ادوات:

• الحاسوب،
• جهاز عرض الوسائط المتعددة
• شاشة،
• المرفق 1(عرض شرائح في PowerPoint) "طرق لحل المعادلات الأسية"
• الملحق 2(حل معادلة مثل "ثلاث قواعد مختلفة للدرجات" في Word)
• الملحق 3(نشرة في Word للعمل العملي).
• الملحق 4(نشرة في Word للواجب المنزلي).

خلال الفصول

1. المرحلة التنظيمية

• رسالة موضوع الدرس (مكتوبة على السبورة) ،
• الحاجة إلى درس التعميم في الصفوف 10-11:

مرحلة إعداد الطلاب للاستيعاب النشط للمعرفة

تكرار

تعريف.

المعادلة الأسية هي معادلة تحتوي على متغير في الأس (يجيب الطالب).

ملاحظة المعلم. تنتمي المعادلات الأسية إلى فئة المعادلات المتعالية. يشير هذا الاسم الذي يصعب نطقه إلى أن مثل هذه المعادلات ، بشكل عام ، لا يمكن حلها في شكل صيغ.

لا يمكن حلها إلا بالطرق العددية تقريبًا على أجهزة الكمبيوتر. لكن ماذا عن أسئلة الامتحان؟ الحيلة برمتها هي أن الفاحص يؤلف المشكلة بطريقة تعترف فقط بالحل التحليلي. بمعنى آخر ، يمكنك (ويجب عليك!) إجراء مثل هذه التحولات المتطابقة التي تقلل المعادلة الأسية المعينة إلى أبسط معادلة أسية. هذه أبسط معادلة وتسمى: أبسط معادلة أسية. تم حلها اللوغاريتم.

يشبه الموقف مع حل المعادلة الأسية رحلة عبر متاهة اخترعها مترجم المشكلة خصيصًا. من هذه الاعتبارات العامة جدًا ، تتبع توصيات محددة تمامًا.

لحل المعادلات الأسية بنجاح ، يجب عليك:

1. لا يعرف فقط جميع الهويات الأسية بشكل نشط ، بل يجد أيضًا مجموعات من قيم المتغير الذي يتم تحديد هذه الهويات بناءً عليه ، بحيث لا يكتسب المرء جذورًا غير ضرورية عند استخدام هذه الهويات ، بل وأكثر من ذلك ، لا يخسر حلول المعادلة.

2. تعرف بنشاط جميع الهويات الأسية.

3. بوضوح ، بالتفصيل وبدون أخطاء ، إجراء تحويلات رياضية للمعادلات (نقل المصطلحات من جزء من المعادلة إلى جزء آخر ، مع عدم نسيان تغيير العلامة ، وتقليل الكسر إلى قاسم مشترك ، وما إلى ذلك). هذا يسمى الثقافة الرياضية. في الوقت نفسه ، يجب إجراء الحسابات نفسها تلقائيًا باليد ، ويجب أن يفكر الرأس في الخيط التوجيهي العام للحل. من الضروري إجراء التحولات بعناية وبالتفصيل قدر الإمكان. هذا فقط سيضمن حلاً صحيحًا وخالٍ من الأخطاء. وتذكر: يمكن لخطأ حسابي صغير أن يخلق ببساطة معادلة متعالية لا يمكن حلها تحليليًا من حيث المبدأ. اتضح أنك ضلت طريقك وركضت في جدار المتاهة.

4. تعرف على طرق حل المشكلات (أي تعرف على جميع المسارات عبر متاهة الحل). من أجل التوجيه الصحيح في كل مرحلة ، سيتعين عليك (بوعي أو حدسي!):

• حدد نوع المعادلة;
• تذكر النوع المقابل طريقة الحلمهام.

مرحلة تعميم وتنظيم المادة المدروسة.

يُجري المعلم ، جنبًا إلى جنب مع الطلاب ، بمشاركة جهاز كمبيوتر ، نظرة عامة على التكرار لجميع أنواع المعادلات الأسية وطرق حلها ، ويضع مخططًا عامًا. (تم استخدام برنامج الكمبيوتر التدريبي لـ L.Ya. Borevsky "دورة الرياضيات - 2000" ، مؤلف عرض PowerPoint التقديمي هو T.N. Kuptsova.)

أرز. واحد.يوضح الشكل مخططًا عامًا لجميع أنواع المعادلات الأسية.

كما يتضح من هذا الرسم البياني ، فإن استراتيجية حل المعادلات الأسية هي تقليل هذه المعادلة الأسية إلى المعادلة ، أولاً وقبل كل شيء ، بنفس الأسس ، ثم - و بنفس الأسس.

بعد الحصول على معادلة بنفس الأسس والأسس ، فإنك تستبدل هذه الدرجة بمتغير جديد وتحصل على معادلة جبرية بسيطة (عادةً ما تكون كسرية منطقية أو تربيعية) فيما يتعلق بهذا المتغير الجديد.

بحل هذه المعادلة وإجراء تعويض عكسي ، ينتهي بك الأمر بمجموعة من المعادلات الأسية البسيطة التي يمكن حلها بشكل عام باستخدام اللوغاريتم.

تقف المعادلات منفصلة حيث تحدث فقط منتجات القوى (الخاصة). باستخدام المتطابقات الأسية ، من الممكن إحضار هذه المعادلات على الفور إلى قاعدة واحدة ، على وجه الخصوص ، إلى أبسط معادلة أسية.

ضع في اعتبارك كيفية حل معادلة أسية بثلاث قواعد مختلفة من الدرجات.

(إذا كان لدى المعلم برنامج كمبيوتر تعليمي بواسطة L.Ya. Borevsky "دورة الرياضيات - 2000" ، فنحن بطبيعة الحال نعمل مع القرص ، وإذا لم يكن الأمر كذلك ، فيمكنك طباعة هذا النوع من المعادلة لكل مكتب منه ، كما هو موضح أدناه .)

أرز. 2.خطة حل المعادلة.

أرز. 3.البدء في حل المعادلة

أرز. 4.نهاية حل المعادلة.

القيام بعمل عملي

تحديد نوع المعادلة وحلها.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

تلخيص الدرس

تقدير الدرس.

نهاية الدرس

للمعلم

مخطط إجابات العمل العملي.

ممارسه الرياضه:من قائمة المعادلات ، حدد المعادلات من النوع المحدد (ضع رقم الإجابة في الجدول):

1. ثلاث قواعد مختلفة
2. قاعدتان مختلفتان - أسس مختلفة
3. أسس الصلاحيات - صلاحيات رقم واحد
4. نفس الأسس ، الأسس المختلفة
5. نفس الأسس - نفس الأسس
6. نتاج القوى
7. قاعدتان مختلفتان للدرجات - نفس المؤشرات
8. أبسط المعادلات الأسية

1. (نتاج الصلاحيات)

2. (نفس الأسس - دعاة مختلفون)

حل المعادلات الأسية. أمثلة.

الانتباه!
هناك المزيد
مادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

ماذا حدث المعادلة الأسية؟ هذه معادلة يكون فيها المجهول (س) والتعبيرات معهم المؤشراتبعض الدرجات. وفقط هناك! انه مهم.

ها أنت ذا أمثلة من المعادلات الأسية:

3 × 2 × = 8 × + 3

ملحوظة! في قواعد الدرجات (أدناه) - أرقام فقط. الخامس المؤشراتدرجات (أعلاه) - مجموعة متنوعة من التعبيرات التي تحتوي على x. إذا ظهر x فجأة في المعادلة في مكان آخر غير المؤشر ، على سبيل المثال:

ستكون هذه معادلة من النوع المختلط. مثل هذه المعادلات ليس لها قواعد واضحة للحل. لن نفكر فيها الآن. هنا سنتعامل مع حل المعادلات الأسيةفي أنقى صورها.

في الواقع ، حتى المعادلات الأسية البحتة لا تُحل دائمًا بوضوح. ولكن هناك أنواعًا معينة من المعادلات الأسية التي يمكن ويجب حلها. هذه هي الأنواع التي سننظر إليها.

حل أبسط المعادلات الأسية.

لنبدأ بشيء أساسي للغاية. على سبيل المثال:

حتى بدون أي نظرية ، من خلال الاختيار البسيط ، من الواضح أن x = 2. لا أكثر ، أليس كذلك؟ لا توجد لفات قيمة x أخرى. والآن دعونا نلقي نظرة على حل هذه المعادلة الأسية الصعبة:

ماذا فعلنا؟ في الواقع ، لقد ألقينا للتو نفس القيعان (ثلاثة أضعاف). طرد تماما. وماذا يرضي ، اصطدم بالعلامة!

