Passeremo ora all'apertura delle parentesi nelle espressioni in cui l'espressione tra parentesi viene moltiplicata per un numero o un'espressione. Formuliamo una regola per aprire le parentesi precedute da un segno meno: le parentesi insieme al segno meno vengono omesse, e i segni di tutti i termini tra parentesi vengono sostituiti con quelli opposti.

Un tipo di trasformazione dell'espressione è l'espansione delle parentesi. Le espressioni numeriche, letterali e variabili possono essere scritte utilizzando parentesi, che possono indicare l'ordine delle azioni, contenere un numero negativo, ecc. Supponiamo che nelle espressioni sopra descritte, invece di numeri e variabili, possano esserci espressioni.

E prestiamo attenzione a un altro punto riguardante le peculiarità della scrittura di una soluzione quando si aprono le parentesi. Nel paragrafo precedente ci siamo occupati delle cosiddette parentesi aperte. Per fare ciò, esistono regole per l'apertura delle parentesi, che ora esamineremo. Questa regola è dettata dal fatto che i numeri positivi vengono solitamente scritti senza parentesi, in questo caso le parentesi non sono necessarie; L'espressione (−3.7)−(−2)+4+(−9) può essere scritta senza parentesi come −3.7+2+4−9.

Infine, la terza parte della regola è dovuta semplicemente alla particolarità di scrivere i numeri negativi a sinistra nell'espressione (di cui abbiamo parlato nella sezione relativa alle parentesi per scrivere i numeri negativi). Potresti incontrare espressioni composte da un numero, segni meno e diverse coppie di parentesi. Se apri le parentesi, passando dall'interno all'esterno, la soluzione sarà la seguente: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Come aprire le parentesi?

Ecco una spiegazione: −(−2 x) è +2 x e poiché questa espressione viene prima, +2 x può essere scritto come 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x e −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. La prima parte della regola scritta per aprire le parentesi deriva direttamente dalla regola per moltiplicare i numeri negativi. La sua seconda parte è una conseguenza della regola per moltiplicare i numeri con segni diversi. Passiamo agli esempi di apertura di parentesi nei prodotti e quozienti di due numeri con segni diversi.

Parentesi di apertura: regole, esempi, soluzioni.

La regola di cui sopra tiene conto dell'intera catena di queste azioni e accelera notevolmente il processo di apertura delle parentesi. La stessa regola consente di aprire parentesi nelle espressioni che sono prodotti ed espressioni parziali con un segno meno che non sono somme e differenze.

Diamo un'occhiata agli esempi di applicazione di questa regola. Diamo la regola corrispondente. Sopra abbiamo già incontrato espressioni della forma −(a) e −(−a), che senza parentesi si scrivono rispettivamente come −a e a. Ad esempio, −(3)=3 e. Questi sono casi speciali della regola stabilita. Ora diamo un'occhiata agli esempi di apertura delle parentesi quando contengono somme o differenze. Mostriamo esempi di utilizzo di questa regola. Indichiamo l'espressione (b1+b2) come b, dopodiché usiamo la regola di moltiplicare la parentesi per l'espressione del paragrafo precedente, abbiamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Per induzione, questa affermazione può essere estesa a un numero arbitrario di termini in ciascuna parentesi. Resta da aprire le parentesi nell'espressione risultante, utilizzando le regole dei paragrafi precedenti, alla fine otteniamo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

La regola in matematica è aprire le parentesi se ci sono (+) e (-) prima delle parentesi.

Questa espressione è il prodotto di tre fattori (2+4), 3 e (5+7·8). Dovrai aprire le parentesi in sequenza. Ora usiamo la regola per moltiplicare una parentesi per un numero, abbiamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). I gradi, le cui basi sono alcune espressioni scritte tra parentesi, con esponenti naturali, possono essere considerati come il prodotto di più parentesi.

Ad esempio, trasformiamo l'espressione (a+b+c)2. Per prima cosa lo scriviamo come prodotto di due parentesi (a+b+c)·(a+b+c), ora moltiplichiamo una parentesi per una parentesi, otteniamo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Diremo anche che per elevare a potenza naturale le somme e le differenze di due numeri è consigliabile utilizzare la formula binomiale di Newton. Ad esempio, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Non è meno conveniente sostituire prima la divisione con la moltiplicazione, quindi utilizzare la regola corrispondente per aprire le parentesi nel prodotto.

Resta da capire l'ordine di apertura delle parentesi utilizzando gli esempi. Prendiamo l'espressione (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Sostituiamo questi risultati nell'espressione originale: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7). Non resta che finire di aprire le parentesi, di conseguenza abbiamo −5+3·2:4+6·7. Ciò significa che quando ci si sposta dal lato sinistro dell'uguaglianza a destra, si verifica l'apertura delle parentesi.

Nota che in tutti e tre gli esempi abbiamo semplicemente rimosso le parentesi. Per prima cosa aggiungi 445 a 889. Questa azione può essere eseguita mentalmente, ma non è molto semplice. Apriamo le parentesi e vediamo che la procedura modificata semplificherà notevolmente i calcoli.

Come espandere le parentesi ad un altro grado

Esempio e regola illustrativi. Consideriamo un esempio: . Puoi trovare il valore di un'espressione sommando 2 e 5, quindi prendendo il numero risultante con il segno opposto. La regola non cambia se tra parentesi non ci sono due, ma tre o più termini. Commento. I segni sono invertiti solo davanti ai termini. Per aprire le parentesi occorre in questo caso ricordare la proprietà distributiva.

Per i singoli numeri tra parentesi

Il tuo errore non è nei segni, ma nella gestione errata delle frazioni? In prima media abbiamo imparato a conoscere i numeri positivi e negativi. Come risolveremo esempi ed equazioni?

Quanto c'è tra parentesi? Cosa puoi dire di queste espressioni? Naturalmente, il risultato del primo e del secondo esempio è lo stesso, il che significa che possiamo mettere un segno di uguale tra loro: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Cosa abbiamo fatto con le parentesi?

Dimostrazione della diapositiva 6 con regole per l'apertura delle parentesi. Pertanto, le regole per aprire le parentesi ci aiuteranno a risolvere esempi e semplificare le espressioni. Successivamente, agli studenti viene chiesto di lavorare in coppia: devono utilizzare le frecce per collegare l'espressione contenente parentesi con la corrispondente espressione senza parentesi.

