تتطلب العديد من المسائل حساب القيمة القصوى أو الدنيا للدالة التربيعية. يمكن إيجاد الحد الأقصى أو الأدنى إذا كانت الدالة الأصلية مكتوبة بالشكل القياسي: أو من خلال إحداثيات رأس القطع المكافئ: f (x) = a (x − h) 2 + k (\displaystyle f(x)=a(x-h)^(2)+k). علاوة على ذلك، يمكن حساب الحد الأقصى أو الأصغر لأي دالة تربيعية باستخدام العمليات الرياضية.

خطوات

الدالة التربيعية مكتوبة بالصورة القياسية

اكتب الدالة في الصورة القياسية.الدالة التربيعية هي دالة تحتوي معادلتها على متغير × 2 (\displaystyle x^(2)). قد تتضمن المعادلة أو لا تتضمن متغيرًا س (\displaystyle x). إذا كانت المعادلة تحتوي على متغير بأس أكبر من 2، فإنها لا تصف دالة تربيعية. إذا لزم الأمر، قم بتوفير مصطلحات مماثلة وأعد ترتيبها لكتابة الدالة في النموذج القياسي.

• على سبيل المثال، نظرا للوظيفة و (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 (\displaystyle f(x)=3x+2x-x^(2)+3x^(2)+4). إضافة مصطلحات مع متغير × 2 (\displaystyle x^(2))والأعضاء مع متغير س (\displaystyle x)لكتابة المعادلة في الصورة القياسية :
  • و (س) = 2 × 2 + 5 × + 4 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+5x+4)

1. الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ. يتم توجيه فروع القطع المكافئ لأعلى أو لأسفل. إذا كان المعامل أ (\displaystyle أ)مع متغير × 2 (\displaystyle x^(2)) أ (\displaystyle أ)

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+4x-6). هنا أ = 2 (\displaystyle a=2)
   • و (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+2x+8). هنا، يتم توجيه القطع المكافئ إلى الأسفل.
   • و (س) = س 2 + 6 (\displaystyle f(x)=x^(2)+6). هنا أ = 1 (\displaystyle a=1)، لذلك يتم توجيه القطع المكافئ للأعلى.
   • إذا تم توجيه القطع المكافئ للأعلى، فأنت بحاجة إلى البحث عن الحد الأدنى له. إذا كان القطع المكافئ يشير إلى الأسفل، فابحث عن الحد الأقصى له.

2. حساب -b/2a.معنى − ب 2 أ (\displaystyle -(\frac (b)(2a)))هو الإحداثي س (\displaystyle x)رؤوس القطع المكافئ. إذا كانت الدالة التربيعية مكتوبة بالصورة القياسية أ س 2 + ب س + ج (\displaystyle ax^(2)+bx+c)، استخدم المعاملات ل س (\displaystyle x)و × 2 (\displaystyle x^(2))بالطريقة الآتية:

   • في معاملات الوظيفة أ = 1 (\displaystyle a=1)و ب = 10 (\displaystyle b=10)
     • x = − 10 (2) (1) (\displaystyle x=-(\frac (10)((2)(1))))
     • x = − 10 2 (\displaystyle x=-(\frac (10)(2)))
   • كمثال ثاني، ضع في اعتبارك الوظيفة. هنا أ = − 3 (\displaystyle a=-3)و ب = 6 (\displaystyle b=6). لذلك، احسب الإحداثي "x" لرأس القطع المكافئ كما يلي:
     • x = − ب 2 أ (\displaystyle x=-(\frac (b)(2a)))
     • x = − 6 (2) (− 3) (\displaystyle x=-(\frac (6)((2)(-3))))
     • x = − 6 − 6 (\displaystyle x=-(\frac (6)(-6)))
     • س = − (− 1) (\displaystyle x=-(-1))
     • س = 1 (\displaystyle x=1)

3. أوجد القيمة المقابلة لـ f(x).قم بتوصيل القيمة التي تم العثور عليها لـ "x" في الدالة الأصلية للعثور على القيمة المقابلة لـ f(x). بهذه الطريقة سوف تجد الحد الأدنى أو الأقصى للوظيفة.

   • في المثال الأول و (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)لقد حسبت أن الإحداثي x لرأس القطع المكافئ هو س = − 5 (\displaystyle x=-5). في الوظيفة الأصلية، بدلا من س (\displaystyle x)بديل − 5 (\displaystyle -5)
     • و (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 (\displaystyle f(x)=(-5)^(2)+10(-5)-1)
     • و (س) = 25 − 50 − 1 (\displaystyle f(x)=25-50-1)
     • و (س) = − 26 (\displaystyle f(x)=-26)
   • في المثال الثاني f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)لقد وجدت أن الإحداثي x لرأس القطع المكافئ هو س = 1 (\displaystyle x=1). في الوظيفة الأصلية، بدلا من س (\displaystyle x)بديل 1 (\displaystyle 1)للعثور على القيمة القصوى:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)
     • و (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 (\displaystyle f(x)=-3(1)^(2)+6(1)-4)
     • و (x) = − 3 + 6 − 4 (\displaystyle f(x)=-3+6-4)
     • و (x) = − 1 (\displaystyle f(x)=-1)

4. اكتب إجابتك.أعد قراءة بيان المشكلة. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد إحداثيات رأس القطع المكافئ، فاكتب القيمتين في إجابتك س (\displaystyle x)و ذ (\displaystyle ذ)(أو و (خ) (\displaystyle f(x))). إذا كنت تريد حساب الحد الأقصى أو الأدنى للدالة، فاكتب القيمة في إجابتك فقط ذ (\displaystyle ذ)(أو و (خ) (\displaystyle f(x))). انظر مرة أخرى إلى إشارة المعامل أ (\displaystyle أ)للتحقق مما إذا قمت بحساب الحد الأقصى أو الأدنى.

