Definizione 1. Superficie prismatica
Teorema 1. Su sezioni parallele di una superficie prismatica
Definizione 2. Sezione perpendicolare di una superficie prismatica
Definizione 3. Prisma
Definizione 4. Altezza del prisma
Definizione 5. Prisma destro
Teorema 2. L'area della superficie laterale del prisma
Parallelepipedo:
Definizione 6. Parallelepipedo
Teorema 3. Sull'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo
Definizione 7. Parallelepipedo retto
Definizione 8. Parallelepipedo rettangolare
Definizione 9. Misure di un parallelepipedo
Definizione 10. Cubo
Definizione 11. Romboedro
Teorema 4. Sulle diagonali di un parallelepipedo rettangolare
Teorema 5. Volume di un prisma
Teorema 6. Volume di un prisma retto
Teorema 7. Volume di un parallelepipedo rettangolare
Prismaè un poliedro le cui due facce (basi) giacciono su piani paralleli, e gli spigoli che non giacciono in queste facce sono paralleli tra loro.
Si chiamano facce diverse dalle basi laterale.
I lati delle facce laterali e delle basi sono chiamati nervature prismatiche, vengono chiamate le estremità degli spigoli i vertici del prisma. Costole laterali si chiamano bordi che non appartengono alle basi. Si chiama l'unione delle facce laterali superficie laterale del prisma, e si chiama l'unione di tutte le facce tutta la superficie del prisma. Altezza del prisma chiamata perpendicolare portata dal punto della base superiore al piano della base inferiore o lunghezza di questa perpendicolare. 
Prisma diretto chiamato prisma le cui nervature laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. 
Corretto chiamato prisma diritto (Fig. 3), alla cui base si trova un poligono regolare.
Designazioni:
l - nervatura laterale;
P - perimetro della base;
S o - area di base;
H - altezza;
P^ - perimetro della sezione perpendicolare;
S b - superficie laterale;
V - volume;
S p è l'area della superficie totale del prisma.
|
V=SH |
*Si presuppone che ogni due piani successivi si intersechino e che l'ultimo piano intersechi il primo
Teorema 1 . Le sezioni di una superficie prismatica mediante piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai suoi bordi) sono poligoni uguali.
Siano ABCDE e A"B"C"D"E" sezioni di una superficie prismatica secondo due piani paralleli. Per essere sicuri che questi due poligoni siano uguali, è sufficiente mostrare che i triangoli ABC e A"B"C" sono sono uguali e hanno lo stesso senso di rotazione e ciò vale anche per i triangoli ABD e A"B"D", ABE e A"B"E". Ma i lati corrispondenti di questi triangoli sono paralleli (per esempio AC è parallelo ad AC) come la linea di intersezione di un certo piano con due piani paralleli; ne consegue che questi lati sono uguali (ad esempio AC è uguale ad A"C"), come i lati opposti di un parallelogramma, e che gli angoli formati da questi lati sono uguali e hanno la stessa direzione.
Definizione 2 . Una sezione perpendicolare di una superficie prismatica è una sezione di questa superficie mediante un piano perpendicolare ai suoi bordi. In base al teorema precedente, tutte le sezioni perpendicolari della stessa superficie prismatica saranno poligoni uguali.
Definizione 3
. Un prisma è un poliedro delimitato da una superficie prismatica e da due piani paralleli tra loro (ma non paralleli ai bordi della superficie prismatica)
Vengono chiamate le facce che giacciono in questi ultimi piani basi prismatiche; facce appartenenti alla superficie prismatica - facce laterali; bordi della superficie prismatica - nervature laterali del prisma. In virtù del teorema precedente la base del prisma è poligoni uguali. Tutte le facce laterali del prisma - parallelogrammi; tutte le nervature laterali sono uguali tra loro.
Ovviamente, data la base del prisma ABCDE e uno degli spigoli AA" in dimensione e direzione, allora è possibile costruire un prisma disegnando gli spigoli BB", CC", ... uguali e paralleli allo spigolo AA" .
Definizione 4 . L'altezza di un prisma è la distanza tra i piani delle sue basi (HH").
