هرم. الهرم المقطوع

هرمهو متعدد الوجوه، أحد وجوهه مضلع ( قاعدة )، وجميع الوجوه الأخرى هي مثلثات ذات قمة مشتركة ( وجوه جانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صحيح إذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وكان الجزء العلوي من الهرم بارزًا في وسط القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تكون جميع أضلاعه متساوية رباعي الاسطح .

الضلع الجانبيالهرم هو جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الحواف الجانبية للهرم المنتظم متساوية مع بعضها البعض، وجميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothem . قسم قطري ويسمى جزء من الهرم بمرور مستوى على حافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

مساحة السطح الجانبيةالهرم هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية. المساحة الإجمالية يسمى مجموع مساحات جميع الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم مائلة بالتساوي على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تبرز في وسط الدائرة المحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية في الطول، فإن قمة الهرم تبرز في وسط دائرة محيطة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع أوجه الهرم متساوية الميل على مستوى القاعدة، فإن قمة الهرم تكون بارزة في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم الاختياري، الصيغة الصحيحة هي:

أين الخامس- مقدار؛

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

ح– ارتفاع الهرم .

بالنسبة للهرم المنتظم، تكون الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة؛

ح أ- apothem.

ح- ارتفاع؛

س كامل

الجانب S

قاعدة S- منطقة قاعدة؛

الخامس– حجم الهرم المنتظم .

الهرم المقطوعيسمى جزء الهرم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع المنتظم هو جزء من الهرم المنتظم المحصور بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسبابالهرم المقطوع - مضلعات متشابهة. وجوه جانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع هو المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع هو الجزء الذي يربط رؤوسه التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري هو جزء من هرم مبتور بمستوى يمر بحافتين جانبيتين لا تنتميان إلى وجه واحد.

بالنسبة للهرم المقطوع، تكون الصيغ التالية صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2- مناطق القواعد العلوية والسفلية؛

س كامل- المساحة الإجمالية؛

الجانب S- مساحة السطح الجانبية؛

ح- ارتفاع؛

الخامس– حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع المنتظم، تكون الصيغة صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 – محيط القواعد؛

ح أ– ذروة الهرم المقطوع المنتظم.

مثال 1.في الهرم الثلاثي المنتظم، تكون الزاوية ثنائية السطوح عند القاعدة 60 درجة. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 18).

الهرم منتظم، مما يعني أنه يوجد في قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وجميع أضلاعه مثلثات متساوية الساقين. زاوية ثنائي السطوح عند القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عموديين : الخ يتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في مركز المثلث (مركز الدائرة المحيطة والدائرة المنقوشة للمثلث اي بي سي). زاوية ميل الحافة الجانبية (على سبيل المثال إس بي.) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع إس بي.هذه الزاوية ستكون الزاوية إس بي دي. للعثور على الظل تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو أو.ب.. دع طول الجزء دينار بحرينييساوي 3 أ. نقطة عنالقطعة المستقيمة دينار بحرينيوينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: منها نجد:

إجابة:

مثال 2.أوجد حجم هرم رباعي الزوايا منتظم إذا كانت أقطار قاعدتيه متساوية سم وسم، وارتفاعه ٤ سم.

حل.لإيجاد حجم الهرم المقطوع نستخدم الصيغة (4). للعثور على مساحة القواعد، عليك إيجاد جوانب مربعات القاعدة، مع معرفة أقطارها. جوانب القاعدتين تساوي 2 سم و 8 سم على التوالي، وهذا يعني مساحة القاعدتين وبتعويض جميع البيانات في الصيغة، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابة: 112 سم3.

مثال 3.أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع، طول أضلاع قاعدتيه ١٠ سم، ٤ سم، وارتفاع الهرم ٢ سم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف، عليك أن تعرف القاعدة والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الشرط، ويبقى الارتفاع فقط غير معروف. سوف نجدها من أين أ 1 هعمودي من نقطة أ 1 على مستوى القاعدة السفلية، أ 1 د- عمودي من أ 1 لكل تكييف. أ 1 ه= 2 سم، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد ديلنقم بعمل رسم إضافي يوضح المنظر العلوي (الشكل 20). نقطة عن– إسقاط مراكز القواعد العلوية والسفلية. منذ (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعم- نصف القطر المدرج في الدائرة و أوم- نصف القطر المدرج في دائرة:

عضو الكنيست = دي.

