Od djetinjstva se navikavamo na pojam simetrije. Znamo da je leptir simetričan: ima ista desno i lijevo krilo; kotač je simetričan, čiji su sektori isti; simetrični uzorci ukrasa, zvijezde snježnih pahuljica.

Problemu simetrije posvećena je uistinu bezgranična literatura. Od udžbenika i znanstvenih monografija do djela koja ne obraćaju pažnju toliko na crteže i formule koliko na umjetničke slike.

Sam izraz "simetrija" na grčkom znači "razmjer", što su antički filozofi shvaćali kao poseban slučaj harmonije - koordinacije dijelova unutar okvira cjeline. Od davnina, mnogi narodi posjeduju ideju simetrije u širem smislu - kao ekvivalenta ravnoteže i sklada.

Simetrija je jedan od najosnovnijih i jedan od najopćenitijih zakona svemira: nežive, žive prirode i društva. Vidimo je posvuda. Pojam simetrije proteže se kroz čitavu stoljetnu povijest ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već na izvorima ljudskog znanja; široko ga koriste sva područja moderne znanosti bez iznimke. Istinski simetrični objekti okružuju nas doslovno sa svih strana, imamo posla sa simetrijom gdje god postoji bilo kakav red. Ispada da je simetrija ravnoteža, urednost, ljepota, savršenstvo. Raznolik je, sveprisutan. Ona stvara ljepotu i sklad. Simetrija doslovno prožima cijeli svijet oko nas, zbog čega će tema koju sam odabrao uvijek biti aktualna.

Simetrija izražava očuvanje nečega uz neke promjene ili očuvanje nečega, unatoč promjeni. Simetrija podrazumijeva nepromjenjivost ne samo samog objekta, već i bilo kojeg njegovog svojstva u odnosu na transformacije koje se vrše na objektu. Nepromjenjivost pojedinih objekata može se uočiti u odnosu na različite operacije - na rotacije, translacije, međusobnu zamjenu dijelova, refleksije itd. U tom smislu razlikuju se različite vrste simetrije. Razmotrite sve vrste detaljnije.

AKSIJALNA SIMETRIJA.

Simetrija u odnosu na ravnu liniju naziva se aksijalna simetrija (zrcalni odraz o ravnoj liniji).

Ako točka A leži na osi l, tada je simetrična sama sebi, tj. A se poklapa s A1.

Konkretno, ako se lik F transformira u sebe tijekom transformacije simetrije u odnosu na os l, tada se naziva simetričnim u odnosu na os l, a os l naziva se njezinom osi simetrije.

SREDIŠNJA SIMETRIJA.

Lik se naziva centralno simetričnim ako postoji točka oko koje je svaka točka lika simetrična nekoj točki iste figure. Naime: kretanje koje mijenja smjerove u suprotne smjerove je središnja simetrija.

Točka O naziva se središtem simetrije i fiksna je. Ova transformacija nema drugih fiksnih točaka. Primjeri figura koje imaju središte simetrije su paralelogram, kružnica itd.

Poznati pojmovi rotacije i translacije koriste se za definiranje takozvane translacijske simetrije. Razmotrimo translacijsku simetriju detaljnije.

1. OKRETANJE

Transformacija u kojoj se svaka točka A lika (tijela) rotira za isti kut α oko zadanog središta O naziva se rotacija ili rotacija ravnine. Točka O naziva se središte rotacije, a kut α naziva se kut rotacije. Točka O je fiksna točka ove transformacije.

Zanimljiva je rotacijska simetrija kružnog cilindra. Ima beskonačan broj rotacijskih osi 2. reda i jednu rotirajuću os beskonačno visokog reda.

2. PARALELNI PRIJENOS

Transformacija u kojoj se svaka točka lika (tijela) pomiče u istom smjeru za istu udaljenost naziva se paralelna translacija.

Da bismo odredili paralelnu translacijsku transformaciju, dovoljno je navesti vektor a.

3. KLIZNA SIMETRIJA

Klizna simetrija je transformacija u kojoj se uzastopno izvode aksijalna simetrija i paralelna translacija. Klizna simetrija je izometrija euklidske ravnine. Klizna simetrija je sastav simetrije u odnosu na neki pravac l i translacija vektorom paralelnim s l (ovaj vektor može biti nula).

Klizna simetrija se može predstaviti kao sastav od 3 aksijalne simetrije (Schallov teorem).

SIMETRIJA OGLEDALA

Što bi moglo biti sličnije mojoj ruci ili mom uhu od njihovog vlastitog odraza u ogledalu? Pa ipak, ruka koju vidim u ogledalu ne može se staviti na mjesto prave ruke.

Immanuel Kant.

Ako transformacija simetrije u odnosu na ravninu transformira lik (tijelo) u sebe, tada se lik naziva simetričnim u odnosu na ravninu, a zadana ravnina naziva se ravnina simetrije ovog lika. Ta se simetrija naziva zrcalna simetrija. Kao što samo ime pokazuje, zrcalna simetrija povezuje predmet i njegov odraz u ravnom zrcalu. Dva simetrična tijela ne mogu se "umetnuti jedno u drugo", jer se, u usporedbi sa samim objektom, njegov trans-zrcalni pandan ispostavlja okrenut iznutra prema van duž smjera okomitog na ravninu zrcala.

Simetrične figure, uz sve svoje sličnosti, značajno se razlikuju jedna od druge. Dvostruko promatrano u zrcalu nije točna kopija samog objekta. Ogledalo ne samo da kopira objekt, već mijenja (predstavlja) dijelove objekta koji su sprijeda i straga u odnosu na zrcalo. Na primjer, ako vam se madež nalazi na desnom obrazu, tada vam je dvostruko ogledalo na lijevom. Donesite knjigu do ogledala i vidjet ćete da su slova kao da su izvrnuta. U ogledalu je sve preuređeno s desna na lijevo.

Zrcalno jednaka tijela nazivaju se tijelima ako svojim pravilnim pomakom mogu tvoriti dvije polovice zrcalno simetričnog tijela.

2.2 Simetrija u prirodi

Lik ima simetriju ako postoji pokret (neidentična transformacija) koji ga pretvara u sebe. Na primjer, figura ima rotacijsku simetriju ako se nekom rotacijom prevede u sebe. Ali u prirodi, uz pomoć matematike, ljepota se ne stvara, kao u tehnici i umjetnosti, već se samo fiksira, izražava. Ona ne samo da godi oku i nadahnjuje pjesnike svih vremena i naroda, već omogućuje živim organizmima da se bolje prilagode svom okruženju i jednostavno prežive.

Temelj strukture svakog živog oblika je princip simetrije. Iz izravnog promatranja možemo zaključiti zakone geometrije i osjetiti njihovo neusporedivo savršenstvo. Taj poredak, koji je prirodna nužnost, budući da ništa u prirodi ne služi isključivo u dekorativne svrhe, pomaže nam pronaći zajednički sklad na kojem se temelji cijeli svemir.

Vidimo da priroda dizajnira svaki živi organizam prema određenom geometrijskom uzorku, a zakoni svemira imaju jasno opravdanje.

Načela simetrije su u osnovi teorije relativnosti, kvantne mehanike, fizike čvrstog stanja, atomske i nuklearne fizike, fizike elementarnih čestica. Ovi principi su najjasnije izraženi u svojstvima nepromjenjivosti zakona prirode. U ovom slučaju ne govorimo samo o fizičkim zakonima, već i o drugim, na primjer, biološkim.

Govoreći o ulozi simetrije u procesu znanstvenog saznanja, treba istaknuti korištenje metode analogija. Prema francuskom matematičaru D. Poya, "možda nema otkrića ni u osnovnoj ni višoj matematici, ili, možda, u bilo kojem drugom području koje bi se moglo napraviti bez analogija." Većina tih analogija temelji se na zajedničkim korijenima, općim obrascima koji se očituju na isti način na različitim razinama hijerarhije.

Dakle, u modernom smislu, simetrija je opća znanstvena filozofska kategorija koja karakterizira strukturu organizacije sustava. Najvažnije svojstvo simetrije je očuvanje (invarijantnost) određenih atributa (geometrijskih, fizičkih, bioloških itd.) s obzirom na dobro definirane transformacije. Matematički aparat za proučavanje simetrije danas je teorija grupa i teorija invarijanti.

Simetrija u biljnom svijetu

Specifičnost građe biljaka određena je karakteristikama staništa na koje se prilagođavaju. Svako drvo ima bazu i vrh, "vrh" i "dno" koji obavljaju različite funkcije. Značaj razlike između gornjeg i donjeg dijela, kao i smjer gravitacije određuju okomitu orijentaciju rotacijske osi "konusa stabla" i ravnine simetrije. Uz pomoć korijenskog sustava, stablo upija vlagu i hranjive tvari iz tla, odnosno odozdo, a ostale vitalne funkcije obavlja krošnja, odnosno na vrhu. Istodobno, pravci u ravnini okomitoj na vertikalu praktički se ne razlikuju za stablo; u svim tim smjerovima, zrak, svjetlost i vlaga su jednako opskrbljeni stablom.

Stablo ima okomitu rotirajuću os (os konusa) i vertikalne ravnine simetrije.

Kada želimo nacrtati list biljke ili leptira, moramo voditi računa o njihovoj aksijalnoj simetriji. Srednja vrpca za list služi kao os simetrije. Listovi, grane, cvjetovi, plodovi imaju izraženu simetriju. Listovi su zrcalno simetrični. Ista simetrija nalazi se i u cvijeću, međutim, u njima se zrcalna simetrija često pojavljuje u kombinaciji s rotacijskom simetrijom. Često postoje slučajevi figurativne simetrije (grančice bagrema, planinskog pepela).

U raznolikom svijetu boja nalaze se okretne sjekire različitih redova. Međutim, najčešća je rotacijska simetrija 5. reda. Ova simetrija se nalazi u mnogim divljim cvjetovima (zvončić, zaborav, geranija, karanfil, sv., ptičja trešnja, planinski jasen, divlja ruža, glog) itd.

Akademik N. Belov tu činjenicu objašnjava činjenicom da je os 5. reda svojevrsni instrument borbe za egzistenciju, "osiguranje od petrifikacije, kristalizacije, čiji bi prvi korak bilo njihovo hvatanje rešetkom". Doista, živi organizam nema kristalnu strukturu u smislu da čak ni njegovi pojedinačni organi nemaju prostornu rešetku. Međutim, uređene strukture su u njemu vrlo široko zastupljene.

U svojoj knjizi “Ovaj desni, lijevi svijet” M. Gardner piše: “Na Zemlji je život nastao u sferno simetričnim oblicima, a zatim se počeo razvijati u dvije glavne linije: nastao je svijet biljaka sa simetrijom čunjeva i svijet životinja s bilateralnom simetrijom.”

U prirodi postoje tijela koja imaju spiralnu simetriju, odnosno poravnanje sa svojim izvornim položajem nakon okretanja kroz kut oko osi, dodatni pomak duž iste osi.

Ako je racionalan broj, tada je rotirajuća os također translacijska os.

Listovi na stabljici nisu raspoređeni u ravnoj liniji, već spiralno okružuju granu. Zbroj svih prethodnih koraka spirale, počevši od vrha, jednak je vrijednosti sljedećeg koraka A + B \u003d C, B + C \u003d D, itd.

U rasporedu listova na stabljikama većine biljaka opaža se spiralna simetrija. Budući da su smješteni vijkom duž stabljike, listovi kao da su rašireni u svim smjerovima i ne zaklanjaju jedno drugo od svjetlosti, što je bitno za život biljaka. Ovaj zanimljiv botanički fenomen naziva se phyllotaxis (doslovno "raspored listova").

Još jedna manifestacija filotaksije je struktura cvata suncokreta ili ljuskica smrekovog češera, u kojoj su ljuske raspoređene u obliku spirala i spiralnih linija. Taj se raspored posebno jasno vidi u ananasu koji ima više ili manje šesterokutne ćelije koje tvore nizove koji se kreću u različitim smjerovima.

Simetrija u životinjskom svijetu

Značaj oblika simetrije za životinju lako je razumjeti ako ga stavimo u vezu s načinom života, uvjetima okoline. Pod simetrijom se kod životinja podrazumijeva podudarnost veličine, oblika i obrisa, kao i relativni položaj dijelova tijela koji se nalaze na suprotnim stranama razdjelnice.

