GEOMETRIJA
Odjeljak II. STEREOMETRIJA
§22. LOPTA. SFERA.
1. Definicija lopte i sfere. Elementi lopte i sfere.
Metak je geometrijsko tijelo koje nastaje rotacijom kružnice oko osi koja sadrži njegov promjer (slika 500).
Središte kružnice koja rotira naziva se središte lopte, polumjer kružnice je polumjer lopte, a promjer kružnice je promjer lopte. Na slici 500 točka O je središte lopte, OA i OB su polumjeri lopte, a AB je promjer lopte.
Površina lopte naziva se kugla.
Središte, polumjer i promjer kugle također su središte, polumjer i promjer kugle.
Sve točke na kugli su na istoj udaljenosti, jednakoj polumjeru, od središta kugle. Ostale točke lopte koje ne pripadaju sferi nazivaju se unutarnjim točkama; za takve se kaže da leže unutar sfere. Unutarnje točke lopte nalaze se od središta lopte na udaljenosti manjoj od polumjera.
Tako dolazimo do druge definicije sfere i lopte.
Sfera je ploha koja se sastoji od svih točaka u prostoru jednako udaljenih od iste točke. Ta se točka naziva središte sfere, a udaljenost od središta sfere do bilo koje njezine točke je polumjer sfere.
Metak je geometrijsko tijelo koje se sastoji od svih točaka u prostoru koje se nalaze na udaljenosti ne većoj od dane točke od dane točke. Ta se točka naziva središtem lopte, a ta se udaljenost naziva polumjerom lopte.
Primjer. Polumjer kugle je 3,5 cm. Točka A se nalazi unutar ili izvan kugle ako je udaljena od središta kugle: 1) cm, 2) cm.
Kada se ljudi pitaju koja je razlika između sfere i lopte, mnogi jednostavno sliježu ramenima, misleći da je zapravo riječ o istoj stvari (analogija s krugom i krugom). Doista, znamo li svi dobro geometriju iz školskog programa i možemo li odmah odgovoriti na ovo pitanje? Kugla ima neke razlike od lopte, što moraju znati ne samo školarci kako bi dobili dobru ocjenu za svoje demonstrirano znanje, već i mnogi drugi ljudi, na primjer, čiji je rad izravno povezan s crtežima.
Definicija
Lopta– skup svih točaka u prostoru. Sve te točke nalaze se od središta geometrijskog tijela na udaljenosti koja nije veća od zadane. Sama ta udaljenost naziva se radijus. Lopta, kao geometrijsko tijelo, nastaje na sljedeći način: polukrug se okreće blizu njenog promjera. Što se tiče sfere, to je površina lopte (na primjer, zatvorena lopta je uključuje, otvorena ne). Izračunavanje površine ili volumena lopte uključuje čitave geometrijske formule koje su vrlo složene, unatoč prividnoj jednostavnosti same geometrijske figure.
Sfera, kao što je gore navedeno, je površina lopte, njezina ljuska. Sve točke u prostoru jednako su udaljene od središta sfere. Što se tiče polumjera geometrijskog tijela, naziva se bilo koji segment, od kojih je jedna točka izravno središte sfere, a druga se može nalaziti u bilo kojoj točki na površini. Možemo reći da je sfera ljuska lopte bez ikakvog sadržaja (konkretniji primjeri bit će navedeni u nastavku). Kao i lopta, kugla je tijelo rotacije. Usput, mnogi se također pitaju koja je razlika između kruga i kruga od sfere i lopte. Ovdje je sve jednostavno: u prvom slučaju to su figure u ravnini, u drugom - u svemiru.
Usporedba
Već je rečeno da je kugla površina lopte, što već omogućuje govoriti o jednom značajnom znaku razlike. Razlika između dva geometrijska tijela se vidi u nekim drugim aspektima:
- Sve točke lopte su na istoj udaljenosti od središta, dok je tijelo ograničeno površinom (kuglom koja je iznutra prazna). Drugim riječima, kugla je šuplja. Obično se radi lakšeg razumijevanja daje jednostavan primjer s balonom i biljarskom kuglom. Oba ova objekta nazivaju se loptama, ali u prvom slučaju imamo posla s kuglom, au drugom s punom kuglom sa svojim sadržajem unutra.
