זוויות נמדדות במעלות או ברדיאנים. חשוב להבין את הקשר בין יחידות מדידה אלו. הבנת הקשר הזה מאפשרת לך לפעול עם זוויות ולבצע את המעבר ממעלות לרדיאנים ובחזרה. במאמר זה נפיק נוסחה להמרת מעלות לרדיאנים ורדיאנים למעלות, וכן נסתכל על מספר דוגמאות מעשיות.
Yandex.RTB R-A-339285-1
קשר בין מעלות ורדיאנים
כדי לבסס את הקשר בין מעלות לרדיאנים, יש צורך לדעת את המידה ואת מידת הרדיאן של זווית. לדוגמה, קחו את הזווית המרכזית, המבוססת על קוטר מעגל ברדיוס r. כדי לחשב את מידת הרדיאן של זווית זו, יש צורך לחלק את אורך הקשת באורך רדיוס המעגל. הזווית הנחשבת מתאימה לאורך קשת השווה למחצית ההיקף π·r. מחלקים את אורך הקשת ברדיוס ומקבלים את מידת הרדיאן של הזווית: π · r r = π rad.
אז, הזווית המדוברת היא π רדיאנים. מצד שני, מדובר בזווית הפוכה השווה ל-180°. לכן 180° = π רד.
קשר בין מעלות ורדיאנים
הקשר בין רדיאנים למעלות מתבטא בנוסחה
π רדיאן = 180°
נוסחאות להמרת רדיאנים למעלות ולהיפך
מהנוסחה שהתקבלה לעיל, ניתן לגזור נוסחאות אחרות להמרת זוויות מרדיאנים למעלות וממעלות לרדיאנים.
בוא נבטא רדיאן אחד במעלות. כדי לעשות זאת, חלקו את הצד השמאלי והימני של הרדיוס ב-pi.
1 r a d = 180 π ° - מידת המעלות של זווית של 1 רדיאן שווה ל-180 π.
אתה יכול גם לבטא מעלה אחת ברדיאנים.
1° = π 180 r a d
ניתן לבצע חישובים משוערים של ערכי זווית ברדיאנים ולהיפך. לשם כך, קח את ערכי המספר π בדיוק של עשרת אלפים והחלף אותם בנוסחאות המתקבלות.
1 r a d = 180 π ° = 180 3, 1416 ° = 57, 2956 °
אז יש בערך 57 מעלות ברדיאן אחד
1° = π 180 r a d = 3.1416 180 r a d = 0.0175 r a d
מעלה אחת מכילה 0.0175 רדיאנים.
נוסחה להמרת רדיאנים למעלות
x r a d = x 180 π °
כדי להמיר זווית מרדיאנים למעלות, צריך להכפיל את ערך הזווית ברדיאנים ב-180 ולחלק ב-pi.
דוגמאות להמרת מעלות לרדיאנים ורדיאנים למעלות
בואו נסתכל על דוגמה.
דוגמה 1. המרה מרדיאנים למעלות
תן α = 3.2 רד. אנחנו צריכים לגלות את מידת המעלות של זווית זו.
הצורך למדוד זוויות הופיע בקרב אנשים מאז שהציוויליזציה הגיעה לרמה טכנית מינימלית. כולם יודעים את הדיוק הפנומנלי של שמירה על הנטייה וההתמצאות לנקודות הקרדינליות, המובטחות על ידי בוני הפירמידות המצריות. כעת מאמינים כי מידת המדרגה המודרנית של זוויות הומצאה על ידי האכדים הקדומים.
מה זה תארים?
תואר היא יחידת מדידה מקובלת לזוויות. במעגל שלם 360 מעלות. הסיבה לבחירה במספר מסוים זה אינה ידועה. האכדים כנראה חילקו את המעגל למגזרים באמצעות זווית של משולש שווה צלעות, ואז חילקו שוב את הקטעים שנוצרו ל-60 חלקים לפי מערכת המספרים שלהם. תואר מתחלק גם ל-60 דקות, ודקות ל-60 שניות. ייעודים מקובלים הם:
° - מעלות זוויתיות
' - דקות,
'' - שניות.