Rotacijska simetrija 5. reda nalazi se i u životinjskom svijetu. Ovo je simetrija, u kojoj je objekt poravnat sa samim sobom kada se zakrene oko osi rotacije 5 puta. Primjeri su morska zvijezda i školjka morskog ježa. Cijela koža morske zvijezde je, takoreći, umetnuta malim pločama kalcijevog karbonata, iz nekih ploča se protežu iglice, od kojih su neke pomične. Obična morska zvijezda ima 5 ravnina simetrije i 1 os rotacije 5. reda (ovo je najveća simetrija među životinjama). Čini se da su njezini preci imali nižu simetriju. To dokazuje, posebice, struktura zvjezdanih ličinki: one, kao i većina živih bića, uključujući ljude, imaju samo jednu ravninu simetrije. Morske zvijezde nemaju vodoravnu ravninu simetrije: imaju "vrh" i "dno". Morski ježinci su kao živi jastučići; njihovo kuglasto tijelo nosi duge i pokretne igle. Kod ovih životinja, vapnenačke ploče kože spojile su se i formirale sferičnu školjku. U središtu donje površine nalaze se usta. Ambulakralne noge (vodeni vaskularni sustav) skupljene su u 5 traka na površini ljuske.

Međutim, za razliku od biljnog svijeta, rotacijska simetrija se rijetko opaža u životinjskom svijetu.

Kukce, ribe, jaja i životinje karakterizira nespojiva razlika u rotacijskoj simetriji između smjera naprijed i natrag.

Smjer kretanja je temeljno prepoznatljiv smjer, u odnosu na koji nema simetrije ni u jednom kukcu, nijednoj ptici ili ribi, nijednoj životinji. U tom smjeru životinja juri za hranom, u istom smjeru bježi od svojih progonitelja.

Osim smjera kretanja, simetriju živih bića određuje još jedan smjer – smjer gravitacije. Oba smjera su bitna; definiraju ravninu simetrije životinjskog bića.

Bilateralna (zrcalna) simetrija je karakteristična simetrija svih predstavnika životinjskog svijeta. Ova simetrija je jasno vidljiva kod leptira. Simetrija lijevog i desnog krila ovdje se pojavljuje s gotovo matematičkom strogošću.

Možemo reći da se svaka životinja (kao i kukac, riba, ptica) sastoji od dva enantiomorfa - desne i lijeve polovice. Enantiomorfi su također upareni dijelovi, od kojih jedan pada u desnu, a drugi u lijevu polovicu tijela životinje. Dakle, enantiomorfi su desno i lijevo uho, desno i lijevo oko, desni i lijevi rog itd.

Pojednostavljivanje životnih uvjeta može dovesti do kršenja bilateralne simetrije, a životinje iz bilateralno simetrične postaju radijalno simetrične. To se odnosi na bodljokože (morske zvijezde, ježinci, morski ljiljani). Sve morske životinje imaju radijalnu simetriju, u kojoj se dijelovi tijela protežu radijalno od središnje osi, poput žbica kotača. Stupanj aktivnosti životinja korelira s njihovom vrstom simetrije. Radijalno simetrični bodljikaši obično su slabo pokretni, sporo se kreću ili su pričvršćeni za morsko dno. Tijelo morske zvijezde sastoji se od središnjeg diska i 5-20 ili više zraka koje se protežu radijalno od njega. Matematičkim jezikom ta se simetrija naziva rotacijskom simetrijom.

Konačno, bilježimo zrcalnu simetriju ljudskog tijela (govorimo o vanjskom izgledu i strukturi kostura). Ta je simetrija oduvijek bila i jest glavni izvor našeg estetskog divljenja dobro građenom ljudskom tijelu. Još nećemo razumjeti postoji li doista apsolutno simetrična osoba. Svatko će, naravno, imati madež, pramen kose ili neki drugi detalj koji narušava vanjsku simetriju. Lijevo oko nikada nije potpuno isto kao desno, a kutovi usta su u različitim visinama, barem kod većine ljudi. Ipak, to su samo manje nedosljednosti. Nitko neće sumnjati da je izvana osoba izgrađena simetrično: lijeva ruka uvijek odgovara desnoj, a obje ruke su potpuno iste.

Svima je poznato da je sličnost između naših ruku, ušiju, očiju i drugih dijelova tijela ista kao između predmeta i njegovog odraza u zrcalu. Ovdje je pozornost posvećena pitanjima simetrije i zrcalne refleksije.

Mnogi su umjetnici pomno pazili na simetriju i proporcije ljudskog tijela, barem dok su se vodili željom da u svojim djelima što bliže prate prirodu.

U modernim slikarskim školama, vertikalna veličina glave najčešće se uzima kao jedna mjera. Uz određenu pretpostavku, možemo pretpostaviti da duljina tijela osam puta premašuje veličinu glave. Veličina glave je proporcionalna ne samo duljini tijela, već i dimenzijama ostalih dijelova tijela. Svi su ljudi izgrađeni po ovom principu, zbog čega smo, općenito, slični jedni drugima. No, naše se proporcije slažu samo približno, pa su stoga ljudi samo slični, ali ne i isti. U svakom slučaju, svi smo simetrični! Osim toga, neki umjetnici u svojim djelima posebno ističu tu simetriju.

Naša vlastita zrcalna simetrija nam je vrlo zgodna, omogućuje nam da se krećemo u ravnoj liniji i s jednakom lakoćom skrećemo desno i lijevo. Jednako prikladna zrcalna simetrija za ptice, ribe i druga bića koja se aktivno kreću.

Bilateralna simetrija znači da je jedna strana tijela životinje zrcalna slika druge strane. Ova vrsta organizacije svojstvena je većini beskralježnjaka, posebice anelida i člankonožaca – rakova, paukova, insekata, leptira; za kralježnjake - ribe, ptice, sisavce. Po prvi put se bilateralna simetrija pojavljuje kod ravnih crva, kod kojih se prednji i stražnji krajevi tijela međusobno razlikuju.

Razmotrimo drugu vrstu simetrije koja se nalazi u životinjskom svijetu. Ovo je spiralna ili spiralna simetrija. Simetrija vijka je simetrija u odnosu na kombinaciju dviju transformacija - rotacije i translacije duž osi rotacije, tj. dolazi do pomicanja duž osi vijka i oko osi vijka.

Primjeri prirodnih vijaka su: kljova narvala (mali kit koji živi u sjevernim morima) - lijevi vijak; puževa školjka - desni vijak; rogovi pamirskog ovna su enantiomorfi (jedan rog je uvijen uz lijevu, a drugi uz desnu spiralu). Spiralna simetrija nije savršena, na primjer, školjka mekušaca se na kraju sužava ili širi. Iako je vanjska spiralna simetrija rijetka kod višestaničnih životinja, mnoge važne molekule od kojih su izgrađeni živi organizmi – proteini, dezoksiribonukleinske kiseline – DNK, imaju spiralnu strukturu.

Simetrija u neživoj prirodi

Simetrija kristala je svojstvo kristala da se kombiniraju sami sa sobom u različitim položajima rotacijama, refleksijama, paralelnim prijenosima ili dijelom ili kombinacijom ovih operacija. Simetrija vanjskog oblika (fasetiranja) kristala određena je simetrijom njegove atomske strukture, što također određuje simetriju fizikalnih svojstava kristala.

Pažljivo razmotrite višestruke oblike kristala. Prije svega, jasno je da se kristali različitih tvari međusobno razlikuju po svojim oblicima. Kamena sol je uvijek kocke; gorski kristal - uvijek šesterokutne prizme, ponekad s glavama u obliku trokutastih ili šesterokutnih piramida; dijamant - najčešće pravilni oktaedri (oktaedri); led - šesterokutne prizme, vrlo slične gorskom kristalu, a snježne pahulje su uvijek šestokrake zvijezde. Što vam upada u oči kada pogledate kristale? Prije svega, njihova simetrija.

Mnogi ljudi misle da su kristali lijepo, rijetko kamenje. Dolaze u raznim bojama, obično su prozirne i, najbolje od svega, imaju lijep pravilan oblik. Najčešće su kristali poliedri, njihove strane (lice) su savršeno ravne, rubovi su strogo ravni. Oduševljavaju oko prekrasnom igrom svjetla u fasetama, nevjerojatnom pravilnošću strukture.

Međutim, kristali uopće nisu muzejska rijetkost. Kristali su svuda oko nas. Čvrste tvari od kojih gradimo kuće i strojeve, tvari koje koristimo u svakodnevnom životu - gotovo sve pripadaju kristalima. Zašto ovo ne vidimo? Činjenica je da se u prirodi rijetko nalaze tijela u obliku zasebnih monokristala (ili, kako kažu, monokristala). Najčešće se tvar javlja u obliku čvrsto prilijepljenih kristalnih zrna vrlo male veličine - manje od tisućinke milimetra. Takva se struktura može vidjeti samo mikroskopom.

Tijela koja se sastoje od kristalnih zrna nazivaju se finokristalna ili polikristalna ("poli" - na grčkom "mnogo").

Naravno, finokristalna tijela također treba klasificirati kao kristale. Tada se ispostavlja da su gotovo sva čvrsta tijela oko nas kristali. Pijesak i granit, bakar i željezo, boje - sve su to kristali.

Postoje i iznimke; staklo i plastika ne sastoje se od kristala. Takve čvrste tvari nazivamo amorfnim.

Proučavati kristale znači proučavati gotovo sva tijela oko nas. Jasno je koliko je to važno.

Monokristali se odmah prepoznaju po ispravnosti oblika. Ravne površine i ravni rubovi karakteristično su svojstvo kristala; ispravnost oblika nedvojbeno je povezana s ispravnošću unutarnje strukture kristala. Ako je kristal posebno ispružen u nekom smjeru, to znači da je struktura kristala u tom smjeru nekako posebna.

U kocki kamene soli, u oktaedru dijamanta i u zvijezdi snježne pahulje nalazi se središte simetrije. Ali u kristalu kvarca nema centra simetrije.

Najtočnija simetrija ostvaruje se u svijetu kristala, ali ni ovdje nije idealna: pukotine i ogrebotine nevidljive oku uvijek čine jednaka lica malo različita jedna od druge.

Svi kristali su simetrični. To znači da se u svakom kristalnom poliedru mogu pronaći ravnine simetrije, osi simetrije, centar simetrije ili drugi elementi simetrije tako da su identični dijelovi poliedra međusobno poravnati.

Svi elementi simetrije ponavljaju iste dijelove figure, svi joj daju simetričnu ljepotu i potpunost, ali središte simetrije je najzanimljivije. Ne samo oblik, već i mnoga fizička svojstva kristala mogu ovisiti o tome postoji li središte simetrije u kristalu ili ne.

Saće su pravo dizajnersko remek-djelo. Sastoje se od niza šesterokutnih ćelija. Ovo je najgušće pakiranje, koje omogućuje da se ličinka smjesti u ćeliju na najpovoljniji način i, uz najveći mogući volumen, na najekonomičniji način iskoristi voštani građevinski materijal.

III Zaključak

Simetrija prožima doslovno sve oko sebe, hvatajući, čini se, potpuno neočekivana područja i objekte.Ona, očitujući se u najrazličitijim objektima materijalnog svijeta, nedvojbeno odražava njegova najopćenitija, najosnovnija svojstva. Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, kemiji i biologiji, inženjerstvu i arhitekturi, slikarstvu i kiparstvu, poeziji i glazbi.

Vidimo da priroda dizajnira svaki živi organizam prema određenom geometrijskom uzorku, a zakoni svemira imaju jasno opravdanje. Stoga je proučavanje simetrije različitih prirodnih objekata i usporedba njegovih rezultata prikladan i pouzdan alat za razumijevanje osnovnih zakona postojanja materije.

Zakoni prirode koji upravljaju slikom fenomena, neiscrpnim u svojoj raznolikosti, zauzvrat, pokoravaju se načelima simetrije. Postoje mnoge vrste simetrije, kako u biljnom tako i u životinjskom carstvu, ali uz svu raznolikost živih organizama, princip simetrije uvijek funkcionira, a ta činjenica još jednom naglašava harmoniju našeg svijeta. Simetrija je u osnovi stvari i pojava, izražavajući nešto zajedničko, karakteristično za različite predmete, dok je asimetrija povezana s individualnim utjelovljenjem toga zajedničkog u pojedinom objektu.

