Esempi:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Come risolvere le equazioni esponenziali

Quando risolviamo qualsiasi equazione esponenziale, ci sforziamo di portarla alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\), e quindi di effettuare la transizione all'uguaglianza degli esponenti, ovvero:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Per esempio:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Importante! Dalla stessa logica derivano due requisiti per tale transizione:
- numero dentro sinistra e destra dovrebbero essere uguali;
- i gradi a sinistra e a destra devono essere “puri”, cioè non dovrebbero esserci moltiplicazioni, divisioni, ecc.

Per esempio:

Per ridurre l'equazione alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\) vengono utilizzati e.

Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Soluzione:

\(\sqrt(27)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Sappiamo che \(27 = 3^3\). Tenendo conto di ciò trasformiamo l’equazione.
\(\sqrt(3^3)·3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Per la proprietà della radice \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) otteniamo che \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Successivamente, utilizzando la proprietà del grado \((a^b)^c=a^(bc)\), otteniamo \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^ (3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Sappiamo anche che \(a^b·a^c=a^(b+c)\). Applicandolo al lato sinistro, otteniamo: \(3^(\frac(3)(2))·3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)= 3^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Ora ricorda che: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Questa formula può essere utilizzata anche nella direzione opposta: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Quindi \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Applicando la proprietà \((a^b)^c=a^(bc)\) al lato destro, otteniamo: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		E ora le nostre basi sono uguali e non ci sono coefficienti interferenti, ecc. Quindi possiamo effettuare la transizione.
		Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Soluzione: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Usiamo ancora la proprietà power \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) nella direzione opposta. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Ora ricorda che \(4=2^2\). \((2^2)^x·(2^2)^(0,5)-5·2^x+2=0\) Usando le proprietà dei gradi, trasformiamo: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2·(2^x)^2-5·2^x+2=0\) Osserviamo attentamente l'equazione e vediamo che la sostituzione \(t=2^x\) suggerisce da sola. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tuttavia, abbiamo trovato i valori di \(t\) e abbiamo bisogno di \(x\). Torniamo alle X, effettuando una sostituzione inversa. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Trasformiamo la seconda equazione utilizzando la proprietà della potenza negativa... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...e decidiamo fino alla risposta. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Risposta : \(-1; 1\). La domanda rimane: come capire quando utilizzare quale metodo? Questo arriva con l'esperienza. Fino a quando non lo avrai sviluppato, usa la raccomandazione generale per risolvere problemi complessi: "se non sai cosa fare, fai quello che puoi". Cioè, cerca come trasformare l'equazione in linea di principio e prova a farlo: e se succedesse? La cosa principale è effettuare solo trasformazioni basate sulla matematica. Equazioni esponenziali senza soluzioni Diamo un'occhiata ad altre due situazioni che spesso confondono gli studenti: - un numero positivo elevato a potenza è uguale a zero, ad esempio \(2^x=0\); - un numero positivo è uguale alla potenza di un numero negativo, ad esempio \(2^x=-4\). Proviamo a risolvere con la forza bruta. Se x è un numero positivo, man mano che x cresce, l'intera potenza \(2^x\) non farà altro che aumentare: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Anche di. Rimangono X negative. Ricordando la proprietà \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), controlliamo: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Nonostante il fatto che il numero diminuisca ad ogni passo, non raggiungerà mai lo zero. Quindi il grado negativo non ci ha salvato. Arriviamo ad una conclusione logica: Un numero positivo in qualsiasi misura rimarrà un numero positivo. Pertanto, entrambe le equazioni sopra non hanno soluzioni. Equazioni esponenziali con basi diverse In pratica, a volte ci imbattiamo in equazioni esponenziali con basi diverse, non riducibili tra loro, e allo stesso tempo con gli stessi esponenti. Appaiono così: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), dove \(a\) e \(b\) sono numeri positivi. Per esempio: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tali equazioni possono essere facilmente risolte dividendo per uno qualsiasi dei lati dell'equazione (solitamente diviso per il lato destro, ovvero per \(b^(f(x))\). Puoi dividere in questo modo perché un numero positivo è positivo rispetto a qualsiasi potenza (ovvero, non dividiamo per zero). \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Soluzione: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Qui non potremo trasformare un cinque in un tre, o viceversa (almeno senza usare ). Ciò significa che non possiamo arrivare alla forma \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tuttavia, gli indicatori sono gli stessi. Dividiamo l'equazione per il lato destro, cioè per \(3^(x+7)\) (possiamo farlo perché sappiamo che tre non sarà zero in alcun modo). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Ora ricorda la proprietà \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) e usala a sinistra nella direzione opposta. A destra riduciamo semplicemente la frazione. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Sembrerebbe che le cose non siano andate meglio. Ma ricorda un'altra proprietà della potenza: \(a^0=1\), in altre parole: "qualsiasi numero elevato a zero è uguale a \(1\)." È vero anche il contrario: “uno può essere rappresentato come un numero qualsiasi elevato a zero”. Lo usiamo rendendo la base a destra uguale a quella a sinistra. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voilà! Liberiamoci delle basi. Stiamo scrivendo una risposta. Risposta : \(-7\). A volte l’“identità” degli esponenti non è ovvia, ma un uso abile delle proprietà degli esponenti risolve questo problema. Esempio . Risolvi l'equazione esponenziale \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Soluzione: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) L'equazione sembra molto triste... Non solo le basi non possono essere ridotte allo stesso numero (sette non sarà in alcun modo uguale a \(\frac(1)(3)\)), ma anche gli esponenti sono diversi. .. Tuttavia, usiamo l'esponente sinistro due. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ricordando la proprietà \((a^b)^c=a^(b·c)\) trasformiamo da sinistra: \(7^(2(x-2))=7^(2·(x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Ora, ricordando la proprietà di grado negativo \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), trasformiamo da destra: \((\frac(1)(3))^( -x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Alleluia! Gli indicatori sono gli stessi! Agendo secondo lo schema a noi già familiare, risolviamo prima della risposta. Risposta : \(2\).

Risoluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Che è successo equazione esponenziale? Questa è un'equazione in cui sono presenti le incognite (x) e le espressioni che le contengono indicatori alcuni gradi. E solo lì! Questo è importante.

Ecco qui esempi di equazioni esponenziali:

3x2x = 8x+3

Fai attenzione! Nelle basi dei gradi (sotto) - solo numeri. IN indicatori gradi (sopra) - un'ampia varietà di espressioni con una X. Se, all'improvviso, nell'equazione appare una X in un punto diverso da un indicatore, ad esempio:

questa sarà già un'equazione di tipo misto. Tali equazioni non hanno regole chiare per risolverle. Non li prenderemo in considerazione per ora. Qui ci occuperemo di Risoluzione di equazioni esponenziali nella sua forma più pura.

In effetti, anche le equazioni esponenziali pure non sono sempre risolte in modo chiaro. Ma ci sono alcuni tipi di equazioni esponenziali che possono e devono essere risolti. Queste sono le tipologie che prenderemo in considerazione.

Risoluzione di semplici equazioni esponenziali.

Per prima cosa, risolviamo qualcosa di molto semplice. Per esempio:

Anche senza alcuna teoria, con una semplice selezione è chiaro che x = 2. Niente di più, vero!? Nessun altro valore di X funziona. Ora diamo un'occhiata alla soluzione di questa complicata equazione esponenziale:

Cosa abbiamo fatto? Noi, infatti, abbiamo semplicemente buttato via le stesse basi (triple). Completamente buttato fuori. E la buona notizia è che abbiamo centrato l'obiettivo!

Infatti, se in un'equazione esponenziale ci sono sinistra e destra identico numeri con qualsiasi potenza, questi numeri possono essere rimossi e gli esponenti possono essere equalizzati. La matematica lo consente. Resta da risolvere un'equazione molto più semplice. Ottimo, vero?)

Ricordiamo però con fermezza: Puoi rimuovere le basi solo quando i numeri delle basi a sinistra e a destra sono in splendido isolamento! Senza vicini e coefficienti. Diciamo nelle equazioni:

2 x +2 x+1 = 2 3, o

i due non possono essere rimossi!

