Identitas trigonometri adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identitas ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat sinus satu sudut dan kuadrat kosinus satu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus satu sudut ketika cosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri, identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan Anda untuk mengganti jumlah kuadrat dari kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Menemukan tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identitas ini terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika Anda perhatikan, maka menurut definisi, ordinat y adalah sinus, dan absis x adalah kosinus. Maka tangen akan sama dengan rasio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan rasio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Kami menambahkan bahwa hanya untuk sudut \alpha yang fungsi trigonometrinya masuk akal, identitas akan terjadi , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Misalnya: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) berlaku untuk \sudut alfa yang berbeda dari \frac(\pi)(2)+\pi z, sebuah ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alpha selain \pi z , z adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda dari \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, baik kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin di atas, kita mendapatkan bahwa tg \alpha = \frac(y)(x), sebuah ctg\alpha=\frac(x)(y). Oleh karena itu berikut ini tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dengan demikian, tangen dan kotangen dari satu sudut di mana mereka masuk akal adalah angka yang saling timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- jumlah kuadrat garis singgung sudut \alpha dan 1 sama dengan kuadrat kebalikan dari kosinus sudut ini. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- jumlah 1 dan kuadrat kotangen dari sudut \alpha , sama dengan kuadrat terbalik dari sinus sudut yang diberikan. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \pi z .

Contoh dengan solusi untuk masalah menggunakan identitas trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan Solusi

Larutan

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dihubungkan oleh rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substitusi ke rumus ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Persamaan ini memiliki 2 solusi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuarter kedua, sinusnya positif, jadi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tg \alpha , kita menggunakan rumus tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Temukan \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan Solusi

Larutan

Substitusi ke rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nomor bersyarat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini memiliki dua solusi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuartal kedua, kosinusnya negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kita menggunakan rumus ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sesuai.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Contoh 2 Buktikan Identitas

Kami akan membuktikan identitas ini dengan mengubah ekspresi di sisi kanan.

Metode 1.

Jadi

Metode 2.

Pertama-tama, perhatikan bahwa ctg α =/= 0; jika tidak, ekspresi tg tidak akan masuk akal α = 1/ctg α . Tapi jika ctg α =/= 0, maka pembilang dan penyebut dari ekspresi radikal dapat dikalikan dengan ctg α tanpa mengubah nilai pecahan. Karena itu,

Menggunakan identitas tg α ctg α = 1 dan 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , kita mendapatkan

Jadi Q.E.D.

Komentar. Perhatian harus diberikan pada fakta bahwa sisi kiri dari identitas yang terbukti (sin α ) didefinisikan untuk semua nilai α , dan yang benar - hanya jika α =/= π / 2 n.

Oleh karena itu, hanya ketika semua dapat diterima nilai-nilai α Secara umum, ekspresi ini tidak setara satu sama lain.

Contoh 3 Buktikan Identitas

dosa (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = cos(2 π + α )-3sin( π / 2 - α )

Kami mengubah bagian kiri dan kanan identitas ini menggunakan rumus reduksi:

dosa (3/2 π + α ) + cos ( π - α ) = - cos α - karena α = - 2 cos α ;

karena (2 π + α )-3sin( π / 2 - α ) = cos α - 3cos α = - 2 cos α .

Jadi, ekspresi di kedua bagian identitas ini direduksi menjadi bentuk yang sama. Dengan demikian, identitasnya terbukti.

Contoh 4 Buktikan Identitas

dosa 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 dosa 2 α karena 2 α .

Mari kita tunjukkan perbedaan antara bagian kiri dan kanan. identitas ini adalah nol.

(dosa 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 dosa 2 α karena 2 α ) = (dosa 4 α +2sin2 α karena 2 α + cos 4 α ) - 1 =

= (dosa 2 α + cos2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.

Dengan demikian, identitasnya terbukti.

