Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .
Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .
1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .
Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств
Пример 1
Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;
Показать решение
Решение
Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:
\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Это уравнение имеет 2 решения:
\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .
Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3
Пример 2
Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .
Показать решение
Решение
Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .
По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .
Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.
ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .
Пример 2. Доказать тождество
Это тождество мы будем доказывать путем преобразования выражения, стоящего в правой части.
Способ 1.
Поэтому
Способ 2.
Прежде всего заметим, что ctg α =/= 0; в противном случае не имело бы смысла выражение tg α = 1 / ctg α . Но если ctg α =/= 0, то числитель и знаменатель подкоренного выражения можно умножить на ctg α , не изменяя значения дроби. Следовательно,
Используя тождества tg α ctg α = 1 и 1+ ctg 2 α = cosec 2 α , получаем
Поэтому что и требовалось доказать.
Замечание. Следует обратить внимание на то, что левая часть доказанного тождества (sin α ) определена при всех значениях α , а правая - лишь при α =/= π / 2 n.
Поэтому только при всех допустимых значениях α Вообще же эти выражения не эквивалентны друг другу.
Пример 3. Доказать тождество
sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α )
Преобразуем левую и правую части этого тождества, используя формулы приведения:
sin (3 / 2 π + α ) + cos (π - α ) = - cos α - cos α = - 2 cos α ;
cos (2π + α ) - 3sin ( π / 2 - α ) = cos α - 3 cos α = - 2 cos α .
Итак, выражения, стоящие в обеих частях данного тождества, приведены к одному и тому же виду. Тем самым тождество доказано.
Пример 4. Доказать тождество
sin 4 α + cos 4 α - 1 = - 2 sin 2 α cos 2 α .
Покажем, что разность между левой и правой частями. данного тождества равна нулю.
(sin 4 α + cos 4 α - 1) - (- 2 sin 2 α cos 2 α ) = (sin 4 α + 2sin 2 α cos 2 α + cos 4 α ) - 1 =
= (sin 2 α + cos 2 α ) 2 - 1 = 1 - 1 = 0.
Тем самым тождество доказано.
Пример 5. Доказать тождество
Это тождество можно рассматривать как пропорцию. Но чтобы доказать справедливость пропорции a / b = c / d , достаточно показать, что произведение ее крайних членов ad равно произведению ее средних членов bc . Так мы поступим и в данном случае. Покажем, что (1 - sin α ) (1+ sin α ) = cos α cos α .
Действительно, (1 - sin α ) (1 + sin α ) = 1 -sin 2 α = cos 2 α .
"Тригонометрические тождества". 10-й класс“Математическая истина, независимо
от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же”
Б. Паскаль
Тип урока: Урок формирования умений и навыков.
Урок общеметодологической направленности.
Деятельностная цель : формирование способности учащихся к новому способу действия, связанному с построением структуры изученных понятий и алгоритмов.
Цели урока:
дидактическая : научить применять полученные ранее знания, умения и навыки для упрощения выражений и доказательства тригонометрических тождеств.
развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
воспитательная: показать, что математические понятия не изолированы друг от друга, а представляют определенную систему знаний, все звенья которой находятся во взаимной связи, продолжить формирование эстетических навыков при оформлении записей, навыков контроля и самоконтроля.
Для успешного решения задач по тригонометрии необходимо уверенное владение многочисленными формулами. Тригонометрические формулы надо помнить. Но это не значит, что их надо заучивать все наизусть, главное запоминать не сами формулы, а алгоритмы их вывода. Любую тригонометрическую формулу можно довольно быстро получить, если твердо знать определения и основные свойства функций sinα, cosα, tgα, ctgα,соотношение sin 2 α+ cos 2 α =1 и т.д.
Разучивание тригонометрических формул в школе не для того чтобы вы всю оставшуюся жизнь вы вычисляли синусы и косинусы, а для того чтобы ваш мозг приобрел способность работать. ( . Слайд 2 )
“ Дороги не те знания, которые отлагаются в мозгу, как жир; дороги те, которые превращаются в умственные мышцы” писал Г. Спесер, английский философ и социолог.
