“SCUOLA EDUCATIVA DI BASE SUBASHI” DISTRETTO MUNICIPALE DI BALTASI

REPUBBLICA DEL TATARSTAN

Sviluppo della lezione - 9a elementare

Argomento: Frazionario – funzione linearezione

categoria di qualificazione

GarifullinUNSbarraIORifkatovna

201 4

Argomento della lezione: Il frazionario è una funzione lineare.

Lo scopo della lezione:

Educativo: introdurre gli studenti ai concettifrazionario – funzione lineare ed equazione degli asintoti;

Sviluppo: formazione di tecniche di pensiero logico, sviluppo dell'interesse per l'argomento; sviluppare la determinazione del dominio di definizione, il dominio di valore di una funzione lineare frazionaria e la formazione di abilità nella costruzione del suo grafico;

- obiettivo motivazionale:coltivare la cultura matematica degli studenti, l’attenzione, mantenendo e sviluppando l’interesse per lo studio della materia attraverso l’uso di varie forme di acquisizione della conoscenza.

Attrezzatura e letteratura: Laptop, proiettore, lavagna interattiva, piano delle coordinate e grafico della funzione y= , mappa di riflessione, presentazione multimediale,Algebra: libro di testo per il 9° grado della scuola secondaria di base / Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I. Neshkov, S.B. a cura di S.A. Telyakovsky / M: “Prosveshchenie”, 2004 con integrazioni.

Tipo di lezione:

lezione sul miglioramento delle conoscenze, delle abilità, delle abilità.

Durante le lezioni.

I momento organizzativo:

Bersaglio: - sviluppo delle competenze informatiche orali;

ripetizione di materiali teorici e definizioni necessarie per lo studio di un nuovo argomento.

Buon pomeriggio Iniziamo la lezione controllando i compiti:

Attenzione allo schermo (diapositiva 1-4):

Esercizio 1.

Rispondi alla domanda 3 utilizzando il grafico di questa funzione (trova il valore più grande della funzione, ...)

( 24 )

Compito -2. Calcolare il valore dell'espressione:

- =

Compito -3: Trova la somma tripla delle radici dell'equazione quadratica:

X 2 -671∙X + 670= 0.

La somma dei coefficienti dell'equazione quadratica è zero:

1+(-671)+670 = 0. Quindi x 1 =1 e x 2 = Quindi,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Ora scriviamo le risposte a tutte e 3 le attività in sequenza utilizzando i punti. (24 dicembre 2013.)

Risultato: sì, è vero! Quindi, l'argomento della lezione di oggi:

Il frazionario è una funzione lineare.

Prima di mettersi in strada, il conducente deve conoscere le regole della strada: segnali di divieto e autorizzazione. Oggi tu ed io dobbiamo anche ricordare alcuni segnali di divieto e permissivi. Attenzione allo schermo! (Diapositiva-6 )

Conclusione:

L'espressione non ha significato;

Espressione corretta, risposta: -2;

espressione corretta, risposta: -0;

Non puoi dividere 0 per zero!

Attenzione, è tutto scritto correttamente? (diapositiva – 7)

1) ; 2) = ; 3) =a .

(1) vera uguaglianza, 2) = - ; 3) = - UN )

II. Imparare un nuovo argomento: (diapositiva – 8).

Bersaglio: Insegnare le competenze per trovare il dominio di definizione e il dominio di valore di una funzione lineare frazionaria, costruendo il suo grafico utilizzando il trasferimento parallelo del grafico della funzione lungo l'asse delle ascisse e delle ordinate.

Determinare quale funzione è rappresentata graficamente sul piano delle coordinate?

Viene fornito il grafico di una funzione sul piano delle coordinate.

Domanda

Risposta prevista

Trovare il dominio di definizione della funzione, (D( sì)=?)

X ≠0, o(-∞;0]UUU

Spostiamo il grafico della funzione utilizzando la traslazione parallela lungo l'asse Ox (ascissa) di 1 unità verso destra;

Quale funzione hai rappresentato graficamente?

Spostiamo il grafico della funzione utilizzando la traslazione parallela lungo l'asse Oy (ordinata) di 2 unità verso l'alto;

Ora, quale funzione hai rappresentato graficamente?