במהלך אלפי השנים, מידת התואר של הזוויות התבססה היטב בתחומים רבים של פעילות אנושית. זה עדיין הכרחי בכל תחומי המדע והטכנולוגיה - מקרטוגרפיה ועד חישוב מסלולים של לוויינים מלאכותיים של כדור הארץ.
מה זה רדיאנים?
לארכימדס מיוחסת גילוי היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו. אנחנו קוראים לזה המספר pi. זה לא רציונלי, כלומר, לא ניתן לבטא אותו כשבר רגיל או תקופתי. הערך הנפוץ ביותר עבור המספר π הוא 3.14, מדויק עד שני מקומות עשרוניים. אורך מעגל L עם רדיוס R מחושב בקלות באמצעות הנוסחה: L=2πR.
למעגל ברדיוס R=1 יש אורך של 2π. יחס זה משמש בגיאומטריה כניסוח של מדד הרדיאן של הזווית.
בהגדרה, רדיאן הוא זווית שקודקודה במרכז המעגל, תחתיה בקשת שאורכה שווה לרדיוס המעגל. הייעוד הבינלאומי לרדיאן הוא ראד, הייעוד המקומי הוא ראד. אין לזה מימד.
לקשת של מעגל עם רדיוס R וערך זוויתי α רדיאנים יש אורך α * R.
מדוע היה צורך להציג יחידת מדידה חדשה לזווית?
התפתחות המדע והטכנולוגיה הובילה להופעתם של טריגונומטריה וניתוח מתמטי, הנחוצים לחישובים מדויקים של מכשירים מכניים ואופטיים. אחת המשימות שלו היא למדוד את אורך קו מעוקל. המקרה הנפוץ ביותר הוא קביעת אורך קשת מעגלית. השימוש במידת המעלות של זוויות למטרה זו אינו נוח ביותר. הרעיון להשוות את אורך הקשת עם רדיוס המעגל עלה בקרב מתמטיקאים רבים, אך המונח "רדיאן" עצמו הוכנס לשימוש מדעי רק במחצית השנייה של המאה ה-19. כיום, כל הפונקציות הטריגונומטריות בחשבון משתמשות במדד הזווית הרדיאן כברירת מחדל.
כיצד להמיר מעלות לרדיאנים
מהנוסחה להיקף מעגל עולה שרדיוסי 2π משתלבים בו. מכאן נובע ש: 1⁰=2π/360= π/180 רד.
ונוסחה פשוטה להמרה מרדיאנים למעלות: 1 רד = 180/π.
תן לנו זווית של N מעלות. אז הנוסחה להמרה ממעלות לרדיאנים תהיה: α(רדיאנים) = N/(180/π) = N*π/180.
עדיין יש לך שאלות?
את התשובות להן ניתן למצוא, שם מוסברים בפירוט את המושגים של היקף, מידת רדיאן של זוויות, והמרת מעלות לרדיאנים מוצגת באמצעות דוגמאות ספציפיות. הידע של האמור לעיל חשוב ביותר להבנת המתמטיקה, שבלעדיה בלתי אפשרי קיומה של הציוויליזציה המודרנית.
הפונקציה RADIANS (באנגלית RADIANS) היא אחת הפונקציות המתמטיות והטריגונומטריות המשמשות לרוב לחישובים הנדסיים. פונקציה זו באקסל ממירה בקלות מעלות לרדיאנים - הזווית המקבילה לקשת, ואורך קשת זו שווה לרדיוס שלה.
כיצד פועלת פונקציית האינדקס באקסל?
דוגמה 1. עבור חישובים הנדסיים הקשורים לתנועה מעגלית, לעתים קרובות יש צורך לחשב מהירויות זוויתיות ולהמיר מעלות לרדיאנים ורדיאנים למעלות. לאקסל יש פונקציות מיוחדות לכך. כדי לפשט חישובים מתמטיים, ייתכן שיהיה צורך לבטא אותו בכמות אחת ושנייה.