Dakle, na ravnini imamo četiri vrste gibanja koja pretvaraju lik F u jednaku figuru F1:

1) paralelni prijenos;

2) aksijalna simetrija (odraz od ravne linije);

3) rotacija oko točke (Parcijalni slučaj - središnja simetrija);

4) "klizna" refleksija.

U prostoru se gornjim vrstama simetrije dodaje zrcalna simetrija.

Vjerujem da je cilj postavljen u sažetku postignut. Prilikom pisanja sažetka najveća su mi poteškoća bili vlastiti zaključci. Mislim da će moj rad pomoći školarcima da prošire svoje razumijevanje simetrije. Nadam se da će moj esej biti uvršten u metodički fond matematičke učionice.


  • Istražite simetriju
  • Istražite pitanje "Simetrija u svijetu oko nas"
  • Razmotrite različite vrste simetrije u prirodnim objektima

  • Zašto osoba mora znati o simetriji?

  • 1. Otkriti značenje osnovnih pojmova simetrije.
  • 2. Pokažite da je priroda svijet simetrije.

  • proučavanje književnosti;
  • usporedba bitnih značajki;
  • analiza, usporedba, generalizacija.


  • O simetrija!
  • Pjevam ti himnu!
  • Prepoznajem te svugdje u svijetu.
  • Ti si u Eiffelovom tornju, u maloj mušici,
  • Ti si unutra Božićno drvce uz šumski put.
  • S tobom u prijateljstvu i tulipan i ruža
  • A snježni roj je tvorevina mraza!

  • Tema mog znanstveno-istraživačkog rada je “Višestrana simetrija”.
  • Odabrala sam ovu temu jer se sa simetrijom susrećemo posvuda – u prirodi, arhitekturi, umjetnosti, znanosti. Želim dublje ući u simetriju u matematici i biologiji, inženjerstvu i arhitekturi budući da pojam simetrije naširoko koriste sva područja moderne znanosti.

  • Što je simetrija ?
  • Koje je duboko značenje ovog pojma?
  • Zašto simetrija doslovno prožima cijeli svijet oko nas?

  • Simetrija (od grčkog symmetria - "proporcionalnost") - koncept koji znači postojanost, ponovljivost, "nepromjenjivost" bilo koje značajke strukture predmeta koji se proučava kada se s njim provode određene transformacije .

  • Simetrija je ravnoteža,

urednost,

ljepota,

savršenstvo.


  • a) simetrija oko točke (centralna simetrija); b) simetrija u odnosu na pravu liniju (aksijalna simetrija);
  • c) simetrija u odnosu na ravninu (zrcalna simetrija);
  • G) Rotacijska simetrija (skretanje)
  • e) Klizna simetrija

OA 1 = OA

Definicija

Točke A i A 1 se nazivaju simetrično oko točke O, ako je O središte odsječka AA 1 .


Definicija

Figura se zove simetrično u odnosu na središte


Simetrija točaka u odnosu na ravnu liniju

Definicija

Dvije točke A i A 1 nazivaju se simetrično oko ravne a ako ovaj pravac prolazi središtem odsječka AA 1 i okomit je na njega.


Simetrija lika u odnosu na ravnu liniju

Definicija

Figura se zove simetrično oko ravne linije , ako za svaku točku lika toj slici pripada i točka koja joj je simetrična. Ravno l nazvana osi simetrije lika.



  • Transformacija u kojoj je svaka točka A lika (tijela) zakrenuta za isti kut α oko danog središta O naziva se rotacija ili rotacija ravnine. Točka O naziva se središte rotacije, a kut α naziva se kut rotacije. Točka O je fiksna točka ove transformacije.

Centralna simetrija je rotacija lika za 180°.



  • klizna simetrija naziva se takva transformacija, u kojoj se aksijalna simetrija i paralelna translacija izvode uzastopno.

  • segment prelazi u jednak segment;
  • kut ide u jednak kut;
  • krug prelazi u krug jednak njemu;
  • bilo koji poligon ide na svoj jednak poligon, itd.
  • paralelni pravci postaju paralelni, okomiti pravci postaju okomiti.

Dakle, na ravnini imamo četiri vrste pokreta koji prevode lik F u jednakom obliku F 1 :

  • paralelni prijenos;
  • aksijalna simetrija (odraz od ravne linije);
  • rotacija oko točke (djelomični slučaj - središnja simetrija);
  • "klizni" odraz.

  • RADIJALNA SIMETRIJA

(radijalna simetrija) - simetrija u odnosu na bilo koje ravnine koje prolaze kroz uzdužnu os tijela životinje.

Bilateralna simetrija (bilateralna simetrija) - simetrija zrcalne refleksije, u kojoj predmet ima jednu ravninu simetrije, u odnosu na koju su njegove dvije polovice zrcalno simetrične.

































Simetrija je višestruka.

Povezuje se s urednošću, proporcionalnošću i proporcionalnošću dijelova, ljepotom i skladom, s svrhovitošću i korisnošću.

Radeći na projektu, dotaknuo sam tajanstvenu matematičku ljepotu. Matematika je jezik, jezik prirode. Bez poznavanja jezika ne možete razumjeti ljepotu svijeta oko sebe.

Ali jedno je sigurno: Svijet je simetričan!


  • 1. Ovaj iznenađujuće simetričan svijet ”- L. Tarasov
  • 2. "Objašnjavajući rječnik" - V. Dahl
  • "Geometrija 7-9 razreda" - L. Atanasyan
  • Malakhov V.V. // Časopis. ukupno biologija. 1977. V.38.
  • I. G. Zenkevich "Estetika sata matematike".
  • http://900igr.net/fotografii/geometrija/Simmetrija/O-simmetrii.html

Općinska obrazovna ustanova

"Srednja škola u selu Storozhevka"

Tatiševski okrug Saratovske regije

Projektantski i istraživački rad

na ovu temu:

Završili: učenici 11. razreda

"MOU SOSH v. Storozhevka"

Davidova Katerina Olegovna,

Orešenkova Darija Olegovna

Voditelj: nastavnik matematike

Zhogal Marina Aleksandrovna

2011

Sadržaj

I. Kratak sažetak……………………………………………………………..3

II. Uvod …………………………………………………………………………4

III. Ovaj nevjerojatno simetričan svijet…………………………………..5

1. Što je simetrija? Mjesto simetrije u okolnom svijetu…..5

2. Vrste simetrije……………………………………………………………………..8

3. Simetrija u fizici i tehnologiji ……………………………………….10

4. Simetrija u prirodi …………………………………………………………….14

U biljnom svijetu

U životinjskom svijetu

5. Simetrija u kreativnosti…………………………………………………………….18

U arhitekturi

U književnosti

U likovnoj umjetnosti

U glazbi i plesu

6. Simetrija blizu ……………………………………………………………………22

Simetrija u odjeći

Simetrija u svakodnevnom životu (kod kuće, u školi)

Simetrija sela Storozhevka i grada Saratova

IV. Zaključak…………………………………………………………………….24

V. Književnost………………………………………………………………………….25

VI. Dodatak………………………………………………………………………..26

    Kratak sažetak projekta

Ovaj projekt namijenjen je učenicima od 9. do 11. razreda. Obuhvaća proučavanje obrazovnih tema: "Simetrija" iz geometrije, "Gradovi i zemlje", "Promet", "Arhitektura" iz geografije, "Osobenosti građenja biljnih i životinjskih organizama" iz biologije, književnost, "Zakoni očuvanja" u fizici. Ovim projektom se formira svijest da je potrebno živjeti u miru i skladu s prirodom, razvija se zapažanje, kreativne sposobnosti.

Učitelj tijekom projekta pomaže učenicima u razvijanju sposobnosti kritičkog mišljenja, sposobnosti pronalaženja i obrade velike količine informacija, formiranju komunikacijskih vještina te organizira samostalno istraživanje na obrazovnu temu.

    Uvod

Matematika je neiscrpna i višeznačna.

Niti jedan matematičar, čak ni većina, većina, većina, više nije u stanju proučavati svu matematiku, već bira samo neku granu. Stoga danas biramo malu granu simetrije.

Matematičari i biolozi, kristalografi i likovni kritičari, inženjeri i filozofi, astronomi i uzgajivači biljaka, fizičari i liječnici pokušavaju zajedno izaći na kraj s misterijama simetrije.

U školskom kolegiju matematike temi "Simetrija" daje se samo nekoliko sati. U 8. razredu učenici se upoznaju s aksijalnom i središnjom simetrijom, u 10. razredu se uvodi pojam zrcalne simetrije. Dečki imaju pitanje: zašto je ova tema potrebna i gdje se koristi?

Projekt "Ovaj nevjerojatno simetričan svijet" osmišljen je kako bi se proširilo znanje učenika o temi "Simetrija" u različitim područjima znanosti, tehnologije, žive i nežive prirode, u svijetu oko nas.

Temeljno pitanje:

Kako se simetrija manifestira u svijetu oko nas?

Svrha: proučavati pojam simetrije, provoditi istraživački rad na proučavanju pojava simetrije u prirodi, arhitekturi, tehnologiji, u svakodnevnoj stvarnosti oko nas, stjecati vještine samostalnog rada s velikom količinom informacija.

Zadaci:

Produbiti i proširiti znanja na temu „Simetrija“;

Učiti o vrstama simetrije i biti u stanju razlikovati jednu vrstu od druge;

Dobiti vizualni prikaz manifestacije simetrije u prirodi, raznim područjima znanosti i ljudske djelatnosti;

Razvijati timski rad i vještine donošenja odluka

III. Ovaj nevjerojatno simetričan svijet

§jedan. Što je simetrija? Mjesto simetrije u okolnom svijetu.

“Simetrija je ideja kroz koju je čovjek stoljećima pokušavao shvatiti i stvoriti red, ljepotu i savršenstvo.”

G. Weil.

Simetriju susrećemo posvuda – u prirodi, tehnologiji, umjetnosti, znanosti, na primjer, simetriju oblika automobila i aviona, simetriju u ritmičkoj konstrukciji pjesme i glazbene fraze, simetriju ornamenata i obruba, simetrija atomske strukture molekula i kristala. Pojam simetrije proteže se kroz čitavu stoljetnu povijest ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već na izvorima ljudskog znanja; široko ga koriste sva područja moderne znanosti bez iznimke. Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, kemiji i biologiji, inženjerstvu i arhitekturi, slikarstvu i kiparstvu, poeziji i glazbi.

Zakoni prirode koji upravljaju slikom fenomena, neiscrpnim u svojoj raznolikosti, zauzvrat, pokoravaju se načelima simetrije.

Što je simetrija? Zašto simetrija doslovno prožima cijeli svijet oko nas? Što je simetrija? Koje vrste simetrije već poznajete (aksijalna i središnja, zrcalna). Simetrija se dijeli u dvije skupine.

Prva skupina uključuje simetriju položaja, oblika, struktura. To je simetrija koja se može izravno vidjeti. Može se zvati geometrijski simetrija.

Druga skupina karakterizira simetriju fizičkih pojava i zakona prirode. Ta simetrija leži u samoj osnovi prirodno-znanstvene slike svijeta: može se nazvati fizički simetrija. Tisućama godina, u društvenoj praksi i poznavanju zakona objektivne stvarnosti, čovječanstvo je prikupilo brojne podatke koji ukazuju na prisutnost dviju tendencija u okolnom svijetu: s jedne strane, prema strogom redu, harmoniji, a s druge strane s druge strane, prema njihovom kršenju.

Da bismo to učinili, okrećemo se definiciji simetrije. Izraz "simetrija" na grčkom znači proporcionalnost, proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova.

Prema Weilu, objekt se naziva simetričnim ako je moguće izvesti neku vrstu operacije s kojom se, kao rezultat, dobiva početno stanje. Ljudi su od davnina pazili na ispravnost oblika kristala, cvijeća, saća i drugih prirodnih predmeta te su tu proporcionalnost reproducirali u umjetničkim djelima, u objektima koje stvaraju, kroz koncept simetrije. “Simetrija,” piše poznati znanstvenik J. Newman, “uspostavlja smiješan i nevjerojatan odnos između objekata, pojava i teorija koje se čine izvana nepovezanima: zemaljski magnetizam, ženski veo, polarizirano svjetlo, prirodna selekcija, teorija grupe, invarijante i transformacije , radne navike pčela u košnici, struktura prostora, uzorci vaza, kvantna fizika, latice cvijeća, interferentni obrasci rendgenskih zraka, dioba stanica morskog ježa, ravnotežne konfiguracije kristala, romaničke katedrale, snježne pahulje, glazba, teorija relativnost...".