Bene, abbiamo imparato la cosa più importante. Come passare dalle espressioni esponenziali malvagie alle equazioni più semplici.

"Quelli sono i tempi!" - dici. “Chi darebbe una lezione così primitiva su test ed esami!?”

Devo essere d'accordo. Nessuno lo farà. Ma ora sai dove puntare quando risolvi esempi complicati. È necessario portarlo nella forma in cui a sinistra e a destra si trova lo stesso numero di base. Allora tutto sarà più semplice. In realtà, questo è un classico della matematica. Prendiamo l'esempio originale e lo trasformiamo in quello desiderato noi mente. Secondo le regole della matematica, ovviamente.

Diamo un'occhiata agli esempi che richiedono uno sforzo aggiuntivo per ridurli al più semplice. Chiamiamoli semplici equazioni esponenziali.

Risoluzione di semplici equazioni esponenziali. Esempi.

Quando si risolvono equazioni esponenziali, le regole principali sono azioni con gradi. Senza la conoscenza di queste azioni nulla funzionerà.

Alle azioni con gradi bisogna aggiungere l'osservazione personale e l'ingegno. Abbiamo bisogno degli stessi numeri di base? Quindi li cerchiamo nell'esempio in forma esplicita o crittografata.

Vediamo come si fa nella pratica?

Facciamo un esempio:

2 2x - 8x+1 = 0

Il primo sguardo attento è a motivi. Loro... Sono diversi! Due e otto. Ma è troppo presto per scoraggiarsi. E' tempo di ricordarlo

Due e otto sono parenti di grado.) È del tutto possibile scrivere:

8x+1 = (2 3)x+1

Se ricordiamo la formula delle operazioni con i gradi:

(a n) m = a nm ,

funziona alla grande:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

L'esempio originale cominciò ad assomigliare a questo:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Trasferiamo 2 3 (x+1) a destra (nessuno ha cancellato le operazioni elementari della matematica!), otteniamo:

2 2x = 2 3(x+1)

Questo è praticamente tutto. Rimozione delle basi:

Risolviamo questo mostro e otteniamo

Questa è la risposta corretta.

In questo esempio, conoscere i poteri di due ci ha aiutato. Noi identificato in otto ce n'è un due criptato. Questa tecnica (codificare basi comuni con numeri diversi) è molto popolare nelle equazioni esponenziali! Sì, e anche in logaritmi. Devi essere in grado di riconoscere le potenze di altri numeri nei numeri. Questo è estremamente importante per risolvere equazioni esponenziali.

Il fatto è che elevare qualsiasi numero a qualsiasi potenza non è un problema. Moltiplicare, anche sulla carta, e basta. Ad esempio, chiunque può elevare 3 alla quinta potenza. 243 funzionerà se conosci la tavola pitagorica.) Ma nelle equazioni esponenziali, molto più spesso non è necessario elevare a una potenza, ma viceversa... Scoprilo quale numero e in quale misuraè nascosto dietro il numero 243, o, diciamo, 343... Nessuna calcolatrice ti aiuterà qui.

Devi conoscere le potenze di alcuni numeri a vista, giusto... Facciamo pratica?

Determina quali potenze e quali numeri sono:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Risposte (in disordine, ovviamente!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Se guardi da vicino, puoi vedere un fatto strano. Ci sono molte più risposte che compiti! Ebbene, succede... Ad esempio, 2 6, 4 3, 8 2 - fa tutto 64.

Supponiamo che tu abbia preso nota delle informazioni sulla familiarità con i numeri.) Ti ricordo anche che per risolvere le equazioni esponenziali usiamo Tutto patrimonio di conoscenze matematiche. Compresi quelli delle classi medie e medie. Non sei andato direttamente al liceo, vero?)

Ad esempio, quando si risolvono equazioni esponenziali, spesso è utile mettere il fattore comune fuori parentesi (ciao alla seconda media!). Diamo un'occhiata ad un esempio:

3 2x+4 -11 9 x = 210

E ancora, il primo sguardo è alle fondamenta! Le basi dei gradi sono diverse... Tre e nove. E vogliamo che siano uguali. Ebbene in questo caso il desiderio è completamente esaudito!) Perché:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Utilizzando le stesse regole per trattare i titoli di studio:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

È fantastico, puoi scriverlo:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Abbiamo fatto un esempio per gli stessi motivi. E poi!? Non puoi buttare via i tre... Vicolo cieco?

Affatto. Ricorda la regola decisionale più universale e potente tutti compiti di matematica:

Se non sai di cosa hai bisogno, fai quello che puoi!

Guarda, tutto funzionerà).

Cosa c'è in questa equazione esponenziale? Potere Fare? Sì, sul lato sinistro chiede solo di essere tolto dalle parentesi! Il moltiplicatore complessivo di 3 2x lo suggerisce chiaramente. Proviamo e poi vedremo:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

L'esempio continua a migliorare sempre di più!

Ricordiamo che per eliminare i motivi occorre una laurea pura, senza alcun coefficiente. Il numero 70 ci dà fastidio. Quindi dividiamo entrambi i membri dell'equazione per 70, otteniamo:

Ops! Tutto è migliorato!

Questa è la risposta finale.

Succede, però, che la tassazione per gli stessi motivi funziona, ma la loro eliminazione no. Ciò accade in altri tipi di equazioni esponenziali. Padroneggiamo questo tipo.

Sostituzione di una variabile nella risoluzione di equazioni esponenziali. Esempi.

Risolviamo l'equazione:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Primo, come al solito. Passiamo ad una base. A un diavolo.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Otteniamo l'equazione:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ed è qui che usciamo. Le tecniche precedenti non funzioneranno, non importa come le guardi. Dovremo tirare fuori dal nostro arsenale un altro metodo potente e universale. Si chiama sostituzione variabile.

L'essenza del metodo è sorprendentemente semplice. Invece di un'icona complessa (nel nostro caso - 2 x) ne scriviamo un'altra, più semplice (ad esempio - t). Una sostituzione così apparentemente insignificante porta a risultati sorprendenti!) Tutto diventa semplicemente chiaro e comprensibile!

Quindi lasciamo

Allora 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Nella nostra equazione sostituiamo tutte le potenze con x con t:

Bene, ti viene in mente?) Hai già dimenticato le equazioni quadratiche? Risolvendo attraverso il discriminante otteniamo:

La cosa principale qui è non fermarsi, come succede... Questa non è ancora la risposta, abbiamo bisogno di x, non di t. Torniamo alle X, cioè facciamo una sostituzione inversa. Primo per t 1:

Perciò,

È stata trovata una radice. Cerchiamo il secondo da t 2:

Hm... 2 x a sinistra, 1 a destra... Problema? Affatto! Basta ricordare (dalle operazioni con poteri, sì...) che un'unità è Qualunque numero elevato allo zero. Qualunque. Qualunque cosa sia necessaria, la installeremo. Ne abbiamo bisogno di due. Significa:

Questo è tutto adesso. Abbiamo 2 radici:

Questa è la risposta.

A Risoluzione di equazioni esponenziali alla fine a volte ti ritrovi con una sorta di espressione imbarazzante. Tipo:

Sette non può essere convertito in due mediante un semplice potere. Non sono parenti... Come possiamo esserlo? Qualcuno potrebbe essere confuso... Ma chi ha letto su questo sito l’argomento “Cos’è un logaritmo?” , si limita a sorridere con parsimonia e scrive con mano ferma la risposta assolutamente corretta:

Non può esserci una risposta del genere nei compiti “B” dell'esame di stato unificato. Lì è richiesto un numero specifico. Ma nei compiti “C” è facile.

Questa lezione fornisce esempi di risoluzione delle equazioni esponenziali più comuni. Evidenziamo i punti principali.

Consigli pratici:

1. Prima di tutto, guardiamo motivi gradi. Ci chiediamo se sia possibile realizzarli identico. Proviamo a farlo utilizzando attivamente azioni con gradi. Non dimenticare che anche i numeri senza x possono essere convertiti in potenze!