Будем накачивать и тренировать умственные мышцы. Поэтому повторим основные тригонометрические формулы. ТЕСТ (Слайд 4)(Слайд 5)
Мы повторили формулы, теперь можем помочь двум друзьям, назовём их Ислам и Магомед.
После преобразования некоторого очень сложного тригонометрического выражения А они получили следующие выражения: (Слайд 6)
(Слайд 7) Каждый отстаивал свой ответ. Как узнать кто из них прав? Обратились к Артёму, который дружит с Петром “Платон мне друг, но истина дороже”: сказал Артём и предложил несколько способов разрешения их спора. А какие вы можете предложить способы установить истину? Предлагают способы установления истины (Слайд 8):
1) Преобразовать, упростить А П и А с , т.е. привели к одному выражению
2) А П – А с = 0
3) …..
Т. е. оба были правы. И их ответы равны при всех допустимых значениях α и β .
Как называются такие выражения? Тождествами. Какие тождества вы знаете?
Тождество , основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем.
Тождество – философская категория, выражающая равенство, одинаковость предмета, явления самим с собой или равенство нескольких предметов.
В математике тождество – это равенство, которое справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. (Слайд 9)
Тема урока : “Тригонометрические тождества”.
Цели: найти способы.
Двое работают у доски.
№ 2. Доказать тождество.
П.ч.=Л.ч.
Тождество доказано.
№ 3. Доказать тождество:
1 способ:
2 способ:
Способы доказательства тождеств.
правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.
Для чего необходимо уметь доказывать тригонометрические тождества? В ЕГЭ задание С1 тригонометрические уравнения!
Решается № 465-467
Итак, подведем итоги урока. (Слайд 10)
Какова была тема урока?
Какие способы доказательства тождеств вам известны?
1. Преобразование левой части к правой или правой к левой.
2. Преобразование левой и правой части к одному и тому же выражению.
3. Составление разности левой и правой частей и доказательство равенства этой разности нулю.
Какие формулы при этом используются?
1. Формулы сокращенного умножения.
2. 6 тригонометрических тождеств.
Рефлексия урока. (Слайд 11)
Продолжите фразы:
– сегодня на уроке я узнал …
– сегодня на уроке я научился…
– сегодня на уроке я повторил…
– сегодня на уроке я познакомился…
– сегодня на уроке мне понравилось…
Домашнее задание. №№465-467 (Слайд 12)
Творческое задание: Подготовить презентацию о знаменитых тождествах математики. (Например тождество Эйлера.) (Слайд
Тригонометрические тождества - это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.
\[ \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \]
\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]
Зависимость между синусом и косинусом
\[ \sin^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha=1 \]
Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.
При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.
Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус
\[ tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \]
Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой \(\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) , а отношение \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - будет являться котангенсом.
Добавим, что только для таких углов \(\alpha \) , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , .
Например: \(tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) является справедливой для углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2}+\pi z \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) - для угла \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) , \(z \) - является целым числом.
Зависимость между тангенсом и котангенсом
\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]
Данное тождество справедливо только для таких углов \(\alpha \) , которые отличны от \(\dfrac{\pi}{2} z \) . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.
Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что \(tg \alpha = \dfrac{y}{x} \) , а \(ctg \alpha=\dfrac{x}{y} \) . Отсюда следует, что \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac{y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}=1 \) . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.
Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом
\(tg^{2} \alpha + 1=\dfrac{1}{\cos^{2} \alpha} \) - сумма квадрата тангенса угла \(\alpha \) и \(\alpha \) , отличных от \(\dfrac{\pi}{2}+ \pi z \) .
\(1+ctg^{2} \alpha=\dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} \) - сумма \(\alpha \) , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \(\alpha \) , отличного от \(\pi z \) .
В вашем браузере отключен Javascript.Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Примеры тождеств:
\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2x=\cos^2x\).
А вот выражение \(\frac{x^2}{x}=x\) является тождеством только при условии \(x≠0\) (иначе левая часть не существует).
Как доказывать тождество?