في الواقع ، إذا كان في المعادلة الأسية على اليسار وعلى اليمين نفس الشيءالأرقام بأي درجة ، يمكن إزالة هذه الأرقام وتساوي الأس. تسمح الرياضيات. يبقى حل معادلة أبسط بكثير. إنه جيد ، أليس كذلك؟)

ومع ذلك ، دعونا نتذكر من المفارقات: يمكنك إزالة القواعد فقط عندما تكون الأرقام الأساسية على اليسار واليمين في عزلة رائعة!بدون أي جيران ومعاملات. دعنا نقول في المعادلات:

2 س +2 س + 1 = 2 3 أو

لا يمكنك إزالة الزوجي!

حسنًا ، لقد أتقننا أهم شيء. كيفية الانتقال من التعابير الأسية الشريرة إلى المعادلات الأبسط.

"ها هي تلك الأوقات!" - قول انت. "من سيعطي مثل هذه البدائية في الضبط والامتحانات !؟"

أجبرت على الموافقة. لا أحد سيفعل. لكنك الآن تعرف إلى أين تتجه عند حل الأمثلة المربكة. من الضروري تذكر ذلك ، عندما يكون الرقم الأساسي نفسه على اليسار - على اليمين. ثم كل شيء سيكون أسهل. في الواقع ، هذه هي كلاسيكيات الرياضيات. نأخذ المثال الأصلي ونحوله إلى المطلوب نحنعقل _ يمانع. طبعا وفق قواعد الرياضيات.

ضع في اعتبارك الأمثلة التي تتطلب بعض الجهد الإضافي لجعلها أبسط. دعنا نسميهم معادلات أسية بسيطة.

حل المعادلات الأسية البسيطة. أمثلة.

عند حل المعادلات الأسية ، فإن القواعد الرئيسية هي الإجراءات مع السلطات.بدون معرفة هذه الإجراءات ، لن ينجح شيء.

إلى الإجراءات ذات الدرجات ، يجب على المرء إضافة الملاحظة الشخصية والبراعة. هل نحتاج إلى نفس الأعداد الأساسية؟ لذلك نحن نبحث عنها في المثال بصيغة صريحة أو مشفرة.

دعونا نرى كيف يتم ذلك عمليا؟

دعنا نعطينا مثالا:

2 2 س - 8 س + 1 = 0

أول نظرة على أسباب.هم ... هم مختلفون! اثنان وثمانية. لكن من السابق لأوانه أن تثبط عزيمتك. حان الوقت لتذكر ذلك

اثنان وثمانية أقارب في الدرجة.) من الممكن تمامًا كتابة:

8 س + 1 = (2 3) س + 1

إذا تذكرنا الصيغة من الأفعال ذات القوى:

(أ ن) م = أ نانومتر ،

بشكل عام يعمل بشكل رائع:

8 س + 1 = (2 3) س + 1 = 2 3 (س + 1)

يبدو المثال الأصلي كالتالي:

2 2 س - 2 3 (س + 1) = 0

ننقل 2 3 (× + 1)إلى اليمين (لم يلغ أحد الإجراءات الأولية للرياضيات!) ، نحصل على:

2 2 س \ u003d 2 3 (س + 1)

هذا كل شيء عمليا. إزالة القواعد:

نحل هذا الوحش ونحصل عليه

هذا هو الجواب الصحيح.

في هذا المثال ، ساعدتنا معرفة قوى العدد اثنين. نحن المحددةفي الثمانية ، الشيطان المشفر. هذه التقنية (ترميز القواعد المشتركة بأرقام مختلفة) هي خدعة شائعة جدًا في المعادلات الأسية! نعم ، حتى في اللوغاريتمات. يجب أن يكون المرء قادرًا على التعرف على قوى الأعداد الأخرى في الأرقام. هذا مهم للغاية لحل المعادلات الأسية.

الحقيقة هي أن رفع أي رقم إلى أي قوة ليس مشكلة. اضرب ، حتى على قطعة من الورق ، وهذا كل شيء. على سبيل المثال ، يمكن للجميع رفع 3 إلى القوة الخامسة. 243 سيظهر إذا كنت تعرف جدول الضرب.) ولكن في المعادلات الأسية ، غالبًا ما يكون من الضروري عدم رفعها إلى قوة ، ولكن العكس ... ما الرقم إلى أي مدىيختبئ خلف الرقم 243 ، أو ، على سبيل المثال ، 343 ... لن تساعدك هنا أي آلة حاسبة.

أنت بحاجة إلى معرفة قوى بعض الأرقام عن طريق البصر ، نعم ... هل نتدرب؟

حدد ما هي القوى والأرقام هي أرقام:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

الإجابات (في حالة فوضى ، بالطبع!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

إذا نظرت عن كثب ، يمكنك أن ترى حقيقة غريبة. هناك إجابات أكثر من الأسئلة! حسنًا ، هذا يحدث ... على سبيل المثال ، 2 6 ، 4 3 ، 8 2 هو الكل 64.

لنفترض أنك قد لاحظت المعلومات المتعلقة بالتعرف على الأرقام.) دعني أذكرك أنه لحل المعادلات الأسية ، نطبق بالكاملمخزون المعرفة الرياضية. بما في ذلك من الطبقات المتوسطة الدنيا. أنت لم تذهب مباشرة إلى المدرسة الثانوية ، أليس كذلك؟

على سبيل المثال ، عند حل المعادلات الأسية ، غالبًا ما يساعد وضع العامل المشترك خارج الأقواس (مرحبًا بالصف السابع!). دعنا نرى مثالا:

3 2 س + 4-11 9 س = 210

ومرة أخرى ، النظرة الأولى - على أرض الواقع! قواعد الدرجات مختلفة ... ثلاثة وتسعة. ونريدهم أن يكونوا متماثلين. حسنًا ، في هذه الحالة ، تكون الرغبة ممكنة تمامًا!) للأسباب التالية:

9 س = (3 2) س = 3 2 س

وفقًا لنفس قواعد الإجراءات مع الدرجات:

3 2 س + 4 = 3 2 س 3 4

هذا رائع ، يمكنك أن تكتب:

3 2 س 3 4 - 11 3 2 س = 210

قدمنا ​​مثالا لنفس الأسباب. إذن ، ماذا بعد !؟ لا يمكن رمي ثلاثات ... طريق مسدود؟

مطلقا. تذكر قاعدة القرار الأكثر عالمية وقوة الكلمهام الرياضيات:

إذا كنت لا تعرف ماذا تفعل ، فافعل ما تستطيع!

انظر ، كل شيء تم تشكيله).

ما هو في هذه المعادلة الأسية علبةفعل؟ نعم ، يسأل الجانب الأيسر مباشرة عن الأقواس! يشير العامل المشترك 3 2x بوضوح إلى هذا. دعنا نحاول ، وبعد ذلك سنرى:

3 2 س (3 4-11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

المثال يتحسن باستمرار!

نتذكر أنه من أجل حذف القواعد ، نحتاج إلى درجة صافية ، بدون أي معاملات. الرقم 70 يزعجنا. لذلك نقسم كلا طرفي المعادلة على 70 ، نحصل على:

أب-با! كل شيء على ما يرام!

هذا هو الجواب النهائي.

ومع ذلك ، يحدث أن يتم الحصول على سيارات الأجرة على نفس الأسس ، لكن لا يتم تصفيتها. يحدث هذا في المعادلات الأسية من نوع آخر. دعونا نحصل على هذا النوع.

تغيير المتغير في حل المعادلات الأسية. أمثلة.

لنحل المعادلة:

٤ س - ٣ ٢ س +2 = ٠

أولا - كالعادة. دعنا ننتقل إلى القاعدة. إلى الشيطان.

4 س = (2 2) س = 2 2 س

نحصل على المعادلة:

2 2 س - 3 2 س +2 = 0

وهنا سنعلق. لن تعمل الحيل السابقة ، بغض النظر عن كيفية قلبك لها. سيتعين علينا الخروج من ترسانة وسيلة أخرى قوية ومتعددة الاستخدامات. تسمى استبدال متغير.

جوهر الطريقة بسيط بشكل مدهش. بدلاً من رمز واحد معقد (في حالتنا ، 2 x) ، نكتب رمزًا آخر أبسط (على سبيل المثال ، t). مثل هذا الاستبدال الذي يبدو بلا معنى يؤدي إلى نتائج مذهلة!) يصبح كل شيء واضحًا ومفهومًا!

لذا دع

ثم 2 2x \ u003d 2 x2 \ u003d (2 x) 2 \ u003d t 2

نستبدل في معادلتنا جميع القوى بـ x بـ t:

حسنًا ، لقد بزغت؟) ألم تنسَ المعادلات التربيعية بعد؟ نحل من خلال المميز ، نحصل على:

هنا ، الشيء الرئيسي هو عدم التوقف ، كما يحدث ... هذه ليست الإجابة بعد ، فنحن بحاجة إلى x ، وليس t. نعود إلى Xs ، أي صنع بديل. الأول لـ t 1:

هذا هو،

تم العثور على جذر واحد. نبحث عن الثاني من ر 2:

أم ... يسار 2 × ، يمين 1 ... عقبة؟ نعم لا على الاطلاق! يكفي أن نتذكر (من الأفعال ذات الدرجات ، نعم ...) أن الوحدة هي أيالرقم إلى الصفر. أي. كل ما تحتاجه ، سنضعه. نحن بحاجة إلى اثنين. وسائل:

الآن هذا كل شيء. حصلت على 2 جذور:

هذا هو الجواب.