- Kugla ima svoju površinu, ali nema volumen. Sfera je suprotna: njen volumen se može izračunati, a nema površine. Neki bi mogli reći da je to glavni znak razlike, ali pojavljuje se samo ako je potrebno napraviti neke izračune (složene geometrijske formule). Dakle, glavna razlika je u tome što je kugla šuplja, a lopta tijelo sa sadržajem unutra.
- Druga razlika je u radijusu. Na primjer, radijus sfere nije samo udaljenost točaka od središta. Radijus može biti bilo koji segment koji povezuje točku na kugli s njezinim središtem. Svi ovi segmenti su međusobno jednaki. Što se tiče lopte, točke koje leže unutar nje udaljene su od središta manje od radijusa (upravo zbog sfere koja je omeđuje).
Web stranica Zaključci
- Kugla je šuplja, dok je lopta iznutra ispunjeno tijelo. Na primjer, balon je kugla, biljarska kugla je punopravna lopta.
- Sfera ima površinu, a nema volumen, ali sfera ima suprotno.
- Treća razlika je mjerenje polumjera dvaju geometrijskih tijela.
U 2. poglavlju nastavit ćemo s “izgradnjom geometrije” i govoriti o strukturi i svojstvima najvažnijih prostornih figura - kugli i sfera, cilindra i stožaca, prizmi i piramida - većina objekata stvorenih ljudskim rukama - zgrade, automobili, namještaj, posuđe , itd., itd., sastoji se od dijelova oblikovanih poput ovih figura.
§ 4. KUGLICA I LOPTA
Poslije pravaca i ravnina, kugla i lopta su najjednostavnije, ali vrlo važne prostorne figure bogate raznim svojstvima. O geometrijskim svojstvima lopte i njezine površine – sfere napisane su cijele knjige. Neka od tih svojstava bila su poznata još starogrčkim geometrima, a neka su otkrivena u novije vrijeme, posljednjih godina. Ta svojstva (zajedno sa zakonima prirodnih znanosti) objašnjavaju zašto su, na primjer, nebeska tijela i riblja jaja okruglog oblika, zašto su batiskafi i nogometne lopte napravljeni u obliku lopte, zašto su kuglični ležajevi tako česti u tehnici, zašto su kuglični ležajevi toliko česti u tehnici, zašto su batiskafi i nogometne lopte napravljeni u obliku lopte. itd. Možemo dokazati samo najjednostavnija svojstva lopte. Dokazi drugih, iako vrlo važnih svojstava, često zahtijevaju korištenje potpuno neelementarnih metoda, iako formulacija takvih svojstava može biti vrlo jednostavna: na primjer, među svim tijelima koja imaju određenu površinu, kugla ima najveći volumen.
4.1. Definicije sfere i lopte.
Sfera i lopta definirane su u prostoru na potpuno isti način kao kružnica i kružnica na ravnini. Sfera je lik koji se sastoji od svih točaka u prostoru udaljenih od date.
različite točke na istu (pozitivnu) udaljenost.
Ta se točka naziva središte sfere, a udaljenost je njezin polumjer (sl. 4.1).
Dakle, sfera sa središtem O i radijusom R je lik kojeg tvore sve točke X prostora za koje
Lopta je figura koju čine sve točke u prostoru koje se nalaze na udaljenosti koja nije veća od zadane (pozitivne) udaljenosti od zadane točke. Ta se točka naziva središtem lopte, a ta udaljenost je njezin polumjer.
Dakle, lopta sa središtem O i radijusom R je figura koju čine sve točke X prostora za koje
One točke X lopte sa središtem O i polumjerom R za koje tvore sferu. Kažu da ova kugla zatvara datu loptu ili da je njezina površina.
Otprilike iste točke X lopte za koje kažu da leže unutar lopte.
Polumjer sfere (i lopte) naziva se ne samo udaljenost, već i svaki segment koji povezuje središte s točkom na sferi.
Lopta i sfera su prije svega geometrijski likovi, a ako je lopta geometrijsko tijelo, onda je sfera površina lopte. Ove su brojke bile zanimljive prije mnogo tisuća godina pr.