وفقا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابة:

مثال 4.في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين، قاعدته أو ب (أ> ب). يشكل كل وجه جانبي زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد المساحة الكلية للهرم.

حل.لنقم بعمل رسم (الشكل 21). المساحة الكلية للهرم سابكديساوي مجموع المساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

دعونا نستخدم العبارة القائلة بأنه إذا كانت جميع وجوه الهرم متساوية في الميل على مستوى القاعدة، فإن الرأس يسقط في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة عن- الإسقاط الرأسي سفي قاعدة الهرم. مثلث الاحمقهو الإسقاط المتعامد للمثلث لجنة التنمية المستدامةإلى مستوى القاعدة. باستخدام نظرية منطقة الإسقاط المتعامد لشكل مستو، نحصل على:

وكذلك يعني وهكذا تم اختصار المشكلة إلى إيجاد مساحة شبه المنحرف ا ب ت ث. لنرسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة عن- مركز الدائرة المرسومة على شكل شبه منحرف.

بما أنه يمكن إدراج دائرة في شبه منحرف، إذن أو من نظرية فيثاغورس لدينا

• 29.05.2016

  الدائرة المتذبذبة هي دائرة كهربائية تحتوي على ملف حث ومكثف ومصدر للطاقة الكهربائية. عندما تكون عناصر الدائرة متصلة على التوالي، تسمى الدائرة التذبذبية تسلسلية، وعندما تكون متصلة على التوازي، تسمى متوازية. الدائرة التذبذبية هي أبسط نظام يمكن أن تحدث فيه تذبذبات كهرومغناطيسية حرة. يتم تحديد تردد الرنين للدائرة من خلال ما يسمى بصيغة طومسون: ƒ = 1/(2π√(LC)) لـ ...

• 20.09.2014

  تم تصميم جهاز الاستقبال لاستقبال الإشارات في نطاق DV (150 كيلو هرتز...300 كيلو هرتز). السمة الرئيسية لجهاز الاستقبال هي الهوائي، الذي يتمتع بمحاثة أعلى من الهوائي المغناطيسي التقليدي. هذا يجعل من الممكن استخدام سعة مكثف الضبط في نطاق 4...20 pF، كما أن جهاز الاستقبال هذا يتمتع بحساسية مقبولة وكسب طفيف في مسار التردد اللاسلكي. الرسيفر يعمل بالسماعات (سماعات الرأس) ويعمل بالطاقة...

• 24.09.2014

  تم تصميم هذا الجهاز لمراقبة مستوى السائل في الخزانات، بمجرد ارتفاع السائل إلى المستوى المحدد، سيبدأ الجهاز في إصدار إشارة صوتية مستمرة، وعندما يصل مستوى السائل إلى مستوى حرج، سيبدأ الجهاز في إصدار إشارة صوتية إشارة متقطعة. يتكون المؤشر من مولدين، يتم التحكم فيهما بواسطة عنصر الاستشعار E. ويتم وضعهما في الخزان عند مستوى يصل إلى ...

• 22.09.2014

  KR1016VI1 هو مؤقت رقمي متعدد البرامج مصمم للعمل مع مؤشر ILC3-5\7. يوفر حساب وعرض الوقت الحالي بالساعات والدقائق ويوم الأسبوع ورقم قناة التحكم (9 منبهات). تظهر دائرة المنبه في الشكل. تم تسجيل الدائرة الدقيقة. مرنان Q1 عند 32768 هرتز. الغذاء سلبي، مجموع الزائد يذهب إلى ...

في هذا الدرس سننظر إلى الهرم المقطوع، ونتعرف على الهرم المقطوع المنتظم، وندرس خصائصه.

دعونا نتذكر مفهوم الهرم ذو العدد n باستخدام مثال الهرم الثلاثي. يتم إعطاء المثلث ABC. خارج مستوى المثلث تؤخذ نقطة P متصلة برءوس المثلث. يسمى السطح متعدد السطوح الناتج بالهرم (الشكل 1).

