Svi koji su pozorno slušali učitelja geometrije u školi dobro su upoznati što je egipatski trokut. Od ostalih vrsta sličnih s kutom od 90 stupnjeva razlikuje se posebnim omjerom stranica. Kada osoba prvi put čuje izraz "egipatski trokut", na pamet mu padaju slike veličanstvenih piramida i faraona. A što kaže povijest?
Stručnjaci za egipatsku geometriju zvali su se "arpedonapti", oni koji vežu užad. Zatezanjem užadi su nacrtali dvije najjednostavnije i najvažnije linije u geometriji: ravnu i kružnicu. Prvo, jednostavnim zatezanjem užeta između dviju točaka, svojevrsna operacija koja je još uvijek prisutna u izrazima "nacrtaj liniju", "nacrtaj okomitu"; Drugi je tako da se jedna od dvije točke okreće oko druge, koja se drži fiksnom. Mogu li zamisliti stupanj razvoja ove dvije elementarne prakse?
Kao i uvijek, postoji nekoliko teorija o nazivu "egipatski trokut". Prema jednoj od njih, poznati Pitagorin teorem ugledao je svjetlo upravo zbog ove figure. Godine 535. pr. Pitagora je, slijedeći Talesovu preporuku, otišao u Egipat kako bi popunio neke praznine u znanju matematike i astronomije. Tamo je skrenuo pozornost na osobitosti rada egipatskih geodeta. Oni su jako na neobičan način izveo konstrukciju pod pravim kutom čije su stranice međusobno povezane u omjeru 3-4-5. Ovaj matematički niz omogućio je relativno jednostavno povezivanje kvadrata sve tri strane jednim pravilom. Tako je nastao poznati teorem. A egipatski trokut je upravo isti lik koji je na to potaknuo Pitagoru briljantno rješenje. Prema drugim povijesnim podacima, Grci su dali ime toj figuri: u to su vrijeme često posjećivali Egipat, gdje su se mogli zanimati za rad zemljomjera. Postoji mogućnost da, kao što je često slučaj sa znanstvenih otkrića, obje su se priče dogodile u isto vrijeme, pa je nemoguće sa sigurnošću reći tko je prvi smislio naziv "egipatski trokut". Njegova svojstva su nevjerojatna i, naravno, nisu ograničena samo na omjer stranica. Njegovo područje i stranice predstavljene su cijelim brojevima. Zbog toga nam primjena Pitagorinog teorema na njega omogućuje dobivanje cijelih brojeva kvadrata hipotenuze i kateta: 9-16-25. Naravno, ovo bi mogla biti samo slučajnost. Ali kako onda objasniti činjenicu da su Egipćani "svoj" trokut smatrali svetim? Vjerovali su u njegovu povezanost s cijelim svemirom.
Zapravo, praktične potrebe antičkih geodeta uskoro su mogle dovesti do potrebe za takvim radovima, koje danas nazivamo "kvadrat i šestar", a najispravnije bi ih trebali nazvati "krugovima i ravnim crtama". Sada je prirodno papir smatrati prirodnom arenom geometrije, tako da samo korištenje kvadrata i šestara razumijemo kao proizvoljnu granicu koju nameću spekulativni duhovi koji su preferirali nekoliko brojeva aksioma nego mnoštvo pogodnosti koje proizlaze iz mnoštvo instrumenata.
Otuda i razlika između stručnjaka za teorijsku geometriju. Stoga smo skloni potpuno zanemariti geometriju "na terenu" u korist ove "na papiru", što nam ne dopušta da shvatimo da će prilikom prijenosa geometrijskih operacija s polja na papir ponekad zahtijevati potpuno različite metode i metode.
