Površina pravokutnog trokuta može se pronaći na nekoliko načina. Pravi kut u bilo kojoj slici dodaje svojstva i to se može koristiti za ispravno i brzo rješavanje problema.
Pravokutni trokut
Prvo, razgovarajmo o pravokutnom trokutu, njegovim značajkama i svojstvima. Pravokutni trokut je trokut koji sadrži kut.
Pravokutni trokut ne može biti tupokutan jer bi tada zbroj kutova trokuta bio veći od 180 stupnjeva, što je nemoguće.
U pravokutnom trokutu dvije od tri visine poklapaju se sa stranicama – krakovima. Iz istog razloga, sjecište visina pravokutnog trokuta poklapa se s vrhom pod pravim kutom.
Riža. 1. Sve visine pravokutnog trokuta.
Ista točka bit će središte opisane kružnice.
Površina trokuta
Područje trokuta obično se nalazi pomoću standardne formule, kao polovica proizvoda baze i visine povučene na ovu bazu.
$$S=(1\više od 2)*a*h$$
Površinu možete pronaći kao polovicu umnoška stranica i sinusa kuta između njih:
$$S=(1\više od 2)*a*b*sin(g)$$
Postoje komplicirane formule za pronalaženje površine, ali se koriste izuzetno rijetko.
Površina pravokutnog trokuta
Područje pravokutnog trokuta nalazi se pomoću istih formula, ali u nekim slučajevima te se formule mogu pojednostaviti.
Na primjer, možete iskoristiti činjenicu da se visine u pravokutnom trokutu podudaraju s kracima. Tada standardna formula postaje:
$S=(1\over2)*a*b$, gdje su a i b katete pravokutnog trokuta.
Ovo je jedna od najjednostavnijih formula za područje pravokutnog trokuta. Pokušajmo transformirati drugu formulu.
$$S=(1\više od 2)*a*b*sin(g)$$
Ako se sjetimo da je sinus kuta omjer suprotne stranice i hipotenuze. U našem slučaju suprotnu katetu označavamo slovom f, jer je a susjedna kateta, a šiljasti kut može se zaključiti samo između katete i hipotenuze. Dakle, b je hipotenuza.
$S=(1\over2)*a*b*sin(g)= (1\over2)*a*b*(f\over(b))=(1\over2)a*f$ - sve ispadne ista ista formula.
Riža. 2. Dovođenje do zaključka.
To znači da smo prvi zaključak ispravno izveli, a pravokutni trokut ima samo jednu posebnu formulu za određivanje površine. Ako ne uspije, možete koristiti općenite formule. Ovo su dva moguća načina za izračunavanje površine.
Na primjer, ako je hipotenuza poznata prema uvjetima problema, tada možete pokušati pronaći visinu koja pada na hipotenuzu i odrediti područje pomoću opće formule. Koristeći isti princip, možete pronaći površinu kroz sinus ako su poznati hipotenuza i kateta.
Riža. 3. Visina povučena na hipotenuzu.
Najvažnije je zapamtiti da svaki problem uvijek ima 3 rješenja i svako riješite na najprikladniji način.
Što smo naučili?
Razgovarali smo o pravokutnim trokutima i izveli formulu za površinu pravokutnog trokuta pomoću kateta. Raspravljali smo o općim formulama za površinu trokuta i rekli da bi svaka od ovih formula funkcionirala za rješavanje pravokutnog trokuta.
Test na temu
Ocjena članka
Prosječna ocjena: 4.5. Ukupno primljenih ocjena: 115.
Pravokutni trokut nalazi se u stvarnosti na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava određene figure, kao i sposobnost izračunavanja njezine površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje geometrijskih problema, već iu životnim situacijama.
Geometrija trokuta
U elementarnoj geometriji, pravokutni trokut je lik koji se sastoji od tri spojena segmenta koji tvore tri kuta (dva šiljasta i jedan ravni). Pravokutni trokut izvorna je figura koju karakterizira niz važnih svojstava koja čine temelj trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:
- Hipotenuza je najduža stranica trokuta, nasuprot pravog kuta.
- Noge su segmenti koji tvore pravi kut. Ovisno o kutu koji se razmatra, noga može biti uz njega (tvoreći ovaj kut s hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot kutu). Za nepravokutne trokute nema kateta.