Diapositiva 11 Una volta a Sunny City, Znayka e Dunno hanno discusso su chi di loro avesse risolto correttamente l'equazione. Successivamente, gli studenti risolvono l'equazione da soli utilizzando le regole per l'apertura delle parentesi. Risoluzione di equazioni” Obiettivi della lezione: formativi (rafforzamento delle conoscenze sull'argomento: “Apertura di parentesi.

Argomento della lezione: “Apertura di parentesi. In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Per prima cosa vengono presi i primi due fattori, racchiusi in un'altra parentesi, e all'interno di queste parentesi le parentesi vengono aperte secondo una delle regole già note.

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Parentesi di apertura: regole ed esempi (grado 7)

La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori espressioni numeriche . Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Tuttavia, se abbiamo a che fare con espressione algebrica contenente variabile- ad esempio, in questo modo: \(2(x-3)\) - allora è impossibile calcolare il valore tra parentesi, la variabile è d'intralcio. Pertanto, in questo caso, le parentesi vengono “aperte” utilizzando le apposite regole.

Regole per aprire le parentesi

Se c'è un segno più davanti alla parentesi, la parentesi viene semplicemente rimossa, l'espressione in essa contenuta rimane invariata. In altre parole:

Qui è necessario chiarire che in matematica, per abbreviare le notazioni, è consuetudine non scrivere il segno più se compare per primo nell'espressione. Ad esempio, se sommiamo due numeri positivi, ad esempio sette e tre, allora non scriviamo \(+7+3\), ma semplicemente \(7+3\), nonostante anche sette sia un numero positivo . Allo stesso modo, se vedi, ad esempio, l'espressione \((5+x)\), sappilo prima della parentesi c'è un più, che non è scritto.

Esempio . Apri la parentesi e inserisci termini simili: \((x-11)+(2+3x)\).
Soluzione : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Se c'è un segno meno davanti alla parentesi, quando la parentesi viene rimossa, ogni termine dell'espressione al suo interno cambia segno nel contrario:

Qui è necessario chiarire che mentre a era tra parentesi, c'era un segno più (semplicemente non l'hanno scritto), e dopo aver rimosso la parentesi, questo più è cambiato in meno.

Esempio : Semplifica l'espressione \(2x-(-7+x)\).
Soluzione : all'interno della parentesi ci sono due termini: \(-7\) e \(x\), e prima della parentesi c'è un segno meno. Ciò significa che i segni cambieranno: il sette ora sarà un più e la x sarà un meno. Aprire la staffa e presentiamo termini simili .

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Se c'è un fattore davanti alla parentesi, allora ogni membro della parentesi viene moltiplicato per esso, ovvero:

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi e moltiplica ciascun membro per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Per prima cosa...

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato; puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
— aprire le parentesi in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Iniziamo l'attività aprendo la staffa interna (quella all'interno). Espandendolo, abbiamo a che fare solo con ciò che è direttamente correlato ad esso: questa è la parentesi stessa e il segno meno davanti ad essa (evidenziato in verde). Riscriviamo tutto il resto (non evidenziato) nello stesso modo in cui era.

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Prodotto di un monomio e di un polinomio. Il concetto di polinomio

Tra le varie espressioni che vengono considerate in algebra, le somme di monomi occupano un posto importante. Ecco alcuni esempi di tali espressioni:

La somma dei monomi si chiama polinomio. I termini di un polinomio si chiamano termini del polinomio. I monomi sono anche classificati come polinomi, considerando che un monomio è un polinomio costituito da un membro.

Rappresentiamo tutti i termini sotto forma di monomi della forma standard:

Presentiamo termini simili nel polinomio risultante:

Il risultato è un polinomio, i cui termini sono tutti monomi della forma standard e tra questi non ce ne sono di simili. Tali polinomi sono chiamati polinomi di forma standard.

Per grado del polinomio di una forma standard assumono i più alti poteri dei suoi membri. Quindi un binomio ha il terzo grado e un trinomio il secondo.

Tipicamente, i termini dei polinomi in forma standard contenenti una variabile sono disposti in ordine decrescente di esponenti. Per esempio:

La somma di più polinomi può essere trasformata (semplificata) in un polinomio di forma standard.

A volte i termini di un polinomio devono essere divisi in gruppi, racchiudendo ciascun gruppo tra parentesi. Poiché il bracketing è la trasformazione inversa delle parentesi aperte, è facile da formulare regole per l'apertura delle parentesi:

Se prima delle parentesi si mette il segno “+”, i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con gli stessi segni.

Se prima delle parentesi viene posto il segno "-", i termini racchiusi tra parentesi si scrivono con segni opposti.

Trasformazione (semplificazione) del prodotto di un monomio e di un polinomio

Usando la proprietà distributiva della moltiplicazione, puoi trasformare (semplificare) il prodotto di un monomio e un polinomio in un polinomio. Per esempio:

Il prodotto di un monomio e di un polinomio è identicamente uguale alla somma dei prodotti di questo monomio e di ciascuno dei termini del polinomio.

Questo risultato è solitamente formulato di regola.

Per moltiplicare un monomio per un polinomio, devi moltiplicare il monomio per ciascuno dei termini del polinomio.

Abbiamo già utilizzato più volte questa regola per moltiplicare per una somma.

Prodotto di polinomi. Trasformazione (semplificazione) del prodotto di due polinomi

In generale, il prodotto di due polinomi è identicamente uguale alla somma del prodotto di ciascun termine di un polinomio e di ciascun termine dell'altro.

Di solito viene utilizzata la seguente regola.

Per moltiplicare un polinomio per un polinomio, devi moltiplicare ciascun termine di un polinomio per ciascun termine dell'altro e sommare i prodotti risultanti.

Formule di moltiplicazione abbreviate. Somma dei quadrati, differenze e differenza di quadrati

Devi avere a che fare con alcune espressioni nelle trasformazioni algebriche più spesso di altre. Forse le espressioni più comuni sono u, cioè il quadrato della somma, il quadrato della differenza e la differenza dei quadrati. Hai notato che i nomi di queste espressioni sembrano essere incompleti, ad esempio, questo non è, ovviamente, solo il quadrato della somma, ma il quadrato della somma di aeb. Tuttavia, il quadrato della somma di a e b non si trova molto spesso; di regola, invece delle lettere a e b, contiene varie espressioni, a volte piuttosto complesse.