في حل المعادلات الأسيةفي النهاية ، يتم الحصول على بعض التعبيرات المحرجة أحيانًا. نوع:

من السبعة ، لا يعمل الشيطان من خلال درجة بسيطة. هم ليسوا أقارب ... كيف يمكنني أن أكون هنا؟ قد يكون شخص ما في حيرة من أمره ... لكن الشخص الذي قرأ في هذا الموقع موضوع "ما هو اللوغاريتم؟" ابتسم باعتدال واكتب بيد قوية الإجابة الصحيحة تمامًا:

لا يمكن أن تكون هناك إجابة من هذا القبيل في المهام "ب" في الامتحان. هناك عدد محدد مطلوب. ولكن في المهام "ج" - بسهولة.

يقدم هذا الدرس أمثلة على حل أكثر المعادلات الأسية شيوعًا. دعنا نسلط الضوء على الرئيسي.

نصائح عملية:

1. بادئ ذي بدء ، ننظر إلى أسبابدرجات. دعونا نرى ما إذا كان لا يمكن فعل ذلك نفس الشيء.دعنا نحاول القيام بذلك عن طريق استخدام الإجراءات مع السلطات.لا تنس أن الأرقام بدون x يمكن أيضًا تحويلها إلى قوى!

2. نحاول إحضار المعادلة الأسية إلى الصورة عندما يكون اليسار واليمين كذلك نفس الشيءالأرقام إلى أي درجة. نحن نستخدم الإجراءات مع السلطاتو التحليل إلى عوامل.ما يمكن عده بالأرقام - نحسب.

3. إذا لم تنجح النصيحة الثانية ، نحاول تطبيق استبدال المتغير. يمكن أن تكون النتيجة معادلة يمكن حلها بسهولة. في أغلب الأحيان - مربع. أو كسري ، مما يقلل أيضًا إلى مربع.

4. لحل المعادلات الأسية بنجاح ، تحتاج إلى معرفة درجات بعض الأرقام "عن طريق البصر".

كالعادة ، في نهاية الدرس ، أنت مدعو لحل القليل) بنفسك. من البسيط إلى المعقد.

حل المعادلات الأسية:

أكثر صعوبة:

2 × + 3 - 2 × + 2 - 2 × \ u003d 48

9 × - 8 3 × = 9

2 س - 2 0.5 س + 1-8 = 0

ابحث عن منتج الجذور:

2 3-س + 2 س = 9

حدث؟

حسنًا ، إذن ، المثال الأكثر تعقيدًا (يتم حله ، مع ذلك ، في العقل ...):

7 0.13 س + 13 0.7 س + 1 + 2 0.5 س + 1 = -3

ما هو أكثر إثارة للاهتمام؟ ثم هذا مثال سيء بالنسبة لك. سحب شديد على زيادة الصعوبة. سألمح إلى أنه في هذا المثال ، يحفظ البراعة والقاعدة الأكثر عالمية لحل جميع المهام الرياضية.)

2 5 س -1 3 3 س -1 5 2 س -1 = 720 س

مثال أبسط من أجل الاسترخاء):

٩ ٢ × - ٤ ٣ × = ٠

وللحلوى. أوجد مجموع جذور المعادلة:

س 3 س - 9 س + 7 3 س - 63 = 0

نعم نعم! هذه معادلة من النوع المختلط! وهو ما لم نأخذه بعين الاعتبار في هذا الدرس. وما يجب مراعاتها في الاعتبار ، يجب حلها!) هذا الدرس كافٍ تمامًا لحل المعادلة. حسنًا ، هناك حاجة إلى البراعة ... ونعم ، سوف يساعدك الصف السابع (هذا تلميح!).

الإجابات (في حالة فوضى ، مفصولة بفواصل منقوطة):

واحد؛ 2 ؛ 3 ؛ 4 ؛ لا توجد حلول 2 ؛ -2 ؛ -5 ؛ 4 ؛ 0.

هل كل شيء ناجح؟ بخير.

هناك مشكلة؟ لا مشكلة! في القسم الخاص 555 ، يتم حل كل هذه المعادلات الأسية بتفسيرات مفصلة. ماذا ولماذا ولماذا. وبالطبع ، هناك معلومات قيمة إضافية حول العمل مع جميع أنواع المعادلات الأسية. ليس فقط مع هؤلاء.)

آخر سؤال ممتع للنظر فيه. في هذا الدرس ، عملنا باستخدام المعادلات الأسية. لماذا لم أنطق بكلمة واحدة عن ODZ هنا؟بالمناسبة ، هذا شيء مهم جدًا في المعادلات ...

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

مستوى اول

المعادلات الأسية. الدليل الشامل (2019)

مهلا! سنناقش معك اليوم كيفية حل المعادلات التي يمكن أن تكون أولية (وآمل أن تكون جميعها تقريبًا مناسبة لك بعد قراءة هذا المقال) ، وتلك التي يتم إعطاؤها عادةً "ردم". على ما يبدو ، لتغفو تماما. لكنني سأحاول أن أبذل قصارى جهدي حتى لا تقع في مشكلة عند مواجهة هذا النوع من المعادلات. لن أتغلب على الأدغال بعد الآن ، لكنني سأكشف على الفور سرًا صغيرًا: اليوم سوف ندرس المعادلات الأسية.

قبل الشروع في تحليل طرق حلها ، سأحدد لك على الفور دائرة من الأسئلة (صغيرة جدًا) يجب عليك تكرارها قبل التسرع في مناقشة هذا الموضوع. لذا ، للحصول على أفضل النتائج ، من فضلك كرر:

1. خصائص و
2. الحل والمعادلات

معاد؟ رائع! عندها لن يكون من الصعب عليك ملاحظة أن جذر المعادلة عبارة عن رقم. هل أنت متأكد أنك تفهم كيف فعلت ذلك؟ حقيقة؟ ثم نواصل. الآن أجبني على السؤال ، ما الذي يساوي القوة الثالثة؟ أنت محق تماما: . ثمانية ما هي قوة اثنين؟ هذا صحيح - الثالث! لأن. حسنًا ، لنحاول الآن حل المشكلة التالية: دعني أضرب الرقم في نفسه مرة واحدة وأحصل على النتيجة. السؤال هو كم مرة قمت بضربها بنفسي؟ يمكنك بالطبع التحقق من هذا مباشرة:

\ ابدأ (محاذاة) & 2 = 2 \\ & 2 \ cdot 2 = 4 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 8 \\ & 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2 = 16 \\ \ end ( محاذاة)

ثم يمكنك أن تستنتج أنني ضربت مرات في حد ذاتها. وإلا كيف يمكن التحقق من ذلك؟ وإليك الكيفية: مباشرة بتعريف الدرجة:. لكن ، يجب أن تعترف ، إذا سألت عن عدد المرات التي يجب مضاعفتها بنفسها من أجل الحصول ، على سبيل المثال ، ستقول لي: لن أخدع نفسي وأضرب بنفسي حتى أكون زرقاء في وجهي. وسيكون على حق تماما. لأنه كيف يمكنك اكتب جميع الإجراءات باختصار(والإيجاز أخت الموهبة).

أين - هذا هو جدا "مرات"عندما تضرب في نفسها.

أعتقد أنك تعلم (وإذا كنت لا تعرف ، بشكل عاجل ، كرر الدرجات على وجه السرعة!) أن مشكلتي ستكتب في النموذج:

كيف يمكنك أن تستنتج بشكل معقول أن:

لذلك ، كتبت بهدوء أبسط المعادلة الأسية:

بل ووجدته جذر. ألا تعتقد أن كل شيء تافه تمامًا؟ هذا بالضبط ما أعتقده أيضًا. إليك مثال آخر لك:

لكن ماذا تفعل؟ بعد كل شيء ، لا يمكن كتابتها كدرجة (معقولة) رقم. دعونا لا نشعر باليأس ونلاحظ أن كلا الرقمين يتم التعبير عنه تمامًا من حيث قوة نفس الرقم. لما؟ حق: . ثم تتحول المعادلة الأصلية إلى الشكل:

من أين ، كما فهمت بالفعل ،. دعونا لا ننسحب بعد الآن ونكتب تعريف:

في حالتنا معك:.

يتم حل هذه المعادلات عن طريق اختزالها إلى الشكل:

مع حل المعادلة اللاحق

لقد فعلنا هذا في الواقع في المثال السابق: لقد حصلنا على ذلك. وقمنا بحل أبسط معادلة معك.