   • في المثال الأول و (x) = x 2 + 10 x − 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+10x-1)معنى أ (\displaystyle أ)إيجابية، لذلك قمت بحساب الحد الأدنى. تقع قمة القطع المكافئ عند النقطة ذات الإحداثيات (− 5 , − 26) (\displaystyle (-5,-26))، والحد الأدنى لقيمة الدالة هو − 26 (\displaystyle -26).
   • في المثال الثاني f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 (\displaystyle f(x)=-3x^(2)+6x-4)معنى أ (\displaystyle أ)سلبي، لذلك وجدت الحد الأقصى. تقع قمة القطع المكافئ عند النقطة ذات الإحداثيات (1 , − 1) (\displaystyle (1,-1))، والحد الأقصى لقيمة الدالة هو − 1 (\displaystyle -1).

5. تحديد اتجاه القطع المكافئ.للقيام بذلك، انظر إلى علامة المعامل أ (\displaystyle أ). إذا كان المعامل أ (\displaystyle أ)إيجابيًا، يتم توجيه القطع المكافئ للأعلى. إذا كان المعامل أ (\displaystyle أ)سلبيًا، يتم توجيه القطع المكافئ نحو الأسفل. على سبيل المثال:

   • . هنا أ = 2 (\displaystyle a=2)أي أن المعامل موجب، وبالتالي فإن القطع المكافئ موجه نحو الأعلى.
   • . هنا أ = − 3 (\displaystyle a=-3)أي أن المعامل سالب، وبالتالي فإن القطع المكافئ موجه نحو الأسفل.
   • إذا كان القطع المكافئ موجهًا لأعلى، فأنت بحاجة إلى حساب القيمة الدنيا للدالة. إذا كان القطع المكافئ موجهًا نحو الأسفل، فأنت بحاجة إلى إيجاد القيمة القصوى للدالة.

6. أوجد الحد الأدنى أو الأقصى لقيمة الدالة.إذا تمت كتابة الدالة من خلال إحداثيات رأس القطع المكافئ، فإن الحد الأدنى أو الأقصى يساوي قيمة المعامل ك (\displaystyle ك). في الأمثلة المذكورة أعلاه:

   • و (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). هنا ك = − 4 (\displaystyle k=-4). هذه هي القيمة الدنيا للدالة لأن القطع المكافئ موجه لأعلى.
   • و (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). هنا ك = 2 (\displaystyle k=2). هذه هي القيمة القصوى للدالة لأن القطع المكافئ موجه نحو الأسفل.

7. أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ.إذا كانت المسألة تتطلب إيجاد رأس القطع المكافئ، فإن إحداثياته ​​هي (ح , ك) (\displaystyle (h,k)). يرجى ملاحظة أنه عند كتابة دالة تربيعية من خلال إحداثيات رأس القطع المكافئ، يجب وضع عملية الطرح بين قوسين (x − h) (\displaystyle (xh))، وبالتالي فإن القيمة ح (\displaystyle h)يؤخذ بالعلامة المعاكسة.

   • و (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 (\displaystyle f(x)=2(x+1)^(2)-4). هنا يتم وضع عملية الجمع (x+1) بين قوسين، والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي: (x-(-1)). هكذا، ح = − 1 (\displaystyle h=-1). ومن ثم، فإن إحداثيات رأس القطع المكافئ لهذه الدالة تساوي (− 1 , − 4) (\displaystyle (-1,-4)).
   • و (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 (\displaystyle f(x)=-3(x-2)^(2)+2). هنا بين قوسين هو التعبير (x-2). لذلك، ح = 2 (\displaystyle h=2). إحداثيات الرأس هي (2،2).

كيفية حساب الحد الأدنى أو الأقصى باستخدام العمليات الحسابية

1. أولاً، دعونا نلقي نظرة على الشكل القياسي للمعادلة.اكتب الدالة التربيعية بالصورة القياسية: و (x) = أ س 2 + ب س + ج (\displaystyle f(x)=ax^(2)+bx+c). إذا لزم الأمر، أضف مصطلحات مشابهة وأعد ترتيبها للحصول على المعادلة القياسية.

   • على سبيل المثال: .

2. أوجد المشتقة الأولى.المشتقة الأولى للدالة التربيعية، المكتوبة بالصورة القياسية، تساوي و ′ (x) = 2 أ س + ب (\displaystyle f^(\prime )(x)=2ax+b).

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)-4x+1). يتم حساب المشتق الأول لهذه الدالة على النحو التالي:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 (\displaystyle f^(\prime )(x)=4x-4)

3. مساواة المشتقة بالصفر.تذكر أن مشتقة الدالة تساوي ميل الدالة عند نقطة معينة. عند الحد الأدنى أو الأقصى، يكون الميل صفرًا. ولذلك، للعثور على القيمة الدنيا أو القصوى للدالة، يجب تعيين المشتقة على الصفر. في مثالنا.