Riječ "simetrija" ima dva značenja.

U jednom smislu, simetrično znači nešto vrlo proporcionalno, uravnoteženo; simetrija pokazuje onaj način usklađivanja mnogih dijelova, uz pomoć kojih se oni spajaju u cjelinu. Drugo značenje ove riječi je ravnoteža. Čak je i Aristotel govorio o simetriji kao stanju koje karakterizira omjer ekstrema. Iz ove izjave proizlazi da je Aristotel, možda, bio najbliži otkriću jednog od najfundamentalnijih zakona prirode - zakona dualnosti. Pitagora i njegovi učenici posvetili su veliku pažnju simetriji. Na temelju doktrine broja pitagorejci su dali prvo matematičko tumačenje harmonije, simetrije, koja ni danas nije izgubila na značaju.

Znanost je došla do najzanimljivijih rezultata upravo kada su utvrđene činjenice o narušavanju simetrije. Posljedice principa simetrije fizičari su intenzivno razvijali u prošlom stoljeću i doveli su do niza važnih rezultata. Takve posljedice zakona simetrije su, prije svega, zakoni održanja klasične fizike.

Životinje su simetrične, biljke su prilično simetrične, kristali su potpuno simetrični, naš sferni planet je gotovo savršeno simetričan, njegova putanja je blizu simetrije. Nakon što je rečeno, možda se ne čini tako fantastičnim reći da su svi zakoni prirode određeni simetrijom svijeta. (dodatak sl. 1)

Dakle, živimo u prilično simetričnom svijetu. Nije iznenađujuće da smo i sami simetrični i skloni sve što je simetrično smatrati lijepim.

§ 2. Vrste simetrije

Vrste simetrije:

ROTACIJSKA SIMETRIJA. Za objekt se kaže da ima rotacijsku simetriju ako se poravna sa samim sobom kada se zakrene za kut od 2π/n, gdje je n=2,3,4, itd. os simetrije se naziva osom simetrije n-tog reda (slika 2.)

PRIJENOSNA (TRANSLACIONA) SIMETRIJA. O takvoj simetriji se govori kada se, kada se lik pomakne duž ravne linije za neki razmak a, ili udaljenost koja je višekratnik ove vrijednosti, spoji sam sa sobom. Ravna crta duž koje se vrši prijenos naziva se prijenosna os, a udaljenost a naziva se elementarni prijenos ili period.

Ova vrsta simetrije povezana je s konceptom periodičnih struktura ili rešetki, koje mogu biti i ravne i prostorne (slika 3.)

SIMETRIJA OGLEDALA. Zrcalna simetrija je objekt koji se sastoji od dvije polovice, koje su jedna u odnosu na drugu blizanke. Trodimenzionalni objekt pretvara se u sebe kada se reflektira u zrcalnoj ravnini, koja se naziva ravninom simetrije. (slika 4)

Oblik svih objekata koji se kreću po površini Zemlje ili blizu nje – hodaju, plivaju, lete, kotrljaju se – imaju ravninu simetrije.

Sve što se razvija ili kreće samo u okomitom smjeru karakterizira simetrija stošca, odnosno ima mnogo ravnina simetrije koje se sijeku duž okomite osi. Oboje se objašnjava djelovanjem zemljine gravitacije.

SIMETRIJE SLIČNOSTI izvorne su analogije prethodnih simetrija, s jedinom razlikom što su povezane s istovremenim smanjenjem ili povećanjem sličnih dijelova figure i udaljenosti između njih.

Najjednostavniji primjer takve simetrije su lutke gnjezdarice.(Slika 5.)

PROMJELJIVA SIMETRIJA, koja se sastoji u tome da ako se identične čestice izmjenjuju, onda nema promjena.

NASLJEDNOST je također određena simetrija (slika 7.)

SIMETRIJE MJERACA povezane su s promjenom mjerila.

Izgled je umanjena kopija originala (slika 8)

KONFORMNA simetrija (kružna) simetrija - transformacija u odnosu na kuglu sa središtem na t.O polumjera R, koja vodi bilo koju točku P u točku koja leži na nastavku polumjera koji prolazi kroz t.R na udaljenosti od središta = R2 / OP. Konformna simetrija ima dosta općenitosti. Zrcalne refleksije, rotacije, paralelni pomaci samo su posebni slučajevi konformne simetrije.

(slika 9a,b)

§ 3. Simetrija u fizici i tehnici.

U fizici.

Postoji stara prispodoba o Buridanovom magarcu. Jedan filozof po imenu Buridan imao je magarca. Jednog dana, odlazeći na duže vrijeme, filozof je pred magarca stavio dvije potpuno identične naručje sijena - jednu s lijeve, a drugu s desne strane. Magarac se nije mogao odlučiti s kojom će naručjem početi, pa je umro od gladi... Lijevo i desno su toliko iste da se ne može dati prednost ni jednom ni drugom. Drugim riječima, u oba slučaja radi se o simetriji koja se očituje u potpunoj jednakosti, ravnoteži lijevog i desnog.

Doista, ako je lopta nepomična na stolu, tada je stol ravan i nagib s lijeve strane je isti kao i na desnoj strani. Ako struja ne teče kroz žicu, onda nema razlike potencijala. Ako se oblak smrznuo na nebu, onda je pritisak okolo isti i vjetar je utihnuo. Bilo bi čudno da se sve dogodilo obrnuto. Priroda nikada ne favorizira jednakost.

Simetrija - to je jednakost u najširem smislu riječi. Na primjer, zrcalna simetrija znači da je desna strana točno jednaka lijevoj strani. To znači da ako postoji simetrija, onda se nešto neće dogoditi i, prema tome, nešto će nužno ostati nepromijenjeno, biti će sačuvano.

U prirodi, kao i u ljudima, postoje dvije vrste zakona. Jedna vrsta kaže što bi se trebalo dogoditi pod određenim okolnostima. Na primjer, Ohmov zakon kaže da će pri tom i takvom naponu i takvom i takvom otporu vodiča snaga električne struje koja kroz njega teče biti jednaka kvocijentu dijeljenja prvog s drugim. Jedini odgovor. Druga vrsta zakona su takozvani zakoni očuvanja. Oni opisuju ono što ne bi trebalo biti. Na primjer, zakon održanja materije i energije kaže da se te količine moraju sačuvati u bilo kojem procesu.

Godine 1915. njemačka matematičarka Amy Noether dokazala je čisto matematički da su svi zakoni očuvanja povezani sa simetrijama prirode. Zakon održanja količine gibanja počiva na jednakosti prostora (homogenost prostora). O jednakosti smjerova (izotropija prostora) - zakoni održanja kutnog momenta. O jednakosti vremena - zakon održanja materije i energije. Bilo je to izvanredno otkriće.

U fizici postoji ogroman broj zakona, a svi su prožeti s nekoliko općih principa koji su sadržani u svakom zakonu. Neka svojstva simetrije mogu poslužiti kao primjeri takvih principa. Jedno od najvažnijih svojstava simetrije fizikalnih zakona je postojanost u vremenu, zakon univerzalne gravitacije koji je formulirao Newton opisuje činjenicu međusobnog privlačenja tijela koja se ne mijenja u vremenu. Ova privlačnost postojala je prije Newtona, a postojat će i stoljećima koja dolaze. Zakon o idealnom plinu široko se koristi u modernoj znanosti i tehnologiji. Kad bi se fizikalni zakoni mijenjali tijekom vremena, onda bi svako fizičko proučavanje imalo "trenutnu" vrijednost. Važan zakon održanja u fizici je zakon održanja količine gibanja zatvorenog sustava.

Sve što je simetrično u prirodi smatra se odrazom temeljnih kvaliteta svijeta, a asimetrično - igrom slučaja.

Govoreći o simetriji u neživoj prirodi, nameće se stajalište da simetrija u neživoj prirodi nikako nije čest posjetitelj. Na primjer, hrpa kamenja, nepravilna linija brežuljaka na horizontu. Naravno, gomila kamenja je nered, ali svaki kamen se sastoji od kristala. A kristali unose čar simetrije u svijet nežive prirode. Kristali bilo koje tvari mogu imati vrlo različit izgled, ali su kutovi između lica uvijek konstantni. Za svaku danu tvar postoji vlastiti idealni oblik njezina kristala, svojstven samo njoj. Simetrija vanjskog oblika kristala posljedica je njegove unutarnje simetrije - uređenog međusobnog rasporeda atoma (molekula) u prostoru

Sjetite se pahuljica. To su mali kristali smrznute vode. Imaju rotacijsku i zrcalnu simetriju (aksijalna, središnja). Zašto su snježne pahulje šesterokutne. Zašto nema peterokutnih snježnih pahulja; (saće, sjemenke nara).

Svaka pahulja je mali kristal smrznute vode. Oblik snježnih pahulja može biti vrlo raznolik, ali sve imaju simetriju (slika 2)

Sve krute tvari sastoje se od kristala.

U strojarstvu

Simetrija se može uočiti u tehnologiji, u svakodnevnom životu i životu koji nas okružuje. Zašto se simetrija koristi u inženjerstvu?

Tehnički objekti - avioni, automobili, rakete, čekići, matice - gotovo svi, mladi i stari, imaju jednu ili drugu simetriju. Je li slučajno? U tehnologiji, ljepoti, proporcionalnost mehanizama često se povezuje s njihovom pouzdanošću, stabilnošću u radu (sl. 10 a, b, c)

Simetrični oblik zračnog broda, zrakoplova, podmornice, automobila itd. pruža dobru racionalizaciju sa zrakom ili vodom, a time i minimalan otpor kretanju.

U zoru razvoja zrakoplovstva, naši poznati znanstvenici N. E. Zhukovsky i S. A. Chaplygin proučavali su let ptica kako bi izvukli zaključke o najpovoljnijem obliku krila i uvjetima leta. (Dodatak sl. 11a, b)

Simetrija je u tome odigrala veliku ulogu, naravno.

Gledajući vozila, postavlja se pitanje: Što objašnjava čestu prisutnost simetrije u tehnologiji? Proučivši potrebnu literaturu, shvaćate da je simetrija, prije svega, određena svrhovitošću. Nitko ne želi kriv auto ili avion s krilima različitih duljina. Također, simetrični objekti su lijepi.

Vrste simetrije u tehnologiji:

-Aksijalno

-Središnji

-Okretni

-Ogledalo

§ 4. Simetrija u prirodi

Simetrija prožima cijeli svijet oko nas.

Trenutno u prirodnoj znanosti prevladavaju definicije kategorija simetrije i asimetrije koje se temelje na nabrajanju određenih značajki. Na primjer, simetrija se definira kao skup svojstava: red, uniformnost, proporcionalnost, sklad. Svi znakovi simetrije u mnogim njezinim definicijama smatraju se jednakim, jednako bitnim, au nekim specifičnim slučajevima, prilikom utvrđivanja simetrije neke pojave, možete koristiti bilo koji od njih. Dakle, u nekim slučajevima simetrija je uniformnost, u drugima je proporcionalnost itd.

Problem nastanka života na Zemlji usko je povezan s pitanjima zrcalne simetrije – asimetrije – uostalom, živa tvar je svojedobno nastala iz nežive tvari. To je zbog kršenja zrcalne simetrije koja je postojala prije, formiranja čistih molekula, t.j. zrcalno simetrično. Suvremena znanost došla je do zaključka da se prijelaz iz zrcalnog svijeta – simetričnih veza u čisti svijet nije dogodio u procesu duge evolucije, već u skoku u obliku svojevrsne velike biološke eksplozije.

Dakle, svoj život na Zemlji dugujemo kršenju zrcalne simetrije i formiranju asimetričnih molekula.

Sa simetrijom se nalazimo posvuda u divljini (Slika 12.)

Simetrija se očituje i u prirodnim pojavama:

godišnja doba;

U cvjetnicama;

Kod pojave snijega u odnosu na vremenski pomak od 12 mjeseci,

Simetrija je prisutna u pravilnosti dana i noći;

Udari groma se ponavljaju nakon određenog vremenskog intervala.

U biljnom svijetu .

“Na Zemlji je život nastao u sferno simetričnim oblicima, a zatim se počeo razvijati u dvije glavne linije: nastao je svijet biljaka sa simetrijom čunjeva i svijet životinja s bilateralnom simetrijom”

M. Gardner

Pojam "ogledalo" koristi se u geometriji i fizici, a "bilateralno" u biologiji.

