V-6-2014 (جميع النماذج الـ 56 من بنك الاستخدام)
أن تكون قادرًا على بناء واستكشاف أبسط النماذج الرياضية (نظرية الاحتمالات)
1. في تجربة عشوائية ، يتم رمي نردتين. أوجد احتمال الحصول إجمالاً على ٨ نقاط. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.المحلول: عدد النتائج التي ستسقط فيها 8 نقاط نتيجة لف النرد هو 5: 2 + 6 ، 3 + 5 ، 4 + 4 ، 5 + 3 ، 6 + 2. يمكن أن يسقط كل حجر من النرد بست طرق ، وبالتالي فإن العدد الإجمالي للنتائج هو 6 6 = 36. لذلك ، فإن احتمال سقوط 8 نقاط في المجموع هو 5: 36 = 0.138 ... = 0.14
2. في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة مرتين. أوجد احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة بالضبط.المحلول: هناك 4 نتائج محتملة للتجربة: الرؤوس ، ذيول الرؤوس ، ذيول الرؤوس ، ذيول الذيل. تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط في حالتين: ذيول الرأس وذيول الرؤوس. لذلك ، فإن احتمال سقوط الرؤوس مرة واحدة بالضبط هو 2: 4 = 0.5.
3. 20 رياضيا يشاركون في بطولة الجمباز: 8 من روسيا و 7 من الولايات المتحدة والباقي من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤدي به اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون الرياضي الذي ينافس أولاً من الصين.المحلول: يشارك في البطولةالرياضيين من الصين. إذن ، فإن احتمال أن يكون اللاعب الذي يؤدي أول لاعب من الصين هو 5: 20 = 0.25
4. في المتوسط ، تم بيع 5 مضخات من إجمالي 1000 مضخة حديقة. أوجد احتمال عدم تسرب إحدى المضخات المختارة عشوائيًا.المحلول: في المتوسط ، من بين 1000 مضخة حديقة تم بيعها ، 1000-5 = 995 لا تتسرب. هذا يعني أن احتمال عدم تسرب إحدى المضخات المختارة عشوائيًا للتحكم هو 995: 1000 = 0.995
5. ينتج المصنع الأكياس. في المتوسط ، مقابل كل 100 كيس عالي الجودة ، هناك ثمانية أكياس بها عيوب خفية. ابحث عن احتمال أن تكون الحقيبة المشتراة عالية الجودة. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.المحلول: حسب الحالة ، لكل 100 + 8 = 108 كيس ، هناك 100 كيس عالي الجودة. هذا يعني أن احتمال أن تكون الحقيبة المشتراة بجودة عالية هو 100: 108 \ u003d 0.925925 ... \ u003d 0.93
6. 4 رياضيين من فنلندا ، 7 رياضيين من الدنمارك ، 9 رياضيين من السويد و 5 رياضيين من النرويج يشاركون في مسابقة رمي الجلة. يتم تحديد ترتيب تنافس الرياضيين بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون آخر لاعب تنافس من السويد.. المحلول : في المجموع ، يشارك 4 + 7 + 9 + 5 = 25 رياضيًا في المنافسة. لذا فإن احتمال أن يكون اللاعب الذي شارك في آخر منافسة من السويد هو 9: 25 = 0.36
7. المؤتمر العلمي الذي يعقد في 5 أيام. تم التخطيط لما مجموعه 75 تقريرًا - الأيام الثلاثة الأولى ، 17 تقريرًا لكل منها ، والباقي يتم توزيعها بالتساوي بين اليومين الرابع والخامس. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم تحديد موعد تقرير الأستاذ م في اليوم الأخير من المؤتمر؟المحلول: خلال الأيام الثلاثة الأولى ستتم قراءة 51 تقريرًا ، ومن المقرر 24 تقريرًا في اليومين الماضيين. لذلك ، تم جدولة 12 تقريرًا لليوم الأخير. وهذا يعني أن احتمال جدولة تقرير الأستاذ M. في اليوم الأخير من المؤتمر هو 12: 75 = 0.16
8. تقام مسابقة فناني الأداء في 5 أيام. تم الإعلان عن 80 عرضًا - عرض واحد من كل دولة. في اليوم الأول هناك 8 عروض ، والباقي موزعة بالتساوي بين الأيام المتبقية. يتم تحديد ترتيب العروض بالتعادل. ما هو احتمال أن يتم أداء ممثل روسيا في اليوم الثالث من المسابقة؟المحلول: من المقرر لليوم الثالثكلمات. هذا يعني أن احتمالية جدولة أداء ممثل من روسيا لليوم الثالث من المسابقة هو 18: 80 = 0.225
9. حضر الندوة 3 علماء من النرويج و 3 من روسيا و 4 من أسبانيا. يتم تحديد ترتيب التقارير بالتعادل. أوجد احتمال أن يكون الثامن هو تقرير عالم من روسيا.المحلول: في المجموع ، يشارك 3 + 3 + 4 = 10 علماء في الندوة ، مما يعني أن احتمال أن يكون العالم الذي يتحدث الثامنة سيكون من روسيا هو 3:10 = 0.3.
10. قبل بدء الجولة الأولى من بطولة كرة الريشة ، يتم تقسيم المشاركين عشوائياً إلى أزواج من خلال القرعة. في المجموع ، يشارك في البطولة 26 لاعبًا في كرة الريشة ، من بينهم 10 مشاركين من روسيا ، بما في ذلك رسلان أورلوف. أوجد احتمال أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا؟المحلول: في الجولة الأولى ، يستطيع رسلان أورلوف اللعب بـ 26 - 1 = 25 لاعباً في كرة الريشة ، منهم 10 - 1 = 9 من روسيا. هذا يعني أن احتمال أن يلعب رسلان أورلوف في الجولة الأولى مع أي لاعب تنس ريشة من روسيا هو 9:25 = 0.36
11. لا يوجد سوى 55 تذكرة في مجموعة تذاكر الأحياء ، 11 منها تحتوي على سؤال عن علم النبات. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول علم النبات في تذكرة اختبار تم اختيارها عشوائيًا.الحل: 11:55 = 0.2
12. يتنافس في بطولة الغوص 25 رياضيا منهم 8 لاعبي قافز من روسيا و 9 لاعبا من باراغواي. يتم تحديد ترتيب العروض بالتعادل. أوجد احتمال أن يكون الطائر السادس من باراغواي.
13. مصنعان ينتجان نفس الزجاج لمصابيح السيارات. ينتج المصنع الأول 30٪ من هذه الزجاجات ، والثاني - 70٪. ينتج المصنع الأول 3٪ من الزجاج المعيب ، والثاني - 4٪. أوجد احتمالية أن الزجاج الذي تم شراؤه عن طريق الخطأ في أحد المتاجر سيكون به عيب.
المحلول. تحويل ٪٪ إلى كسور.
الحدث أ - "زجاج تم شراؤه من المصنع الأول". الفوسفور (أ) = 0.3
الحدث ب - "تم شراء أكواب من المصنع الثاني". الفوسفور (ب) = 0.7
الحدث X - "Windows معيبة".
P (A و X) = 0.3 * 0.03 = 0.009
P (B و X) = 0.7 * 0.04 = 0.028 وفقًا لمعادلة الاحتمال الإجمالية: P = 0.009 + 0.028 = 0.037
14. إذا لعب Grandmaster A. دور الأبيض ، فإنه يفوز بالسيد B مع احتمال 0.52. إذا لعب A. باللون الأسود ، فإن A. تتفوق على B. باحتمال 0.3. يلعب Grandmasters A. و B. لعبتين ، وفي اللعبة الثانية يغيران لون القطع. أوجد احتمال فوز A. في المرتين. المحلول: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. ألقى فاسيا وبيتيا وكوليا وليوشا القرعة - من يجب أن يبدأ المباراة. أوجد احتمال أن يبدأ بيتيا اللعبة.
الحل: تجربة عشوائية - إلقاء القرعة.
في هذه التجربة ، يكون الحدث الابتدائي هو المشارك الذي يربح القرعة.
نسرد الأحداث الأولية المحتملة:
(فاسيا) ، (بيتيا) ، (كوليا) ، (ليشا).
سيكون هناك 4 منهم ، أي ن = 4. تشير القرعة إلى أن جميع الأحداث الأولية ممكنة بشكل متساوٍ.
يتم تفضيل الحدث A = (فازت بيتيا في القرعة) بحدث ابتدائي واحد فقط (بيتيا). لذلك N (A) = 1.
ثم P (A) = 0.25الجواب: 0.25.
16. 16 فريق يشاركون في بطولة العالم. من خلال القرعة ، يجب تقسيمهم إلى أربع مجموعات ، كل منها أربعة فرق. مختلطة في الصندوق هي بطاقات بأرقام المجموعة: 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، 2 ، 2 ، 2 ، 2 ، 3 ، 3 ، 3 ، 3 ، 4 ، 4 ، 4 ، 4. يقوم قادة الفريق برسم بطاقة واحدة في كل مرة . ما هو احتمال أن يكون المنتخب الروسي في المجموعة الثانية؟المحلول: هناك 16 نتيجة في المجموع. مع الرقم 2 سيكون 4. لذا 4: 16 = 0.25
17. في امتحان الهندسة ، يحصل الطالب على سؤال واحد من قائمة أسئلة الامتحان. احتمال أن يكون هذا سؤال دائرة مغطى هو 0.2. احتمال أن يكون هذا السؤال متوازي الأضلاع هو 0.15. لا توجد أسئلة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت. ابحث عن احتمال حصول الطالب على سؤال حول أحد هذين الموضوعين في الاختبار.
= (سؤال حول موضوع "الدائرة المدرجة") ،
= (سؤال حول موضوع "متوازي الأضلاع").
الأحداثو غير متوافقة ، لأنه بشرط لا توجد أسئلة في القائمة تتعلق بهذين الموضوعين في نفس الوقت.
حدث= (سؤال حول أحد هذين الموضوعين) هو اتحادهم:.
نطبق صيغة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:
.
18. تبيع آلتان متطابقتان القهوة في مركز تجاري. احتمال نفاد القهوة من الآلة بنهاية اليوم هو 0.3. احتمال نفاد القهوة من كلا الجهازين هو 0.12. أوجد احتمال وجود قهوة متبقية في كلتا جهازي البيع بحلول نهاية اليوم.
دعونا نحدد الأحداث
= (القهوة ستنتهي في الآلة الأولى) ،
= (القهوة ستنتهي في الآلة الثانية).
حسب المهمةو .
باستخدام صيغة جمع الاحتمالات ، نجد احتمال وقوع حدث
و = (القهوة ستنتهي بآلة واحدة على الأقل):
.
لذلك ، فإن احتمال الحدث المعاكس (ستبقى القهوة في كلا الجهازين) يساوي
.
19. رياضي رياضي يطلق النار على الأهداف خمس مرات. احتمال إصابة الهدف برصاصة واحدة هو 0.8. أوجد احتمال أن يكون الرياضي قد أصاب الأهداف في أول ثلاث مرات وأخطأ في آخر مرتين. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.
في هذه المشكلة ، يُفترض أن نتيجة كل لقطة تالية لا تعتمد على اللقطة السابقة. لذلك ، فإن الأحداث "إصابة من الطلقة الأولى" ، "إصابة في الطلقة الثانية" ، إلخ. لا يعتمد.
احتمالية كل نتيجة هي. لذا فإن احتمال كل خطأ هو. نستخدم صيغة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة. نحصل على هذا التسلسل
= (ضرب ، ضرب ، ضرب ، تفوت ، تفوت) احتمال
=
=. إجابه: .
20. يوجد في المتجر نوعان من آلات الدفع. يمكن أن يكون كل واحد منهم معيبًا باحتمال 0.05 ، بغض النظر عن الجهاز الآلي الآخر. أوجد احتمال أن يكون جهازًا واحدًا على الأقل صالحًا للخدمة.
تفترض هذه المشكلة أيضًا استقلالية تشغيل الآلات.
أوجد احتمال وقوع حدث معاكس
= (كلا الجهازين معيبان).
للقيام بذلك ، نستخدم صيغة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:
.
لذا فإن احتمال وقوع حدث= (تشغيل آلي واحد على الأقل) يساوي. إجابه: .
21. تضيء الغرفة بفانوس بمصباحين. احتمال احتراق مصباح واحد في السنة هو 0.3. أوجد احتمال عدم احتراق مصباح واحد على الأقل خلال عام.الحل: كلاهما سيحترق (الأحداث مستقلة ونستخدم صيغة حاصل ضرب الاحتمالات) مع الاحتمال p1 = 0.3⋅0.3 = 0.09
الحدث المعاكس(لن يحترق كلاهما = لن يحترق أحدهما على الأقل)
سيحدث مع احتمال ص = 1-p1 = 1-0.09 = 0.91
الجواب: 0.91.0000
22. احتمال بقاء غلاية كهربائية جديدة لأكثر من عام هو 0.97. احتمال استمرارها لأكثر من عامين هو 0.89. أوجد احتمال أن يستمر أقل من عامين ولكن أكثر من عام.