يبدو أنه لا يوجد شيء معقد ، أليس كذلك؟ دعونا نتدرب على الأبسط أولاً. أمثلة:

نرى مرة أخرى أنه يجب تمثيل الجانبين الأيمن والأيسر للمعادلة كقوة مقدارها واحد. صحيح ، لقد تم ذلك بالفعل على اليسار ، ولكن يوجد رقم على اليمين. لكن ، لا بأس ، بعد كل شيء ، وتتحول معادلتي بأعجوبة إلى هذا:

ماذا علي أن أفعل هنا؟ ما حكم؟ سلطة السلطةالذي يقرأ:

ماذا إذا:

قبل الإجابة على هذا السؤال ، دعنا نملأ الجدول التالي معك:

ليس من الصعب علينا أن نلاحظ أنه كلما كانت القيمة أصغر ، كانت أصغر ، ولكن مع ذلك ، فإن كل هذه القيم أكبر من الصفر. وسوف يكون دائما كذلك !!! نفس الخاصية تنطبق على أي أساس مع أي فهرس !! (لأي و). ثم ماذا يمكن أن نستنتج من المعادلة؟ وهنا واحد: هو ليس له جذور! تمامًا مثل أي معادلة ليس لها جذور. الآن دعونا نتدرب و لنحل بعض الأمثلة البسيطة:

دعونا تحقق:

1. ليس مطلوبًا منك شيء هنا ، باستثناء معرفة خصائص القوى (والتي ، بالمناسبة ، طلبت منك تكرارها!) كقاعدة عامة ، كل شيء يؤدي إلى أصغر قاعدة: ،. عندها ستكون المعادلة الأصلية معادلة لما يلي: كل ما أحتاجه هو استخدام خصائص القوى: عند ضرب الأعداد على نفس الأساس ، يتم إضافة الأس ، وعند القسمة يتم طرحها.ثم سأحصل على: حسنًا ، الآن بضمير مرتاح ، سأنتقل من المعادلة الأسية إلى المعادلة الخطية: \ ابدأ (محاذاة)
& 2x + 1 + 2 (x + 2) -3x = 5 \\
& 2x + 1 + 2x + 4-3x = 5 \\
& س = 0. \\
نهاية (محاذاة)

2. في المثال الثاني ، عليك أن تكون أكثر حرصًا: المشكلة هي أنه في الجانب الأيسر ، لا يمكننا تمثيل نفس الرقم كقوة أيضًا. في هذه الحالة يكون مفيدًا في بعض الأحيان تمثل الأعداد كمنتج قوى ذات قواعد مختلفة ، لكن الأسس نفسها:

سيأخذ الجانب الأيسر من المعادلة الشكل: ماذا أعطانا هذا؟ وإليك ما يلي: يمكن ضرب الأعداد التي لها أساس مختلف ولكن نفس الأس.في هذه الحالة ، يتم ضرب الأسس ، لكن الأس لا يتغير:

عند تطبيقه على وضعي ، سيعطي هذا:

تبدأ (محاذاة)
& 4 \ cdot ((64) ^ (x)) ((25) ^ (x)) = 6400 ، \\
& 4 \ cdot (((64 \ cdot 25)) ^ (x)) = 6400 ، \\
& ((1600) ^ (x)) = \ frac (6400) (4) ، \\
& ((1600) ^ (x)) = 1600 ، \\
& س = 1. \\
نهاية (محاذاة)

ليس سيئا ، أليس كذلك؟

3. لا يعجبني عندما يكون لدي حدين في أحد طرفي المعادلة ، ولا أحصل على أي منهما في الجانب الآخر (أحيانًا ، بالطبع ، هذا مبرر ، لكن هذا ليس هو الحال الآن). انقل المصطلح الناقص إلى اليمين:

الآن ، كما في السابق ، سأكتب كل شيء من خلال قوى الثلاثية:

أضفت القوى على اليسار وأحصل على معادلة مكافئة

يمكنك بسهولة العثور على جذره:

4. كما في المثال الثالث ، المصطلح بعلامة ناقص - مكان على الجانب الأيمن!

على اليسار ، كل شيء تقريباً على ما يرام معي باستثناء ماذا؟ نعم ، "الدرجة الخاطئة" للشيطان تزعجني. لكن يمكنني إصلاح ذلك بسهولة عن طريق كتابة:. يوريكا - على اليسار ، كل القواعد مختلفة ، لكن كل الدرجات متشابهة! نتضاعف بسرعة!

هنا مرة أخرى ، كل شيء واضح: (إذا لم تفهم كيف حصلت بطريقة سحرية على آخر مساواة ، خذ استراحة لمدة دقيقة ، وخذ قسطًا من الراحة واقرأ خصائص الدرجة مرة أخرى بعناية شديدة. من قال أنه يمكنك تخطي درجة بأس سالب؟ حسنًا ، أنا هنا تقريبًا مثل لا أحد). الآن سأحصل على:

تبدأ (محاذاة)
& ((2) ^ (4 \ left ((x) -9 \ right))) = ((2) ^ (- 1)) \\
& 4 ((س) -9) = - 1 \\
& x = \ frac (35) (4). \\
نهاية (محاذاة)

فيما يلي المهام التي يتعين عليك ممارستها ، والتي سأقدم لها الإجابات فقط (ولكن في شكل "مختلط"). قم بحلها وتحقق وسنواصل بحثنا!

مستعد؟ الإجاباتمثل هؤلاء:

1. أي رقم

حسنًا ، حسنًا ، كنت أمزح! فيما يلي الخطوط العريضة للحلول (بعضها موجز جدًا!)

ألا تعتقد أنه ليس من قبيل المصادفة أن يكون كسر واحد على اليسار هو جزء آخر "معكوس"؟ سيكون من الخطيئة عدم استخدام هذا:

غالبًا ما تستخدم هذه القاعدة عند حل المعادلات الأسية ، تذكرها جيدًا!

ثم تصبح المعادلة الأصلية:

بحل هذه المعادلة التربيعية ، ستحصل على الجذور التالية:

2. حل آخر: قسمة كلا الجزأين من المعادلة على التعبير الموجود على اليسار (أو اليمين). سأقسم على اليمين ، ثم أحصل على:

اين لماذا؟!)

3. أنا لا أريد حتى أن أكرر نفسي ، فقد تم بالفعل "مضغ" كل شيء كثيرًا.

4. معادلة من الدرجة الثانية ، الجذور

5. تحتاج إلى استخدام الصيغة الواردة في المهمة الأولى ، ثم ستحصل على ما يلي:

لقد تحولت المعادلة إلى هوية تافهة ، وهذا صحيح بالنسبة لأي شخص. ثم الجواب هو أي رقم حقيقي.

حسنًا ، ها أنت هنا وتمارسك على اتخاذ القرار أبسط المعادلات الأسية.الآن أريد أن أعطيك بعض الأمثلة الحياتية التي ستساعدك على فهم سبب الحاجة إليها من حيث المبدأ. هنا سأقدم مثالين. أحدهما يومي تمامًا ، لكن الآخر له أهمية علمية أكثر منه عملية.

مثال 1 (تجاري)دعك تحصل على روبل ، لكنك تريد تحويله إلى روبل. يعرض عليك البنك أخذ هذه الأموال منك بمعدل فائدة سنوي مع رسملة شهرية للفائدة (الاستحقاق الشهري). السؤال هو ، كم شهر تحتاج لفتح وديعة لتحصيل المبلغ النهائي المطلوب؟ إنها مهمة عادية ، أليس كذلك؟ ومع ذلك ، فإن حلها مرتبط ببناء المعادلة الأسية المقابلة: دع - المبلغ الأولي ، - المبلغ النهائي ، - سعر الفائدة للفترة ، - عدد الفترات. ثم:

في حالتنا (إذا كان السعر سنويًا ، فسيتم احتسابه شهريًا). لماذا يتم تقسيمها إلى؟ إذا كنت لا تعرف إجابة هذا السؤال ، فتذكر موضوع ""! ثم نحصل على المعادلة التالية:

يمكن بالفعل حل هذه المعادلة الأسية فقط باستخدام آلة حاسبة (مظهرها يشير إلى ذلك ، وهذا يتطلب معرفة اللوغاريتمات ، والتي سوف نتعرف عليها لاحقًا) ، وهو ما سأفعله: ... وهكذا ، من أجل تلقي مليون ، نحتاج إلى تقديم مساهمة لمدة شهر (ليس سريعًا جدًا ، أليس كذلك؟).