Boje karakterizira rotacijska simetrija.

Posjeduju rotacijsku simetriju: grančica gloga, cvijet gospine trave, grančica bagrema, guščja peterica. (Slika 13 a, b, c)

Grančica bagrema ima zrcalnu i rotacijsku simetriju (Sl. 14) Grančica gloga ima kliznu os simetrije. Guska peterolist ima rotirajuću i zrcalnu simetriju.

Pomno promatrajući biljke, mogu se pronaći brojne manifestacije spiralne simetrije u rasporedu listova na stabljici, granama na deblu i u strukturi čunjeva. Izraženi vijci su biljke penjačice (sl. 15a, b, c)

U svijetu cvijeća postoje rotacijske osi simetrije različitih redova. Najčešća rotacijska simetrija je 5. reda.

“Peterostruka osovina je svojevrsni instrument borbe za postojanje, osiguranje od okamenjenosti, od kristalizacije…”

(N. V. Belov)

Rotaciona simetrija 5. reda nalazi se: u zvonu, livadskom geraniji, zaboravnici, gospine trave, trešnje, kruške, planinskog pepela, gloga, pseće ruže (sl. 16 a, b, c)

Simetrija stošca vidljiva je na primjeru gotovo svakog stabla. Uz pomoć korijenskog sustava, stablo apsorbira vlagu i hranjive tvari iz tla, odnosno odozdo, a ostatak vitalnih funkcija obavlja krošnja, odnosno odozgo. (Sl. 17a, b)

Simetrija snopa. Pogledajte pomno i vidjet ćete da se latice mnogih cvjetova razilaze u svim smjerovima, poput zraka iz izvora svjetlosti. U matematici je to simetrija oko točke; u biologiji je to simetrija zraka. (Sl.18a,b)

Osoba prenosi svoje nasljedne osobine s generacije na generaciju. Također, biljke prelaze s jedne generacije na drugu, postoji očuvanje određenih svojstava. Tako novi suncokret (suncokret) izraste iz sjemena s istim ogromnim cvatom-košarom, također se redovito okreće prema Suncu. Ovo je također simetrija, obično se naziva naslijeđe.

U biljnom svijetu postoje bilateralna (zrcalna), radijalna, rotirajuća, stožasta simetrija, aksijalna, središnja, nasljedna simetrija, simetrija vijka.

Simetrija u životinjskom carstvu .

“Što bi moglo biti sličnije mojoj ruci ili uhu od njihovih vlastitih odraza u ogledalu? A ruka koju vidim u ogledalu ne može se staviti na mjesto prave ruke..."

I. Kant

Ako mentalno nacrtate okomitu crtu koja dijeli ljudsku figuru na pola, tada će se lijeva i desna strana također pretvoriti u dijelove simetrične "kompozicije." (Sl. 19a, b)

Oblik svih objekata koji se kreću po površini zemlje ili blizu nje – hodaju, plivaju, lete, kotrljaju se – u pravilu ima jednu manje-više dobro definiranu ravninu simetrije.

Još jedna zanimljiva manifestacija simetrije životnih procesa su biološki ritmovi, cikličke fluktuacije bioloških procesa i njihovih karakteristika (srčane kontrakcije, disanje, fluktuacije intenziteta stanične diobe, metabolizma, motoričke aktivnosti, broja biljaka i životinja), često povezane s prilagodbom organizama na geofizičke cikluse.

Pitanje ljepote povezane sa simetrijom je očito. S obzirom na proporcionalne, međusobno uravnotežene, prirodno ponavljajuće dijelove simetričnog objekta, osjećamo mir, red, stabilnost. I kao rezultat toga, objekt se percipira kao lijep. Suprotno tome, nasumično odstupanje od simetrije (ugao zgrade koji se ruši, komadić slova otkinut, snijeg koji pada neobično rano) doživljava se negativno, kao neočekivani učinak koji ugrožava naše samopouzdanje.

Pokušajmo zamisliti svijet koji je potpuno simetričan. Takav svijet morao bi se kombinirati sa samim sobom na svakom koraku, kad se reflektira u zrcalu. Bilo bi to nešto jednolično, nepromjenjivo. Takav svijet je nemoguć. Svijet postoji zahvaljujući jedinstvu simetrije i asimetrije.

§ 5. Simetrija u kreativnosti.

Prekrasan primjer upotrebe simetrije je ljudska aktivnost, odnosno kreativnost.

U arhitekturi.

Lijepe primjere simetrije pokazuju arhitektonska djela.

Možemo reći da arhitektura kao umjetnost počinje upravo onda kada je moguće pronaći elegantan, skladan i originalan odnos između simetrije i asimetrije.

Primjer arhitekture jasno pokazuje dijalektičko jedinstvo simetrije i asimetrije.

Mnogi arhitektonski objekti okolnog svijeta imaju os simetrije ili centar simetrije.

A kakvu simetriju ima egipatska piramida? (rotacijsko, ako se zakrene za 90 stupnjeva oko okomite osi koja prolazi kroz vrh piramide), zrcalo (kombinira se sa sobom kada se reflektira (mentalno) u bilo kojoj od 4 okomite ravnine koje prolaze kroz vrh okomito na bazu). (slika 20)

Većina zgrada je zrcalne simetrije. Generalni planovi zgrada, fasada, ornamenti, vijenci, stupovi pokazuju proporcionalnost i sklad. Mnoge primjere korištenja simetrije daje stara ruska arhitektura: zvonici, unutarnji potporni stupovi. Sve crkvene crkve građene su na simetriji, koje imaju osi i središta simetrije.

Mogu se vidjeti simetrije u arhitekturi Saratova:

Hram "ugasi moje tuge", cirkus, Centralna robna kuća, knjižara, konzervatorij, stare zgrade u centru grada itd. (Sl. 21a, b, c, d, sl. 25a, b)

Omjer koji je prisutan u simetriji unosi ljepotu u arhitekturu. Dakle, simetrija je duša harmonije.

Ruski jezik i književno stvaralaštvo

Razgovarajmo o simetriji slova A, B, D, E, G, Z, K, L, M, N, P, C, T, F, X, W, E, Yu, -

ovo je primjer zrcalne simetrije. Slova O, Zh, N, F, X imaju središnju (rotacijsku) i zrcalnu simetriju.

U književnim djelima ljepota, povezana sa simetrijom, suprotstavljena je ružnoći, zbog asimetrije. Dakle, u Puškinovoj "Priči o caru Saltanu" ovo je prelijepa princeza - labud i tkalci s kuharom koji su postali pokvareni zlikovci. U književnim djelima postoji niz smiješnih verbalnih konstrukcija temeljenih na svojstvima zrcalne simetrije. Na primjer, riječi "tampanje", "kozak", "koliba" u literaturi, ova vrsta riječi naziva se palindromi.

Sva poezija je simetrija. Simetrija u djelu A. A. Feta zastupljena je prilično široko, kao iu djelu bilo kojeg ruskog pjesnika. Ovo je i prstenasta kompozicija i ujednačena izmjena naglašenih i nenaglašenih slogova: veličina

Tiha zvjezdana noć...

Mjesec sjajno sja

Slatke usne ljepote

U tihoj zvjezdanoj noći.

Daktil: naglašeni i nenaglašeni slogovi se točno ponavljaju, stvarajući melodičnost.

Refreni su simetrični: ponavljanje redaka nakon određenog intervala.

Tiha večer izgara

Zlatne planine;

Sparan zrak postaje sve hladniji

Spavaj dijete

Slavuji su dugo pjevali,

Sumrak proglasiti;

Žice su plaho zvonile -

Spavaj dijete.

Zaključci:

Simetrija igra odlučujuću ulogu ne samo u procesu znanstvenog spoznavanja svijeta, već iu procesu njegove osjetilne emocionalne percepcije.

Simetrija je izvor estetskog zadovoljstva i umjetničke percepcije.

Simetrija u likovnoj umjetnosti

Mnogi su umjetnici posvetili veliku pozornost simetriji i proporcijama ljudskog tijela. Leonardo da Vinci je otkrio da se tijelo uklapa u krug i kvadrat. Svi smo mi simetrični! Neki umjetnici u svojim djelima posebno ističu tu simetriju.

RAFAEL. Sikstinska Madona (slika 22a)

Umjetnici različitih razdoblja koristili su simetričnu konstrukciju slike. Mnogi drevni mozaici bili su simetrični. U simetričnoj kompoziciji ljudi ili predmeti su gotovo zrcalni u odnosu na središnju os slike. Ova konstrukcija omogućuje postizanje dojma mira, veličanstvenosti, posebne svečanosti i značaja događaja.

F. HODLER. Tan jezero (slika 22b)

Simetrija u umjetnosti temelji se na stvarnosti. Na primjer, ljudska figura, leptir, pahulja i još mnogo toga su raspoređeni simetrično. Simetrične kompozicije su statične (stabilne), lijeva i desna polovica su uravnotežene.

V. Vasnetsov. Bogatyrs (sl. 22c)

Granice.

"Matematičar, poput umjetnika ili pjesnika, stvara uzorke." G. Hardy.

Uzorak koji se povremeno ponavlja na dugoj vrpci naziva se obrub. To može biti zidna slika koja krasi zidove zgrada, galerija, stubišta. Može se koristiti u ogradama parkova, rešetkama mostova i nasipima od lijevanog željeza. To mogu biti gipsani bas-reljefi ili keramika. Obrube su zrcalne i figurativne simetrije. (sl. 23-25)

Ornamenti.

Nevjerojatni crteži, koji se često nalaze u dekorativnoj umjetnosti, nazivaju se ukrasima. U njima možete pronaći zamršenu kombinaciju translacijske, zrcalne i rotacijske simetrije. Ovisno od kojih se elemenata ornament sastoji, svrstava se u jednu ili drugu vrstu.) 1geometrijski ornament (jasna izmjena geometrijskih elemenata). 2) cvjetni ornament.

3) kaligrafski (može se sastojati od pojedinačnih slova ili cijelih rečenica, izreka, poslovica, slogana).

Geometrijski ornament: jasna izmjena geometrijskih elemenata. Cvjetni ornament: cvjetni motiv. Kaligrafski ornament: izmjena pojedinih slova, rečenica, poslovica. Fantasy ornament: slike mitskih bića. Životinjski ornament: slike ptica i životinja. Heraldički ornament: amblemi, atributi rata, glazbene i kazališne umjetnosti. (slika 26)

Nakit (sl. 27)

Simetrija postoji u glazbi i koreografiji (u plesu). Ovisi o slijedu ciklusa. Pokazalo se da su mnoge narodne pjesme i plesovi građeni simetrično (sl. 28a, b)

§6. Sljedeća simetrija.

u odjeći

U odjeći osoba također pokušava zadržati dojam simetrije: desni rukav odgovara lijevom, desna noga odgovara lijevoj. Gumbi na jakni i na košulji sjede točno u sredini, a ako se povlače od nje, onda na simetričnim udaljenostima.

Ali na pozadini ove opće simetrije u malim detaljima, namjerno dopuštamo asimetriju. Na primjer, postavljanje asimetričnog džepa na prsima na odijelu.

Potpuna savršena simetrija izgledala bi nepodnošljivo dosadno. To je neznatno odstupanje od njega koje daje karakteristične, individualne značajke. A u isto vrijeme, ponekad osoba pokušava naglasiti, ojačati razliku između lijeve i desne strane. U srednjem vijeku muškarci su svojedobno nosili pantalone s nogama različitih boja. U ne tako davnim danima, traperice sa svijetlim mrljama ili prugama u boji bile su popularne. Ali takva moda je uvijek kratkog vijeka. Dugo ostaju samo taktična, skromna odstupanja od simetrije.

Poslovna odjeća uvijek je strogo simetrična (Slika 29-30) Svečana odjeća može biti asimetrična kako bi se slici dodala individualnost. Ali u isto vrijeme, desni rukav (ili nogavica) neće biti kraći od lijevog. Desni i lijevi dio odjeće kroje se najčešće po istom uzorku, a na dvostruko presavijeni materijal polaže se uzorak polovice proizvoda (Sl. 31).

Cipele su uvijek strogo simetrične.

Kod kuće.

“Proučavanje arheoloških nalazišta pokazuje da je čovječanstvo u zoru svoje kulture već imalo ideju o simetriji i provodilo je u crtežu i u kućanskim predmetima.