النقاط القصوى والدنيا هي النقاط القصوى للدالة، والتي يتم العثور عليها وفقًا لخوارزمية معينة. هذا هو المؤشر الرئيسي عند البحث عن وظيفة. النقطة x0 هي النقطة الدنيا إذا كان لجميع x من حي معين x0 عدم المساواة f(x) ؟ f(x0) (للنقطة القصوى، التباين العكسي الموضوعي هو f(x) ? f(x0)).

تعليمات

1. العثور على مشتق من وظيفة. يميز المشتق تحول الدالة عند نقطة معينة ويتم تعريفه على أنه حد نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، تلك التي تميل إلى الصفر. للعثور عليه، استخدم جدول المشتقات. لنفترض أن مشتقة الدالة y = x3 ستكون مساوية لـ y' = x2.

2. قم بمساواة هذا المشتق بالصفر (في هذه الحالة x2=0).

3. أوجد القيمة المتغيرة لتعبير معين. ستكون هذه هي القيم التي يساوي فيها هذا المشتق 0. للقيام بذلك، استبدل أرقامًا عشوائية في التعبير بدلاً من x، حيث يصبح التعبير بأكمله صفرًا. لنفترض: 2-2×2= 0(1-x)(1+x) = 0x1= 1، x2 = -1

4. ارسم القيم التي تم الحصول عليها على خط الإحداثيات واحسب إشارة المشتق لجميع الفواصل الزمنية التي تم الحصول عليها. يتم وضع علامة على النقاط على خط الإحداثيات، والتي يتم أخذها كمقدمة للمرجع. لحساب القيمة على الفواصل الزمنية، استبدل القيم التعسفية التي تستوفي المعايير. لنفترض أنه بالنسبة للدالة السابقة حتى الفاصل الزمني -1، يُسمح لها بتفضيل القيمة -2. في الفترة من -1 إلى 1، يمكنك اختيار 0، وللقيم الأكبر من 1، اختر 2. استبدل هذه الأرقام في المشتق واكتشف إشارة المشتق. في هذه الحالة، المشتقة مع x = -2 ستكون مساوية لـ -0.24، أي. سالب وستكون هناك علامة ناقص في هذه الفترة. إذا كانت x=0، فستكون القيمة مساوية لـ 2، مما يعني وضع إشارة إيجابية على هذا الفاصل الزمني. إذا كانت x=1، فإن المشتقة ستكون أيضًا مساوية لـ -0.24 وبالتالي يتم وضع علامة ناقص.

5. إذا قام المشتق، عند المرور عبر نقطة على خط الإحداثيات، بتغيير علامته من ناقص إلى زائد، فهذه نقطة دنيا، وإذا كان من زائد إلى ناقص، فهذه نقطة قصوى.

تسمى النقاط القصوى للدالة، إلى جانب النقاط الدنيا، بالنقاط القصوى. في هذه النقاط تغير الوظيفة طبيعة السلوك. يتم تحديد الحدود القصوى على فترات عددية محدودة وتكون محلية دائمًا.

تعليمات

1. تسمى عملية إيجاد القيم القصوى المحلية بالتعدين الوظيفي ويتم إجراؤها من خلال النظر إلى المشتقتين الأولى والثانية للدالة. قبل البدء في البحث، تأكد من أن نطاق قيم الوسيطة هذا ينتمي إلى القيم المحتملة. لنفترض أنه بالنسبة للدالة F=1/x، فإن قيمة الوسيطة x=0 غير مقبولة. أو بالنسبة للدالة Y=tg(x) لا يمكن أن تحتوي الوسيطة على القيمة x=90°.

2. تأكد من أن الدالة Y قابلة للاشتقاق في كل فترة زمنية محددة. أوجد المشتقة الأولى لـ Y'. على ما يبدو، قبل الوصول إلى نقطة الحد الأقصى المحلي، تزداد الدالة، وعند المرور بالحد الأقصى، تصبح الدالة متناقصة. المشتق الأول، بمعناه الفيزيائي، يميز معدل تحول الدالة. وبينما تتزايد الدالة، يكون معدل هذه العملية قيمة موجبة. عند المرور بالحد الأقصى المحلي، تبدأ الدالة بالتناقص، ويصبح معدل عملية تحول الدالة سالبًا. يحدث انتقال معدل تحول الدالة إلى الصفر عند نقطة الحد الأقصى المحلي.

3. وبالتالي، في مقطع الدالة المتزايدة، يكون مشتقها الأول موجبًا لجميع قيم الوسيطة في هذا الفاصل الزمني. والعكس صحيح - في المنطقة التي تتناقص فيها الدالة، تكون قيمة المشتق الأول أقل من الصفر. عند النقطة العظمى المحلية، تكون قيمة المشتقة الأولى صفرًا. على ما يبدو، من أجل اكتشاف الحد الأقصى المحلي للدالة، من الضروري اكتشاف النقطة x التي يكون عندها المشتق الأول لهذه الدالة صفرًا. لأي قيمة للحجة على الجزء قيد الدراسة xx؟ - سلبي.

4. للعثور على العاشر؟ حل المعادلة Y'=0. ستكون قيمة Y(x?) قيمة عظمى محلية إذا كان المشتق الثاني للدالة عند هذه النقطة أقل من الصفر. ابحث عن المشتق الثاني لـ Y"، واستبدل قيمة الوسيطة x = x في التعبير الناتج؟ ومقارنة نتيجة الحسابات بالصفر.