Nakon što su informacije o ovom neobičnom geometrijskom liku postale javne, svijet je počeo tražiti druge slične trokute s cjelobrojnim stranicama. Bilo je očito da postoje. Ali važnost pitanja nije bila samo u izvođenju matematičkih izračuna, već i u testiranju "svetih" svojstava. Egipćani, unatoč svojoj neobičnosti, nikada nisu smatrani glupima - znanstvenici još uvijek ne mogu objasniti kako su piramide izgrađene. I ovdje je, odjednom, veza s prirodom i svemirom pripisana običnom liku. Doista, pronađeni klinopis sadrži naznake o poput trokuta sa stranicom čija je veličina opisana 15-znamenkastim brojem. Trenutno se egipatski trokut, čiji su kutovi 90 (desno), 53 i 37 stupnjeva, nalaze na potpuno neočekivanim mjestima. Na primjer, prilikom proučavanja ponašanja običnih molekula vode, pokazalo se da promjenu prati restrukturiranje prostorne konfiguracije molekula, u kojoj se može vidjeti ... isti egipatski trokut. Ako se sjetimo da se sastoji od tri atoma, onda možemo govoriti o uvjetnim trima stranama. Naravno, ne govorimo o potpunoj podudarnosti famoznog omjera, ali dobiveni brojevi su vrlo, vrlo blizu željenim. Je li to zato što su Egipćani svoj trokut "3-4-5" prepoznali kao simbolički ključ za prirodni fenomen i tajne svemira? Uostalom, voda je, kao što znate, osnova života. Bez sumnje, još je prerano stati na kraj proučavanju slavne egipatske figure. Znanost nikad ne žuri sa zaključcima, nastojeći dokazati svoje pretpostavke. A ostaje nam samo čekati i biti iznenađeni spoznajom
Ne treba zaboraviti da je točnost plana mnogo važnija nego na papiru. Arhitektu koji ima jasnu predstavu o cjelokupnom planu i koji se sjeća procesa kroz koji je prošao da bi prošao, trebao bi projekt. Relativno novije, kao i stare karte, koje su neizbježno crtane rudimentarnim alatima i nosačima, ne reproduciraju točno granice dijela zemlje. Zapravo, to je nemoguće, jer bi čak i greška u postotnom bodu - najmanja koja se može pojaviti u dovoljno velikoj skali - generirala apsolutnu grešku koja bi se teško mogla prihvatiti na terenu.
Egipatski trokut i njegova svojstva dobro su poznati od davnina. Ova se figura naširoko koristila u građevinarstvu za označavanje i izgradnju pravih kutova.
Povijest egipatskog trokuta
Tvorac ove geometrijske konstrukcije je jedan od najvećih matematičara antike, Pitagora. Zahvaljujući njegovim matematičkim istraživanjima možemo u potpunosti iskoristiti sva svojstva ove geometrijske konstrukcije u građevinarstvu.
U ovom slučaju temeljno je poznavanje oblika i mjere predmeta koji se opisuje; neće biti na geometristu da na terenu reproducira preciznost koja nedostaje na papiru. Isto se događa i matematičaru, kojem točnost očitanja uopće neće trebati u demonstracijama. Geometrija na papiru zamjenjuje točnost operacija na terenu geometrijom mentalnog procesa.
Naprotiv, od logike do materijalne točnosti, kao posljedica nužnog proširenja ljestvice za prelazak s plana na njegovo stvarno stvaranje, čin zatezanja užeta ostao je jedna od glavnih operacija, budući da je sve do Starog Egipta i Drevna grčka. Ova praksa je ostala nepromijenjena do danas, prenijeta je samo izumom i poboljšanjem određenih optičkih instrumenata. Iako je ravnalima i kvadratima prilično lako nacrtati okomicu na papiru, ista operacija na terenu s istim stupnjem točnosti zahtijeva radikalno različite metode.
Može se pretpostaviti da su matematičke vještine omogućile Pitagori da uoči obrazac u oblicima strukture. Daljnji razvoj događaji se mogu lako zamisliti. Temeljna analiza i donošenje zaključaka stvorili su jednu od najznačajnijih ličnosti u povijesti. Najvjerojatnije je Keopsova piramida odabrana kao prototip zbog svojih gotovo savršenih proporcija.