المحلول.
لنفترض أن A = "ستستمر الغلاية لأكثر من عام ، ولكن أقل من عامين" ، B = "ستستمر الغلاية لأكثر من عامين" ، ثم A + B = "ستستمر الغلاية لأكثر من عام."
الحدثان A و B مشتركان ، واحتمال مجموعهما يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث ، مخفضًا باحتمالية منتجهما. إن احتمال ناتج هذه الأحداث ، الذي يتكون من حقيقة أن الغلاية ستفشل في غضون عامين بالضبط - بالضبط في نفس اليوم والساعة والثانية - يساوي صفرًا. ثم:
P (A + B) = P (A) + P (B) - P (A B) = P (A) + P (B) ،
ومن هنا ، باستخدام البيانات من الحالة ، نحصل على 0.97 = P (A) + 0.89.
وبالتالي ، بالنسبة للاحتمال المطلوب لدينا: P (A) = 0.97 - 0.89 = 0.08.
23. شركة زراعية تشتري بيض من أسرتين. 40٪ من بيض المزرعة الأولى بيض من أعلى فئة ، ومن المزرعة الثانية - 20٪ بيض من أعلى فئة. إجمالاً ، 35٪ من البيض يحصل على أعلى فئة. أوجد احتمال أن تكون البيضة المشتراة من هذه المزرعة من المزرعة الأولى.المحلول: دع في المزرعة الأولى ، تشتري الشركة الزراعيةبما في ذلك البيض بيض من أعلى فئة وفي المزرعة الثانية -بما في ذلك البيض بيض من أعلى فئة. وهكذا ، في المجموع ، يشتري agroformبما في ذلك البيض بيض من أعلى فئة. حسب الشرط ، 35٪ من البيض لديها أعلى فئة ، إذن:
لذلك ، فإن احتمال أن تكون البيضة المشتراة من المزرعة الأولى تساوي =0,75
24. يوجد 10 أرقام على لوحة مفاتيح الهاتف ، من 0 إلى 9. ما هو احتمال أن الرقم المضغوط عشوائيًا سيكون زوجيًا؟
25. ما هو احتمال أن العدد الطبيعي المختار عشوائياً من 10 إلى 19 يقبل القسمة على ثلاثة؟
26. يضرب كاوبوي جون ذبابة على الحائط باحتمال 0.9 إذا أطلق من رصاصة مسدس. إذا أطلق جون مسدسًا غير مسدس ، فإنه يضرب ذبابة باحتمال 0.2. هناك 10 مسدسات على الطاولة ، تم إطلاق 4 منها فقط. يرى كاوبوي جون ذبابة على الحائط ، يمسك عشوائيًا بأول مسدس يصادفه ويطلق النار بسرعة. أوجد الاحتمال الذي أخطأه جون. الحل: جون يضرب ذبابة إذا أمسك بمسدس مبصر وضرب منه ، أو أمسك بمسدس غير مفصول وضرب منه. وفقًا لمعادلة الاحتمال الشرطي ، فإن احتمالات هذه الأحداث هي 0.4 0.9 = 0.36 و 0.6 0.2 = 0.12 على التوالي. هذه الأحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث: 0.36 + 0.12 = 0.48. الحدث الذي فاته جون هو عكس ذلك. احتماله هو 1 - 0.48 = 0.52.
27. هناك 5 أشخاص في مجموعة السياح. بمساعدة الكثير ، اختاروا شخصين يجب أن يذهبوا إلى القرية للحصول على الطعام. يرغب السائح "أ" في الذهاب إلى المتجر ، لكنه يخضع للقرعة. ما هو احتمال أن يذهب "أ" إلى المتجر؟المحلول: هناك خمسة سياح في المجموع ، اثنان منهم يتم اختيارهم بشكل عشوائي. احتمال الاختيار هو 2: 5 = 0.4. الجواب: 0.4.
28. قبل بدء مباراة كرة قدم ، يرمي الحكم قطعة نقود ليحدد الفريق الذي سيبدأ لعبة الكرة. يلعب فريق Physicist ثلاث مباريات مع فرق مختلفة. أوجد احتمال أن يفوز "Physicist" في هذه الألعاب مرتين بالضبط.المحلول: دعنا نشير بالرقم "1" إلى جانب العملة المسؤول عن ربح القرعة بواسطة "الفيزيائي" ، سيتم الإشارة إلى الوجه الآخر للعملة بالرمز "0". ثم هناك ثلاث مجموعات مواتية: 110 ، 101 ، 011 ، وهناك مجموعتان في المجموع 3 = 8: 000 ، 001 ، 010 ، 011 ، 100 ، 101 ، 110 ، 111. وهكذا ، فإن الاحتمال المطلوب هو:
29. النرد رمي مرتين. كم عدد النتائج الأولية للتجربة التي تفضل الحدث "أ = مجموع النقاط يساوي 5"؟ الحل: مجموع النقاط يمكن أن يساوي 5 في أربع حالات: "3 + 2" ، "2 + 3" ، "1 + 4" ، "4 + 1". الجواب: 4.
30. في تجربة عشوائية ، يتم رمي عملة متماثلة مرتين. أوجد احتمال أن تأتي نتيجة OR (الرأس في المرة الأولى ، وذيول الثانية).المحلول: هناك أربع نتائج محتملة: الرؤوس ، التيول ، الرؤوس ، الذيول ، الذيول. الأفضل هو واحد: ذيول الرؤوس. لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب هو 1: 4 = 0.25. الجواب: 0.25.
31. مجموعات تؤدي في مهرجان موسيقى الروك - واحدة من كل دولة من الدول المعلن عنها. يتم تحديد ترتيب الأداء بالقرعة. ما هو احتمال أن تؤدي فرقة من الدنمارك بعد فرقة من السويد وبعد فرقة من النرويج؟ قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.المحلول: لا يهم العدد الإجمالي للفرق التي تؤدي في المهرجان للإجابة على السؤال. بغض النظر عن العدد ، توجد بالنسبة لهذه البلدان 6 طرق للترتيب المتبادل بين المتحدثين (D - الدنمارك ، W - السويد ، N - النرويج):
L ... S ... N ...، ... D ... N ... Sh ...، ... Sh ... N ... L ...، ... Sh. ..L ... N ...، ... N ... D ... W ...، ... N ... S ... L ...
تأتي الدنمارك بعد السويد والنرويج في مناسبتين. لذلك ، فإن احتمال توزيع المجموعات عشوائيًا بهذه الطريقة يساويالجواب: 0.33.
32. أثناء قصف المدفعية ، يقوم النظام الأوتوماتيكي بإطلاق النار على الهدف. إذا لم يتم تدمير الهدف ، يتم إطلاق النظام مرة أخرى. تتكرر الطلقات حتى يتم تدمير الهدف. احتمال تدمير هدف معين من الطلقة الأولى هو 0.4 ، ومع كل طلقة لاحقة - 0.6. كم عدد الطلقات المطلوبة للتأكد من أن احتمال تدمير الهدف لا يقل عن 0.98؟المحلول: يمكنك حل المشكلة "بالأفعال" ، بحساب احتمال النجاة بعد سلسلة من الأخطاء المتتالية: P (1) = 0.6. ل (2) = ف (1) 0.4 = 0.24. ل (3) = ف (2) 0.4 = 0.096. الفوسفور (4) = الفوسفور (3) 0.4 = 0.0384 ؛ الفوسفور (5) = P (4) 0.4 = 0.01536. الاحتمال الأخير أقل من 0.02 ، لذا يكفي خمس تسديدات على الهدف.
33. للتقدم إلى الدور التالي من المسابقة ، يحتاج فريق كرة القدم إلى تسجيل 4 نقاط على الأقل في مباراتين. إذا فاز الفريق يحصل على 3 نقاط ، في حالة التعادل - نقطة واحدة ، إذا خسر - 0 نقطة. ابحث عن احتمال أن يتمكن الفريق من التقدم إلى الجولة التالية من المنافسة. ضع في اعتبارك أن احتمالات الفوز والخسارة في كل لعبة هي نفسها وتساوي 0.4. المحلول : يمكن للفريق أن يحصل على 4 نقاط على الأقل في مباراتين بثلاث طرق: 3 + 1 ، 1 + 3 ، 3 + 3. هذه الأحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالاتها. كل حدث من هذه الأحداث هو نتاج حدثين مستقلين - النتيجة في المباراة الأولى والثانية. ومن ثم لدينا:
34- وفي مدينة معينة ، يوجد 2512 طفلاً من أصل 5000 مولود. تعرف على وتيرة ولادة الفتيات في هذه المدينة. قرب النتيجة إلى جزء من الألف.المحلول: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. يوجد 12 مقعدا على متن الطائرة بجوار مخارج الطوارئ و 18 مقعدا خلف الحواجز الفاصلة بين الكبائن. بقية المقاعد غير مريحة للراكب طويل القامة. الراكب V. طويل القامة. أوجد احتمال حصول الراكب "ب" على مقعد مريح عند تسجيل الوصول ، مع اختيار عشوائي للمقعد ، إذا كان هناك 300 مقعد على متن الطائرة.المحلول : على متن الطائرة ، 12 + 18 = 30 مقعدًا ملائمة للراكب الخامس ، وإجمالاً هناك 300 مقعد على متن الطائرة. لذلك ، فإن احتمال حصول الراكب "ب" على مقعد مريح هو 30: 300 = 0.1 الإجابة: 0.1.
36- يجلس المشاركون في الأولمبياد بالجامعة في ثلاثة فصول دراسية. في أول شخصين ، 120 شخصًا لكل منهما ، يتم نقل البقية إلى قاعة احتياطية في مبنى آخر. عند العد ، اتضح أنه كان هناك 250 مشاركًا في المجموع. أوجد احتمال أن يكون مشاركًا تم اختياره عشوائيًا قد كتب الأولمبياد في الغرفة الاحتياطية.المحلول: في المجموع ، تم إرسال 250 - 120 - 120 = 10 أشخاص إلى الجمهور الاحتياطي. لذلك ، فإن احتمال أن يكون مشاركًا تم اختياره عشوائيًا قد كتب الأولمبياد في الغرفة الاحتياطية هو 10: 250 = 0.04. الجواب: 0.04.
37. هناك 26 شخصًا في الفصل ، من بينهم توأمان - أندري وسيرجي. ينقسم الفصل بشكل عشوائي إلى مجموعتين من 13 شخصًا لكل منهما. أوجد احتمال أن يكون أندريه وسيرجي في نفس المجموعة.المحلول: دع أحد التوائم في مجموعة ما. سويًا معه ، سيكون 12 شخصًا من بين 25 من زملاء الدراسة المتبقين في المجموعة. احتمال أن يكون التوأم الثاني من بين هؤلاء الـ 12 شخصًا هو 12:25 = 0.48.
38. في الشركة 50 سيارة. 27 قطعة منها سوداء عليها نقوش صفراء على الجوانب ، والباقي صفراء مع نقوش سوداء. أوجد احتمال وصول سيارة صفراء ذات نقوش سوداء إلى مكالمة عشوائية.الحل: 23:50 = 0.46
39. هناك 30 شخصا في مجموعة السياح. يتم إلقاءهم بطائرة هليكوبتر في عدة خطوات إلى منطقة نائية ، 6 أشخاص في كل رحلة. الترتيب الذي تنقل به المروحية السياح عشوائي. أوجد احتمال قيام السائح P. بأول رحلة لهليكوبتر.المحلول: هناك 6 مقاعد في الرحلة الأولى ، بإجمالي 30 مقعدًا ، ثم احتمال أن يطير السائح P. في أول رحلة مروحية هو: 6:30 = 0.2
40. يبلغ احتمال إصلاح مشغل أقراص DVD جديد في غضون عام 0.045. في مدينة معينة ، من بين 1000 مشغل DVD تم بيعها خلال العام ، وصلت 51 قطعة إلى ورشة الضمان. ما مدى اختلاف تواتر حدث "إصلاح الضمان" عن احتمالية حدوثه في هذه المدينة؟المحلول: معدل التكرار (التكرار النسبي) لحدث "إصلاح الضمان" هو 51: 1000 = 0.051. يختلف عن الاحتمال المتوقع بمقدار 0.006.
41. في صناعة المحامل التي يبلغ قطرها 67 مم ، فإن احتمال اختلاف القطر عن القطر المحدد بما لا يزيد عن 0.01 مم هو 0.965. أوجد احتمال أن يكون قطر المحمل العشوائي أقل من 66.99 مم أو أكبر من 67.01 مم.المحلول. وفقًا للحالة ، سيكون قطر المحمل في النطاق من 66.99 إلى 67.01 ملم مع احتمال 0.965. لذلك ، فإن الاحتمال المطلوب للحدث المعاكس هو 1 - 0.965 = 0.035.
