כדור וכדור הם קודם כל דמויות גיאומטריות, ואם כדור הוא גוף גיאומטרי, אז כדור הוא פני השטח של כדור. נתונים אלה היו מעניינים לפני אלפי שנים לפני הספירה.

בהמשך, כאשר התגלה שכדור הארץ הוא כדור והשמים הם כדור שמימי, פותח כיוון מרתק חדש בגיאומטריה - גיאומטריה על כדור או גיאומטריה כדורית. כדי לדבר על גודל ונפח של כדור, תחילה עליך להגדיר אותו.

כַּדוּר

כדור ברדיוס R עם מרכז בנקודה O בגיאומטריה הוא גוף שנוצר מכל הנקודות במרחב שיש להן תכונה משותפת. נקודות אלו ממוקמות במרחק שאינו עולה על רדיוס הכדור, כלומר ממלאות את כל החלל פחות מרדיוס הכדור לכל הכיוונים ממרכזו. אם ניקח בחשבון רק את הנקודות שנמצאות במרחק שווה ממרכז הכדור, נשקול את פני השטח שלו או את מעטפת הכדור.

איך אני יכול להשיג את הכדור? אנחנו יכולים לחתוך עיגול מנייר ולהתחיל לסובב אותו סביב הקוטר שלו. כלומר, קוטר המעגל יהיה ציר הסיבוב. הדמות שנוצרה תהיה כדור. לכן, הכדור נקרא גם גוף של סיבוב. כי זה יכול להיווצר על ידי סיבוב דמות שטוחה - עיגול.

בוא ניקח איזה מטוס ונחתוך איתו את הכדור שלנו. בדיוק כמו שחתכנו תפוז בסכין. החתיכה שאנו חותכים מהכדור נקראת קטע כדורי.

ביוון העתיקה, הם ידעו לא רק לעבוד עם כדור וכדור כדמויות גיאומטריות, למשל, להשתמש בהם בבנייה, אלא גם לדעת לחשב את שטח הפנים של הכדור ואת נפח הכדור.

כדור הוא שם אחר למשטח של כדור. כדור אינו גוף - הוא פני השטח של גוף מהפכה. עם זאת, מכיוון שגם לכדור הארץ וגם לגופים רבים יש צורה כדורית, למשל טיפת מים, חקר היחסים הגיאומטריים בתוך הכדור הפך לנפוץ.

לדוגמה, אם נחבר שתי נקודות של כדור ביניהן על ידי קו ישר, אז הקו הישר הזה ייקרא אקורד, ואם אקורד זה עובר דרך מרכז הכדור, החופף למרכז הכדור, אז האקורד ייקרא קוטר הכדור.

אם נצייר קו ישר שנוגע בכדור בנקודה אחת בלבד, אזי זה ייקרא משיק. בנוסף, משיק זה לכדור בנקודה זו יהיה מאונך לרדיוס הכדור הנמשך לנקודת המגע.

אם נרחיב את האקורד לקו ישר בכיוון זה או אחר מהכדור, אז האקורד הזה ייקרא סקאנט. או שנוכל לומר זאת אחרת - הסקאנט לכדור מכיל את האקורד שלו.

נפח כדור

הנוסחה לחישוב נפח הכדור היא:

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

אם אתה צריך למצוא את הנפח של קטע כדורי, השתמש בנוסחה:

V seg =πh 2 (R-h/3), h הוא גובה המקטע הכדורי.

שטח פנים של כדור או כדור

כדי לחשב את השטח של כדור או את שטח הפנים של כדור (זה אותו הדבר):

כאשר R הוא רדיוס הכדור.

ארכימדס אהב מאוד את הכדור והכדור, הוא אפילו ביקש להשאיר ציור על קברו שבו היה רשום כדור בגליל. ארכימדס האמין שנפח הכדור ופני השטח שלו שווים לשני שליש מנפח ומשטח הגליל שבו כתובה הכדור".

כַּדוּרזהו גוף גיאומטרי שנוצר כתוצאה מסיבוב של חצי עיגול על ציר קוטרו.

