 2 - שרטוט פונקציה:

אוֹרֶז. 4. גרף פונקציות למשל 2

4. פתרון משוואת שבר ליניארית עם פרמטר

שקול את המשימה הבאה - בניית גרף של הפונקציה. כדי לעשות זאת, עליך לבצע את האלגוריתם הבא:

1. גרף את הפונקציה התת-מודולרית

נניח שנקבל את הגרף הבא:

אוֹרֶז. 5. איור לאלגוריתם

1. החל את המודול שצוין. כדי להבין איך עושים זאת, בואו נרחיב את המודול.

לפיכך, עבור ערכי פונקציה עם ערכי ארגומנט לא שליליים, לא יתרחשו שינויים. לגבי המשוואה השנייה, אנו יודעים שהיא מתקבלת על ידי מיפוי סימטרי על ציר ה-y. יש לנו גרף של הפונקציה:

אוֹרֶז. 6. איור לאלגוריתם

דוגמה 3 - שרטוט פונקציה:

לפי האלגוריתם, תחילה עליך לבנות גרף של הפונקציה התת-מודולרית, כבר בנינו אותה (ראה איור 1)

אוֹרֶז. 7. גרף של פונקציה למשל 3

דוגמה 4 - מצא את מספר השורשים של משוואה עם פרמטר:

נזכיר שפתרון משוואה עם פרמטר פירושו לעבור על כל ערכי הפרמטר ולציין את התשובה עבור כל אחד מהם. אנו פועלים לפי המתודולוגיה. ראשית, אנו בונים גרף של הפונקציה, כבר עשינו זאת בדוגמה הקודמת (ראה איור 7). לאחר מכן, עליך לנתח את הגרף עם משפחת קווים עבור a שונה, למצוא את נקודות החיתוך ולכתוב את התשובה.

בהסתכלות על הגרף, נכתוב את התשובה: מתי ולמשוואה יש שני פתרונות; כאשר למשוואה יש פתרון אחד; כאשר למשוואה אין פתרונות.

1. פונקציה לינארית חלקית וגרף שלה

פונקציה בצורה y = P(x) / Q(x), כאשר P(x) ו-Q(x) הם פולינומים, נקראת פונקציה רציונלית שברית.

אתה בטח כבר מכיר את המושג של מספרים רציונליים. כְּמוֹ כֵן פונקציות רציונליותהן פונקציות שניתן לייצג אותן כמנה של שני פולינומים.

אם פונקציה רציונלית שברית היא המנה של שתי פונקציות לינאריות - פולינומים מהמעלה הראשונה, כלומר. פונקציה של הטופס

y = (ax + b) / (cx + d), אז זה נקרא ליניארי חלקי.

שימו לב שבפונקציה y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (אחרת הפונקציה הופכת ללינארית y = ax/d + b/d) וש-a/c ≠ b/d (אחרת הפונקציה קבועה). הפונקציה השברית הליניארית מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים מלבד x = -d/c. גרפים של פונקציות ליניאריות חלקיות אינם שונים בצורתם מהגרף y = 1/x שאתה מכיר. נקראת עקומה שהיא גרף של הפונקציה y = 1/x הַגזָמָה. עם עלייה בלתי מוגבלת של x בערך המוחלט, הפונקציה y = 1/x יורדת ללא הגבלה בערך המוחלט ושני ענפי הגרף מתקרבים לאבססיס: הימני מתקרב מלמעלה, והשמאלי מלמטה. הקווים שאליהם הענפים של התקרבות היפרבולה נקראים שלה אסימפטוטים.

דוגמה 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

פִּתָרוֹן.

בואו נבחר את החלק כולו: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

כעת קל לראות שהגרף של פונקציה זו מתקבל מהגרף של הפונקציה y = 1/x על ידי התמורות הבאות: הזזה ב-3 מקטעי יחידה ימינה, מתיחה לאורך ציר Oy 7 פעמים והזזה ב-2 מקטעי יחידה כלפי מעלה.

כל שבר y = (ax + b) / (cx + d) יכול להיכתב בצורה דומה, תוך הדגשת "החלק השלם". כתוצאה מכך, הגרפים של כל הפונקציות הליניאריות השבריות הם היפרבולות, המוזזות בדרכים שונות לאורך צירי הקואורדינטות ונמתחות לאורך ציר Oy.

כדי לבנות גרף של כל פונקציה שברית-לינארית שרירותית, אין צורך לבצע טרנספורמציה של השבר המגדיר פונקציה זו. מכיוון שאנו יודעים שהגרף הוא היפרבולה, די יהיה למצוא את הקווים הישרים אליהם מתקרבים ענפיו - האסימפטוטים של ההיפרבולה x = -d/c ו- y = a/c.

דוגמה 2.

מצא את האסימפטוטים של גרף הפונקציה y = (3x + 5)/(2x + 2).

פִּתָרוֹן.