5. لنفترض أن الدالة Y=-x?+x+1 في الفترة من -1 إلى 1 لها مشتق ثابت Y'=-2x+1. عند x=1/2 تكون المشتقة صفرًا، وعند المرور بهذه النقطة تتغير المشتقة من "+" إلى "-". المشتق الثاني للدالة Y"=-2. ارسم رسمًا بيانيًا نقطة بنقطة للدالة Y=-x?+x+1 وتحقق مما إذا كانت النقطة ذات الإحداثي السيني x=1/2 هي الحد الأقصى المحلي على مقطع معين من محور الرقم.

فيديو حول الموضوع

نصائح مفيدة
للعثور على المشتقة، هناك خدمات عبر الإنترنت تقوم بحساب القيم المطلوبة وعرض النتيجة. من الممكن في مثل هذه المواقع اكتشاف مشتقات تصل إلى الدرجة الخامسة.

في هذه المقالة سنلقي نظرة على عدة أمثلة لإيجاد الحد الأقصى (الحد الأدنى) من النقاط للدالة غير المنطقية. لقد تم بالفعل عرض خوارزمية الحل بشكل متكرر في مقالات بمهام مماثلة، في إحدى المقالات السابقة.

قد يكون لديك سؤال: كيف تختلف الوظيفة العقلانية عن الوظيفة غير العقلانية؟في الدالة غير العقلانية، بكلمات بسيطة، تكون الحجة تحت الجذر، أو تكون درجتها كسرًا (كسرًا غير قابل للاختزال). سؤال آخر -ما هي الاختلافات في العثور على الحد الأقصى (الحد الأدنى) من النقاط؟ لا شئ.

المبدأ والخوارزمية لحل المهام لتحديد الحد الأقصى (الحد الأدنى) من النقاط هو نفسه. فقط من أجل الراحة وتنظيم المادة، قمت بتقسيمها إلى عدة مقالات - نظرت بشكل منفصل إلى العقلانية واللوغاريتمية والمثلثية وغيرها، ولا تزال هناك بعض الأمثلة المتبقية حول العثور على أكبر (أصغر) قيمة لدالة غير عقلانية على مقطع ما. وسوف ننظر فيها أيضا.

اسمحوا لي أن أصف بالتفصيل كيفية العثور على المشتق عندما يكون للوسيط درجة؛ وهذا يستخدم في جميع الأمثلة أدناه.

الصيغة نفسها:

أي أنه إذا كان لدينا حجة لدرجة معينة وأردنا إيجاد المشتقة، فإننا نكتب قيمة الدرجة هذه، ونضربها في الحجة، وستكون درجتها أقل بواحد، على سبيل المثال:

إذا كانت الدرجة عددًا كسريًا، فكل شيء هو نفسه:

اللحظة القادمة! وبالطبع يجب أن تتذكر خصائص الجذور والقوى وهي:

أي إذا رأيت في المثال، على سبيل المثال، التعبير (أو شيئًا مشابهًا مع الجذر):

ثم عند الحل، من أجل حساب المشتقة، يجب تمثيلها بـ x للأس، وستكون هكذا:

عليك أن تعرف بقية مشتقات الجدول وقواعد التفاضل !!!

قواعد التمايز:

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77451. أوجد النقطة الصغرى للدالة y = x 3/2 – 3x + 1

دعونا نجد أصفار المشتقة:

نحن نحل المعادلة:

عند النقطة x = 4، تشير تغيرات المشتقة من السالب إلى الموجب، مما يعني أن هذه النقطة هي النقطة الدنيا.

الجواب: 4

77455. أوجد النقطة القصوى للدالة

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

نحن نحل المعادلة:

دعونا نحدد علامات مشتق الوظيفة ونصور سلوك الوظيفة في الشكل. للقيام بذلك، دعونا نستبدل القيم التعسفية من الفواصل الزمنية الناتجة في المشتق:

عند النقطة x = 4، تشير تغيرات المشتقة من الموجب إلى السالب، مما يعني أن هذه النقطة هي النقطة القصوى.

الجواب: 4

77457. أوجد النقطة القصوى للدالة

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

حل المعادلة:

دعونا نحدد علامات مشتق الوظيفة ونصور سلوك الوظيفة في الشكل. للقيام بذلك، دعونا نستبدل القيم التعسفية من الفواصل الزمنية الناتجة في المشتق:

عند النقطة x = 9، تشير تغيرات المشتقة من الموجب إلى السالب، مما يعني أن هذه النقطة هي النقطة القصوى.

الجواب: 9

لقد تمت بالفعل مناقشة خوارزمية العثور على هذه النقاط عدة مرات، ولكنني سأكررها بإيجاز:

1. أوجد مشتقة الدالة.

2. أوجد أصفار المشتقة (ساوي المشتقة بالصفر وحل المعادلة).

3. بعد ذلك، نبني خط الأعداد ونضع علامة على النقاط الموجودة عليه ونحدد علامات المشتقة على الفواصل الزمنية الناتجة. *يتم ذلك عن طريق استبدال قيم عشوائية من الفواصل الزمنية في المشتق.