المثال 2 (علمي إلى حد ما).على الرغم من بعض "العزلة" التي يعاني منها ، فإنني أنصحك بالاهتمام به: فهو بانتظام "ينزلق إلى الامتحان !! (المهمة مأخوذة من النسخة "الحقيقية") أثناء تحلل النظير المشع ، تقل كتلته وفقًا للقانون ، حيث (mg) هي الكتلة الأولية للنظير ، (min.) هو الوقت المنقضي من اللحظة الأولية ، (دقيقة) هي نصف العمر. في اللحظة الأولى من الزمن ، تكون كتلة النظير ملغ. عمر النصف دقيقة. في كم دقيقة ستكون كتلة النظير مساوية لـ mg؟ لا بأس: نحن فقط نأخذ جميع البيانات الموجودة في الصيغة المقترحة لنا ونستبدلها:

دعونا نقسم كلا الجزأين على "على أمل" أن نحصل على شيء سهل الهضم على اليسار:

حسنًا ، نحن محظوظون جدًا! إنها تقع على اليسار ، فلننتقل إلى المعادلة المكافئة:

أين دقيقة.

كما ترى ، فإن المعادلات الأسية لها تطبيق حقيقي للغاية في الممارسة العملية. الآن أريد أن أناقش معك طريقة أخرى (بسيطة) لحل المعادلات الأسية ، والتي تعتمد على إخراج العامل المشترك من الأقواس ثم تجميع المصطلحات. لا تخف من كلماتي ، لقد واجهت هذه الطريقة بالفعل في الصف السابع عندما درست كثيرات الحدود. على سبيل المثال ، إذا كنت بحاجة إلى تحليل التعبير إلى عوامل:

لنجمع: الحد الأول والثالث ، وكذلك الثاني والرابع. من الواضح أن الأول والثالث هما فرق المربعات:

والثاني والرابع لهما عامل مشترك هو ثلاثة:

ثم التعبير الأصلي يعادل هذا:

مكان إخراج العامل المشترك لم يعد صعبًا:

لذلك،

هذه هي الطريقة التي سنتصرف بها تقريبًا عند حل المعادلات الأسية: ابحث عن "القواسم المشتركة" بين المصطلحات وأخرجها من الأقواس ، وبعد ذلك - ما الذي قد يحدث ، أعتقد أننا سنكون محظوظين =)) على سبيل المثال:

على اليمين بعيدًا عن قوة السبعة (لقد راجعت!) وعلى اليسار - أفضل قليلاً ، يمكنك بالطبع "تقطيع" العامل أ من المصطلح الأول ومن الثاني ، ثم التعامل مع ما حصلت عليه ، ولكن لنفعل المزيد بحكمة معك. لا أريد التعامل مع الكسور التي يتم إنتاجها حتمًا عن طريق "الانتقاء" ، لذا ألا يجب أن أكون أفضل حالًا؟ ثم لن يكون لدي كسور: كما يقولون ، كل من الذئاب ممتلئة والخراف بأمان:

عد التعبير بين قوسين. بطريقة سحرية وسحرية ، اتضح ذلك (بشكل مدهش ، على الرغم من أنه ما الذي يمكن أن نتوقعه أيضًا؟).

ثم نختصر طرفي المعادلة بهذا العامل. نحصل: أين.

هذا مثال أكثر تعقيدًا (قليل جدًا ، حقًا):

ها هي المشكلة! ليس لدينا أرضية مشتركة هنا! ليس من الواضح تمامًا ما يجب القيام به الآن. ودعنا نفعل ما في وسعنا: أولاً ، سنحرك "الأربعة" في اتجاه واحد ، و "الخمسات" في الاتجاه الآخر:

الآن دعنا نخرج "المشترك" على اليسار واليمين:

اذا ماذا الان؟ ما فائدة مثل هذا التجمع الغبي؟ للوهلة الأولى ، لا يكون مرئيًا على الإطلاق ، لكن دعونا ننظر بشكل أعمق:

حسنًا ، لنجعله الآن بحيث يكون لدينا على اليسار فقط التعبير c ، وفي اليمين - كل شيء آخر. كيف يمكننا أن نفعل ذلك؟ وإليك الطريقة: نقسم طرفي المعادلة أولاً على (حتى نتخلص من الأس الموجود على اليمين) ، ثم نقسم كلا الطرفين على (حتى نتخلص من العامل العددي على اليسار). أخيرًا نحصل على:

رائع! على اليسار لدينا تعبير ، وعلى اليمين - فقط. ثم نستنتج ذلك على الفور

إليك مثال آخر يجب تعزيزه:

سأقدم حله الموجز (لا يكلف نفسه عناء الشرح) ، حاول أن تكتشف بنفسك كل "التفاصيل الدقيقة" للحل.

الآن يتم تغطية التوحيد النهائي للمواد. حاول حل المشاكل التالية بنفسك. سأقدم فقط توصيات ونصائح موجزة لحلها:

1. لنأخذ العامل المشترك من الأقواس:
2. نحن نمثل التعبير الأول بالصيغة: اقسم كلا الجزأين على واحصل على ذلك
3. ، ثم يتم تحويل المعادلة الأصلية إلى النموذج: حسنًا ، الآن تلميح - ابحث عن المكان الذي حللت فيه أنا وأنت هذه المعادلة!
4. تخيل كيف ، كيف ، آه ، حسنًا ، ثم نقسم كلا الجزأين على ، حتى تحصل على أبسط معادلة أسية.
5. أخرجه من الأقواس.
6. أخرجه من الأقواس.

معادلات كشفية. مستوى متوسط

أفترض ذلك بعد قراءة المقال الأول الذي قيل ما هي المعادلات الأسية وكيفية حلها، لقد أتقنت الحد الأدنى من المعرفة اللازمة لحل أبسط الأمثلة.

الآن سأقوم بتحليل طريقة أخرى لحل المعادلات الأسية ، وهي

"طريقة إدخال متغير جديد" (أو الاستبدال).إنه يحل معظم المشاكل "الصعبة" في موضوع المعادلات الأسية (وليس فقط المعادلات). هذه الطريقة هي واحدة من أكثر الطرق استخدامًا في الممارسة. أولاً ، أوصي بأن تتعرف على الموضوع.

كما فهمت بالفعل من الاسم ، فإن جوهر هذه الطريقة هو إدخال مثل هذا التغيير في المتغير بحيث تتحول معادلتك الأسية بأعجوبة إلى واحد يمكنك حله بسهولة. كل ما تبقى لك بعد حل هذه "المعادلة المبسطة" هو إجراء "استبدال عكسي": أي العودة من البديل إلى البديل. دعنا نوضح ما قلناه للتو بمثال بسيط للغاية:

مثال 1:

يتم حل هذه المعادلة عن طريق "استبدال بسيط" ، كما يسميها علماء الرياضيات باستخفاف. في الواقع ، الاستبدال هنا هو الأكثر وضوحًا. يحتاج فقط أن يرى ذلك

ثم تصبح المعادلة الأصلية:

إذا تخيلنا أيضًا كيف ، فمن الواضح تمامًا ما الذي يجب استبداله: بالطبع ،. ما الذي يصبح بعد ذلك المعادلة الأصلية؟ وإليك ما يلي:

يمكنك بسهولة العثور على جذوره بنفسك:. ماذا يجب أن نفعل الآن؟ حان الوقت للعودة إلى المتغير الأصلي. ماذا نسيت أن أدرج؟ وهي: عند استبدال درجة معينة بمتغير جديد (أي عند استبدال نوع) ، سأكون مهتمًا بـ فقط الجذور الإيجابية!يمكنك بنفسك الإجابة بسهولة عن السبب. وبالتالي ، فنحن لسنا مهتمين بك ، لكن الجذر الثاني مناسب تمامًا لنا:

ثم أين.

إجابه:

كما ترون ، في المثال السابق ، كان البديل يطلب أيدينا. لسوء الحظ ، هذا ليس هو الحال دائمًا. ومع ذلك ، دعنا لا نذهب مباشرة إلى الحزن ، ولكن تدرب على مثال آخر مع بديل بسيط إلى حد ما

مثال 2

من الواضح أنه على الأرجح سيكون من الضروري استبدال (هذا هو أصغر القوى المدرجة في معادلتنا) ، ومع ذلك ، قبل تقديم بديل ، يجب أن تكون معادلتنا "معدة" لها ، وهي: ،. ثم يمكنك الاستبدال ، ونتيجة لذلك سأحصل على التعبير التالي:

يا رعب: معادلة تكعيبية مع صيغ رهيبة للغاية لحلها (حسنًا ، الحديث بعبارات عامة). لكن دعونا لا نشعر باليأس على الفور ، ولكن دعونا نفكر فيما يجب أن نفعله. سأقترح الغش: نحن نعلم أنه من أجل الحصول على إجابة "جميلة" ، نحتاج إلى الحصول على قوة من ثلاثة (لماذا يكون ذلك ، أليس كذلك؟). ودعنا نحاول تخمين جذر واحد على الأقل من معادلتنا (سأبدأ التخمين من قوى الثلاثة).