חשב את נפח הכדור

נפח כדורניתן לחשב באמצעות הנוסחה:

R – רדיוס הכדור

V - נפח הכדור

מצא את נפחו של כדור ברדיוס של סנטימטרים.

על מנת לחשב את נפח הכדור, משתמשים בנוסחה הבאה:

איפה הנפח הנדרש של הכדור, – , הוא הרדיוס.

לפיכך, ברדיוס של סנטימטרים, נפח הכדור שווה ל:

V

3.14×103

= 4186,7

סנטימטר מעוקב.

בגיאומטריה כַּדוּרמוגדר כגוף מסוים, שהוא אוסף של כל הנקודות במרחב שנמצאות מהמרכז במרחק של לא יותר מאחד נתון, הנקרא רדיוס הכדור.

פני השטח של הכדור נקראים כדור, והכדור עצמו נוצר על ידי סיבוב חצי עיגול סביב קוטרו, שנותר ללא תנועה.

מהנדסי עיצוב ואדריכלים נתקלים לעתים קרובות מאוד בגוף הגיאומטרי הזה, שלעתים קרובות נאלצים לעשות זאת לחשב נפח של כדור. לדוגמה, בעיצוב המתלה הקדמי של הרוב המכריע של המכוניות המודרניות, נעשה שימוש במפרקים כדוריים כביכול, שבהם, כפי שניתן לנחש בקלות מהשם עצמו, כדורים הם אחד המרכיבים העיקריים.

בעזרתם מחוברים רכזות הגלגלים והמנופים המנוהלים. על כמה נכון זה יהיה מְחוֹשָׁבנפחם תלוי במידה רבה לא רק בעמידותן של יחידות אלה ובנכונות פעולתן, אלא גם בבטיחות התעבורה.

בטכנולוגיה נעשה שימוש נרחב בחלקים כמו מיסבים, בעזרתם מהודקים צירים בחלקים הקבועים של רכיבים ומכלולים שונים ומובטחת סיבובם.

יש לציין כי בעת חישובם, מעצבים צריכים למצוא את נפח הכדור (או ליתר דיוק, הכדורים המונחים בכלוב) ברמת דיוק גבוהה. באשר לייצור כדורי מיסב מתכת, הם מיוצרים מחוטי מתכת בתהליך מורכב הכולל את שלבי היווצרות, התקשות, שחיקה גסה, גימור וניקוי.

אגב, אותם כדורים שנכללים בעיצוב של כל העטים הכדוריים מיוצרים בדיוק באותה טכנולוגיה.

לעתים קרובות למדי, כדורים משמשים גם באדריכלות, שם הם לרוב אלמנטים דקורטיביים של מבנים ומבנים אחרים.

ברוב המקרים, הם עשויים מגרניט, שלעתים קרובות דורש עבודת כפיים רבה. כמובן, אין צורך לשמור על דיוק כה גבוה בייצור הכדורים הללו כמו אלו המשמשים ביחידות ומנגנונים שונים.

משחק מעניין ופופולרי כל כך כמו ביליארד לא יעלה על הדעת בלי כדורים. לייצורם נעשה שימוש בחומרים שונים (עצם, אבן, מתכת, פלסטיק) ותהליכים טכנולוגיים שונים.

אחת הדרישות העיקריות לכדורי ביליארד היא חוזקם הגבוה ויכולתם לעמוד בעומסים מכניים גבוהים (בעיקר זעזועים). בנוסף, על פני השטח שלהם להיות כדור מדויק על מנת להבטיח גלגול חלק ואחיד על פני שולחנות הביליארד.

לבסוף, אף עץ ראש השנה או חג המולד לא יכול להסתדר בלי גופים גיאומטריים כמו כדורים. עיטורים אלו עשויים ברוב המקרים מזכוכית בשיטת ניפוח, ובייצורם מוקדשת תשומת הלב הגדולה ביותר לא לדיוק הממדים, אלא לאסתטיקה של המוצרים.