אנחנו צריכים למצוא כמה 180° זה ברדיאנים. לחץ על כפתור ה-FX שליד שורת הנוסחאות כדי לפתוח את חלון בחירת הפונקציה "הכנס פונקציה" (SHIFT+F3) והזן את הפונקציה "RADIANS" בחלון החיפוש. בחר את הפונקציה הרצויה המודגשת, כפי שמוצג באיור למטה.
מופיע חלון שבו עליך להזין את הארגומנטים של הפונקציה. אנו מכניסים את הערך 180, מכיוון שאנו צריכים למצוא כמה רדיאנים יש ב-180 מעלות. לחץ על אישור.
180 מעלות זה 3.1415 רדיאנים.
בוא נמצא רדיאנים לזווית של 90°. בואו נפתח את חלון הפונקציות ונזין את הפונקציה שצריך לחשב. מצא אותו בחלון אשף הפונקציות ובחר ארגומנט 90.
בְּסֵדֶר. 90 מעלות זה 1.5707 רדיאנים.
הדוגמאות הבאות יראו כיצד להמיר את יחידות הזווית הללו בשני הכיוונים.
כיצד להמיר רדיאנים למעלות באמצעות אקסל
דוגמה 2. לפעמים יש צורך להמיר את יחידת המדידה של זוויות ראד לערך gradus°. הפונקציה DEGREES מסופקת למטרה זו. זה מאפשר לך להמיר ערכים המבוטאים ברדיאנים למעלות בחישוב עשרוני.
אנחנו צריכים למצוא כמה זה 4.1 רדיאנים במעלות. לחץ על לחצן fx כדי לפתוח את חלון בחירת הפונקציה והזן את שם הפונקציה התואמת בחלון החיפוש.
מופיע חלון שבו עליך להזין את הארגומנטים של הפונקציה. נזין את הערך 4.1, מכיוון שעלינו למצוא כמה gradus° יש ב-4.1 רד. לחץ על אישור.
עבור הערך ההתחלתי של 4.1 נקבל בדיוק 235 מעלות.
כך ממירים מרדיאנים למעלות באקסל.
כמה רדיאנים יש בכמה מעלות?
דוגמה 3. לפעמים צריך לקבוע כמה רדיאנים יש בכמה מעלות בבת אחת ואז להזין את הארגומנט בכל פעם במשך זמן רב מאוד. במקרה זה, אתה יכול להשתמש בשיטה שונה במקצת של המרת ערכים למדידת זוויות.
אתה צריך למצוא כמה 45, 67, 23, 12, 57 מעלות יש ברדיאנים. לחץ על לחצן fx (SHIFT+F3) כדי לפתוח את חלון בחירת הפונקציה ובחלון החיפוש הזן את הפונקציה הנדרשת כפי שמוצג באיור למטה. אנו מצביעים על הפונקציה המודגשת.
מידת מידת הזווית. מדד רדיאן של זווית. המרת מעלות לרדיאנים ולהיפך.
תְשׁוּמַת לֵב!
ישנם נוספים
חומרים בסעיף מיוחד 555.
למי שהם מאוד "לא מאוד..."
ולמי ש"מאוד...")
בשיעור הקודם למדנו כיצד למדוד זוויות במעגל טריגונומטרי. למד כיצד לספור זוויות חיוביות ושליליות. למדנו איך לצייר זווית גדולה מ-360 מעלות. הגיע הזמן להבין איך למדוד זוויות. במיוחד עם המספר "פי", ששואף לבלבל אותנו במשימות מסובכות, כן...
בעיות סטנדרטיות בטריגונומטריה עם המספר "Pi" נפתרות היטב. זיכרון חזותי עוזר. אבל כל סטייה מהתבנית היא אסון! כדי להימנע מנפילה - לִהַבִיןהֶכְרֵחִי. וזה מה שנעשה עכשיו בהצלחה. כלומר, אנחנו נבין הכל!
כָּך, מַה האם זוויות נחשבות? בקורס טריגונומטריה בבית הספר משתמשים בשני מדדים: מידה של זוויתו מדידת זווית רדיאן. בואו נסתכל על אמצעים אלה. בלי זה, אין מקום בטריגונומטריה.
מידת מידת הזווית.