2. Cerchiamo di portare l'equazione esponenziale nella forma in cui ci sono a sinistra e a destra identico numeri in qualsiasi potenza. Usiamo azioni con gradi E fattorizzazione. Ciò che può essere contato in numeri, lo contiamo.

3. Se il secondo suggerimento non funziona, prova a utilizzare la sostituzione delle variabili. Il risultato può essere un'equazione che può essere facilmente risolta. Molto spesso - quadrato. Oppure frazionario, che si riduce anch'esso al quadrato.

4. Per risolvere con successo le equazioni esponenziali, è necessario conoscere a vista le potenze di alcuni numeri.

Come al solito, alla fine della lezione sei invitato a decidere un po'.) Da solo. Dal semplice al complesso.

Risolvere equazioni esponenziali:

Più difficile:

2x+3 - 2x+2 - 2x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Trova il prodotto delle radici:

2 3 + 2 x = 9

Ha funzionato?

Bene, allora un esempio molto complesso (anche se può essere risolto mentalmente...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Cosa c'è di più interessante? Allora ecco un cattivo esempio per te. Abbastanza allettante per la maggiore difficoltà. Lasciami suggerire che in questo esempio ciò che ti salva è l'ingegno e la regola più universale per risolvere tutti i problemi matematici.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Un esempio più semplice, per rilassarsi):

9 2 x - 4 3 x = 0

E per dessert. Trova la somma delle radici dell'equazione:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Sì, sì! Questa è un'equazione di tipo misto! Che non abbiamo considerato in questa lezione. Perché considerarli, devono essere risolti!) Questa lezione è abbastanza per risolvere l'equazione. Beh, ci vuole ingegno... E che la seconda media possa aiutarti (questo è un suggerimento!).

Risposte (in disordine, separate da punto e virgola):

1; 2; 3; 4; non ci sono soluzioni; 2; -2; -5; 4; 0.

Tutto ha successo? Grande.

Qualche problema? Nessuna domanda! La Sezione Speciale 555 risolve tutte queste equazioni esponenziali con spiegazioni dettagliate. Cosa, perché e perché. E, naturalmente, ci sono ulteriori informazioni preziose su come lavorare con tutti i tipi di equazioni esponenziali. Non solo questi.)

Un'ultima domanda divertente da considerare. In questa lezione abbiamo lavorato con equazioni esponenziali. Perché non ho detto una parola sull’ODZ qui? Nelle equazioni, questa è una cosa molto importante, comunque...

Se ti piace questo sito...

A proposito, ho un paio di altri siti interessanti per te.)

Puoi esercitarti a risolvere esempi e scoprire il tuo livello. Test con verifica immediata. Impariamo - con interesse!)

Puoi familiarizzare con funzioni e derivate.

Livello base

Equazioni esponenziali. La guida definitiva (2019)

Ciao! Oggi parleremo con voi di come risolvere le equazioni che possono essere sia elementari (e spero che dopo aver letto questo articolo, quasi tutte lo saranno per voi), sia quelle che di solito vengono date “da riempire”. A quanto pare per addormentarsi finalmente. Ma cercherò di fare tutto il possibile affinché ora non ti trovi nei guai di fronte a questo tipo di equazioni. Non voglio più giri di parole, ma ti svelo subito un piccolo segreto: oggi studieremo equazioni esponenziali.

Prima di passare ad analizzare le modalità per risolverli, ti delineerò subito una serie di domande (piuttosto piccole) che dovresti ripetere prima di affrettarti ad affrontare questo argomento. Quindi, per ottenere i migliori risultati, per favore ripetere:

1. Proprietà e
2. Soluzioni ed equazioni

Ripetuto? Sorprendente! Allora non sarà difficile per te notare che la radice dell'equazione è un numero. Capisci esattamente come ho fatto? È vero? Allora continuiamo. Ora rispondi alla mia domanda: quanto è uguale alla terza potenza? Hai assolutamente ragione: . Quale potenza di due fa otto? Esatto, il terzo! Perché. Bene, ora proviamo a risolvere il seguente problema: lasciami moltiplicare il numero per se stesso una volta e ottengo il risultato. La domanda è: quante volte mi sono moltiplicato per me stesso? Ovviamente puoi verificarlo direttamente:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( allineare)

Quindi puoi concludere che ho moltiplicato per me stesso volte. In quale altro modo puoi verificarlo? Ecco come: direttamente per definizione di laurea: . Ma, devi ammetterlo, se ti chiedessi quante volte due deve essere moltiplicato per se stesso per ottenere, diciamo, mi diresti: non mi ingannerò e non moltiplicherò per se stesso finché non diventerò blu in faccia. E avrebbe assolutamente ragione. Perché come puoi? scrivere brevemente tutti i passaggi(e la brevità è la sorella del talento)

dove - questi sono gli stessi "volte", quando moltiplichi per se stesso.

Penso che tu sappia (e se non lo sai, urgentemente, urgentissimo ripeti i gradi!) che allora il mio problema sarà scritto nella forma:

Come puoi ragionevolmente concludere che:

Quindi, inosservato, ho scritto il più semplice equazione esponenziale:

E l'ho anche trovato radice. Non pensi che sia tutto completamente banale? Penso esattamente la stessa cosa. Ecco un altro esempio per te:

Ma cosa fare? Dopotutto, non può essere scritto come potenza di un numero (ragionevole). Non disperiamo e notiamo che entrambi questi numeri sono perfettamente espressi attraverso la potenza dello stesso numero. Quale? Giusto: . Quindi l'equazione originale viene trasformata nella forma:

Dove, come hai già capito, . Non ritardiamo oltre e scriviamolo definizione:

Nel nostro caso: .

Queste equazioni si risolvono riducendole alla forma:

seguito dalla risoluzione dell'equazione

Infatti, nell'esempio precedente abbiamo fatto proprio questo: abbiamo ottenuto quanto segue: E abbiamo risolto l'equazione più semplice.

Sembra niente di complicato, vero? Facciamo prima pratica con quelli più semplici esempi:

Vediamo ancora una volta che i lati destro e sinistro dell'equazione devono essere rappresentati come potenze di un numero. È vero, a sinistra questo è già stato fatto, ma a destra c'è un numero. Ma va bene, perché la mia equazione si trasformerà miracolosamente in questa:

Cosa dovevo usare qui? Quale regola? Regola dei “gradi nei gradi” che recita:

Cosa succede se:

Prima di rispondere a questa domanda, compiliamo la seguente tabella:

È facile per noi notare che più piccolo, minore è il valore, ma tuttavia tutti questi valori sono maggiori di zero. E SARÀ SEMPRE COSÌ!!! La stessa proprietà vale PER QUALSIASI BASE CON QUALSIASI INDICATORE!! (per qualsiasi e). Allora cosa possiamo concludere riguardo all’equazione? Ecco di cosa si tratta: esso non ha radici! Proprio come qualsiasi equazione non ha radici. Ora esercitiamoci e Risolviamo semplici esempi:

Controlliamo:

1. Qui non ti verrà richiesto nulla se non la conoscenza delle proprietà dei gradi (che, tra l'altro, ti ho chiesto di ripetere!) Di regola, tutto porta alla base più piccola: , . Quindi l'equazione originale sarà equivalente alla seguente: Tutto ciò di cui ho bisogno è utilizzare le proprietà delle potenze: Quando si moltiplicano numeri con la stessa base, le potenze vengono aggiunte e quando si dividono vengono sottratte. Allora otterrò: Bene, ora con la coscienza pulita passerò dall'equazione esponenziale a quella lineare: \begin(align)
&2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
&2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(allineare)

2. Nel secondo esempio bisogna stare più attenti: il guaio è che sul lato sinistro non è possibile rappresentare lo stesso numero come una potenza. In questo caso a volte è utile rappresentano i numeri come prodotto di potenze con basi diverse, ma con gli stessi esponenti:

Il lato sinistro dell'equazione sarà: cosa ci ha dato questo? Ecco cosa: Si possono moltiplicare numeri con basi diverse ma con lo stesso esponente.In questo caso si moltiplicano le basi, ma l’indicatore non cambia:

Nella mia situazione questo darà:

\begin(allinea)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(allineare)

Non male, vero?