Le espressioni possono essere facilmente convertite (semplificate) in polinomi della forma standard, infatti ti sei già imbattuto in un compito del genere moltiplicando i polinomi:

È utile ricordare le identità risultanti e applicarle senza calcoli intermedi. Brevi formulazioni verbali aiutano questo.

- il quadrato della somma è uguale alla somma dei quadrati e del doppio prodotto.

— il quadrato della differenza è uguale alla somma dei quadrati senza il doppio prodotto.

- la differenza dei quadrati è uguale al prodotto della differenza e della somma.

Queste tre identità consentono di sostituire le parti di sinistra con quelle di destra nelle trasformazioni e viceversa: le parti di destra con quelle di sinistra. La cosa più difficile è vedere le espressioni corrispondenti e capire come in esse vengono sostituite le variabili a e b. Diamo un'occhiata a diversi esempi di utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate.

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Parentesi espandibili

Continuiamo a studiare le basi dell'algebra. In questa lezione impareremo come espandere le parentesi nelle espressioni. Espandere le parentesi significa rimuovere le parentesi da un'espressione.

Per aprire le parentesi, devi memorizzare solo due regole. Con la pratica regolare, puoi aprire le parentesi con gli occhi chiusi e quelle regole che dovevano essere apprese a memoria possono essere tranquillamente dimenticate.

La prima regola per aprire le parentesi

Consideriamo la seguente espressione:

Il valore di questa espressione è 2 . Apriamo le parentesi in questa espressione. Espandere le parentesi significa eliminarle senza alterare il significato dell'espressione. Cioè, dopo aver eliminato le parentesi, il valore dell'espressione 8+(−9+3) dovrebbe essere ancora uguale a due.

La prima regola per aprire le parentesi è la seguente:

Quando si aprono le parentesi, se c'è un segno più davanti alle parentesi, questo segno più viene omesso insieme alle parentesi.

Quindi, lo vediamo nell'espressione 8+(−9+3) C'è un segno più prima delle parentesi. Questo più deve essere omesso insieme alle parentesi. In altre parole, le parentesi scompariranno insieme al segno più che si trovava davanti a loro. E ciò che era tra parentesi verrà scritto senza modifiche:

8−9+3 . Questa espressione è uguale a 2 , come l'espressione precedente tra parentesi, era uguale a 2 .

8+(−9+3) E 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 3 + (−1 − 4)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi rimarrà invariato:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 + (−1)

In questo esempio, aprire le parentesi è diventata una sorta di operazione inversa che consiste nel sostituire la sottrazione con l'addizione. Come capirlo?

Nell'espressione 2−1 avviene la sottrazione, ma può essere sostituita dall'addizione. Quindi otteniamo l'espressione 2+(−1) . Ma se nell'espressione 2+(−1) apri le parentesi e ottieni l'originale 2−1 .

Pertanto, la prima regola per l'apertura delle parentesi può essere utilizzata per semplificare le espressioni dopo alcune trasformazioni. Cioè, liberalo dalle parentesi e rendilo più semplice.

Ad esempio, semplifichiamo l'espressione 2a+a−5b+b .

Per semplificare questa espressione si possono usare termini simili. Ricordiamo che per ridurre i termini simili è necessario sommare i coefficienti dei termini simili e moltiplicare il risultato per la parte comune della lettera:

Ho un'espressione 3a+(−4b). Rimuoviamo le parentesi in questa espressione. C'è un segno più davanti alle parentesi, quindi usiamo la prima regola per aprire le parentesi, cioè omettiamo le parentesi insieme al segno più che precede queste parentesi:

Quindi l'espressione 2a+a−5b+b semplifica a 3a-4b .

Dopo aver aperto alcune parentesi, potresti incontrarne altre lungo il percorso. Ad essi applichiamo le stesse regole che ai primi. Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione:

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. In questo caso si applica la prima regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno più che le precede:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 6+(−3)+(−2)

In entrambi i punti in cui sono presenti parentesi, queste sono precedute da un segno più. Anche in questo caso vale la prima regola dell'apertura delle parentesi:

A volte il primo termine tra parentesi è scritto senza segno. Ad esempio, nell'espressione 1+(2+3−4) primo termine tra parentesi 2 scritto senza segno. Sorge la domanda: quale segno apparirà davanti ai due dopo che le parentesi e il segno più davanti alle parentesi sono stati omessi? La risposta suggerisce se stessa: ci sarà un vantaggio tra i due.

In effetti, anche se tra parentesi c'è un più davanti ai due, ma non lo vediamo perché non è scritto. Abbiamo già detto come appare la notazione completa dei numeri positivi +1, +2, +3. Ma secondo la tradizione, i vantaggi non vengono scritti, motivo per cui vediamo i numeri positivi che ci sono familiari 1, 2, 3 .

Pertanto, per espandere le parentesi nell'espressione 1+(2+3−4) , come al solito, devi omettere le parentesi insieme al segno più davanti a queste parentesi, ma scrivi il primo termine tra parentesi con un segno più:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −5 + (2 − 3)

C'è un più davanti alle parentesi, quindi applichiamo la prima regola per l'apertura delle parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al più che precede queste parentesi. Ma il primo termine, che scriviamo tra parentesi con il segno più:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione (−5)

C'è un più davanti alle parentesi, ma non è scritto perché prima non c'erano altri numeri o espressioni. Il nostro compito è rimuovere le parentesi applicando la prima regola di apertura delle parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme a questo più (anche se è invisibile)

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (-6a + b)

C'è un segno più davanti alle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Ci sono due punti in questa espressione in cui è necessario espandere le parentesi. In entrambe le sezioni c'è un segno più prima delle parentesi, il che significa che questo segno più viene omesso insieme alle parentesi. Ciò che era tra parentesi verrà scritto invariato:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

La seconda regola per aprire le parentesi

Ora diamo un'occhiata alla seconda regola per aprire le parentesi. Si usa quando c'è un segno meno prima delle parentesi.

Se c'è un segno meno prima delle parentesi, questo segno meno viene omesso insieme alle parentesi, ma i termini che erano tra parentesi cambiano il loro segno al contrario.