הפונקציה אינה מוגדרת, ב-x = -1. המשמעות היא שהקו הישר x = -1 משמש כאסימפטוטה אנכית. כדי למצוא את האסימפטוטה האופקית, בואו נגלה מה הערכים של הפונקציה y(x) כאשר הארגומנט x גדל בערך המוחלט.

כדי לעשות זאת, חלקו את המונה והמכנה של השבר ב-x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

בתור x → ∞ השבר ישטה ל-3/2. המשמעות היא שהאסימפטוטה האופקית היא הישר y = 3/2.

דוגמה 3.

גרף את הפונקציה y = (2x + 1)/(x + 1).

פִּתָרוֹן.

בואו נבחר את "החלק השלם" של השבר:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

כעת קל לראות שהגרף של פונקציה זו מתקבל מהגרף של הפונקציה y = 1/x על ידי התמורות הבאות: תזוזה של יחידה אחת שמאלה, תצוגה סימטרית ביחס ל-Ox והזזה ב- 2 מקטעי יחידה למעלה לאורך ציר Oy.

דומיין D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

טווח ערכים E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

נקודות חיתוך עם צירים: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). הפונקציה גדלה בכל מרווח של תחום ההגדרה.

תשובה: איור 1.

2. פונקציה רציונלית חלקית

שקול פונקציה רציונלית שברית בצורה y = P(x) / Q(x), כאשר P(x) ו-Q(x) הם פולינומים בעלי תואר גבוה מהראשון.

דוגמאות לפונקציות רציונליות כאלה:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) או y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

אם הפונקציה y = P(x) / Q(x) מייצגת את המנה של שני פולינומים בעלי תואר גבוה מהראשון, אזי הגרף שלה יהיה, ככלל, מורכב יותר, ולעתים יכול להיות קשה לבנות אותו במדויק , עם כל הפרטים. עם זאת, לעתים קרובות מספיק להשתמש בטכניקות דומות לאלו שכבר הצגנו לעיל.

תן לשבר להיות שבר תקין (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

ברור שניתן לקבל את הגרף של פונקציה רציונלית שברית כסכום של גרפים של שברים יסודיים.

שרטוט גרפים של פונקציות רציונליות חלקיות

הבה נבחן מספר דרכים לבניית גרפים של פונקציה רציונלית שברית.

דוגמה 4.

גרף את הפונקציה y = 1/x 2 .

פִּתָרוֹן.

אנו משתמשים בגרף של הפונקציה y = x 2 כדי לבנות גרף של y = 1/x 2 ונשתמש בטכניקה של "חלוקת" הגרפים.

דומיין D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

טווח הערכים E(y) = (0; +∞).

אין נקודות חיתוך עם הצירים. הפונקציה שווה. גדל עבור כל x מהמרווח (-∞; 0), יורד עבור x מ-0 ל-+∞.

תשובה: איור 2.

דוגמה 5.

גרף את הפונקציה y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

פִּתָרוֹן.

דומיין D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

כאן השתמשנו בטכניקת הפירוק לגורמים, הפחתה והפחתה לפונקציה לינארית.

תשובה: איור 3.

דוגמה 6.

גרף את הפונקציה y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

פִּתָרוֹן.

תחום ההגדרה הוא D(y) = R. מכיוון שהפונקציה זוגית, הגרף סימטרי על הסמטה. לפני בניית גרף, בואו נשנה את הביטוי שוב, ונדגיש את החלק כולו:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

שימו לב שבידוד החלק השלם בנוסחה של פונקציה רציונלית שברית הוא אחד העיקריים שבהם בונים גרפים.

אם x → ±∞, אז y → 1, כלומר. הישר y = 1 הוא אסימפטוטה אופקית.

תשובה: איור 4.

דוגמה 7.

הבה נשקול את הפונקציה y = x/(x 2 + 1) וננסה למצוא במדויק את הערך הגדול ביותר שלה, כלומר. הנקודה הגבוהה ביותר בחצי הימני של הגרף. כדי לבנות בצורה מדויקת את הגרף הזה, הידע של היום אינו מספיק. ברור, העקומה שלנו לא יכולה "לעלות" גבוה מאוד, כי המכנה מתחיל במהירות "לעקוף" את המונה. בוא נראה אם ​​הערך של הפונקציה יכול להיות שווה ל-1. לשם כך, עלינו לפתור את המשוואה x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. למשוואה הזו אין שורשים ממשיים. זה אומר שההנחה שלנו שגויה. כדי למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה, עליך לברר באיזה A הגדול ביותר יהיה פתרון למשוואה A = x/(x 2 + 1). נחליף את המשוואה המקורית במשוואה ריבועית: ציר 2 – x + A = 0. למשוואה זו יש פתרון כאשר 1 – 4A 2 ≥ 0. מכאן נמצא את הערך הגדול ביותר A = 1/2.

תשובה: איור 5, מקסימום y(x) = ½.

עדיין יש לך שאלות? לא יודע איך לצייר גרף של פונקציות?
כדי לקבל עזרה ממורה -.
השיעור הראשון חינם!

blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.