Disegna linee rette x=1 ey=2

Come pensi? Quali messaggi diretti abbiamo ricevuto tu e io?

Questi sono quelli dritti, al quale i punti della curva del grafico della funzione si avvicinano allontanandosi all'infinito.

E vengono chiamati– asintoti.

Cioè, un asintoto dell'iperbole corre parallelo all'asse y ad una distanza di 2 unità alla sua destra, e il secondo asintoto corre parallelo all'asse x ad una distanza di 1 unità sopra di esso.

Ben fatto! Adesso concludiamo:

Il grafico di una funzione frazionaria lineare è un'iperbole, che può essere ottenuta dall'iperbole y =utilizzando traslazioni parallele lungo gli assi coordinati. Per fare ciò, la formula della funzione lineare frazionaria deve essere presentata nella seguente forma: y =

dove n è il numero di unità di cui l'iperbole viene spostata a destra o a sinistra, m è il numero di unità di cui l'iperbole viene spostata verso l'alto o verso il basso. In questo caso gli asintoti dell'iperbole vengono spostati sulle rette x = m, y = n.

Diamo esempi di una funzione lineare frazionaria:

; .

Una funzione lineare frazionaria è una funzione della forma y = , dove x è una variabile, a, b, c, d sono alcuni numeri e c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 eanno Domini- avanti Cristo≠0, poiché in c=0 la funzione diventa lineare.

Seanno Domini- avanti Cristo=0, la frazione risultante è un valore uguale a (cioè costante).

Proprietà di una funzione lineare frazionaria:

1. All'aumentare dei valori positivi dell'argomento, i valori della funzione diminuiscono e tendono a zero, ma rimangono positivi.

2. All'aumentare dei valori positivi della funzione, i valori dell'argomento diminuiscono e tendono a zero, ma rimangono positivi.

III – consolidamento del materiale trattato.

Bersaglio: - sviluppare abilità e capacità di presentazioneformule di una funzione lineare frazionaria nella forma:

Rafforzare le capacità di elaborare equazioni asintotiche e tracciare un grafico di una funzione lineare frazionaria.

Esempio 1:

Soluzione: utilizzando le trasformazioni, rappresentiamo questa funzione nel modulo .

= (diapositiva 10)

Minuto di educazione fisica:

(il riscaldamento è condotto dall'ufficiale di turno)

Bersaglio: - alleviare lo stress mentale e migliorare la salute degli studenti.

Lavorare con il libro di testo: n. 184.

Soluzione: utilizzando le trasformazioni, rappresentiamo questa funzione nella forma y=k/(x-m)+n.

= dex≠0.

Scriviamo l'equazione asintotica: x=2 ey=3.

Quindi il grafico della funzione si muove lungo l'asse Ox ad una distanza di 2 unità alla sua destra e lungo l'asse Oy ad una distanza di 3 unità sopra di esso.

Lavoro di gruppo:

Bersaglio: - sviluppare la capacità di ascoltare gli altri e allo stesso tempo di esprimere in modo specifico la propria opinione;

formazione di una persona capace di leadership;

coltivare una cultura del linguaggio matematico negli studenti.

Opzione 1

Data la funzione:

.

.

Opzione n. 2

Data una funzione

1. Riduci la funzione frazionaria lineare alla forma standard e scrivi l'equazione degli asintoti.

2. Trova il dominio della funzione

3. Trova l'insieme dei valori della funzione

1. Riduci la funzione frazionaria lineare alla forma standard e scrivi l'equazione degli asintoti.

2. Trova il dominio della funzione.

3. Trova l'insieme di valori della funzione.

(Il gruppo che ha terminato per primo il lavoro si prepara a difendere il lavoro di gruppo alla lavagna. Il lavoro viene analizzato.)

IV. Riassumendo la lezione.

Bersaglio: - analisi delle attività teoriche e pratiche della lezione;

Formazione di capacità di autostima negli studenti;

Riflessione, autovalutazione dell’attività e della coscienza degli studenti.

