الكرة والكرة هما في المقام الأول أشكال هندسية، وإذا كانت الكرة جسمًا هندسيًا، فإن الكرة هي سطح الكرة. كانت هذه الأرقام محل اهتمام منذ آلاف السنين قبل الميلاد.

بعد ذلك، عندما تم اكتشاف أن الأرض عبارة عن كرة، والسماء عبارة عن كرة سماوية، تم تطوير اتجاه رائع جديد في الهندسة - الهندسة على المجال أو الهندسة الكروية. لكي نتحدث عن حجم الكرة وحجمها، يجب عليك أولاً تحديدها.

كرة

الكرة التي نصف قطرها R ومركزها النقطة O في الهندسة هي جسم يتكون من جميع النقاط في الفضاء التي لها خاصية مشتركة. وتقع هذه النقاط على مسافة لا تتجاوز نصف قطر الكرة، أي أنها تملأ المساحة بأكملها أقل من نصف قطر الكرة في جميع الاتجاهات من مركزها. إذا أخذنا في الاعتبار فقط تلك النقاط التي تقع على مسافة متساوية من مركز الكرة، فسنأخذ في الاعتبار سطحها أو غلاف الكرة.

كيف يمكنني الحصول على الكرة؟ يمكننا قطع دائرة من الورق والبدء في تدويرها حول قطرها. أي أن قطر الدائرة سيكون محور الدوران. سيكون الشكل الناتج عبارة عن كرة. ولذلك، تسمى الكرة أيضًا بالجسم الدوراني. لأنه يمكن تشكيلها عن طريق تدوير شكل مسطح - دائرة.

لنأخذ طائرة ونقطع بها كرتنا. مثلما نقطع البرتقالة بالسكين. القطعة التي نقطعها من الكرة تسمى قطعة كروية.

في اليونان القديمة، كانوا يعرفون ليس فقط كيفية التعامل مع الكرة والكرة كأشكال هندسية، على سبيل المثال، لاستخدامها في البناء، ولكنهم عرفوا أيضًا كيفية حساب مساحة سطح الكرة وحجم الكرة.

الكرة هي اسم آخر لسطح الكرة. الكرة ليست جسمًا، بل هي سطح جسم دوراني. ومع ذلك، بما أن الأرض والعديد من الأجسام لها شكل كروي، على سبيل المثال قطرة ماء، فقد أصبحت دراسة العلاقات الهندسية داخل الكرة منتشرة على نطاق واسع.

على سبيل المثال، إذا قمنا بتوصيل نقطتين من الكرة مع بعضهما البعض بخط مستقيم، فإن هذا الخط المستقيم يسمى وترًا، وإذا مر هذا الوتر بمركز الكرة الذي يتطابق مع مركز الكرة، فإن ويسمى الوتر قطر الكرة.

إذا رسمنا خطًا مستقيمًا يمس الكرة عند نقطة واحدة فقط، فسيسمى هذا الخط مماسًا. بالإضافة إلى ذلك، فإن مماس الكرة عند هذه النقطة سيكون عموديًا على نصف قطر الكرة المرسوم على نقطة التماس.

إذا قمنا بمد الوتر إلى خط مستقيم في اتجاه أو آخر من الكرة، فإن هذا الوتر يسمى قاطعًا. أو يمكننا أن نقول ذلك بشكل مختلف - القاطع للكرة يحتوي على الوتر الخاص به.

حجم الكرة

صيغة حساب حجم الكرة هي:

حيث R هو نصف قطر الكرة

إذا أردت إيجاد حجم قطعة كروية، فاستخدم الصيغة:

V seg =πh 2 (R-h/3)، h هو ارتفاع القطعة الكروية.

مساحة سطح الكرة أو المجال

لحساب مساحة الكرة أو مساحة سطح الكرة (هما نفس الشيء):

حيث R هو نصف قطر الكرة.

كان أرخميدس مغرمًا جدًا بالكرة والكرة، حتى أنه طلب ترك رسم على قبره تم فيه نقش كرة في أسطوانة. يعتقد أرخميدس أن حجم الكرة وسطحها يساوي ثلثي حجم وسطح الأسطوانة التي حُفرت فيها الكرة.