Contoh 5 Buktikan Identitas

Identitas ini dapat dilihat sebagai suatu proporsi. Tetapi untuk membuktikan keabsahan proporsi a / b = c / d, cukup ditunjukkan bahwa hasil kali suku-suku ekstrimnya iklan sama dengan produk dari suku-suku tengahnya SM. Jadi kita akan lakukan dalam kasus ini. Mari kita tunjukkan bahwa (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α karena α .

Memang, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1-sin 2 α = cos2 α .

"Identitas trigonometri". kelas 10

“Kebenaran matematika, apa pun
baik di Paris atau di Toulouse, sama
B. Pascal

Jenis pelajaran: Pelajaran dalam pembentukan keterampilan dan kemampuan.

Pelajaran orientasi metodologis umum.

tujuan kegiatan : pembentukan kemampuan siswa terhadap modus tindakan baru yang terkait dengan konstruksi struktur konsep dan algoritma yang dipelajari.

Tujuan Pelajaran:

bersifat mendidik : untuk mengajarkan bagaimana menerapkan pengetahuan, keterampilan dan kemampuan yang diperoleh sebelumnya untuk menyederhanakan ekspresi dan membuktikan identitas trigonometri.

mengembangkan: mengembangkan pemikiran logis, memori, minat kognitif, melanjutkan pembentukan pidato matematika, mengembangkan kemampuan menganalisis dan membandingkan.

pendidikan: menunjukkan bahwa konsep-konsep matematika tidak terisolasi satu sama lain, tetapi mewakili suatu sistem pengetahuan tertentu, yang semua mata rantainya saling berhubungan, untuk melanjutkan pembentukan keterampilan estetika saat membuat catatan, keterampilan mengontrol dan mengendalikan diri.

Untuk berhasil memecahkan masalah dalam trigonometri, Anda harus percaya diri dalam banyak rumus. Rumus trigonometri harus diingat. Tetapi ini tidak berarti bahwa mereka harus dihafal dengan hati, yang utama adalah menghafal bukan rumus itu sendiri, tetapi algoritma untuk turunannya. Rumus trigonometri apa pun dapat diperoleh dengan cukup cepat jika Anda mengetahui dengan pasti definisi dan sifat dasar fungsi sinα, cosα, tgα, ctgα, rasio sin 2 + karena 2 =1 dst.

Mempelajari rumus trigonometri di sekolah bukan untuk Anda menghitung sinus dan kosinus selama sisa hidup Anda, tetapi agar otak Anda memperoleh kemampuan untuk bekerja. ( . geser 2 )

“ Jalan bukanlah pengetahuan yang disimpan di otak seperti lemak; jalan adalah jalan yang berubah menjadi otot mental,” tulis G. Speser, seorang filsuf dan sosiolog Inggris.

Kami akan memompa dan melatih otot-otot mental. Oleh karena itu, kami mengulangi rumus dasar trigonometri.UJI (Slide 4) (Slide 5)

Kami mengulangi formula, sekarang kami dapat membantu dua teman, sebut saja mereka Islam dan Muhammad.

Setelah mengubah beberapa ekspresi trigonometri yang sangat kompleksSEBUAH mereka mendapat ekspresi berikut:(Slide 6)

(Slide 7) Masing-masing membela jawabannya. Bagaimana cara mengetahui mana yang benar? Kami beralih ke Artyom, yang berteman dengan Peter"Plato adalah temanku tapi kebenaran lebih berharga": Artyom mengatakan dan menyarankan beberapa cara untuk menyelesaikan perselisihan mereka. Dan cara apa yang dapat Anda sarankan untuk menegakkan kebenaran?Sarankan cara untuk menegakkan kebenaran (Slide 8):

1) Transformasikan, sederhanakan A P dan A Dengan , yaitu mengarah ke satu ekspresi

2) A P - SEBUAH Dengan = 0

3) …..

Artinya, keduanya benar. Dan jawaban mereka sama untuk semua nilai yang mungkindan .

Apa yang disebut ekspresi seperti itu?Identitas. Identitas apa yang Anda ketahui?

Identitas , konsep dasar logika, filsafat dan matematika; digunakan dalam bahasa teori ilmiah untuk merumuskan hubungan, hukum, dan teorema yang menentukan.