Na terenu je kvadrat beskoristan jer je premalen u odnosu na veličinu obrazaca. Čak i ako je kvadrat iznimno precizan, okomica koju može nacrtati dosegnut će svoj najveći ili najmanji metar. Ako trebamo označiti kvadrat od 30 metara po strani, ovu liniju moramo produžiti 30 puta. Ovo bi bila toliko neprecizna operacija da bi vjerojatno dovela do istih rezultata kao da približno izmjerimo točan kut.
Ova razmišljanja nas vraćaju na izvorno pitanje: Koje su metode koristili egipatski mjeritelji da bi nacrtali kvadratni komad zemlje? Kako su dobili kvadratni kut? Dakle, ako razvučemo prstenasto uže dužine 12 jedinica, označeno u tri točke na udaljenostima 3, 4 i 5, kao trokut s vrhom u označenim točkama, kut između najkraćih stranica trokuta je pravi kut.
Egipatski trokut u izgradnji
Svojstva ove jedinstvene geometrijske strukture su da njena izgradnja bez upotrebe bilo kakvih alata omogućuje izgradnju kuće s ispravnim kutovima u svim pogledima.
Važno! Naravno, u idealnom slučaju, najbolja opcija bila bi korištenje kutomjera ili kvadrata.
Nije poznato da li su ovaj proces svojedobno radili drevni zemljani, jer nije dokazano da su stari Egipćani znali da je trokut sa stranicama 3, 4 i 5 pravokutni trokut. Čak i ako znaju za ovaj ili druge pitagorejske trokute, to nužno znači da su poznavali prirodu, ili barem kako stvoriti pravi kut.
Odakle je došlo to znanje? Zbog nedostatka čak i djelomične dokumentacije i svjedoka, problemu možemo pokušati pristupiti s drugačijeg stajališta, više matematičkog nego povijesnog. Pitanje koje moramo postaviti je što pravi kut razlikuje od drugih? Ili bolje, koja je značajka kuta trokuta sa stranicama 3, 4 i 5?
Dakle, kvalitete egipatskog trokuta omogućuju vam da napravite prave kutove u svim omjerima. Strane strukture imaju sljedeći odnos jedna prema drugoj:
Da biste provjerili jeste li nacrtali pravu figuru, poslužite se dobro poznatom Pitagorinom teoremom iz škole.
Pažnja ! Svojstva egipatskog trokuta su takva da je kvadrat hipotenuze jednak kvadratima dvaju krakova.
Trenutni odgovor: za razliku od drugih trokuta, pitagorejski i najjednostavniji, sa stranicama 3, 4 i 5, mogu se spojiti s jedne strane, a zatim opet s druge. Na taj se način dobiva simetrična konfiguracija koja u potpunosti ispunjava sve slobodan prostor nema preklapanja ili praznina.
Niti jedan drugi kut osim desnog nema tu simetričnu karakteristiku, koja postaje vlastita definicija u prvoj cjelovitoj knjizi geometrije koja je ikada stigla do našeg vremena, Euklidovim elementima. Kad nastane ravna crta koja pada na drugu jednakih kutova, točni su.
Za bolje razumijevanje, uzmimo gornju ovisnost i sastavite mali primjer. Pomnožimo pet s pet. Kao rezultat, dobivamo hipotenuzu jednaku 25. Izračunajmo kvadrate dvaju krakova. Imat će 16 i 9 godina. Prema tome, njihov će zbroj biti dvadeset i pet.
Zato se svojstva egipatskog trokuta tako često koriste u građevinarstvu. Samo trebate uzeti radni komad i nacrtati ravnu liniju. Njegova duljina uvijek treba biti višekratnik 5. Zatim morate ocrtati jedan rub i od njega izmjeriti liniju koja je višestruka od 4, a od drugog 3.
Priroda kvadratnog kuta je da su kutovi koji nastaju presjekom dviju pravaca jednaki. To se može odmah pokazati na papiru presavijanjem papira duž jedne od konvergentnih linija i provjerom da se druga linija sama presavija.