كرةهذا جسم هندسي يتكون نتيجة دوران نصف دائرة على محور قطره.

احسب حجم الكرة

حجم الكرةيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

R - نصف قطر الكرة

V – حجم الكرة

أوجد حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها سنتيمترًا.

من أجل حساب حجم الكرة، يتم استخدام الصيغة التالية:

أين هو الحجم المطلوب للكرة، -، هو نصف القطر.

وبالتالي، مع نصف قطر السنتيمتر، فإن حجم الكرة يساوي:

الخامس

3.14×103

= 4186,7

سنتيمترات مكعبه.

في الهندسة كرةيتم تعريفه على أنه جسم معين، وهو عبارة عن مجموعة من جميع النقاط في الفضاء التي تقع من المركز على مسافة لا تزيد عن مسافة معينة، تسمى نصف قطر الكرة.

يسمى سطح الكرة بالكرة، ويتم تشكيل الكرة نفسها عن طريق تدوير نصف دائرة حول قطرها، وتبقى بلا حراك.

غالبًا ما يواجه مهندسو التصميم والمهندسون المعماريون هذا الجسم الهندسي، والذين غالبًا ما يضطرون إلى ذلك حساب حجم الكرة. على سبيل المثال، في تصميم التعليق الأمامي للغالبية العظمى من السيارات الحديثة، يتم استخدام ما يسمى بالمفاصل الكروية، والتي، كما يمكنك تخمينها بسهولة من الاسم نفسه، تعتبر الكرات أحد العناصر الرئيسية.

بمساعدتهم، يتم توصيل محاور العجلات والرافعات. حول مدى صحة ذلك محسوبحجمها يعتمد إلى حد كبير ليس فقط على متانة هذه الوحدات وصحة عملها، ولكن أيضا على السلامة المرورية.

في التكنولوجيا، يتم استخدام أجزاء مثل المحامل الكروية على نطاق واسع، والتي يتم من خلالها تثبيت المحاور في الأجزاء الثابتة للمكونات والتجمعات المختلفة وضمان دورانها.

تجدر الإشارة إلى أنه عند حسابها، يحتاج المصممون إلى العثور على حجم الكرة (أو بالأحرى الكرات الموضوعة في القفص) بدرجة عالية من الدقة. أما بالنسبة لصناعة الكرات الحاملة المعدنية، فيتم إنتاجها من الأسلاك المعدنية بعملية معقدة تشمل مراحل التشكيل والتصلب والطحن الخشن والتشطيب والتنظيف.

بالمناسبة، تلك الكرات التي تم تضمينها في تصميم جميع أقلام الحبر مصنوعة باستخدام نفس التكنولوجيا تمامًا.

في كثير من الأحيان، يتم استخدام الكرات في الهندسة المعمارية، حيث تكون في أغلب الأحيان عناصر زخرفية للمباني والهياكل الأخرى.

في معظم الحالات، تكون مصنوعة من الجرانيت، الأمر الذي يتطلب في كثير من الأحيان الكثير من العمل اليدوي. وبطبيعة الحال، ليس من الضروري الحفاظ على هذه الدقة العالية في تصنيع هذه الكرات كتلك المستخدمة في الوحدات والآليات المختلفة.

لعبة مثيرة للاهتمام وشائعة مثل البلياردو لا يمكن تصورها بدون كرات. لإنتاجها، يتم استخدام مواد مختلفة (العظام والحجر والمعادن والبلاستيك) وتستخدم العمليات التكنولوجية المختلفة.

أحد المتطلبات الرئيسية لكرات البلياردو هو قوتها العالية وقدرتها على تحمل الأحمال الميكانيكية العالية (الصدمات في المقام الأول). بالإضافة إلى ذلك، يجب أن يكون سطحها كرويًا تمامًا لضمان سلاسة وتدحرج سطح طاولات البلياردو.

أخيرًا، لا يمكن لشجرة عيد الميلاد أو رأس السنة الجديدة الاستغناء عن الأجسام الهندسية مثل الكرات. تصنع هذه الزخارف في معظم الحالات من الزجاج باستخدام طريقة النفخ، وفي إنتاجها يتم إيلاء أكبر قدر من الاهتمام ليس لدقة الأبعاد، ولكن لجماليات المنتجات.