Identitas adalah kategori filosofis yang mengungkapkan persamaan, kesamaan suatu objek, suatu fenomena dengan dirinya sendiri, atau persamaan beberapa objek.

Dalam matematika identitas adalah kesetaraan yang berlaku untuk setiap nilai yang dapat diterima dari variabel yang termasuk di dalamnya.(Slide 9)

Topik pelajaran : "Identitas trigonometri".

Tujuan: menemukan cara.

Dua orang bekerja di papan tulis.

№ 2. Buktikan identitasnya.

P.h. \u003d L.h.

Identitas sudah terbukti.

№ 3. Buktikan identitasnya:

1 cara:

2 jalan:

Cara untuk membuktikan identitas.

sisi kanan identitas. Jika pada akhirnya kita mendapatkan sisi kiri, maka identitas tersebut dianggap terbukti.

Lakukan transformasi yang setarasisi kiri dan kanan identitas. Jika kita mendapatkan hasil yang sama, maka identitas tersebut dianggap terbukti.

Kurangi sisi kiri dari sisi kanan identitas.

Kurangi sisi kanan dari sisi kiri identitas. Kami melakukan transformasi setara pada perbedaan. Dan jika pada akhirnya kita mendapatkan nol, maka identitas tersebut dianggap terbukti.

Juga harus diingat bahwa identitas hanya berlaku untuk nilai variabel yang dapat diterima.

Mengapa diperlukan pembuktian identitas trigonometri? Dalam ujian, tugas C1 adalah persamaan trigonometri!

Memutuskan No. 465-467

Jadi, mari kita simpulkan pelajarannya. (Slide 10)

Apa topik pelajarannya?

Metode pembuktian identitas apa yang Anda ketahui?

1. Ubah kiri ke kanan atau kanan ke kiri.
2. Mengubah bagian kiri dan kanan menjadi ekspresi yang sama.
3. Menggambar selisih antara bagian kiri dan kanan dan membuktikan bahwa selisih ini sama dengan nol.

Formula apa yang digunakan untuk ini?

1. Rumus untuk perkalian yang disingkat.
2. 6 identitas trigonometri.

Refleksi pelajaran. (Slide 11)

Lanjutkan kalimat:

– Hari ini di kelas saya belajar...
Hari ini di kelas saya belajar...
- Hari ini di pelajaran saya ulangi ...
Hari ini di kelas saya bertemu ...
Saya menikmati pelajaran saya hari ini...

Pekerjaan rumah. №№465-467 (Slide 12)

Tugas kreatif: Menyiapkan presentasi tentang identitas matematika yang terkenal. (Misalnya, identitas Euler.)(Menggeser

Identitas trigonometri adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Hubungan antara sinus dan cosinus

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

Identitas ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat sinus satu sudut dan kuadrat kosinus satu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus satu sudut ketika cosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri, identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan Anda untuk mengganti jumlah kuadrat dari kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Menemukan tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

Identitas ini terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika Anda melihat, maka menurut definisi ordinatnya \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), dan rasio \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- akan menjadi kotangen.

Kami menambahkan bahwa hanya untuk sudut seperti \(\alpha \) , yang fungsi trigonometrinya masuk akal, akan identitas , .

Misalnya: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) berlaku untuk sudut \(\alpha \) yang berbeda dari \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) , dan \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- untuk sudut \(\alpha \) selain \(\pi z \) , \(z \) - adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \(\alpha \) yang berbeda dari \(\dfrac(\pi)(2) z \) . Jika tidak, baik kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin di atas, kita mendapatkan bahwa \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) , dan \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . Oleh karena itu berikut ini \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Dengan demikian, tangen dan kotangen dari satu sudut di mana mereka masuk akal adalah angka yang saling timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- jumlah tangen kuadrat dari sudut \(\alpha \) dan \(\alpha \) , selain \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- jumlah \(\alpha \) , sama dengan kuadrat terbalik dari sinus dari sudut yang diberikan. Identitas ini berlaku untuk semua \(\alpha \) selain \(\pi z \) .