Ad esempio, espandiamo le parentesi nella seguente espressione

Vediamo che c'è un segno meno prima delle parentesi. Ciò significa che è necessario applicare la seconda regola di espansione, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti a queste parentesi. In questo caso, i termini tra parentesi cambieranno il loro segno in quello opposto:

Abbiamo un'espressione senza parentesi 5+2+3 . Questa espressione è uguale a 10, proprio come l'espressione precedente tra parentesi era uguale a 10.

Quindi, tra le espressioni 5−(−2−3) E 5+2+3 puoi mettere un segno di uguale, poiché sono uguali allo stesso valore:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Esempio 2. Espandi le parentesi nell'espressione 6 − (−2 − 5)

C'è un meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettiamo le parentesi insieme al meno che precede queste parentesi. In questo caso scriviamo i termini che erano tra parentesi con segni opposti:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Esempio 3. Espandi le parentesi nell'espressione 2 − (7 + 3)

C'è un segno meno prima delle parentesi, quindi applichiamo la seconda regola per aprire le parentesi:

Esempio 4. Espandi le parentesi nell'espressione −(−3 + 4)

Esempio 5. Espandi le parentesi nell'espressione −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la seconda regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione +(−9−2) devi applicare la prima regola:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Esempio 6. Espandi le parentesi nell'espressione −(−a − 1)

Esempio 7. Espandi le parentesi nell'espressione −(4a + 3)

Esempio 8. Espandi le parentesi nell'espressione UN − (4b + 3) + 15

Esempio 9. Espandi le parentesi nell'espressione 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Ci sono due posti in cui è necessario aprire le parentesi. Nel primo caso, è necessario applicare la prima regola per l'apertura delle parentesi e per l'espressione −(3c+5) devi applicare la seconda regola:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Esempio 10. Espandi le parentesi nell'espressione −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Ci sono tre punti in cui è necessario aprire le parentesi. Per prima cosa devi applicare la seconda regola per aprire le parentesi, poi la prima e poi ancora la seconda:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Meccanismo di apertura della staffa

Le regole per aprire le parentesi che abbiamo ora esaminato si basano sulla legge distributiva della moltiplicazione:

Infatti parentesi aperteè la procedura in cui il fattore comune viene moltiplicato per ciascun termine tra parentesi. Come risultato di questa moltiplicazione, le parentesi scompaiono. Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Pertanto, se devi moltiplicare un numero per un'espressione tra parentesi (o moltiplicare un'espressione tra parentesi per un numero), devi dire apriamo le parentesi.

Ma in che modo la legge distributiva della moltiplicazione è collegata alle regole per aprire le parentesi che abbiamo esaminato in precedenza?

Il fatto è che prima di ogni parentesi c'è un fattore comune. Nell'esempio 3×(4+5) il fattore comune è 3 . E nell'esempio un(b+c) il fattore comune è una variabile UN.

Se non ci sono numeri o variabili prima delle parentesi, allora lo è il fattore comune 1 O −1 , a seconda del segno che si trova davanti alle parentesi. Se c'è un più davanti alle parentesi, allora il fattore comune è 1 . Se c'è un segno meno prima delle parentesi, allora il fattore comune è −1 .

Ad esempio, espandiamo le parentesi nell'espressione −(3b−1). C'è un segno meno davanti alle parentesi, quindi è necessario utilizzare la seconda regola per aprire le parentesi, ovvero omettere le parentesi insieme al segno meno davanti alle parentesi. E scrivi l'espressione tra parentesi con i segni opposti:

Abbiamo espanso le parentesi utilizzando la regola per espandere le parentesi. Ma queste stesse parentesi possono essere aperte utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. Per fare ciò, scrivi prima tra parentesi il fattore comune 1, che non è stato scritto:

Il segno meno che prima stava prima delle parentesi si riferiva a questa unità. Ora puoi aprire le parentesi utilizzando la legge distributiva della moltiplicazione. A questo scopo il fattore comune −1 devi moltiplicare per ciascun termine tra parentesi e aggiungere i risultati.

Per comodità, sostituiamo la differenza tra parentesi con l'importo:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Come l'ultima volta che abbiamo ricevuto l'espressione −3b+1. Tutti concorderanno sul fatto che questa volta è stato dedicato più tempo alla risoluzione di un esempio così semplice. Pertanto, è più saggio utilizzare le regole già pronte per l'apertura delle parentesi, di cui abbiamo discusso in questa lezione:

Ma non fa male sapere come funzionano queste regole.

In questa lezione abbiamo imparato un'altra trasformazione identica. Insieme all'apertura delle parentesi, alla messa tra parentesi del generale e all'introduzione di termini simili, è possibile ampliare leggermente la gamma dei problemi da risolvere. Per esempio:

Qui devi eseguire due azioni: prima aprire le parentesi e quindi inserire termini simili. Quindi, in ordine:

1) Apri le parentesi:

2) Presentiamo termini simili:

Nell'espressione risultante −10b+(−1) puoi espandere le parentesi:

Esempio 2. Apri le parentesi e aggiungi termini simili nella seguente espressione:

1) Apriamo le parentesi:

2) Presentiamo termini simili. Questa volta, per risparmiare tempo e spazio, non scriveremo come vengono moltiplicati i coefficienti per la parte comune della lettera

Esempio 3. Semplificare un'espressione 8m+3m e trovarne il valore m=−4

1) Per prima cosa semplifichiamo l'espressione. Per semplificare l'espressione 8m+3m, puoi eliminare il fattore comune in esso M fuori parentesi:

2) Trova il valore dell'espressione m(8+3) A m=−4. Per fare questo, nell'espressione m(8+3) invece di una variabile M sostituire il numero −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

A+(b + c) può essere scritto senza parentesi: a+(b + c)=a + b + c. Questa operazione si chiama apertura di parentesi.

Esempio 1. Apriamo le parentesi nell'espressione a + (- b + c).

Soluzione. a + (-b+c) = a + ((-b) + c)=a + (-b) + c = a-b + c.

Se c'è un segno "+" davanti alle parentesi, puoi omettere le parentesi e questo segno "+" mantenendo i segni dei termini tra parentesi. Se il primo termine tra parentesi è scritto senza segno, allora deve essere scritto con il segno “+”.

Esempio 2. Troviamo il valore dell'espressione -2.87+ (2.87-7.639).

Soluzione. Aprendo le parentesi, otteniamo - 2,87 + (2,87 - 7,639) = - - 2,87 + 2,87 - 7,639 = 0 - 7,639 = - 7,639.