…Korištenje simetrije u primitivnoj proizvodnji uvjetovano je ne samo estetskim motivima, već u određenoj mjeri i uvjerenjem osobe u veću prikladnost za prakticiranje pravilnih oblika.

A.V. Šubnikov

Biljari su upoznati s djelovanjem refleksije. Njihova ogledala su stranice igrališta, a ulogu grede imaju putanje lopti.

Kućanski aparati i namještaj, posuđe i pribor za jelo, deke i tepisi, zavjese, salvete, vaze itd. su simetrične (sl. 40-45)

Simetrija sela Storozhevka i Saratova

Možete vidjeti mnoge primjere simetrije u arhitekturi grada Saratova i vašeg sela. (Sl. 21.25, Sl. 32-39)

IV. Zaključak.

S obzirom na neke aspekte upotrebe simetrije u fizici, umjetnosti, tehnologiji, biologiji, književnosti, može se uočiti jedan važan aspekt - to je filozofski aspekt simetrije, točnije, dijalektika simetrije i asimetrije. Ona je temelj svake znanstvene klasifikacije. Ona je ta koja određuje stupanj ljepote sadržane u određenom umjetničkom djelu, arhitekturi. Ako simetrija je povezana s očuvanjem, općenito, nužno. Ta asimetrija povezana je s promjenom, posebnom, različitom, slučajnom. Svijet ne bi mogao biti apsolutno simetričan (ništa se ne bi mijenjalo, ne bi bilo razlika, ništa se u takvom svijetu ne bi moglo promatrati – nikakve pojave, objekti). Potpuno asimetričan svijet ne bi mogao postojati. Bio bi to svijet bez ikakvih zakona, gdje ništa nije očuvano, gdje nema uzročno-posledičnih veza.

V. Korištena literatura:

Pogorelov geometrija 7-11, Moskva: Obrazovanje, 1992.

L. Tarasov, Ovaj nevjerojatno simetričan svijet, Moskva: Prosvjeta, 1982.

M. Gardner, Ovaj desni, lijevi svijet.

Weil G. Simetrija. M.: Uredništvo URSS, 2003.

Zenkevič I.G., Estetika sata matematike: Vodič za učitelje. - M .: Obrazovanje, 1981.

Časopis "Oko svijeta"

INTERNETSKI resursi:

III znanstveno-praktični skup školaraca

okrug Dovolensky

Simetrija oko nas

Sobolev Roman MOU DSOSH br. 2, 10. razred, selo Dovolnoye, okrug Dovolensky

Znanstveni savjetnik:

Dobrenkaya Galina Vasilievna,

nastavnik matematike prve kvalifikacijske kategorije

Kontakt telefon: 22-377

S. Zadovoljan, 2010. (monografija).

Sadržaj:

1. Uvod 3-4

2. Pojam simetrije. Vrste simetrije u geometriji. 4-8 (prikaz, stručni).

3. Čovjek je simetrično stvorenje 8-9

4. Savršena simetrija je dosadna 9-10

5. Zašto je svijet oko nas lijep. 10-14 (prikaz, stručni).

6. Literatura 15



1. UVOD

Ovaj esej posvećen je konceptu moderne prirodne znanosti kao što je SIMETRIJA.

Lajtmotiv cijelog sažetka je koncept igranja simetrije ( postoji mišljenje) vodeću, iako ne uvijek svjesnu, ulogu u suvremenoj znanosti, umjetnosti, tehnologiji i životu oko nas. Simetrija prožima doslovno sve oko sebe, hvatajući naizgled potpuno neočekivana područja i objekte. Ovdje je prikladno citirati izjavu J. Newmana, koji je posebno uspješno naglasio sveobuhvatne i sveprisutne manifestacije simetrije: "Simetrija uspostavlja smiješnu i nevjerojatnu srodnost između predmeta, pojava i teorija..."

Problemu simetrije posvećena je uistinu bezgranična literatura.

U sažetom Oxfordskom rječniku simetrija je definirana kao "ljepota zbog proporcionalnosti dijelova tijela ili bilo koje cjeline, ravnoteže, sličnosti, sklada, koherentnosti" (sam izraz "simetrija" na grčkom znači "razmjer", što antički filozofi shvaćali kao poseban slučaj harmonije – usklađivanje dijelova u okviru cjeline).

Simetrija je jedan od najosnovnijih i jedan od najopćenitijih zakona svemira: nežive, žive prirode i društva.

Poznata nam je riječ simetrija. Vjerojatno se, kada ga izgovorimo, sjetimo leptira ili javorovog lista, u kojem se mentalno može nacrtati ravna os, a dijelovi koji će se nalaziti na suprotnim stranama ove ravne linije bit će gotovo isti. (Slajd 3) Simetriju susrećemo posvuda. Pojam simetrije proteže se kroz čitavu stoljetnu povijest ljudskog stvaralaštva. Nalazi se već na izvorima ljudskog znanja; široko ga koriste sva područja moderne znanosti bez iznimke.

Principi simetrije igraju važnu ulogu u fizici i matematici, kemiji i biologiji, inženjerstvu i arhitekturi, slikarstvu i kiparstvu, poeziji i glazbi. Zakoni prirode koji upravljaju slikom fenomena, neiscrpnim u svojoj raznolikosti, zauzvrat, pokoravaju se načelima simetrije.

2. Što je simetrija?

Proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova nečega na suprotnim stranama točke, pravca ili ravnine.

u geometriji, svojstvo geometrijskih likova.

proporcionalnost, proporcionalnost, jednaka (ili različita) sličnost, ujednačenost, ujednačenost, korespondencija, sličnost; istost, ili proporcionalna sličnost rasporeda dijelova cjeline, dvije polovice; savjest, konformizam; kontradikcija, suprotnost.

Pitagora i njegovi učenici posvetili su veliku pažnju simetriji. Na temelju doktrine broja pitagorejci su dali prvo matematičko tumačenje harmonije, simetrije, koja ni danas nije izgubila na značaju. Pitagorina gledišta i njegove škole dodatno su razvijena u platonskoj doktrini znanja. Posebno su zanimljivi Platonovi pogledi na ustrojstvo svijeta, koji se, prema njemu, sastoji od pravilnih poligona savršene simetrije.

Vrste simetrije:

Glavne vrste simetrije su: simetrija oko točke (centralna simetrija), simetrija oko osi (aksijalna simetrija), rotacija oko zadane točke, paralelna translacija i zrcalna simetrija.

Primijećeno je da kada se na geometrijskim figurama izvode određene transformacije, njihovi dijelovi, pomaknuvši se na novi položaj, ponovno će tvoriti izvorni lik. Na primjer, ako povučemo liniju kroz visinu jednakokračnog trokuta do baze, i zamijenimo dijelove trokuta koji se nalaze na suprotnim stranama ove linije, tada ćemo dobiti isti (u smislu oblika i veličine) jednakokračni trokut.

Aksijalna simetrija je preslikavanje ravnine na sebe u odnosu na bilo koju liniju koja je os simetrije. Aksijalna simetrija je kretanje jer održava udaljenost između točaka. Ali ne drži smjer. (Slajd

Rotacija je gibanje oko točke za kut α, pri čemu točka ostaje, a sve ostale rotiraju oko nje u zadanom smjeru za kut α. (Slajd 5)

Zvijezda petokraka, kada se zakrene za kut od 72 stupnja oko središnje točke (točka presjeka njezinih zraka), zauzet će svoj izvorni položaj.

U svijetu biljaka postoji i rotacijska simetrija. Uzmite cvijet kamilice u ruku. Kombinacija različitih dijelova cvijeta nastaje ako se okreću oko stabljike (Slajd 6).

U navedenim primjerima razmatraju se različite vrste simetrije. U prvom slučaju govorimo o aksijalnoj simetriji. Dijelovi koji se, takoreći, međusobno izmjenjuju, formirani su određenom ravnom linijom. Ova linija se naziva osi simetrije. U prostoru, analog osi simetrije je ravnina simetrije. Ako se u kocki povuče ravnina paralelna sa bočnim stranama i koja prolazi kroz točku presjeka dioganala kocke, tada će bočne plohe biti simetrične u odnosu na ovu ravninu. Ili će ravnina koja sadrži dijagonale bočnih strana biti ravnina simetrije za dijelove koji se nalaze na suprotnim stranama ove ravnine.

Imajući na umu oba slučaja (ravnine i prostore), ova vrsta simetrije se ponekad naziva zrcalom. Ovaj naziv opravdava činjenica da su oba dijela lika, smještena na suprotnim stranama osi simetrije ili ravnine simetrije, slična nekom predmetu i njegovom odrazu u zrcalu. Imajte na umu da možete naići na drugi naziv za ovu vrstu simetrije. Na primjer, u biologiji se ova vrsta simetrije naziva bilateralna, a ravnina simetrije naziva se bilateralna ravnina.

Druga vrsta simetrije, o kojoj još nismo govorili, je translacijska simetrija. Ova vrsta simetrije sastoji se u tome što su dijelovi cijelog oblika organizirani na način da svaki sljedeći ponavlja prethodni i odvojen je od njega određenim intervalom u određenom smjeru. Taj se interval naziva korak simetrije. (Slajd 7)

Prijenosna simetrija obično se koristi pri izgradnji granica (Slajd 8). U djelima arhitektonske umjetnosti to se može vidjeti u ornamentima ili rešetkama koje se koriste za njihovo ukrašavanje. Prijenosna simetrija također se koristi u interijerima zgrada.

Ornament

3. Čovjek je simetrično stvorenje

Još nećemo razumjeti postoji li doista apsolutno simetrična osoba. Svatko će, naravno, imati madež, pramen kose ili neki drugi detalj koji narušava vanjsku simetriju. Lijevo oko nikada nije potpuno isto kao desno, a kutovi usta su u različitim visinama, barem kod većine ljudi.

Ipak, to su samo manje nedosljednosti. Nitko neće sumnjati da je osoba izvana građena simetrično: lijeva ruka uvijek odgovara desnoj ruci, a obje ruke su potpuno iste!

ALI! Ovdje se isplati stati. Kad bi nam ruke doista bile potpuno iste, mogli bismo ih promijeniti u bilo kojem trenutku. Moglo bi se, recimo, transplantacijom, presaditi lijevu ruku u desnu, ili, jednostavnije, lijeva rukavica bi tada pristajala desnoj, ali to zapravo nije tako.

Svima je poznato da je sličnost između naših ruku, ušiju, očiju i drugih dijelova tijela ista kao između predmeta i njegovog odraza u zrcalu.

Mnogi su umjetnici pomno pazili na simetriju i proporcije ljudskog tijela, barem dok su se vodili željom da u svojim djelima što bliže prate prirodu. Poznati su kanoni proporcija koje su sastavili Albrecht Dürer i Leonardo da Vinci. Prema ovim kanonima, ljudsko tijelo nije samo simetrično, već i proporcionalno.

Veličina glave je proporcionalna ne samo duljini tijela, već i dimenzijama ostalih dijelova tijela. Svi ljudi su izgrađeni na ovom principu, zbog čega smo općenito slični jedni drugima. No, naše se proporcije slažu samo približno, pa su stoga ljudi samo slični, ali ne i isti. U svakom slučaju, svi smo simetrični! Osim toga, neki umjetnici u svojim djelima posebno ističu tu simetriju.

4. Savršena simetrija je dosadna.

I u odjeći, osoba, u pravilu, također pokušava zadržati dojam simetrije: desni rukav odgovara lijevom, desna noga odgovara lijevoj.

Gumbi na jakni i na košulji sjede točno u sredini, a ako se povlače od nje, onda na simetričnim udaljenostima.

Potpuna savršena simetrija izgledala bi nepodnošljivo dosadno. Mala odstupanja od njega daju karakteristične, individualne značajke. Za to se koriste asimetrija i disimetrija.

Ali na pozadini ove opće simetrije u malim detaljima, namjerno dopuštamo asimetriju - to je potpuni nedostatak simetrije, na primjer, češljanje kose u bočnom dijelu - s lijeve ili desne strane. Ili, recimo, postavljanje asimetričnog džepa na prsima na odijelu. Ili stavljanje prstena na domali prst samo jedne ruke. Ordeni i značke nose se samo na jednoj strani prsa (češće na lijevoj).

Disimetrija je djelomični nedostatak simetrije, poremećaj simetrije izražen u prisutnosti nekih simetričnih svojstava i odsutnosti drugih.