أرز. 1. الهرم الثلاثي

دعونا نقطع الهرم بمستوى موازٍ لمستوى قاعدة الهرم. يسمى الشكل الذي تم الحصول عليه بين هذه الطائرات بالهرم المقطوع (الشكل 2).

أرز. 2. الهرم المقطوع

العناصر الأساسية:

القاعدة العلوية

ABC القاعدة السفلى.

وجه جانبي

إذا كان PH هو ارتفاع الهرم الأصلي، فهو ارتفاع الهرم المقطوع.

تنشأ خصائص الهرم المقطوع من طريقة بنائه، أي من توازي مستويات قواعده:

جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف. النظر، على سبيل المثال، الحافة. لها خاصية المستويات المتوازية (بما أن المستويات متوازية، فإنها تقطع الوجه الجانبي لهرم AVR الأصلي على طول خطوط مستقيمة متوازية)، ولكنها في نفس الوقت ليست متوازية. ومن الواضح أن الشكل الرباعي هو شبه منحرف، مثل كل الوجوه الجانبية للهرم المقطوع.

نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرف:

لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة لها نفس معامل التشابه. على سبيل المثال، تتشابه المثلثات و RAB بسبب توازي المستويات ومعامل التشابه:

وفي الوقت نفسه، تتشابه المثلثات وRVS مع معامل التشابه:

من الواضح أن معاملات التشابه لجميع الأزواج الثلاثة من المثلثات المتشابهة متساوية، وبالتالي فإن نسبة القواعد هي نفسها لجميع شبه المنحرف.

الهرم المقطوع المنتظم هو هرم مقطوع يتم الحصول عليه عن طريق قطع هرم منتظم بمستوى موازٍ للقاعدة (الشكل 3).

أرز. 3. الهرم المقطوع المنتظم

تعريف.

يُسمى الهرم منتظمًا إذا كانت قاعدته عبارة عن شكل n منتظم، ويكون رأسه مسقطًا في مركز هذا n-gon (مركز الدائرة المنقوشة والمحددة).

وفي هذه الحالة يوجد مربع عند قاعدة الهرم، وتكون قمته بارزة عند نقطة تقاطع قطريه. الناتج الهرم الرباعي المنتظم ABCD له قاعدة سفلية وقاعدة عليا. ارتفاع الهرم الأصلي هو RO، الهرم المقطوع هو (الشكل 4).

أرز. 4. هرم رباعي الزوايا منتظم مقطوع

تعريف.

ارتفاع الهرم المقطوع هو خط عمودي مرسوم من أي نقطة في إحدى قاعدتيه إلى مستوى القاعدة الثانية.

قياس الهرم الأصلي هو RM (M هو منتصف AB)، وقياس الهرم المقطوع هو (الشكل 4).

تعريف.

قياس الهرم المقطوع هو ارتفاع أي وجه جانبي.

ومن الواضح أن جميع الحواف الجانبية للهرم المقطوع متساوية مع بعضها البعض، أي أن الأوجه الجانبية عبارة عن شبه منحرف متساوي الساقين.

مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع المنتظم تساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطي القواعد والقياس.

إثبات (لهرم رباعي منتظم مقطوع - شكل 4):

لذا علينا أن نثبت:

ستتكون مساحة السطح الجانبي هنا من مجموع مساحات الوجوه الجانبية - شبه المنحرف. وبما أن شبه المنحرفين متساويان، فلدينا:

مساحة شبه منحرف متساوي الساقين هي نتاج نصف مجموع القواعد والارتفاع؛ لدينا:

Q.E.D.

بالنسبة للهرم n-gonal:

حيث n هو عدد الأوجه الجانبية للهرم، وa وb هما قاعدتا شبه المنحرف، وهو القياس.

جوانب قاعدة هرم رباعي الزوايا منتظم الشكل يساوي 3 سم و 9 سم الارتفاع - 4 سم أوجد مساحة السطح الجانبي.