3. Non mi piace quando, inutilmente, ho due termini da un lato dell’equazione e nessuno dall’altro (a volte, ovviamente, questo è giustificato, ma ora non è più così). Sposterò il termine meno a destra:

Ora, come prima, scriverò tutto in termini di potenze di tre:

Aggiungo i gradi a sinistra e ottengo un'equazione equivalente

Puoi facilmente trovare la sua radice:

4. Come nell'esempio tre, il termine meno si trova a destra!

Alla mia sinistra va quasi tutto bene, tranne cosa? Sì, il “grado sbagliato” dei due mi dà fastidio. Ma posso facilmente risolvere questo problema scrivendo: . Eureka - a sinistra tutte le basi sono diverse, ma tutti i gradi sono uguali! Moltiplichiamo subito!

Anche qui è tutto chiaro: (se non capisci come ho magicamente ottenuto l'ultima uguaglianza, prenditi una pausa per un minuto, fai un respiro e rileggi le proprietà del grado con molta attenzione. Chi ha detto che puoi saltare un grado con esponente negativo? Bene, qui sono più o meno la stessa cosa di nessuno). Ora otterrò:

\begin(allinea)
& ((2)^(4\sinistra((x) -9 \destra)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(allineare)

Ecco alcuni problemi su cui esercitarsi, ai quali darò solo le risposte (ma in forma “mista”). Risolvili, controllali e tu ed io continueremo la nostra ricerca!

Pronto? Risposte in questo modo:

1. qualsiasi numero

Ok, ok, stavo scherzando! Ecco alcuni schizzi di soluzioni (alcune molto brevi!)

Non credi che non sia un caso che una frazione a sinistra sia l'altra "invertita"? Sarebbe un peccato non approfittarne:

Questa regola viene utilizzata molto spesso quando si risolvono equazioni esponenziali, ricordatela bene!

Quindi l'equazione originale diventerà così:

Risolvendo questa equazione quadratica, otterrai le seguenti radici:

2. Un'altra soluzione: dividere entrambi i membri dell'equazione per l'espressione a sinistra (o a destra). Divido per ciò che è a destra, quindi ottengo:

Dove (perché?!)

3. Non voglio nemmeno ripetermi, è già stato “masticato” tanto.

4. equivalente a un'equazione quadratica, radici

5. Devi utilizzare la formula fornita nel primo problema, quindi otterrai che:

L'equazione si è trasformata in un'identità banale che vale per chiunque. Allora la risposta è un numero reale qualsiasi.

Bene, ora ti sei esercitato a risolvere semplici equazioni esponenziali. Ora voglio darti alcuni esempi di vita che ti aiuteranno a capire perché sono necessari in linea di principio. Qui darò due esempi. Uno di questi è abbastanza quotidiano, ma l'altro è più probabile che sia di interesse scientifico piuttosto che pratico.

Esempio 1 (commerciale) Lascia che tu abbia rubli, ma vuoi trasformarlo in rubli. La banca ti offre di prelevare questi soldi da te a un tasso annuale con capitalizzazione mensile degli interessi (maturazione mensile). La domanda è: quanti mesi sono necessari per aprire un deposito per raggiungere l'importo finale richiesto? Un compito piuttosto banale, non è vero? Tuttavia, la sua soluzione è associata alla costruzione della corrispondente equazione esponenziale: Sia - l'importo iniziale, - l'importo finale, - il tasso di interesse per il periodo, - il numero di periodi. Poi:

Nel nostro caso (se la tariffa è annuale, viene calcolata mensilmente). Perché è diviso per? Se non conosci la risposta a questa domanda, ricorda l’argomento “”! Quindi otteniamo questa equazione:

Questa equazione esponenziale può già essere risolta solo con l'aiuto di una calcolatrice (il suo aspetto lo suggerisce, e questo richiede la conoscenza dei logaritmi, di cui parleremo poco dopo), ed è quello che farò: ... Quindi , per ottenere un milione bisognerà versare un contributo per un mese (non velocissimo, vero?).

Esempio 2 (piuttosto scientifico). Nonostante il suo certo “isolamento”, vi consiglio di prestargli attenzione: regolarmente “scivola all'Esame di Stato Unificato!! (il problema è tratto dalla versione “reale”) Durante il decadimento di un isotopo radioattivo la sua massa diminuisce secondo la legge, dove (mg) è la massa iniziale dell'isotopo, (min.) è il tempo trascorso dalla momento iniziale, (min.) è il tempo di dimezzamento. Nel momento iniziale, la massa dell'isotopo è mg. La sua emivita è min. Dopo quanti minuti la massa dell'isotopo sarà pari a mg? Va bene: prendiamo e sostituiamo tutti i dati nella formula che ci viene proposta:

Dividiamo entrambe le parti per "nella speranza" che a sinistra otteniamo qualcosa di digeribile:

Beh, siamo molto fortunati! È a sinistra, quindi passiamo all’equazione equivalente:

Dov'è il min.

Come puoi vedere, le equazioni esponenziali hanno applicazioni molto reali nella pratica. Ora voglio mostrarti un altro (semplice) modo per risolvere le equazioni esponenziali, che si basa sull'estrazione del fattore comune tra parentesi e quindi sul raggruppamento dei termini. Non lasciarti spaventare dalle mie parole, ti sei già imbattuto in questo metodo in seconda media quando hai studiato i polinomi. Ad esempio, se avessi bisogno di fattorizzare l'espressione:

Raggruppiamo: il primo e il terzo termine, nonché il secondo e il quarto. È chiaro che il primo e il terzo sono differenza di quadrati:

e il secondo e il quarto hanno un fattore comune pari a tre:

Quindi l'espressione originale è equivalente a questa:

Dove ricavare il fattore comune non è più difficile:

Quindi,

Questo è più o meno ciò che faremo quando risolviamo le equazioni esponenziali: cercare "comune" tra i termini e toglierlo tra parentesi, e poi - qualunque cosa accada, credo che saremo fortunati =)) Ad esempio:

A destra è ben lungi dall'essere una potenza di sette (ho controllato!) E a sinistra è un po 'meglio, puoi, ovviamente, "tagliare" il fattore a dal secondo del primo termine, e poi distribuire con quello che hai, ma cerchiamo di essere più prudenti con te. Non voglio avere a che fare con le frazioni che inevitabilmente si formano durante la "selezione", quindi non dovrei piuttosto eliminarlo? Allora non avrò frazioni: come si suol dire, i lupi sono nutriti e le pecore sono al sicuro:

Calcola l'espressione tra parentesi. Magicamente, magicamente, si scopre che (sorprendentemente, ma cos'altro dovremmo aspettarci?).

Quindi riduciamo entrambi i lati dell'equazione di questo fattore. Otteniamo: , da.

Ecco un esempio più complicato (un bel po', in realtà):

Che problema! Non abbiamo un terreno comune qui! Non è del tutto chiaro cosa fare adesso. Facciamo quello che possiamo: per prima cosa spostiamo i “quattro” da un lato e i “cinque” dall’altro:

Ora eliminiamo il "generale" a sinistra e a destra:

E adesso? Qual è il vantaggio di un gruppo così stupido? A prima vista non è affatto visibile, ma guardiamo più in profondità:

Bene, ora ci assicureremo che a sinistra ci sia solo l'espressione c, e a destra - tutto il resto. Come lo facciamo? Ecco come fare: dividi prima entrambi i lati dell'equazione per (così elimineremo l'esponente a destra), quindi dividi entrambi i lati per (così elimineremo il fattore numerico a sinistra). Infine otteniamo:

Incredibile! A sinistra abbiamo un'espressione e a destra abbiamo un'espressione semplice. Allora lo concludiamo immediatamente

Ecco un altro esempio da rafforzare:

Darò la sua breve soluzione (senza preoccuparmi troppo delle spiegazioni), cercherò di capire da solo tutte le “sottigliezze” della soluzione.