Per trovare il valore dell'espressione - (- 9 + 5), è necessario aggiungere numeri-9 e 5 e trova il numero opposto alla somma risultante: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.

Lo stesso valore può essere ottenuto in un altro modo: prima annotare i numeri opposti a questi termini (cioè cambiare i loro segni), quindi aggiungere: 9 + (- 5) = 4. Quindi, -(- 9 + 5) = 9 -5 = 4.

Per scrivere una somma opposta alla somma di più termini, è necessario cambiare i segni di questi termini.

Ciò significa - (a + b) = - a - b.

Esempio 3. Troviamo il valore dell'espressione 16 - (10 -18 + 12).

Soluzione. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.

Per aprire le parentesi precedute dal segno “-”, è necessario sostituire questo segno con “+”, cambiando i segni di tutti i termini tra parentesi con quelli opposti, quindi aprire le parentesi.

Esempio 4. Troviamo il valore dell'espressione 9.36-(9.36 - 5.48).

Soluzione. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) = = 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5 ,48.

Espansione di parentesi e applicazione di proprietà commutative e associative aggiunta consentono di semplificare i calcoli.

Esempio 5. Troviamo il valore dell'espressione (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.

Soluzione. Per prima cosa apriremo le parentesi, quindi troveremo separatamente la somma di tutti i numeri positivi e separatamente la somma di tutti i numeri negativi e, infine, sommeremo i risultati:

(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.

Esempio 6. Troviamo il valore dell'espressione

Soluzione. Per prima cosa immaginiamo ogni termine come la somma delle sue parti intere e frazionarie, quindi apriamo le parentesi, quindi aggiungiamo i numeri interi e separatamente frazionario parti e infine sommare i risultati:

Come si aprono le parentesi precedute dal segno "+"? Come trovare il valore di un'espressione che è l'opposto della somma di più numeri? Come espandere le parentesi precedute dal segno "-"?

1218. Aprire le parentesi:

a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);

b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).

1219. Trova il significato dell'espressione:

1220. Aprire le parentesi:

a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7 -17)+7,5; e) -a + (m-2,6); h) -(a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(- a-b); i) (m-n)-(p-k).

1221. Apri le parentesi e trova il significato dell'espressione:

1222. Semplifichiamo l'espressione:

1223. Scrivi quantità due espressioni e semplificarle:

a) - 4 - mem + 6,4; d) a+b e p - b
b) 1.1+ae -26-a; e) - m + n e -k - n;
c) a+13 e -13+b; e)m - n e n - m.

1224. Scrivi la differenza di due espressioni e semplificala:

1226. Utilizza l'equazione per risolvere il problema:

a) Ci sono 42 libri su uno scaffale e 34 sull'altro. Diversi libri sono stati rimossi dal secondo scaffale e dal primo scaffale sono stati prelevati tanti libri quanti ne erano rimasti sul secondo. Dopodiché, sul primo scaffale erano rimasti 12 libri. Quanti libri sono stati rimossi dal secondo scaffale?

b) Nella prima elementare ci sono 42 alunni, nella seconda 3 alunni in meno che nella terza. Quanti studenti ci sono nella terza elementare se ci sono 125 studenti in queste tre classi?

1227. Trova il significato dell'espressione:

1228. Calcola oralmente:

1229. Trovare il valore massimo dell'espressione:

1230. Specificare 4 numeri interi consecutivi se:

a) il più piccolo è -12; c) il più piccolo è n;
b) il più grande è -18; d) il maggiore tra essi è pari a k.

Contenuto della lezione appunti di lezione metodi di accelerazione della presentazione delle lezioni con frame di supporto tecnologie interattive Pratica compiti ed esercizi autotest workshop, corsi di formazione, casi, ricerche compiti a casa domande di discussione domande retoriche degli studenti Illustrazioni audio, video clip e contenuti multimediali fotografie, immagini, grafica, tabelle, diagrammi, umorismo, aneddoti, barzellette, fumetti, parabole, detti, cruciverba, citazioni Componenti aggiuntivi abstract articoli trucchi per i curiosi presepi libri di testo dizionario base e aggiuntivo dei termini altro Miglioramento di libri di testo e lezionicorreggere gli errori nel libro di testo aggiornamento di un frammento in un libro di testo, elementi di innovazione nella lezione, sostituzione di conoscenze obsolete con nuove Solo per insegnanti lezioni perfette piano di calendario per l'anno; raccomandazioni metodologiche; Lezioni integrate

La funzione principale delle parentesi è modificare l'ordine delle azioni durante il calcolo dei valori. Per esempio, nell'espressione numerica \(5·3+7\) verrà calcolata prima la moltiplicazione e poi l'addizione: \(5·3+7 =15+7=22\). Ma nell'espressione \(5·(3+7)\) verrà calcolata prima l'addizione tra parentesi e solo dopo la moltiplicazione: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Esempio. Espandi la parentesi: \(-(4m+3)\).
Soluzione : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Esempio. Apri la parentesi e inserisci termini simili \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Soluzione : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Esempio. Espandi le parentesi \(5(3-x)\).
Soluzione : Tra parentesi abbiamo \(3\) e \(-x\), e prima della parentesi c'è un cinque. Ciò significa che ogni membro della parentesi viene moltiplicato per \(5\) - te lo ricordo Il segno di moltiplicazione tra un numero e una parentesi non è scritto in matematica per ridurre la dimensione delle voci.

Esempio. Espandi le parentesi \(-2(-3x+5)\).
Soluzione : Come nell'esempio precedente, \(-3x\) e \(5\) tra parentesi vengono moltiplicati per \(-2\).

Esempio. Semplifica l'espressione: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Soluzione : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Resta da considerare l'ultima situazione.

Quando si moltiplica una parentesi per una parentesi, ogni termine della prima parentesi viene moltiplicato per ogni termine della seconda:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Esempio. Espandi le parentesi \((2-x)(3x-1)\).
Soluzione : Abbiamo un prodotto tra parentesi e può essere espanso immediatamente utilizzando la formula sopra. Ma per non confonderci, facciamo tutto passo dopo passo.
Passaggio 1. Rimuovi la prima parentesi: moltiplica ciascun membro per la seconda parentesi:

Passaggio 2. Espandi i prodotti delle parentesi e del fattore come descritto sopra:
- Per prima cosa...

Poi il secondo.