42. إن احتمال أن يحل الطالب O بشكل صحيح أكثر من 11 مهمة في اختبار الأحياء هو 0.67. إن احتمال أن يحل O. أكثر من 10 مسائل بشكل صحيح هو 0.74. أوجد احتمال أن يكون O. يحل بشكل صحيح 11 مشكلة بالضبط.المحلول: ضع في اعتبارك الأحداث أ = "سيحل الطالب 11 مشكلة" و ب = "سيحل الطالب أكثر من 11 مشكلة". مجموعهم هو الحدث A + B = "سيحل الطالب أكثر من 10 مسائل." الأحداث A و B غير متوافقة ، واحتمال مجموعهما يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث: P (A + B) = P (A) + P (B). ثم باستخدام بيانات المشكلة نحصل على: 0.74 = P (A) + 0.67 ، ومن أين P (A) = 0.74 - 0.67 = 0.07. الإجابة: 0.07.
43. لدخول معهد تخصص "اللغويات" ، يجب على مقدم الطلب أن يسجل 70 نقطة على الأقل في امتحان الدولة الموحد في كل من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية واللغة الأجنبية. لدخول تخصص "التجارة" ، تحتاج إلى تسجيل 70 نقطة على الأقل في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية والدراسات الاجتماعية. احتمال حصول المتقدم Z. على 70 نقطة على الأقل في الرياضيات هو 0.6 ، باللغة الروسية - 0.8 ، بلغة أجنبية - 0.7 وفي الدراسات الاجتماعية - 0.5. ابحث عن احتمال أن يكون Z. قادرًا على إدخال واحد على الأقل من التخصصين المذكورين.المحلول: للدخول إلى مكان ما على الأقل ، يحتاج Z. إلى اجتياز كل من اللغة الروسية والرياضيات بحصوله على 70 نقطة على الأقل ، بالإضافة إلى اجتياز لغة أجنبية أو دراسات اجتماعية مع 70 نقطة على الأقل. يتركأ ، ب ، ج ، د - هذه هي الأحداث التي يجتاز فيها Z. الرياضيات ، والدراسات الروسية والأجنبية والاجتماعية ، على التوالي ، بمجموع 70 نقطة على الأقل. ثم منذ ذلك الحين
لاحتمال الوصول لدينا:
44. في مصنع الأطباق الخزفية يوجد عيب في 10٪ من اللوحات المنتجة. أثناء مراقبة جودة المنتج ، يتم الكشف عن 80٪ من اللوحات المعيبة. باقي اللوحات معروضة للبيع. أوجد احتمال عدم وجود عيوب في اللوحة المختارة عشوائيًا وقت الشراء. جولة إجابتك إلى أقرب مائة.المحلول : دع المصنع ينتجلوحات. سيتم بيع جميع الصنج عالي الجودة و 20٪ من الصنج المعيب الذي لم يتم كشفه:لوحات. لأن الجودة، احتمالية شراء لوحة الجودة 0.9p: 0.92p = 0.978 الإجابة: 0.978.
45. هناك ثلاثة بائعين في المتجر. كل واحد منهم مشغول مع عميل لديه احتمال 0.3. ابحث عن احتمال أن يكون جميع البائعين الثلاثة مشغولين في نفس الوقت في وقت عشوائي (افترض أن العملاء يدخلون بشكل مستقل عن بعضهم البعض).المحلول : احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث. لذلك ، فإن احتمال انشغال البائعين الثلاثة هو
46- استناداً إلى آراء العملاء ، قام إيفان إيفانوفيتش بتقييم موثوقية متجرين على الإنترنت. احتمال تسليم المنتج المطلوب من المتجر أ هو 0.8. احتمال تسليم هذا المنتج من المتجر B هو 0.9. طلب إيفان إيفانوفيتش البضائع دفعة واحدة في كلا المتجرين. بافتراض أن المتاجر عبر الإنترنت تعمل بشكل مستقل عن بعضها البعض ، ابحث عن احتمال عدم قيام أي من المتاجر بتسليم البضائع.المحلول: احتمال عدم قيام المتجر الأول بتسليم البضائع هو 1 - 0.9 = 0.1. احتمال أن المتجر الثاني لن يسلم البضائع هو 1 - 0.8 = 0.2. نظرًا لأن هذه الأحداث مستقلة ، فإن احتمال منتجهم (لن يقوم كلا المخزنين بتسليم البضائع) يساوي منتج احتمالات هذه الأحداث: 0.1 0.2 = 0.02
47. تنطلق حافلة يومية من مركز المنطقة إلى القرية. احتمال أن يكون هناك أقل من 20 راكبًا يوم الاثنين هو 0.94. احتمال أن يكون هناك أقل من 15 راكبًا هو 0.56. أوجد احتمال أن يكون عدد الركاب بين 15 و 19.المحلول: ضع في اعتبارك الأحداث A = "هناك أقل من 15 راكبًا في الحافلة" و B = "هناك ما بين 15 و 19 راكبًا في الحافلة". مجموعهم هو الحدث A + B = "أقل من 20 راكبًا في الحافلة". الأحداث A و B غير متوافقة ، واحتمال مجموعهما يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث: P (A + B) = P (A) + P (B). ثم ، باستخدام بيانات المشكلة ، نحصل على: 0.94 = 0.56 + P (B) ، ومن أين P (B) = 0.94 - 0.56 = 0.38. الجواب: 0.38.
48. قبل بدء مباراة الكرة الطائرة ، يقوم قادة الفريق بسحب قرعة عادلة لتحديد الفريق الذي سيبدأ لعبة الكرة. يتناوب فريق Stator في اللعب مع فرق Rotor و Motor و Starter. أوجد احتمال أن يبدأ الجزء الثابت في اللعبتين الأولى والأخيرة فقط.المحلول. مطلوب إيجاد احتمالية حاصل ضرب ثلاثة أحداث: يبدأ "Stator" اللعبة الأولى ، ولا يبدأ اللعبة الثانية ، ويبدأ اللعبة الثالثة. إن احتمال إنتاج أحداث مستقلة يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث. احتمالية كل منهما تساوي 0.5 ، ومن أين نجد: 0.5 0.5 0.5 = 0.125. الجواب: 0.125.
49. هناك نوعان من الطقس في Fairyland: جيد وممتاز ، والطقس ، بعد أن استقر في الصباح ، يظل دون تغيير طوال اليوم. من المعروف أنه مع احتمال 0.8 سيكون الطقس غدًا هو نفسه اليوم. اليوم هو 3 تموز (يوليو) ، الطقس في Fairyland جيد. ابحث عن احتمال أن يكون هناك طقس رائع في Magicland في السادس من تموز (يوليو).المحلول. بالنسبة للطقس في 4 و 5 و 6 يوليو ، هناك 4 خيارات: XXO ، XOO ، OXO ، LLC (هنا X جيد ، O هو طقس ممتاز). لنجد احتمالات مثل هذا الطقس: P (XXO) = 0.8 0.8 0.2 = 0.128 ؛ P (XOO) = 0.8 0.2 0.8 = 0.128 ؛ P (OXO) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008 ؛ P (OOO) = 0.2 0.8 0.8 = 0.128. هذه الأحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث: P (XXO) + P (XXO) + P (XXO) + P (OOO) = 0.128 + 0.128 + 0.008 + 0.128 = 0.392.
50. يخضع جميع المرضى المشتبه في إصابتهم بالتهاب الكبد لفحص الدم. إذا كشف التحليل عن التهاب الكبد ، فسيتم استدعاء نتيجة التحليلإيجابي . في مرضى التهاب الكبد ، يعطي التحليل نتيجة إيجابية مع احتمال 0.9. إذا لم يكن المريض مصابًا بالتهاب الكبد ، فقد يعطي الاختبار نتيجة إيجابية خاطئة مع احتمال 0.01. من المعروف أن 5٪ من المرضى المشتبه في إصابتهم بالتهاب الكبد مصابون بالفعل بالتهاب الكبد. أوجد احتمالية أن تكون نتيجة اختبار مريض أدخل إلى العيادة يشتبه في إصابته بالتهاب الكبد إيجابية.المحلول . يمكن أن يكون تحليل المريض إيجابياً لسببين: أ) المريض مصاب بالتهاب الكبد ، تحليله صحيح. ب) عدم إصابة المريض بالتهاب الكبد تحليله خاطئ. هذه أحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث. لدينا: p (A) = 0.9 0.05 = 0.045 ؛ ع (ب) = 0.01 0.95 = 0.0095 ؛ ص (أ + ب) = ف (أ) + ع (ب) = 0.045 + 0.0095 = 0.0545.
51. في جيب ميشا أربع حلويات - جريلج ، سنجاب ، كاو وسوالو ، بالإضافة إلى مفاتيح الشقة. أخذ ميشا المفاتيح ، وأسقط عن طريق الخطأ قطعة حلوى من جيبه. أوجد احتمال فقد حلوى جريلاج.
52. ساعة ميكانيكية ذات قرص مدته اثنتي عشرة ساعة تعطلت في مرحلة ما وتوقفت عن العمل. أوجد احتمال تجميد عقرب الساعات عندما يصل إلى 10 لكنه لا يصل إلى الساعة 1. الحل: 3:12 = 0.25
53. احتمال أن تكون البطارية معيبة هو 0.06. يختار العميل في المتجر حزمة عشوائية تحتوي على بطاريتين من هذه البطاريات. أوجد احتمال أن البطاريتين جيدتان.المحلول: احتمال أن تكون البطارية جيدة هو 0.94. إن احتمال إنتاج أحداث مستقلة (ستكون كلتا البطاريتين جيدتين) يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث: 0.94 0.94 \ u003d 0.8836. الإجابة: 0.8836.
54. الخط الآلي يصنع البطاريات. احتمال وجود عيب في البطارية المنتهية هو 0.02. قبل التعبئة والتغليف ، تمر كل بطارية بنظام تحكم. احتمال رفض النظام لبطارية تالفة هو 0.99. احتمال رفض النظام لبطارية جيدة عن طريق الخطأ هو 0.01. أوجد احتمال رفض نظام التحكم لبطارية مصنّعة تم اختيارها عشوائيًا.المحلول. يمكن أن يكون الموقف الذي يتم فيه رفض البطارية نتيجة للأحداث التالية: أ = البطارية سيئة حقًا وتم رفضها بشكل عادل ، أو ب = البطارية جيدة ولكنها مرفوضة عن طريق الخطأ. هذه أحداث غير متوافقة ، واحتمال مجموعها يساوي مجموع احتمالات هذه الأحداث. لدينا:
55. يوضح الشكل متاهة. يزحف العنكبوت إلى المتاهة عند نقطة "المدخل". لا يستطيع العنكبوت الدوران والزحف للخلف ، لذلك يختار العنكبوت عند كل مفترق أحد المسارات التي لم يزحف إليها بعد. بافتراض أن اختيار المسار الإضافي عشوائي بحت ، حدد باحتمالية وصول العنكبوت إلى المخرج.
المحلول.
في كل من الشوكات الأربعة المحددة ، يمكن للعنكبوت اختيار إما المسار المؤدي إلى الخروج D أو مسارًا آخر باحتمال 0.5. هذه أحداث مستقلة ، واحتمال منتجها (يصل العنكبوت إلى المخرج D) يساوي ناتج احتمالات هذه الأحداث. لذلك ، فإن احتمال الوصول إلى الناتج D هو (0.5) 4 = 0,0625.
تم تقديمه حتى الآن في البنك المفتوح لمشاكل الاستخدام في الرياضيات (mathege.ru) ، والتي يعتمد حلها على صيغة واحدة فقط ، وهي تعريف كلاسيكي للاحتمال.
أسهل طريقة لفهم الصيغة هي باستخدام الأمثلة.
مثال 1توجد 9 كرات حمراء و 3 كرات زرقاء في السلة. تختلف الكرات في اللون فقط. عشوائيا (دون النظر) نحصل على واحد منهم. ما هو احتمال أن تكون الكرة المختارة بهذه الطريقة زرقاء؟
تعليق.في مسائل نظرية الاحتمالات ، يحدث شيء ما (في هذه الحالة ، فعلنا لسحب الكرة) يمكن أن يكون له نتيجة مختلفة - نتيجة. وتجدر الإشارة إلى أنه يمكن عرض النتيجة بطرق مختلفة. "لقد سحبنا كرة" هي أيضًا نتيجة. كانت النتيجة "سحبنا الكرة الزرقاء". "لقد سحبنا هذه الكرة المعينة من جميع الكرات الممكنة" - تسمى هذه النظرة الأقل عمومية للنتيجة النتيجة الأولية. إنها النتائج الأولية المقصودة في صيغة حساب الاحتمال.