E così, miei cari studenti! La lezione sta per finire. Devi compilare una scheda di riflessione. Scrivi le tue opinioni in modo accurato e leggibile

Cognome e nome ________________________________________

Passi della lezione

Determinare il livello di complessità delle fasi della lezione

Il tuo triplo americano

Valutazione della tua attività nella lezione, 1-5 punti

facile

medio pesante

difficile

Fase organizzativa

Imparare nuovo materiale

Formazione di abilità nel tracciare un grafico di una funzione lineare frazionaria

Lavoro di gruppo

Opinione generale sulla lezione

Compiti a casa:

Bersaglio: - verificare il livello di padronanza di questo argomento.

[clausola 10*, n. 180(a), 181(b).]

Preparazione all'Esame di Stato: (Lavorare su "Facoltativo virtuale" )

Esercizio della serie GIA (n. 23 - punteggio massimo):

Rappresentare graficamente la funzione Y=e determinare a quali valori di c la retta y=c ha esattamente un punto in comune con il grafico.

Le domande e i compiti saranno pubblicati dalle 14.00 alle 14.30.

1. Funzione lineare frazionaria e suo grafico

Una funzione della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi, è chiamata funzione razionale frazionaria.

Probabilmente hai già familiarità con il concetto di numeri razionali. Allo stesso modo funzioni razionali sono funzioni che possono essere rappresentate come il quoziente di due polinomi.

Se una funzione razionale frazionaria è il quoziente di due funzioni lineari - polinomi di primo grado, ad es. funzione della forma

y = (ax + b) / (cx + d), allora è detta lineare frazionaria.

Si noti che nella funzione y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (altrimenti la funzione diventa lineare y = ax/d + b/d) e che a/c ≠ b/d (altrimenti la la funzione è costante). La funzione frazionaria lineare è definita per tutti i numeri reali tranne x = -d/c. I grafici delle funzioni lineari frazionarie non differiscono nella forma dal grafico y = 1/x che conosci. Viene chiamata una curva che è un grafico della funzione y = 1/x iperbole. Con un aumento illimitato di x in valore assoluto, la funzione y = 1/x diminuisce illimitatamente in valore assoluto ed entrambi i rami del grafico si avvicinano all'ascissa: quello di destra si avvicina dall'alto, quello di sinistra dal basso. Le rette a cui si avvicinano i rami di un'iperbole sono chiamate sue asintoti.

Esempio 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Soluzione.

Selezioniamo l'intera parte: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: spostamento di 3 segmenti unitari verso destra, allungamento lungo l'asse Oy 7 volte e spostamento di 2 segmenti unitari verso l'alto.

Qualsiasi frazione y = (ax + b) / (cx + d) può essere scritta in modo simile, evidenziando la “parte intera”. Di conseguenza, i grafici di tutte le funzioni lineari frazionarie sono iperboli, spostate in vari modi lungo gli assi coordinati e allungate lungo l'asse Oy.

Per costruire un grafico di qualsiasi funzione lineare frazionaria arbitraria, non è affatto necessario trasformare la frazione che definisce questa funzione. Poiché sappiamo che il grafico è un'iperbole, basterà trovare le rette a cui si avvicinano i suoi rami, gli asintoti dell'iperbole x = -d/c e y = a/c.

Esempio 2.

Trova gli asintoti del grafico della funzione y = (3x + 5)/(2x + 2).

Soluzione.

La funzione non è definita, in x = -1. Ciò significa che la retta x = -1 funge da asintoto verticale. Per trovare l’asintoto orizzontale, scopriamo a cosa si avvicinano i valori della funzione y(x) quando l’argomento x aumenta in valore assoluto.

Per fare ciò, dividi il numeratore e il denominatore della frazione per x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Per x → ∞ la frazione tenderà a 3/2. Ciò significa che l'asintoto orizzontale è la retta y = 3/2.

Esempio 3.

Rappresentare graficamente la funzione y = (2x + 1)/(x + 1).

Soluzione.

Selezioniamo la “parte intera” della frazione:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Ora è facile vedere che il grafico di questa funzione si ottiene dal grafico della funzione y = 1/x mediante le seguenti trasformazioni: uno spostamento di 1 unità a sinistra, una visualizzazione simmetrica rispetto a Ox e uno spostamento di 2 segmenti unitari lungo l'asse Oy.