إذا لم تكن على دراية بخصائص المشتقات لدراسة الوظائف، فتأكد من دراسة المقال« ». كرر أيضًا جدول المشتقات وقواعد التفاضل (متوفر في نفس المقالة). دعونا نفكر في المهام:

77431. أوجد النقطة القصوى للدالة y = x 3 –5x 2 +7x–5.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

3س 2 – 10س + 7 = 0

ص(0)" = 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

ذ(2)" = 3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

ذ(3)" = 3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

عند النقطة x = 1، يغير المشتق إشارته من موجب إلى سالب، مما يعني أن هذه هي النقطة القصوى المطلوبة.

الجواب: 1

77432. أوجد النقطة الصغرى للدالة y = x 3 +5x 2 +7x–5.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

3س 2 + 10س + 7 = 0

حل المعادلة التربيعية نحصل على:

نحدد علامات مشتق الدالة على فترات ونضع علامة عليها على الرسم. نستبدل قيمة عشوائية من كل فترة في التعبير المشتق:

ذ(–3 ) " = 3∙(–3) 2 + 10∙(–3) + 7 = 4 > 0

ذ(–2 ) "= 3∙(–2) 2 + 10∙(–2) + 7 = –1 < 0

ص(0) "= 3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

عند النقطة x = -1، يغير المشتق إشارته من السالب إلى الموجب، مما يعني أن هذه هي النقطة الدنيا المطلوبة.

الجواب: -1

77435. أوجد النقطة القصوى للدالة y = 7 + 12x – x 3

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

12 - 3س 2 = 0

× 2 = 4

حل المعادلة التي نحصل عليها:

* هذه هي نقاط الحد الأقصى (الحد الأدنى) الممكن للدالة.

نحدد علامات مشتق الدالة على فترات ونضع علامة عليها على الرسم. نستبدل قيمة عشوائية من كل فترة في التعبير المشتق:

ذ(–3 ) "= 12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

ص(0) "= 12 – 3∙0 2 = 12 > 0

ذ( 3 ) "= 12 – 3∙3 2 = –15 < 0

عند النقطة x = 2، يغير المشتق إشارته من موجب إلى سالب، مما يعني أن هذه هي النقطة القصوى المطلوبة.

الجواب: 2

*للدالة نفسها، أدنى نقطة هي النقطة x = – 2.

77439. أوجد النقطة القصوى للدالة y = 9x 2 – x 3.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

18س –3س 2 = 0

3س(6 - س) = 0

حل المعادلة التي نحصل عليها:

نحدد علامات مشتق الدالة على فترات ونضع علامة عليها على الرسم. نستبدل قيمة عشوائية من كل فترة في التعبير المشتق:

ذ(–1 ) "= 18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

ذ(1) "= 18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

ذ(7) "= 18∙7 –3∙7 2 = –1< 0

عند النقطة x = 6، يغير المشتق إشارته من موجب إلى سالب، مما يعني أن هذه هي النقطة القصوى المطلوبة.

الجواب: 6

*للدالة نفسها، أدنى نقطة هي النقطة x = 0.

77443. أوجد النقطة القصوى للدالة y = (x 3 /3)–9x–7.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نجد أصفار المشتقة:

× 2 - 9 = 0

× 2 = 9

حل المعادلة التي نحصل عليها:

نحدد علامات مشتق الدالة على فترات ونضع علامة عليها على الرسم. نستبدل قيمة عشوائية من كل فترة في التعبير المشتق:

ذ(–4 ) "= (–4) 2 – 9 > 0

ص(0) "= 0 2 – 9 < 0

ذ(4) "= 4 2 – 9 > 0

عند النقطة x = - 3، يغير المشتق إشارته من موجب إلى سالب، مما يعني أن هذه هي النقطة القصوى المطلوبة.

الجواب :- 3

9 - س 2 = 0

× 2 = 9

حل المعادلة التي نحصل عليها:

نحدد علامات مشتق الدالة على فترات ونضع علامة عليها على الرسم. نستبدل قيمة عشوائية من كل فترة في التعبير المشتق:

ذ(–4 ) "= 9 – (–4) 2 < 0

ذ(0 الحل .

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.

الزيادة والتناقص والأقصى للدالة

يعد العثور على فترات الزيادة والنقصان والنقاط القصوى للدالة مهمة مستقلة وجزءًا أساسيًا من المهام الأخرى، على وجه الخصوص، دراسة وظيفة كاملة. يتم توفير المعلومات الأولية حول الزيادة والنقصان والحدود القصوى للوظيفة الفصل النظري في المشتقات، وهو ما أوصي به بشدة للدراسة الأولية (أو التكرار)- أيضًا لأن المادة التالية مبنية على نفس الشيء مشتق بشكل أساسي،كونه استمرارًا متناغمًا لهذه المقالة. على الرغم من أنه إذا كان الوقت قصيرًا، فمن الممكن أيضًا ممارسة شكلية بحتة لأمثلة من درس اليوم.

واليوم هناك روح من الإجماع النادر في الهواء، ويمكنني أن أشعر بشكل مباشر أن كل الحاضرين يحترقون بالرغبة تعلم كيفية استكشاف وظيفة باستخدام مشتقتها. لذلك، تظهر المصطلحات المعقولة والجيدة والأبدية على الفور على شاشات شاشتك.

لماذا؟ أحد الأسباب هو الأكثر عملية: بحيث يكون من الواضح ما هو مطلوب منك بشكل عام في مهمة معينة!