المحلول.الآن نحسب احتمال اختيار كرة زرقاء.
الحدث أ: "تحولت الكرة المختارة إلى اللون الأزرق"
العدد الإجمالي لجميع النتائج الممكنة: 9 + 3 = 12 (عدد الكرات التي يمكننا رسمها)
عدد النتائج المواتية للحدث أ: 3 (عدد هذه النتائج التي حدث فيها الحدث أ - أي عدد الكرات الزرقاء)
الفوسفور (أ) = 3/12 = 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25
دعونا نحسب احتمال اختيار كرة حمراء لنفس المشكلة.
سيظل العدد الإجمالي للنتائج المحتملة كما هو ، 12. عدد النتائج الإيجابية: 9. الاحتمال المرغوب: 9/12 = 3/4 = 0.75
يقع احتمال أي حدث دائمًا بين 0 و 1.
أحيانًا في الحديث اليومي (ولكن ليس في نظرية الاحتمالات!) يتم تقدير احتمالية الأحداث كنسبة مئوية. يتم الانتقال بين التقييم الرياضي والمحادثات عن طريق الضرب (أو القسمة) بنسبة 100٪.
لذا،
في هذه الحالة ، يكون الاحتمال صفراً للأحداث التي لا يمكن أن تحدث - غير محتمل. على سبيل المثال ، في مثالنا ، سيكون هذا هو احتمال سحب كرة خضراء من السلة. (عدد النتائج المفضلة هو 0 ، P (A) = 0/12 = 0 إذا تم حسابها وفقًا للصيغة)
يحتوي الاحتمال 1 على أحداث ستحدث بالتأكيد بلا خيارات. على سبيل المثال ، احتمال أن تكون الكرة المختارة إما حمراء أو زرقاء هو لمشكلتنا. (عدد النتائج الإيجابية: 12 ، P (A) = 12/12 = 1)
لقد نظرنا إلى مثال كلاسيكي يوضح تعريف الاحتمال. يتم حل جميع مشاكل الاستخدام المتشابهة في نظرية الاحتمالات باستخدام هذه الصيغة.
بدلاً من الكرات الحمراء والزرقاء ، يمكن أن يكون هناك التفاح والكمثرى ، الأولاد والبنات ، التذاكر المكتسبة وغير المكتسبة ، التذاكر التي تحتوي ولا تحتوي على سؤال حول موضوع معين (نماذج أولية) ، أكياس معيبة وعالية الجودة أو مضخات حدائق (نماذج أولية) ،) - المبدأ يبقى كما هو.
إنها تختلف قليلاً في صياغة مشكلة نظرية احتمالية الاستخدام ، حيث تحتاج إلى حساب احتمال وقوع حدث في يوم معين. (،) كما في المهام السابقة ، تحتاج إلى تحديد النتيجة الأولية ، ثم تطبيق نفس الصيغة.
مثال 2المؤتمر يستمر ثلاثة أيام. في اليومين الأول والثاني ، 15 متحدثًا ، في اليوم الثالث - 20. ما هو احتمال سقوط تقرير الأستاذ "م" في اليوم الثالث ، إذا تم تحديد ترتيب التقارير بالقرعة؟
ما هي النتيجة الأولية هنا؟ - تخصيص تقرير أستاذ لأحد الأرقام التسلسلية الممكنة للخطاب. 15 + 15 + 20 = 50 شخصًا يشاركون في السحب. وبالتالي ، يمكن أن يتلقى تقرير الأستاذ M. واحدًا من 50 رقمًا. هذا يعني أن هناك 50 نتيجة أولية فقط.
ما هي النتائج الإيجابية؟ - تلك التي تبين أن الأستاذ سيتحدث في اليوم الثالث. أي ، آخر 20 رقمًا.
وفقًا للصيغة ، فإن الاحتمال P (A) = 20/50 = 2/5 = 4/10 = 0.4
الجواب: 0.4
سحب القرعة هنا هو إنشاء مراسلات عشوائية بين الأشخاص والأماكن المرتبة. في المثال 2 ، تم النظر في المطابقة من حيث الأماكن التي يمكن أن يشغلها شخص معين. يمكنك التعامل مع نفس الموقف من الجانب الآخر: أي من الأشخاص الذين لديهم احتمالية يمكن أن تصل إلى مكان معين (النماذج الأولية ، ، ،):
مثال 3يشارك في القرعة 5 ألمان و 8 فرنسيين و 3 إستونيين. ما هو احتمال أن يكون الأول (/ الثاني / السابع / الأخير - لا يهم) فرنسيًا.
عدد النتائج الأولية هو عدد كل الأشخاص المحتملين الذين يمكنهم الوصول إلى مكان معين بالقرعة. 5 + 8 + 3 = 16 فردًا.
نتائج مواتية - الفرنسية. 8 أشخاص.
الاحتمال المطلوب: 8/16 = 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5
النموذج الأولي مختلف قليلاً. هناك مهام أكثر إبداعًا حول العملات المعدنية () والنرد (). يمكن العثور على حلول لهذه المشاكل في صفحات النماذج الأولية.
فيما يلي بعض الأمثلة على رمي العملات المعدنية أو رمي النرد.
مثال 4عندما نرمى قطعة نقود ، ما هو احتمال الحصول على ذيول؟
المخرجات 2 - رؤوس أو ذيول. (يُعتقد أن العملة لا تقع أبدًا على الحافة) نتيجة إيجابية - ذيول ، 1.
الاحتمال 1/2 = 0.5
الجواب: 0.5.
مثال 5ماذا لو قلبنا قطعة نقود مرتين؟ ما هو احتمالية ظهوره في المرتين؟
الشيء الرئيسي هو تحديد النتائج الأولية التي سنأخذها في الاعتبار عند رمي عملتين. بعد رمي عملتين ، يمكن أن تحدث إحدى النتائج التالية:
1) PP - في المرتين ظهرت ذيول
2) PO - ذيول المرة الأولى ، رؤوس المرة الثانية
3) OP - أول مرة يرأس ، وذيول المرة الثانية
4) OO - تنبيه في المرتين
ليس هناك من خيارات اخرى. هذا يعني أن هناك 4 نتائج أولية ، الأولى فقط هي الأفضل ، 1.
الاحتمال: 1/4 = 0.25
الجواب: 0.25
ما هو احتمال أن تهبط رميتان لعملة على ذيول؟
عدد النواتج الأولية هو نفسه ، 4. النواتج المواتية هي الثانية والثالثة ، 2.
احتمال الحصول على ذيل واحد: 2/4 = 0.5
في مثل هذه المشاكل ، قد تكون هناك صيغة أخرى في متناول اليد.
إذا حصلنا على نتيجتين محتملتين في رمية واحدة لعملة واحدة ، فسيكون هناك 2 2 = 2 2 = 4 (كما في المثال 5) ، لثلاث رميات 2 2 = 2 3 = 8 ، لأربعة : 2 · 2 · 2 · 2 = 2 4 = 16 ، ... من أجل N رميات من النتائج المحتملة سيكون هناك 2 · 2 · ... · 2 = 2 N.
لذا ، يمكنك إيجاد احتمال الحصول على 5 ذيول من 5 رميات للعملة.
العدد الإجمالي للنتائج الأولية: 2 5 = 32.
النتائج الإيجابية: 1. (RRRRRR - جميع الذيل الخمس)
الاحتمال: 1/32 = 0.03125
وينطبق الشيء نفسه على النرد. برمية واحدة ، يكون هناك 6 نتائج محتملة ، لذلك ، لرميتين: 6 6 = 36 ، لثلاثة 6 6 6 = 216 ، إلخ.
مثال 6نرمي النرد. ما هو احتمال الحصول على رقم زوجي؟
إجمالي النتائج: 6 ، حسب عدد الوجوه.
مواتية: 3 نتائج. (2، 4، 6)
الاحتمال: 3/6 = 0.5
مثال 7رمي اثنين من النرد. ما هو احتمال أن المجموع الكلي لفات 10؟ (تقريبًا إلى جزء من مائة)
هناك 6 نتائج محتملة لموت واحد. وبالتالي ، بالنسبة إلى شخصين ، وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه ، 6 · 6 = 36.
ما هي النتائج التي ستكون مواتية لتساقط إجمالي 10؟
يجب أن تتحلل 10 إلى مجموع رقمين من 1 إلى 6. ويمكن القيام بذلك بطريقتين: 10 = 6 + 4 و 10 = 5 + 5. لذلك ، بالنسبة للمكعبات ، الخيارات ممكنة:
(6 في الأول و 4 في الثاني)
(4 في الأول و 6 في الثاني)
(5 في الأول و 5 في الثاني)
في المجموع ، 3 خيارات. الاحتمال المطلوب: 3/36 = 1/12 = 0.08
الجواب: 0.08
ستتم مناقشة الأنواع الأخرى من مشكلات B6 في إحدى مقالات "كيفية الحل" التالية.
التخطيط لورشة عمل لمعلمي الرياضيات في المؤسسة التعليمية لمدينة تولا حول موضوع "حل مهام الاستخدام في الرياضيات من الأقسام: التوافقية ، نظرية الاحتمالات. طرق التدريس »
تمضية الوقت: 12 00 ; 15 00
موقع: MBOU "Lyceum No. 1"، room. رقم 8
أنا. حل مشكلة الاحتمالية
1. حل المسائل على التعريف الكلاسيكي للاحتمال
نحن ، كمعلمين ، نعلم بالفعل أن الأنواع الرئيسية للمهام في الاستخدام في نظرية الاحتمالات تستند إلى التعريف الكلاسيكي للاحتمال. أذكر ما يسمى باحتمال وقوع حدث؟
احتمالية وقوع حدثهي نسبة عدد النتائج التي تفضل حدثًا معينًا إلى إجمالي عدد النتائج.
في جمعيتنا العلمية والمنهجية لمعلمي الرياضيات ، تم تطوير مخطط عام لحل المشكلات المتعلقة بالاحتمالات. أود أن أعرضه على انتباهكم. بالمناسبة ، شاركنا خبرتنا في العمل ، وفي المواد التي قدمناها لاهتمامكم لإجراء مناقشة مشتركة لحل المشكلات ، قدمنا هذا المخطط. ومع ذلك ، أريد أن أعبر عن ذلك.
في رأينا ، يساعد هذا المخطط على وضع كل شيء بسرعة منطقية على الرفوف ، وبعد ذلك يمكن حل المهمة بسهولة أكبر لكل من المعلم والطلاب.
لذا ، أريد أن أحلل بالتفصيل مشكلة المحتوى التالي.
أردت أن أتحدث معك من أجل شرح منهجية كيفية نقل مثل هذا الحل إلى الرجال ، والتي من خلالها يفهم الرجال هذه المهمة النموذجية ، وبعد ذلك سيفهمون هذه المهام بأنفسهم.
ما هي التجربة العشوائية في هذه المشكلة؟ نحتاج الآن إلى عزل الحدث الأساسي في هذه التجربة. ما هو هذا الحدث الابتدائي؟ دعونا نذكرهم.
أسئلة الإصدار؟
زملائي الأعزاء ، من الواضح أنكم فكرتم أيضًا في مشاكل الاحتمالات باستخدام النرد. أعتقد أننا بحاجة إلى تفكيكها ، لأن هناك بعض الفروق الدقيقة. دعنا نحلل هذه المشكلة وفقًا للمخطط الذي اقترحناه عليك. نظرًا لوجود رقم من 1 إلى 6 على كل وجه من وجوه المكعب ، فإن الأحداث الأولية هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6. وجدنا أن العدد الإجمالي للأحداث الأولية هو 6. دعونا نحدد أي منها الأحداث الأولية تفضل الحدث. هناك حدثان فقط يفضلان هذا الحدث - 5 و 6 (لأنه يتبع من شرط أن 5 و 6 نقاط يجب أن تتساقط).
اشرح أن جميع الأحداث الابتدائية ممكنة بشكل متساوٍ. ماذا ستكون الأسئلة على المهمة؟
كيف تفهم أن العملة متماثلة؟ دعنا نفهم هذا الأمر ، فأحيانًا ما تسبب بعض العبارات سوء الفهم. دعونا نفهم هذه المشكلة من الناحية المفاهيمية. دعنا نتعامل معك في تلك التجربة ، التي تم وصفها ، ما هي النتائج الأولية التي يمكن أن تكون. هل تتخيل أين الرأس وأين الذيل؟ ما هي خيارات التداعيات؟ هل هناك أحداث أخرى؟ ما هو العدد الإجمالي للأحداث؟ حسب المشكلة ، من المعروف أن الرؤوس سقطت مرة واحدة بالضبط. إذن هذا الحدثالأحداث الأولية من تفضيلات OR و RO الأربعة ، لا يمكن أن يحدث هذا مرتين بالفعل. نستخدم الصيغة التي يوجد بها احتمال وقوع حدث. تذكر أن الإجابات في الجزء ب يجب أن تكون إما عددًا صحيحًا أو عددًا عشريًا.