Dominio D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Punti di intersezione con gli assi: c Oy: (0; 1); c Bue: (-1/2; 0). La funzione aumenta ad ogni intervallo del dominio di definizione.

Risposta: Figura 1.

2. Funzione razionale frazionaria

Consideriamo una funzione razionale frazionaria della forma y = P(x) / Q(x), dove P(x) e Q(x) sono polinomi di grado superiore al primo.

Esempi di tali funzioni razionali:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) oppure y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Se la funzione y = P(x) / Q(x) rappresenta il quoziente di due polinomi di grado superiore al primo, il suo grafico sarà, di regola, più complesso e talvolta può essere difficile costruirlo accuratamente , con tutti i dettagli. Spesso però è sufficiente utilizzare tecniche simili a quelle che abbiamo già introdotto sopra.

Sia la frazione una frazione propria (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = LA 1 /(x – RE 1) m1 + LA 2 /(x – RE 1) m1-1 + … + LA m1 /(x – RE 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Ovviamente il grafico di una funzione razionale frazionaria può essere ottenuto come somma di grafici di frazioni elementari.

Tracciamento di grafici di funzioni razionali frazionarie

Consideriamo diversi modi per costruire grafici di una funzione razionale frazionaria.

Esempio 4.

Disegna un grafico della funzione y = 1/x 2 .

Soluzione.

Utilizziamo il grafico della funzione y = x 2 per costruire un grafico di y = 1/x 2 e utilizziamo la tecnica della “divisione” dei grafici.

Dominio D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Intervallo di valori E(y) = (0; +∞).

Non ci sono punti di intersezione con gli assi. La funzione è pari. Aumenta per tutti gli x dall'intervallo (-∞; 0), diminuisce per x da 0 a +∞.

Risposta: Figura 2.

Esempio 5.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Soluzione.

Dominio D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3+1/3.

Qui abbiamo utilizzato la tecnica della fattorizzazione, riduzione e riduzione a una funzione lineare.

Risposta: Figura 3.

Esempio 6.

Rappresentare graficamente la funzione y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Soluzione.

Il dominio di definizione è D(y) = R. Poiché la funzione è pari, il grafico è simmetrico rispetto all'ordinata. Prima di costruire un grafico trasformiamo nuovamente l’espressione evidenziando l’intera parte:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Si noti che isolare la parte intera nella formula di una funzione razionale frazionaria è uno dei principali quando si costruiscono grafici.

Se x → ±∞, allora y → 1, cioè la retta y = 1 è un asintoto orizzontale.

Risposta: Figura 4.

Esempio 7.

Consideriamo la funzione y = x/(x 2 + 1) e proviamo a trovare con precisione il suo valore più grande, ovvero il punto più alto nella metà destra del grafico. Per costruire accuratamente questo grafico, le conoscenze odierne non sono sufficienti. Ovviamente, la nostra curva non può “salire” molto in alto, perché il denominatore inizia rapidamente a “superare” il numeratore. Vediamo se il valore della funzione può essere uguale a 1. Per fare questo, dobbiamo risolvere l'equazione x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Questa equazione non ha radici reali. Ciò significa che la nostra ipotesi è errata. Per trovare il valore più grande della funzione, devi scoprire in quale A più grande l'equazione A = x/(x 2 + 1) avrà una soluzione. Sostituiamo l'equazione originale con una quadratica: Ax 2 – x + A = 0. Questa equazione ha una soluzione quando 1 – 4A 2 ≥ 0. Da qui troviamo il valore più grande A = 1/2.

Risposta: Figura 5, max y(x) = ½.

Hai ancora domande? Non sai come rappresentare graficamente le funzioni?
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La prima lezione è gratuita!

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Funzione razionale frazionaria

Formula y = k/x, il grafico è un'iperbole. Nella Parte 1 del GIA questa funzione viene offerta senza spostamenti lungo gli assi. Pertanto ha un solo parametro K. La differenza più grande nell'aspetto del grafico dipende dal segno K.