איכשהו התרגלנו לתארים. לפחות עברנו את הגיאומטריה... ובחיים אנחנו נתקלים לא פעם בביטוי "הסתובב 180 מעלות", למשל. תואר, בקיצור, זה דבר פשוט...
כֵּן? תענה לי אז מה זה תואר מה, זה לא מסתדר מיד? זהו...
מעלות הומצאו בבבל העתיקה. זה היה לפני הרבה זמן... לפני 40 מאות שנה... והם העלו רעיון פשוט. הם לקחו וחילקו את המעגל ל-360 חלקים שווים. מעלה אחת היא 1/360 של מעגל. זה הכל. הם היו יכולים לשבור אותו ל-100 חתיכות. או 1000. אבל הם חילקו את זה ל-360. אגב, למה בדיוק 360? איך 360 עדיף על 100? 100 נראה איכשהו חלק יותר... נסה לענות על השאלה הזו. או חלש מול בבל העתיקה?
אי שם באותו זמן, במצרים העתיקה הם התייסרו בשאלה אחרת. כמה פעמים אורך מעגל גדול מאורך קוטרו? והם מדדו את זה ככה, וככה... התברר שהכל קצת יותר משלוש. אבל איכשהו זה יצא מדובלל, לא אחיד... אבל הם, המצרים, לא אשמים. אחריהם, הם סבלו עוד 35 מאות שנים. עד שבסוף הוכיחו שלא משנה כמה דק חותכים עיגול לחתיכות שוות, מחתיכות כאלה אפשר להכין לְהַחלִיקאורך הקוטר בלתי אפשרי... עקרונית זה בלתי אפשרי. ובכן, כמה פעמים ההיקף גדול יותר מהקוטר שנקבע, כמובן. בְּעֵרֶך. 3.1415926... פעמים.
זהו המספר "פי". כל כך מדובלל, כל כך מדובלל. אחרי הנקודה העשרונית יש מספר אינסופי של מספרים ללא כל סדר... מספרים כאלה נקראים אי-רציונליים. זה, אגב, אומר שמחתיכות שוות של מעגל הקוטר לְהַחלִיקאל תתקפל. לְעוֹלָם לֹא.
לשימוש מעשי נהוג לזכור רק שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. לִזכּוֹר:
מכיוון שאנו מבינים שהיקף המעגל גדול מקוטרו בפעמי "Pi", הגיוני לזכור את הנוסחה להיקף המעגל:
אֵיפֹה ל- היקף, ו ד- הקוטר שלו.
שימושי בגיאומטריה.
לצורך השכלה כללית אוסיף שהמספר "Pi" נמצא לא רק בגיאומטריה... בענפים שונים של המתמטיקה, ובמיוחד בתורת ההסתברות, מספר זה מופיע ללא הרף! בפני עצמו. מעבר לרצונות שלנו. כָּזֶה.
אבל בואו נחזור למעלות. האם הבנת מדוע בבבל העתיקה המעגל היה מחולק ל-360 חלקים שווים? ולא ב-100, למשל? לֹא? בְּסֵדֶר. אני אתן לך גרסה. אתה לא יכול לשאול את הבבלים העתיקים... לבנייה, או, נניח, אסטרונומיה, נוח לחלק את המעגל לחלקים שווים. עכשיו גלה באילו מספרים הוא מתחלק לַחֲלוּטִין 100, ואיזה מהם - 360? ובאיזה גרסה של מחלקים אלו לַחֲלוּטִין- עוד? החלוקה הזו מאוד נוחה לאנשים. אֲבָל...
כפי שהתברר הרבה יותר מאוחר מבבל העתיקה, לא כולם אוהבים תארים. המתמטיקה הגבוהה לא אוהבת אותם... המתמטיקה הגבוהה היא גברת רצינית, מאורגנת לפי חוקי הטבע. והגברת הזו מצהירה: "היום שברת את המעגל ל-360 חלקים, מחר תפרק אותו ל-100, מחרתיים ל-245... ומה אני צריך לעשות לא, באמת..." הייתי צריך להקשיב? אי אפשר לרמות את הטבע...