התהליך הטכנולוגי הוא אוטומטי כמעט לחלוטין וכדורי חג המולד נארזים ידנית בלבד.

כדור הוא אחד הגופים הגיאומטריים הפשוטים ביותר שבהם כל הנקודות על פני השטח שלו נמצאות באותו מרחק ממרכז התמונה. המרחק ממרכז הכדור לכל נקודה על פניו נקרא רדיוס.

נפח כדור

קוטר הכדור נקרא פי שניים מהרדיוס.

כיצד למצוא את נפח הכדור סביב הרדיוס שלו

אם אנו יודעים את הרדיוס של כדור, נוכל בקלות לחשב את גודלו. לשם כך, הכפילו את הקובייה ברדיוס ובמספר המרובע Pi, ולאחר מכן התוצאה תחולק בשלוש. הנוסחה לקביעת נפח הכדור על סמך הרדיוס שלו היא כדלקמן: .
למי ששכח, נזכור ש-Pi הוא ערך קבוע ושווה ל-3.14.

כיצד למצוא את נפח הכדור לפי קוטר

אם קוטר הכדור ידוע מתנאי הבעיה, נפחו מחושב באמצעות הנוסחה הבאה: , כלומר.

יש להכפיל את המספר Pi בקוטר הקוטר, ואז התוצאה מחולקת ב-6.

כיצד לקבוע את המסה של כדור

מסת הגוף היא כמות פיזיקלית המעידה על מידת האינרציה שלה. המסה של גוף פיזי תלויה בנפח החלל התפוס ובצפיפות החומר ממנו הוא מורכב. הנפח של גוף בעל צורה קבועה (נניח, לְהַכּוֹת) לא קשה לחישוב, ואם ידוע גם החומר ממנו הוא עשוי, בְּצוֹבֶרמותר להיות מאוד פרימיטיבי.

הוראות

רֵאשִׁיתהזן את הסכום לְהַכּוֹת .

כיצד לחשב נפח של כדור

כדי לעשות זאת, מספיק לדעת אחד מהפרמטרים שלך - רדיוס, קוטר, משטח וכו' תגיד לי אם אתה יודע את הקוטר לְהַכּוֹת(ד), מותר לקבוע את נפחו (V) כשישית ממוצר בקוטר העולה בקובייה עם המספר Pi: V = π * d? / 6. דרך הרדיוס לְהַכּוֹת(r) נפח מבוטא כשליש מהמכפלה של Pi, המוכפל פי ארבעה עם הרדיוס המונח בקובייה: V = 4 * π * r? / 3.

שְׁנִיָהלִסְפּוֹר בְּצוֹבֶרלְהַכּוֹת(מ), הכפלו את נפחו בצפיפות החומר הנהדרת (p): m = p * V.

אם זה החומר לְהַכּוֹתלא הומוגנית, אז עלינו לקחת את הצפיפות הממוצעת. בנוסחה זו אנו מחליפים נפח לְהַכּוֹתדרך הפרמטרים הידועים שלו, מותר לקחת את הקוטר הידוע לְהַכּוֹתנוסחה m = p * π * d? / 6 ועבור הרדיוס הראשי m = p * 4 * π * r? / 3.

שְׁלִישִׁיהשתמש לחישובים, למשל, במחשבון התוכנה הטיפוסי שמגיע עם מערכת ההפעלה הבסיסית של Windows, כל גרסה חזקה הנמצאת בשימוש כיום.

הדרך הקלה ביותר להתחיל היא ללחוץ על win + r כדי לפתוח את תיבת הדו-שיח הטיפוסית להפעלת התוכנית, ולאחר מכן הקלד את הפקודה calc ולחץ על אישור.

בתפריט "מחשבון", הרחב את הקטע "תצוגה" ובחר בשורה "מהנדס" או "מדען" (בהתאם לגרסת מערכת ההפעלה שבה אתה משתמש) - בממשק של מצב זה יש כפתור להזנת מספר ה-Pi עם אחד נְקִישָׁה. פעולות הכפל והחילוק במחשבון זה אינן חייבות להעלות שאלות, אלא נקבעות בעת חישוב המסה לְהַכּוֹתיהיו מספר כפתורים עם סמלים x^2 ו-x^3.