È più difficile vedere le differenze nei grafici se K un carattere:

Come vediamo, di più K, più alta diventa l'iperbole.

La figura mostra le funzioni per le quali il parametro k differisce in modo significativo. Se la differenza non è così grande, è abbastanza difficile determinarla a occhio.

A questo proposito il seguente compito, che ho trovato in un manuale generalmente buono per la preparazione all’Esame di Stato, è semplicemente un “capolavoro”:

Non solo, in un'immagine abbastanza piccola, i grafici ravvicinati semplicemente si fondono. Inoltre, le iperboli con k positivo e negativo sono rappresentate nello stesso piano di coordinate. Il che disorienterà completamente chiunque guardi questo disegno. La "piccola stella" attira semplicemente la tua attenzione.

Grazie a Dio questo è solo un compito di formazione. Nelle versioni reali sono state proposte diciture più corrette e disegni evidenti.

Scopriamo come determinare il coefficiente K secondo il grafico della funzione.

Dalla formula: y = k/x segue quello k = yx. Cioè, possiamo prendere qualsiasi punto intero con coordinate convenienti e moltiplicarlo: otteniamo K.

K= 1·(- 3) = - 3.

Pertanto la formula di questa funzione è: y = - 3/x.

È interessante considerare la situazione con k frazionario. In questo caso la formula può essere scritta in diversi modi. Ciò non dovrebbe trarre in inganno.

Per esempio,

È impossibile trovare un singolo punto intero su questo grafico. Quindi il valore K può essere determinato in modo molto approssimativo.

K= 1·0,7≈0,7. Tuttavia si può capire che 0< K< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Quindi, riassumiamo.

K> 0 l'iperbole si trova nel 1° e 3° angolo di coordinata (quadranti),

K < 0 - во 2-м и 4-ом.

Se K modulo maggiore di 1 ( K= 2 o K= - 2), il grafico si trova sopra 1 (sotto - 1) lungo l'asse y e appare più ampio.

Se K modulo inferiore a 1 ( K= 1/2 o K= - 1/2), allora il grafico si trova sotto 1 (sopra - 1) lungo l'asse y e appare più stretto, "premuto" verso lo zero:

In questa lezione esamineremo la funzione lineare frazionaria, risolveremo problemi utilizzando la funzione lineare frazionaria, modulo, parametro.

Argomento: ripetizione

Lezione: Funzione lineare frazionaria

Definizione:

Una funzione della forma:

Per esempio:

Dimostriamo che il grafico di questa funzione frazionaria lineare è un'iperbole.

Togliamo i due tra parentesi al numeratore e otteniamo:

Abbiamo x sia al numeratore che al denominatore. Ora trasformiamo in modo che l'espressione appaia al numeratore:

Ora riduciamo la frazione termine per termine:

Ovviamente il grafico di questa funzione è un'iperbole.

Possiamo proporre un secondo metodo di dimostrazione, ovvero dividere il numeratore per il denominatore in una colonna:

Avuto:

È importante poter costruire facilmente un grafico di una funzione frazionaria lineare, in particolare per trovare il centro di simmetria di un'iperbole. Risolviamo il problema.

Esempio 1: traccia un grafico di una funzione:

Abbiamo già convertito questa funzione e ottenuto:

Per costruire questo grafico, non sposteremo gli assi o l'iperbole stessa. Utilizziamo un metodo standard per costruire grafici di funzioni, utilizzando la presenza di intervalli di segno costante.

Agiamo secondo l'algoritmo. Innanzitutto, esaminiamo la funzione data.

Quindi, abbiamo tre intervalli di segno costante: all'estrema destra () la funzione ha un segno più, poi i segni si alternano, poiché tutte le radici hanno il primo grado. Quindi, su un intervallo la funzione è negativa, su un intervallo la funzione è positiva.

Costruiamo uno schizzo del grafico in prossimità delle radici e dei punti di rottura dell'ODZ. Abbiamo: poiché in un punto il segno della funzione cambia da più a meno, la curva è prima sopra l'asse, poi passa per lo zero e poi si trova sotto l'asse x. Quando il denominatore di una frazione è praticamente uguale a zero, significa che quando il valore dell'argomento tende a tre, il valore della frazione tende all'infinito. In questo caso, quando l'argomento si avvicina al triplo a sinistra la funzione è negativa e tende a meno infinito, a destra la funzione è positiva e lascia più infinito.