היה צורך להציג מידה של זווית שאינה תלויה בהמצאות אנושיות. תפגשו - רדיאן!
מדד רדיאן של זווית.
מה זה רדיאן? ההגדרה של רדיאן עדיין מבוססת על מעגל. זווית של רדיאן 1 היא זווית החותכת קשת ממעגל שאורכו הוא ( ל) שווה לאורך הרדיוס ( ר). בואו נסתכל על התמונות.
זווית כל כך קטנה, אין כמעט... אנחנו מזיזים את הסמן על התמונה (או נוגעים בתמונה בטאבלט) ורואים בערך אחד רדיאן. L = R
האם אתה מרגיש את ההבדל?
רדיאן אחד הוא הרבה יותר ממעלה אחת. כמה פעמים?
בואו נסתכל על התמונה הבאה. שעליו ציירתי חצי עיגול. הזווית הנפרשת היא, באופן טבעי, 180 מעלות.
עכשיו אני חותך את חצי העיגול הזה לרדיאנים! נרחף עם הסמן מעל התמונה ורואים ש-180° מתאים ל-3 פלוס רדיאנים.
מי יכול לנחש למה הזנב הזה שווה!?
כֵּן! הזנב הזה הוא 0.1415926.... שלום, מספר "פי", עוד לא שכחנו אותך!
ואכן, 180 מעלות מכיל 3.1415926... רדיאנים. כפי שאתה עצמך מבין, לכתוב 3.1415926 כל הזמן... זה לא נוח. לכן, במקום המספר האינסופי הזה, הם תמיד כותבים בפשטות:
אבל באינטרנט המספר
זה לא נוח לכתוב... בגלל זה אני כותב את שמו בטקסט - "פי". אל תתבלבלו, בסדר?...
כעת נוכל לרשום שוויון משוער בצורה משמעותית לחלוטין:
או שוויון מדויק:
בואו נקבע כמה מעלות יש ברדיאן אחד. אֵיך? בְּקַלוּת! אם יש 180 מעלות ב-3.14 רדיאנים, אז יש פי 3.14 פחות ברדיאן אחד! כלומר, נחלק את המשוואה הראשונה (גם הנוסחה היא משוואה!) ב-3.14:
יחס זה שימושי לזכור רדיאן אחד הוא בערך 60°. בטריגונומטריה, לעתים קרובות אתה צריך להעריך ולהעריך את המצב. כאן הידע הזה עוזר מאוד.
אבל המיומנות העיקרית של הנושא הזה היא המרת מעלות לרדיאנים ולהיפך.
אם הזווית ניתנת ברדיאנים עם המספר "Pi", הכל מאוד פשוט. אנו יודעים שרדיאנים "Pi" = 180°. אז אנחנו מחליפים רדיאנים ב"Pi" - 180°. אנו מקבלים את הזווית במעלות. אנחנו מצמצמים את מה שמצטמצם, והתשובה מוכנה. לדוגמה, עלינו לברר כמה מעלותבזווית "Pi"/2 רדיאן? אז אנחנו כותבים:
או, ביטוי אקזוטי יותר:
קל, נכון?
התרגום ההפוך הוא קצת יותר מסובך. אבל לא הרבה. אם הזווית נתונה במעלות, עלינו להבין לאיזו מעלה אחת שווה ברדיאנים ולהכפיל את המספר הזה במספר המעלות. למה שווה 1° ברדיאנים?
אנו מסתכלים על הנוסחה ומבינים שאם 180° = רדיאנים "Pi", אז 1° קטן פי 180. או, במילים אחרות, אנו מחלקים את המשוואה (נוסחה היא גם משוואה!) ב-180. אין צורך לייצג את "Pi" כמו 3.14 זה תמיד כתוב באות בכל מקרה. אנו מוצאים שמעלה אחת שווה ל:
זהו. נכפיל את מספר המעלות בערך זה ונקבל את הזווית ברדיאנים. לְדוּגמָה:
או, באופן דומה:
כפי שניתן לראות, בשיחה נינוחה עם סטיות ליריות, התברר שרדיאנים הם פשוטים מאוד. והתרגום אין בעיה... ו"פי" זה דבר נסבל לגמרי... אז מאיפה הבלבול!?