A u isto vrijeme, ponekad osoba pokušava naglasiti, ojačati razliku između lijeve i desne strane. U srednjem vijeku muškarci su se svojedobno šepurili pantalonama s nogama različitih boja (na primjer, jedna crvena, a druga crna ili bijela). U ne tako davnim danima, traperice sa svijetlim mrljama ili prugama u boji bile su popularne. Ali takva moda je uvijek kratkog vijeka. Dugo ostaju samo taktična, skromna odstupanja od simetrije.

5. Zašto je svijet oko nas lijep?

Simetrija se široko koristi u arhitekturi.

Arhitektonske strukture koje je stvorio čovjek uglavnom su simetrične. Ugodne su oku, ljudi ih smatraju lijepima. S čime je to povezano? Ovdje možemo samo iznositi pretpostavke.
Prvo, svi živimo u simetričnom svijetu, koji je određen uvjetima života na planeti Zemlji, prvenstveno gravitacijom koja postoji ovdje. I, najvjerojatnije, osoba podsvjesno shvaća da je simetrija oblik stabilnosti, što znači postojanje na našem planetu. Stoga, u stvarima koje je napravio čovjek, on intuitivno teži simetriji.
Drugo, ljudi, biljke, životinje i stvari koje okružuju osobu su simetrične. Međutim, nakon detaljnijeg proučavanja, ispada da su prirodni objekti (za razliku od umjetnih) samo gotovo simetrični. Ali to ljudsko oko ne percipira uvijek. Ljudsko oko se navikava vidjeti simetrične predmete. Oni se percipiraju kao skladni i savršeni.
Osoba percipira simetriju kao manifestaciju pravilnosti, što znači unutarnji red. Izvana se ovaj unutarnji poredak doživljava kao ljepota.
Simetrični objekti imaju visok stupanj svrsishodnosti - uostalom, simetrični objekti imaju veću stabilnost i jednaku funkcionalnost u različitim smjerovima. Sve je to navelo čovjeka na ideju da zgrada mora biti simetrična, da bi bila lijepa. Simetrija se koristila u izgradnji vjerskih i kućanskih objekata u starom Egiptu. Dekoracije ovih struktura također predstavljaju primjere upotrebe simetrije. No, simetrija se najjasnije očituje u drevnim građevinama antičke Grčke (Slajd 16-17), luksuznim predmetima i ukrasima koji su ih krasili. Od tog vremena do danas, simetrija u ljudskom umu postala je objektivni znak ljepote.
Simetrija je prvo pravilo arhitekta pri projektiranju bilo koje strukture. Treba samo pogledati veličanstveno djelo Kazanske katedrale A.N. Voronikhin u Sankt Peterburgu da biste se u to uvjerili.
Ako mentalno povučemo okomitu crtu kroz toranj na kupoli i vrh zabata, vidjet ćemo da se s obje njegove strane nalaze potpuno isti dijelovi konstrukcije (kolonade i građevine katedrale).(Slajd 18) Ali moguće je da ne znate što se nalazi u Kazanskoj katedrali postoji još jedna, ako mogu tako reći, "neuspješna" simetrija.

Činjenica je da bi prema kanonima pravoslavne crkve ulaz u katedralu trebao biti s istoka, t.j. trebao bi biti s ulice, koja se nalazi desno od katedrale i ide okomito na Nevsky Prospekt. No, s druge strane, Voronikhin je shvatio da bi katedrala trebala biti okrenuta prema glavnoj gradskoj prometnici. A onda je napravio ulaz u katedralu s istoka, ali je zamislio drugi ulaz, koji je ukrasio prekrasnom kolonadom. Da bi zgrada bila savršena, a time i simetrična, ista kolonada morala se nalaziti s druge strane katedrale. Zatim, ako bismo katedralu gledali odozgo, tada bi njen plan imao ne jednu, već dvije osi simetrije. Ali planovima arhitekta nije bilo suđeno da se ostvare.

Kazanska katedrala u Sankt Peterburgu

Osim simetrije u arhitekturi, može se uzeti u obzir antisimetrija i disimetrija. Antisimetrija je suprotna simetriji, njeno odsustvo. Primjer antisimetrije u arhitekturi je Katedrala Vasilija Vasilija u Moskvi, gdje je simetrija potpuno odsutna u zgradi u cjelini (Slajd 19). Međutim, iznenađuje da su pojedini dijelovi ove katedrale simetrični i to stvara njen sklad. Disimetrija je djelomični nedostatak simetrije, poremećaj simetrije izražen u prisutnosti nekih simetričnih svojstava i odsutnosti drugih. Primjer disimetrije u arhitektonskoj strukturi je Katarinska palača u Carskom Selu kraj Sankt Peterburga (Slajd 20-21). U njemu su u potpunosti zadržana gotovo sva svojstva simetrije, s izuzetkom jednog detalja. Prisutnost palače crkve narušava simetriju zgrade u cjelini. Ako se ova crkva ne uzme u obzir, onda Palača postaje simetrična.

U modernoj arhitekturi sve se više koriste tehnike i antisimetrije i disimetrije. Ova pretraživanja često dovode do vrlo zanimljivih rezultata. Pojavljuje se nova urbana estetika. Dakle, ljepota je jedinstvo simetrije, asimetrije i disimetrije (Slajd 22-25).

6. Zaključak

Dakle, živimo u prilično simetričnom svijetu. Nije iznenađujuće da smo i sami simetrični i skloni sve što je simetrično smatrati lijepim. Ponekad je ipak lijepo malo narušiti idealnu simetriju, to daje neku živost, ali ne previše, ne do kaosa. Životinje su vrlo simetrične, biljke prilično simetrične, kristali potpuno simetrični, naš sferni planet je gotovo savršeno simetričan (Slajd 26), njegova putanja je blizu simetrije. Nakon što je rečeno, možda se ne čini tako fantastičnim reći da su svi zakoni prirode određeni simetrijom svijeta.


Bibliografija:

1.Atanasyan.L.S. "Geometrija 7-9 razred" 2003. M. "Prosvjeta"

3. Izdavačka kuća Moskovskog sveučilišta "Priručnik o geometriji za kandidate za sveučilišta" 1974.

4. Kritsman.V.A. "Knjiga za lektiru o geometriji" 1975. M. "Prosvjeta"

5.Pogorelov.A.V. "Geometrija 7-9 razred" 2005. M. "Prosvjeta"

6. Stanzo.V.V."Enciklopedijski rječnik geometrije"1982. M. "Prosvjeta"

7.http://yandex.ru

Regionalni istraživački skup "Junior"

Istraživanje

Simetrija u svijetu

(odjeljak egzaktnih znanosti)

Izvedena: Merizanova Anna,

Eliseenko Vera,

Učenik 8. razreda

Nadglednik: Kolesnikova

Ljudmila Aleksandrovna,

nastavnik matematike

Uvod. . 2

1.1. ..................................................... . 3

1.2. ................................................................... . 4

1.3. Simetrija kroz vijekove . 7

Poglavlje 2. Simetrija oko nas. 8

.. 8

2.2. .......................................................... . 9

Zaključak. 11

Bibliografski popis. 12

Uvod

Ove školske godine ova se tema razmatrala na nastavi matematike. Zanimala nas je tema "Simetrija". I odlučili smo napraviti projekt na ovu temu, jer se u udžbeniku geometrije malo pažnje posvećuje proučavanju teme "Simetrija", a učenici često postavljaju pitanje: zašto je to potrebno, gdje se javlja, zašto je uopće je studirao.

Ali simetrija se nalazi i u prirodi, i u znanosti, i u umjetnosti - jedinstvo i sučeljavanje simetrije nalaze se u svemu.

Simetrija, karakteristična za razne pojave koje su u osnovi svih stvari, opisuje mnoge fenomene života i mnogih znanosti

Kao rezultat našeg rada, postavili smo si sljedeća pitanja:


Zašto trebate znati simetriju, gdje se u svijetu oko nje nalazi?

Postavili smo si cilj:

formiraju ideje o simetriji , kroz sistematizaciju znanja o simetriji, kao i kroz analizu prirodnih pojava, ljudske djelatnosti.

Kako bismo otkrili temu našeg istraživačkog rada, postavljeni su sljedeći zadaci:

Naučite prepoznavati simetrične oblike među ostalima.

Upoznati korištenje simetrije u prirodi, svakodnevnom životu, umjetnosti, tehnologiji.

Pokažite razne primjene matematike u stvarnom životu.

Shvatite stupanj vašeg interesa za predmet i procijenite mogućnosti ovladavanja njime iz perspektive budućnosti (pokažite mogućnosti primjene stečenog znanja u svom budućem zanimanju umjetnika, arhitekta, biologa, građevinskog inženjera).

Za pisanje rada koristio sam različite metode:

2) metoda induktivne generalizacije, konkretizacije;

3) korištenje računalnog inventara.

Poglavlje 1

U ovom poglavlju opisujemo prve ideje o simetriji, povijesne podatke o ovoj temi; dati su neki primjeri simetričnih likova; razmatraju se primjeri istraživačkog karaktera na temu: "Simetrija".

1.1. Povijesni razvoj i razumijevanje pojma simetrije

U procesu povijesnog razvoja i shvaćanja simetrije, poseban stupanj simetrije kao mjere ljepote i sklada povezuje se s djelom istaknutog matematičara Hermanna Weyla "Simetrija" (1952). G. Weil je nemjerljivost (invarijabilnost) objekta tijekom transformacija shvatio kao simetriju: objekt je simetričan kada je podvrgnut nekoj operaciji, nakon čega će izgledati isto kao i prije transformacije.

Grčka riječ "simetrija" znači "proporcionalnost", "proporcionalnost", "istost u rasporedu dijelova". Međutim, riječ "simetrija" često se shvaća kao širi pojam: pravilnost promjene bilo koje pojave (godišnja doba, dan i noć itd.), ravnoteža lijevog i desnog, jednakost prirodnih pojava. Zapravo, imamo posla sa simetrijom gdje god postoji bilo kakav red. Koncept simetrije se naširoko koristi u psihologiji i moralu. Dakle, veliki Aristotel je vjerovao da simetrija ima značenje određene prosječne mjere, kojoj bi kreposna osoba trebala težiti u svojim postupcima. Rimski liječnik Galen (2. stoljeće poslije Krista) shvaćao je simetriju kao stanje duha, podjednako udaljeno od obje krajnosti, na primjer, od tuge i radosti, apatije i uzbuđenja. Simetrija, shvaćena kao mir, ravnoteža, suprotstavlja se kaosu i neredu. O tome svjedoči gravura Mariusa Eschera “Red i kaos” (sl. 196), gdje je, kako je sam umjetnik napisao, “zvjezdani dodekaedar, simbol ljepote i reda, okružen prozirnom kuglom. Odražava besmislenu zbirku beskorisnih stvari.

1.2. Matematičko razumijevanje simetrije

Gore navedeni koncepti simetrije su opće prirode i nisu egzaktni i rigorozni za matematiku.

Definicija 1. Simetrija – ovo je proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova nečega na suprotnim stranama točke, pravca ili ravnine.

Rigorozna matematička definicija simetrije nastala je relativno nedavno, u 19. stoljeću, kada su uvedeni pojmovi zrcalne i rotacijske simetrije.


Rozete, snježne pahulje su simetrične i vrlo lijepe figure.

U planimetriji postoji aksijalna (simetrija u odnosu na ravnu), središnja simetrija (simetrija u odnosu na točku), kao i rotirajuća, zrcalna i translacijska.

Definicija 2. Zovu se dvije točke A i A1 simetrično oko ravne a ako ovaj pravac prolazi središtem odsječka AA1 i okomit je na njega.

Svaka točka linije a

Definicija 2 . Za lik se kaže da je simetričan u odnosu na ravnu liniju. a, ako je za svaku točku lika točka koja joj je simetrična u odnosu na ravnu liniju a također pripada ovoj figuri. Ravno a pozvao osi simetrije figure. Kažu da brojka ima aksijalna simetrija. Oblici koji imaju os simetrije: pravokutnik, romb, kvadrat, jednakostranični trokut, jednakokračni trokut, krug itd.

Definicija 3. Zovu se dvije točke A i A1 simetrično oko točke O, ako je O središte segmenta AA1. Točka O smatra se simetričnim za sebe.