Definizione 5
. Un prisma si dice diritto se le sue basi sono sezioni perpendicolari della superficie prismatica. In questo caso l'altezza del prisma è, ovviamente, la sua nervatura laterale; i bordi laterali saranno rettangoli.
I prismi possono essere classificati in base al numero di facce laterali pari al numero di lati del poligono che ne funge da base. Pertanto, i prismi possono essere triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc.
Teorema 2
. L'area della superficie laterale del prisma è uguale al prodotto del bordo laterale e del perimetro della sezione perpendicolare.
Sia ABCDEA"B"C"D"E" un prisma dato e abcde la sua sezione perpendicolare, in modo che i segmenti ab, bc, .. siano perpendicolari ai suoi spigoli laterali. La faccia ABA"B" è un parallelogramma; la sua area è uguale al prodotto della base AA " per l'altezza che coincide con ab; l'area della faccia ВСВ "С" è uguale al prodotto della base ВВ" per l'altezza bc, ecc. Di conseguenza, la superficie laterale (cioè la somma delle aree delle facce laterali) è uguale al prodotto del bordo laterale, cioè la lunghezza totale dei segmenti AA", ВВ", .., per la quantità ab+bc+cd+de+ea.
Nel curriculum scolastico per un corso di stereometria, lo studio delle figure tridimensionali di solito inizia con un semplice corpo geometrico: il poliedro di un prisma. Il ruolo delle sue basi è svolto da 2 poligoni uguali che giacciono su piani paralleli. Un caso speciale è un prisma quadrangolare regolare. Le sue basi sono 2 quadrangoli regolari identici, ai quali i lati sono perpendicolari, aventi forma di parallelogrammi (o rettangoli, se il prisma non è inclinato).
Che aspetto ha un prisma?
Un prisma quadrangolare regolare è un esagono, le cui basi sono 2 quadrati e le facce laterali sono rappresentate da rettangoli. Un altro nome per questa figura geometrica è un parallelepipedo dritto.
Di seguito è mostrato un disegno che mostra un prisma quadrangolare.
Puoi anche vedere nella foto gli elementi più importanti che compongono un corpo geometrico. Questi includono:
A volte nei problemi di geometria puoi imbatterti nel concetto di sezione. La definizione suonerà così: una sezione è l'insieme dei punti di un corpo volumetrico appartenenti a un piano di taglio. La sezione può essere perpendicolare (interseca i bordi della figura con un angolo di 90 gradi). Per un prisma rettangolare si considera anche una sezione diagonale (il numero massimo di sezioni che si possono costruire è 2), passante per 2 spigoli e le diagonali della base.
Se la sezione viene disegnata in modo che il piano di taglio non sia parallelo né alle basi né alle facce laterali, il risultato è un prisma troncato.
Per trovare gli elementi prismatici dati, vengono utilizzate varie relazioni e formule. Alcuni di essi sono conosciuti dal corso di planimetria (ad esempio, per trovare l'area della base di un prisma è sufficiente ricordare la formula per l'area di un quadrato).
Superficie e volume
Per determinare il volume di un prisma utilizzando la formula, è necessario conoscere l'area della sua base e altezza:
V = Sbas h
Poiché la base di un prisma tetraedrico regolare è un quadrato con lato UN, Puoi scrivere la formula in forma più dettagliata:
V = a²·h
Se stiamo parlando di un cubo, un prisma regolare con uguale lunghezza, larghezza e altezza, il volume viene calcolato come segue:
Per capire come trovare la superficie laterale di un prisma bisogna immaginarne lo sviluppo.
Dal disegno si vede che la superficie laterale è composta da 4 rettangoli uguali. La sua area si calcola come il prodotto del perimetro della base e dell'altezza della figura:
Slato = Pos. h
Tenendo conto che il perimetro del quadrato è uguale a P = 4a, la formula assume la forma:
Slato = 4a h
Per il cubo:
Lato = 4a²
Per calcolare la superficie totale del prisma è necessario sommare alla zona laterale 2 aree di base:
Spieno = Slato + 2Sprincipale
In relazione ad un prisma regolare quadrangolare, la formula è simile a:
Stotale = 4a h + 2a²
Per la superficie di un cubo:
Pieno = 6a²
Conoscendo il volume o la superficie, puoi calcolare i singoli elementi di un corpo geometrico.