Passaggio 3. Ora moltiplichiamo e presentiamo termini simili:

Non è necessario descrivere tutte le trasformazioni in modo così dettagliato; puoi moltiplicarle subito. Ma se stai solo imparando ad aprire le parentesi, a scrivere in dettaglio, ci saranno meno possibilità di commettere errori.

Nota per l'intera sezione. Infatti, non è necessario ricordare tutte e quattro le regole, basta ricordarne solo una, questa: \(c(a-b)=ca-cb\) . Perché? Perché se ne sostituisci uno invece di c, ottieni la regola \((a-b)=a-b\) . E se sostituiamo meno uno, otteniamo la regola \(-(a-b)=-a+b\) . Bene, se sostituisci un'altra parentesi invece di c, puoi ottenere l'ultima regola.

Parentesi all'interno di una parentesi

A volte nella pratica ci sono problemi con le parentesi annidate all'interno di altre parentesi. Ecco un esempio di tale compito: semplificare l'espressione \(7x+2(5-(3x+y))\).

Per risolvere con successo tali compiti, è necessario:
- comprendere attentamente l'annidamento delle parentesi: quale è in quale;
- aprire le staffe in sequenza, iniziando, ad esempio, da quella più interna.

È importante quando si apre una delle parentesi non toccare il resto dell'espressione, semplicemente riscrivendolo così com'è.
Diamo un'occhiata all'attività scritta sopra come esempio.

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(7x+2(5-(3x+y))\).
Soluzione:

Esempio. Apri le parentesi e inserisci termini simili \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Soluzione :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Qui c'è un triplo annidamento di parentesi. Cominciamo da quello più interno (evidenziato in verde). C'è un vantaggio davanti alla staffa, quindi si stacca semplicemente.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Adesso bisogna aprire la seconda staffa, quella intermedia. Ma prima semplificheremo l’espressione dei termini fantasmatici in questa seconda parentesi.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Ora apriamo la seconda parentesi (evidenziata in blu). Prima della parentesi c'è un fattore, quindi ogni termine nella parentesi viene moltiplicato per esso.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		E apri l'ultima parentesi. C'è un segno meno davanti alla parentesi, quindi tutti i segni sono invertiti.

Espandere le parentesi è un'abilità di base in matematica. Senza questa abilità, è impossibile avere un voto superiore al C in 8° e 9° grado. Pertanto, ti consiglio di comprendere bene questo argomento.

In questo articolo esamineremo in dettaglio le regole di base di un argomento così importante in un corso di matematica come le parentesi aperte. È necessario conoscere le regole per l'apertura delle parentesi per risolvere correttamente le equazioni in cui vengono utilizzate.

Come aprire correttamente le parentesi durante l'aggiunta

Espandi le parentesi precedute dal segno “+”.

Questo è il caso più semplice, perché se davanti alle parentesi c'è un segno di addizione, i segni al loro interno non cambiano quando si aprono le parentesi. Esempio:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Come espandere le parentesi precedute dal segno "-".

In questo caso, devi riscrivere tutti i termini senza parentesi, ma allo stesso tempo cambiare tutti i segni al loro interno con quelli opposti. I segni cambiano solo per i termini tra parentesi che erano preceduti dal segno “-”. Esempio:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Come aprire le parentesi durante la moltiplicazione

Prima delle parentesi c'è un numero moltiplicatore

In questo caso è necessario moltiplicare ogni termine per un fattore e aprire le parentesi senza cambiare i segni. Se il moltiplicatore ha il segno "-", durante la moltiplicazione i segni dei termini vengono invertiti. Esempio:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Come aprire due parentesi con un segno di moltiplicazione tra di loro

In questo caso, devi moltiplicare ogni termine della prima parentesi per ogni termine della seconda parentesi e poi sommare i risultati. Esempio:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Come aprire le parentesi in un quadrato

Se la somma o la differenza di due termini è al quadrato, le parentesi vanno aperte secondo la seguente formula:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Nel caso in cui tra parentesi sia presente un segno meno la formula non cambia. Esempio:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Come espandere le parentesi ad un altro grado

Se la somma o la differenza dei termini viene elevata, ad esempio, alla 3a o 4a potenza, è sufficiente dividere la potenza della parentesi in "quadrati". Si sommano le potenze di fattori identici e, durante la divisione, il potere del divisore viene sottratto dal potere del dividendo. Esempio:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Come aprire 3 parentesi

Ci sono equazioni in cui 3 parentesi vengono moltiplicate contemporaneamente. In questo caso, devi prima moltiplicare insieme i termini delle prime due parentesi, quindi moltiplicare la somma di questa moltiplicazione per i termini della terza parentesi. Esempio:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Queste regole per l'apertura delle parentesi si applicano allo stesso modo alla risoluzione di equazioni sia lineari che trigonometriche.

In questo video analizzeremo tutta una serie di equazioni lineari che vengono risolte utilizzando lo stesso algoritmo: ecco perché sono chiamate le più semplici.

Per prima cosa definiamo: cos'è un'equazione lineare e quale è chiamata la più semplice?

Un'equazione lineare è un'equazione in cui esiste una sola variabile e solo di primo grado.

L'equazione più semplice significa la costruzione:

Tutte le altre equazioni lineari sono ridotte al più semplice utilizzando l'algoritmo:

1. Espandi le parentesi, se presenti;
2. Sposta i termini che contengono una variabile da un lato del segno di uguale e i termini senza una variabile dall'altro;
3. Assegna termini simili a sinistra e a destra del segno di uguale;
4. Dividi l'equazione risultante per il coefficiente della variabile $x$.

Naturalmente, questo algoritmo non sempre aiuta. Il fatto è che a volte dopo tutte queste macchinazioni il coefficiente della variabile $x$ risulta essere uguale a zero. In questo caso sono possibili due opzioni:

1. L’equazione non ha alcuna soluzione. Ad esempio, quando risulta qualcosa come $0\cdot x=8$, cioè a sinistra c'è zero e a destra c'è un numero diverso da zero. Nel video qui sotto esamineremo diversi motivi per cui questa situazione è possibile.
2. La soluzione sono tutti i numeri. L'unico caso in cui ciò è possibile è quando l'equazione è stata ridotta alla costruzione $0\cdot x=0$. È abbastanza logico che, qualunque sia il $x$ che sostituiamo, risulterà comunque "zero è uguale a zero", cioè corretta uguaglianza numerica.