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!

Contoh identitas:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

Tetapi ekspresi \(\frac(x^2)(x)=x\) adalah identitas hanya di bawah kondisi \(x≠0\) (jika tidak, ruas kiri tidak ada).

Bagaimana cara membuktikan identitas?

Resepnya sangat sederhana:

Untuk membuktikan identitas, Anda perlu membuktikan bahwa bagian kanan dan kirinya sama, mis. kurangi menjadi bentuk "ekspresi" = "ekspresi yang sama".

Misalnya,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Untuk melakukan ini, Anda dapat:

1. Mengkonversi hanya sisi kanan atau hanya sisi kiri.
2. Konversikan kedua bagian secara bersamaan.
3. Gunakan transformasi matematika apa pun yang valid (misalnya, berikan persamaan; kurung buka; pindahkan suku dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah tanda; kalikan atau bagi bagian kiri dan kanan dengan angka atau ekspresi yang sama yang tidak sama dengan nol, dll. ) .
4. Gunakan rumus matematika apa pun.

Ini adalah poin keempat yang paling sering digunakan ketika membuktikan identitas, jadi Anda perlu tahu, mengingat, dan dapat menggunakan semuanya.

Contoh . Buktikan identitas trigonometri \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
Larutan :

Contoh . Buktikan bahwa ekspresi \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) adalah sebuah identitas.
Larutan :

Contoh . Buktikan identitas trigonometri \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
Larutan :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		Di sini kita hanya akan mengubah sisi kanan, mencoba menguranginya ke kiri. Kami membiarkan yang kiri tidak berubah. Kita ingat.
\(1-tg^2 t=\)		Sekarang mari kita lakukan pembagian suku demi suku dalam pecahan (yaitu berlaku dalam arah yang berlawanan): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		Kami membatalkan pecahan pertama di ruas kanan, dan menerapkan ke pecahan kedua: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\) .
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		Nah, sinus dibagi cosinus sama dengan sudut yang sama: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Contoh . Buktikan identitas trigonometri \(=ctg(π+t)-1\)
Larutan :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		Di sini kita akan mengubah kedua bagian: - di sebelah kiri: kita ubah \(\cos⁡2t\) menurut rumus sudut ganda; - dan di sebelah kanan \(ctg(π+t)\) oleh .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Sekarang kita bekerja hanya dengan sisi kiri. Dalam pembilang kita akan menggunakan , dalam penyebut kita akan menggunakan sinus di dalam kurung.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		Kurangi pecahan dengan \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\).
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Kami membagi suku pecahan dengan suku, mengubahnya menjadi dua pecahan terpisah.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		Pecahan pertama adalah , dan pecahan kedua sama dengan satu.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Ruas kiri sama dengan ruas kanan, identitasnya terbukti.

Seperti yang Anda lihat, semuanya cukup sederhana, tetapi Anda perlu mengetahui semua rumus dan propertinya.

Bagaimana membuktikan identitas trigonometri dasar

Dua cara mudah untuk menurunkan rumus \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Anda hanya perlu mengetahui teorema Pythagoras dan definisi sinus dan kosinus.

Jawaban untuk pertanyaan yang sering diajukan:

Pertanyaan: Bagaimana menentukan apa yang perlu diubah dalam sebuah identitas - sisi kiri, sisi kanan, atau keduanya bersama-sama?
Menjawab: Tidak ada perbedaan - dalam hal apa pun, Anda akan mendapatkan hasil yang sama. Misalnya, pada contoh ketiga, kita dapat dengan mudah mendapatkan dari sisi kiri \(1-tg^2 t\) kanan \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(coba lakukan sendiri). Atau ubah keduanya, sehingga mereka "bertemu di tengah", di suatu tempat di daerah itu \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). Karena itu, Anda dapat membuktikan dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda. Jalan mana pun yang Anda lihat, ikuti jalan itu. Satu-satunya hal utama adalah mengubah "secara hukum", yaitu, pahami berdasarkan properti, aturan, atau formula apa yang Anda lakukan untuk transformasi selanjutnya.