Passiamo ora al consolidamento definitivo del materiale ricoperto. Prova a risolvere tu stesso i seguenti problemi. Mi limiterò a fornire brevi consigli e suggerimenti per risolverli:

1. Togliamo il fattore comune tra parentesi: Dove:
2. Presentiamo la prima espressione nella forma: , dividiamo entrambi i lati per e otteniamo questo
3. , quindi l'equazione originale viene trasformata nella forma: Bene, ora un suggerimento: cerca dove tu ed io abbiamo già risolto questa equazione!
4. Immagina come, come, ah, beh, poi dividi entrambi i membri per, così ottieni l'equazione esponenziale più semplice.
5. Toglilo dalle parentesi.
6. Toglilo dalle parentesi.

EQUAZIONI ESPONENTARI. LIVELLO MEDIO

Presumo che dopo aver letto il primo articolo, di cui si parlava cosa sono le equazioni esponenziali e come risolverle, hai acquisito le conoscenze minime necessarie per risolvere gli esempi più semplici.

Ora esaminerò un altro metodo per risolvere le equazioni esponenziali, questo è

“metodo di introduzione di una nuova variabile” (o sostituzione). Risolve i problemi più “difficili” sul tema delle equazioni esponenziali (e non solo delle equazioni). Questo metodo è uno dei più utilizzati nella pratica. Innanzitutto, ti consiglio di familiarizzare con l'argomento.

Come hai già capito dal nome, l'essenza di questo metodo è introdurre un tale cambio di variabile che la tua equazione esponenziale si trasformerà miracolosamente in una che potrai facilmente risolvere. Tutto ciò che ti resta dopo aver risolto questa "equazione semplificata" è fare una "sostituzione inversa": cioè tornare dal sostituito al sostituito. Illustriamo quanto appena detto con un esempio molto semplice:

Esempio 1:

Questa equazione viene risolta utilizzando una “semplice sostituzione”, come la chiamano sprezzantemente i matematici. In effetti, la sostituzione qui è la più ovvia. Basta vederlo

Quindi l'equazione originale si trasformerà in questa:

Se immaginiamo anche come, allora è assolutamente chiaro cosa deve essere sostituito: ovviamente . Quale diventa allora l’equazione originale? Ecco cosa:

Puoi facilmente trovare le sue radici da solo: . Cosa dovremmo fare adesso? È ora di tornare alla variabile originale. Cosa ho dimenticato di menzionare? Vale a dire: quando sostituisco un certo grado con una nuova variabile (cioè quando sostituisco un tipo), mi interesserà solo radici positive! Tu stesso puoi facilmente rispondere al perché. Quindi, tu ed io non siamo interessati, ma la seconda radice è abbastanza adatta a noi:

Allora da dove?

Risposta:

Come puoi vedere, nell'esempio precedente, un sostituto chiedeva semplicemente la nostra mano. Sfortunatamente, non è sempre così. Tuttavia, non passiamo direttamente alle cose tristi, ma facciamo pratica con un altro esempio con una sostituzione abbastanza semplice

Esempio 2.

È chiaro che molto probabilmente dovremo fare una sostituzione (questa è la più piccola delle potenze comprese nella nostra equazione), ma prima di introdurre una sostituzione, la nostra equazione deve essere “preparata” per essa, vale a dire: , . Quindi puoi sostituire, di conseguenza ottengo la seguente espressione:

Oh, orrore: un'equazione cubica con formule assolutamente terribili per risolverla (beh, parlando in termini generali). Ma non disperiamo subito, ma pensiamo a cosa dovremmo fare. Suggerirò di imbrogliare: sappiamo che per ottenere una risposta “bella”, dobbiamo ottenerla sotto forma di una potenza di tre (perché dovrebbe essere, eh?). Proviamo a indovinare almeno una radice della nostra equazione (inizierò a indovinare con potenze di tre).

Prima ipotesi. Non una radice. Ahimè e ah...

.
Il lato sinistro è uguale.
Lato destro: !
Mangiare! Indovinato la prima radice. Adesso le cose diventeranno più facili!

Conoscete lo schema di divisione “ad angolo”? Certo che sì, lo usi quando dividi un numero per un altro. Ma pochi sanno che lo stesso si può fare con i polinomi. C'è un teorema meraviglioso:

Applicando alla mia situazione, questo mi dice che è divisibile senza resto per. Come viene effettuata la divisione? Ecco come:

Guardo per quale monomio dovrei moltiplicare per ottenere Chiaramente, quindi:

Sottraggo l'espressione risultante da, ottengo:

Ora, per cosa devo moltiplicare per ottenere? È chiaro che su, quindi otterrò:

e sottrai nuovamente l'espressione risultante da quella rimanente:

Bene, l'ultimo passo è moltiplicare e sottrarre l'espressione rimanente:

Evviva, la divisione è finita! Cosa abbiamo accumulato in privato? Ovviamente: .

Quindi abbiamo ottenuto la seguente espansione del polinomio originale:

Risolviamo la seconda equazione:

Ha radici:

Quindi l'equazione originale:

ha tre radici:

Naturalmente scarteremo l'ultima radice, poiché è minore di zero. E i primi due dopo la sostituzione inversa ci daranno due radici:

Risposta: ..

Con questo esempio non volevo affatto spaventarvi; il mio obiettivo era piuttosto dimostrare che, sebbene avessimo una sostituzione abbastanza semplice, essa ha comunque portato ad un'equazione piuttosto complessa, la cui soluzione ha richiesto da parte nostra alcune competenze particolari. Ebbene, nessuno ne è immune. Ma la sostituzione in questo caso era abbastanza ovvia.

Ecco un esempio con una sostituzione leggermente meno ovvia:

Non è affatto chiaro cosa dovremmo fare: il problema è che nella nostra equazione ci sono due basi diverse e una base non può essere ottenuta dall'altra elevandola a qualsiasi potenza (ragionevole, naturalmente). Tuttavia, cosa vediamo? Entrambe le basi differiscono solo nel segno, e il loro prodotto è la differenza di quadrati uguali a uno:

Definizione:

Pertanto, i numeri che sono le basi nel nostro esempio sono coniugati.

In questo caso, il passo intelligente sarebbe moltiplicare entrambi i membri dell'equazione per il numero coniugato.

Ad esempio, su, il lato sinistro dell'equazione diventerà uguale a e quello destro. Se effettuiamo una sostituzione, la nostra equazione originale diventerà così:

le sue radici, quindi, e ricordandolo, lo capiamo.

Risposta: , .

Di norma, il metodo di sostituzione è sufficiente per risolvere la maggior parte delle equazioni esponenziali “scolastiche”. I seguenti compiti sono tratti dall'Esame di Stato Unificato C1 (livello di difficoltà maggiore). Sei già abbastanza alfabetizzato per risolvere questi esempi da solo. Fornirò solo la sostituzione richiesta.

1. Risolvi l'equazione:
2. Trova le radici dell'equazione:
3. Risolvi l'equazione: . Trova tutte le radici di questa equazione che appartengono al segmento:

E ora alcune brevi spiegazioni e risposte:

1. Qui ci basti notare che... Quindi l'equazione originale sarà equivalente a questa: Questa equazione può essere risolta sostituendo Esegui tu stesso gli ulteriori calcoli. Alla fine, il tuo compito si ridurrà alla risoluzione di semplici problemi trigonometrici (a seconda del seno o del coseno). Esamineremo le soluzioni ad esempi simili in altre sezioni.
2. Qui puoi anche fare a meno della sostituzione: basta spostare il sottraendo a destra e rappresentare entrambe le basi tramite potenze di due: , e poi passare direttamente all'equazione quadratica.
3. Anche la terza equazione è risolta in modo abbastanza standard: immaginiamo come. Quindi, sostituendo, otteniamo un'equazione quadratica: quindi,

   Sai già cos'è un logaritmo, vero? NO? Allora leggi urgentemente l'argomento!