اعرض على السبورة التفاعلية. نقرأ المهمة. ما هي النتيجة الأولية لهذه التجربة؟ وضح أن الزوج مرتب - أي انخفض الرقم في النرد الأول وفي النرد الثاني. في أي مهمة ، هناك لحظات تحتاج فيها إلى اختيار أساليب ونماذج منطقية وتقديم الحل في شكل جداول ومخططات وما إلى ذلك. في هذه المشكلة ، من الملائم استخدام مثل هذا الجدول. أقدم لك حلاً جاهزًا ، لكن أثناء الحل اتضح أنه من المنطقي استخدام الحل في شكل جدول في هذه المشكلة. اشرح ماذا يعني الجدول. أنت تفهم سبب قول الأعمدة 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6.
لنرسم مربعًا. تتوافق الخطوط مع نتائج اللفة الأولى - هناك ستة منهم ، لأن النرد له ستة وجوه. كما هي الأعمدة. في كل خلية نكتب مجموع النقاط المسقطة. اعرض الجدول المكتمل. دعنا نلون الخلايا التي يكون المجموع فيها ثمانية (كما هو مطلوب في الشرط).
أعتقد أن المشكلة التالية ، بعد تحليل المشاكل السابقة ، يمكن أن تعطى للرجال لحلها بأنفسهم.
في المسائل التالية ، ليست هناك حاجة لتدوين جميع النتائج الأولية. يكفي فقط عد عددهم.
(بدون حل) أعطيت الرجال لحل هذه المشكلة بأنفسهم. خوارزمية لحل المشكلة
1. حدد ما هي التجربة العشوائية وما هو الحدث العشوائي.
2. أوجد العدد الإجمالي للأحداث الابتدائية.
3. نجد عدد الأحداث التي تفضل الحدث المحدد في حالة المشكلة.
4. أوجد احتمال وقوع حدث باستخدام الصيغة.
يمكن طرح سؤال على الطلاب ، إذا تم بيع 1000 بطارية ، ومن بينها 6 معيبة ، فحينئذٍ يتم تحديد البطارية المختارة على أنها؟ ما هو في مهمتنا؟ بعد ذلك ، أطرح سؤالاً حول إيجاد ما يُستخدم هنا كرقموأقترح العثور عليهعدد. ثم أسأل ما هو الحدث هنا؟ كم عدد البطاريات التي تفضل إكمال الحدث؟ بعد ذلك ، باستخدام الصيغة ، نحسب هذا الاحتمال.
هنا يمكن تقديم حل ثان للأطفال. دعونا نناقش ما يمكن أن تكون هذه الطريقة؟
1. ما هو الحدث الذي يمكن النظر فيه الآن؟
2. كيف تجد احتمال حدث معين؟
يجب إخبار الأطفال بهذه الصيغ. هم القادمون
يمكن تقديم المهمة الثامنة للأطفال بمفردهم ، لأنها تشبه المهمة السادسة. يمكن تقديمها لهم كعمل مستقل ، أو على بطاقة على السبورة.
يمكن حل هذه المشكلة فيما يتعلق بالأولمبياد ، التي تجري حاليًا. على الرغم من حقيقة أن الأحداث المختلفة تشارك في المهام ، إلا أن المهام نموذجية.
2. أبسط القواعد والصيغ لحساب الاحتمالات (الأحداث المعاكسة ، مجموع الأحداث ، ناتج الأحداث)
هذه مهمة من مجموعة الامتحان. نضع الحل على السبورة. ما هي الأسئلة التي يجب أن نطرحها على الطلاب لتحليل هذه المشكلة.
1. كم عدد الرشاشات الموجودة هناك؟ مرة واحدة آليتين ، ثم هناك حدثان بالفعل. أسأل الأطفال عن الحدث؟ ماذا سيكون الحدث الثاني؟
2. هو احتمال وقوع الحدث. لا نحتاج إلى حسابه ، لأنه معطى بشرط. وفقًا لظروف المشكلة ، فإن احتمال "نفاد القهوة في كلا الجهازين" هو 0.12. كان هناك حدث A ، كان هناك حدث B. وظهر حدث جديد؟ أسأل الأطفال السؤال - ماذا؟ هذا حدث عندما تنفد القهوة من كلتا ماكينات البيع. في هذه الحالة ، في نظرية الاحتمال ، يعد هذا حدثًا جديدًا يسمى تقاطع حدثين A و B ويُشار إليه بهذه الطريقة.
دعنا نستخدم صيغة الجمع الاحتمالية. الصيغة على النحو التالي
نقدمها لك في المادة المرجعية ويمكن للرجال إعطاء هذه الصيغة. يسمح لك بإيجاد احتمال مجموع الأحداث. سئلنا عن احتمال وقوع حدث معاكس ، واحتمالية إيجاد احتمالية بواسطة الصيغة.
تستخدم المشكلة 13 مفهوم حاصل ضرب الأحداث ، وترد معادلة إيجاد الاحتمال في الملحق.
3. مهام لتطبيق شجرة الخيارات الممكنة
وفقًا لحالة المشكلة ، من السهل رسم مخطط وإيجاد الاحتمالات المشار إليها.
بمساعدة أي مادة نظرية قمت بتحليل حل المشكلات من هذا النوع مع الطلاب؟ هل استخدمت شجرة الاحتمالات أم استخدمت طرقًا أخرى لحل مثل هذه المشكلات؟ هل أعطيت مفهوم الرسوم البيانية؟ في الصف الخامس أو السادس ، يعاني الرجال من مثل هذه المشاكل ، والتي يعطي تحليلها مفهوم الرسوم البيانية.
أود أن أسألك ، هل فكرت أنت وطلابك في استخدام شجرة من الاحتمالات عند حل المشكلات الاحتمالية؟ الحقيقة هي أنه ليس لدى USE مثل هذه المهام فحسب ، بل ظهرت أيضًا مهام معقدة ، والتي سنقوم بحلها الآن.
دعنا نناقش معك منهجية حل مثل هذه المشاكل - إذا كانت تتزامن مع منهجيتي ، كما أوضحت للرجال ، فسيكون من الأسهل بالنسبة لي العمل معك ، إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسوف أساعدك في التعامل مع هذه المشكلة.
دعونا نناقش الأحداث. ما الأحداث في المشكلة 17 يمكن تحديدها؟
عند إنشاء شجرة على مستوى ، يتم تحديد نقطة تسمى جذر الشجرة. بعد ذلك ، نبدأ في النظر في الأحداثو. سنقوم ببناء مقطع (في نظرية الاحتمالية يطلق عليه فرع). وبحسب الحالة تقول أن المصنع الأول ينتج 30٪ من الهواتف المحمولة من هذه الماركة (ماذا؟ المصنع الذي ينتجون) ، لذلك في الوقت الحالي أسأل الطلاب ما هو احتمال أن أول مصنع ينتج هواتف من هذا النوع العلامة التجارية ، تلك التي ينتجونها؟ نظرًا لأن الحدث هو إطلاق الهاتف في المصنع الأول ، فإن احتمال حدوث هذا الحدث هو 30٪ أو 0.3. يتم إنتاج الهواتف المتبقية في المصنع الثاني - نقوم ببناء الجزء الثاني ، واحتمال حدوث هذا الحدث هو 0.7.
يُطرح على الطلاب السؤال - ما هو نوع الهاتف الذي يمكن أن ينتجه المصنع الأول؟ مع أو بدون عيب. ما هو احتمال وجود عيب في الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول؟ وفقًا للشرط ، يُقال إنها تساوي 0.01. سؤال: ما هو إحتمال خلو الهاتف المنتج من المصنع الأول من عيب؟ بما أن هذا الحدث معاكس للحدث المعطى ، فإن احتمالية تساوي.
مطلوب للعثور على احتمال أن يكون الهاتف معيبًا. قد يكون من المصنع الأول أو من الثاني. ثم نستخدم صيغة إضافة الاحتمالات ونحصل على أن الاحتمال الكامل هو مجموع احتمالات أن يكون الهاتف معيبًا من المصنع الأول ، وأن الهاتف معيب من المصنع الثاني. يتم العثور على احتمال وجود عيب في الهاتف وتم إنتاجه في المصنع الأول من خلال الصيغة الخاصة بحاصل ضرب الاحتمالات الواردة في الملحق.
4. من أصعب المهام من بنك USE للاحتمالية
دعنا نحلل ، على سبيل المثال ، رقم 320199 من بنك مهام FIPI. هذه واحدة من أصعب المهام في B6.
من أجل الالتحاق بمعهد تخصص "اللغويات" ، يجب على المتقدم Z. أن يسجل 70 نقطة على الأقل في امتحان الدولة الموحد في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية واللغة الأجنبية. لدخول تخصص "التجارة" ، تحتاج إلى تسجيل 70 نقطة على الأقل في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية والدراسات الاجتماعية.
احتمال حصول المتقدم Z. على 70 نقطة على الأقل في الرياضيات هو 0.6 ، وبالروسية - 0.8 ، وفي لغة أجنبية - 0.7 وفي الدراسات الاجتماعية - 0.5.
أوجد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من التخصصين المذكورين.
لاحظ أن المشكلة لا تسأل عما إذا كان مقدم الطلب المسمى Z. سيدرس اللغويات والتجارة في نفس الوقت ويحصل على شهادتين. نحتاج هنا إلى إيجاد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من هذين التخصصين - أي أنه سيحرز العدد المطلوب من النقاط.
لدخول تخصص واحد على الأقل من التخصصين ، يجب أن يسجل Z. 70 نقطة على الأقل في الرياضيات. وباللغة الروسية. ومع ذلك - العلوم الاجتماعية أو الأجنبية.
احتمال حصوله على 70 نقطة في الرياضيات هو 0.6.
احتمالية تسجيل النقاط في الرياضيات واللغة الروسية متساوية.
دعونا نتعامل مع الدراسات الأجنبية والاجتماعية. الخيارات مناسبة لنا عندما يسجل المتقدم نقاطًا في الدراسات الاجتماعية أو بلغة أجنبية أو في كليهما. لا يكون الخيار مناسبًا عندما لا يسجل نقاطًا سواء في اللغة أو في "المجتمع". وهذا يعني أن احتمال اجتياز دراسة اجتماعية أو دراسة أجنبية يساوي 70 نقطة على الأقل. نتيجة لذلك ، فإن احتمال اجتياز الرياضيات والدراسات الروسية والاجتماعية أو دراسة أجنبية يساوي
هذا هو الجواب.
ثانيًا . حل المشاكل الاندماجية
1. عدد المجموعات والمضروب
دعونا نحلل بإيجاز المادة النظرية.
تعبيرن ! يُقرأ على أنه "عاملي" ويشير إلى ناتج جميع الأعداد الطبيعية من 1 إلىن شامل:ن ! = 1 2 3 ...ن .
بالإضافة إلى ذلك ، في الرياضيات ، بحكم التعريف ، يعتبر أن 0! = 1. مثل هذا التعبير نادر ، لكنه لا يزال يحدث في مشاكل نظرية الاحتمالات.
تعريف
دع هناك أشياء (أقلام رصاص ، حلويات ، أيًا كان) والتي من المطلوب اختيار أشياء مختلفة تمامًا منها. ثم يتم استدعاء عدد الخيارات لمثل هذا الاختيارعدد التركيبات من العناصر. يشار إلى هذا الرقم ويحسب وفقًا لصيغة خاصة.
تعيين
ماذا تعطينا هذه الصيغة؟ في الواقع ، لا يمكن حل أي مهمة جادة تقريبًا بدونها.
لفهم أفضل ، دعنا نحلل بعض المشكلات الاندماجية البسيطة:
مهمة
يحتوي النادل على 6 أنواع من الشاي الأخضر. لحفل الشاي ، مطلوب بالضبط 3 أنواع مختلفة من الشاي الأخضر. كم عدد الطرق التي يمكن للنادل أن يكمل بها الطلب؟
المحلول
كل شيء بسيط هنا: هناكن = 6 أصناف للاختيار من بينهاك = 3 أصناف. يمكن العثور على عدد التركيبات بالصيغة:
إجابه
عوّض في الصيغة. لا يمكننا حل جميع المهام ، لكننا قمنا بكتابة مهام نموذجية ، يتم عرضها على انتباهكم.