אני אגלה את הסוד. העובדה היא שבפונקציות טריגונומטריות נכתב סמל המעלות. תָמִיד. לדוגמה, sin35°. זה סינוס 35 מעלות . והסמל הרדיאן ( שַׂמֵחַ) - לא כתוב! זה מרומז. או שמתמטיקאים היו המומים מעצלנות, או משהו אחר... אבל הם החליטו לא לכתוב. אם אין סמלים בתוך הסינוס-קוטנגנט, אז הזווית היא ברדיאנים ! לדוגמה, cos3 הוא הקוסינוס של שלושה רדיאנים .
זה מוביל לבלבול... אדם רואה "פי" ומאמין שזה 180°. תמיד ובכל מקום. דרך אגב, זה עובד. לעת עתה, הדוגמאות הן סטנדרטיות. אבל "פי" הוא מספר! המספר הוא 3.14, אבל לא מעלות! זהו "Pi" רדיאנים = 180°!
שוב: "פי" הוא מספר! 3.14. לא הגיוני, אבל מספר. זהה ל-5 או 8. אתה יכול, למשל, לעשות לגבי שלבי "Pi". שלושה שלבים וקצת יותר. או לקנות "פי" קילוגרמים של ממתקים. אם מוכר משכיל נתקל ב...
"פי" הוא מספר! מה, עצבנתי אותך עם הביטוי הזה? כבר מזמן הבנת הכל? בְּסֵדֶר. בוא נבדוק. תגיד לי, איזה מספר גדול יותר?
או מה פחות?
זו אחת מסדרת השאלות מעט לא סטנדרטיות שיכולות להכניס אותך לטירוף...
אם גם אתם נפלתם בטירוף, זכרו את הלחש: "פי" הוא מספר! 3.14. בסינוס הראשון מצוין בבירור שהזווית היא במעלות! לכן, אי אפשר להחליף את "Pi" ב-180°! מעלות "Pi" הן בערך 3.14°. לכן, נוכל לכתוב:
אין סימונים בסינוס השני. אז, שם - רדיאנים! זה המקום שבו החלפת "Pi" ב-180° תעבוד מצוין. המרת רדיאנים למעלות, כפי שנכתב לעיל, נקבל:
נותר להשוות בין שני הסינוסים הללו. מַה. שכחת איך? שימוש במעגל טריגונומטרי, כמובן! צייר עיגול, צייר זוויות משוערות של 60° ו- 1.05°. בוא נראה איזה סינוסים יש לזוויות האלה. בקיצור, הכל מתואר כמו בסוף הנושא על המעגל הטריגונומטרי. על עיגול (אפילו העקום!) זה יהיה נראה בבירור חטא 60°משמעותית יותר מ sin1.05°.
אנחנו נעשה בדיוק את אותו הדבר עם קוסינוסים. על המעגל, צייר זוויות של כ-4 מעלותו-4 רדיאן(שכחת למה שווה רדיאן 1 בערך?). המעגל יגיד הכל! כמובן, cos4 הוא פחות מ cos4°.
בואו נתאמן על שימוש במדדי זווית.
המר את הזוויות האלה ממעלות לרדיאנים:
360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°
אתה צריך לקבל את הערכים האלה ברדיאנים (בסדר אחר!)
| 0 | ||||
אגב, הדגשתי במיוחד את התשובות בשתי שורות. ובכן, בואו נבין מהן הפינות בשורה הראשונה? לפחות במעלות, לפחות ברדיאנים?
כֵּן! אלו הם הצירים של מערכת הקואורדינטות! אם אתה מסתכל על המעגל הטריגונומטרי, אז הצד הנע של הזווית עם הערכים האלה מתאים בדיוק על הצירים. צריך להכיר את הערכים האלה. וציינתי את הזווית של 0 מעלות (0 רדיאנים) מסיבה טובה. ואז יש אנשים שפשוט לא יכולים למצוא את הזווית הזו על מעגל... ובהתאם, הם מתבלבלים בפונקציות הטריגונומטריות של אפס... דבר נוסף הוא שהמיקום של הצלע הנעה באפס מעלות עולה בקנה אחד עם המיקום ב-360°, אז יש צירופי מקרים לחלוטין על המעגל הקרוב.