עיצוב מים ותברואה

אֶלֶקטרוֹנִי: [מוגן באימייל]

שעות עבודה: שני-שישי מ-9-00 עד 18-00 (ללא ארוחת צהריים)

חישוב נפח של כדור באמצעות רדיוס או קוטר

כדור הוא גוף גיאומטרי שהוא אוסף של כל הנקודות במרחב הנמצאות במרחק מסוים מהמרכז.

כיצד לחשב נפח של כדור

המאפיין המתמטי העיקרי של כדור הוא הרדיוס שלו.

מספר כדור הוא מאפיין כמותי של מספר זה ביקום.

נוסחה לחישוב נפח כדור:

V = 4/3 * π * r 3

V = 1/6 * π * d 3

r הוא רדיוס הכדור;
d הוא קוטר הכדור.

ראה גם את המאמר על כל הצורות הגיאומטריות (ליניארי 1D, שטוח 2D ו 3D 3D).

דף זה הוא מחשבון האינטרנט הפשוט ביותר לחישוב נפח של כדור לפי רדיוס או קוטר.

גופים רבים שאנו פוגשים בחיים או ששמענו עליהם הם כדוריים בצורתם, כמו כדור כדורגל, טיפת מים נופלת בזמן גשם או כוכב הלכת שלנו. בהקשר זה, רלוונטי לשקול את השאלה כיצד למצוא את נפח הכדור.

דמות כדור בגיאומטריה

לפני שנענה על השאלה על הכדור, בואו נסתכל מקרוב על הגוף הזה. יש אנשים שמבלבלים את זה עם כדור. כלפי חוץ, הם ממש דומים, אבל כדור הוא עצם מלא בפנים, בעוד שכדור הוא רק המעטפת החיצונית של כדור בעובי אינסופי.

מנקודת מבט של גיאומטריה, כדור יכול להיות מיוצג על ידי אוסף של נקודות, ואלו מהן השוכנות על פני השטח שלו (הן יוצרות כדור) נמצאות באותו מרחק ממרכז הדמות. המרחק הזה נקרא הרדיוס. למעשה, רדיוס הוא הפרמטר היחיד שניתן להשתמש בו כדי לתאר כל תכונות של כדור, כגון שטח הפנים או נפחו.

התמונה למטה מציגה דוגמה של כדור.

אם אתה מסתכל מקרוב על החפץ העגול המושלם הזה, אתה יכול לנחש איך להשיג אותו ממעגל רגיל. כדי לעשות זאת, מספיק לסובב את הדמות השטוחה הזו סביב ציר החופף לקוטר שלה.

אחד המקורות הספרותיים העתיקים המפורסמים, הדן במאפיינים של דמות תלת ממדית זו בפירוט מספיק, הוא עבודתו של הפילוסוף היווני אוקלידס - "אלמנטים".

שטח פנים ונפח

כאשר בוחנים את השאלה כיצד למצוא את נפח הכדור, בנוסף לערך זה, יש לתת נוסחה לאזור שלו, שכן שני הביטויים יכולים להיות קשורים זה לזה, כפי שיוצג להלן.

לכן, כדי לחשב את נפח הכדור, עליך ליישם אחת משתי הנוסחאות הבאות:

• V = 4/3 *pi * R3;
• V = 67/16 * R3.

כאן R הוא הרדיוס של הדמות. הנוסחה הראשונה שניתנה היא מדויקת, אך כדי לנצל זאת, עליך להשתמש במספר המתאים של מקומות עשרוניים עבור pi. הביטוי השני נותן תוצאה טובה למדי, שונה מהראשון ב-0.03% בלבד. עבור מספר משימות מעשיות, דיוק זה די והותר.

שווה לערך זה עבור כדור, כלומר, מבוטא בנוסחה S = 4 * pi * R2. אם נביע את הרדיוס מכאן, ואז נחליף אותו בנוסחה הראשונה לנפח, נקבל: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * פַּיִי)).