العملية التكنولوجية مؤتمتة بالكامل تقريبًا ويتم تعبئة كرات عيد الميلاد يدويًا فقط.

الكرة هي واحدة من أبسط الأجسام الهندسية التي تكون جميع النقاط الموجودة على سطحها على نفس المسافة من مركز الصورة. المسافة من مركز الكرة إلى أي نقطة على سطحها تسمى نصف القطر.

حجم الكرة

يسمى قطر الكرة ضعف نصف القطر.

كيفية العثور على حجم الكرة حول نصف قطرها

إذا عرفنا نصف قطر الكرة، فيمكننا بسهولة حساب حجمها. للقيام بذلك، اضرب المكعب في نصف القطر والرقم الرباعي Pi، وبعد ذلك سيتم تقسيم النتيجة على ثلاثة. صيغة تحديد حجم الكرة بناءً على نصف قطرها هي كما يلي: .
ولمن نسي نتذكر أن Pi قيمة ثابتة وتساوي 3.14.

كيفية العثور على حجم الكرة حسب القطر

إذا كان قطر الكرة معروفا من شروط المسألة، فيحسب حجمها باستخدام الصيغة التالية: ، إنه.

يجب ضرب الرقم Pi في قطر القطر، ثم يتم تقسيم النتيجة على 6.

كيفية تحديد كتلة الكرة

كتلة الجسم هي كمية فيزيائية تدل على درجة قصوره الذاتي. تعتمد كتلة الجسم المادي على حجم المساحة المشغولة وكثافة المادة التي يتم تجميعها منها. حجم الجسم ذو الشكل المنتظم (على سبيل المثال، يهزم) ليس من الصعب حسابه، وإذا كانت المادة التي يصنع منها معروفة أيضاً، بكميات كبيرةيُسمح لها أن تكون بدائية جدًا.

تعليمات

أولاًأدخل المبلغ يهزم .

كيفية حساب حجم الكرة

للقيام بذلك، يكفي معرفة إحدى المعلمات الخاصة بك - نصف القطر، القطر، السطح، وما إلى ذلك. أخبرني إذا كنت تعرف القطر يهزم(د)، يُسمح بتحديد حجمه (V) على أنه سدس منتج بقطر يرتفع في مكعب بالرقم Pi: ​​V = π * d؟ / 6. من خلال دائرة نصف قطرها يهزم(ص) يتم التعبير عن الحجم بثلث منتج باي، والذي يتضاعف أربع مرات مع نصف القطر الموجود في المكعب: V = 4 * π * r؟ / 3.

ثانيةعدد بكميات كبيرةيهزم(م)، اضرب حجمه بالكثافة الرائعة للمادة (ع): m = p * V.

إذا كانت هذه هي المادة يهزمغير متجانسة، ثم يجب أن نأخذ متوسط ​​الكثافة. في هذه الصيغة نستبدل الحجم يهزمومن خلال معاملاته المعروفة يسمح له بأخذ القطر المعلوم يهزمالصيغة م = ع * π * د؟ / 6 وبالنسبة لنصف القطر الرئيسي m = p * 4 * π * r؟ / 3.

ثالثاستخدم في العمليات الحسابية، على سبيل المثال، الآلة الحاسبة البرمجية النموذجية التي تأتي مع نظام التشغيل Windows الأساسي، أي إصدار قوي قيد الاستخدام اليوم.

أسهل طريقة للبدء هي الضغط على Win + r لفتح مربع الحوار النموذجي لتشغيل البرنامج، ثم اكتب الأمر calc وانقر فوق OK.

في قائمة "الحاسبة"، قم بتوسيع قسم "عرض" وحدد سطر "المهندس" أو "العالم" (اعتمادًا على إصدار نظام التشغيل الذي تستخدمه) - تحتوي واجهة هذا الوضع على زر لإدخال رقم Pi بنقرة واحدة انقر. عمليات الضرب والقسمة في هذه الآلة الحاسبة ليس من الضروري أن تثير أسئلة، ولكن يتم تحديدها عند حساب الكتلة يهزمسيكون هناك عدة أزرار بالرموز x^2 وx^3.