رتابة الوظيفة. النقاط القصوى والنقاط القصوى للدالة

دعونا نفكر في بعض الوظائف. بكل بساطة، نحن نفترض أنها مستمرعلى خط الأعداد بأكمله:

فقط في حالة، دعونا نتخلص على الفور من الأوهام المحتملة، خاصة بالنسبة لأولئك القراء الذين تعرفوا مؤخرًا على فترات الإشارة الثابتة للدالة. الآن نحن غير مهتمكيف يقع الرسم البياني للدالة بالنسبة للمحور (أعلى، أسفل، حيث يتقاطع المحور). لكي تكون مقنعًا، امسح المحاور ذهنيًا واترك رسمًا بيانيًا واحدًا. لأن هذا هو المكان الذي تكمن فيه المصلحة.

وظيفة يزيدعلى فترة إذا كانت أي نقطتين من هذه الفترة متصلتين بالعلاقة، تكون المتراجحة صحيحة. أي أن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أكبر للدالة، وينتقل الرسم البياني الخاص بها "من الأسفل إلى الأعلى". تنمو وظيفة العرض التوضيحي خلال الفاصل الزمني.

وكذلك الدالة يتناقصعلى فترة إذا كانت المتراجحة صحيحة لأي نقطتين من فترة معينة. أي أن القيمة الأكبر للوسيطة تتوافق مع قيمة أصغر للدالة، وينتقل الرسم البياني الخاص بها "من الأعلى إلى الأسفل". تتناقص وظيفتنا على فترات .

إذا زادت الدالة أو نقصت خلال فترة زمنية، يتم استدعاؤها رتيبة تمامافي هذه الفترة. ما هي الرتابة؟ خذ الأمر حرفيًا – الرتابة.

يمكنك أيضًا تحديد غير متناقصةوظيفة (حالة استرخاء في التعريف الأول) و غير متزايدوظيفة (حالة مخففة في التعريف الثاني). تسمى الدالة غير المتناقصة أو غير المتزايدة على فترة ما دالة رتيبة على فترة معينة (الرتابة الصارمة هي حالة خاصة من الرتابة "البسيطة").

تأخذ النظرية أيضًا في الاعتبار طرقًا أخرى لتحديد الزيادة/النقصان في الدالة، بما في ذلك الفترات النصفية والقطاعات، ولكن حتى لا تصب الزيت على رأسك، سنوافق على العمل بفواصل زمنية مفتوحة مع تعريفات قاطعة - هذا أوضح ويكفي لحل العديد من المشكلات العملية.

هكذا، في مقالاتي، سيتم دائمًا إخفاء عبارة "رتابة الوظيفة". فتراترتابة صارمة(وظيفة متزايدة أو متناقصة بشكل صارم).

حي نقطة. كلمات يهرب بعدها الطلاب حيثما استطاعوا ويختبئون في رعب في الزوايا. ...على الرغم من بعد هذا المنصب حدود كوشيربما لم يعودوا مختبئين، ولكنهم يرتجفون قليلاً =) لا تقلق، لن يكون هناك الآن أي دليل على نظريات التحليل الرياضي - كنت بحاجة إلى المحيطين لصياغة التعريفات بشكل أكثر صرامة النقاط القصوى. دعنا نتذكر:

حي نقطةيتم استدعاء الفاصل الزمني الذي يحتوي على نقطة معينة، وللتسهيل، غالبًا ما يُفترض أن يكون الفاصل الزمني متماثلًا. على سبيل المثال، النقطة وجوارها القياسي:

في الواقع، المصطلحات:

النقطة تسمى النقطة القصوى الصارمة، لو موجودحيها، للجميعقيمها، باستثناء النقطة نفسها، عدم المساواة . في مثالنا المحدد، هذه نقطة.

النقطة تسمى نقطة الحد الأدنى الصارمة، لو موجودحيها، للجميعقيمها، باستثناء النقطة نفسها، عدم المساواة . في الرسم هناك النقطة "أ".

ملحوظة : شرط التماثل الحي ليس ضروريا على الإطلاق. بالإضافة إلى ذلك، من المهم حقيقة الوجودالحي (سواء كان صغيرا أو مجهريا) الذي يستوفي الشروط المحددة

يتم استدعاء النقاط النقاط القصوى بدقةأو ببساطة النقاط القصوىالمهام. أي أنه مصطلح عام للحد الأقصى من النقاط والحد الأدنى من النقاط.

كيف نفهم كلمة "المتطرفة"؟ نعم، تمامًا مثل الرتابة. النقاط القصوى من الوقايات الدوارة.

كما هو الحال في حالة الرتابة، توجد مسلمات فضفاضة وهي أكثر شيوعًا من الناحية النظرية (والتي تندرج تحتها بالطبع الحالات الصارمة!):

النقطة تسمى النقطة القصوى، لو موجودمحيطها هكذا للجميع
النقطة تسمى نقطة الحد الأدنى، لو موجودمحيطها هكذا للجميعقيم هذا الحي، يحمل عدم المساواة.

لاحظ أنه وفقًا للتعريفين الأخيرين، فإن أي نقطة من الدالة الثابتة (أو "المقطع المسطح" من الدالة) تعتبر نقطة عظمى ونقطة صغرى! بالمناسبة، الوظيفة غير متزايدة وغير متناقصة، أي رتابة. ومع ذلك، سنترك هذه الاعتبارات للمنظرين، لأننا في الممارسة العملية نفكر دائمًا في "التلال" و"المجوفة" التقليدية (انظر الرسم) مع "ملك التل" أو "أميرة المستنقع" الفريد. كمجموعة متنوعة، يحدث نصيحة، موجهة لأعلى أو لأسفل، على سبيل المثال، الحد الأدنى للوظيفة عند هذه النقطة.