לפיכך, בחנו את השאלות כיצד למצוא את נפח הכדור דרך הרדיוס ודרך שטח הפנים שלו. ניתן ליישם בהצלחה ביטויים אלו בפועל. בהמשך המאמר נביא דוגמה לשימוש בהם.

בעיית טיפות גשם

מים, כשהם בחוסר משקל, מקבלים צורה של טיפה כדורית. זאת בשל נוכחותם של כוחות מתח פני השטח, אשר נוטים למזער את שטח הפנים. לכדור, בתורו, יש את הערך הנמוך ביותר מבין כל הדמויות הגיאומטריות עם אותה מסה.

בזמן גשם, טיפת מים יורדת נמצאת בחוסר משקל, ולכן צורתה היא כדור (כאן אנו מזניחים את כוח התנגדות האוויר). יש צורך לקבוע את הנפח, שטח הפנים והרדיוס של טיפה זו אם ידוע שהמסה שלה היא 0.05 גרם.

קל לקבוע את הנפח כדי לעשות זאת, חלק את המסה הידועה בצפיפות של H 2 O (ρ = 1 גרם / ס"מ 3). ואז V = 0.05 / 1 = 0.05 ס"מ 3.

כשנדע איך למצוא את נפח הכדור, עלינו לבטא את הרדיוס מהנוסחה ולהחליף את הערך המתקבל, יש לנו: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) * 3.1416)) = 0.2285 ס"מ.

כעת נחליף את ערך הרדיוס בביטוי עבור שטח הפנים של הדמות, נקבל: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 ס"מ 2.

כך, כשידענו למצוא את נפח הכדור, קיבלנו תשובות לכל שאלות הבעיה: R = 2.285 מ"מ, S = 0.6561 ס"מ 2 ו-V = 0.05 ס"מ 3.

לפני שמתחילים ללמוד את המושג כדור, מהו נפח הכדור, ולשקול את הנוסחאות לחישוב הפרמטרים שלו, צריך לזכור את המושג מעגל, שנלמד קודם לכן בקורס גיאומטריה. אחרי הכל, רוב הפעולות במרחב התלת מימדי דומות או נובעות מגיאומטריה דו מימדית, מותאמת להופעת הקואורדינטה השלישית והמעלה השלישית.

מה זה מעגל?

עיגול הוא דמות במישור קרטזיאני (מוצג באיור 1); לרוב ההגדרה נשמעת כמו "המיקום הגיאומטרי של כל הנקודות במישור, המרחק ממנה לנקודה (מרכז) נתונה אינו חורג ממספר לא שלילי מסוים הנקרא רדיוס."

כפי שאנו יכולים לראות מהאיור, נקודה O היא מרכז האיור, והקבוצה של כל הנקודות הממלאות את המעגל, למשל, A, B, C, K, E, ממוקמות לא יותר מרדיוס נתון (אל תעבור מעבר למעגל המוצג באיור .2).

אם הרדיוס הוא אפס, אז המעגל הופך לנקודה.

בעיות בהבנה

לעתים קרובות תלמידים מבלבלים בין מושגים אלה. קל לזכור את זה עם אנלוגיה. החישוק שילדים מסובבים בשיעורי חינוך גופני הוא מעגל. אם יבינו זאת או תזכרו שהאותיות הראשונות של שתי המילים הן "O", ילדים יבינו מבחינה מנמונית את ההבדל.

הצגת המושג "כדור"

כדור הוא גוף (איור 3) התחום על ידי משטח כדורי מסוים. מה זה "משטח כדורי" יתברר מהגדרתו: זהו המיקום הגיאומטרי של כל הנקודות על פני השטח, שהמרחק ממנה לנקודה (מרכז) נתונה אינו חורג ממספר לא שלילי מסוים הנקרא רדיוס. כפי שאתה יכול לראות, המושגים של מעגל ומשטח כדורי דומים, רק החללים שבהם הם ממוקמים שונים. אם נצייר כדור במרחב דו-ממדי, נקבל עיגול שגבולו הוא עיגול (הגבול של כדור הוא משטח כדורי). באיור נראה משטח כדורי עם רדיוסים OA = OB.