تصميم المياه والصرف الصحي

بريد إلكتروني: [البريد الإلكتروني محمي]

ساعات العمل: من الإثنين إلى الجمعة من 9:00 إلى 18:00 (بدون غداء)

حساب حجم الكرة باستخدام نصف القطر أو القطر

الكرة هي جسم هندسي عبارة عن مجموعة من جميع النقاط في الفضاء الواقعة على مسافة معينة من المركز.

كيفية حساب حجم الكرة

السمة الرياضية الرئيسية للكرة هي نصف قطرها.

ويعد عدد الكرة خاصية كمية لهذا العدد في الكون.

صيغة لحساب حجم الكرة:

الخامس = 4/3 * ط * ص 3

الخامس = 1/6 * ط * د 3

r هو نصف قطر الكرة؛
د هو قطر الكرة.

راجع أيضًا المقالة الخاصة بجميع الأشكال الهندسية (خطي 1D، مسطح 2D، 3D 3D).

هذه الصفحة هي أبسط آلة حاسبة على شبكة الإنترنت لحساب حجم الكرة حسب نصف القطر أو القطر.

العديد من الأجسام التي نقابلها في الحياة أو التي سمعنا عنها تكون كروية الشكل، مثل كرة القدم، أو قطرة الماء المتساقطة أثناء المطر، أو كوكبنا. في هذا الصدد، من المناسب النظر في مسألة كيفية العثور على حجم الكرة.

شكل الكرة في الهندسة

قبل الإجابة على السؤال المتعلق بالكرة، دعونا نلقي نظرة فاحصة على هذا الجسم. بعض الناس يخلطون بينه وبين الكرة. ظاهريًا، هما متشابهان حقًا، لكن الكرة عبارة عن جسم مملوء بالداخل، في حين أن الكرة ليست سوى الغلاف الخارجي لكرة ذات سمك متناهٍ في الصغر.

من وجهة نظر الهندسة، يمكن تمثيل الكرة بمجموعة من النقاط، وتلك التي تقع على سطحها (تشكل كرة) تقع على نفس المسافة من مركز الشكل. وتسمى هذه المسافة نصف القطر. في الواقع، نصف القطر هو المعامل الوحيد الذي يمكن استخدامه لوصف أي خصائص للكرة، مثل مساحة سطحها أو حجمها.

الصورة أدناه توضح مثالا للكرة.

إذا نظرت عن كثب إلى هذا الجسم المستدير المثالي، فيمكنك تخمين كيفية الحصول عليه من دائرة عادية. للقيام بذلك، يكفي تدوير هذا الشكل المسطح حول محور يتطابق مع قطره.

أحد المصادر الأدبية القديمة المعروفة، التي تناقش خصائص هذا الشكل ثلاثي الأبعاد بتفاصيل كافية، هو عمل الفيلسوف اليوناني إقليدس - "العناصر".

المساحة السطحية والحجم

عند النظر في مسألة كيفية العثور على حجم الكرة، بالإضافة إلى هذه القيمة، ينبغي إعطاء صيغة لمنطقتها، حيث يمكن أن يرتبط كلا التعبيرين ببعضهما البعض، كما سيبين أدناه.

لذا، لحساب حجم الكرة، يجب عليك تطبيق إحدى الصيغتين التاليتين:

• الخامس = 4/3 *بي * R3؛
• الخامس = 67/16 * ر3.

حيث R هو نصف قطر الشكل. الصيغة الأولى المقدمة دقيقة، ولكن للاستفادة من ذلك، يجب عليك استخدام العدد المناسب من المنازل العشرية لـ pi. التعبير الثاني يعطي نتيجة جيدة جداً، ويختلف عن الأول بنسبة 0.03% فقط. بالنسبة لعدد من المهام العملية، هذه الدقة أكثر من كافية.

تساوي هذه القيمة للكرة، والتي يتم التعبير عنها بالصيغة S = 4 * pi * R2. إذا عبرنا عن نصف القطر من هنا ثم عوضناه في الصيغة الأولى للحجم، فسنحصل على: R = √ (S / (4 * pi)) = > V = S / 3 * √ (S / (4 * pi) )).