   La prima radice ovviamente non appartiene al segmento, ma la seconda non è chiara! Ma lo scopriremo molto presto! Poiché allora (questa è una proprietà del logaritmo!) confrontiamo:

   Sottraiamo da entrambi i lati, quindi otteniamo:

   Il lato sinistro può essere rappresentato come:

   moltiplicare entrambi i membri per:

   può essere moltiplicato per, quindi

   Quindi confrontare:

   da allora:

   Quindi la seconda radice appartiene all'intervallo richiesto

   Risposta:

Come potete vedere, la selezione delle radici delle equazioni esponenziali richiede una conoscenza abbastanza approfondita delle proprietà dei logaritmi, quindi ti consiglio di stare il più attento possibile quando risolvi le equazioni esponenziali. Come hai capito, in matematica tutto è interconnesso! Come ha detto il mio insegnante di matematica: “la matematica, come la storia, non può essere letta dall’oggi al domani”.

Di regola, tutto La difficoltà nel risolvere i problemi C1 è proprio la scelta delle radici dell'equazione. Facciamo pratica con un altro esempio:

È chiaro che l'equazione stessa è risolta in modo abbastanza semplice. Effettuando una sostituzione riduciamo la nostra equazione originale alla seguente:

Per prima cosa diamo un'occhiata alla prima radice. Confrontiamo e: da allora. (proprietà di una funzione logaritmica, a). Allora è chiaro che la prima radice non appartiene al nostro intervallo. Ora la seconda radice: . È chiaro che (poiché la funzione at è crescente). Resta da confrontare e...

da allora, allo stesso tempo. In questo modo posso “piantare un piolo” tra e. Questo piolo è un numero. La prima espressione è minore e la seconda è maggiore. Allora la seconda espressione è maggiore della prima e la fondamentale appartiene all'intervallo.

Risposta: .

Infine, diamo un'occhiata a un altro esempio di equazione in cui la sostituzione è del tutto non standard:

Cominciamo subito con cosa si può fare e cosa, in linea di principio, si può fare, ma è meglio non farlo. Puoi immaginare tutto attraverso i poteri di tre, due e sei. A cosa porterà questo? Non porterà a nulla: un’accozzaglia di lauree, alcune delle quali sarà piuttosto difficile liberarsi. Cosa serve allora? Notiamo che a E questo cosa ci darà? E il fatto che possiamo ridurre la soluzione di questo esempio alla soluzione di un'equazione esponenziale abbastanza semplice! Innanzitutto, riscriviamo la nostra equazione come:

Ora dividiamo entrambi i membri dell'equazione risultante per:

Eureka! Ora possiamo sostituire, otteniamo:

Bene, ora tocca a te risolvere i problemi dimostrativi, e li darò solo brevi commenti in modo che tu non vada fuori strada! Buona fortuna!

1. Il più difficile! È così difficile vedere un sostituto qui! Tuttavia, questo esempio può essere completamente risolto utilizzando evidenziando un quadrato completo. Per risolverlo è sufficiente notare che:

Allora ecco il tuo sostituto:

(Tieni presente che qui durante la nostra sostituzione non possiamo scartare la radice negativa!!! Secondo te perché?)

Ora per risolvere l'esempio devi solo risolvere due equazioni:

Entrambi possono essere risolti con una “sostituzione standard” (ma la seconda in un esempio!)

2. Notarlo ed effettuare una sostituzione.

3. Scomponi il numero in fattori coprimi e semplifica l'espressione risultante.

4. Dividi il numeratore e il denominatore della frazione per (o, se preferisci) ed effettua la sostituzione o.

5. Notare che i numeri e sono coniugati.

EQUAZIONI ESPONENTARI. LIVELLO AVANZATO

Inoltre, esaminiamo un altro modo: Risoluzione di equazioni esponenziali utilizzando il metodo dei logaritmi. Non posso dire che risolvere equazioni esponenziali utilizzando questo metodo sia molto popolare, ma solo in alcuni casi può portarci alla soluzione corretta della nostra equazione. Viene spesso utilizzato soprattutto per risolvere i cosiddetti “ equazioni miste": cioè quelli in cui si verificano funzioni di diverso tipo.

Ad esempio, un'equazione della forma:

nel caso generale, può essere risolto solo prendendo i logaritmi di entrambi i membri (ad esempio, alla base), in cui l'equazione originale diventerà la seguente:

Diamo un'occhiata al seguente esempio:

È chiaro che secondo l'ODZ della funzione logaritmica a noi interessa solo. Ciò però non deriva solo dall'ODZ del logaritmo, ma anche da un'altra ragione. Penso che non sarà difficile per te indovinare quale sia.

Prendiamo alla base il logaritmo di entrambi i lati della nostra equazione:

Come puoi vedere, prendere il logaritmo della nostra equazione originale ci ha portato rapidamente alla risposta corretta (e bellissima!). Facciamo pratica con un altro esempio:

Anche qui non c'è niente di sbagliato: prendiamo alla base il logaritmo di entrambi i lati dell'equazione, quindi otteniamo:

Facciamo una sostituzione:

Tuttavia, ci è sfuggito qualcosa! Hai notato dove ho fatto un errore? Dopotutto, quindi:

che non soddisfa il requisito (pensa da dove arriva!)

Risposta:

Prova a scrivere la soluzione delle equazioni esponenziali seguenti:

Ora confronta la tua decisione con questa:

1. Logaritmiamo entrambi i membri alla base, tenendo conto che:

(la seconda radice non è adatta a noi a causa della sostituzione)

2. Logaritmo alla base:

Trasformiamo l'espressione risultante nella seguente forma:

EQUAZIONI ESPONENTARI. BREVE DESCRIZIONE E FORMULE BASE

Equazione esponenziale

Equazione della forma:

chiamato l'equazione esponenziale più semplice.

Proprietà dei gradi

Approcci alla soluzione

• Riduzione sulla stessa base
• Riduzione allo stesso esponente
• Sostituzione variabile
• Semplificando l'espressione e applicando una delle precedenti.

Questa lezione è destinata a coloro che stanno appena iniziando a imparare le equazioni esponenziali. Come sempre, iniziamo con la definizione e semplici esempi.

Se stai leggendo questa lezione, sospetto che tu abbia già almeno una conoscenza minima delle equazioni più semplici: lineari e quadratiche: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, ecc. Riuscire a risolvere tali costruzioni è assolutamente necessario per non “rimanere intrappolati” nell'argomento che ora verrà trattato.

Quindi, equazioni esponenziali. Lascia che ti faccia un paio di esempi:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Alcuni di essi potrebbero sembrarti più complessi, mentre altri, al contrario, sono troppo semplici. Ma hanno tutti una caratteristica importante in comune: la loro notazione contiene la funzione esponenziale $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Introduciamo quindi la definizione:

Un'equazione esponenziale è qualsiasi equazione contenente una funzione esponenziale, cioè espressione della forma $((a)^(x))$. Oltre alla funzione specificata, tali equazioni possono contenere qualsiasi altra costruzione algebrica: polinomi, radici, trigonometria, logaritmi, ecc.

OK allora. Abbiamo chiarito la definizione. Ora la domanda è: come risolvere tutto questo schifo? La risposta è allo stesso tempo semplice e complessa.

Cominciamo con la buona notizia: dalla mia esperienza di insegnamento a molti studenti, posso dire che la maggior parte di loro trova le equazioni esponenziali molto più facili degli stessi logaritmi, e ancor di più la trigonometria.

Ma c'è una brutta notizia: a volte i compilatori di problemi per tutti i tipi di libri di testo ed esami sono colpiti da "ispirazione" e il loro cervello infiammato dalla droga inizia a produrre equazioni così brutali che risolverle diventa problematico non solo per gli studenti, ma anche per molti insegnanti. rimanere bloccato su tali problemi.

Tuttavia non parliamo di cose tristi. E torniamo a quelle tre equazioni fornite all'inizio della storia. Proviamo a risolverli ciascuno.

Prima equazione: $((2)^(x))=4$. Bene, a quale potenza devi elevare il numero 2 per ottenere il numero 4? Probabilmente il secondo? Dopotutto, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - e abbiamo ottenuto l'uguaglianza numerica corretta, ovvero infatti $x=2$. Bene, grazie, Cap, ma questa equazione era così semplice che persino il mio gatto poteva risolverla :).