أرز. 5. رسم توضيحي للمشكلة 1

حل. دعونا نوضح الشرط:

سئل من قبل: ، ،

من خلال النقطة O نرسم خطاً مستقيماً MN موازياً لجانبي القاعدة السفلية، وكذلك من خلال النقطة نرسم خطاً مستقيماً (الشكل 6). وبما أن المربعات والإنشاءات الموجودة عند قواعد الهرم المقطوع متوازية، فإننا نحصل على شبه منحرف مساوٍ للأوجه الجانبية. ثم إن ضلعه يمر بمنتصف الحواف العلوية والسفلية للأوجه الجانبية ويكون ذروة الهرم المقطوع.

أرز. 6. إنشاءات إضافية

دعونا نفكر في شبه المنحرف الناتج (الشكل 6). وفي هذا شبه المنحرف تعرف القاعدة العلوية والقاعدة السفلية والارتفاع. أنت بحاجة إلى العثور على الجانب الذي يمثل قياس الهرم المقطوع. لنرسم عموديًا على MN. من النقطة نخفض NQ المتعامد. نجد أن القاعدة الأكبر مقسمة إلى أجزاء طول كل منها ثلاثة سنتيمترات (). خذ بعين الاعتبار مثلثًا قائمًا، الأرجل فيه معروفة، هذا مثلث مصري، باستخدام نظرية فيثاغورس نحدد طول الوتر: 5 سم.

الآن تتوفر كافة العناصر اللازمة لتحديد مساحة السطح الجانبي للهرم:

ويتقاطع الهرم بمستوى موازٍ للقاعدة. باستخدام مثال الهرم الثلاثي، أثبت أن الحواف الجانبية وارتفاع الهرم مقسمة بواسطة هذا المستوى إلى أجزاء متناسبة.

دليل. دعونا نوضح:

أرز. 7. رسم توضيحي للمشكلة 2

يتم إعطاء الهرم RABC. بو - ارتفاع الهرم. يتم قطع الهرم بالطائرة، ويتم الحصول على هرم مقطوع، و. النقطة - نقطة تقاطع ارتفاع RO مع مستوى قاعدة الهرم المقطوع. من الضروري إثبات:

مفتاح الحل هو خاصية المستويات المتوازية. يتقاطع مستويان متوازيان مع أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية. من هنا: . يشير توازي الخطوط المقابلة إلى وجود أربعة أزواج من المثلثات المتشابهة:

من تشابه المثلثات يتبع تناسب الجوانب المقابلة. ومن السمات المهمة أن معاملات التشابه لهذه المثلثات هي نفسها:

Q.E.D.

يتم تشريح هرم ثلاثي منتظم RABC بارتفاع وجانب القاعدة بواسطة مستوى يمر عبر منتصف الارتفاع PH موازيًا للقاعدة ABC. أوجد مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع الناتج.

حل. دعونا نوضح:

أرز. 8. رسم توضيحي للمشكلة 3

ACB مثلث منتظم، H هو مركز هذا المثلث (مركز الدوائر المنقوشة والمحددة). RM هو قياس الهرم المعطى. - ذروة الهرم المقطوع. وفقًا لخاصية المستويات المتوازية (مستويان متوازيان يقطعان أي مستوى ثالث بحيث تكون خطوط التقاطع متوازية)، لدينا عدة أزواج من المثلثات المتشابهة مع معامل تشابه متساوٍ. على وجه الخصوص، نحن مهتمون بالعلاقة:

دعونا نجد NM. هذا هو نصف قطر الدائرة المدرج في القاعدة، ونعرف الصيغة المقابلة له:

الآن من المثلث القائم PHM، وباستخدام نظرية فيثاغورس، نجد RM - قياس الهرم الأصلي:

من النسبة الأولية:

الآن نحن نعرف جميع العناصر اللازمة لإيجاد مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع:

لذلك، تعرفنا على مفهومي الهرم المقطوع والهرم المقطوع المنتظم، وأعطينا تعريفات أساسية، ودرسنا خصائصه، وأثبتنا النظرية على مساحة السطح الجانبي. سيركز الدرس التالي على حل المشكلات.

فهرس

1. I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. الهندسة. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستويات الأساسية والمتخصصة) / I. M. Smirnova، V. A. Smirnov. - الطبعة الخامسة، مراجعة. وإضافية - م: منيموسين، 2008. - 288 ص: مريض.
2. هندسة شارجين آي. الصفوف 10-11: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام / Sharygin I.F - M.: Bustard، 1999. - 208 ص: مريض.
3. E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. الهندسة. الصف العاشر: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام مع دراسة متعمقة ومتخصصة للرياضيات /E. V. Potoskuev، L. I. Zvalich. - الطبعة السادسة، الصورة النمطية. - م: حبارى، 2008. - 233 ص: مريض.