Naknadno, kada je otkriveno da je Zemlja lopta, a nebo nebeska sfera, razvio se novi fascinantan pravac u geometriji - geometrija na sferi ili sferna geometrija. Da bismo mogli govoriti o veličini i volumenu lopte, prvo je moramo definirati.
Lopta
Lopta radijusa R sa središtem u točki O u geometriji je tijelo koje čine sve točke u prostoru koje imaju zajedničko svojstvo. Te se točke nalaze na udaljenosti koja ne prelazi polumjer lopte, odnosno ispunjavaju cijeli prostor manji od polumjera lopte u svim smjerovima od njezina središta. Ako razmatramo samo one točke koje su jednako udaljene od središta lopte, smatrat ćemo njezinu površinu ili ljusku lopte.
Kako mogu dobiti loptu? Možemo izrezati krug od papira i početi ga okretati oko vlastitog promjera. To jest, promjer kruga bit će os rotacije. Formirana figura bit će lopta. Stoga se lopta naziva i tijelom rotacije. Zato što se može formirati rotiranjem ravnog lika – kruga.
Uzmimo neki avion i njime presijecimo svoju loptu. Baš kao što naranču režemo nožem. Komad koji smo odrezali od lopte nazivamo sferni segment.
U staroj Grčkoj su znali ne samo raditi s loptom i sferom kao geometrijskim figurama, na primjer, koristiti ih u građevinarstvu, nego su također znali izračunati površinu lopte i volumen lopte.
Sfera je drugi naziv za površinu lopte. Kugla nije tijelo - ona je površina tijela rotacije. Međutim, budući da i Zemlja i mnoga tijela imaju sferni oblik, na primjer kap vode, proučavanje geometrijskih odnosa unutar sfere postalo je rašireno.
Na primjer, ako dvije točke sfere spojimo ravnom linijom, tada ćemo tu ravnicu zvati tetiva, a ako ta tetiva prolazi kroz središte sfere, koje se poklapa sa središtem lopte, tada ćemo tetivu zvati promjer kugle.
Ako nacrtamo ravnu liniju koja dodiruje sferu samo u jednoj točki, tada ćemo tu liniju zvati tangenta. Osim toga, ova tangenta na sferu u ovoj će točki biti okomita na polumjer sfere povučen na točku dodira.
Ako produžimo tetivu na ravnu liniju u jednom ili drugom smjeru od sfere, tada ćemo tu tetivu zvati sekantom. Ili možemo reći drugačije - sekansa sfere sadrži njezinu tetivu.
Volumen lopte
Formula za izračunavanje volumena lopte je:
gdje je R polumjer lopte.
Ako trebate pronaći volumen sfernog segmenta, upotrijebite formulu:
V seg =πh 2 (R-h/3), h je visina sfernog segmenta.
Površina lopte ili sfere
Da biste izračunali površinu sfere ili površinu lopte (to je ista stvar):
gdje je R polumjer sfere.
Arhimed je jako volio loptu i sferu, čak je tražio da mu na grobu ostavi crtež na kojem je lopta bila upisana u cilindar. Arhimed je vjerovao da su volumen lopte i njezina površina jednaki dvije trećine volumena i površine cilindra u koji je lopta upisana.”
Definicija.
Sfera (površina lopte) je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru koje su na istoj udaljenosti od jedne točke, tzv centar sfere(OKO).Kugla se može opisati kao trodimenzionalna figura koja nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko svog promjera za 360°.
Definicija.
Lopta je skup svih točaka u trodimenzionalnom prostoru, čija udaljenost ne prelazi određenu udaljenost do točke tzv. centar lopte(O) (skup svih točaka trodimenzionalnog prostora ograničen sferom).Lopta se može opisati kao trodimenzionalna figura koja nastaje rotacijom kruga oko svog promjera za 180° ili polukruga oko svog promjera za 360°.
Definicija. Polumjer sfere (lopte)(R) je udaljenost od centra sfere (lopte) O na bilo koju točku na sferi (površini lopte).
Definicija. Promjer kugle (lopte).(D) je segment koji povezuje dvije točke sfere (površinu lopte) i prolazi kroz njezino središte.