כדור סגור ופתוח

במרחבים וקטוריים ומטריים, נחשבים גם שני מושגים הקשורים למשטח הכדורי. אם הכדור כולל את הכדור הזה, אז הוא נקרא סגור, אבל אם לא, אז הכדור פתוח. אלו מושגים "מתקדמים" יותר, הם נלמדים במכונים כחלק מהקדמה שלהם לניתוח. לשימוש פשוט ואפילו יומיומי יספיקו הנוסחאות הנלמדות בקורס סטריאומטריה לכיתות י'-יא'. המושגים הללו נגישים כמעט לכל משכיל ממוצע שיידונו בהמשך.

מושגים שאתה צריך לדעת עבור החישובים הבאים

רדיוס וקוטר.

רדיוס הכדור והקוטרו נקבעים באותו אופן כמו של מעגל.

רדיוס הוא קטע המחבר בין כל נקודה על גבול הכדור לבין הנקודה שהיא מרכז הכדור.

קוטר הוא קטע המחבר בין שתי נקודות על גבול הכדור ועובר במרכזו. איור 5a מדגים בבירור אילו מקטעים הם רדיוסי הכדור, ואיור 5b מציג את הקוטרים של הכדור (מקטעים העוברים דרך נקודה O).

מקטעים בכדור (כדור)

כל קטע של כדור הוא מעגל. אם הוא עובר דרך מרכז הכדור, הוא נקרא עיגול גדול (עיגול בקוטר AB), החלקים הנותרים נקראים עיגולים קטנים (עיגול בקוטר DC).

השטח של מעגלים אלה מחושב באמצעות הנוסחאות הבאות:

כאן S הוא ייעוד השטח, R הוא רדיוס, D הוא קוטר. יש גם קבוע השווה ל-3.14. אבל אל תתבלבלו שכדי לחשב את השטח של עיגול גדול, נעשה שימוש ברדיוס או בקוטר של הכדור (הכדור) עצמו, וכדי לקבוע את השטח, נדרשים מידות הרדיוס של המעגל הקטן.

ניתן לצייר מספר אינסופי של קטעים כאלה העוברים דרך שתי נקודות בקוטר זהה השוכנות על גבול הכדור. כדוגמה, הפלנטה שלנו: שתי נקודות בקוטב הצפוני והדרומי, שהן קצוות ציר כדור הארץ, ובמובן הגיאומטרי, קצוות הקוטר והמרידיאנים העוברים בשתי הנקודות הללו (איור 7) . כלומר, מספר העיגולים הגדולים בכדור נוטה לאינסוף.

חלקי כדור

אם חותכים "חתיכה" מהכדור באמצעות מישור מסוים (איור 8), אז זה ייקרא קטע כדורי או כדורי. יהיה לו גובה - מאונך ממרכז מישור החיתוך למשטח הכדורי O 1 K. נקודה K על המשטח הכדורי אליו מגיע הגובה נקראת קודקוד הקטע הכדורי. ומעגל קטן עם רדיוס O 1 T (במקרה זה, לפי האיור, המטוס לא עבר דרך מרכז הכדור, אבל אם החתך יעבור במרכז, אז מעגל החתך יהיה גדול), שנוצר על ידי חיתוך הקטע הכדורי, ייקרא בסיס כדור החתיכה שלנו - קטע כדורי.

אם נחבר כל נקודת בסיס של קטע כדורי למרכז הכדור, נקבל דמות שנקראת "מגזר כדורי".

אם שני מישורים עוברים דרך כדור והם מקבילים זה לזה, אז אותו חלק של הכדור שמתוחם ביניהם נקרא שכבה כדורית (איור 9, המציגה כדור עם שני מישורים ושכבה כדורית נפרדת).