ومن ثم، فقد درسنا الأسئلة المتعلقة بكيفية إيجاد حجم الكرة من خلال نصف القطر ومن خلال مساحة سطحها. يمكن تطبيق هذه التعبيرات بنجاح في الممارسة العملية. لاحقًا في المقالة سنقدم مثالاً على استخدامها.

مشكلة قطرة المطر

الماء، عندما يكون في حالة انعدام الوزن، يأخذ شكل قطرة كروية. ويرجع ذلك إلى وجود قوى التوتر السطحي التي تميل إلى تقليل مساحة السطح. الكرة بدورها لها أدنى قيمة بين جميع الأشكال الهندسية التي لها نفس الكتلة.

أثناء المطر، تكون قطرة الماء المتساقطة في حالة انعدام الوزن، فيكون شكلها كرويًا (هنا نهمل قوة مقاومة الهواء). ومن الضروري تحديد حجم ومساحة سطح ونصف قطر هذه القطرة إذا علم أن كتلتها 0.05 جرام.

من السهل تحديد الحجم؛ للقيام بذلك، قم بتقسيم الكتلة المعروفة على كثافة H 2 O (ρ = 1 جم/سم 3). ثم V = 0.05 / 1 = 0.05 سم3.

بمعرفة كيفية إيجاد حجم الكرة، يجب علينا التعبير عن نصف القطر من الصيغة واستبدال القيمة الناتجة، لدينا: R = ∛ (3 * V / (4 * pi)) = ∛ (3 * 0.05 / (4) * 3.1416)) = 0.2285 سم.

الآن نستبدل قيمة نصف القطر في التعبير الخاص بمساحة سطح الشكل، فنحصل على: S = 4 * 3.1416 * 0.22852 = 0.6561 سم 2.

وبالتالي، بمعرفة كيفية العثور على حجم الكرة، تلقينا إجابات لجميع أسئلة المشكلة: R = 2.285 مم، S = 0.6561 سم 2 و V = 0.05 سم 3.

قبل أن تبدأ في دراسة مفهوم الكرة، وما هو حجم الكرة، والنظر في الصيغ لحساب معلماتها، عليك أن تتذكر مفهوم الدائرة، الذي تمت دراسته سابقًا في دورة الهندسة. بعد كل شيء، معظم الإجراءات في الفضاء ثلاثي الأبعاد تشبه أو تتبع الهندسة ثنائية الأبعاد، معدلة لمظهر الإحداثي الثالث والدرجة الثالثة.

ما هي الدائرة؟

الدائرة هي شكل على المستوى الديكارتي (كما هو موضح في الشكل 1)؛ غالبًا ما يبدو التعريف مثل "الموقع الهندسي لجميع النقاط على المستوى، والمسافة التي منها إلى نقطة معينة (المركز) لا تتجاوز عددًا معينًا غير سالب يسمى نصف القطر".

كما نرى من الشكل، فإن النقطة O هي مركز الشكل، ومجموعة جميع النقاط التي تملأ الدائرة، على سبيل المثال، A، B، C، K، E، لا تقع أبعد من نصف قطر معين (لا تتجاوز الدائرة الموضحة في الشكل 2).

إذا كان نصف القطر صفراً، فإن الدائرة تتحول إلى نقطة.

مشاكل في الفهم

غالبًا ما يخلط الطلاب بين هذه المفاهيم. من السهل أن نتذكر مع القياس. الطوق الذي يدوره الأطفال في دروس التربية البدنية هو دائرة. من خلال فهم هذا أو تذكر أن الحروف الأولى من كلتا الكلمتين هي "O"، سوف يفهم الأطفال الفرق بشكل تذكيري.

مقدمة لمفهوم "الكرة"

الكرة عبارة عن جسم (الشكل 3) يحده سطح كروي معين. ما هو "السطح الكروي" سيتضح من تعريفه: هذا هو الموقع الهندسي لجميع النقاط على السطح، والمسافة منه إلى نقطة معينة (المركز) لا تتجاوز عددا معينا غير سالب يسمى نصف القطر. كما ترون، فإن مفهومي الدائرة والسطح الكروي متشابهان، فقط المساحات التي يقعان فيها تختلف. إذا صورنا كرة في فضاء ثنائي الأبعاد، نحصل على دائرة حدها دائرة (حدود الكرة سطح كروي). في الشكل نرى سطحًا كرويًا نصف قطره OA = OB.