مهمة
في مجموعة من 20 طالبًا ، يجب اختيار ممثلين للتحدث في المؤتمر. كم عدد الطرق التي يمكن القيام بها؟
المحلول
مرة أخرى ، كل ما لدينان = 20 طالبًا ، لكن عليك الاختيارك = 2 طلاب. إيجاد عدد التركيبات:
يرجى ملاحظة أن العوامل المدرجة في العوامل المختلفة محددة باللون الأحمر. يمكن تقليل هذه المضاعفات دون ألم ، وبالتالي تقليل المبلغ الإجمالي للحسابات بشكل كبير.
إجابه
190
مهمة
تم إحضار 17 خادمًا بعيوب مختلفة إلى المستودع ، والتي تكلف ضعف تكلفة الخوادم العادية. اشترى المدير 14 خادمًا من هذا القبيل للمدرسة ، وأنفق الأموال التي تم توفيرها بمبلغ 200000 روبل على شراء معدات أخرى. ما هو عدد الطرق التي يمكن للمخرج أن يختار بها الخوادم المعيبة؟
المحلول
هناك قدر كبير جدًا من البيانات الإضافية في المهمة ، والتي يمكن أن تكون مربكة. أهم الحقائق: كل شيءن = 17 سيرفر ويحتاج المديرك = 14 خوادم. نحسب عدد المجموعات:
يشير اللون الأحمر مرة أخرى إلى المضاعفات التي يتم تقليلها. في المجموع ، تم إنتاج 680 مجموعة. بشكل عام ، المخرج لديه الكثير للاختيار من بينها.
إجابه
680
هذه المهمة متقلبة ، حيث توجد بيانات إضافية في هذه المهمة. يقودون العديد من الطلاب إلى الضلال. كان هناك 17 خادمًا في المجموع ، وكان المدير بحاجة إلى اختيار 14. بالاستبدال في الصيغة ، نحصل على 680 مجموعة.
2. قانون الضرب
تعريف
قانون الضرب في التوليفات: عدد التوليفات (الطرق والتوليفات) في مجموعات مستقلة مضروبًا.
بعبارة أخرى ، فليكن هناكأ طرق لأداء عمل واحد وب طرق لأداء عمل آخر. المسار أيضًا هذه الإجراءات مستقلة ، أي لا علاقة لها بأي شكل من الأشكال. ثم يمكنك العثور على عدد الطرق لتنفيذ الإجراء الأول والثاني بواسطة الصيغة:ج = أ · ب .
مهمة
بيتيا لديها 4 عملات معدنية من 1 روبل لكل منها و 2 عملات معدنية كل منها 10 روبل. أخذ بيتيا ، دون أن ينظر ، من جيبه عملة واحدة بقيمة اسمية 1 روبل وعملة واحدة أخرى بقيمة اسمية 10 روبل لشراء قلم مقابل 11 روبل. كم عدد الطرق التي يمكنه فيها اختيار هذه العملات؟
المحلول
لذا ، يحصل أول بيتياك = 1 عملة منن = 4 عملات متوفرة بقيمة اسمية 1 روبل. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 4 1 = ... = 4.
ثم يمد بيتيا يده في جيبه مرة أخرى ويخرجك = 1 عملة منن = 2 عملات معدنية متوفرة بقيمة اسمية 10 روبل. هنا عدد المجموعاتج 2 1 = ... = 2.
نظرًا لأن هذه الإجراءات مستقلة ، فإن العدد الإجمالي للخيارات هوج = 4 2 = 8.
إجابه
مهمة
هناك 8 كرات بيضاء و 12 كرة سوداء في سلة. كم عدد الطرق التي يمكنك الحصول عليها من هذه السلة كرتين بيضاء و 2 كرتين سوداوين؟
المحلول
الإجمالي في سلة التسوقن = 8 كرات بيضاء للاختيار من بينهاك = 2 كرات. يمكن إنجازهج 8 2 = ... = 28 طريقة مختلفة.
بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي العربة على ملفاتن = 12 كرة سوداء للاختيار من بينها مرة أخرىك = 2 كرات. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 12 2 = ... = 66.
نظرًا لأن اختيار الكرة البيضاء واختيار الكرة السوداء حدثان مستقلان ، يتم حساب العدد الإجمالي للتركيبات وفقًا لقانون الضرب:ج = 28 66 = 1848. كما ترى ، يمكن أن يكون هناك عدد غير قليل من الخيارات.
إجابه
1848
يوضح قانون الضرب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها تنفيذ إجراء معقد يتكون من اثنين أو أكثر من الإجراءات البسيطة - بشرط أن تكون جميعها مستقلة.
3. قانون الإضافة
إذا كان قانون الضرب يعمل على أحداث "منعزلة" لا تعتمد على بعضها البعض ، فعندئذ يكون العكس في قانون الجمع هو الصحيح. إنه يتعامل مع الأحداث المتنافية التي لا تحدث أبدًا في نفس الوقت.
على سبيل المثال ، "أخرج بيتر عملة واحدة من جيبه" و "لم يأخذ بيتر عملة واحدة من جيبه" حدثان متبادلان ، لأنه من المستحيل إخراج عملة واحدة دون إخراج أي منها.
وبالمثل ، فإن حدثَي "الكرة المختارة عشوائيًا - أبيض" و "الكرة المختارة عشوائيًا - أسود" هما حدثان متبادلان أيضًا.
تعريف
قانون الجمع في التوافقية: إذا كان من الممكن تنفيذ إجراءين متنافيينأ وب الطرق ، على التوالي ، يمكن الجمع بين هذه الأحداث. سيؤدي هذا إلى إنشاء حدث جديد يمكن تنفيذهX = أ + ب طرق.
بمعنى آخر ، عند الجمع بين الإجراءات المتنافية (الأحداث والخيارات) ، يتم إضافة عدد مجموعاتها.
يمكننا القول أن قانون الجمع هو "OR" منطقي في التوافقية ، عندما يناسبنا أي من الخيارات المتنافية. على العكس من ذلك ، فإن قانون الضرب هو "AND" منطقي ، حيث نهتم بالتنفيذ المتزامن لكل من الإجراءين الأول والثاني.
مهمة
هناك 9 كرات سوداء و 7 كرات حمراء في سلة. يأخذ الصبي كرتين من نفس اللون. كم عدد الطرق التي يمكنه القيام بها؟
المحلول
إذا كانت الكرات بنفس اللون ، فهناك خيارات قليلة: كلاهما أسود أو أحمر. من الواضح أن هذه الخيارات متنافية.
في الحالة الأولى ، على الصبي أن يختارك = 2 كرات سوداء منن = 9 متاح. عدد الطرق للقيام بذلك هوج 9 2 = ... = 36.
وبالمثل ، في الحالة الثانية نختارك = 2 كرات حمراء منن = 7 ممكن. عدد الطرقج 7 2 = ... = 21.
يبقى إيجاد العدد الإجمالي للطرق. نظرًا لأن المتغيرات ذات الكرات السوداء والحمراء متنافية ، وفقًا لقانون الإضافة لدينا:X = 36 + 21 = 57.
إجابه57
مهمة
يبيع الكشك 15 وردة و 18 زنبق. يريد طالب في الصف التاسع شراء 3 زهور لزميله في الفصل ، ويجب أن تكون جميع الزهور متشابهة. كم عدد الطرق التي يمكن أن يصنع بها مثل هذه الباقة؟
المحلول
حسب الحالة ، يجب أن تكون كل الأزهار متماثلة. لذلك ، سوف نشتري إما 3 ورود أو 3 زهور تيوليب. على أي حال،ك = 3.
في حالة الورود ، سيكون عليك الاختيار من بينهان = 15 خيارًا ، لذا فإن عدد التركيبات هوج 15 3 = ... = 455. بالنسبة للزنبقن = 18 ، وعدد التركيبات -ج 18 3 = ... = 816.
نظرًا لأن الورود والزنبق خياران متنافيان ، فإننا نعمل وفقًا لقانون الإضافة. احصل على العدد الإجمالي للخياراتX = 455 + 816 = 1271. هذه هي الإجابة.
إجابه
1271
شروط وقيود إضافية
في كثير من الأحيان في نص المشكلة توجد شروط إضافية تفرض قيودًا كبيرة على المجموعات التي تهمنا. قارن جملتين:
يوجد مجموعة من 5 أقلام بألوان مختلفة. ما عدد الطرق التي يمكن بها تحديد 3 مقابض حد؟
يوجد مجموعة من 5 أقلام بألوان مختلفة. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار 3 مقابض حد إذا كان لابد أن يكون إحداها أحمر؟
في الحالة الأولى ، يحق لنا أن نأخذ أي ألوان نحبها - لا توجد قيود إضافية. في الحالة الثانية ، يكون كل شيء أكثر تعقيدًا ، حيث يتعين علينا اختيار مقبض أحمر (من المفترض أنه في المجموعة الأصلية).
من الواضح أن أي قيود تقلل بشكل كبير من العدد الإجمالي للخيارات. إذن كيف تجد عدد التركيبات في هذه الحالة؟ فقط تذكر القاعدة التالية:
يجب ألا تكون هناك مجموعة منن عناصر للاختيار من بينهاك عناصر. مع إدخال قيود إضافية على الرقمن وك تنقص بنفس المقدار.
بمعنى آخر ، إذا كنت بحاجة إلى اختيار 3 أقلام من أصل 5 ، ويجب أن يكون أحدها أحمر ، فسيتعين عليك الاختيار من بينهان = 5-1 = 4 عناصرك = 3-1 = 2 عناصر. وهكذا ، بدلا منج 5 3 يجب ان تؤخذ بعين الاعتبارج 4 2 .
لنرى الآن كيف تعمل هذه القاعدة على أمثلة محددة:
مهمة
في مجموعة مكونة من 20 طالبًا ، من بينهم طالبان ممتازان ، تحتاج إلى اختيار 4 أشخاص للمشاركة في المؤتمر. ما عدد الطرق التي يمكن بها اختيار هؤلاء الأربعة إذا كان يجب على الطلاب المتفوقين حضور المؤتمر؟
المحلول
لذلك هناك مجموعة منن = 20 طالبًا. لكن عليك فقط أن تختارك = 4 منهم. إذا لم تكن هناك قيود إضافية ، فإن عدد الخيارات يساوي عدد التركيباتج 20 4 .
ومع ذلك ، فقد أعطينا شرطًا إضافيًا: يجب أن يكون اثنان من الطلاب المتميزين من بين هؤلاء الأربعة. وبالتالي ، وفقًا للقاعدة أعلاه ، نقوم بتقليل الأرقامن وك بحلول 2. لدينا:
إجابه
153
مهمة
بيتيا لديه 8 عملات معدنية في جيبه ، منها 6 عملات روبل و 2 عملات معدنية 10 روبل. تنقل بيتيا حوالي ثلاث عملات معدنية في جيب آخر. ما عدد الطرق التي يمكن لبيتيا القيام بذلك إذا كان معروفًا أن كلتا العملات المعدنية فئة 10 روبل انتهى بها المطاف في جيب آخر؟
المحلول
حتى لا يكون هناكن = 8 عملات معدنية. نوبات بيتياك = 3 عملات معدنية ، 2 منها عشرة روبلات. اتضح أنه من بين 3 عملات سيتم نقلها ، 2 تم إصلاحها بالفعل ، وبالتالي فإن الأرقامن وك يجب تقليله بمقدار 2. لدينا:
إجابه
ثالثا . حل المشكلات المجمعة عند استخدام معادلات التوافقية ونظرية الاحتمالات
مهمة
كان لدى بيتيا 4 عملات معدنية روبل و 2 عملات معدنية في جيبه. قام بيتيا ، دون أن ينظر ، بتحويل بعض ثلاث عملات إلى جيب آخر. أوجد احتمال وجود عملتي روبل في نفس الجيب.
المحلول
لنفترض أن عملتي الروبلتين انتهى بهما الحال في نفس الجيب ، فمن الممكن أن يكون هناك خياران: إما أن بيتيا لم يغيرهما على الإطلاق ، أو أنه قام بتغيير كليهما مرة واحدة.
في الحالة الأولى ، عندما لا يتم تحويل عملات ثنائية الروبل ، يجب تحويل 3 عملات روبلية. نظرًا لوجود 4 عملات من هذا القبيل في المجموع ، فإن عدد طرق القيام بذلك يساوي عدد التركيبات 4 × 3:ج 4 3 .
في الحالة الثانية ، عندما يتم تحويل عملتي الروبل ، سيتعين تحويل عملة روبل أخرى. يجب اختياره من بين 4 منها موجودة ، وعدد طرق القيام بذلك يساوي عدد التركيبات من 4 إلى 1:ج 4 1 .
لنجد الآن العدد الإجمالي للطرق لتحويل العملات. نظرًا لوجود 4 + 2 = 6 عملات في المجموع ، ويجب اختيار 3 منها فقط ، فإن العدد الإجمالي للخيارات يساوي عدد المجموعات من 6 إلى 3:ج 6 3 .