בשורה השנייה יש גם זוויות מיוחדות... אלו הן 30°, 45° ו-60°. ומה כל כך מיוחד בהם? שום דבר מיוחד. ההבדל היחיד בין הזוויות האלה לכל האחרות הוא שאתה צריך לדעת על הזוויות האלה כֹּל. והיכן הם ממוקמים, ואיזה פונקציות טריגונומטריות יש לזוויות הללו. נגיד את הערך חטא 100°אתה לא צריך לדעת. א חטא 45°- בבקשה תהיו כל כך אדיבים! זהו ידע חובה, שבלעדיו אין מה לעשות בטריגונומטריה... אבל עוד על כך בשיעור הבא.
בינתיים נמשיך להתאמן. המר את הזוויות האלה מרדיאן למעלה:
אתה אמור לקבל תוצאות כאלה (בחוסר סדר):
210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.
האם זה עבד? אז אנחנו יכולים להניח את זה המרת מעלות לרדיאנים ובחזרה- כבר לא הבעיה שלך.) אבל תרגום זוויות הוא הצעד הראשון להבנת טריגונומטריה. שם צריך לעבוד גם עם סינוסים וקוסינוסים. וגם עם משיקים וקוטנגנטים...
הצעד העוצמתי השני הוא היכולת לקבוע את המיקום של כל זווית על מעגל טריגונומטרי.גם במעלות וגם ברדיאנים. אני אתן לך רמזים משעממים לגבי המיומנות הזו לאורך כל הטריגונומטריה, כן...) אם אתה יודע הכל (או חושב שאתה יודע הכל) על המעגל הטריגונומטרי, ועל מדידת הזוויות במעגל הטריגונומטרי, אתה יכול לבדוק את זה. פתרו את המשימות הפשוטות האלה:
1. לאיזה רבע נופלות הזוויות:
45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?
בְּקַלוּת? בואו נמשיך:
2. לאיזה רבע נופלות הפינות:
402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?
גם אין בעיה? טוב, תראה...)
3. ניתן למקם את הפינות ברבעים:
אתה יכול? ובכן, אתה נותן..)
4. על אילו צירים תיפול הפינה:
ופינה:
גם זה קל? הממ...)
5. לאיזה רבע נופלות הפינות:
וזה עבד!? טוב, אז אני באמת לא יודע...)
6. קבע לאיזה רבע נופלות הפינות:
1, 2, 3 ו-20 רדיאנים.
אני אתן תשובה רק לשאלה האחרונה (זה קצת מסובך) של המשימה האחרונה. זווית של 20 רדיאנים תיפול ברבע הראשון.
אני לא אתן את שאר התשובות, לא מתוך חמדנות.) פשוט, אם אתה לא החליטומַשֶׁהוּ אתה מטיל ספק בכךכתוצאה מכך, או הוצא על משימה מס' 4 יותר מ-10 שניות,אתה מכוון בצורה גרועה במעגל. זו תהיה הבעיה שלך בכל הטריגונומטריה. עדיף להיפטר ממנו (הבעיה, לא טריגונומטריה!) מיד. ניתן לעשות זאת בנושא: עבודה מעשית עם המעגל הטריגונומטרי בסעיף 555.
הוא מספר כיצד לפתור משימות כאלה בצורה פשוטה ונכונה. ובכן, המשימות הללו נפתרו, כמובן. והמשימה הרביעית נפתרה תוך 10 שניות. כן, הוחלט שכל אחד יכול לעשות את זה!
אם אתה בטוח לחלוטין בתשובות שלך ואינך מעוניין בדרכים פשוטות וללא בעיות לעבוד עם רדיאנים, אינך חייב לבקר ב-555. אני לא מתעקש.)
הבנה טובה היא סיבה מספיק טובה להמשיך הלאה!)
אם אתה אוהב את האתר הזה...
אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)
אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)
ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.