الكرة مغلقة ومفتوحة

في الفضاءات المترية والمتجهة، يتم أيضًا النظر في مفهومين يتعلقان بالسطح الكروي. إذا كانت الكرة تحتوي على هذه الكرة، فإنها تسمى مغلقة، وإذا لم تكن كذلك، فإن الكرة مفتوحة. وهذه مفاهيم أكثر "تقدمًا"؛ حيث يتم دراستها في المعاهد كجزء من مقدمة التحليل. بالنسبة للاستخدام البسيط وحتى اليومي، ستكون الصيغ التي تتم دراستها في دورة القياس المجسم للصفوف 10-11 كافية. هذه المفاهيم التي يمكن الوصول إليها تقريبًا لكل شخص متعلم عادي هي التي سيتم مناقشتها بشكل أكبر.

المفاهيم التي تحتاج إلى معرفتها للحسابات التالية

نصف القطر والقطر.

يتم تحديد نصف قطر الكرة وقطرها بنفس طريقة تحديد الدائرة.

نصف القطر هو الجزء الذي يربط أي نقطة على حدود الكرة بالنقطة التي تقع في مركز الكرة.

القطر هو الجزء الذي يصل بين نقطتين على حدود الكرة ويمر بمركزها. يوضح الشكل 5 أ بوضوح الأجزاء التي تمثل نصف قطر الكرة، ويوضح الشكل 5 ب أقطار الكرة (الأجزاء التي تمر عبر النقطة O).

الأقسام في المجال (الكرة)

أي جزء من الكرة هو دائرة. إذا مرت بمركز الكرة تسمى دائرة كبيرة (دائرة قطرها AB)، أما الأجزاء المتبقية فتسمى دوائر صغيرة (دائرة قطرها DC).

يتم حساب مساحة هذه الدوائر باستخدام الصيغ التالية:

هنا S هو التعيين للمساحة، R لنصف القطر، D للقطر. هناك أيضًا ثابت يساوي 3.14. لكن لا تخلط بين أنه لحساب مساحة دائرة كبيرة، يتم استخدام نصف قطر أو قطر الكرة (الكرة) نفسها، ولتحديد المساحة يلزم استخدام أبعاد نصف قطر الدائرة الصغيرة.

ويمكن رسم عدد لا نهائي من هذه المقاطع التي تمر عبر نقطتين لهما نفس القطر وتقعان على حدود الكرة. وكمثال على ذلك كوكبنا: نقطتان عند القطبين الشمالي والجنوبي، وهما طرفا محور الأرض، وبالمعنى الهندسي طرفا القطر، وخطوط الطول التي تمر بهاتين النقطتين (شكل 7) . أي أن عدد الدوائر الكبيرة على الكرة يميل إلى اللانهاية.

أجزاء الكرة

إذا قمت بقطع "قطعة" من الكرة باستخدام مستوى معين (الشكل 8)، فسوف يطلق عليها قطعة كروية أو كروية. سيكون له ارتفاع - عمودي من مركز مستوى القطع إلى السطح الكروي O 1 K. وتسمى النقطة K على السطح الكروي الذي يأتي عنده الارتفاع قمة الجزء الكروي. ودائرة صغيرة نصف قطرها O 1 T (في هذه الحالة، حسب الشكل، لم يمر المستوى عبر مركز الكرة، ولكن إذا مر المقطع عبر المركز، فستكون دائرة المقطع العرضي كبيرة)، التي تم تشكيلها عن طريق قطع الجزء الكروي، سيتم استدعاؤها بقاعدة قطعة الكرة لدينا - الجزء الكروي.

إذا قمنا بتوصيل كل نقطة أساسية من قطعة كروية بمركز الكرة، فسنحصل على شكل يسمى "القطاع الكروي".

إذا مر مستويان عبر كرة وكانا متوازيين مع بعضهما البعض، فإن ذلك الجزء من الكرة المحصور بينهما يسمى طبقة كروية (الشكل 9، الذي يوضح كرة ذات مستويين وطبقة كروية منفصلة).