Definicija 4. Figura se zove simetrično oko točke O, ako je za svaku točku lika točka koja joj je simetrična u odnosu na točku O također pripada ovoj figuri. Točka O, Zove se središte simetrije figure. Kažu da brojka ima središnja simetrija. Primjeri figura koje imaju središnju simetriju: krug, paralelogram, trokut itd.

Matematika proučava mnoge figure koje imaju i aksijalnu i središnju simetriju (krug, kvadrat, itd.), samo aksijalnu simetriju (na primjer, jednakokračni trokut) i samo središnju simetriju (na primjer, opći paralelogram).

Kako bismo razumjeli ovu temu, proveli smo niz istraživačkih zadataka.

Istraživački zadaci.

Vježba 1. Na ravnoj liniji AB pronaći točku, zbroj udaljenosti od koje do dvije zadane točke M i N bio bi najmanji.

Rasprava. 1 slučaj. Neka M i N leže na suprotnim stranama , najkraća udaljenost između njih je , dakle, željena točka X leži na raskrižju i https://pandia.ru/text/79/046/images/image024_13.jpg" align="left hspace= 12" width ="187" height="132">Bilo koja druga točka na liniji AB nema ovo svojstvo jer .gif" width="36" height="23"> M1, simetrično M u vezi https://pandia.ru/text/79/046/images/image023_17.gif" width="36 height=27" height="27">.gif" width="36" height="23 src=" >, tada je željena točka X točka presjeka pravaca MN i AB.

Zadatak 2. Zadane ravne linije AB i bodova M i N. Pronađite na https://pandia.ru/text/79/046/images/image028_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="140"> Rasprava. 1 slučaj. bodova M i N leže na istoj strani pravca AB (i, štoviše, na različitim udaljenostima od nje. Zatim točka X pravca AB, za koju je razlika u udaljenostima od točaka M i N najveća je točka presjeka pravca AB s nastavkom odsječka MN. Zatim bilo koja druga točka X1 pravca AB nema ovo svojstvo, budući da (posljedica aksioma trokuta). Ako M i N nalazi se na istoj udaljenosti od https://pandia.ru/text/79/046/images/image031_8.jpg" align="left hspace=12" width="207" height="148"> 2. slučaj. bodova M i N leže na suprotnim stranama . Zatim željena točka , gdje .

Ako bodovi M i N nalaze se na suprotnim stranama i na istoj udaljenosti od njega, tada problem nema rješenja.

Zadatak 3. Istraži ima li središte simetrije: 1) segment; 2) greda; 3) kvadrat.

Rasprava. 1) da; 2) ne; 3 da

Zadatak 4. Istraži koje od sljedećih točaka latinice imaju središte simetrije: A, O, M, X.

Rasprava. Oh i X

Rasprava. 1) dva; 2) "beskonačan skup": bilo koji pravac okomit na zadanu, kao i sam pravac; 3) jedan.

Zadatak 6. Istražite koja od sljedećih slova imaju os simetrije: A, B, d, E, O u abecedi.

Rasprava. A, E, O

Zaključak: Ovi nam primjeri pokazuju da čak i točke u abecedi imaju simetričan položaj. Os simetrije ima različite geometrijske oblike.

1.3. Simetrija staroruskog ornamenta

Rusku ornamentiku karakteriziraju i cvjetni i geometrijski oblici, kao i slike ptica, životinja i fantastičnih životinja. Ruski ornament posebno dolazi do izražaja u drvorezbarstvu i vezenju. Najčešće su se koristile takozvane pletenice - pletenice vrpci, pojaseva, cvjetnih stabljika. U 17. stoljeću arhitekt Stepan Ivanov stvorio je svoj poznati ukras Paunovo oko.

Prema akademiku, poznatom arheologu i povjesničaru svjetskog glasa, drevni ruski ornament temeljio se na raznim univerzalnim idejama o svijetu. Svijest starog Slavena bila je uvjetovana mitološkim percepcijama stvarnosti. Sve se to odrazilo na motive karakteristične za ruski ornament.

· Motiv znakova "šarma"., koji su aplicirani na odjeću, kućanske potrepštine i razne dijelove doma..jpg" width="300" height="239 src=">

motiv pletenice, karakterističan za narukvice sirene, što se tumačilo kao znak vode i kraljevstva podzemnog gospodara Perepluta.

Motiv antičkog Božica Mokosha kao specifično utjelovljenje ideje Velike pramajke, zajedničke svim narodima u određenoj fazi povijesnog postojanja. Mokosha (Makosh) je jedina ženska slika u drevnoj ruskoj mitologiji. Njezino ime sugerira ispljuvak, vlagu, vodu. Mokosh je pokroviteljica svih ženskih aktivnosti, posebno predenja, a žene su ga uglavnom štovale.

https://pandia.ru/text/79/046/images/image041_6.jpg" width="324" height="211">

Od davnina se u ruskoj ornamentici razvio poseban sustav rasporeda simbola koji predstavljaju kretanje Sunca oko Zemlje. Postoji nekoliko vrsta sunčanih znakova, karakterizira ih rotirajuća simetrija. Najčešći krug, podijeljen polumjerima u različite sektore ("Kolo Jupitera"), kao i krug s križem iznutra.

Zaključak: Analizirajući literaturu o ovom pitanju, došli smo do zaključka da se u staroruskom ornamentu često nalaze simetrični simboli. U tradicionalnim nacionalnim ukrasima i predmetima za kućanstvo možete pronaći sve vrste simetrije na ravnini: središnju, aksijalnu, rotirajuću, prijenosnu.

1.4. Simetrija kroz vijekove

Čovjek već dugo vremena aktivno koristi ideju simetrije u svojim razmišljanjima o slici svijeta. Prema legendi, izraz "simetrija" skovao je kipar Pitagora iz Regija, koji je živio u gradu Regulusu. Odstupanje od simetrije definirao je pojmom "asimetrija". Stari Grci su vjerovali da je svemir simetričan samo zato što je lijep. Smatrajući sferu najsimetričnijom i najsavršenijim oblikom, zaključili su da je Zemlja sferna i da se kreće oko sfere oko određene “centralne vatre”, gdje se 6 tada poznatih planeta također kretalo zajedno s Mjesecom, Suncem i zvijezde.

Predstavnici prve znanstvene škole u povijesti čovječanstva, sljedbenici Pitagore od Samoe, pokušali su povezati simetriju s brojem.

Široko koristeći ideju harmonije i simetrije, antički znanstvenici voljeli su se pozivati ​​ne samo na sferne oblike, već i na pravilne poliedre, za čiju su konstrukciju koristili "zlatni omjer". Za pravilne poliedre, lica su pravilni poligoni iste vrste, a kutovi između strana su jednaki. Stari Grci utvrdili su nevjerojatnu činjenicu: postoji samo pet pravilnih konveksnih poliedara, čija su imena povezana s brojem lica - tetraedar, oktaedar, ikosaedar, kocka, dodekaedar.

2. Poglavlje

U ovom poglavlju je opisana teorija koja ukazuje na različite prikaze simetrije u prirodi, u ovom poglavlju dokazujemo da strukture koje je stvorio čovjek također imaju simetrične oblike.

2.1. Uloga simetrije u poznavanju prirode

Simetrija kristala posljedica je njihove unutarnje strukture: njihovi atomi i molekule imaju uređen međusobni raspored, tvoreći simetričnu rešetku atoma – tzv. kristalnu rešetku.

Nedostajuće elemente simetrije odredio je akademik Axel Wilhelmovich Gadolin (). Poznati profesor mineralogije iz njemačkog grada Marburga Johann Hessel 1830. godine. Objavio je svoj rad o simetriji kristala. Iz nekog razloga njegov rad je prošao nezapaženo. Ali 1897. god Hesselov rad je ponovno objavljen i od tada je njegovo ime ušlo u povijest znanosti.

Dakle, naučili su proučavati i uspoređivati ​​simetriju kristala. Postoji 9 elemenata simetrije i samo 32 različita skupa simetrijskih elemenata - skupina simetrije, koje određuju vanjski oblik kristala. Ali čim je broj elemenata simetrije kristala konačan, tada je i broj njihovih skupova konačan - kombinacije koje opisuju simetriju vanjskog oblika. Iz toga slijedi da je simetrija strog i sveobuhvatan zakon koji upravlja carstvom kristala. On određuje oblik kristala, broj njegovih lica i rubova, također diktira njegovu unutarnju strukturu.

Simetrija se može naći u morskim bićima kao što su morske zvijezde, morski ježinci i neke meduze.

Listovi, grane, cvjetovi i plodovi biljaka imaju izraženu simetriju. Neke od njih karakterizira samo zrcalna simetrija, ili samo rotacijska simetrija, klizanje.

Zanimljivo je da među biljkama iste vrste postoje one kod kojih se javlja i lijeva struktura lista i desna.

Živu prirodu karakteriziraju ne samo poznate vrste simetrije. Dakle, zakrivljena stabljika biljke, uvrnuti oblik mekušaca nisu ništa manje simetrični od kristala. Ali ovo je drugačija simetrija - krivocrtna, koja je otkrivena 1926. godine.

I 1960. god. Akademik je uveo u razmatranje simetriju sličnosti. Smatra se da su slične figure istog oblika. Simetrija sličnosti sastoji se od prijenosa (rotacije) figure uz istodobno smanjenje ili povećanje njezine veličine.

2.2. Simetrija u arhitektonskim strukturama

Simetrija dominira ne samo u prirodi, već i u ljudskoj kreativnosti. Lijepe primjere simetrije pokazuju arhitektonska djela. Zanimljive su staroruske građevine, posebice drvene crkve. Vitke i izražajne, sjeckane s osmerokutnikom, odnosno sa simetričnim osmerokutnim šatorima, savršeno su odgovarale konceptu ljepote u srednjovjekovnoj Rusiji.

Primjer je katedrala Vasilija Vasilija na Crvenom trgu u Moskvi. Hram se sastoji od deset različitih hramova, od kojih je svaki strogo simetričan, ali u cjelini nema ni zrcalne ni rotacijske simetrije.

Mnogo je primjera upotrebe simetrije i asimetrije u skulpturi. Na primjer, skulptura peloponeskog majstora iz Pitagorine škole "Delfski kočijaš", koja prikazuje pobjednika u natjecanju konjskih kola. Lik mladića u dugom hitonu općenito je simetričan, ali blagi okret trupa i glave narušava zrcalnu simetriju, što stvara iluziju kretanja, a kip kao da je živ.

Louis Pasteur je vjerovao da je upravo asimetrija ono što razlikuje živo od neživog, vjerujući da je simetrija čuvar mira, a asimetrija motor života. Primjer da paradoks simetrije služi ne samo za prenošenje pokreta, već i za pojačavanje dojma, je slika grčke vaze iz špilje Kamares na otoku Kreti.

Zaključak

Simetrija je nešto zajedničko, karakteristično za različite pojave, u osnovi svih stvari, a asimetrija izražava određene pojedinačne značajke stvari i pojava. I u prirodi, i u znanosti, i u umjetnosti - u svemu se nalazi jedinstvo i sučeljavanje simetrije i asimetrije. Svijet postoji zbog jedinstva ove dvije suprotnosti.

Nakon analize rada, došli smo do zaključka da se simetrija često nalazi u umjetnosti, arhitekturi, tehnologiji i svakodnevnom životu. Dakle, fasade mnogih zgrada imaju aksijalnu simetriju. U većini slučajeva, uzorci na tepisima, tkaninama i sobnim tapetama su simetrični oko osi ili središta. Mnogi detalji mehanizama su simetrični, na primjer, zupčanici.

Kao rezultat provedbe projekta:

u prošireno znanje o simetriji;

u naučio kakve životne pojave i

neke znanosti opisuju simetriju;

u nove prakse: rad s nastavnom, znanstvenom i nastavnom literaturom;

u saželi koncepte, ideje, znanja kojima je cilj projekta: Smatra se gdje se u životu javlja simetrija.

Bibliografski popis

1. N, Mitologija antičke Rusije. – M.: Eksmo, 2006.

2. Simetrija. – Ed. 2., sr. – M.: Uredništvo URSS, 2003.

3. Gnedengo o povijesti matematike u Rusiji. - 2. izd., vlč. i dodatni – M.: KomKniga, 2005.

4. Grafički motivi u ruskom narodnom vezenju. Muzej narodne umjetnosti. - M.: Sovjetska Rusija, 1990.

5. Klimova ornamentika u sastavu umjetničkih proizvoda. - m.: Likovna umjetnost, 1993.