Omjer kateta i hipotenuze čini osnovu trigonometrije: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutnog trokuta.
Pravokutni trokut u stvarnosti
Ova brojka postala je raširena u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju raditi inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedra ili prizme imaju oblik trokuta - trodimenzionalne figure koje je lako susresti u svakodnevnom životu. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Ugaonik je alat za obradu metala, crtanje, konstrukciju i stolarstvo kojim konstruiraju kutove i školarci i inženjeri.
Površina trokuta
Područje geometrijske figure je kvantitativna procjena koliko je ravnina ograničena stranicama trokuta. Površina običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili koristeći takve varijable kao što su baza, stranica, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najjednostavnija formula za površinu izražava se kao:
gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.
Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:
gdje su a i b noge.
Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta pomoću tri para parametara:
- dvije noge;
- krak i susjedni kut;
- krak i suprotni kut.
U problemima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, tako da ovaj oblik kalkulatora omogućuje izračunavanje površine trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.
Primjeri iz stvarnog života
Keramičke pločice
Recimo da zidove kuhinje želite obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu jednog elementa oblaganja i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Recimo da trebate obraditi 7 četvornih metara. Duljina nogu jednog elementa je 19 cm, tada će površina pločice biti jednaka:
To znači da je površina jednog elementa 24,5 četvornih centimetara ili 0,01805 četvornih metara. Poznavajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 četvornih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 elemenata obloženih pločica.
Školski zadatak
Recimo da u školskom geometrijskom problemu trebate pronaći područje pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a suprotni kut 30 stupnjeva. Naš online kalkulator dolazi s ilustracijom koja prikazuje stranice i kutove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, tada je njezin suprotni kut kut alfa, jednak 30 stupnjeva. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:
Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu zadanog trokuta, već također određuje duljinu susjedne noge i hipotenuze, kao i vrijednost drugog kuta.
Zaključak
Pravokutni trokuti nalaze se u našim životima doslovno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.
Trokut je ravna geometrijska figura čiji je jedan kut jednak 90°. Štoviše, u geometriji je često potrebno izračunati površinu takve figure. Reći ćemo vam kako to učiniti dalje.
Najjednostavnija formula za određivanje površine pravokutnog trokuta
Početni podaci, gdje su: a i b stranice trokuta koje izlaze iz pravog kuta.
To jest, površina je jednaka polovici umnoška dviju strana koje izlaze iz pravog kuta. Naravno, postoji Heronova formula koja se koristi za izračunavanje površine pravilnog trokuta, ali za određivanje vrijednosti morate znati duljinu triju stranica. U skladu s tim, morat ćete izračunati hipotenuzu, a to je dodatno vrijeme.
Pronađite površinu pravokutnog trokuta koristeći Heronovu formulu
Ovo je dobro poznata i originalna formula, ali za to ćete morati izračunati hipotenuzu na dvije noge koristeći Pitagorin teorem.
U ovoj formuli: a, b, c su stranice trokuta, a p je poluopseg.
Odredite površinu pravokutnog trokuta pomoću hipotenuze i kuta
Ako nijedna noga nije poznata u vašem problemu, tada nećete moći koristiti najjednostavniju metodu. Da biste odredili vrijednost, morate izračunati duljinu nogu. To se može učiniti jednostavno korištenjem hipotenuze i kosinusa susjednog kuta.
b=c×cos(α)
Nakon što saznate duljinu jednog od krakova, pomoću Pitagorinog poučka možete izračunati drugu stranicu koja izlazi iz pravog kuta.
b 2 =c 2 -a 2
U ovoj formuli, c i a su hipotenuza, odnosno kateta. Sada možete izračunati površinu pomoću prve formule. Na isti način možete izračunati jednu od nogu, s obzirom na drugu i kut. U tom će slučaju jedna od traženih strana biti jednaka proizvodu kraka i tangente kuta. Postoje i drugi načini za izračunavanje površine, ali znajući osnovne teoreme i pravila, lako možete pronaći željenu vrijednost.