הצורך למדוד זוויות הופיע בקרב אנשים מאז שהציוויליזציה הגיעה לרמה טכנית מינימלית. כולם יודעים את הדיוק הפנומנלי של שמירה על הנטייה וההתמצאות לנקודות הקרדינליות, המובטחות על ידי בוני הפירמידות המצריות. כעת מאמינים כי מידת המדרגה המודרנית של זוויות הומצאה על ידי האכדים הקדומים.
מה זה תארים?
תואר היא יחידת מדידה מקובלת לזוויות. במעגל שלם 360 מעלות. הסיבה לבחירה במספר מסוים זה אינה ידועה. האכדים כנראה חילקו את המעגל למגזרים באמצעות זווית של משולש שווה צלעות, ואז חילקו שוב את הקטעים שנוצרו ל-60 חלקים לפי מערכת המספרים שלהם. תואר מתחלק גם ל-60 דקות, ודקות ל-60 שניות. ייעודים מקובלים הם:
° - מעלות זוויתיות
' - דקות,
'' - שניות.
במהלך אלפי השנים, מידת התואר של הזוויות התבססה היטב בתחומים רבים של פעילות אנושית. זה עדיין הכרחי בכל תחומי המדע והטכנולוגיה - מקרטוגרפיה ועד חישוב מסלולים של לוויינים מלאכותיים של כדור הארץ.
מה זה רדיאנים?
לארכימדס מיוחסת גילוי היחס הקבוע בין היקף המעגל לקוטרו. אנחנו קוראים לזה המספר pi. זה לא רציונלי, כלומר, לא ניתן לבטא אותו כשבר רגיל או תקופתי. הערך הנפוץ ביותר עבור המספר π הוא 3.14, מדויק עד שני מקומות עשרוניים. אורך מעגל L עם רדיוס R מחושב בקלות באמצעות הנוסחה: L=2πR.
למעגל ברדיוס R=1 יש אורך של 2π. יחס זה משמש בגיאומטריה כניסוח של מדד הרדיאן של הזווית.
בהגדרה, רדיאן הוא זווית שקודקודה במרכז המעגל, תחתיה בקשת שאורכה שווה לרדיוס המעגל. הייעוד הבינלאומי לרדיאן הוא ראד, הייעוד המקומי הוא ראד. אין לזה מימד.
לקשת של מעגל עם רדיוס R וערך זוויתי α רדיאנים יש אורך α * R.
מדוע היה צורך להציג יחידת מדידה חדשה לזווית?
התפתחות המדע והטכנולוגיה הובילה להופעתם של טריגונומטריה וניתוח מתמטי, הנחוצים לחישובים מדויקים של מכשירים מכניים ואופטיים. אחת המשימות שלו היא למדוד את אורך קו מעוקל. המקרה הנפוץ ביותר הוא קביעת אורך קשת מעגלית. השימוש במידת המעלות של זוויות למטרה זו אינו נוח ביותר. הרעיון להשוות את אורך הקשת עם רדיוס המעגל עלה בקרב מתמטיקאים רבים, אך המונח "רדיאן" עצמו הוכנס לשימוש מדעי רק במחצית השנייה של המאה ה-19. כיום, כל הפונקציות הטריגונומטריות בחשבון משתמשות במדד הזווית הרדיאן כברירת מחדל.
כיצד להמיר מעלות לרדיאנים
מהנוסחה להיקף מעגל עולה שרדיוסי 2π משתלבים בו. מכאן נובע ש: 1⁰=2π/360= π/180 רד.
ונוסחה פשוטה להמרה מרדיאנים למעלות: 1 רד = 180/π.
תן לנו זווית של N מעלות. אז הנוסחה להמרה ממעלות לרדיאנים תהיה: α(רדיאנים) = N/(180/π) = N*π/180.
עדיין יש לך שאלות?
את התשובות להן ניתן למצוא, שם מוסברים בפירוט את המושגים של היקף, מידת רדיאן של זוויות, והמרת מעלות לרדיאנים מוצגת באמצעות דוגמאות ספציפיות. הידע של האמור לעיל חשוב ביותר להבנת המתמטיקה, שבלעדיה בלתי אפשרי קיומה של הציוויליזציה המודרנית.