أوه ، والحديث عن الملوك:
- ويسمى المعنى أقصىالمهام؛
- ويسمى المعنى الحد الأدنىالمهام.

اسم شائع - التطرفالمهام.

يرجى توخي الحذر مع كلماتك!

النقاط القصوى- هذه هي قيم "X".
النهايات- معاني "اللعبة".

! ملحوظة : في بعض الأحيان تشير المصطلحات المدرجة إلى نقاط "X-Y" التي تقع مباشرة على الرسم البياني للدالة نفسها.

كم عدد النقاط القصوى التي يمكن أن تحتوي عليها الدالة؟

لا شيء، 1، 2، 3، ... إلخ. إلى ما لا نهاية. على سبيل المثال، جيب الجيب لديه عدد لا نهائي من الحدود الدنيا والأقصى.

مهم!مصطلح "الحد الأقصى للوظيفة" لم تكن متطابقةمصطلح "القيمة القصوى للدالة". من السهل ملاحظة أن القيمة القصوى تكون فقط في الحي المحلي، وفي أعلى اليسار يوجد "رفاق رائعون". وبالمثل فإن "الحد الأدنى للدالة" ليس هو نفسه "الحد الأدنى لقيمة الدالة"، وفي الرسم نرى أن القيمة الدنيا تكون فقط في منطقة معينة. في هذا الصدد، وتسمى أيضا النقاط القصوى النقاط القصوى المحلية، والأقصى – التطرف المحلي. يمشون ويتجولون في مكان قريب و عالميالاخوة. إذن، أي قطع مكافئ يقع في رأسه الحد الأدنى العالميأو الحد الأقصى العالمي. علاوة على ذلك، لن أميز بين أنواع التطرف، ويتم التعبير عن التفسير بشكل أكبر للأغراض التعليمية العامة - لا ينبغي أن تفاجئك الصفات الإضافية "محلي"/"عالمي".

دعونا نلخص رحلتنا القصيرة في النظرية من خلال لقطة اختبارية: ماذا تعني مهمة "العثور على فترات الرتابة والنقاط القصوى للدالة"؟

تشجعك الصياغة على العثور على:

- فترات زيادة/تناقص الدالة (غير المتناقصة، غير المتزايدة تظهر في كثير من الأحيان أقل بكثير)؛

- الحد الأقصى و/أو الحد الأدنى من النقاط (إن وجدت). حسنًا، لتجنب الفشل، من الأفضل العثور على الحد الأدنى/الحد الأقصى بأنفسهم؛-)

كيفية تحديد كل هذا؟باستخدام الدالة المشتقة!

كيفية العثور على فترات الزيادة والتناقص
النقاط القصوى والنقاط القصوى للوظيفة؟

في الواقع، العديد من القواعد معروفة ومفهومة بالفعل درس عن معنى مشتق.

مشتق الظل يجلب الأخبار المبهجة التي تتزايد فيها الوظيفة طوال الوقت مجال التعريف.

مع ظل التمام ومشتقاته الوضع هو عكس ذلك تماما.

يزداد قوس الجيب خلال الفاصل الزمني - ويكون المشتق هنا موجبًا: .
عندما يتم تعريف الوظيفة، ولكن غير قابلة للتمييز. ومع ذلك، عند النقطة الحرجة هناك مشتقة أيمن وظل أيمن، وعلى الحافة الأخرى هناك نظرائهما من جهة اليسار.

أعتقد أنه لن يكون من الصعب عليك تنفيذ تفكير مماثل لقوس جيب التمام ومشتقته.

جميع الحالات المذكورة أعلاه، والكثير منها المشتقات الجدولية، أذكرك، تابع مباشرة من تعريفات مشتقة.

لماذا استكشاف وظيفة باستخدام مشتقتها؟

لفهم كيف يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة بشكل أفضل: حيث يتجه "من الأسفل إلى الأعلى"، حيث "من الأعلى إلى الأسفل"، حيث يصل إلى الحد الأدنى والحد الأقصى (إذا وصل على الإطلاق). ليست كل الوظائف بهذه البساطة - في معظم الحالات ليس لدينا أي فكرة على الإطلاق عن الرسم البياني لوظيفة معينة.

حان الوقت للانتقال إلى أمثلة أكثر وضوحًا والنظر فيها خوارزمية لإيجاد فترات الرتابة والحدود القصوى للدالة:

مثال 1

إيجاد فترات الزيادة/النقصان والنقاط القصوى للدالة

حل:

1) الخطوة الأولى هي العثور على مجال الوظيفةولاحظ أيضًا نقاط التوقف (إذا كانت موجودة). في هذه الحالة، تكون الدالة متصلة على خط الأعداد بأكمله، ويكون هذا الإجراء رسميًا إلى حد ما. ولكن في عدد من الحالات، تندلع هنا مشاعر جدية، لذلك دعونا نتعامل مع الفقرة دون ازدراء.

2) النقطة الثانية من الخوارزمية ترجع إلى

شرط ضروري للأقصى:

إذا كان هناك حد أقصى عند نقطة ما، فإما أن القيمة غير موجودة.

الخلط من النهاية؟ الحد الأقصى لوظيفة "المعامل x". .