Рецепт до одури прост:
Чтобы доказать тождество нужно доказать, что его правая и левая части равны, т.е. свести его к виду «выражение» = «такое же выражение».
Например,
\(5=5\);
\(\sin^2x=\sin^2x\);
\(\cosx-4=\cosx-4\).
Для того, чтоб это сделать можно:
- Преобразовывать только правую или только левую часть.
- Преобразовывать обе части одновременно.
- Использовать любые допустимые математические преобразования (например, приводить подобные; раскрывать скобки; переносить слагаемые из одной части в другую, меняя знак; умножать или делить левую и правую часть на одно и то же число или выражение, не равное нулю и т.д.).
- Использовать любые математические формулы.
Именно четвертый пункт при доказательстве тождеств используется чаще всего, поэтому все нужно знать, помнить и уметь использовать.
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(\sin2x=2\sinx\cdot \cos{x}\)
Решение
:
Пример
. Доказать, что выражение \(\frac {\cos^2{t}}{1-\sin{t}}\)
\(-\sin{t}=1\) является тождеством.
Решение
:
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\)
Решение
:
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos2t}{\cos^2t}\) |
Здесь будем преобразовывать только правую часть, стремясь свести ее к левой. Левую же оставляем неизменной. Вспоминаем . |
|
\(1-tg^2 t=\) |
Теперь сделаем почленное деление в дроби (т.е. применим в обратную сторону): \(\frac{a+c}{b}\) \(=\) \(\frac{a}{b}\) \(+\)\(\frac{c}{b}\) |
|
\(1-tg^2 t=\)\(\frac{\cos^2t}{\cos^2t}\) \(-\)\(\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\) |
Первую дробь правой части сократим, а ко второй применим : \(\frac{a^n}{b^n}\) \(=\)\((\frac{a}{b})^n\) . |
|
\(1-tg^2 t=1-\)\((\frac{\sint}{\cost})^2\) |
Ну, а синус деленный на косинус равен того же угла: \(\frac{\sinx}{\cosx}\)
\(=tg x\) |
|
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\) |
Пример
. Доказать тригонометрическое тождество \(=ctg(π+t)-1\)
Решение
:
\(\frac{\cos2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg(π+t)-1\) |
Здесь будем преобразовывать обе части: |
|
\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\sint\cdot\cost+\sin^2t}\) \(=ctg\:t-1\) |
Теперь работаем только с левой частью. |
|
\(\frac{(\cost-\sin{t})(\cost+\sin{t})}{\sint(\cost+\sin{t})}\) \(=ctg\:t-1\) |
Сократим дробь на \(\cos{t}+\sin{t}\). |
|
\(\frac{\cost-\sin{t}}{\sint}\) \(=ctg\:t-1\) |
Почленно разделим дробь, превратив ее в две отдельные дроби. |
|
\(\frac{\cost}{\sin{t}}-\frac{\sin{t}}{\sin{t}}\) \(=ctg\:t-1\) |
Первая дробь это , а вторая равна единице. |
|
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\) |
Левая часть равна правой, тождество доказано. |
Как видите, все довольно несложно, но надо знать все формулы и свойства.
Как доказать основное тригонометрическое тождество
Два простых способа вывести формулу \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Нужно знать только теорему Пифагора и определение синуса и косинуса.
Ответы на часто задаваемые вопросы:
Вопрос:
Как определить, что в тождестве надо преобразовывать – левую часть, правую или обе вместе?
Ответ:
Нет никакой разницы – в любом случае вы получите один и тот же результат. Например, в третьем примере мы легко могли бы получить из левой части \(1-tg^2 t\) правую \(\frac{cos2t}{cos^2t}\)
(попробуйте сделать это сами). Или преобразовывать обе, с тем чтоб они «встретились посередине», где-то в районе \(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
\(=\)\(\frac{\cos^2t-\sin^2t}{\cos^2t}\)
. Поэтому вы можете доказывать любым удобным вам способом. Какую «тропинку» видите – по той и идите. Главное только – преобразовывайте «законно», то есть понимайте на основании какого свойства, правила или формулы вы делаете очередное преобразование.