Ora vediamo come funziona tutto questo usando esempi di vita reale.

Esempi di risoluzione di equazioni

Oggi ci occupiamo di equazioni lineari, e solo di quelle più semplici. In generale, un'equazione lineare significa qualsiasi uguaglianza che contiene esattamente una variabile e va solo al primo grado.

Tali costruzioni sono risolte più o meno allo stesso modo:

1. Prima di tutto bisogna espandere le parentesi, se ce ne sono (come nel nostro ultimo esempio);
2. Quindi combina simili
3. Infine, isola la variabile, ad es. spostare da un lato tutto ciò che è connesso alla variabile, i termini in cui è contenuta, e dall’altro tutto ciò che ne rimane senza.

Quindi, di regola, è necessario portarne di simili su ciascun lato dell'uguaglianza risultante, dopodiché non resta che dividere per il coefficiente "x" e otterremo la risposta finale.

In teoria, sembra carino e semplice, ma in pratica, anche gli studenti più esperti delle scuole superiori possono commettere errori offensivi in ​​equazioni lineari abbastanza semplici. In genere, gli errori vengono commessi quando si aprono le parentesi o quando si calcolano i "più" e i "meno".

Inoltre, accade che un'equazione lineare non abbia alcuna soluzione, o che la soluzione sia l'intera retta numerica, cioè qualsiasi numero. Esamineremo queste sottigliezze nella lezione di oggi. Ma inizieremo, come hai già capito, con i compiti più semplici.

Schema per la risoluzione di semplici equazioni lineari

Per prima cosa, lasciatemi scrivere ancora una volta l'intero schema per risolvere le equazioni lineari più semplici:

1. Espandi le parentesi, se presenti.
2. Isoliamo le variabili, cioè Spostiamo tutto ciò che contiene "X" da un lato e tutto ciò che non contiene "X" dall'altro.
3. Presentiamo termini simili.
4. Dividiamo tutto per il coefficiente “x”.

Naturalmente, questo schema non sempre funziona; contiene alcune sottigliezze e trucchi, e ora li conosceremo.

Risoluzione di esempi reali di semplici equazioni lineari

Compito n. 1

Il primo passaggio richiede l'apertura delle parentesi. Ma non sono in questo esempio, quindi saltiamo questo passaggio. Nella seconda fase dobbiamo isolare le variabili. Nota: stiamo parlando solo di termini individuali. Scriviamolo:

Presentiamo termini simili a sinistra e a destra, ma questo è già stato fatto qui. Passiamo quindi al quarto passaggio: dividiamo per il coefficiente:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Quindi abbiamo ottenuto la risposta.

Compito n. 2

Possiamo vedere le parentesi in questo problema, quindi espandiamole:

Sia a sinistra che a destra vediamo approssimativamente lo stesso disegno, ma agiamo secondo l'algoritmo, ad es. separando le variabili:

Eccone alcuni simili:

Con quali radici funziona? Risposta: per qualsiasi. Pertanto, possiamo scrivere che $x$ è un numero qualsiasi.

Compito n.3

La terza equazione lineare è più interessante:

\[\sinistra(6-x \destra)+\sinistra(12+x \destra)-\sinistra(3-2x \destra)=15\]

Ci sono diverse parentesi qui, ma non sono moltiplicate per nulla, sono semplicemente precedute da segni diversi. Analizziamoli:

Eseguiamo il secondo passo a noi già noto:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Facciamo i conti:

Eseguiamo l'ultimo passaggio: dividiamo tutto per il coefficiente "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Cose da ricordare quando si risolvono equazioni lineari

Se ignoriamo compiti troppo semplici, vorrei dire quanto segue:

• Come ho detto sopra, non tutte le equazioni lineari hanno una soluzione: a volte semplicemente non ci sono radici;
• Anche se ci sono radici, potrebbero non essercene zero: non c'è niente di sbagliato in questo.

Lo zero è lo stesso numero degli altri; non dovresti discriminarlo in alcun modo o dare per scontato che se ottieni zero, hai fatto qualcosa di sbagliato.

Un'altra caratteristica è legata all'apertura delle parentesi. Nota: quando c'è un "meno" davanti a loro, lo rimuoviamo, ma tra parentesi cambiamo i segni in opposto. E poi possiamo aprirlo utilizzando algoritmi standard: otterremo ciò che abbiamo visto nei calcoli sopra.

Comprendere questo semplice fatto ti aiuterà a evitare di commettere errori stupidi e dannosi al liceo, quando fare queste cose è dato per scontato.

Risoluzione di equazioni lineari complesse

Passiamo ad equazioni più complesse. Ora le costruzioni diventeranno più complesse e quando si eseguono varie trasformazioni apparirà una funzione quadratica. Tuttavia, non dovremmo averne paura, perché se, secondo il piano dell'autore, stiamo risolvendo un'equazione lineare, durante il processo di trasformazione tutti i monomi contenenti una funzione quadratica si annulleranno necessariamente.

Esempio n.1

Ovviamente il primo passo è aprire le parentesi. Facciamolo con molta attenzione:

Ora diamo un'occhiata alla privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione non ha soluzioni, quindi scriveremo questo nella risposta:

\[\nulla\]

oppure non ci sono radici.

Esempio n.2

Eseguiamo le stesse azioni. Primo passo:

Spostiamo tutto con una variabile a sinistra e senza di essa a destra:

Eccone alcuni simili:

Ovviamente questa equazione lineare non ha soluzione, quindi la scriveremo in questo modo:

\[\nulla\],

oppure non ci sono radici.

Sfumature della soluzione

Entrambe le equazioni sono completamente risolte. Usando queste due espressioni come esempio, eravamo ancora una volta convinti che anche nelle equazioni lineari più semplici tutto potrebbe non essere così semplice: possono esserci una, o nessuna, o infinite radici. Nel nostro caso, abbiamo considerato due equazioni, entrambe semplicemente non hanno radici.

Ma vorrei attirare la vostra attenzione su un altro fatto: come lavorare con le parentesi e come aprirle se davanti a loro c'è un segno meno. Considera questa espressione:

Prima di aprire, devi moltiplicare tutto per “X”. Nota: moltiplica ogni singolo termine. All'interno ci sono due termini, rispettivamente due termini e moltiplicati.