פני השטח (החלק המודגש באיור 9 מימין) של חלק זה של הכדור נקראים חגורה (שוב, למען הבנה טובה יותר, ניתן לצייר אנלוגיה עם הגלובוס, כלומר עם אזורי האקלים שלו - ארקטי, טרופי, ממוזג , וכו'), ומעגלי החתך יהיו השכבה הכדורית של הבסיסים. גובה השכבה הוא חלק מהקוטר הנמשך בניצב למטוסי החיתוך ממרכזי הבסיסים. יש גם מושג של כדור כדורי. הוא נוצר כאשר מישורים המקבילים זה לזה אינם חותכים את הכדור, אלא נוגעים בו בנקודה אחת כל אחד.

נוסחאות לחישוב נפח הכדור ושטח הפנים שלו

הכדור נוצר על ידי סיבוב סביב הקוטר הקבוע של חצי עיגול או עיגול. כדי לחשב פרמטרים שונים של אובייקט נתון, אין צורך בהרבה נתונים.

נפח הכדור, נוסחת החישוב המובאת לעיל, נגזר באמצעות אינטגרציה. בואו נבין את זה נקודה אחר נקודה.

אנו רואים מעגל במישור דו-ממדי, מכיוון שכאמור לעיל, המעגל הוא שעומד בבסיס בניית הכדור. אנו משתמשים רק בחלק הרביעי שלו (איור 10).

ניקח עיגול עם רדיוס יחידה ומרכז במקור. המשוואה של מעגל כזה היא כדלקמן: X 2 + Y 2 = R 2. אנו מבטאים את Y מכאן: Y 2 = R 2 - X 2.

הקפד לשים לב שהפונקציה המתקבלת היא לא שלילית, רציפה ויורדת בקטע X (0; R), מכיוון שהערך של X במקרה שבו אנו רואים רבע מעגל נמצא מאפס לערך של רדיוס, כלומר לאחד.

הדבר הבא שאנו עושים הוא לסובב את רבע המעגל שלנו סביב ציר ה-x. כתוצאה מכך, אנו מקבלים חצי כדור. כדי לקבוע את נפחו, נפנה לשיטות אינטגרציה.

מכיוון שזהו נפח של חצי כדור בלבד, נכפיל את התוצאה, ממנה נגלה שנפח הכדור שווה ל:

ניואנסים קטנים

אם אתה צריך לחשב את נפח הכדור דרך הקוטר שלו, זכור שהרדיוס הוא חצי מהקוטר, והחלף את הערך הזה בנוסחה לעיל.

אתה יכול גם להגיע לנוסחה לנפח של כדור דרך שטח פני השטח הגובלים שלו - הכדור. נזכיר ששטחו של כדור מחושב על ידי הנוסחה S = 4πr 2, תוך אינטגרציה שאנו מגיעים גם לנוסחה לעיל עבור נפח הכדור. מאותן נוסחאות ניתן לבטא את הרדיוס אם הצהרת הבעיה מכילה ערך נפח.

כדור הוא גוף מהפכה גיאומטרי שנוצר על ידי סיבוב מעגל או חצי עיגול סביב קוטרו. כמו כן, כדור הוא חלל התחום על ידי משטח כדורי. ישנם הרבה אובייקטים כדוריים אמיתיים ובעיות נלוות הדורשות קביעת נפח של כדור.

כדור וכדור

המעגל הוא הדמות הגיאומטרית הקדומה ביותר, ומדענים קדומים ייחסו לו משמעות קדושה. המעגל הוא סמל של זמן ומרחב אינסופיים, סמל של היקום והקיום. לפי פיתגורס, המעגל הוא הדמויות היפות ביותר. במרחב התלת מימדי, מעגל הופך לכדור, אידיאלי, קוסמי ויפה כמו מעגל.

כדור פירושו "כדור" ביוונית עתיקה. כדור הוא משטח שנוצר ממספר אינסופי של נקודות במרחק שווה ממרכז הדמות. החלל התחום על ידי כדור הוא כדור. כדור הוא דמות גיאומטרית אידיאלית, שצורתה לובשים חפצים אמיתיים רבים. לדוגמה, בחיים האמיתיים, לכדורי תותח, מיסבים או כדורים יש צורה של כדור, בטבע - טיפות מים, כתרי עצים או פירות יער, בחלל - כוכבים, מטאורים או כוכבי לכת.