يبقى إيجاد الاحتمال:
إجابه
0,4
اعرض على السبورة التفاعلية. انتبه إلى حقيقة أنه وفقًا لظروف المشكلة ، قام بيتيا ، دون النظر ، بتحويل ثلاث عملات معدنية في جيب واحد. للإجابة على هذا السؤال ، يمكننا أن نفترض أن عملتين من الروبل بقيت حقًا في جيب واحد. الرجوع إلى صيغة إضافة الاحتمالات. اعرض الصيغة مرة أخرى.
مهمة
كان لدى بيتيا قطعتان من العملات من فئة 5 روبل و 4 عملات من 10 روبل في جيبه. قام بيتيا ، دون أن ينظر ، بتحويل حوالي 3 عملات معدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال أن تكون العملات المعدنية من فئة الخمسة روبل الآن في جيوب مختلفة.
المحلول
من أجل وضع عملات معدنية بخمسة روبل في جيوب مختلفة ، تحتاج إلى تبديل واحدة منها فقط. عدد طرق القيام بذلك يساوي عدد التركيبات 2 × 1:ج 2 1 .
نظرًا لأن بيتيا نقل 3 عملات معدنية في المجموع ، فسيتعين عليه تحويل عملتين إضافيتين بقيمة 10 روبل لكل منهما. لدى بيتيا 4 عملات من هذا القبيل ، لذا فإن عدد الطرق يساوي عدد المجموعات من 4 إلى 2:ج 4 2 .
يبقى العثور على عدد الخيارات المتاحة لتحويل 3 عملات من أصل 6 المتاحة. هذا الرقم ، كما في المشكلة السابقة ، يساوي عدد التركيبات من 6 إلى 3:ج 6 3 .
إيجاد الاحتمال:
في الخطوة الأخيرة ، ضاعفنا عدد الطرق لاختيار عملات من روبل وعدد طرق اختيار عملات من فئة عشرة روبل ، لأن هذه الأحداث مستقلة.
إجابه
0,6
لذا ، فإن مشاكل العملات لها صيغة احتمالية خاصة بها. إنه بسيط ومهم لدرجة أنه يمكن صياغته كنظرية.
نظرية
دع العملة ترمىن ذات مرة. ثم احتمالية أن تهبط الرؤوس بالضبطك يمكن إيجاد الأوقات باستخدام الصيغة:
أينج ن ك - عدد التوليفات منن عناصر بواسطةك ، والتي يتم حسابها بواسطة الصيغة:
وبالتالي ، لحل مشكلة العملات المعدنية ، هناك حاجة إلى رقمين: عدد الرميات وعدد الرؤوس. في أغلب الأحيان ، يتم تقديم هذه الأرقام مباشرة في نص المشكلة. علاوة على ذلك ، لا يهم ما يجب عده بالضبط: ذيول أم نسور. الجواب سيكون هو نفسه.
للوهلة الأولى ، تبدو النظرية مرهقة للغاية. لكن الأمر يستحق القليل من الممارسة - ولم تعد ترغب في العودة إلى الخوارزمية القياسية الموضحة أعلاه.
تم رمي العملة أربع مرات. أوجد احتمال ظهور الرؤوس ثلاث مرات بالضبط.
المحلول
وفقًا لحالة المشكلة ، كان إجمالي عدد الرمياتن = 4. العدد المطلوب من الرؤوس:ك = 3. البديلن وك في الصيغة:
بنفس النجاح ، يمكنك حساب عدد ذيول:ك = 4 - 3 = 1. الإجابة هي نفسها.
إجابه
0,25
مهمة [مصنف "USE 2012 في الرياضيات. المهام B6 »]
تم رمي العملة ثلاث مرات. أوجد احتمال عدم ظهور ذيول أبدًا.
المحلول
كتابة الأرقام مرة أخرىن وك . منذ رمي العملة 3 مرات ،ن = 3. وبما أنه لا يجب أن يكون هناك ذيول ،ك = 0. يبقى استبدال الأرقامن وك في الصيغة:
اسمحوا لي أن أذكرك أن 0! = 1 بالتعريف. لذاج 3 0 = 1.
إجابه
0,125
المهمة [امتحان تجريبي في الرياضيات 2012. إيركوتسك]
في تجربة عشوائية ، تم رمي عملة متماثلة 4 مرات. أوجد احتمال ظهور الرؤوس مرات أكثر من ذيول.
المحلول
من أجل أن يكون عدد الرؤوس أكثر من ذيول ، يجب أن تسقط إما 3 مرات (ثم سيكون هناك ذيول واحدة) أو 4 (ثم لن يكون هناك ذيول على الإطلاق). لنجد احتمالية كل حدث من هذه الأحداث.
يتركص 1 - احتمال سقوط الرؤوس 3 مرات. ثمن = 4, ك = 3. لدينا:
الآن دعنا نجدص 2 - احتمال سقوط الرؤوس كل 4 مرات. في هذه الحالةن = 4, ك = 4. لدينا:
للحصول على الإجابة ، يبقى إضافة الاحتمالاتص 1 وص 2 . تذكر: يمكنك فقط إضافة احتمالات للأحداث المتنافية. لدينا:
ص = ص 1 + ص 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
إجابه
0,3125
من أجل توفير وقتك عند التحضير مع الرجال لامتحان الدولة الموحدة و GIA ، قدمنا حلولًا للعديد من المهام التي يمكنك اختيارها وحلها مع الرجال.
مواد GIA ، فحص الدولة الموحد لسنوات مختلفة ، الكتب المدرسية والمواقع.
رابعا. المواد المرجعية
سنبدأ بالمسائل البسيطة والمفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.
عشوائييسمى الحدث حدثًا لا يمكن التنبؤ به بدقة مسبقًا. يمكن أن يحدث أم لا.
لقد ربحت اليانصيب - حدث عشوائي. لقد قمت بدعوة الأصدقاء للاحتفال بالفوز ، وفي الطريق إليك علقوا في المصعد - وهو حدث عشوائي أيضًا. صحيح أن السيد كان قريبًا وحرر الشركة بأكملها في عشر دقائق - ويمكن اعتبار هذا أيضًا حادثًا سعيدًا ...
حياتنا مليئة بالأحداث العشوائية. يمكن القول أن كل واحد منهم يحدث مع البعض احتمالا. على الأرجح ، أنت معتاد بشكل حدسي على هذا المفهوم. الآن سنقدم تعريفًا رياضيًا للاحتمال.
لنبدأ بأبسط مثال. أنت تقذف عملة معدنية. طرة أو نقش؟
يسمى هذا الإجراء ، الذي يمكن أن يؤدي إلى نتيجة من عدة نتائج ، في نظرية الاحتمالات اختبار.
الرؤوس والذيل - اثنان ممكن نزوحالاختبارات.
سيسقط النسر في حالة واحدة من حالتين ممكنتين. ويقولون ان احتمالاأن رؤوس العملة تساوي.
دعونا نرمي النرد. النرد له ستة جوانب ، لذلك هناك ست نتائج محتملة.
على سبيل المثال ، خمنت أن ثلاث نقاط ستنهار. هذه نتيجة واحدة من أصل ست نتائج ممكنة. في نظرية الاحتمالات ، سيتم استدعاؤها نتيجة مواتية.
احتمال الحصول على ثلاثية هو (نتيجة واحدة إيجابية من ستة محتملة).
احتمال أربعة هو أيضًا
لكن احتمال ظهور السبعة هو صفر. بعد كل شيء ، لا يوجد وجه بسبع نقاط على المكعب.
احتمال وقوع حدث يساوي نسبة عدد النتائج المواتية إلى العدد الإجمالي للنتائج.
من الواضح أن الاحتمال لا يمكن أن يكون أكبر من واحد.
هنا مثال آخر. في كيس من التفاح أحمر اللون الباقي أخضر. لا تختلف التفاح في الشكل أو الحجم. تضع يدك في الكيس وتخرج تفاحة بشكل عشوائي. احتمال رسم تفاحة حمراء هو ، واحتمال أخضر.
احتمال الحصول على تفاحة حمراء أو خضراء.
تعريف الاحتمال. مهام بسيطة من خيارات الامتحان.
دعنا نحلل مشاكل نظرية الاحتمالات المدرجة في مجموعات التحضير للامتحان.
شركة سيارات الأجرة حاليا خالية من السيارات: الأحمر والأصفر والأخضر. في مكالمة ، تركت إحدى السيارات ، والتي تصادف أنها الأقرب إلى العميل. أوجد احتمال وصول سيارة أجرة صفراء.
هناك سيارات في المجموع ، أي واحدة من أصل خمسة عشر ستأتي إلى العميل. هناك تسعة صفراء ، مما يعني أن احتمال وصول سيارة صفراء ، أي.
في مجموعة تذاكر علم الأحياء لجميع التذاكر ، في اثنتين منها هناك سؤال حول الفطر. في الامتحان ، يحصل الطالب على تذكرة واحدة يتم اختيارها عشوائيًا. أوجد احتمال أن هذه التذكرة لا تتضمن السؤال عن الفطر.
من الواضح أن احتمال سحب تذكرة دون السؤال عن الفطر هو ، هذا هو.
قامت لجنة أولياء الأمور بشراء ألغاز هدايا للأطفال في نهاية العام الدراسي ، بما في ذلك لوحات لفنانين مشهورين وصور للحيوانات. يتم توزيع الهدايا بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن تحصل Vovochka على لغز الحيوان.
تم حل المهمة بطريقة مماثلة.
إجابه: .
الرياضيون يشاركون في بطولة الجمباز: من روسيا ، من الولايات المتحدة الأمريكية ، والباقي - من الصين. يتم تحديد الترتيب الذي يؤدي به اللاعبون بالقرعة. أوجد احتمال أن يكون آخر رياضي شارك في المنافسة من الصين.
لنتخيل أن جميع الرياضيين في نفس الوقت اقتربوا من القبعة وسحبوا منها قطعًا من الورق بها أرقام. سيحصل بعضهم على الرقم العشرين. احتمالية انسحاب رياضي صيني متساوية (لأن الرياضيين من الصين). إجابه: .
طُلب من الطالب تسمية رقم من إلى. ما هو احتمال أن يسمي عددًا من مضاعفات الخمسة؟
كل خمس سنواترقم من مجموعة معينة يقبل القسمة على. لذا فإن الاحتمال هو.
رمي النرد. أوجد احتمال الحصول على عدد فردي من النقاط.
الأعداد الفردية؛ - حتى. احتمال عدد فردي من النقاط هو.
إجابه: .
تم رمي العملة ثلاث مرات. ما هو احتمال رأسين وذيل واحد؟
لاحظ أنه يمكن صياغة المشكلة بشكل مختلف: يتم رمي ثلاث عملات في نفس الوقت. لن يؤثر على القرار.
كم عدد النتائج المحتملة في رأيك هناك؟
نرمي قطعة نقود. هذا الإجراء له نتيجتان محتملتان: الرؤوس والأطراف
عملتان - أربع نتائج بالفعل:
ثلاث عملات؟ هذا صحيح ، النتائج ، منذ ذلك الحين.
يظهر رأسان وذيل واحد ثلاث مرات من أصل ثمانية.
إجابه: .
في تجربة عشوائية ، رُمي نردان. أوجد احتمال أن يسقط المجموع نقاطًا. قرب النتيجة لأقرب جزء من مائة.
رمي النرد الأول - ست نتائج. ولكل منهم ستة أخرى ممكنة - عندما نرمي النرد الثاني.
لقد حصلنا على أن هذا الإجراء - رمي نرد - له إجمالي النتائج المحتملة ، منذ ذلك الحين.
والآن من أجل الأخبار السارة:
احتمال الحصول على ثماني نقاط هو.
مطلق النار يضرب الهدف باحتمالية. أوجد احتمال أن يصيب الهدف أربع مرات متتالية.
إذا كان احتمال الضرب متساويًا ، فإن احتمال الضرب هو. نحن نجادل بنفس الطريقة كما في المشكلة السابقة. احتمال ضربتين على التوالي هو. واحتمال أربع مرات متتالية يساوي.
الاحتمال: منطق القوة الغاشمة.
كان لدى بيتيا عملات معدنية من الروبل والروبل في جيبه. قام بيتيا ، دون أن ينظر ، بتحويل بعض العملات المعدنية إلى جيب آخر. أوجد احتمال أن تكون العملات المعدنية من فئة الخمسة روبل الآن في جيوب مختلفة.
نحن نعلم أن احتمال حدث ما يساوي نسبة عدد النتائج المفضلة إلى إجمالي عدد النتائج. لكن كيف تحسب كل هذه النتائج؟
يمكنك بالطبع الإشارة إلى عملات من فئة الخمس روبل بالأرقام ، وعملات العشرة روبل بالأرقام - ثم حساب عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار ثلاثة عناصر من المجموعة.