يُطلق على السطح (الجزء المميز في الشكل 9 على اليمين) لهذا الجزء من الكرة اسم الحزام (مرة أخرى، من أجل فهم أفضل، يمكن إجراء تشبيه مع الكرة الأرضية، أي مع مناطقها المناخية - القطب الشمالي، والاستوائية، والمعتدلة ، وما إلى ذلك)، وستكون دوائر القسم هي الطبقة الكروية للقواعد. ارتفاع الطبقة هو جزء من القطر المرسوم بشكل عمودي على مستويات القطع من مراكز القواعد. هناك أيضًا مفهوم الكرة الكروية. وتتشكل عندما لا تتقاطع المستويات المتوازية مع بعضها البعض، بل تلامسها عند نقطة واحدة لكل منها.

صيغ لحساب حجم الكرة ومساحة سطحها

يتم تشكيل الكرة عن طريق الدوران حول القطر الثابت لنصف دائرة أو دائرة. لحساب المعلمات المختلفة لكائن معين، ليست هناك حاجة إلى الكثير من البيانات.

حجم الكرة، وصيغة الحساب الواردة أعلاه، مشتقة من خلال التكامل. دعونا معرفة ذلك نقطة بنقطة.

نحن نعتبر دائرة في مستوى ثنائي الأبعاد، لأنها، كما ذكرنا أعلاه، هي الدائرة التي يقوم عليها بناء الكرة. نستخدم الجزء الرابع فقط (الشكل 10).

نحن نأخذ دائرة بوحدة نصف القطر ومركزها عند نقطة الأصل. معادلة هذه الدائرة هي كما يلي: X 2 + Y 2 = R 2. نعبر عن Y من هنا: Y 2 = R 2 - X 2.

تأكد من ملاحظة أن الدالة الناتجة غير سالبة ومستمرة ومتناقصة على القطعة X (0; R)، لأن قيمة X في الحالة عندما نعتبر ربع الدائرة تقع من صفر إلى قيمة الدالة نصف القطر، أي إلى الوحدة.

والشيء التالي الذي سنفعله هو تدوير ربع الدائرة حول المحور السيني. ونتيجة لذلك، نحصل على نصف الكرة الأرضية. لتحديد حجمه، سوف نلجأ إلى طرق التكامل.

وبما أن هذا هو حجم نصف الكرة فقط، فإننا نضاعف النتيجة، فنجد أن حجم الكرة يساوي:

الفروق الدقيقة الصغيرة

إذا كنت تريد حساب حجم الكرة من خلال قطرها، تذكر أن نصف القطر هو نصف القطر، واستبدل هذه القيمة في الصيغة أعلاه.

يمكنك أيضًا الوصول إلى صيغة حجم الكرة من خلال مساحة السطح المجاور لها - الكرة. دعونا نتذكر أن مساحة الكرة يتم حسابها بالصيغة S = 4πr 2، وبدمجها وصلنا أيضًا إلى الصيغة المذكورة أعلاه لحجم الكرة. من نفس الصيغ يمكنك التعبير عن نصف القطر إذا كان بيان المشكلة يحتوي على قيمة حجم.

الكرة هي جسم هندسي دوراني يتكون من دوران دائرة أو نصف دائرة حول قطرها. كما أن الكرة عبارة عن مساحة يحدها سطح كروي. هناك العديد من الأجسام الكروية الحقيقية والمسائل ذات الصلة التي تتطلب تحديد حجم الكرة.

الكرة والمجال

الدائرة هي الشكل الهندسي الأقدم، وقد أعطى العلماء القدماء معنى مقدسًا لها. الدائرة هي رمز الزمان والمكان الذي لا نهاية له، رمز الكون والوجود. الدائرة عند فيثاغورس هي أجمل الأشكال. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تتحول الدائرة إلى كرة، مثالية وكونية وجميلة مثل الدائرة.

المجال يعني "الكرة" في اليونانية القديمة. الكرة هي سطح يتكون من عدد لا نهائي من النقاط المتساوية البعد عن مركز الشكل. الفضاء الذي يحده المجال هو الكرة. الكرة هي شكل هندسي مثالي تتخذ العديد من الأشياء الحقيقية شكله. على سبيل المثال، في الحياة الواقعية، تكون النوى أو المحامل أو الكرات على شكل كرة، في الطبيعة - قطرات من الماء أو تيجان الأشجار أو التوت، في الفضاء - النجوم أو النيازك أو الكواكب.