1. Uztest.ru ().
2. FMclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().

العمل في المنزل

هو متعدد السطوح يتكون من قاعدة الهرم وقسم مواز لها. يمكننا القول أن الهرم المقطوع هو هرم مقطوع قمته. هذا الرقم له العديد من الخصائص الفريدة:

• الوجوه الجانبية للهرم شبه منحرفة.
• الحواف الجانبية للهرم المقطوع المنتظم لها نفس الطول وتميل إلى القاعدة بنفس الزاوية؛
• القواعد عبارة عن مضلعات متشابهة.
• في الهرم المقطوع المنتظم تكون الوجوه شبه منحرفة متساوية الساقين ومساحتها متساوية. كما أنها تميل إلى القاعدة بزاوية واحدة.

صيغة مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع هي مجموع مساحات جوانبه:

نظرًا لأن جوانب الهرم المقطوع عبارة عن شبه منحرف، لحساب المعلمات، سيتعين عليك استخدام الصيغة منطقة شبه منحرف. بالنسبة للهرم المقطوع العادي، يمكنك تطبيق صيغة مختلفة لحساب المساحة. وبما أن جميع أضلاعه وأوجهه وزواياه عند القاعدة متساوية، فيمكننا حساب محيط القاعدة والقياس، وكذلك استنتاج المساحة من خلال الزاوية عند القاعدة.

إذا، وفقًا للشروط الموجودة في الهرم المقطوع المنتظم، تم تحديد الارتفاع (ارتفاع الضلع) وأطوال جوانب القاعدة، فيمكن حساب المساحة من خلال نصف منتج مجموع محيطات القواعد والعلو:

دعونا نلقي نظرة على مثال لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع.
نظرا لوجود هرم خماسي منتظم. أبوثيم ل= 5 سم طول الحافة في القاعدة الكبيرة أ= 6 سم، والحافة عند القاعدة الأصغر ب= 4 سم احسب مساحة الهرم المقطوع.

أولا، دعونا نجد محيط القواعد. بما أن لدينا هرمًا خماسي الشكل، فإننا نفهم أن القواعد عبارة عن هرم خماسي. وهذا يعني أن القاعدتين تحتويان على شكل له خمسة أضلاع متطابقة. لنجد محيط القاعدة الأكبر:

وبنفس الطريقة نجد محيط القاعدة الأصغر:

الآن يمكننا حساب مساحة الهرم المقطوع المنتظم. استبدل البيانات في الصيغة:

وبذلك قمنا بحساب مساحة الهرم المنتظم المقطوع من خلال محيطه وقياسه.

هناك طريقة أخرى لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم العادي وهي الصيغة من خلال الزوايا عند القاعدة ومساحة هذه القواعد ذاتها.

دعونا نلقي نظرة على مثال حسابي. نتذكر أن هذه الصيغة تنطبق فقط على الهرم المقطوع المنتظم.

دعونا نعطي هرمًا رباعي الزوايا منتظمًا. حافة القاعدة السفلية a = 6 سم، وحافة القاعدة العلوية b = 4 سم. الزاوية ثنائية السطح عند القاعدة β = 60°. أوجد مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع المنتظم.

أولا، دعونا نحسب مساحة القواعد. وبما أن الهرم منتظم، فإن جميع حواف قاعدتيه متساوية مع بعضها البعض. وبما أن القاعدة هي شكل رباعي، فإننا نفهم أنه سيكون من الضروري إجراء حساب مساحة الساحة. وهو حاصل ضرب العرض والطول، ولكن عند التربيع تكون هذه القيم واحدة. لنجد مساحة القاعدة الأكبر:


الآن نستخدم القيم التي تم العثور عليها لحساب مساحة السطح الجانبية.

بمعرفة بعض الصيغ البسيطة، تمكنا بسهولة من حساب مساحة شبه المنحرف الجانبي للهرم المقطوع باستخدام قيم مختلفة.