الشرط ضروري، ولكن ليس كافي، والعكس ليس صحيحاً دائماً. لذلك، لا يترتب على المساواة بعد أن تصل الدالة إلى الحد الأقصى أو الأدنى عند النقطة. لقد تم بالفعل تسليط الضوء على مثال كلاسيكي أعلاه - وهو القطع المكافئ المكعب ونقطة حرجة.

ولكن مهما كان الأمر، فإن الشرط الضروري للوصول إلى الحد الأقصى يملي الحاجة إلى العثور على نقاط مشبوهة. للقيام بذلك، ابحث عن المشتقة وحل المعادلة:

في بداية المقال الأول حول الرسوم البيانية الوظيفيةلقد أخبرتك بكيفية بناء القطع المكافئ بسرعة باستخدام مثال : "...نأخذ المشتقة الأولى ونساويها بالصفر: ... إذن حل معادلتنا: - عند هذه النقطة يقع رأس القطع المكافئ...". الآن، أعتقد أن الجميع يفهم سبب وجود قمة القطع المكافئ عند هذه النقطة تمامًا =) بشكل عام، يجب أن نبدأ بمثال مشابه هنا، ولكنه بسيط جدًا (حتى بالنسبة لإبريق الشاي). بالإضافة إلى ذلك، هناك تناظرية في نهاية الدرس حول مشتق من وظيفة. لذلك دعونا نزيد الدرجة:

مثال 2

أوجد فترات الرتابة والنقاط القصوى للدالة

هذا مثال لك لحله بنفسك. حل كامل وعينة نهائية تقريبية للمشكلة في نهاية الدرس.

لقد وصلت اللحظة التي طال انتظارها للقاء الوظائف الكسرية العقلانية:

مثال 3

استكشاف دالة باستخدام المشتقة الأولى

انتبه إلى مدى إمكانية إعادة صياغة نفس المهمة بشكل مختلف.

حل:

1) تعاني الدالة من انقطاعات لا نهائية عند النقاط.

2) نكتشف النقاط الحرجة. لنجد المشتقة الأولى ونساويها بالصفر:

دعونا نحل المعادلة. يكون الكسر صفرًا عندما يكون بسطه صفرًا:

وهكذا نحصل على ثلاث نقاط حاسمة:

3) نرسم جميع النقاط المكتشفة على خط الأعداد و طريقة الفاصلنحدد علامات المشتق:

أذكرك أنك بحاجة إلى أخذ نقطة ما في الفترة وحساب قيمة المشتقة عندها وتحديد علامته. من المربح أكثر عدم الاعتماد، بل "التقدير" لفظيًا. لنأخذ، على سبيل المثال، نقطة تنتمي إلى المجال ونجري الاستبدال: .

اثنان من "الإيجابيات" و"ناقص" واحد يعطيان "ناقص"، مما يعني أن المشتقة سالبة خلال الفترة بأكملها.

الإجراء، كما تفهم، يجب تنفيذه لكل من الفترات الستة. بالمناسبة، لاحظ أن عامل البسط والمقام إيجابيان تمامًا لأي نقطة في أي فترة زمنية، مما يبسط المهمة إلى حد كبير.

إذن، تخبرنا المشتقة أن الدالة نفسها تزيد بمقدار ويتناقص بنسبة . من الملائم توصيل الفواصل الزمنية من نفس النوع برمز الانضمام.

عند النقطة التي تصل فيها الدالة إلى الحد الأقصى:
عند هذه النقطة تصل الدالة إلى الحد الأدنى:

فكر في سبب عدم اضطرارك إلى إعادة حساب القيمة الثانية ;-)

عند المرور عبر نقطة ما، لا تغير المشتقة الإشارة، وبالتالي فإن الدالة ليس لها حد أقصى هناك - فقد انخفضت وظلت متناقصة.

! دعونا نكرر نقطة مهمة: النقاط لا تعتبر حرجة - فهي تحتوي على وظيفة لم يحدد. وبناء على ذلك هنا من حيث المبدأ، لا يمكن أن يكون هناك تطرف(حتى لو كانت علامة التغييرات المشتقة).

إجابة: تزيد الدالة بمقدار ويتناقص بمقدار عند النقطة التي يتم فيها الوصول إلى الحد الأقصى للدالة: ، وعند هذه النقطة – الحد الأدنى: .

معرفة فترات الرتابة والنقاط القصوى، إلى جانب المنشأة الخطوط المقاربةيعطي بالفعل فكرة جيدة جدًا عن مظهر الرسم البياني للوظيفة. يستطيع الشخص ذو التدريب المتوسط ​​أن يحدد لفظيًا أن الرسم البياني للدالة يحتوي على خطين مقاربين رأسيين وخط مقارب مائل. وهنا بطلنا:

حاول مرة أخرى ربط نتائج الدراسة بالرسم البياني لهذه الوظيفة.
لا يوجد حد متطرف عند النقطة الحرجة، ولكن هناك انعطاف الرسم البياني(وهو ما يحدث عادة في حالات مماثلة).

مثال 4

أوجد الحد الأقصى للدالة

مثال 5

أوجد فترات الرتابة والعظمى والصغرى للدالة

...إنها تقريبًا مثل عطلة "X in a cube" اليوم....
حسنًا، من في المعرض عرض أن يشرب من أجل هذا؟ =)

كل مهمة لها الفروق الدقيقة والتقنية الدقيقة الخاصة بها، والتي تم التعليق عليها في نهاية الدرس.