ومع ذلك ، هناك حل أسهل:
نقوم بترميز العملات المعدنية بأرقام: ، (هذه خمسة روبل) ، (هذه عشرة روبل). يمكن الآن صياغة حالة المشكلة على النحو التالي:
هناك ست شرائح مرقمة من إلى. ما هو عدد الطرق التي يمكن توزيعها بالتساوي بين جيبين بحيث لا ينتهي الأمر بالرقائق التي بها أرقام معًا؟
دعنا نكتب ما لدينا في الجيب الأول.
للقيام بذلك ، سنقوم بتكوين جميع المجموعات الممكنة من المجموعة. مجموعة من ثلاث شرائح ستكون عددًا مكونًا من ثلاثة أرقام. من الواضح أنه في ظل ظروفنا ونفس مجموعة الرموز. من أجل عدم تفويت أي شيء وعدم التكرار ، نقوم بترتيب الأرقام المقابلة المكونة من ثلاثة أرقام بترتيب تصاعدي:
كل شئ! لقد جربنا كل المجموعات الممكنة بدءًا من. نواصل:
إجمالي النتائج الممكنة.
لدينا شرط - رقائق مع أرقام ويجب ألا نكون معًا. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أن المجموعة لا تناسبنا - فهذا يعني أن الرقائق وكلاهما انتهى في الجيب ليس الأول ، بل في الجيب الثاني. النتائج المواتية بالنسبة لنا هي تلك التي توجد فيها إما فقط أو فقط. ها هم:
134 ، 135 ، 136 ، 145 ، 146 ، 156 ، 234 ، 235 ، 236 ، 245 ، 246 ، 256 - إجمالي النتائج الإيجابية.
ثم الاحتمال المطلوب هو.
مجموع الأحداث ، نتاج الأحداث ومجموعاتها
احتمال بقاء غلاية كهربائية جديدة لأكثر من عام هو 0.93. احتمال استمرارها لأكثر من عامين هو 0.87. أوجد احتمال أن يستمر أقل من عامين ولكن أكثر من عام.
بعد العمل لمدة عام ، يمكن أن تتعطل الغلاية في السنة الثانية ، أو تعمل بأمان حتى بعد عامين من التشغيل.
اسمحوا أن يكون احتمال أن إبريق الشاي استمر أكثر من عام.
- احتمال كسرها في السنة الثانية ، - احتمال أن تستمر أكثر من عامين. بوضوح،
الجواب: 0.06
تسمى الأحداث المتعارضة في إطار عمل مهمة معينة غير متوافقة. يؤدي وقوع أحد الأحداث غير المتوافقة إلى استبعاد وقوع الأحداث الأخرى.
مجموع حدثين هو مصطلح يعني أن الحدث الأول أو الثاني أو كلاهما وقع في وقت واحد.
احتمال مجموع الأحداث غير المتوافقة يساوي مجموع احتمالاتها.
في مهمتنا ، الأحداث "تعطلت الغلاية في السنة الثانية من التشغيل" و "الغلاية تعمل منذ أكثر من عامين" غير متوافقة. الغلاية إما مكسورة أو لا تزال تعمل.
تظهر الصورة متاهة. يزحف العنكبوت إلى المتاهة عند نقطة "المدخل". لا يمكن للعنكبوت أن يستدير ويزحف مرة أخرى. عند كل مفترق ، يختار العنكبوت مسارًا لم يزحف إليه بعد. بالنظر إلى اختيار المسار الإضافي على أنه عشوائي ، حدد الاحتمال الذي يخرج منه العنكبوت عبر المخرج أ.
نقوم بترقيم الشوكات التي يمكن أن يدور فيها العنكبوت بشكل عشوائي في اتجاه أو آخر.
يمكنه إما الذهاب إلى المخرج D ، واحتمال حدوث هذا الحدث يساوي أو الذهاب إلى أبعد من المتاهة. عند الشوكة الثانية ، يمكنه إما أن يتحول إلى طريق مسدود أو يخرج من المخرج B (مع وجود احتمال في كل مفترق ، فإن احتمال الانعطاف في اتجاه واحد أو آخر يساوي ، ولأن هناك خمس مفترقات ، فإن احتمال الحصول على للخروج من خلال المخرج أ ، أي 0.03125.
يُطلق على الحدثين A و B اسم مستقلين إذا كان احتمال وقوع الحدث A لا يغير احتمال حدوث الحدث B.
هذا صحيح في مشكلتنا: يدور عنكبوت غير ذكي يسارًا أو يمينًا بشكل عشوائي ، بغض النظر عما فعله من قبل.
بالنسبة للعديد من الأحداث المستقلة ، فإن احتمال وقوعها جميعًا يساوي ناتج الاحتمالات.
(أ)تقوم شاحنتان ، تعملان معًا ، بإخراج الثلج من شارع Nizhnyaya Podgornaya ، ويتعين على الشاحنة الأولى القيام بثلاث رحلات مع حمولة من الثلج ، والثانية - اثنتان. احتمالية التعثر بحمولة من الثلج أثناء الصعود هي 0.2 للشاحنة الأولى و 0.25 للشاحنة الثانية. ما هو احتمال أن تزيل الشاحنات الثلوج من شارع نيجنايا بودجورنايا دون أن تتعثر على التل؟
احتمالية أن تتغلب الشاحنة الأولى على التل بأمان للمرة الثانية نظرًا لأن الشاحنة الأولى يجب أن تقوم بثلاث رحلات والثانيتين ، فلن تتعطل الشاحنتان أبدًا على التل مع الاحتمال
شركة زراعية تشتري بيض الدجاج من أسرتين. 40٪ من بيض المزرعة الأولى بيض من أعلى فئة ، ومن المزرعة الثانية - 20٪ بيض من أعلى فئة. إجمالاً ، 35٪ من البيض يحصل على أعلى فئة. أوجد احتمال أن تكون البيضة المشتراة من هذه المزرعة من المزرعة الأولى.
دعنا نرسم كل النتائج المحتملة للموقف. جاء المشتري إلى المتجر التابع للشركة الزراعية واشترى بيضة. علينا إيجاد احتمال أن تكون هذه بيضة من المزرعة الأولى.
يمكن أن يكون البيض من الأسرة الأولى فقط ، أو من الأسرة الثانية ، وهذان الحدثان غير متوافقين. لا يوجد بيض آخر في هذا المتجر.
دع احتمال أن تكون البيضة المشتراة من المزرعة الأولى. ثم يكون احتمال أن تكون البيضة من المزرعة الثانية (حدث معاكس) هو.
يمكن أن يكون البيض من أعلى فئة وليس أعلى فئة.
في المزرعة الأولى ، 40٪ من البيض من أعلى فئة ، و 60٪ ليسوا من أعلى فئة. هذا يعني أن البيضة المختارة عشوائيًا من المزرعة الأولى مع احتمال 40٪ ستكون أعلى فئة.
في المزرعة الثانية ، 20٪ من البيض من أعلى فئة ، و 80٪ ليس من أعلى فئة.
اجعل البيضة التي يتم اختيارها عشوائيًا في المتجر تكون من المزرعة الأولى والأعلى فئة. احتمال هذا الحدث يساوي حاصل ضرب الاحتمالات:
احتمال تساوي بيضة من المزرعة الثانية وأعلى فئة
إذا أضفنا هذين الاحتمالين ، فسنحصل على احتمال أن يكون للبويضة أعلى فئة. وبحسب الحالة ، فإن 35٪ من البيض لديها أعلى فئة ، ما يعني أن هذا الاحتمال هو 0.35.
حصلنا على المعادلة:
قمنا بحل هذه المعادلة ووجدنا أن - احتمال أن البيضة المشتراة من هذه الشركة الزراعية تبين أنها من المزرعة الأولى.
يقوم جميع مرضى التهاب الكبد المشتبه به بإجراء فحص دم. إذا أظهر الاختبار التهاب الكبد ، فإن نتيجة الاختبار تسمى إيجابية. في مرضى التهاب الكبد ، يعطي التحليل نتيجة إيجابية مع احتمال 0.9. إذا لم يكن المريض مصابًا بالتهاب الكبد ، فقد يعطي الاختبار نتيجة إيجابية خاطئة مع احتمال 0.01. من المعروف أن 5٪ من المرضى المشتبه في إصابتهم بالتهاب الكبد مصابون بالفعل بالتهاب الكبد. أوجد احتمالية أن تكون نتيجة اختبار مريض أدخل إلى العيادة يشتبه في إصابته بالتهاب الكبد إيجابية.
ماذا أحضر المريض للعيادة؟ - يشتبه في التهاب الكبد. ربما هو مريض حقًا بالتهاب الكبد ، أو ربما هناك سبب آخر لسوء صحته. ربما أكل شيئا. احتمال إصابته بالتهاب الكبد 0.05 (أي 5٪). احتمال أن يكون بصحة جيدة 0.95 (أي 95٪).
يجري تحليل المريض. دعنا نظهر في الرسم التخطيطي جميع النتائج الممكنة:
إذا كان مصابًا بالتهاب الكبد ، فإن الاختبار يعطي نتيجة إيجابية مع احتمال 0.9. أي أن التحليل سيظهر: "هناك التهاب الكبد".
لاحظ أن التحليل لا يكشف في جميع الحالات عن التهاب الكبد لدى شخص مريض بالفعل. مع احتمال 0.1 ، لا يتعرف التحليل على التهاب الكبد لدى المريض.
وعلاوة على ذلك. قد يعطي الاختبار عن طريق الخطأ نتيجة إيجابية لدى شخص غير مصاب بالتهاب الكبد. احتمال مثل هذه النتيجة الإيجابية الخاطئة هو 0.01. بعد ذلك ، مع وجود احتمال 0.99 ، سيعطي التحليل نتيجة سلبية إذا كان الشخص يتمتع بصحة جيدة.
دعونا نجد احتمالية أن تكون نتيجة التحليل لدى مريض تم إدخاله إلى العيادة مصابًا بالتهاب الكبد المشتبه به إيجابية.
النتائج المواتية لهذا الموقف: الشخص مريض والتحليل إيجابي (احتمال حدوث هذين الحدثين في وقت واحد) ، أو أن الشخص يتمتع بصحة جيدة والتحليل إيجابي كاذب (احتمال حدوث هذين الحدثين في وقت واحد الأحداث). نظرًا لأن أحداث "الشخص مريض" و "الشخص ليس مريضًا" غير متوافقة ، فإن احتمال أن تكون نتيجة التحليل إيجابية يساوي
الجواب: 0.0545.
من أجل الالتحاق بمعهد تخصص "اللغويات" ، يجب على المتقدم Z. أن يسجل 70 نقطة على الأقل في امتحان الدولة الموحد في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية واللغة الأجنبية. للتسجيل في تخصص "التجارة" ، تحتاج إلى تسجيل 70 نقطة على الأقل في كل مادة من المواد الثلاثة - الرياضيات واللغة الروسية والدراسات الاجتماعية.
احتمال حصول المتقدم Z. على 70 نقطة على الأقل في الرياضيات هو 0.6 ، وبالروسية - 0.8 ، وفي لغة أجنبية - 0.7 وفي الدراسات الاجتماعية - 0.5.
أوجد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من التخصصين المذكورين.
لاحظ أن المشكلة لا تسأل عما إذا كان مقدم الطلب المسمى Z. سيدرس اللغويات والتجارة في نفس الوقت ويحصل على شهادتين. نحتاج هنا إلى إيجاد احتمال أن يتمكن Z. من إدخال واحد على الأقل من هذين التخصصين - أي أنه سيحرز العدد المطلوب من النقاط.
لدخول تخصص واحد على الأقل من التخصصين ، يجب أن يسجل Z. 70 نقطة على الأقل في الرياضيات. وباللغة الروسية. ومع ذلك - العلوم الاجتماعية أو الأجنبية.
احتمال حصوله على 70 نقطة في الرياضيات هو 0.6.
احتمال تسجيل النقاط في الرياضيات واللغة الروسية هو
دعونا نتعامل مع الدراسات الأجنبية والاجتماعية. الخيارات مناسبة لنا عندما يسجل المتقدم نقاطًا في الدراسات الاجتماعية أو بلغة أجنبية أو في كليهما. لا يكون الخيار مناسبًا عندما لا يسجل نقاطًا سواء في اللغة أو في "المجتمع". وهذا يعني أن احتمال اجتياز دراسة اجتماعية أو أجنبية ب 70 نقطة على الأقل يساوي
نتيجة لذلك ، فإن احتمال اجتياز الرياضيات والدراسات الروسية والاجتماعية أو دراسة أجنبية يساوي هذا هو الجواب.
لإتقان الموضوع بشكل كامل ، انظر. انه مجانا.
المزيد من مهام الاستخدام حول هذا الموضوع