Ovo svojstvo ima "klasičnu" geometrijsku konstrukciju označavanja dvaju kružnica, a zatim spajanja njihovih sjecišta. Simetričnost oblika je sasvim očita, a to je jasan dokaz jednakosti kutova. Štoviše, za razliku od Pitagorinog trokuta kojemu je potrebna daljnja konstrukcija, u ovom slučaju forma odmah nudi definiciju kvadratnog kuta kroz jednakost kutova i istovremeno se sama izgrađuje.
Pažnja ! Duljina svakog segmenta bit će 4 i 3 cm (na minimalnim vrijednostima). Sjecište ovih linija tvori pravi kut jednak 90 stupnjeva.
Alternativni načini konstruiranja pravog kuta od 90 stupnjeva
Kao što je gore navedeno, najbolja opcija bit će lako uzeti kvadrat ili kutomjer. Ovi alati omogućuju najmanji trošak vrijeme i trud za postizanje željenih proporcija. Glavno svojstvo egipatskog trokuta leži u njegovoj svestranosti. Lik se može izgraditi bez praktički ništa u arsenalu.
Ovo su još uvijek samo nagađanja. Bez sumnje, ovaj proces je definitivno lakši i točniji od prvog. Može se reći da možemo označiti samo okomicu koja prolazi kroz središte danog segmenta, a naziva se i os segmenta. Međutim, lako je vidjeti da ako želimo okomicu na jednom rubu, kao u slučaju crtanja kvadrata, moramo udvostručiti segment, proširiti ga do mjesta na kojem želimo nacrtati okomicu, a zatim ponoviti prethodni postupak .
Treba napomenuti da su sve ove metode posebno prikladne za ravne zemlje kao što je egipatska ravnica. Za bolje razumijevanje nekih problema vezanih uz zrakoplove i motore, potrebno je koristiti neke matematičke ideje iz trigonometrije za proučavanje trokuta. Počnimo s nekim definicijama i terminologijom koju ćemo koristiti na ovom slajdu. Počnimo s pravokutni trokut. Pravokutni trokut je trokutni lik s jednim kutom jednakim 90 stupnjeva.
Snažan u konstrukciji pravi kut jednostavna tiskana izdanja pomažu. Uzmite bilo koji časopis ili knjigu. Činjenica je da je u njima omjer stranica uvijek točno 90 stupnjeva. Tiskarske preše rade vrlo precizno. U suprotnom, rola koja se ubacuje u stroj bit će izrezana s nerazmjerno zakrivljenim kutovima.
Kut od 90 stupnjeva naziva se pravi kut, i tu je pravokutni trokut dobio ime. Ovo je najduža stranica od tri strane pravokutnog trokuta. Riječ "hipotenuza" dolazi od dvije grčke riječi koje znače "protezati" jer je to najduža strana.
Pitagorin teorem je tvrdnja koja se odnosi na duljine stranica bilo kojeg pravokutnog trokuta. Za bilo koji pravokutni trokut, kvadrat hipotenuze. jednak je zbroju kvadrata druge dvije strane. Napisano je matematički. Ovaj je teorem tijekom godina poznat u mnogim kulturama pod mnogim imenima. Vjeruje se da je teorem naučio dok je studirao u Egiptu. Egipćani su vjerojatno znali za odnose tisuću godina prije Pitagore.
Kako dobiti egipatski trokut s užetom
svojstva ovoga geometrijski lik teško precijeniti. Nije iznenađujuće da su inženjeri antike smislili mnogo načina da ga formiraju koristeći minimalne resurse.
Jedna od najjednostavnijih je metoda formiranja egipatskog trokuta sa svim njegovim svojstvima koja proizlaze iz toga pomoću jednostavnog užeta. Uzmite špagu i izrežite je na 12 apsolutno jednakih komada. Od njih dodajte lik s omjerima 3, 4 i 5.