Consideriamo la seguente equazione:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Ma qui è un po’ più complicato. Molti studenti sanno che $((5)^(2))=25$ è la tavola pitagorica. Alcuni sospettano anche che $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ sia essenzialmente la definizione di poteri negativi (simile alla formula $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Infine, solo pochi eletti si rendono conto che questi fatti possono essere combinati e produrre il seguente risultato:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Pertanto, la nostra equazione originale verrà riscritta come segue:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Freccia destra ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ma questo è già completamente risolvibile! A sinistra nell'equazione c'è una funzione esponenziale, a destra nell'equazione c'è una funzione esponenziale, non c'è nient'altro da nessuna parte tranne loro. Pertanto, possiamo “scartare” le basi e stupidamente equiparare gli indicatori:

Abbiamo ottenuto l'equazione lineare più semplice che qualsiasi studente può risolvere in appena un paio di righe. Ok, in quattro righe:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Se non capisci cosa è successo nelle ultime quattro righe, assicurati di tornare all'argomento "equazioni lineari" e ripeterlo. Perché senza una chiara comprensione di questo argomento, è troppo presto per affrontare le equazioni esponenziali.

\[((9)^(x))=-3\]

Allora come possiamo risolvere questo problema? Primo pensiero: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, quindi l'equazione originale può essere riscritta come segue:

\[((\sinistra(((3)^(2)) \destra))^(x))=-3\]

Ricordiamo poi che quando si eleva una potenza a potenza si moltiplicano gli esponenti:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

E per tale decisione ne riceveremo due onestamente meritati. Infatti, con l'equanimità di un Pokemon, abbiamo portato il segno meno davanti al tre alla potenza di questo stesso tre. Ma non puoi farlo. Ed ecco perché. Dai un'occhiata ai diversi poteri di tre:

\[\begin(matrice) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrice)\]

Nel compilare questa tavoletta non ho pervertito nulla: ho guardato le potenze positive, quelle negative e anche quelle frazionarie... beh, dov'è qui almeno un numero negativo? Se n'è andato! E non può essere, perché la funzione esponenziale $y=((a)^(x))$, in primo luogo, assume sempre solo valori positivi (non importa quanto uno venga moltiplicato o diviso per due, sarà comunque un numero positivo) e in secondo luogo, la base di tale funzione - il numero $a$ - è per definizione un numero positivo!

Bene, come risolvere allora l'equazione $((9)^(x))=-3$? Ma assolutamente no: non ci sono radici. E in questo senso, le equazioni esponenziali sono molto simili alle equazioni quadratiche: potrebbero anche non esserci radici. Ma se nelle equazioni quadratiche il numero di radici è determinato dal discriminante (discriminante positivo - 2 radici, negativo - nessuna radice), allora nelle equazioni esponenziali tutto dipende da ciò che si trova a destra del segno uguale.

Formuliamo quindi la conclusione chiave: l'equazione esponenziale più semplice della forma $((a)^(x))=b$ ha una radice se e solo se $b>0$. Conoscendo questo semplice fatto, puoi facilmente determinare se l'equazione che ti viene proposta ha radici o meno. Quelli. Vale la pena risolverlo o scrivere immediatamente che non ci sono radici.

Questa conoscenza ci aiuterà molte volte quando dovremo risolvere problemi più complessi. Per ora basta con i testi: è tempo di studiare l'algoritmo di base per risolvere le equazioni esponenziali.

Come risolvere le equazioni esponenziali

Quindi, formuliamo il problema. È necessario risolvere l'equazione esponenziale:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Secondo l’algoritmo “ingenuo” che abbiamo utilizzato in precedenza, è necessario rappresentare il numero $b$ come una potenza del numero $a$:

Inoltre, se al posto della variabile $x$ c'è qualche espressione, otterremo una nuova equazione che può già essere risolta. Per esempio:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Freccia destra ((3)^(-x))=((3)^(4))\Freccia destra -x=4\Freccia destra x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Freccia destra ((5)^(2x))=((5)^(3))\Freccia destra 2x=3\Freccia destra x=\frac(3)( 2). \\\fine(allinea)\]

E stranamente, questo schema funziona in circa il 90% dei casi. E che dire allora del restante 10%? Il restante 10% sono equazioni esponenziali leggermente “schizofreniche” nella forma:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Bene, a quale potenza devi aumentare 2 per ottenere 3? Primo? Ma no: $((2)^(1))=2$ non è sufficiente. Secondo? No neanche: $((2)^(2))=4$ è troppo. Quale allora?

Gli studenti esperti probabilmente hanno già intuito: in questi casi, quando non è possibile risolverlo “magnificamente”, entra in gioco l'“artiglieria pesante” - i logaritmi. Permettimi di ricordarti che usando i logaritmi, qualsiasi numero positivo può essere rappresentato come una potenza di qualsiasi altro numero positivo (tranne uno):

Ricordi questa formula? Quando parlo dei logaritmi ai miei studenti, avverto sempre: questa formula (è anche l'identità logaritmica principale o, se preferite, la definizione di logaritmo) vi perseguiterà per molto tempo e “apparirà” nei momenti più difficili. luoghi inaspettati. Bene, è emersa. Diamo un'occhiata alla nostra equazione e a questa formula:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Se assumiamo che $a=3$ sia il nostro numero originale a destra, e $b=2$ sia la base stessa della funzione esponenziale a cui vogliamo ridurre il membro di destra, otteniamo quanto segue:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Freccia destra ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Freccia destra x=( (\log )_(2))3. \\\fine(allinea)\]

Abbiamo ricevuto una risposta un po' strana: $x=((\log )_(2))3$. In qualche altro compito, molti avrebbero dei dubbi su una risposta del genere e inizierebbero a ricontrollare la loro soluzione: e se si fosse insinuato un errore da qualche parte? Mi affretto a farti piacere: qui non ci sono errori e i logaritmi nelle radici delle equazioni esponenziali sono una situazione del tutto tipica. Quindi abituati. :)

Ora risolviamo le restanti due equazioni per analogia:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Freccia Destra x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Freccia destra ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Freccia destra 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\fine(allinea)\]

Questo è tutto! A proposito, l'ultima risposta può essere scritta diversamente:

Abbiamo introdotto un fattore nell'argomentazione del logaritmo. Ma nessuno ci impedisce di aggiungere alla base questo fattore:

Inoltre, tutte e tre le opzioni sono corrette: sono solo forme diverse di scrivere lo stesso numero. Quale scegliere e annotare in questa soluzione spetta a te decidere.

Pertanto, abbiamo imparato a risolvere qualsiasi equazione esponenziale della forma $((a)^(x))=b$, dove i numeri $a$ e $b$ sono strettamente positivi. Tuttavia, la dura realtà del nostro mondo è che compiti così semplici si incontreranno molto, molto raramente. Molto spesso ti imbatterai in qualcosa del genere:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allinea)\]

Allora come possiamo risolvere questo problema? È possibile risolvere tutto questo? E se sì, come?

Niente panico. Tutte queste equazioni si riducono rapidamente e facilmente alle semplici formule che abbiamo già considerato. Devi solo ricordare un paio di trucchi del corso di algebra. E, naturalmente, non ci sono regole per lavorare con i titoli di studio. Ti racconto tutto questo adesso :)

Conversione di equazioni esponenziali

La prima cosa da ricordare: qualsiasi equazione esponenziale, non importa quanto complessa possa essere, in un modo o nell'altro deve essere ridotta alle equazioni più semplici, quelle che abbiamo già considerato e che sappiamo come risolvere. In altre parole, lo schema per risolvere qualsiasi equazione esponenziale è simile al seguente:

1. Scrivi l'equazione originale. Ad esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Fai delle cose strane. O anche qualche schifezza chiamata "converti un'equazione";
3. All'output, ottieni le espressioni più semplici della forma $((4)^(x))=4$ o qualcosa del genere. Inoltre, un'equazione iniziale può fornire diverse espressioni simili contemporaneamente.