Ora costruiamo uno schizzo del grafico della funzione in prossimità dei punti all'infinito, cioè quando l'argomento tende a più o meno infinito. In questo caso i termini costanti possono essere trascurati. Abbiamo:

Abbiamo quindi un asintoto orizzontale e uno verticale, il centro dell'iperbole è il punto (3;2). Illustriamo:

Riso. 1. Grafico di un'iperbole per l'esempio 1

I problemi con una funzione lineare frazionaria possono essere complicati dalla presenza di un modulo o parametro. Per costruire, ad esempio, un grafico della funzione, è necessario seguire il seguente algoritmo:

Riso. 2. Illustrazione dell'algoritmo

Il grafico risultante ha rami che sono sopra l'asse x e sotto l'asse x.

1. Applicare il modulo specificato. In questo caso, le parti del grafico situate sopra l'asse x rimangono invariate e quelle situate sotto l'asse vengono specchiate rispetto all'asse x. Noi abbiamo:

Riso. 3. Illustrazione dell'algoritmo

Esempio 2: traccia una funzione:

Riso. 4. Grafico della funzione per l'esempio 2

Considera il seguente compito: costruisci un grafico della funzione. Per fare ciò, è necessario seguire il seguente algoritmo:

1. Rappresentare graficamente la funzione submodulare

Supponiamo di ottenere il seguente grafico:

Riso. 5. Illustrazione dell'algoritmo

1. Applicare il modulo specificato. Per capire come farlo, espandiamo il modulo.

Pertanto, per i valori delle funzioni con valori di argomento non negativi, non si verificheranno modifiche. Per quanto riguarda la seconda equazione, sappiamo che si ottiene mappandola simmetricamente rispetto all'asse y. abbiamo il grafico della funzione:

Riso. 6. Illustrazione dell'algoritmo

Esempio 3: traccia una funzione:

Secondo l'algoritmo, devi prima costruire un grafico della funzione submodulare, noi lo abbiamo già costruito (vedi Figura 1)

Riso. 7. Grafico di una funzione per esempio 3

Esempio 4: trova il numero di radici di un'equazione con un parametro:

Ricordiamo che risolvere un'equazione con un parametro significa ripercorrere tutti i valori del parametro e indicare la risposta per ciascuno di essi. Agiamo secondo la metodologia. Per prima cosa costruiamo un grafico della funzione, lo abbiamo già fatto nell'esempio precedente (vedi Figura 7). Successivamente, devi sezionare il grafico con una famiglia di linee per diversi a, trovare i punti di intersezione e scrivere la risposta.

Guardando il grafico, scriviamo la risposta: quando e l'equazione ha due soluzioni; quando l'equazione ha una soluzione; quando l'equazione non ha soluzioni.

In questa lezione esamineremo la funzione lineare frazionaria, risolveremo problemi utilizzando la funzione lineare frazionaria, modulo, parametro.

Argomento: ripetizione

Lezione: Funzione lineare frazionaria

1. Concetto e grafico di una funzione frazionaria lineare

Definizione:

Una funzione della forma:

Per esempio:

Dimostriamo che il grafico di questa funzione frazionaria lineare è un'iperbole.

Togliamo i due tra parentesi al numeratore e otteniamo:

Abbiamo x sia al numeratore che al denominatore. Ora trasformiamo in modo che l'espressione appaia al numeratore:

Ora riduciamo la frazione termine per termine:

Ovviamente il grafico di questa funzione è un'iperbole.

Possiamo proporre un secondo metodo di dimostrazione, ovvero dividere il numeratore per il denominatore in una colonna:

Avuto:

2. Disegnare un grafico di una funzione frazionaria lineare

È importante poter costruire facilmente un grafico di una funzione frazionaria lineare, in particolare per trovare il centro di simmetria di un'iperbole. Risolviamo il problema.