Pitagora je generalizirao rezultat na bilo koji pravokutni trokut. Postoji mnogo različitih algebarskih i geometrijskih dokaza teorema. Većina njih počinje graditi kvadrate na skici glavnog pravokutnog trokuta. Na crtežu na vrhu ove stranice prikazujemo kvadrate nacrtane na tri strane trokuta. Kvadrat je poseban slučaj pravokutnika u kojemu su sve stranice jednake duljine. Dakle, za kvadrat sa stranicom jednakom a, površina se određuje na sljedeći način.
Počnimo s pravokutnim trokutom na kojem smo sagradili kvadrate na dvije strane, jednu crvenu i jednu plavu. Razbit ćemo dijelove ova dva kvadrata i premjestiti ih na područje sivog kvadrata na hipotenuzi. Tijekom operacije nismo izgubili nikakav materijal. Dakle, ako možemo točno ispuniti kvadrat hipotenuze, pokazali smo da su površine jednake.
Kako nacrtati kut od 45, 30 i 60 stupnjeva
Naravno, egipatski trokut i njegova svojstva vrlo su korisni pri izgradnji kuće. Ali bez drugih kutova još uvijek ne možete. Da biste dobili kut jednak 45 stupnjeva, uzmite materijal okvira ili baguette. Zatim ga ispilite pod kutom od četrdeset pet stupnjeva i spojite polovice jednu s drugom.
Što on radi? Prvi korak rotira trokut prema dolje u plavi kvadrat. Time se plavi kvadrat reže na tri dijela, dva trokuta i crveni pravokutnik. Dva trokuta su potpuno iste veličine kao i originalni trokut. "Dno" izvornog trokuta točno odgovara okomitoj strani kvadrata, budući da su stranice kvadrata jednake. Crveni pravokutnik ima okomite stranice jednake osnovici izvornog trokuta, a horizontalne stranice jednake su razlici između "donje" i "vertikalne" stranice izvornog trokuta.
Važno! Da biste dobili željeni nagib, otrgnite komad papira iz časopisa i preklopite ga. U tom slučaju, linije savijanja će proći kroz kut. Rubovi se moraju podudarati.
Kao što možete vidjeti, svojstva oblika znatno olakšavaju i bržu izgradnju geometrijske konstrukcije. Da biste postigli omjer stranica od 60 stupnjeva, trebate uzeti jedan trokut na 30º, a drugi je isti. Obično su takve proporcije potrebne pri izradi određenih ukrasnih elemenata.
Koristeći terminologiju sa slike na vrhu ove stranice, dimenzije crvenog pravokutnika. Sljedeći korak je pomicanje crvenog pravokutnika preko crvenog kvadrata. Pravokutnik strši iznad crvenog kvadrata, dok dva trokuta ostaju na plavom kvadratu. Sljedeći korak je pomicanje jednog od plavih trokuta okomito u kvadrat hipotenuze. Točno odgovara strani kvadrata hipotenuze jer su stranice kvadrata jednake. Sljedeći korak je pomicanje drugog plavog trokuta u kvadrat hipotenuze.
Sljedeći korak je kopiranje oblika izvornog trokuta lijevo u crveno područje. Trokut reže crveno područje na tri dijela, dva trokuta i mali žuti kvadrat. Izvorni trokut točno odgovara ovoj regiji iz dva razloga; okomite stranice su identične, a vodoravna strana crvenog područja je duljina crvenog kvadrata plus horizontalna duljina crvenog pravokutnika koji smo pomaknuli. Horizontalna duljina crvenog područja.
Pažnja ! Za izradu šesterokuta potreban je omjer stranica od 30º. Njihova svojstva su tražena u stolarskim prazninama.
Rezultati
Svojstva egipatskog trokuta naširoko se koriste u građevinarstvu gotovo dva i pol stoljeća. Čak i sada, s nedostatkom alata, graditelji koriste ovu tehniku koju je otkrio Pitagora kako bi postigli ravnomjerne kutove.