Formula. Volumen kugle:
| V= | 4 | π R 3 = | 1 | π D 3 |
| 3 | 6 |
Formula. Površina kugle kroz polumjer ili promjer:
S = 4π R 2 = π D 2
Jednadžba sfere
1. Jednadžba sfere polumjera R i središta u ishodištu Kartezijevog koordinatnog sustava:
x 2 + y 2 + z 2 = R 2
2. Jednadžba sfere polumjera R i središta u točki s koordinatama (x 0, y 0, z 0) u Kartezijevom koordinatnom sustavu:
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2
Definicija. Dijametralno suprotne točke su bilo koje dvije točke na površini lopte (sfere) koje su povezane promjerom.
Osnovna svojstva sfere i lopte
1. Sve točke sfere jednako su udaljene od središta.
2. Svaki presjek sfere ravninom je kružnica.
3. Svaki presjek lopte ravninom je krug.
4. Kugla ima najveći obujam od svih prostornih figura iste površine.
5. Kroz bilo koje dvije dijametralno suprotne točke možete povući mnogo velikih krugova za sferu ili krugova za loptu.
6. Kroz bilo koje dvije točke, osim dijametralno suprotnih točaka, možete povući samo jedan veliki krug za kuglu ili veliki krug za loptu.
7. Bilo koje dvije velike kružnice jedne lopte sijeku se ravnom crtom koja prolazi središtem lopte, a kružnice se sijeku u dvije dijametralno suprotne točke.
8. Ako je udaljenost između središta bilo koje dvije lopte manja od zbroja njihovih polumjera i veća od modula razlike njihovih polumjera, tada takve lopte presijecati, a u presječnoj ravnini nastaje kružnica.
Sekanta, tetiva, sekanta sferne ravnine i njihova svojstva
Definicija. Sekans sfere je pravac koji siječe sferu u dvije točke. Točke sjecišta nazivaju se piercing točke površine ili ulazno-izlazne točke na površini.
Definicija. Tetiva sfere (lopte)- ovo je segment koji povezuje dvije točke sfere (površina lopte).
Definicija. Rezna ravnina je ravnina koja siječe sferu.
Definicija. Dijametralna ravnina- ovo je sekantna ravnina koja prolazi kroz središte sfere ili lopte, presjek se formira u skladu s tim veliki krug I veliki krug. Veliki krug i veliki krug imaju središte koje se poklapa sa središtem sfere (lopte).
Svaka tetiva koja prolazi središtem kugle (lopte) je promjer.
Tetiva je isječak sekante.
Udaljenost d od središta sfere do sekante uvijek je manja od polumjera sfere:
d< R
Udaljenost m između rezne ravnine i središta sfere uvijek je manja od polumjera R:
m< R
Mjesto presjeka rezne ravnine na sferi uvijek će biti mali krug, a na lopti odjeljak će biti mali krug. Kružnica i kružić imaju svoja središta koja se ne poklapaju sa središtem sfere (lopte). Polumjer r takve kružnice može se pronaći pomoću formule:
r = √R 2 - m 2,
Gdje je R radijus sfere (lopte), m je udaljenost od središta lopte do ravnine rezanja.
Definicija. Hemisfera (hemisfera)- ovo je polovica sfere (lopte), koja nastaje kada se prereže dijametralnom ravninom.
Tangenta, tangentna ravnina na sferu i njihova svojstva
Definicija. Tangenta na sferu- Ovo je ravna linija koja dodiruje sferu samo u jednoj točki.
Definicija. Tangentna ravnina na sferu je ravnina koja dodiruje sferu samo u jednoj točki.
Tangenta (ravnina) uvijek je okomita na polumjer sfere povučen na točku dodira
Udaljenost od središta sfere do tangente (ravnine) jednaka je polumjeru sfere.
Definicija. Segment lopte- ovo je dio lopte koji je reznom ravninom odsječen od lopte. Osnova segmenta naziva krug koji je nastao na mjestu odsječka. Visina segmenta h je duljina okomice povučene iz sredine osnovice isječka na površinu isječka.
Formula. Vanjska površina segmenta sfere s visinom h kroz polumjer sfere R:
S = 2πRh