حجم الكرة

يعد تحديد حجم الشكل الكروي مهمة صعبة، لأن مثل هذا الجسم الهندسي لا يمكن تقسيمه إلى مكعبات أو منشورات ثلاثية، وصيغ الحجم معروفة بالفعل. يسمح لك العلم الحديث بحساب حجم الكرة باستخدام تكامل محدد، ولكن كيف تم اشتقاق صيغة الحجم في اليونان القديمة، عندما لم يسمع أحد عن التكاملات من قبل؟ قام أرخميدس بحساب حجم الكرة باستخدام مخروط وأسطوانة، حيث أن صيغ أحجام هذه الأشكال قد تم تحديدها بالفعل من قبل الفيلسوف اليوناني القديم وعالم الرياضيات ديموقريطوس.

مثّل أرخميدس نصف كرة باستخدام مخاريط وأسطوانات متطابقة، حيث يساوي نصف قطر كل شكل ارتفاعه R = h. وتخيل العالم القديم المخروط والأسطوانة مقسمتين إلى عدد لا نهائي من الأسطوانات الصغيرة. أدرك أرخميدس أنه إذا طرح حجم المخروط Vk من حجم الأسطوانة Vc، فإنه يحصل على حجم نصف الكرة Vsh:

0.5 Vsh = Vc - Vk

يتم حساب حجم المخروط باستخدام صيغة بسيطة:

Vk = 1/3 × إذن × ح،

لكن مع العلم أنه في هذه الحالة مساحة الدائرة، و h = R، فتتحول الصيغة إلى:

Vk = 1/3 × pi × R × R 2 = 1/3 pi × R 3

يتم حساب حجم الاسطوانة بالصيغة:

Vc = باي × R 2 × ح،

لكن بافتراض أن ارتفاع الأسطوانة يساوي نصف قطرها، نحصل على:

Vc = باي × R 3 .

وباستخدام هذه الصيغ، حصل أرخميدس على:

0.5 Vsh = pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 أو Vsh = 4/3 pi × R 3

التعريف الحديث لصيغة حجم الكرة مشتق من تكامل مساحة السطح الكروي، لكن النتيجة تبقى كما هي

Vsh = 4/3 باي × R 3

قد تكون هناك حاجة لحساب حجم الكرة في الحياة الواقعية وعند حل المشكلات المجردة. لحساب حجم الكرة باستخدام الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت، ستحتاج إلى معرفة معلمة واحدة فقط للاختيار من بينها: قطر الكرة أو نصف قطرها. دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة.

أمثلة من الحياة

قذائف مدفعية

لنفترض أنك تريد معرفة مقدار الحديد الزهر المطلوب لصب قذيفة مدفع من عيار ستة أقدام. أنت تعلم أن قطر هذا اللب يبلغ 9.6 سم. أدخل هذا الرقم في خلية "القطر" بالآلة الحاسبة وستتلقى الإجابة على النحو التالي

وبالتالي، لصهر قذيفة مدفع من عيار معين، ستحتاج إلى 463 سنتيمترًا مكعبًا أو 0.463 لترًا من الحديد الزهر.

بالونات

قد يكون لديك فضول لمعرفة كمية الهواء اللازمة لنفخ البالون في شكل كروي مثالي. أنت تعلم أن نصف قطر الكرة المحددة هو 10 سم. أدخل هذه القيمة في خلية حاسبة "نصف القطر" وستحصل على النتيجة

وهذا يعني أنه لنفخ أحد هذه البالونات، ستحتاج إلى 4188 سم مكعب أو 4.18 لترًا من الهواء.

خاتمة

يمكن أن تنشأ الحاجة إلى تحديد حجم الكرة في مجموعة متنوعة من المواقف: من المشكلات المدرسية المجردة إلى البحث العلمي وقضايا الإنتاج. لحل الأسئلة مهما كانت درجة تعقيدها، استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا عبر الإنترنت، والتي ستقدم لك على الفور النتيجة الدقيقة والحسابات الرياضية اللازمة.