Esempio 1: traccia un grafico di una funzione:

Abbiamo già convertito questa funzione e ottenuto:

Per costruire questo grafico, non sposteremo gli assi o l'iperbole stessa. Utilizziamo un metodo standard per costruire grafici di funzioni, utilizzando la presenza di intervalli di segno costante.

Agiamo secondo l'algoritmo. Innanzitutto, esaminiamo la funzione data.

Quindi, abbiamo tre intervalli di segno costante: all'estrema destra () la funzione ha un segno più, poi i segni si alternano, poiché tutte le radici hanno il primo grado. Quindi, su un intervallo la funzione è negativa, su un intervallo la funzione è positiva.

Costruiamo uno schizzo del grafico in prossimità delle radici e dei punti di rottura dell'ODZ. Abbiamo: poiché in un punto il segno della funzione cambia da più a meno, la curva è prima sopra l'asse, poi passa per lo zero e poi si trova sotto l'asse x. Quando il denominatore di una frazione è praticamente uguale a zero, significa che quando il valore dell'argomento tende a tre, il valore della frazione tende all'infinito. In questo caso, quando l'argomento si avvicina al triplo a sinistra la funzione è negativa e tende a meno infinito, a destra la funzione è positiva e lascia più infinito.

Costruiamo ora uno schizzo del grafico della funzione in prossimità dei punti all'infinito, cioè quando l'argomento tende a più o meno infinito. In questo caso i termini costanti possono essere trascurati. Abbiamo:

Abbiamo quindi un asintoto orizzontale e uno verticale, il centro dell'iperbole è il punto (3;2). Illustriamo:

Riso. 1. Grafico di un'iperbole per l'esempio 1

3. Funzione lineare frazionaria con modulo, suo grafico

I problemi con una funzione lineare frazionaria possono essere complicati dalla presenza di un modulo o parametro. Per costruire, ad esempio, un grafico della funzione, è necessario seguire il seguente algoritmo:

Riso. 2. Illustrazione dell'algoritmo

Il grafico risultante ha rami che sono sopra l'asse x e sotto l'asse x.

1. Applicare il modulo specificato. In questo caso, le parti del grafico situate sopra l'asse x rimangono invariate e quelle situate sotto l'asse vengono specchiate rispetto all'asse x. Noi abbiamo:

Riso. 3. Illustrazione dell'algoritmo

Esempio 2: traccia una funzione:

Riso. 4. Grafico della funzione per l'esempio 2

4. Soluzione di un'equazione frazionaria lineare con un parametro

Considera il seguente compito: costruisci un grafico della funzione. Per fare ciò, è necessario seguire il seguente algoritmo:

1. Rappresentare graficamente la funzione submodulare

Supponiamo di ottenere il seguente grafico:

Riso. 5. Illustrazione dell'algoritmo

1. Applicare il modulo specificato. Per capire come farlo, espandiamo il modulo.

Pertanto, per i valori delle funzioni con valori di argomento non negativi, non si verificheranno modifiche. Per quanto riguarda la seconda equazione, sappiamo che si ottiene mappandola simmetricamente rispetto all'asse y. abbiamo il grafico della funzione:

Riso. 6. Illustrazione dell'algoritmo

Esempio 3: traccia una funzione:

Secondo l'algoritmo, devi prima costruire un grafico della funzione submodulare, noi lo abbiamo già costruito (vedi Figura 1)

Riso. 7. Grafico di una funzione per esempio 3

Esempio 4: trova il numero di radici di un'equazione con un parametro:

Ricordiamo che risolvere un'equazione con un parametro significa ripercorrere tutti i valori del parametro e indicare la risposta per ciascuno di essi. Agiamo secondo la metodologia. Per prima cosa costruiamo un grafico della funzione, lo abbiamo già fatto nell'esempio precedente (vedi Figura 7). Successivamente, devi sezionare il grafico con una famiglia di linee per diversi a, trovare i punti di intersezione e scrivere la risposta.

Guardando il grafico, scriviamo la risposta: quando e l'equazione ha due soluzioni; quando l'equazione ha una soluzione; quando l'equazione non ha soluzioni.