נפח כדור

קביעת נפח של דמות כדורית היא משימה קשה, מכיוון שלא ניתן לחלק גוף גיאומטרי כזה לקוביות או מנסרות משולשות, שנוסחאות הנפח שלהן כבר ידועות. המדע המודרני מאפשר לך לחשב נפח של כדור באמצעות אינטגרל מוגדר, אבל איך נגזרה נוסחת הנפח ביוון העתיקה, כשאף אחד לא שמע מעולם על אינטגרלים? ארכימדס חישב נפח של כדור באמצעות חרוט וגליל, שכן הנוסחאות לנפחים של דמויות אלו כבר נקבעו על ידי הפילוסוף והמתמטיקאי היווני הקדום דמוקריטוס.

ארכימדס ייצג חצי כדור באמצעות קונוסים וגלילים זהים, כאשר הרדיוס של כל דמות שווה לגובהה R = h. המדען הקדום דמיין את החרוט והגליל מחולקים למספר אינסופי של גלילים קטנים. ארכימדס הבין שאם הוא מוריד את נפח החרוט Vk מנפח הגליל Vc, הוא מקבל את הנפח של חצי כדור אחד Vsh:

0.5 Vsh = Vc − Vk

נפחו של חרוט מחושב באמצעות נוסחה פשוטה:

Vk = 1/3 × אז × h,

אבל בידיעה שאז במקרה זה הוא שטח המעגל, ו-h = R, אז הנוסחה הופכת ל:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

נפח הגליל מחושב לפי הנוסחה:

Vc = pi × R 2 × h,

אבל בהנחה שגובה הגליל שווה לרדיוס שלו, נקבל:

Vc = pi × R 3.

באמצעות נוסחאות אלה, ארכימדס השיג:

0.5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 או Vsh = 4/3 pi × R 3

ההגדרה המודרנית של הנוסחה לנפח של כדור נגזרת מהאינטגרל של שטח המשטח הכדורי, אך התוצאה נשארת זהה

Vsh = 4/3 pi × R 3

חישוב נפח של כדור עשוי להיות נחוץ הן בחיים האמיתיים והן בעת ​​פתרון בעיות מופשטות. כדי לחשב נפח של כדור באמצעות מחשבון מקוון, תצטרך לדעת רק פרמטר אחד לבחירה: קוטר או רדיוס הכדור. בואו נסתכל על כמה דוגמאות.

דוגמאות מהחיים

כדורי תותח

נניח שאתה רוצה לדעת כמה ברזל יצוק צריך כדי להטיל כדור תותח בקליבר שישה רגל. אתה יודע שהקוטר של ליבה כזו הוא 9.6 סנטימטרים. הזינו את המספר הזה בתא "קוטר" של המחשבון ותקבלו את התשובה כ

לפיכך, כדי להריח כדור תותח בקליבר נתון תצטרך 463 סנטימטר מעוקב או 0.463 ליטר ברזל יצוק.

בלונים

תהיו סקרנים לגבי כמות האוויר הדרושה כדי לנפח בלון לצורה כדורית מושלמת. אתה יודע שהרדיוס של הכדור שנבחר הוא 10 ס"מ הזן את הערך הזה לתא המחשבון "רדיוס" ותקבל את התוצאה

המשמעות היא שכדי לנפח בלון אחד כזה תזדקק ל-4188 סנטימטר מעוקב או 4.18 ליטר אוויר.

מַסְקָנָה

הצורך בקביעת נפח של כדור יכול להתעורר במגוון מצבים: מבעיות בית ספר מופשטות ועד לסוגיות מחקר מדעיות והפקה. כדי לפתור שאלות מורכבות מכל סוג, השתמש במחשבון המקוון שלנו, שיספק לך באופן מיידי את התוצאה המדויקת ואת החישובים המתמטיים הדרושים.