أول تخمين. ليس جذر. آه وآه ...

.
الجانب الأيسر متساوي.
الجزء الأيمن:!
يوجد! خمّن الجذر الأول. الآن ستصبح الأمور أسهل!

هل تعلم عن مخطط تقسيم "الركن"؟ بالطبع كما تعلم ، تستخدمه عندما تقسم رقمًا على آخر. لكن قلة من الناس يعرفون أنه يمكن فعل الشيء نفسه مع كثيرات الحدود. توجد نظرية رائعة واحدة:

ينطبق على وضعي ، يخبرني ما هو قابل للقسمة دون الباقي. كيف يتم التقسيم؟ هكذا:

ألقي نظرة على أي أحادية يجب أن أضرب للحصول على Clear ، ثم:

أطرح التعبير الناتج من ، وأحصل على:

الآن ، ما الذي أحتاجه للحصول على الضرب؟ من الواضح أنه في ، سأحصل على:

ثم اطرح التعبير الناتج من التعبير المتبقي مرة أخرى:

حسنًا ، الخطوة الأخيرة هي الضرب في وطرح من التعبير المتبقي:

الصيحة ، انتهى الانقسام! ما الذي جمعناه في السر؟ بنفسها: .

ثم حصلنا على التوسيع التالي لكثير الحدود الأصلي:

لنحل المعادلة الثانية:

لها جذور:

ثم المعادلة الأصلية:

له ثلاثة جذور:

نحن ، بالطبع ، نتجاهل آخر جذر ، لأنه أقل من صفر. وأول جزأين بعد الاستبدال العكسي سيعطينا جذرين:

إجابه: ..

في هذا المثال ، لم أرغب مطلقًا في إخافتك ، بل إنني شرعت في إظهار أنه على الرغم من أن لدينا بديلًا بسيطًا إلى حد ما ، إلا أنه أدى إلى معادلة معقدة نوعًا ما ، يتطلب حلها بعض المهارات الخاصة منا . حسنًا ، لا أحد محصن من هذا. لكن التغيير في هذه الحالة كان واضحًا جدًا.

هذا مثال باستبدال أقل وضوحًا:

ليس من الواضح على الإطلاق ما يجب أن نفعله: المشكلة هي أنه في معادلتنا هناك قاعدتان مختلفتان ولا يمكن الحصول على قاعدة من الأخرى برفعها إلى أي درجة (معقولة ، بشكل طبيعي). ومع ذلك ، ماذا نرى؟ تختلف القاعدتان في الإشارة فقط ، وحاصل ضربهما هو فرق المربعات الذي يساوي واحدًا:

تعريف:

وبالتالي ، فإن الأرقام التي تشكل قواعد في مثالنا مترافقة.

في هذه الحالة ، ستكون الحركة الذكية اضرب طرفي المعادلة في العدد المرافق.

على سبيل المثال ، في ، سيصبح الجانب الأيسر من المعادلة متساويين ، والجانب الأيمن. إذا قمنا باستبدال ، فستصبح معادلتنا الأصلية معك على النحو التالي:

جذوره ، إذن ، لكن مع تذكر ذلك ، حصلنا على ذلك.

إجابه: ، .

كقاعدة عامة ، طريقة الاستبدال كافية لحل معظم المعادلات الأسية "المدرسية". المهام التالية مأخوذة من USE C1 (زيادة مستوى الصعوبة). أنت تعرف القراءة والكتابة بما يكفي لحل هذه الأمثلة بنفسك. سأقدم فقط البديل المطلوب.

1. حل المعادلة:
2. أوجد جذور المعادلة:
3. حل المعادلة: . أوجد كل جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى المقطع:

الآن لبعض التفسيرات والإجابات السريعة:

1. هنا يكفي أن نلاحظ أن و. ثم ستكون المعادلة الأصلية مكافئة لهذه المعادلة: يتم حل هذه المعادلة عن طريق استبدال قم بإجراء الحسابات التالية بنفسك. في النهاية ، ستختصر مهمتك إلى حل أبسط المثلثات (اعتمادًا على الجيب أو جيب التمام). سنناقش حل مثل هذه الأمثلة في أقسام أخرى.
2. هنا يمكنك الاستغناء عن الاستبدال: يكفي نقل المطروح إلى اليمين وتمثيل القاعدتين من خلال قوى اثنين: ثم الانتقال فورًا إلى المعادلة التربيعية.
3. تم حل المعادلة الثالثة أيضًا بطريقة معيارية إلى حد ما: تخيل كيف. بعد ذلك ، نستبدل المعادلة التربيعية: إذن ،

   هل تعرف بالفعل ما هو اللوغاريتم؟ لا؟ ثم اقرأ الموضوع على وجه السرعة!

   من الواضح أن الجذر الأول لا ينتمي إلى المقطع ، والثاني غير مفهوم! لكننا سنكتشف ذلك قريبًا جدًا! منذ ذلك الحين (هذه خاصية اللوغاريتم!) دعنا نقارن:

   اطرح من كلا الجزأين ، ثم نحصل على:

   يمكن تمثيل الجانب الأيسر على النحو التالي:

   اضرب كلا الجانبين في:

   يمكن ضربها ، إذن

   ثم دعنا نقارن:

   منذ ذلك الحين:

   ثم الجذر الثاني ينتمي إلى الفترة المطلوبة

   إجابه:

كما ترى، يتطلب اختيار جذور المعادلات الأسية معرفة عميقة إلى حد ما بخصائص اللوغاريتماتلذلك أنصحك بتوخي الحذر قدر الإمكان عند حل المعادلات الأسية. كما تعلم ، في الرياضيات كل شيء مترابط! كما اعتاد مدرس الرياضيات أن يقول: "لا يمكنك قراءة الرياضيات مثل التاريخ بين عشية وضحاها."

كقاعدة ، كل شيء تكمن صعوبة حل المسائل C1 تحديدًا في اختيار جذور المعادلة.لنتدرب بمثال آخر:

من الواضح أن المعادلة نفسها تم حلها بكل بساطة. بعد إجراء الاستبدال ، اختزلنا المعادلة الأصلية إلى ما يلي:

لنلقِ نظرة على الجذر الأول أولاً. قارن و: منذ ذلك الحين. (خاصية الوظيفة اللوغاريتمية ، في). ثم من الواضح أن الجذر الأول لا ينتمي إلى الفترة الزمنية أيضًا. الآن الجذر الثاني:. من الواضح أن (لأن الوظيفة تتزايد). يبقى للمقارنة و

منذ ذلك الحين في نفس الوقت. وبالتالي ، يمكنني "قيادة ربط" بين و. هذا الوتد هو رقم. التعبير الأول أصغر من والتعبير الثاني أكبر من. ثم يكون التعبير الثاني أكبر من الأول والجذر ينتمي إلى الفترة.

إجابه: .

في الختام ، دعنا نلقي نظرة على مثال آخر لمعادلة يكون فيها الاستبدال غير قياسي إلى حد ما:

لنبدأ فورًا بما يمكنك فعله ، وماذا - من حيث المبدأ ، يمكنك ذلك ، لكن من الأفضل عدم القيام بذلك. من الممكن - تمثيل كل شيء من خلال قوى ثلاثة واثنين وستة. إلى أين يقودنا؟ نعم ، ولن يؤدي إلى أي شيء: خليط من الدرجات ، سيكون من الصعب جدًا التخلص منها. ثم ما هو المطلوب؟ دعنا نلاحظ أن وماذا ستعطينا؟ وحقيقة أنه يمكننا اختزال حل هذا المثال لحل معادلة أسية بسيطة إلى حد ما! أولاً ، دعنا نعيد كتابة معادلتنا على النحو التالي:

الآن نقسم كلا طرفي المعادلة الناتجة إلى:

يوريكا! الآن يمكننا استبدال ، نحصل على:

حسنًا ، حان دورك الآن لحل المشكلات من أجل العرض التوضيحي ، وسأقدم لهم تعليقات موجزة فقط حتى لا تضلوا! حظا طيبا وفقك الله!

1. الأصعب! رؤية بديل هنا يا له من قبيح! ومع ذلك ، يمكن حل هذا المثال تمامًا باستخدام اختيار مربع كامل. لحلها ، يكفي ملاحظة ما يلي:

إذن هذا هو البديل الخاص بك:

(لاحظ أنه هنا ، مع استبدالنا ، لا يمكننا تجاهل الجذر السالب !!! ولماذا ، ما رأيك؟)

الآن ، لحل هذا المثال ، عليك حل معادلتين:

كلاهما تم حلهما عن طريق "الاستبدال القياسي" (لكن الثاني في مثال واحد!)

2. لاحظ ذلك وقم بإجراء بديل.

3. قم بتوسيع الرقم إلى عوامل الجريمة المشتركة وتبسيط التعبير الناتج.