Trovare gli elementi del prisma
Spesso si presentano problemi in cui è dato il volume o si conosce il valore della superficie laterale, dove è necessario determinare la lunghezza del lato di base o l'altezza. In questi casi, le formule possono essere derivate:
- lunghezza lato base: a = Slato / 4h = √(V / h);
- altezza o lunghezza della costa laterale: h = Slato / 4a = V / a²;
- superficie della base: Sbas = V/h;
- zona del viso laterale: Lato gr = lato S / 4.
Per determinare quanta area ha la sezione diagonale, devi conoscere la lunghezza della diagonale e l'altezza della figura. Per un quadrato d = a√2. Da ciò segue:
Sdiag = ah√2
Per calcolare la diagonale di un prisma, utilizzare la formula:
dpremio = √(2a² + h²)
Per capire come applicare le relazioni fornite, puoi esercitarti e risolvere diversi semplici compiti.
Esempi di problemi con soluzioni
Ecco alcuni compiti presenti negli esami finali di stato di matematica.
Compito 1.
La sabbia viene versata in una scatola a forma di prisma quadrangolare regolare. L'altezza del suo livello è di 10 cm. Quale sarà il livello della sabbia se la spostassi in un contenitore della stessa forma, ma con una base lunga il doppio?
Si dovrebbe ragionare come segue. La quantità di sabbia nel primo e nel secondo contenitore non è cambiata, cioè il suo volume è lo stesso. Puoi indicare la lunghezza della base con UN. In questo caso per la prima scatola il volume della sostanza sarà:
V₁ = ha² = 10a²
Per la seconda scatola, la lunghezza della base è 2a, ma l'altezza del livello della sabbia è sconosciuta:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Perché V₁ = V₂, possiamo uguagliare le espressioni:
10a² = 4ha²
Dopo aver ridotto entrambi i membri dell'equazione di a², otteniamo:
Di conseguenza, il nuovo livello di sabbia sarà h = 10/4 = 2,5 cm.
Compito 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ è un prisma corretto. È noto che BD = AB₁ = 6√2. Trova la superficie totale del corpo.
Per facilitare la comprensione di quali elementi sono noti, puoi disegnare una figura.
Dato che parliamo di un prisma regolare, possiamo concludere che alla base c'è un quadrato con diagonale 6√2. La diagonale della faccia laterale ha la stessa dimensione, quindi anche la faccia laterale ha la forma di un quadrato uguale alla base. Si scopre che tutte e tre le dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza sono uguali. Possiamo concludere che ABCDA₁B₁C₁D₁ è un cubo.
La lunghezza di qualsiasi bordo è determinata attraverso una diagonale nota:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
La superficie totale si trova utilizzando la formula del cubo:
Pieno = 6a² = 6 6² = 216
Compito 3.
La stanza è in fase di ristrutturazione. È noto che il suo pavimento ha la forma di un quadrato con una superficie di 9 m². L'altezza della stanza è di 2,5 m. Qual è il costo più basso per tappezzare una stanza se 1 m² costa 50 rubli?
Poiché il pavimento e il soffitto sono quadrati, cioè quadrangoli regolari, e le sue pareti sono perpendicolari alle superfici orizzontali, possiamo concludere che si tratta di un prisma regolare. È necessario determinare l'area della sua superficie laterale.
La lunghezza della stanza è a = √9 = 3 M.
L'area sarà ricoperta con carta da parati Lato = 4 3 2,5 = 30 m².
Il costo più basso della carta da parati per questa stanza sarà 50·30 = 1500 rubli
Pertanto, per risolvere i problemi che coinvolgono un prisma rettangolare, è sufficiente essere in grado di calcolare l'area e il perimetro di un quadrato e di un rettangolo, nonché conoscere le formule per trovare il volume e l'area della superficie.
Come trovare l'area di un cubo
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