Ako nemate nijednu stranicu trokuta, već samo središnju i jedan od kutova, tada možete izračunati duljinu stranica. Da biste to učinili, upotrijebite svojstva medijana da pravokutni trokut podijelite na dva dijela. Prema tome, može djelovati kao hipotenuza ako izlazi iz oštrog kuta. Pomoću Pitagorinog poučka odredite duljine stranica trokuta koje dolaze iz pravog kuta.
Kao što vidite, poznavajući osnovne formule i Pitagorin teorem, možete izračunati površinu pravokutnog trokuta, koji ima samo jedan od kutova i duljinu jedne od strana.
Na satu geometrije u srednjoj školi svi su nam govorili o trokutima. No, u sklopu školskog programa dobivamo samo najnužnija znanja i učimo najčešće i standardne metode izračuna. Postoje li neobični načini da se pronađe ova količina?
Za uvod se prisjetimo koji se trokut smatra pravokutnim, a definiramo i pojam površine.
Pravokutni trokut je zatvorena geometrijska figura čiji je jedan kut jednak 90 0. Integralni pojmovi u definiciji su noge i hipotenuza. Noge označavaju dvije strane koje na mjestu spajanja čine pravi kut. Hipotenuza je stranica nasuprot pravog kuta. Pravokutni trokut može biti jednakokračan (njegove dvije stranice bit će iste veličine), ali nikada neće biti jednakostraničan (sve će stranice biti iste duljine). Nećemo detaljno raspravljati o definicijama visine, medijana, vektora i drugih matematičkih pojmova. Lako ih je pronaći u referentnim knjigama.
Površina pravokutnog trokuta. Za razliku od pravokutnika, pravilo o
ne primjenjuje se rad stranaka u utvrđivanju. Ako govorimo suhoparno, tada se područje trokuta shvaća kao svojstvo ove figure da zauzima dio ravnine, izraženo brojem. Prilično teško za razumjeti, složit ćete se. Nemojmo ulaziti duboko u definiciju; to nije naš cilj. Prijeđimo na glavnu stvar - kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Nećemo izvoditi same izračune, samo ćemo naznačiti formule. Da bismo to učinili, definirajmo oznaku: A, B, C - strane trokuta, noge - AB, BC. Kut ACB je ravan. S je površina trokuta, h n n je visina trokuta, gdje je nn strana na koju je spušten.
Metoda 1. Kako pronaći područje pravokutnog trokuta ako je poznata veličina njegovih nogu
Metoda 2. Pronađite površinu jednakokračnog pravokutnog trokuta
Metoda 3. Izračunavanje površine pomoću pravokutnika
Dopunjavamo pravokutni trokut do kvadrata (ako je trokut
jednakokračan) ili pravokutnik. Dobili smo jednostavan četverokut sastavljen od 2 identična pravokutna trokuta. U ovom slučaju, površina jednog od njih bit će jednaka polovici površine dobivene figure. S pravokutnika izračunava se umnoškom stranica. Označimo ovu vrijednost M. Željena vrijednost površine bit će jednaka polovici M.
Metoda 4. "Pitagorejske hlače." Poznati Pitagorin teorem
Svi se sjećamo njegove formulacije: “zbroj kvadrata kateta...”. Ali ne mogu svi
recimo, kakve veze imaju neke "hlače"? Činjenica je da je Pitagora u početku proučavao odnos između stranica pravokutnog trokuta. Utvrdivši uzorke u omjeru stranica kvadrata, uspio je izvesti formulu svima nama poznatu. Može se koristiti u slučajevima kada je veličina jedne od strana nepoznata.
Metoda 5. Kako pronaći područje pravokutnog trokuta pomoću Heronove formule
Ovo je također prilično jednostavna metoda izračuna. Formula uključuje izražavanje površine trokuta kroz brojčane vrijednosti njegovih stranica. Za izračune morate znati veličine svih strana trokuta.
S = (p-AC)*(p-BC), gdje je p = (AB+BC+AC)*0,5
Osim gore navedenog, postoji mnogo drugih načina za pronalaženje veličine tako tajanstvene figure poput trokuta. Među njima: proračun metodom upisane ili opisane kružnice, proračun korištenjem koordinata vrhova, korištenje vektora, apsolutne vrijednosti, sinusa, tangenti.