Con il primo punto tutto è chiaro: anche il mio gatto può scrivere l'equazione su un pezzo di carta. Anche il terzo punto sembra essere più o meno chiaro: abbiamo già risolto un sacco di equazioni simili sopra.

Ma che dire del secondo punto? Che tipo di trasformazioni? Convertire cosa in cosa? E come?

Bene, scopriamolo. Innanzitutto vorrei sottolineare quanto segue. Tutte le equazioni esponenziali sono divise in due tipi:

1. L'equazione è composta da funzioni esponenziali con la stessa base. Esempio: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. La formula contiene funzioni esponenziali con basi diverse. Esempi: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ e $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.

Cominciamo con le equazioni del primo tipo: sono le più facili da risolvere. E nel risolverli, saremo aiutati da una tecnica come l'evidenziazione delle espressioni stabili.

Isolare un'espressione stabile

Consideriamo nuovamente questa equazione:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Cosa vediamo? I quattro sono elevati a livelli diversi. Ma tutte queste potenze sono semplici somme della variabile $x$ con altri numeri. Pertanto, è necessario ricordare le regole per lavorare con i titoli di studio:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\fine(allinea)\]

In poche parole, l'addizione può essere convertita in un prodotto di potenze e la sottrazione può essere facilmente convertita in divisione. Proviamo ad applicare queste formule ai gradi della nostra equazione:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(allinea)\]

Riscriviamo l'equazione originale tenendo conto di questo fatto, e poi raccogliamo tutti i termini a sinistra:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\fine(allinea)\]

I primi quattro termini contengono l'elemento $((4)^(x))$ - estraiamolo dalla parentesi:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\fine(allinea)\]

Resta da dividere entrambi i membri dell'equazione per la frazione $-\frac(11)(4)$, cioè essenzialmente moltiplicare per la frazione invertita - $-\frac(4)(11)$. Otteniamo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\fine(allinea)\]

Questo è tutto! Abbiamo ridotto l'equazione originale alla sua forma più semplice e ottenuto la risposta finale.

Allo stesso tempo, durante il processo di risoluzione, abbiamo scoperto (e persino rimosso dalla parentesi) il fattore comune $((4)^(x))$: questa è un'espressione stabile. Può essere designato come una nuova variabile oppure puoi semplicemente esprimerlo attentamente e ottenere la risposta. In ogni caso, il principio chiave della soluzione è il seguente:

Trova nell'equazione originale un'espressione stabile contenente una variabile facilmente distinguibile da tutte le funzioni esponenziali.

La buona notizia è che quasi tutte le equazioni esponenziali consentono di isolare un'espressione così stabile.

Ma la cattiva notizia è che queste espressioni possono essere piuttosto complicate e difficili da identificare. Consideriamo quindi un altro problema:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Forse qualcuno ora avrà una domanda: “Pascià, sei lapidato? Ci sono basi diverse qui: 5 e 0,2. " Ma proviamo a convertire la potenza in base 0,2. Ad esempio, eliminiamo la frazione decimale riducendola a una frazione normale:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10 ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Come puoi vedere, il numero 5 appariva ancora, anche se al denominatore. Allo stesso tempo, l'indicatore è stato riscritto in negativo. Ora ricordiamo una delle regole più importanti per lavorare con i titoli di studio:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Qui, ovviamente, stavo mentendo un po'. Perché per una comprensione completa, la formula per eliminare gli indicatori negativi doveva essere scritta in questo modo:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Freccia destra ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ destra))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

D’altronde nulla ci ha impedito di lavorare solo con le frazioni:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ destra))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Ma in questo caso bisogna essere in grado di elevare un potere a un altro potere (ti ricordo: in questo caso gli indicatori si sommano). Ma non ho dovuto "invertire" le frazioni, forse per alcuni sarà più facile :).

In ogni caso, l’equazione esponenziale originale verrà riscritta come:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\fine(allinea)\]

Quindi si scopre che l'equazione originale può essere risolta in modo ancora più semplice di quella precedentemente considerata: qui non è nemmeno necessario selezionare un'espressione stabile: tutto si è ridotto da solo. Resta solo da ricordare che $1=((5)^(0))$, da cui si ottiene:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\fine(allinea)\]

Questa è la soluzione! Abbiamo la risposta finale: $x=-2$. Allo stesso tempo, vorrei sottolineare una tecnica che ha semplificato notevolmente tutti i calcoli per noi:

Nelle equazioni esponenziali, assicurati di eliminare le frazioni decimali e convertirle in frazioni ordinarie. Questo ti permetterà di vedere le stesse basi dei gradi e semplificherà notevolmente la soluzione.

Passiamo ora ad equazioni più complesse in cui esistono basi diverse che non possono essere ridotte l'una all'altra utilizzando potenze.

Utilizzo della proprietà Degrees

Permettetemi di ricordarvi che abbiamo due equazioni più particolarmente dure:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\fine(allinea)\]

La difficoltà principale qui è che non è chiaro cosa dare e su quale base. Dove sono le espressioni stabili? Dove sono gli stessi motivi? Non c'è niente di tutto questo.

Ma proviamo ad andare in una direzione diversa. Se non ci sono basi identiche già pronte, puoi provare a trovarle fattorizzando le basi esistenti.

Cominciamo con la prima equazione:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\fine(allinea)\]

Ma puoi fare il contrario: creare il numero 21 dai numeri 7 e 3. Questo è particolarmente facile da fare a sinistra, poiché gli indicatori di entrambi i gradi sono gli stessi:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\fine(allinea)\]

Questo è tutto! Hai preso l'esponente esterno al prodotto e hai subito ottenuto una bellissima equazione che può essere risolta in un paio di righe.

Consideriamo ora la seconda equazione. Qui è tutto molto più complicato:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

In questo caso, le frazioni si sono rivelate irriducibili, ma se qualcosa può essere ridotto, assicurati di ridurlo. Spesso appariranno ragioni interessanti con le quali puoi già lavorare.

Sfortunatamente, per noi non è apparso nulla di speciale. Ma vediamo che gli esponenti a sinistra nel prodotto sono opposti:

Lascia che te lo ricordi: per eliminare il segno meno nell'indicatore, devi solo "capovolgere" la frazione. Bene, riscriviamo l'equazione originale:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\fine(allinea)\]

Nella seconda riga, abbiamo semplicemente tolto l'esponente totale dal prodotto dalla parentesi secondo la regola $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a \cdot b \right))^ (x))$, e nell'ultimo hanno semplicemente moltiplicato il numero 100 per una frazione.

Ora nota che i numeri a sinistra (alla base) e a destra sono in qualche modo simili. Come? Sì, è ovvio: sono potenze dello stesso numero! Abbiamo:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \right))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \right))^(2)). \\\fine(allinea)\]

Pertanto la nostra equazione verrà riscritta come segue:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3 )(10)\destra))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10 )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

In questo caso a destra si può ottenere anche una laurea con la stessa base, per la quale basta semplicemente “girare” la frazione:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

La nostra equazione assumerà infine la forma:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\fine(allinea)\]

Questa è la soluzione. La sua idea principale si riduce al fatto che anche con basi diverse, cerchiamo, con le buone o con le cattive, di ridurle alla stessa cosa. Trasformazioni elementari di equazioni e regole per lavorare con le potenze ci aiutano in questo.

Ma quali regole e quando utilizzarlo? Come capisci che in un'equazione devi dividere entrambi i lati per qualcosa e in un'altra devi fattorizzare la base della funzione esponenziale?

La risposta a questa domanda arriverà con l’esperienza. Prova prima a eseguire semplici equazioni, quindi complica gradualmente i problemi e molto presto le tue capacità saranno sufficienti per risolvere qualsiasi equazione esponenziale dallo stesso esame di stato unificato o qualsiasi lavoro indipendente/di prova.

E per aiutarti in questo difficile compito, ti suggerisco di scaricare una serie di equazioni dal mio sito web per risolverlo da solo. Tutte le equazioni hanno una risposta, quindi puoi sempre metterti alla prova.