E solo dopo che queste trasformazioni apparentemente elementari, ma molto importanti e pericolose sono state completate, puoi aprire la parentesi dal punto di vista del fatto che dietro di essa c'è un segno meno. Sì, sì: solo ora, quando le trasformazioni sono completate, ricordiamo che davanti alle parentesi c'è un segno meno, il che significa che tutto sotto cambia semplicemente segno. Allo stesso tempo, le parentesi stesse scompaiono e, soprattutto, scompare anche il "meno" anteriore.

Facciamo lo stesso con la seconda equazione:

Non è un caso che presto attenzione a questi piccoli fatti, apparentemente insignificanti. Perché risolvere equazioni è sempre una sequenza di trasformazioni elementari, dove l'incapacità di eseguire azioni semplici in modo chiaro e competente porta al fatto che gli studenti delle scuole superiori vengono da me e imparano di nuovo a risolvere equazioni così semplici.

Naturalmente, arriverà il giorno in cui affinerai queste abilità fino al punto di automatismo. Non dovrai più eseguire tante trasformazioni ogni volta; scriverai tutto su una riga. Ma mentre stai solo imparando, devi scrivere ogni azione separatamente.

Risoluzione di equazioni lineari ancora più complesse

Ciò che risolveremo ora difficilmente può essere definito il compito più semplice, ma il significato rimane lo stesso.

Compito n. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Moltiplichiamo tutti gli elementi della prima parte:

Facciamo un po' di privacy:

Eccone alcuni simili:

Completiamo l'ultimo passaggio:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ecco la nostra risposta finale. E, nonostante il fatto che nel processo di risoluzione avessimo coefficienti con una funzione quadratica, si sono annullati a vicenda, il che rende l'equazione lineare e non quadratica.

Compito n. 2

\[\sinistra(1-4x \destra)\sinistra(1-3x \destra)=6x\sinistra(2x-1 \destra)\]

Eseguiamo attentamente il primo passaggio: moltiplichiamo ciascun elemento della prima parentesi per ciascun elemento della seconda. Dovrebbero esserci un totale di quattro nuovi termini dopo le trasformazioni:

Ora eseguiamo attentamente la moltiplicazione in ciascun termine:

Spostiamo i termini con "X" a sinistra e quelli senza - a destra:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Ecco termini simili:

Ancora una volta abbiamo ricevuto la risposta definitiva.

Sfumature della soluzione

La nota più importante riguardo queste due equazioni è la seguente: non appena iniziamo a moltiplicare parentesi che contengono più di un termine, ciò avviene secondo la seguente regola: prendiamo il primo termine dal primo e moltiplichiamo con ciascun elemento da il secondo; quindi prendiamo il secondo elemento dal primo e moltiplichiamo allo stesso modo con ciascun elemento del secondo. Di conseguenza, avremo quattro termini.

Sulla somma algebrica

Con quest’ultimo esempio vorrei ricordare agli studenti cos’è una somma algebrica. Nella matematica classica, per $1-7$ si intende una costruzione semplice: sottrarre sette da uno. In algebra, con questo intendiamo quanto segue: al numero "uno" aggiungiamo un altro numero, vale a dire "meno sette". Ecco come una somma algebrica differisce da una somma aritmetica ordinaria.

Non appena, eseguendo tutte le trasformazioni, ogni addizione e moltiplicazione, inizierai a vedere costruzioni simili a quelle sopra descritte, semplicemente non avrai problemi in algebra quando lavori con polinomi ed equazioni.

Infine, diamo un'occhiata ad un altro paio di esempi che saranno ancora più complessi di quelli appena visti, e per risolverli dovremo espandere leggermente il nostro algoritmo standard.

Risoluzione di equazioni con le frazioni

Per risolvere tali compiti, dovremo aggiungere un ulteriore passaggio al nostro algoritmo. Ma prima, lascia che ti ricordi il nostro algoritmo:

1. Apri le parentesi.
2. Variabili separate.
3. Portatene di simili.
4. Dividi per il rapporto.

Purtroppo, questo meraviglioso algoritmo, nonostante tutta la sua efficacia, risulta non essere del tutto appropriato quando abbiamo davanti le frazioni. E in quello che vedremo di seguito, in entrambe le equazioni abbiamo una frazione sia a sinistra che a destra.

Come lavorare in questo caso? Sì, è molto semplice! Per fare ciò, è necessario aggiungere un ulteriore passaggio all'algoritmo, che può essere eseguito sia prima che dopo la prima azione, ovvero eliminare le frazioni. Quindi l'algoritmo sarà il seguente:

1. Sbarazzarsi delle frazioni.
2. Apri le parentesi.
3. Variabili separate.
4. Portatene di simili.
5. Dividi per il rapporto.

Cosa significa “sbarazzarsi delle frazioni”? E perché ciò può essere fatto sia dopo che prima del primo passaggio standard? Infatti, nel nostro caso, tutte le frazioni sono numeriche al denominatore, cioè Ovunque il denominatore è solo un numero. Pertanto, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per questo numero, elimineremo le frazioni.

Esempio n.1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Eliminiamo le frazioni in questa equazione:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Nota: tutto viene moltiplicato per "quattro" una volta, cioè solo perché hai due parentesi non significa che devi moltiplicarle ciascuna per "quattro". Scriviamo:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Ora espandiamo:

Secludiamo la variabile:

Eseguiamo la riduzione di termini simili:

\[-4x=-1\sinistra| :\sinistra(-4 \destra) \destra.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Abbiamo ricevuto la soluzione finale, passiamo alla seconda equazione.

Esempio n.2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Qui eseguiamo tutte le stesse azioni:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Il problema è risolto.

Questo, in effetti, è tutto ciò che volevo dirti oggi.

Punti chiave

I risultati principali sono:

• Conoscere l'algoritmo per risolvere equazioni lineari.
• Possibilità di aprire parentesi.
• Non preoccuparti se da qualche parte hai funzioni quadratiche, molto probabilmente verranno ridotte nel processo di ulteriori trasformazioni.
• Ci sono tre tipi di radici nelle equazioni lineari, anche quelle più semplici: una radice singola, l'intera linea numerica è una radice e nessuna radice.

Spero che questa lezione ti aiuti a padroneggiare un argomento semplice, ma molto importante per un'ulteriore comprensione di tutta la matematica. Se qualcosa non è chiaro, vai sul sito e risolvi gli esempi lì presentati. Restate sintonizzati, tante altre cose interessanti vi aspettano!