4. اقسم بسط ومقام الكسر على (أو إذا كنت تفضل ذلك) وقم بالتعويض أو.

5. لاحظ أن الأرقام مترافقة.

معادلات كشفية. مستوى متقدم

بالإضافة إلى ذلك ، دعونا ننظر إلى طريقة أخرى - حل المعادلات الأسية بطريقة اللوغاريتم. لا أستطيع أن أقول إن حل المعادلات الأسية بهذه الطريقة شائع جدًا ، ولكن في بعض الحالات فقط يمكن أن يقودنا إلى الحل الصحيح لمعادلتنا. غالبًا ما يتم استخدامه لحل ما يسمى " معادلات مختلطة': أي تلك التي توجد بها وظائف من أنواع مختلفة.

على سبيل المثال ، معادلة مثل:

في الحالة العامة ، لا يمكن حلها إلا بأخذ لوغاريتم كلا الجزأين (على سبيل المثال ، بالقاعدة) ، حيث تتحول المعادلة الأصلية إلى ما يلي:

دعنا نفكر في المثال التالي:

من الواضح أننا مهتمون فقط بـ ODZ للوظيفة اللوغاريتمية. ومع ذلك ، فإن هذا لا يتبع فقط ODZ للوغاريتم ، ولكن لسبب آخر. أعتقد أنه لن يكون من الصعب عليك تخمين أيهما.

لنأخذ لوغاريتم طرفي المعادلة مع القاعدة:

كما ترى ، فإن أخذ لوغاريتم معادلتنا الأصلية قادنا بسرعة إلى الإجابة الصحيحة (والجميلة!). لنتدرب بمثال آخر:

هنا أيضًا ، ليس هناك ما يدعو للقلق: نأخذ لوغاريتم كلا طرفي المعادلة من حيث الأساس ، ثم نحصل على:

لنقم باستبدال:

ومع ذلك ، فقدنا شيئا! هل لاحظت أين أخطأت؟ بعد كل شيء ، إذن:

التي لا تفي بالمتطلبات (فكر من أين أتت!)

إجابه:

حاول كتابة حل المعادلات الأسية أدناه:

تحقق الآن من الحل الخاص بك مع هذا:

1. نلوغاريتم كلا الجزأين في القاعدة ، بشرط أن:

(الجذر الثاني لا يناسبنا بسبب الاستبدال)

2. لوغاريتم للقاعدة:

دعنا نحول التعبير الناتج إلى الشكل التالي:

معادلات كشفية. وصف موجز وصيغة أساسية

المعادلة الأسية

اكتب المعادلة:

اتصل أبسط معادلة أسية.

خصائص الدرجة

نهج الحل

• التخفيض إلى نفس القاعدة
• اختزال لنفس الأس
• استبدال متغير
• بسّط التعبير وطبّق واحدًا مما سبق.

في مرحلة التحضير للاختبار النهائي ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية إلى تحسين معرفتهم حول موضوع "المعادلات الأسية". تشير تجربة السنوات الماضية إلى أن مثل هذه المهام تسبب بعض الصعوبات لأطفال المدارس. لذلك ، يحتاج طلاب المدارس الثانوية ، بغض النظر عن مستوى إعدادهم ، إلى إتقان النظرية بعناية وحفظ الصيغ وفهم مبدأ حل هذه المعادلات. بعد تعلم كيفية التعامل مع هذا النوع من المهام ، سيتمكن الخريجون من الاعتماد على درجات عالية عند اجتياز اختبار الرياضيات.

استعد للاختبار مع شكلكوفو!

عند تكرار المواد التي تمت تغطيتها ، يواجه العديد من الطلاب مشكلة إيجاد الصيغ اللازمة لحل المعادلات. الكتاب المدرسي ليس دائمًا في متناول اليد ، واختيار المعلومات الضرورية حول موضوع ما على الإنترنت يستغرق وقتًا طويلاً.

تدعو البوابة التعليمية Shkolkovo الطلاب لاستخدام قاعدة المعرفة الخاصة بنا. نحن نطبق طريقة جديدة تمامًا للتحضير للاختبار النهائي. من خلال الدراسة على موقعنا ، ستتمكن من تحديد الفجوات المعرفية والاهتمام بالضبط بتلك المهام التي تسبب أكبر الصعوبات.

قام معلمو "شكلكوفو" بجمع وتنظيم وتقديم كل المواد اللازمة لاجتياز الامتحان بنجاح في أبسط شكل ويمكن الوصول إليه.

التعريفات والصيغ الرئيسية مقدمة في قسم "المرجع النظري".

لاستيعاب المواد بشكل أفضل ، نوصيك بممارسة المهام. راجع بعناية أمثلة المعادلات الأسية مع الحلول المقدمة في هذه الصفحة لفهم خوارزمية الحساب. بعد ذلك ، تابع المهام في قسم "الكتالوجات". يمكنك البدء بأسهل المهام أو الانتقال مباشرة إلى حل المعادلات الأسية المعقدة مع العديد من المجاهيل أو. يتم استكمال وتحديث قاعدة بيانات التدريبات على موقعنا باستمرار.

يمكن إضافة تلك الأمثلة مع المؤشرات التي سببت لك صعوبات إلى "المفضلة". حتى تتمكن من العثور عليها بسرعة ومناقشة الحل مع المعلم.

لاجتياز الامتحان بنجاح ، ادرس على بوابة شكولكوفو كل يوم!

أمثلة:

\ (4 ^ س = 32 \)
\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) = 4،8 \)
\ ((\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \ cdot (\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 = 0 \)

كيفية حل المعادلات الأسية

عند حل أي معادلة أسية ، نسعى جاهدين لإحضارها إلى النموذج \ (a ^ (f (x)) \ u003d a ^ (g (x)) \) ، ثم الانتقال إلى مساواة المؤشرات ، أي:

\ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) \ (⇔ \) \ (f (x) = g (x) \)

على سبيل المثال:\ (2 ^ (س + 1) = 2 ^ 2 \) \ (⇔ \) \ (س + 1 = 2 \)

الأهمية! من نفس المنطق ، يتبع متطلبان لمثل هذا الانتقال:
- رقم في يجب أن يكون اليسار واليمين متماثلين ؛
- درجة اليسار واليمين يجب أن تكون "نقية"أي يجب ألا يكون هناك أي مضاعفات أو أقسام وما إلى ذلك.

على سبيل المثال:

لإحضار المعادلة إلى النموذج \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \) ويتم استخدامها.

مثال . حل المعادلة الأسية \ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)
المحلول:

\ (\ sqrt (27) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		نعلم أن \ (27 = 3 ^ 3 \). مع وضع هذا في الاعتبار ، نقوم بتحويل المعادلة.
\ (\ sqrt (3 ^ 3) 3 ^ (x-1) = ((\ frac (1) (3))) ^ (2x) \)		من خلال خاصية الجذر \ (\ sqrt [n] (a) = a ^ (\ frac (1) (n)) \) نحصل على ذلك \ (\ sqrt (3 ^ 3) = ((3 ^ 3) ) ^ (\ frac (1) (2)) \). علاوة على ذلك ، باستخدام خاصية الدرجة \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) ، نحصل على \ (((3 ^ 3)) ^ (\ frac (1) (2)) = 3 ^ ( 3 \ cdot \ frac (1) (2)) = 3 ^ (\ frac (3) (2)) \).
\ (3 ^ (\ frac (3) (2)) \ cdot 3 ^ (x-1) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		نعلم أيضًا أن \ (a ^ b a ^ c = a ^ (b + c) \). بتطبيق هذا على الجانب الأيسر ، نحصل على: \ (3 ^ (\ frac (3) (2)) 3 ^ (x-1) = 3 ^ (\ frac (3) (2) + x-1) = 3 ^ (1.5 + س -1) = 3 ^ (س + 0.5) \).
\ (3 ^ (x + 0،5) = (\ frac (1) (3)) ^ (2x) \)		الآن تذكر أن: \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \). يمكن أيضًا استخدام هذه الصيغة بالعكس: \ (\ frac (1) (a ^ n) = a ^ (- n) \). ثم \ (\ frac (1) (3) = \ frac (1) (3 ^ 1) = 3 ^ (- 1) \).
\ (3 ^ (س + 0.5) = (3 ^ (- 1)) ^ (2 س) \)		بتطبيق الخاصية \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (bc) \) على الجانب الأيمن ، نحصل على: \ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) = 3 ^ ((- 1) 2x) = 3 ^ (- 2x) \).
\ (3 ^ (س + 0.5) = 3 ^ (- 2 س) \)		والآن لدينا الأسس متساوية ولا توجد معاملات متداخلة ، إلخ. حتى نتمكن من إجراء الانتقال.
		مثال . حل المعادلة الأسية \ (4 ^ (س + 0.5) -5 2 ^ س + 2 = 0 \) المحلول: \ (4 ^ (س + 0،5) -5 2 ^ س + 2 = 0 \) مرة أخرى نستخدم خاصية الدرجة \ (a ^ b \ cdot a ^ c = a ^ (b + c) \) في الاتجاه المعاكس. \ (4 ^ × 4 ^ (0،5) -5 2 ^ س + 2 = 0 \) الآن تذكر أن \ (4 = 2 ^ 2 \). \ ((2 ^ 2) ^ س (2 ^ 2) ^ (0،5) -5 2 ^ س + 2 = 0 \) باستخدام خصائص الدرجة ، نحول: \ ((2 ^ 2) ^ س = 2 ^ (2 س) = 2 ^ (س 2) = (2 ^ س) ^ 2 \) \ ((2 ^ 2) ^ (0.5) = 2 ^ (2 0.5) = 2 ^ 1 = 2. \) \ (2 (2 ^ س) ^ 2-5 2 ^ س + 2 = 0 \) ننظر بعناية إلى المعادلة ، ونلاحظ أن البديل \ (t = 2 ^ x \) يقترح نفسه هنا. \ (t_1 = 2 \) \ (t_2 = \ فارك (1) (2) \) ومع ذلك ، وجدنا القيم \ (t \) ، ونحن بحاجة إلى \ (س \). نعود إلى X ، لإجراء التبديل العكسي. \ (2 ^ س = 2 \) \ (2 ^ س = \ فارك (1) (2) \) قم بتحويل المعادلة الثانية باستخدام خاصية القوة السالبة ... \ (2 ^ س = 2 ^ 1 \) \ (2 ^ س = 2 ^ (- 1) \) .. ويحل حتى الجواب. \ (س_1 = 1 \) \ (س_2 = -1 \) إجابه : \(-1; 1\). يبقى السؤال - كيف نفهم متى تطبق أي طريقة؟ يأتي مع الخبرة. في غضون ذلك ، لم تنجح في حل المشكلة ، فاستخدم التوصية العامة لحل المشكلات المعقدة - "إذا كنت لا تعرف ما يجب فعله - افعل ما تستطيع." أي ، ابحث عن كيفية تحويل المعادلة من حيث المبدأ ، وحاول القيام بذلك - ماذا لو خرجت؟ الشيء الرئيسي هو أن تفعل فقط التحولات المبررة رياضيا. المعادلات الأسية بدون حلول لنلقِ نظرة على موقفين آخرين غالبًا ما يحيران الطلاب: - رقم موجب للأس يساوي صفرًا ، على سبيل المثال ، \ (2 ^ x = 0 \) ؛ - الرقم الموجب للأس يساوي عددًا سالبًا ، على سبيل المثال ، \ (2 ^ x = -4 \). دعنا نحاول حلها بالقوة الغاشمة. إذا كان x رقمًا موجبًا ، فعندئذٍ كلما زاد x ، ستنمو القوة الكاملة \ (2 ^ x \) فقط: \ (س = 1 \) ؛ \ (2 ^ 1 = 2 \) \ (س = 2 \) ؛ \ (2 ^ 2 = 4 \) \ (س = 3 \) ؛ \ (2 ^ 3 = 8 \). \ (س = 0 \) ؛ \ (2 ^ 0 = 1 \) الماضي أيضا. هناك سالب x. عند تذكر الخاصية \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a ^ n) \) ، نتحقق من: \ (س = -1 \) ؛ \ (2 ^ (- 1) = \ فارك (1) (2 ^ 1) = \ فارك (1) (2) \) \ (س = -2 \) ؛ \ (2 ^ (- 2) = \ فارك (1) (2 ^ 2) = \ فارك (1) (4) \) \ (س = -3 \) ؛ \ (2 ^ (- 3) = \ فارك (1) (2 ^ 3) = \ فارك (1) (8) \) على الرغم من حقيقة أن الرقم يصبح أصغر مع كل خطوة ، إلا أنه لن يصل أبدًا إلى الصفر. لذا فإن الدرجة السالبة لم تنقذنا أيضًا. نصل إلى نتيجة منطقية: الرقم الموجب لأي قوة سيبقى عددًا موجبًا. وبالتالي ، فإن كلا المعادلتين أعلاه ليس لهما حلول. المعادلات الأسية مع قواعد مختلفة من الناحية العملية ، توجد أحيانًا معادلات أسية ذات قواعد مختلفة لا يمكن اختزالها لبعضها البعض ، وفي نفس الوقت مع نفس الأسس. تبدو كالتالي: \ (a ^ (f (x)) = b ^ (f (x)) \) ، حيث \ (a \) و \ (b \) أرقام موجبة. على سبيل المثال: \ (7 ^ (س) = 11 ^ (س) \) \ (5 ^ (س + 2) = 3 ^ (س + 2) \) \ (15 ^ (2x-1) = (\ frac (1) (7)) ^ (2x-1) \) يمكن حل مثل هذه المعادلات بسهولة عن طريق القسمة على أي جزء من أجزاء المعادلة (عادةً ما يتم القسمة على الجانب الأيمن ، أي على \ (b ^ (f (x)) \). يمكنك القسمة بهذه الطريقة ، لأن القيمة الموجبة الرقم موجب لأي درجة (أي أننا لا نقسم على صفر.) نحصل على: \ (\ فارك (أ ^ (و (س))) (ب ^ (و (س))) \) \ (= 1 \) مثال . حل المعادلة الأسية \ (5 ^ (س + 7) = 3 ^ (س + 7) \) المحلول: \ (5 ^ (س + 7) = 3 ^ (س + 7) \) هنا لا يمكننا تحويل خمسة إلى ثلاثة ، أو العكس (على الأقل بدون استخدام). لذلك لا يمكننا الوصول إلى الشكل \ (a ^ (f (x)) = a ^ (g (x)) \). في نفس الوقت ، المؤشرات هي نفسها. دعنا نقسم المعادلة على الجانب الأيمن ، أي على \ (3 ^ (x + 7) \) (يمكننا فعل ذلك ، لأننا نعلم أن الثلاثي لن يكون صفرًا بأي درجة). \ (\ فارك (5 ^ (س + 7)) (3 ^ (س + 7)) \) \ (= \) \ (\ فارك (3 ^ (س + 7)) (3 ^ (س + 7) ) \) الآن تذكر الخاصية \ ((\ frac (a) (b)) ^ c = \ frac (a ^ c) (b ^ c) \) واستخدمها من اليسار في الاتجاه المعاكس. على اليمين ، نقوم ببساطة بتقليل الكسر. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (س + 7) \) \ (= 1 \) لا يبدو أنه يتحسن. لكن تذكر خاصية أخرى للدرجة: \ (a ^ 0 = 1 \) ، بمعنى آخر: "أي رقم إلى الصفر يساوي \ (1 \)". والعكس صحيح أيضًا: "يمكن تمثيل الوحدة على أنها أي رقم مرفوع إلى أس الصفر." نستخدم هذا بجعل القاعدة الموجودة على اليمين مماثلة للقاعدة اليسرى. \ ((\ frac (5) (3)) ^ (x + 7) \) \ (= \) \ ((\ frac (5) (3)) ^ 0 \) هاهو! نتخلص من الأساسات. نكتب الجواب. إجابه : \(-7\). أحيانًا لا يكون "تشابه" الأسس واضحًا ، لكن الاستخدام الماهر لخصائص الدرجة يحل هذه المشكلة. مثال . حل المعادلة الأسية \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) المحلول: \ (7 ^ (2x-4) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) تبدو المعادلة حزينة تمامًا ... لا يمكن فقط عدم اختزال القواعد إلى نفس الرقم (سبعة لن تكون مساوية لـ \ (\ frac (1) (3) \)) ، ولكن أيضًا المؤشرات مختلفة ... ومع ذلك ، دعونا نستخدم التعادل الأس الأيسر. \ (7 ^ (2 (x-2)) = (\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \) مع الأخذ في الاعتبار الخاصية \ ((a ^ b) ^ c = a ^ (b c) \) ، قم بالتحويل إلى اليسار: \ (7 ^ (2 (x-2)) = 7 ^ (2 (x-2)) = (7 ^ 2) ^ (x-2) = 49 ^ (x-2) \). \ (49 ^ (س -2) = (\ فارك (1) (3)) ^ (- س + 2) \) الآن ، تذكر خاصية الطاقة السلبية \ (a ^ (- n) = \ frac (1) (a) ^ n \) ، نقوم بالتحويل على اليمين: \ ((\ frac (1) (3)) ^ (- س + 2) = (3 ^ (- 1)) ^ (- س + 2) = 3 ^ (- 1 (-x + 2)) = 3 ^ (س -2) \) \ (49 ^ (س -2) = 3 ^ (س -2) \) الحمد لله! الدرجات هي نفسها! بالتصرف وفقًا للمخطط المألوف لدينا بالفعل ، نقرر قبل الإجابة. إجابه : \(2\).